（基础数学专业论文）非线性发展方程中的几个问题.pdf

非线性发展方程中的几个问题 摘要 本文讨论几类非线性发展方程的初边值问题，在一定条件下证明这些问 题解的整体存在性、唯一性，并给出解发生爆破的充分条件；同时还研究两类 高阶非线性发展方程的时间周期问题，证明问题解的存在唯一性或弱解的存 在性，主要结果包括下面五部分内容、 在第二章中，讨论如下的广义双耗散方程的初边值问题 让“一u z 。一。u f i 仳+ b u z 一d u z 州= ，( ) z 。，o 0 u ( 0 ，t ) = u ( ，t ) = 0 ，“。( o ，t ) = “。( ，t ) = 0 ，t20 ， “( z ，o ) = “o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = 1 ( z ) ，0sz ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 用g a l e r k i n 方法证明问题的整体广义解和整体古典解的存在性与唯一性，并通 过建立一个新的不等式证明整体解不存在的充分条件并利用得到的结果进 一步讨论双耗散方程( d d e l “t c 一z 。= ( 6 u 2 + & z g t t 一6 u z ) z z ，0 z 0( 4 ) 和立方双耗散方程( c d d e ) u “一u z z = ；( c 3 + 6 u 2 + o “一b u 。z + d u ) 。，0 测712 c0 卷：奉茹 ，2 ( 咒) 是偶的凸函数，( o ) = ，( o ) 一茅二o ； 3 当s 叶o o 时，( s ) 增长得足够快，使得当d 0 时，积分 b = 恙胁羔肛卜丁9 2 + b 7 r 2 s 油一由 收敛，并且b o 时，对某有限时刻如t l ：一2 万+ a t r 2l n ( 1 日) 、有 l i r as u p l “( z ，圳= o o ； 当d 茎0 时，对某有限时亥0t o 亍2 ，有 l i r as u p l “( z ，t ) l = 。 _ 孑o n 定理4假定“o 驴( q ) ，叭日3 ( n ) ，则问题( 5 ) ，( 2 ) ( 3 ) 存在唯一的整体广 义解u g ( ( o ，t ) ；日4 ( q ) ) nc 1 ( i o ，t i ；日3 ( q ) ) nc 2 ( 降，t 3 ；h 2 ( n ) ) 定理5设u ( z ，t ) 是问题( 4 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的广义解假定下列条件成立 一丢五u 。( z ) s i n 芋如= 。 o ，丢五u ( 。) s i n 等出= 芦 o ； 2 兰。z 一掣。 o 则对某有限时刻t o t 2 ，有 l i ms u p j “( z ，) j = 。 在第三章中，研究如下一类描述弹性杆非线性振动的具有阻尼项和源项 u 埘一d i v c r ( w u l 2 ) v u ) a u a u 十d l “cj p 一1 “z = p l “i 。一1 “ u ( z t ) = 0 ，。a n ，t 0 ， u ( x ，t ) = “o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = 乱l ( z ) ，zen ， 2 z q ，t 0 ，( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 其中ncr “是具有充分光滑边界a q 的有界区域利用位势井方法结合g a l e r k i n 方法证明问题小初值条件下的整体广义解的存在性与唯一性，并给出解爆破 的充分条件，得到的主要结果是： 定理6 假定下面的条件成立： 1 口( s ) c 1 【o ，+ o 。) ，并存在常数k i 0 ( i = i ，2 ，3 ) 使得0 茎口( w 2 ) k 1 1 盯( u 2 ) 。配，i 盯( ) 一盯( 口2 ) | | j + i 盯( 2 ) 一盯( ” ) | | ，l is | 一”1 l 对v v ，t j l r 成立； 2 l q o 是常数则问题( 6 ) ( 8 ) 存在唯 一的整体广义解“( t ，x ) 满足 “0 ，5 9 , ) 工”( o ，t ；刎( n ) n h 2 ( q ) ) ， ( t ，岱) 三。( o ，t ；硪( n ) ) n 三2 ( o ，t ；础( n ) n 且2 ( f 2 ) ) n l p + 1 ( q r ) u t t ( t ，z ) l 2 ( o ，t ；三2 ( n ) ) 并且对v l 2 ( o ，t ；础( n ) ) nl p + 1 ( q t ) ，都有 上厶 o ，1 p 去； 2 s a ( s ) s k z 5 a ( y ) 匈，z 8 a ( g ) 咖茎一邮f 警， 2 和。 。是常数； 3 ? t o 丑古( n ) n l q + 1 ( n ) ，u l h 1 ( n ) ，且 雪( 。) = i i u ，1 1 2 + 籍i 1 2 + 而2 ( 1 l v u o i l 2 - v i i 础：j ) + 2 厶上 。( 8 ) 如d x 一刍( 筝卜 ( a 2 3 _ q l ( q 2 z ：a 一- - 。， 3 其中。：- 2 y 吨- 4 - 渺； 一- ，6 ：蚓争一南，。：( 逝掣型) 南，。： 掣，d = 粼，a 堋近黜锄k 邮汴州n 1 表示q 的测度，则问题( 6 一( 8 ) 的广义解在有限时刻亍爆破，即当t _ 亍一时， i l u ( t ) 1 2 + z 。二l v u ( r ，z ) f 2 d z d r + z z 7 正 v “( s ，。) j 2 如d s d r ，+ 。o 在第四章中，考虑如下波方程的初选值问题 2 z t t 一“z z 一“z 。“+ 。“。蜘；。十札x x x x 酣= ( u 2 ) z z ，0 z 1 ，0 t z( 9 ) u ( o t ) - 札( 1 ，) ：o ，u z 。( o ，t ) = “一( 1 ) = d 、0s t ， ( 1 0 ) “( ? ，o ) = “o ( z ) ，“c 0 ，0 ) = “1 ( 司，0 。l ，f i l l 用g a l e r k i n 方法和紧致性原理证明问题( 9 ) ( 1 1 ) 局部解的存在性与唯一性，并 用凸性方法给出问题整体解不存在的充分条件，其主要结果是 定理8 令 e n ( t ) = ( 1 + 沁+ 2 ：+ a ；+ 2 4 。，c - r 2 _ 。+ ( 1 十入。+ 。 ；十a ：十o ：) 。斋。) - , r 1 ， 如果 骢珊( o ) = e = “l + a ，+ 2 a ；+ a ；+ 2 a ，4 ，2 + ( 1 + a 。+ 口a ；4 - a ；+ n a ；) 妒； + 1 o 。， 则初边值问题( 9 ) 。( 1 1 ) 存在唯一的局部广义解n ( z ，幻，其中“。口铲( o ，t o ；铲( f 2 ) ) ( i = 0 ，1 2 ，3 ，4 ；j = 0 ，1 ，2 ) 定理9 设u 仕，t ) 是问题( 9 ) 一( 1 1 ) 的广义解，且 r 1r 1 一工u ( 2 ) “。( z ) 如2 2 1 + 叭一上u ( z ) “l ( z ) 如= o ， 其中u ( 。) 表示特征值问题 。“忙) + j = 0 ，u ( o ) = “j ( 1 ) = 0 ，o o 和 。2 0 是常数得到的主要结果是： 定理1 0假定下面的条件成立 1 f ( s ) c 4 ( r ) ，f ( o ) = f ”( o ) = o ；存在常数b 0 ，使得对v s 矗，f ) b ： 存在常数a 0 和ls f 1 0 ，且bq - d 0 和l 2 8 ，使得对v s r ，i g ( s ) j 日川 。+ 1 成立 3 f 6 t ( n ；h 2 ( o ，1 ) n 础( o ，1 ) ) ， ( r ；l 2 ( o ，1 ) ) ，记m i = s u p ( 1 l i l l h ：+ r l k l l ) ；则问题( 1 2 ) - ( 1 4 ) 存在广义的时间周期解“( z ，t ) 满足 一一 扛，t ) 三：( r ；日4 ( o 1 ) ) ，嘶( 。，”圪( 冠日2 ( o ，1 ) ) 以及 r ur 1 0 上 “+ 。l “z 4 一。2 u 。# 一f 沁) 。z g ( u ) 一f ) ( p d 。d t = 0 ，v 西z g ( a ；l 2 ( o ，1 ) ) 特别地，当尬充分小时，上述广义解是唯的 定理1 1 假定定理1 0 的条件和下面的条件成立： 1 f ( s ) c 5 ( r ) ，f ( 4 ) ( o ) = 0 ；臼( s ) c 4 ( r ) ，g “( o ) = 0 ； 2 ，既( r ；日4 ( o ，1 ) ) ，厶z ( o ，) = 厶z ( 1 ，t ) = 0 ；f t q ( r ；日3 ( o ，1 ) f 1h d ( o ，1 ) ) ， m ( o ，t ) 2 儿z ( 1 ，) = 0 记m = 翼p ( 1 l f l l s s t + i l k l l 日a ) 则问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 存在古0 t u 、7 、7 “ 典解，并且如果m 充分小，古典解是唯一的 5 2 3 4 ；( r 1z0 在第六章中，讨论如下一类高阶非线性波动方程的时问周期问题 t “u z 。一p “z z t 一“z z 托= ( “：) z o 0 是常数 得到的主要结果足： 定理1 2 如果卢 1 ，则问题( 1 5 ) 一( 1 7 ) 存在时间周期弱解u ( x ，) 懿。( n ) 且满足对铷目 。( n ) ，成立 关键词 非线性发展方程，初边值问题，时间周期问题，整体解，弱解， 解的爆破 6 d如 船 fof z 批 一 如 札 上z u u z 石 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a ls o l u t i o n sf o rt h e i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st os o u l ec l a s s e so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，a n d g i v et h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fb l o w u po fs o l u t i o n sf o rt h ea b o v ep r o b l e m s w ea l s o d i s c u s st h et i n m p e r i o d i cp r o b l e m sf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so f h i 曲e ro r d e ra n dp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft i m e p e r i o d i cs o l u t i o no rt h e e x i s t e n c eo fw e a kt i m e p e r i o d i cs o l u t i o nt h em a i nr e s u l t si n c l u d et h ef o l l o w i n gf i v e a s p e c t s ： h ic h a p t e r2 ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra g e n e t a l i z e dd o u b b d i s p e r s i v ee q u a t i o n u t t u t 。一a u z z t t + b u $ 4 一d u z t = ，( “) z ，0 茁 0 u ( o ，t ) = “( ，t ) = 0 ，u 。( o ，t ) = “。( ，t ) = 0 ，t 0 ， u ( z ，0 ) = “o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( z ) ，0 玉z 粤 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e g e n e r a l i z e dg l o b a ls o h l t i o na n dt h ec l a s s i c a lg l o b a l s o l u t i o na r ep r o v e db yg a l e r k i nm e t h o dt h e nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft t l en o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o na r eg i v e nb yc o n s t r u c t i n gan e w i n e q u a l i t y m o r e o v e r ，w ea l s o c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd o u b l ed i s p e r s i o ne q u a t i o n ( d d e ) 托一u z z = i ( 6 “2 + 。“托一阮。) 。，0 z 0 ( 4 ) a n dt h eg e n e r a lc u b i cd d e ( c d d e ) 札n u z z = ；( c “3 十6 u 2 + n u 亡亡b u 。+ d u ) 。，0 o 一磊上u ，( z ) s i n 等如= 卢 o i f ( s ) g r o w s f a s te n o u g h s - - + 。，s ot h a tt h ei n t e g r a l 尽= 蒜fp 2 十蒜f 沪一g 丁2 + b t r 2s 胁 c o n v e r g e sw h e nd 0 ，m o l e o v e r 屡 0 l i r as u p j “( o ，t ) l = ( 3 0 f o rs o m ef i n i t et i m et o 亍1 百9 2 + a r 2 l n ( 1 一耽讪d s 。 l i r as u p l “( z ，t ) 1 = 。 斗z iz n f o rs o l l l ef i n i t et i m e os 亍2 t h e o r e m4 s u p p o s et h a t “o h 4 ( n ) ，“l h 3 ( n ) ，t h e n ，t h ep r o b l e m 阳j ，俐，p jh a s au n i q u e g l o b a l g e n e r a l i z e d s o l u t i o nu g ( 0 ，t 1 h 4 ( n ) ) n c l ( ( o ，t i ；日3 ( q ) 1 n c 2 ( o ，t ；h 2 ( n ) ) t h e o r e m5 l e t “( z ，t ) b et h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h ep r o b l e mf 4 ) ，口j ，p j s u p p o s et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa i es a t i s f i e d ： 门j 一乏五“。( z ) s i n 芋出= a o ，一三二“- ( z ) s i n 芋如= 卢 o i ；矿一g 丁2 + b t r 2 。o “ | j zu p n鲥畦 ：亘哳 死 o ，( 6 ) “( 。，t ) = 0 ，z a n ，t 0 ， 1 7 ) u ( 。，0 ) = u o ( 。) ，札c ( z0 ) = u l ( z ) ， z q ，( 8 ) w h i c hd e s c r i b e sn o n l i n e a rv i b r a t i o no fe l a s t i cr o d s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h eg l o b a ls o l u t i o na r ep r o v e di nc a s et h a tt h ei n i t i md a t aa x es m a l lb yp o t e n t i a lw e l l m e t h o dc o m b i n e dw i t hg a l e r k i nm e t h o dw ea l s og i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w u po ft h es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m ( 6 ) 一( 8 ) i n f i n i t et i m e t h en l a i nr e s u l t sa r es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m6a s s u m et h a tt h ef o l i o w i n gc o n d i t i o n sh o l d 1 f ( s ) c 1 0 ，+ 。) ，a n dt h e r ee x i s tc o n s t a n t s 尬 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) s u c kt h a t 0 盯( 2 ) 墨k l ，j 一( u 2 ) 1 口2 墨k l ，a n d1 玎( ”j ) 一盯( 却2 ) l u 1 + 1 口【口2 ) 一盯【u ) 1 u l 墨k a l v 一口】1 f o ra n yu ，”1 r 。- a + o 。( f o r n = ，z ) ， 4 ) ；l p 0a r ec o n s t a n t s t h e nt h ep r o b l e m ( 6 ) 一t 8 ) h a sau n i q u eg l o b m g e n e r a l i z e ds o l u i t i o nu ( t ，。) w h i c hs a t i s f i e s 钍( t ，9 2 ) 三o 。( o ，t ；础( q ) n h 2 ( q ) ) ， u t ( t ，z ) l o o ( o ，t ；硪( q ) ) n l 2 ( o ，t ；嘲( n ) n 日2 ( q ) ) n l v + 1 ( q ? 、) ， u t t ( t ，z ) l 2 ( o ，t ；l 2 a ) ) ， f o t u t t - d i v p ( 1 w f 2 ) v u 】- a u - a u t + d “t p - i ? a t f “r 1 “) w 如出 = 0 ，f o ra n y 蜘l 2 ( o ，t ；球( n ) ) nl p + 1 ( 0 7 ，) 9 t h e o r e i n7 s u p p o s et h a c j d 0 ，“ 0 ，l 2a n d “ 0s i cc o n s t a n t s ；2 ) sf 口( 可)，7 仃一n l s 1 r “ j 0j 0 3 u 0 日0 ( n ) nl 。r 1 ( n ) ，u 1 h 1 ( q ) ； 即) = m 圳2 + 籍啊洲rp + 击州v 咖1 1 2 - 肛1 1 呦| | ；q 矧+ l 十z 从孔“2 删池 s 一刍( 竿卜 画而寿石雨 。 w h ”en = 字( 筹) 南，6 ：学一南，e ：( 丛生掣) f 赤可， 一掣，a = 襟，a n 黜m 一( k - 2 ) 唰 a n d j n id e n o t e st h em e a s u r eo fn ，t h e nt h eg e n e r a l i z e d 钍( t ：z ) o ft h ep r o b l e mf 刨一佃j “ 训1 2 + 五。二l v “( r ，。) 1 2 d x d t + o ：7 厶l v u ( s ，z 1 2 d x d s d t 斗+ o 。，* t _ 亍 i nc h a p t e r 4 ，w ed i s c u s st h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a x w a v ee q u a t i o n 比z z 一札z t t + a u z 。z z + 札z 船：z t t = ( 札2 ) z z ，0 茁 l ，0 t t u ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 ，? a x x ( 0 ，t ) = “。( 1 ，t ) = 0 ，0st t ， u ( x ，0 ) = u s ( x ) ，u t ( z ，0 ) = l ( 。) ，0s zs 1 ， ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) w h i c hd e s c r i b e st h ew a t e rw a v ew i t hs u r f s c et e n s i o n t h ee x i s t e n c ca n du n i a u e i l e s s o fg e n e r a l i z e dl o c a ls o l u t i o na r 8p r o v e db yg a ! e r k i nm e t h o da n dc o m p a c t n e s sa r g u m e r i ta n dt h es u f f i c i e n te o n d i t i o n so fb l o w u po ft h eg e n e r a i i z e ds o l u t i o na z eg i v e n b y c o n c a v i t ym e t h o d t h em a i nr e s u l t sa r es t a t e d f o l l o w s ： t h e o r e m8l e t e n ) = ( 1 十入s + 2 a ：十 ；十2 天4 。，“, 2 。十( 1 + a 。+ 。 2 ，+ ；+ 口 ；) 。，) + 1 ， l i me n f 0 1 = e _ v _ 。c 、 o o = ( 1 + a 。+ 2 ；+ 入；+ 2 ：) 吵；+ ( 1 + a 。+ a a ；+ a ；+ 。a 4 ；，妒。2 + l s = 1 0 w h e r eu ( z ) i st h ef i r s tn o r m a l i z e d e i g e n f u n c t i o no ft h ee 培e n v m u ep r o b l e m u ”( 。) + a u = 0 ，“( o ) = u ( i ) = 0 、0 茹 1 l e ta =p b et h ec o r r e s p o n d i n gf i r s te 咖n v a l u e t h e nt h e lei sa 亍s u c ht h a t l i r a s u pl “( z ，t ) j = + o 。，w h e r e t - 4 i ( o 、l ) 亍= f 。妒+ 带等( ( x 2 - - s 2 ) + 南( 8 3 - - 。3 ) j 嘞s + 。 i n c h a p t e r5 ，w es t u d yt h et i m e p e r i o d i cp r o b l e mt oag e n e i a l i z e dg i a z b u r g l a n d a um o d e l e q u a t i o ni np o p u l a t i o np r o b l e m s u “= 一a l u z z z + a 2 u z z + f ( “) 2 z + g ( u ) + ，( z ，t ) ，0 0a n dls 2 8a r ec o n s t a n t s ，a n db + d a 2 ； 3 f o ；a r ；日2 ( o ，1 ) n 础( o ，1 ) ) ， ( 0 ( rl 2 ( o ，1 ) ) a n dm l = s u p ( 1 l f l l n z 4 - 0 t o | 【f f l l ) i t h e nt h ep r o b l e m 口矽一门4 jh a sag e n e r a l i z e dt i m e - p e r i o d i cs o l u t i o n 一 ( ，t ) l ：( r ；日4 ( o ，1 ) ) ，n 扛，工：( r ；日2 ( o ，1 ) ) w h i c hs a t i s f i e s 1 z 上 “+ 刚。一a 2 u x z 一即) 。z g ( u ) 一，) 毗出= ( f o r a n y 圣l 苎( r ，工2 ( o ，1 ) ) i np a r t i c u l a r ，t h es o l u t i o nu ( 茁t ) i s u n i q u ej f 尬话 s u t 哥c i e n t l ys m a l l t h e o r e i n1 1a s s u m et h ec o n d i t i o n so f t h e o r e m1 0a n dt h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r es a t i s f i e d j f ( 8 ) c 6 ( r ) ，f ( 4 ) ( 0 ) = o ；g c 4 ( r ) ，g 7 ( 0 ) = o i 2 6 u ( r ；日4 ( o ，1 ) ) ，厶。( o ，t ) = 。( 1 ，t ) = o ； c 二( r ；日3 ( o ，1 ) n 硎( 0 ，1 ) ) ， z z ( o ，t ) = z 。( 1 ，t ) = 0 l e tm = s u p ( i l f l l u 4 + i i a i i h ) t h et h ep z o b l e m 口2 j 一“4 ) o u h a sac l a s s i c a lt i m e - p e r i o d i cs o l u t i o n “( 。，t ) m o r e o v e r ，i fm i ss u f f i c i e n t 耖s m a l l ，t h e c l a s s i c a ls o l u t i o ni su n i q u e i nc h a p t e r6 ，w ec o n s i d e rt h et i m e p e r i o d i cp r o b l e mf o rac l a s so tn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o no fh i g h e ro r d e r u “一“z 。一肛“。一“z 。“= ( ：) z ，0 0 ，w h e r e “( 。，t ) 且玉( n ) a n ds a t i s f i e s ：。z 1 ( u t u 。u z 。+ p u z 。十u z c ”。t ) 一z 凼= z “z 1t z ：”。a 。a t ， f o ra l l y 口硪u ( n ) k e yw o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n ，i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t i m e p mi o d i cp r o b l e m ，g l o b a ls o l u t i o n ，b l o w u po fs o l u t i o n ，w e a ks o l u t i o n 第一章前言 在这一章中，我们介绍有关模型方程的物理背景、已经得出的研究结果以 及本文即将证明的主要结果 一、一类广义双耗散方程的初边问题 在本文第二章中，考虑如下的初边值问题 趾捞一i t 。一口珏z z 聪+ b u 工4 一d u 础# = ( i t ) 。，。n ：t 0 u ( o ，t ) = “( ，t ) = 0 ，i t x x ( o ，t ) = u 。( ，t ) = 0 ，t 之0 ， u ( z ，0 ) = 1 1 0 ( z ) ，“t ( z ，0 ) = i t l ( z ) ， 正孬， ( 1 1 ) ( 12 ) ( 13 ) 其中“知，t ) 表示未知函数，“。n = i t 。，( s ) 是给定的非线性函数，n = ( 0 ，) ，o 0 ，b 0 和d 都是常数， t t 0 ( z ) 和i t ( 。) 是已知的函数并且满足边界条件( i2 ) 模型方程( 11 ) 出现在许多物理问题的研究中，有明显的物理背景比如， 在对波导管中非线性波传播问题的研究中，由于波导管和外部介质的相互作 用，通过波导管外表面的能量交换是不能忽略的，如果考虑到非线性弹性杆 ( 由超弹性材料制成的，比如m u r n a g h a n 材料) 的表面与介质之间的相互作用 利用h a m i l t o n 原理可以得到杆的纵向位移i t ( x ，t ) 满足下面的双耗散方程 ( d d s ) 2 ，3 1 “一。= 寻( 6 u 2 + a i t 悦一b i t 蜘? ) 。z ( 1 4 ) 同样，可以得到下述的立方双耗散方程( c d d e ) 2 ，3 】 1 u 址一“z z = ( 删3 + 6 u 2 十o 蛄一b u z 。+ d u e ) z j( 15 ) 其中u ( 。，t ) 与应变不u u 成比例，这里 ( z ，t ) 表示横向位移，o 0 ，b 0 ，c 0 和d 0 是物理常数，这些常数依赖于y o u n g 模数、扭转模数弘、波导管密度 p 以及p o i s s 。n 系数丁显然，如果f ( i t ) = 争3 + ；u 2 ，并且。，b ，d 分别用；，：和 ；代替后，方程( 1 1 ) 就成方程( 1 5 ) 如果，( u ) = ；n 2 ，并且。和6 分别用；和 ；替代后，方程( 1 1 ) 就变成方程( 1 4 ) 1 3 在对层流体中压缩物质物理波的研究中，导出了下述方程【4 对一维非线性弹性固体的波导管中波的传播问题，可由双耗散方程f d d e ) 来 描述： “艇一? # # = ( e 珏2 + 8 。“一b u z + g u ) z r 十( ) 忙2 ) ，( 17 ) 其中u ( z ，) 是纵向应变，d ，b ，c 0 ，9 o 和1 都是常数 在f 6 j 中，由无旋运动中由表面波的e u i e r 方程 7 】得到了如下的b o u s s i n e s q 型方程 垂跗一西z z i 西z 矾。+ i 垂z 。一3 e 垂z 西z 。= o 一 如果令西；= “，则u 满足方程 t l t t - - u z z 一扣时扣一荨( 舻k = 0 ( 1 8 ) 一i “r 。 + 虿“= 4 一i 【“。) 。2 o ( 1 8 ) 如果在( 1 7 ) 中略去项d ( e 2 ) 并在( 1 8 ) 中取e = 1 ，则方程( 1 ，7 ) 和( 1 ，8 ) 都是方 程( 1 1 ) 的特殊情形 在文 8 】中，用拟连续c o s s e r a t 模型及l er o u z 连续模型讨论柱形弹性杆内 部的非线性纵向应变孤立子波时，提出了控制这个过程的b o u s s i n e s q 型方程， 即双耗散方程 让“o l u z 。c 。2 ( u 2 ) 。+ a 3 “。z “一a 4 u z 口$ z = 0 ，n 9 ) 其中系数 1 i ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 依赖于杆材料的弹性参数如果1 0 n 2 0 ，蛳 0 是常 1 5 3 4 5i ； 0c ：z 数，p2l ，q 1 是正整数，“v ”是彤中的梯度算子，“是r “中的l a p l a c e 算子 方程( 1 1 3 ) 是在描述弹性杆的非线性振动时提出的( 1 8 1 ) ，此时的oi 0 ，6 = “= 0g r e e n b e r g 在1 9 6 9 年提出并研究了这种情形的大初值时整体光滑解的存 在性此后，许多作者用各种不同的方法从不同的方面对此情形的相关问题 进行了研究( 1 1 9 2 4 1 ) 当a ( s ) o ，”= 0 ，6 = 1 时，n a k a o ( 2 5 ) 考虑了方程( 11 3 ) 的解的存在性及衰减性质，文【2 6 - 3 0 】讨论了形如 u “一u = p i “1 9 1 “ 的方程，指出如果初始能量为负时，则源项p l u l 。u 的存在弓f 起整体解的不存 在以及某些情形下解在有限时刻爆破 文【3 1 ，3 2 】的作者则研究了形如 “一a u + 占i “r _ 1 “= 0 的方程，指出当p 1 时，非线性阻尼项m c r l 毗保证了对任意的初值整体解 的存在性 文 3 3 研究了形如 的方程在p 1 时的情形，探讨了阻尼项和源项的相互作用，指出在p p 时，如果初始能量是负的，则解在有限时刻发生 b l o w u p 文【2 7 】和文【3 8 】研究了形如 ( i 2 7 t t ) c a d i v ( v t z l r 卜1v u ) + b m r 2 毗= c ”2 t t 的方程的初边值问题，证明了问题整体解的不存在性，其中d i v ( i v u l q 。v u ) 表 示工程应变张量( 也称第一p i o l a k i r c h h o f f 应变张量) p a r k 和b a e ( f 3 9 】) 则研究了问题( 11 3 ) ( 1 1 5 ) 可以看出，方程( 1 1 3 ) 是前述 文献中所讨论的方程在某种意义下的广义形式文【3 9 】的作者想证明此问题在 小初值情形下整体弱解的存在性然而，遗憾的是，由于文【3 9 中的( 3 1 0 ) ，( 31 1 ) 和( 3 3 5 ) 式的推导过程出现错误，进而导致了所得结果失真此外，该文在引 言中介绍到要证明问题解的存在性及唯一性，实际上，文中并没有讨沦解的唯 一性问题 本文重新对问题( 1 1 3 ) ( 11 5 ) 进行研究，将改正文