（工程力学专业论文）功能梯度材料梁弯曲、屈曲和自由振动分析.pdf

硕士学位论文 摘要 作为一类新型的非均匀材料复合材料，功能梯度材料由于它具有防止脱层和 减缓热应力等优于其它传统复合材料独特性能，已成为许多新型结构选用材料。 因此，功能梯度材料的结构的宏观力学行为研究受到人们关注。本文选择材料性 质沿横向按幂函数连续变化的功能梯度材料弹性梁为研究对象，分别基于e u l e r 梁理论和t i m o s h e n k o 梁理论，研究了结构的弯曲、屈曲和振动响应，获得了一些 便于工程应用的解析结果。主要有以下三个方面： 1 通过对f g me u l e r b e m o u l l i 梁的弯曲、屈曲和自由振动问题的分析和求 解，发现非均匀梁的控制方程和均匀梁的控制方程存在相似性，两者可以通过一 个集中反映非均匀特性系数进行转换。从而，将f g m 梁的求解转化为均匀梁的 求解与相似转换系数的计算，为非均匀梁的分析和求解提供便捷的途径。并将上 述方法推广到了t i m o s h e n k o 梁的静态弯曲问题的求解。 2 对于t i m o s h e n k o 梁的自由振动问题，由于考虑了横向剪切和转动惯性力 而不便于寻求与均匀梁振动解的相似转换关系。因此，采用打靶法数值求解自由 振动对应的常微分方程边值问题，获得了两端固定和一端固定一端自由的f g m t i m o s h e n k o 梁固有频率数值解，分析材料性质梯度变化参数和长细比对频率频的 影响。结果表明，无量纲固有频率随着材料性质梯度变化指数的增加而单调减小， 随着长细比的增加而单调增加。 3 应用微分求积法( d q m ) 分析了纵向非均匀e u l e r 梁在静载荷下的弯曲问 题。同时考虑了横截面尺寸和弹性模量沿长度连续变化的情形。通过d q m 方法 将以挠度为基本未知函数的变系数四阶常微分方程两点边值问题转化为离散点挠 度值的线代数方程组，并获得了问题的数值解。分别考虑横截面尺寸和材料弹性 模量随轴向坐标连续变化的情形，给出非均匀梁在均布载荷下无量纲挠度数值解。 结果表明，由于材料性质和截面几何尺寸变化的非对称性，两端简支非均匀e u l e r 梁的挠度分布也在纵向呈现出关于中点的不对称性。 关键词：功能梯度材料，e u l e r 梁；t i m o s h e n k o 梁；弯曲，屈曲，自由振动， 相似比系数 a bs t r a c t a san e wk i n do fi n h o m o g e n e o u sc o m p l e xm a t e r i a l ，向n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l h a st h eu n i q u ec a p a b i l i t yt op r e v e n td e l a m i n a t i o na n da 1 1 e v i a t et h e m a ls t r e s s ，w h i c h h a sm o r ea d v a n t a g e st h a no t h e rt r a d i t i o n a lc o m p l e xm a t e r i a l i th a sb e c o m eak i n do f s e l e c t e dm a t e r i a lt ob eu s e di nn e ws t r u c t u r e s s o ，m o r ea t t e n t i o n sh a v eb e e np a i do n t h em a c r o s c o p i cm e c h a n i c a lb e h a v i o r so ff g ms t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r ，w ec h o o s e f g mb e a m sw i t ht h em a t e “a lp r o p e r t i e sv a r y i n gc o n t i n u o u s l yi nt h et h i c k n e s s d i r e c t i o na si n v e s t i g a t i n gam e c h a n i c a lm o d e l b a s e do ne u l e rb e a mt h e o r ya n d t i m o s h e n k ob e a mt h e o r y ，r e s p e c t i v e l y ，s t a t i cb e n d i n g ，b u c k l i n ga n df r e ev i b r a t i o n r e s p o n s e so ft h ef ( ；ms t l l j c t u r ew e r ei n v e s t i g a t e da n ds o m ea n a l y t i c a lr e s u l t sw h i c h c a nb ec o n v e n i e n t l yu s e di ne n g i n e e r i n gw e r eo b t a i n e d t h em a i nr e s e a r c hi n c l u d i n g t h ef 0 1 l o w i n gt h f e ep a r t s ： 1 t h r o u g ht h ea n a l y z i n ga n ds o l v i n gt h eb e n d i n g ，b u c k l i n ga n dv i b r a t i o n p r o b l e m o ff g me u l e r - b e m o u l l i b e a m s ， i tc a nb ef o u n dt h a tt h e r ee x i s t s c o m p a r a b i l i t yb e t w e e nt h eg o v e m i n ge q u a t i o n so ft h eu n i f o mb e a ma n dt h ef g m b e a m t h e yc a nb et r a n s f b 姗e de a c ho t h e rt h r o u g hat r a n s i t i o np a r a m e t e rw h i c h i n c l u d i n gt h en o n h o m o g e n e i t yc h a r a c t e r i s t i c s s o ，f i n d i n gas o l u t i o no ff g m b e a m c a n c h a n g e d t of i n dt h es 0 1 u t i o no fau n i f b mb e a ma n dt oc o m p u t et h e n o n - h o m o g e n o u st r a n s i t i o np a r a m e t e r ，w h i c hp r o v i d e sac o n v e n i e n tm e a n sf o rt h e s o l u t i o no ft h en o n h o m o g e n o u sb e a m t h ea b o v em e n t i o n e dt h e o r ya n dm e t h o da l s o b ee x t e n d e dt ot h ea n a l y s i so fb e n d i n go ff g mt i m o s h e n k ob e a m 2 t h ep r o b l e mo ff r e ev i b r a t i o no ff g mt i m o s h e n k ob e a m s ，i nw h i c ht h e t r a n s v e r s es h e a ra n dt h er o t a t i o no fi n e r t i a lf b r c ei sc o n s i d e r e d ，i ti sn o te a s yt of i n d s i m i l a rt r a n s f o 衄a t i o na sf g me u l e rb e a m ，f o u n dt h es i m i l a rr e l a t i o n s h i pt ot h e v i b r a t i o no fh o m o g e n e o u sb e a m s s o ，b yu s i n gas h o o t i n gm e t h o dt h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fo r d i n a r yd i f 托r e n t i a le q u a t i o n sg o v e r n i n gt h ef r e ev i b r a t i o no ft h e f g mt i m o s h e n k o b e a m sw a ss o l v e da n dn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h en a t u r a l f r e q u e n c i e so ft h eb e a m sw i t hf i x e d - f i x e da n df i x e d f r e ee n d sa r eo b t a i n e d e f f e c t so f t h ep a r a m e t e rc h a r a c t e r i z i n gt h eg r a d e dv a r i a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e sa n dt h e s l e n d e m e s sr a t i oo nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa r ea n a l y z e d t h er e s u l t si n d i c a t et h a t n o n d i m e n s i o n a ln a t u r a lf r e q u e n c yd e c r e a s e sm o n o t o n o u s l yw i t ht h ei n c r e a s eo ft h e m a t e r i a lp a r a m e t e r sa n di n c r e a s ew i t ht h ei n c r e m e n ti nt h ev a l u eo ft h es l e n d e m e s s r a t i o 3 b e n d i n gs o l u t i o no fl o n g i t u d i n a l l yn o n u n i f b 珊e u l e rb e a m su n d e rs t a t i cl o a d w a so b t a i n e db yu s i n gd i f 佗r e n t i a lq u a d r a t u f em e t h o d ( d q m ) t h ec a s e st h a tb o t ht h e i i t h e s i sf o rm a s t e r sd e g r e e c r o s s - s e c t i o na n dt h ey o u n g sm o d u l u sv a r yc o n t i n u o u s l yw i t ht h ea x i a lc o o r d i n a t e w a sc o n s i d e r e d d i f 诧r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( d q m ) w a su s e dt ot r a n s f o mt h e f o u r t h o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dt h eb o u n d a r y c o n d i t i o n si nt e mo ft h ed e n e c t i o nt ol i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n si nt e m so ft h e d e n e c t i o na tt h ed i s c r e t ep o i n t ss ot h a tn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e mw a s o b t a i n e d n u m e r i c a ls o l u t i o nf o r t h ed e n e c t i o no ft h eb e a mw i t ht h ey o u n g s m o d u l u sa n dt h ec r o s s s e c t i o n sv a r yc o n t i n u o u s l yi nt h ea x i a lc o o r d i n a t eu n d e r u n i f o m l yd i s t r i b u t e ds t a t i cl o a dw a sa t t a i n e d t h er e s u l t ss h o wt h a tn o n s y m m e t r yo f t h em a t e r i a l g e o m e t r ya n di nm a t e r i a lp r o p e r t yd e n e c t i o nd i s t r i b u t i o n e x h i b i t s n o n - s y m m e t r ya b o u tt h em i d d l ep o i n to ft h en o n u n i f o 彻b e a m k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，e u l e rb e a m ，t i m o s h e n k ob e 锄，b e n d i n g ， b u c k l i n g ，f r e ev i b r a t i o n ，s i m i l a r i t yc o e f f i c i e n t l n 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：苁么 日期：乃降厂月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 礁乏 日 ，日 月月年年 7 7 扎罗 加 期期 j r r t 硕十学位论文 1 1 功能梯度材料介绍 第一章绪论 虽然功能梯度材料的概念是近些年才提出来的，但对功能梯度材料的应用， 中国人几千年前就开始了。早在三千年前，中国人就将功能梯度材料运用在钢的 冶炼当中，例如考古发掘出的钢剑，它的材料成分就具有从硬化的边缘到较韧的 内部的梯度转变。实际上，大自然中大多数动植物的组织结构材料都具有功能梯 度性，骨头和竹子就是一种梯度结构，使得该结构中最强单元承受最高的应力【lj 。 在2 0 世纪之前，尽管在学术研究上没有给出功能梯度材料的定义，但为了军 事目的，19 2 3 年德国人就已经研制出了首批硬质合金一陶瓷一金属复合材料；在 1 9 5 0 年，他们又研制成了氧化铝一铬陶瓷一金属复合材料，这种材料在高温下其 性能具有很高的稳定性。所以，功能梯度材料的实际应用早就开始了。 自19 世纪中叶以来，随着科学技术的发展，功能梯度材料在诸多领域都得到 了应用【2 】，在航空航天领域具有功能梯度涂层的热循环寿命明显高于无功能梯度 涂层的寿命【3 ，4 】；功能梯度涂层在航空涡轮发动机叶片上的应用使其具有优良的耐 磨性、耐蚀性和耐热性；在燃烧室内衬上的应用，提高了其耐磨性；在机械工程 领域【3 1 ，外硬内韧的梯度切削刀具有使用寿命长、切割效率高等优良的综合性能； 功能梯度材料在地质钻探工具上的应用，实现了地质钻探工具的高强度、高韧性、 高耐磨性的统一，目前正在修建的南京地铁的跨江水下隧道的成功贯通，与其盾 构机采用功能梯度材料制成的钻头是密不可分的；在生物工程领域1 5 】，功能梯度 生物体植入材料在植牙中的应用，使治愈时间缩短，齿根牢固，不易破坏；在人 工骨关节上的应用，使得假体与骨之间具有很强的结合力并耐用，表现出了良好 的生物相容性；在光、电、磁工程领域，梯度封接合金材料的应用，可以提高大 功率灯泡的使用寿命，功能梯度折射材料在大功率激光棒、复印机透射、光纤接 口中的应用，得到了较好的光电效应并缓和了热应力；功能梯度材料在磁盘、永 磁体、电磁体、振荡器上的应用，可减小体积和质量，提高性能；在能源及电气 工程领域【6 】，梯度耐辐射材料在核聚变反应器中的应用表现出良好的热应力松驰 效应，梯度热电能转换材料在探测器电源上的应用，使发电能力提高，而且不会 在高温情况下发生龟裂；对称梯度材料在高能热电源转换系统中也具有较好的应 用。 一 功能梯度材料作为材料学科的一个概念，直到1 9 7 2 年才由b e v e r 和d u w e z 进行了定义。从2 0 世纪5 0 年代到8 0 年代初，美国的几位学者对功能梯度复合材 料的应用进行了研究。19 8 4 年日本科学家【7 墙】首次提出按照使用要求在结构内部 功能梯度材料梁弯曲、屈曲和自由振动分析 非均匀、连续地合成材料的新概念，并通过特定的材料制备工艺将不同性能的两 种或两种以上的材料按一定的设计规律融合起来，使结构的两侧分别由性能各异 的材料组成以满足不同的使用要求，中间部分的结构组成则通过平滑且连续的变 化构成，从而使内部界面消失。由此得到一种全新的非均匀复合材料一一功能梯 度材料( f u n c t i o n a lg r a d e dm a t e r i a l s ，f g m ) 。上个世纪8 0 年代末到9 0 年代初，在 德国、瑞士、美国和俄罗斯等一些国家，f g m 的研究迅速成为材料学科研究最为 活跃的方向【”。我国也于l9 8 8 年开始了对f g m 的研究工作。 对功能梯度材料的初期研究，主要集中于材料的设计制备、机械性能和热学 性能的测试等方面。主要工作包括：日本1 9 8 7 年制定的有关f g m 的一项庞大计 划，研究重点是粉末冶金、化学或物理气相沉积法、等离子喷涂法和自蔓延高温 烧结合成法制备f g m ( 该项计划与1 9 9 1 年完成) 。此外，1 9 9 5 年在德国发起了 项六年国家协调计划，涉及大量实验室的参与，重点放在材料的制备上【l 】。其 制备方法主要有：气相沉积法、等离子喷涂法、粉末冶金法、激光法、电化学法、 自蔓延高温合成等方法。 与普通复合材料相比而言，功能梯度材料具有以下优点【l 】： 1 热应力值可减至最小，而且可以适宜地控制热应力达到峰值的临界位置， 由图1 1 所示： 2 对于给定的热机械载荷作用，推迟塑性屈服和失效的发生； 3 抑制自由边界与界面处的严重的应力集中和奇异性； 4 与突变的界面相比，可以提高不同材料( 如金属与陶瓷) 之间的界面结合 强度； 5 可以通过对界面的力学性能梯度进行调整来降低裂纹沿着或穿过界面扩展 的驱动力： 厚皮方向 。胸瓷材错 金属合套 厚度_ 雳向 图1 1 功能梯度材料结构和性能示意图 6 具有可设计性，可有针对性地改变各组份材料体积含量的空间分布规律， 从而达到优化结构内部应力分布的目的，且可以方便地在塑性材料基体上沉积厚 的脆性涂层。 一2 一 -i 爱零o簟冀誓c 一，一奠叠o ：、i一、r簧：簪誓0 q o r k囊一oo鑫：uq董。oc 簧一鼙一獬譬一-己|。oocoon)()()cb登 硕+ 学位论文 功能梯度材料最先被设计为宇航结构和熔合反应堆的热障材料。现在，功能 梯度材料被发展为一般的结构元件，尤其是在高温环境下。例如化工工业和核反 应堆。功能梯度材料同时被认为是未来高速太空飞行器的潜在结构材料。 1 2 功能梯度材料在工程中的应用与研究进展 为了满足人们对结构构件的各种的要求，理想的设计是：材料的性能应随其 在结构中的位置不同而发挥其特殊的作用。例如：齿轮的轮体部分要求具有很好 的韧性，而轮齿表面则必须坚硬耐磨；飞行器热障材料的主体必须高强度、高韧 性和抗蠕变，而它的外表必须耐热、热导率低和抗氧化。工程结构中许多关键构 件( 部件) ，因其特殊的工作环境和承受的荷载而对材料性能提出了相应的特殊要 求，常规材料很难符合这类要求。而对于一般的纤维或颗粒增强复合材料，在基 体和增强材料之间存在一个明显的物理性能不连续的界面。在结构承受较高水平 的机械或温度载荷时，通常会在界面上由于应力集中和材料缺陷而引起脱层破坏 或萌发裂纹，从而不能保证一些关键元件的可靠性要求【i 2 】。 功能梯度材料( f u n c t i o n a lg r a d e dm a t e r i a l s ，f g m s ) 就是为了消除纤维增强复 合材料中界面处力学性能的不连续而研究和设计的一种全新的非均匀复合材料。 f g m 是一种新型的具有微观非均匀性的材料，其力学性能可以随材料在结构中的 位置而进行平滑而连续的变化。这种性能的连续变化是通过逐渐地改变材料成分 的体积百分比而实现的【1 5 1 。f g m 以连续变化的组份梯度来代替突变界面，消除 了其物理性能的突变，使其构件中的应力集中降至最小。同时，它具有很好的可 设计性，可以通过优化方法有针对性的改变各组分材料体积含量的空间分布规律， 从而达到优化结构内部应力分布的目的。功能梯度材料因此而发展成为当前结构 材料领域中的重要主题之一。 由耐高温的高热阻陶瓷和高强度金属按特定体积含量复合而成的陶瓷- 金属 功能梯度材料，在高功率发动机内衬、航天飞机、火箭热障层、核反应堆等领域 具有广阔的应用前景【卜1 2 l 。这类功能梯度材料中的陶瓷成分以其较低的热传导率， 产生高温热阻抗；金属成分则因为其较高的强度和韧性防止了由于高温度梯度引 起的断裂破坏，因而具有良好的隔热性能及热应力缓和性能，可以在极高的温度 梯度下工作并能保持较好的力学性能，被认为是高热梯度环境中最有应用前景的 复合材料。 功能梯度材料是作为航空航天工业中特殊功能材料而开始研究的，由于其发 展时间较短，因此功能梯度材料与结构的力学研究大多集中于热应力、裂纹及优 化设计等方面。其它各力学分支的研究还存在不少空白与薄弱环节，特别是非线 性与非定常问题。另外，功能梯度材料参数与空间坐标有关，其控制方程是变系 数的，在数学上很难取得解析解，还存在大量富有挑战性的力学课题。 一3 一 功能梯度材料梁弯曲、屈曲和自由振动分析 1 3 国内外关于功能梯度材料梁的研究综述 由于功能梯度材料具有非常好的特殊性能( 如抗高温性、耐腐蚀、耐久性等) ， 所以，功能梯度材料将在一些特殊场合的结构工程中得到非常广泛的使用。例如， 航天器的骨架结构就是一个由功能梯度材料制成的杆系结构；各种隧道盾构机的 钻头也是由功能梯度材料制成的等等。 在关于功能梯度材料( f u n c t i o n a lg r a d e dm a t e r i a l ) 梁( 以后简称f g m 梁) 的研究中，马连生【1 3 】利用e u l e r b e m o u l l i 梁理论( e b t ) 、t i m o s h e n k o 梁理论( 一 阶理论，t b t ) 和r e d d y 三阶梁理论( r b t ) 之间，梁的特征值问题在数学上的相似 性，研究了不同梁理论之间特征值的关系，可以用于检验一阶和三阶梁理论下梁 数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。王东东，张灿辉，李庶林4 j 利用 了无网格法对e u l e r 梁进行了研究。校金友，张铎【1 5 】假设材料弹性模量为厚度的 指数函数，泊松比为常数。将任意横向载荷展开成f o u r i e r 级数形式，给出了一 种求解任意横向载荷作用下f g m 简支梁弯曲问题弹性理论解的解析法。对均布 力情况进行了求解。夏文婧，韩嵘f 】6 】研究了弯曲型梯度功能压电悬臂梁的弯曲特 性。基于弹性力学理论，得到了弯曲型梯度功能压电悬臂梁在受电场作用时关于 力和电场的解析解。p i o v a n 和s a m p a i o 【f7 】采用有限元法分析了功能梯度可伸长梁 的轴向振动问题。候瑞珀等【l8 】使用楔形梁法求解了变截面梁的弯曲问题。徐腾飞 等【”】使用f r o b e n i u s 法求解了变截面e u l e r 梁的振动频率与振型。朱勇涛、易传云 【2 0 j 采用单元分析的方法研究了变截面梁的弯剪振动，先将梁分成单元，然后对单 元进行受力分析和变形分析，得出梁弯曲的一般解。并给出了长宽比小于1o 的粗 短梁如齿轮轮齿的振动问题的一个简便实用的求解方法。 关于功能梯度结构动态响应的研究，n g 等人【2 ”首次讨论动力稳定性问题， 并涉及了不同的载荷条件；s h e r i n a nd o v 【2 2 】研究了功能梯度板在热冲击载荷作用 下的力学行为；l o y 等人【2 3 】分析了f g m 圆柱壳的振动问题，主要研究其固有频 率以及成分百分比含量对于固有频率的影响，结果表明，频率特性类似于均匀各 向同性圆柱壳的结果；p r a d h a n 等【2 4 1 研究了f g m 圆柱壳的在各种边界条件下的振 动问题。p r a k a s h 和g a n a p a t h i 【2 5 】用有限元法求解了非对称圆板的弯曲振动和热弹 稳定性问题，其中f g m 材料参数采用混合率模型。p a r k 和k i m 【2 6 】基于一阶剪切 板理论，研究了f g m 板的非线性热过屈曲和振动问题。 y a n g 和s h e n 【2 7 】基于r e d d y 三阶理论，研究了均匀热环境下一个初应力功能 梯度矩形板的自由和强迫振动问题；y a n g 和s h e n 【2 8 】还基于r e d d y 高阶理论，分 析了一个预加应力的功能梯度层合板的大振幅振动行为，该板由一个功能梯度层 以及两个分布在表面的压电层组成，在均匀热场、面内力以及外加于感应层上的 电压作用下，将板的初始应力状态以及振前变形问题首先通过求解一个非线性静 一4 一 硕十学位论文 态问题得到解决，然后将一个动态增量加到振前状态中，就得到了预加应力的功 能梯度层合板的非线性振动控制方程，文中采用了一个半解析方法对板的大振幅 振动特性进行了分析。h u a n g 和s h e n 【2 9 】基于高阶剪切板理论，研究了热环境中具 有压电激振器的功能梯度板的非线性振动和动力响应。k a d o l i 和g a n e s a n l 3 0 j 基于 一阶壳理论，研究了f g m 圆柱壳的线性热屈曲和自由振动；s u n d a r a r a j a n 等l 叭j 利用m o r i t a n a k a 方法近似材料参数，考虑一阶剪切和几何非线性研究了f g m 板在热环境下的自由振动；k i t i p o m c h a i 【3 2 】基于r e d d y 高阶剪切理论，考虑转动惯 量影响，用半解析法求解了具有初始几何缺陷的层合f g m 板振动问题。n i e 和 z h o n g 【”】基于三维弹性理论，联合使用状态空间法和微分求积法研究了功能梯度 圆板的自由振动和强迫振动。张晓日等【3 4 】利用有限h a n k e l 变换建立了状态空间 方程，研究了横观各向同性功能梯度压电材料圆板的自由振动，文中针对周边为 广义冈4 性滑动和广义简支两种边界条件下的自由振动问题进行了分析。 从现有的资料来看，近几年国内、外研究人员已在f g m 梁、板结构弯曲、 屈曲领域开展了许多重要的研究工作。传统的结构分析方法如级数展开法、渐进 展开法、r a y l e i g h r i t z 法、g a l e r k i n 法以及有限元等各种近似方法和数值方法在 该领域的研究中都得到了应用和发展。f g m 结构宏观力学行为方面的研究，已经 取得了很多新的研究成果。 1 4f g m s 的物理性能参数表征 1 4 1 等效物性参数 与均匀材料不同，f g m s 是一种非均匀复合材料，其物理性能参数是空间坐 标的函数。因此对f g m 结构进行力学分析时，必须首先确定材料在空间内变化 的物性参数。传统的细观力学分析方法首先引入一个代表性体积单元，它可以表 征材料的宏观特性，在每一个这样的单元内，组分材料及其微结构为均匀分布。 下面列出几种常见的用于研究f g m s 的细观力学模型： 1 混合律模型： v o i g h t 于1 8 8 9 年首先提出混合物法则，即根据材料各组成部分的力学性能 和体积分数来表达复合材料的力学性能，这一模型常称为经典的线性混合律模型。 其使用的前提条件是假设在变形过程中材料的物性参数和体积律具有相等的变化 规律。这是最简单的细观力学模型，即： 土 p = e 功能梯度材料梁弯曲、屈曲和自由振动分析 其中e 和分别为第种组份材料的材料物性参数和体积率，且有= 1 。 ，= l 该方法使用方便。l e e 和e r d o g e n 【35 1 ，f u k u i 等人【3 6 】以及m a r k w o r t h 和 s a u n d e r s 【3 7 】用该法分析了功能梯度材料的热弹性参数。本文的研究中也采用此方 法来计算f g m s 的等效物理性能参数。通过与解析解的对比得出该方法具有较高 的精度。 2 改进的混合律模型： w i l l i a m s o n 和d r a k e 等人【3 8 ，3 9 1 对v o i g t 线性混合律模型进行改进，用于预测 功能梯度材料的弹性模量和泊松比；s a s a k i 等人【4 0 】用k e m e r 法计算了功能梯度材 料的等效体积模量和剪切模量；t a n i g a w a 【4 1 】也采用该方法获得了功能梯度材料的 等效体积模量、剪切模量、热传导系数和热膨胀系数。 3m o r i t a n a k a 方法： m o r i t a n a k a 模型即平均场论模型。该模型是根据组成现对应的性能和体积 分数来评估材料的整体性能。此方法原本用于颗粒增强复合材料，近年来已用于 f g m 的性能计算。s u m i 和s u g a n o 【4 2 1 用这种方法求得了功能梯度材料的等效物性 参数；v e l 和b a t r a 【4 3 】采用该方法分析了f g m 板的三维瞬态热应力问题。 4 谐和平均混合物模型 谐和平均混合物模型也称r e u s s 模型，该模型与v o i 曲t 模型类似，其前提条 件为复合材料中的各个材料在受外力荷载作用时产生相同的应力。总的应变等于 各个材料产生的净应变之合。 此外还有自恰模型、相干势法等模型【2 1 ，这里不再一一赘述。 以上为采用传统细观力学理论建立的各种模型。是建立在组分材料以及微结 构为均匀分布的基础上的，只有在某一相组分材料的体积含量明显低于其它组分 材料的体积含量时才能保证有效。由于f g m 微结构的不均匀性以及组份材料体 积含量的大范围变化，真正适合于功能梯度材料特点的细观力学模型目前尚未建 立，还有待于人们继续探索和研究f 2 1 。 1 4 2 组分材料空间分布形式的近似描述 f g m 的模拟通常需要先假定其材料组成的空间分布。在考虑材料体积比在空 间的变化形式时，通常采用两种近似描述模型：体积比为空间坐标的连续函数模 型和分层均匀化模型。 1 连续函数模型 对于梁、板、壳等薄壁结构，其物性参数一般仅沿厚度方向连续变化，则可 一6 一 硕士学位论文 以假设其组份材料的体积比是厚度方向坐标z 的函数。在现有的研究中，多采用 幂函数型y ( z ) = ( 乞一z ) ( 乞一z 1 ) 4 或指数函数型( z ) = 心p 肛来描述某相成分的体 积比含量。对于指数函数型：e r d o g e n 【4 4 1 ，j i n 和n o d a 4 5 】等采用该模型分析了功能 梯度材料的热、力学行为。对于幂函数型：赵希淑曾采用幂函数模型【4 6 1 ，对梯度 材料在机械载荷作用下的裂纹问题进行了理论分析及数值计算；r e d d y 和c h i n 4 7 】 在对板和圆柱壳的分析中，分别使用了下面两个幂函数模型： m ，= ( 等) ”川垆( 嚣丁 刀是一个可变的参数，其值的大小决定材料组分曲线的曲率。只要合理选择刀值， 就可以改变材料组分曲线的曲率方向。 幂函数型和指数函数型这类连续性模型，均将功能梯度材料视为性能连续变 化的非均匀材料，这类模型由于忽略了细观结构的影响，但是使用较为方便，因而 被广泛应用于分析f g m 结构的力学响应，本文的研究中就采用了幂函数模型。 2 分层均匀化模型 对于薄壁结构可以假设功能梯度材料是由大量垂直于厚度方向的单层组成、 每一层的材料是均匀的，但相邻两单层的材料参数稍有不同，将结构沿厚度方向 离散为大量的单层时，可近似模拟f g m 结构【5 1 ，这时各单层的控制方程都成为常 系数的，利用边界条件及界面连续性条件即可求解，这种方法即为分层均匀化模 型。t a n i g a w a 等人【4 8 1 采用这种模型研究了f g m 板中的一维非定常热应力问题； 李永【5 】采用这种方法研究了f g m 梁、板、圆柱壳的动态热应力、弯曲和振动问题。 但分层均匀化模型也有其缺点：分层数较小导致数值结果不够精确；分层数很大 时，求解的计算量也会变得很大，这样计算工作既繁琐又容易导致数值误差。 3 其他模型 m a r k w o r t h 等采用了二次函数式来表达材料空间形式分布模型的形式。其形 式如下： ( x ) = 口o + 口i x + 口2 妒 式中，口0 、口。、口：是可变参数，其值有外加约束条件和优化过程本身决定。 该模型的出现为材料空间分布提供了一个更大范围的组成分布，与幂函数模型相 比该模型更易处理。 1 5 本文的研究目标 l 、首先，作为较为简单的问题，研究功能梯度e u l e r 梁在静载荷作用下的弯 一7 一 功能梯度材料梁弯曲、屈曲和自由振动分析 曲、屈曲和自由振动响应。基于e u l e r 梁变形基本理论建立材料性质横向以幂函 数连续变化的功能梯度材料细长梁的静力学和振动控制方程。通过理论分析和比 较，寻找均匀梁和非均匀梁的控制方程的相似性，将功能梯度材料梁的求解转化 为均匀梁的求解与相似转换系数的计算，从而为功能梯度e u l e r 梁的分析和求解 提供便捷的途径。 2 、在前面关于e u i e r 梁的研究基础上，考虑横向剪切变形的影响，迸一步分 析功能梯度t i m o s h e n k o 梁的静动态响应。在一阶剪切变形理论下，推导f g m t i m o s h e n k o 梁弯曲和振动的控制方程和边界条件。对于静态问题，仍然试图通过 寻找相似转换，将横向非均匀t i m o s h e n k o 梁的静态弯曲解用均匀梁的解表示，求 得相应的转换系数。对于自由振动问题，由于考虑了横向剪切和转动惯性力而不 便于寻求与均匀梁振动解的相似转换关系。因此，采用打靶法数值求解自由振动 对应的常微分方程边值问题，获得与功能梯度材料性质参数有关的固有频率数值 解，研究物理和几何参数对频率的影响规律。 3 、最后，采用微分求积法( d q m ) 【4 9 ，5 0 】研究轴向非均匀e u l e r 梁的静态弯 曲问题。考虑非均匀性是由截面积和尺寸连续改变和材料性质连续变化而引起的。 通过d q m 离散，将变系数的常微分方程两点边值问题转化为离散点未知量的代 数方程组，从而获得问题的数值解。 硕十学位论文 第二章功能梯度e u l e r 梁的静动态分析 2 1引言 功能梯度材料梁是一种特殊的非均匀材料梁。沿着厚度方向材料性质按某种 规律连续变化。通常是通过改变两种材料组份实现材料性质由一种材料到另一种 材料的连续过度。功能梯度梁是的材料性质在空间按梯度分布的非均匀性，导致 横截面上力学性能比均匀梁的更加复杂性。例如，由于弹性模量的横向梯度变化， 必然导致了梁受力后其横截面上应力变化的非线性。变形后，梁的中层不再是几 何中面，换句话说，几何中面内会发生面内变形。这给问题的分析和求解带来不 便。本章基于e u l e r 梁理论，分析功能梯度材料细长梁的静态弯曲、屈曲和自由 振动。通过分析和比较均匀e u l e r 梁和非均匀e u l e r 梁的控制方程，证明它们之间 的相似性，计算出相似转换参数，将非均匀梁的静动态问题的求解转化为均匀梁 的求解，最终又相似转换得到非均匀梁的解，从而极大地方便工程应用。 2 2 功能梯度e u l e r 梁的静力弯曲 考虑一长度为，的矩形截面梁。材料性质沿着厚度方向连续变化。截面宽度为 6 ，高为五。假设量的长度远大于横截面尺寸。忽略横向剪切变形，并且变形满 足直法线假设。设轴向纵坐标为x ，通过横截面的形心。横向坐标为z 。首先研 究梁在分布载荷作用下的静态弯曲问题。由e u l e r 梁的变形理论可得梁内任意一 点( x ，z ) 处的位移： “( x ，z ) = ( x ) 一z 翌导，w ( 石，z ) = w o ( x ) ( 2 1 ) 其中”。( 功，w o ( 功分别为轴线上一点的在石和z 方向的位移。于是可得几何方程： 以，z ) = 誓一z 警 ( 2 - 2 ) 假设材料为线弹性的，则可得应力 仃= 髓= e ( 誓一z 警) 亿3 ， 其中层= e ( z ) 为弹性模量，沿厚度呈梯度变化。这里假设弹性模量按下列幂函数 变化： 功能梯度材料梁弯曲、屈曲和臼由振动分析 一l - - _ _ - _ _ - _ - _ - _ l _ _ - - - i _ - i _ - - - _ _ _ _ l _ - _ - i i - - i 一 酢) = 易+ ( e 一剐( 扣) 4 ，刁= 云，圳2 z 驯2 ( 2 - 4 ) 其中玩= e ( 2 ) ，e = e ( 一j i l 2 ) ，它们分别为上表面和下表面的弹性模量。指数刀 为正的实数。显然，当咒= o 时层= e ，咒= o o 时e = e 。 由( 2 3 ) 可得横截面上的轴力和弯矩： = i l 仃拟= 4 誓一置警 ( 2 - 5 ) m = 仃枷= 最警一d l 警 ( 2 - 6 ) 其中4 为拉伸刚度系数，d l 为抗弯曲刚度系数，e 为拉一弯耦合刚度系数。这些 系数的定义分别为： 4 = i | 删，墨= i l 删，d l = z 2 蹦 ( 2 7 ) 将( 2 4 ) 代入( 2 7 ) ，并令口= k 一1 ，k = e 毛，积分可得 4 = 既办6 破，且= 瓦 2 坛，d l = 毛办3 6 欢 ( 2 - 8 ) 其中 纠+ 熹，唬= 一赢，织= 老+ 蒜揣 协9 ， 显然，对于均匀材料有包= e = e ，口= o ，这时就有4 = 尉，尽= o ，b = 日。 其中，= 砌3 1 2 为横截面的惯性矩。 考虑量的微分长度的平衡，可得平衡方程： 型：o( 2 1 0 ) 罂：垡 ( 2 - 1 1 ) 其中g 为横向分布载荷。将( 2 5 ) 、( 2 6 ) 式代入( 2 1 0 ) 和( 2 - 11 ) 可得用位移表示的平 衡平衡方程： 4 警一马等= 。 ( 2 - 1 2 ) 且警一d l 警= g ( 2 - 1 3 ) 将( 2 1 2 ) 再求导一次，代入( 2 1 3 ) 可得关于挠度w 0 ( x ) 的方程： 硕士学位论文 亟：一堡 砹d l b ：| a 采用无量纲燹抉： 一l ，w 刮l q = 茜 代入( 2 1 4 ) 可得无量纲方程： 警= - c q 其中 1 弘巧i 丽 这里，无量纲系数c 表示了功能梯度材料性质的横向非均匀性。 退化为均匀材料梁。如果我们求得了均匀材料e u l e r 梁的挠度， 得功能梯度材料量的挠度： = c 矿 由( 2 1 8 ) 式可知 ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 如果c = 1 ，则 则由( 2 - 1 6 ) 可 ( 2 - 1 8