（运筹学与控制论专业论文）依生灭过程索赔风险模型.pdf

上海大学博士学位论文 摘要 风险理论是对风险进行定量分析和预测的一般理论。在精算数学的范畴内， 破产理论是风险理论的核心内容。对破产理论的研究不但有其保险业中的实际 应用背景，同时也在数学上推动了对随机过程的研究。破产理论起源于l u n d b e r g c r a m 6 r 建立的经典风险模型，随着现代保险业的发展，经典破产理论的假定 和结论已不能满足风险经营安全性分析的要求。当代破产理论研究者从诸多方 面对经典破产理论进行拓广并获得了相应的成果，包括完全离散经典风险模型， 重尾分布破产理论，具有复合资产破产理论，多险种风险模型等。 本文考虑从索赔发生过程和多险种两个方面对经典风险模型进行若干拓 广，主要研究将索赔发生过程由p o i s s o n 过程拓广为纯生过程和生灭过程，以及 将单险种风险模型拓广为多险种风险模型。 在第一章中，简要回顾了破产理论的历史和发展概况，侧重介绍了l u n d b e r g c r a m 6 r 建立的p o i s s o n 经典风险模型，以及当前破产理论研究中若干具有代表 性的研究方向。 在第二章中，将p o i s s o n 经典风险模型拓广为依纯生过程索赔风险模型，建 立了关于条件生存概率序列的微积方程。在索赔额服从指数分布以及混合指数 分布的情形下，分别给出了依纯生过程索赔尾p o i s s o n 风险模型和n 一交替风险 模型的破产概率表达式。 在第三章中，建立了依生灭过程索赔两险种风险模型及其条件生存概率微 积方程，根据生灭过程的初始平稳分布导出了破产概率积分方程，并用广更新 方法研究给出了破产概率收敛速率的上界。 在第四章中，将依单一生灭过程索赔风险模型拓广为依相异生灭过程索赔 多险种风险模型，着重研究了两险种情形的破产概率积分方程和破产概率收敛 速率的上下界，并将两险种风险模型的相关结果推广到多险种风险模型。 关键词：风险模型，纯生过程，生灭过程，破产概率。 上海大学博士学位论文 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi st h eg e n e r a lt h e o r yt oq u a n t i t a t i v e l ya n a l y z ea n d p r e d i c tr i s k s i n t h ec a t e g o r yo fa c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，b a n k r u p t c yt h e o r yi st h ec o r ec o n t e n to fr i s k t h e o r y t h ec l a s s i c a lb a n k r u p t c yt h e o r yo r i g i n a t e df r o mt h el u n d b e r g 。c r a m e r c l a s s i c a lr i s km o d e l a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e m i n s u r a n c e ，t h ec l a s s i c a l b a n k r u p t c yt h e o r yc a n n o th a v es a t i s f i e dt h er e q u i r e m e n to fr i s km a n a g e m e n ts e c u r i t y a n a l y s i s c o n t e m p o r a r yr e s e a r c h e r sh a v em a d ee x t e n s i o n sf o rc l a s s i c a lb a n k r u p t c y t h e o r ya n do b t a i n e dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf r o ms e v e r a la s p e c t s ，i n c l u d i n gt h e f u l l y d i s c r e t ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，t h eb a n k r u p t c y t h e o r y w i t h h e a v y t a i l e d d i s t r i b u t i o n s ，t h eb a n k r u p t c yt h e o r yw i t h c o m p o s i t ea s s e t s ，a n dt h em u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l ，e t c i nt h i sp a p e r , s o m ee x t e n s i o n sf o rc l a s s i c a lr i s km o d e lh a v eb e e nm a d e t h e m a i nr e s e a r c hc o n t e n t si n c l u d et h a tt h ec l a i m so c c u r r e n c ep r o c e s sh a sb e e ne x t e n d e d f r o mp o i s s o np r o c e s st op u r eb i r t hp r o c e s so rb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ，a n dt h er i s k m o d e lh a sb e e n e x t e n d e df r o ms i n g l e t y p ei n s u r a n c et om u l t i t y p ei n s u r a n c e i nt h ef i r s tc h a p t e r , w er e v i e wt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fb a n k r u p t c y t h e o r yb r i e f l y ；i n t r o d u c et h ec r a m e r - l u n d b e r gc l a s s i c a lr i s km o d e l sa n dt h em a i n r e s e a r c hd i r e c t i o n so f b a n k r u p t c yt h e o r ya tp r e s e n t i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ec o n s t r u c tar i s km o d e lw i t hc l a i m sb yp u r eb i r t h p r o c e s sw h i c hi st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ep o i s s o nc l a s s i c a lr i s km o d e l ad i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h ec o n d i t i o n a ls u r v i v a l p r o b a b i l i t ys e q u e n c e si s o b t a i n e d t h es p e c i a lc a s e so ft a i l p o i s s o nr i s km o d e la n dn a l t e m a t er i s km o d e la r e s t u d i e da n dt h er u i np r o b a b i l i t i e so ft h ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e dc l a i m so rm i x e d e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e dc l a i m sa r eg o t i nt h et h i r dc h a p t e r , w ec o n s t r u c tar i s km o d e lw i t hc l a i m sb yb i r t ha n dd e a t h p r o c e s s ad i f f e r e n t i a ii n t e g r a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h ec o n d i t i o n a ls u r v i v a l p r o b a b i l i t ys e q u e n c e si so b t a i n e d a c c o r d i n gt ot h ei n i tla ls t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no f b i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ，强i n t e g r a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h er u i n p r o b a b i l i t yi s d e r i v e d t h eu p p e rb o u n do ft h er a t eo fc o n v e r g e n c eo fr u i np r o b a b i l i t yi s g o tb y g e n e r a l i z e dr e n e w a lm e t h o d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ec o n s t r u c tam u l t i t y p ei n s u r a n c er i s km o d e lw i t h c l a i m sb yd i f f e r e n tb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s e s t h ei n t e g r a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h e r u i np r o b a b i l i t yo fb i t y p ei n s u r a n c er i s km o d e lh a sb e e ns t u d i e d t h eu p p e rb o u n d a n dl o w e rb o u n do ft h er a t eo fc o n v e r g e n c eo fr u i np r o b a b i l i t ya r eg o t t h er e l e v a n t r e s u l t sa b o u tb i - t y p ei n s u r a n c er i s km o d e lh a v e b e e n g e n e r a l i z e dt om u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l k e yw o r d s ：r i s km o d e l ，p u r eb i r t hp r o c e s s ，b i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ，r u i np r o b a b i l i t y i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：麴堡兰 日期：竺晕兰：! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：彦坦2 z 日期：! 掣：兰：型 上海大学博一i ：学竹论文 第一章绪论 风险经营的安全性分析一直是金融保险行业关于风险管理的重要研究内 容。保险业能够在人类经济活动中得以安全运作，其经营原则是以数学特别是 概率统计中的相应原理和方法为基础的。随着现代社会经济和科学技术的高速 发展，保险业的经营安全性问题日益突出，对风险经营安全性分析的要求更加 迫切，促进了精算数学和风险理论研究的不断深入。在精算数学的范畴内，破 产理论作为风险理论的核心内容，成功地给出了关于保险公司经营风险的定量 描述和分析，已经成为风险经营安全性分析的最重要的手段之一。 1 1 破产理论研究发展概况1 】【8 1 自从1 9 0 3 年瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 发表研究破产问题的博士论文以来， 破产理论的形成和发展已经有了一百多年的历史。对破产理论的研究不但有其 保险业中的实际应用背景，同时也具有数学上的重要意义。l u n d b e r g 在论文中 首次提出了p o i s s o n 过程，推动了对随机过程的研究。以h a r a l dc r a m 6 r 为首的 瑞典s t o c k h o l m 学派按照现代数学的严格标准完善了l u n d b e r g 的工作，使其建 立在坚实的数学基础之上。并且从这一研究出发，发展了概率统计和随机过程 理论，为精算师处理实际保险问题提供了主要的分析工具。l u n d b e r g 和c r a m 6 r 的研究成果奠定了经典破产理论的基本定理。 c r a m 6 r 关于经典破产理论基本定理的证明在数学上是严格的，但其分析方 法比较繁冗。继c r a m 6 r 之后，w i l l i a mf e l l e r 1 0 】和h a n sg e r b e r t 在破产理论的 研究方法上作出了重大创新，分别采用更新方法和鞅方法对l u n d b e r g c r a m 图 经典破产理论的基本定理给出了简洁的证明，这两种方法己成为当代研究破产 理论的主要数学工具。同时，g e r b e r 及其合作者深化了经典破产理论的研究内 容，将索赔总额过程从经典破产理论的复合p o i s s o n 过程推广到广义复合p o i s s o n 过程和带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过程，并将经典破产理论主要围绕破产概率 上海大学博士学位论文 的研究扩展到对破产前瞬时盈余和破产时赤字的研究2 羽，更好地刻划了保险公 司破产风险的概率规律。 随着现代保险业的发展，经典风险模型的假定和结论已经不能满足风险经 营安全性分析的要求。当代破产理论的研究者从诸多方面对经典破产理论进行 了拓广，衍生出不少新的研究方向，其中具有代表性的有： ( 1 ) 完全离散的经典风险模型【1 2 1 f 1 3 1 【1 6 1 【2 3 1 经典风险模型基本上都是关于连续时问的，完全离散的经典风险模型则假 定在每单位时间始端征收单位保费，由前n 个单位时间内索赔次数n ( n ) 构成的 随机过程 ( ，7 ) k 。是参数为p ( o ，1 ) 的二项序列，索赔额序列 以，剧是仅取正 整数值的独立同分布随机变量序列，且与 ( ，7 ) ) 蒯相互独立。完全离散的经典 风险模型几乎具有与连续时间经典风险模型相对应的全部结果，并且对于任意 的个体索赔额分布，均可得到关于破产风险诸概率规律的显式解。 ( 2 ) 重尾分布的破产理论( 2 7 】【2 8 】【3 3 1 1 6 3 】 经典破产理论的一个基本假定是调节系数存在，这也是应用更新方法和鞅 方法的必要条件。调节系数存在的前提是个体索赔额分布的矩母函数在包含原 点的某个邻域内收敛，这相当于保险公司经营“小索赔”业务的情形。但在风 暴险，地震险，拱水险等巨灾险种“大索赔”的情形下，由于个体索赔额分布 为重尾分布，调节系数往往不存在。因此，关于重尾分布的破产理论研究需要 采用新的数学工具。p a u le m b r e c h t s 和c l a u d i ak i u p p e i b e r g 等运用亚指数分布等 理论和方法在这方面开展了较系统的研究。 ( 3 ) 具有复合资产的破产理论【5 3 j 【5 4 1 1 5 5 】【5 6 】 在经典破产理论研究中，保费率是固定不变的，既不考虑利率变化的因素， 也不随瞬时盈余的多寡而调整，同时也不涉及资产的投资收益。近年来，对具 有投资收益的破产理论研究已有所进展，但主要还是集中在确定性的投资收益 方面。p a u l s e n ，d i c k s o n 和w a t e r s 开展了对具有随机投资收益的破产理论的研 上海大学博士学俯论文 究，建立了带有随机保费收入以及由随机干扰产生收入或赔付的风险模型。由 于这方面的研究需要随机分析等高深知识，并且不易得到经典破产理论那样漂 亮的结果，因而目前还未成为研究的主流方向。 ( 4 ) 多险种的风险模型【1 9 】【2 0 】【2 1 】【5 7 1 经典破产理论研究的是单险种的风险模型。随着现代保险业经营规模的不 断扩大，险种也日趋多元化，故多险种的风险模型将更适合现代风险经营安全 性分析的实际需要。由于在多险种的风险模型中，各险种的索赔过程需用不同 的随机过程描述，并且各险种有着不同的索赔额分布，甚至不同的索赔过程还 可能是相关的，这使得数学上的处理相当困难，因此有关多险种的风险模型研 究成果还不多见。近年来，国内破产理论研究者王汉兴、蒋志明、曾霭林等分 别研究了两险种的p o i s s o n 风险模型，两险种的三项分布风险模型，两险种的 c o x 风险模型以及多维风险模型 1 2 经典破产理论简介8 】 本文将从索赔发生过程和多险种两个方面对经典风险模型给予若干拓广。 为此，首先对经典破产理论作一简要介绍。 l u n d b e r g - c r a m 朗经典风险模型 设保险公司的初始准备金为z f ，按连续时间收取保费且保费率为c ，到时 刻f 为止发生的索赔次数为( ，) ，第后次索赔额为鼻，i 后帅) ，则到时刻 r 为止的索赔总额为 根据保险公司在时刻，的盈余 n ( t ) s ( f ) = 以 ，( ，) u ( t ) = u + c t - z ，0 建立的数学模型称为l u n d b e r g - c r a m 网经典风险模型。 上海大：学博士学位论文 经典风险模型的基本假定 ( 1 ) 独立性假定 经典风险模型假定索赔发生过程 ( f ) ) 脚是强度为五的p o i s s o n 过程，索 赔额序列 k ) 描为独立同分布的正随机变量序列，并且 ( ，) 脚与 五 捌相 互独立。记索赔额置的分布函数和期望为 尸( x ) = 尸( 鼍x ) ，x 0 。 p = e 心k 、) = 鬟浒 则到时刻，为止索赔总额s ( t ) 的期望为 厂n ( t 、 e ( s ( ，) ) = e i | e ( ( f ) ) e ( 咒) = 舡， k = l ( 2 ) 安全负载假定 保险公司出于经营上的安全考虑，要求对于任意， 0 ，到时刻，为止的保 费收入“大于索赔总额的期望舡，即( c 一舡) f 0 。为此，经典风险模型假 定c = ( 1 + j ；d ) 舡，其中 p ：c - 2 # 0 = 舡 称p 为相对安全负载。 ( 3 ) 调节系数假定 经典风险模型假定个体索赔额的矩母函数 峨( 厂) = e ( e 吖) = f p “伊( 砷= l + 厂r 。p 7 。户( x ) c t x 在包含原点的某邻域内收敛，并且方程 峨( r ) = i + 署， 存存正根尺。 由于m 、( ，) 在其收敛域内是严格递增凸函数，并且尸= 0 是方程的一个恨， 故正根尺若存在则必唯。称r 为调节系数，其意义是使得 4 上海大学博士学位论文 丢r p 卅讯) 出= - 从而( z ) ：尘e 触户o ) ，工o 是一密度函数。 经典风险模型的基本定理 当保险公司某时刻的盈余出现负值时，称保险公司“破产”。定义保险公司 的破产时刻为 r = i n f ，：u ( ，) 0 ，使得对破产概率有 少( z ，) c e 一砌，“一 一l i m 。( u ) c = l e h-+a) 一t ” l u n d b e r g 与c r a m 嗣的研究结果表明：当初始准备金为0 时，破产概率仅依 赖于相对安全负载p ，而与索赔额服从何种分布无关。当初始准备金充分大时， 保险公司在经营“小索赔”保险业务的情形下，破产是不易发生的。 5 上海大学陋士学f t 论文 1 3 生灭过程相关知识2 】【4 i 1 5 j 本文主要研究将经典风险模型索赔发生的p o i s s o n 过程拓广为时齐马氏链 中的纯生过程和生灭过程。为此，对相关的概念及理论作一简要说明。 定义1 设随机过程 z ) 脚的状态空间为z = 0 ，1 ，2 ，) ，若v 只，0 ；i ，j z 及x ( “) z ，0 u 0 则称 z 脚不可约。 定义3 设( 一 脚为时齐马氏链，若对于，z ，有 e p 。( t ) d t = o o 则称i 为常返状态，否则称i 为非常返状态。 对于常返状态i ，当! 一i m p ( t ) 0 1 对，称为正常返；当! i n 。 胁( ，) = o 时，称 为零常返。 定理1 不可约时齐马氏链的所有状态具有相同的常返性，均为常返或均为非常 返；并且存常返的情况下，均为正常返或均为零常返。 定理2 设 一) 脚为时齐马氏链，则v i ，j z ，有 ( i ) 旷l 圳i r a 竿存在，川； 6 上海大学博士学他论文 ( 2 ) 研= = l 川i m 半存在或无穷大。 定义4 对于时齐马氏链 一) 脚，称q ，为由状态i 转移到状态的转移速率，称 q = ( 劬) u 。z 为转移速率矩阵或密度矩阵。若v i z ，有 则称密度矩阵q 为保守的。 研= 研， 御的平稳分布。 定义7 设 z ) 脚为时齐马氏链，b ，( ，) 为转移概率。若h 充分小时，有 n ，+ i ( 矗) = 丑厅+ d ( 办) ，五0 ，i 0 b ，一i ( 厅) = l a , h + d ( 厅) ，l a j 0 ，i 1 只，( 办) = l 一( 五十“) 厅+ d ( 向) ，风= 0 ，i 0 尼肋) = o ( 历) ， f o i - i l i 则称 一 脚为生灭过程。特别地，当h = 0 ，i 1 时，称 置) 脚为纯生过程。 对于生灭过程 z ) ， 。，有吼，+ = 五，i 0 ；吼川= 肛，i i ；研= 一仍，= 以+ “， 上海了i 学博士学忙论丈 胁= 0 ，i 0 ，其他q ，= 0 ，故密度矩阵q 是保守的。并且当q 1 ，+ i 0 ，q i h 0 时， 生灭过程 z 脚不可约。 定理3 不可约生灭过程 z ，脚存在平稳分布万= ( 乃) 佗z 的充分必要条件是 争! ! 堡：旦= ! ! 2 记m ( ，) = e ( ( ，) ) ，称r e ( t ) 为更新函数。 定理4 设 ( m 御为更新过程，则对于更新函数r e ( t ) ，有 r e ( t ) = f a t ) 0 0 ，v t 0 叻华= ，= n 卵i t 0，_ + o f o 定理5 ( 关键更新定理) 设f ( ) 为非负随机变量的分布函数，f ( o ) 0 ，i 0 ，其他毋，= 0 ，i , j z ，则称 x ( ，) ) 为纯生过程。 设( q ，只，) 是一完备概率空间， x ( ，) 脚是z = o ，l ，2 ，) 上的纯生过程， 五) 是一独立同分布正随机序列，其中z 。的分布函数为f ( ) ，满足f ( 0 ) = o ； 均值为口。并且假设 x ( f ) ) 御和 乙 捌是相互独立的。 设常数c 0 ，令 s o = 0 s = i n f ( ， 鼠一i ：x ( f ) ( s 1 ) ， 刀l n ( t ) = s u p 玎：瓯t ) n ( t y ( t ) = c t - 乙，f o 膏= i 称随机过程 ，( ，) ，。是索赔发生过程为纯生过程的风险模型。简称为依纯生过 程索赔风险模型。 依纯生过程索赔风险模型以盈余过程 】，( ，) ，：。描述保险公司的风险经营过 程。当吼= g ，f ，ez 时，纯生过程即为p o i s s o n 过程，故依纯生过程索赔风险 模型将p o i s s o n 风险模型的索赔发生过程拓广为一般的纯生过程。 对于依纯生过程索赔风险模型，若存在正整数m ，使得吼= g ，f ，m ， 则称其为依纯生过程索赔尾p o i s s o n 风险模型，简称为尾p o i s s o n 风险模型。若 存在正整数，使得g ，= 研+ 。，i 0 ，则称其为依纯生过程索赔! 1 - - 交替风险模 型，简称为 一交替风险模型。 设“0 ，i z ，令 ( z ，) = p ( u + ，( f ) 0 ) 缈( 甜) = l 一( z ，) ”( z ，) = 尸( z ，+ l ，( f ) o ix ( o ) = ，) 仍( z f ) = l 一”( “) 称沙( z f ) 为初始准备金为u 的破产概率，c o ( u ) 为生存概率；称”( “) 为在初始状 态x ( o ) = f 下的条件破产概率，c o , ( u ) 为条件生存概率。 上海大学博士学位论文 2 3 生存概率方程 本节应用随机序列的一个简单结果，证明了依纯生过程索赔风险模型的条 件破产概率”( 甜) 关于q ，的单调性，并给出了彬( 甜) 与p o i s s o n 风险模型破产概 率的关系。通过应用马氏链的向后微分技巧，建立了关于条件生存概率序列 仍( z ，) ) ，：。的微积方程和积分方程。 引理2 1 设鼻( ) ，e ( ) 是两个连续分布函数，x 的分布函数为巧( ) ，则 1 ) y = 巧( 巧( x ) ) 的分布函数为e ( ) 。 2 ) 若丘( x ) 露( 力，则对于】，= 巧( 正( x ) ) ，有】，x 。 证明：1 ) 记y = 巧1 ( 鼻( x ) ) 的分布函数为e ( ) ，则 e ( 工) = 尸( 】，x ) = 尸( 巧( 巧( y ) ) x ) = p ( 石( x ) e ( x ) ) = 尸( 巧- 1 ( 五( z ) ) ) = e ( 曩一( 巧o ) ) ) = 互( x ) 2 ) 若是 ) 霞 ) ，则f a x ) 鼻 ) ，从而巧1 ( ) 曩一( ) ，故有 】，= 巧1 ( 巧( 柳) 巧叫( 鼻( x ) ) = x 定理2 1 对于依纯生过程索赔风险模型的条件破产概率彬( u ) ，有 1 ) 若l i mq = 虿 0 ，则 l i m 彬( “) = 0 ，i z 2 ) 若l i mq k = q 0 ，且c - a q 。s 川o ) ：( ，) x ( 砖1 ) ) ， 力l ，( f ) = s u p 行：砖n ，j 由假设条件， v s 0 ，j 疗i ，当1 1 7 i + n 时，有吼。虿+ g 。 设 引 川是一独立同分布随机序列，其共同分布是以虿+ g 为参数的指数 分布。由初始状态x ( o ) = ，可知( 最) = i + n 故有 1 2 上海大学博士学侍论文 尸( 曩引 s ) = p 叫升5 p 叫札p = 尸( 跣+ ，一生 s ) ，k l 由引理2 1 ，可设露引g 生+ 。一爱幺，k 1 ，令 则当f 充分大时，有 m ( f ) = s u p 刀：巧5 f ，t o 注意到! + i m 。n ( t ) = 佃，故有 n , ( t ) - n m ( ，一是”) 1im塑：liml(i-9小芝乙) o o t i - - 4 o ， = 吖 ：c 一! 受上( 窆z i + 竺乙) t ” 、置，：z i 叫 一酷( 兰乙，拶乙) t ”、百蒿 7 ：c - i i m 生登丝! 掣! i - - ，e o l t s ：1 = c 一口( 万+ s ) 在上式中令s 一0 ，可得 i i m 盟c - t r 虿 0 i - - - o o ， 因此存在时刻t ，当， t 时，恒有川) 0 。由于在( o ，7 内仅有有限个索赔 发生，故i n f y ( t ) ：t 0 ) 砌，从而 l i m ( “+ 】，( ，) ) = + ，口p i t z 由此推知l i m ( “) = 0 ，i z 。 + 2 ) 由假设条件，v 0 ，3 刀i ，当朋 j + 刀时，有q k q + 6 。 设 碍引 捌是一独立同分布随机序列，其共同分布是以g + 占为参数的指数 分布，则有 尸( 趟 s ) = p - 2 竹n2 p - 仉+ “”= 尸( 碟：+ t + 1 一碳? 。t s ) ， 七l 由引理2 i ，可设硝辚：+ 一殴：+ 。，k l 。令 ，乙 一南 上海大学博士学俯论文 则当t 充分大时，有 故有 m ( f ) = s u p 玎： ( ，) 一玎豌( ，一砖) l i r ay ，( t ) = 酷t ( 卅警乙) ，- + 。， o _ + ”、 = 叫 一 骢( 善乙+ 磐) 一l i m l ( z ：。z s + r 警 = c l i m t s 攀 ，_ ” f = c a ( q + s ) 在上式中令s 一0 ，可得 z ，1 ，0 华铲矗菇亨乙 l s ： n s ( 1 - s ：? 、) 暑 l i m 塑c 一口虿 0 = 哪，由此推知彬( z ，) = i ，v u 0 ，i z 。 定理2 2 依纯生过程索赔风险模型的条件破产概率彬( z ，) 关于q ，单调，即 1 ) 若研吼+ l ， 贝0 彬( z ，) + i ( “) ，i 0 ，“0 ； 2 ) 若q ，吼+ i ，贝0 ( z f ) 彬+ i ( “) ，i 0 ，z ，0 。 证明：参照定理2 1 的证明，定义醭，刀0 ，i z ，以及m ( ，) ，0 。 1 ) 若c , 研+ 。，则v k 1 ，有 尸( 蹬n l 一霹o s ) = p - 钆d 8sp - 。s = p ( ：一爱“” s ) 由引理2 i ，可设9 2 一g n - - 一g k h + l 一霹“，k 1 ，由此可得+ ，( ，) ，( ，) ，于是 m ( ，1h + i i t ) u + e l - - z k 0 ，则 l i m 妙( 五， 乙 ；“) = ( 彳， z ： ；4 ) 证明：记相应于破产概率缈( 五， z k ) ；“) 的索赔发生过程为 m ( ，) ) 脚，力l ，其 强度为以；相应于破产概率( 彳， 乙 ；z f ) 的索赔发生过程为 ( ，) 脚，其强度 为五，贝0v k z ，f 0 ，有 一l i m 。尸( i ( ，) = 七) = 。l i r a 吲2 - - 羔 ke - 4 , i = 蔷p = 尸( ) = 后) 故虬( ，) 依分布收敛于n ( t ) ，从而v t , ，2 ；z ，) 定理2 3 设依纯生过程索赔风险模型的索赔额序列为 乙l 纠，初始准备金为“。 若l i r a q ，= q 0 ，则对于条件破产概率 ( “) ，有 ， l i r a l 彤( “) = ( g ， 乙) ；“) ， 上海大学博士学位论文 证明：由假设条件，对于v 0 ，当，充分大时，有q - - 6 0 时，有仍( 佃) = 1 ，i z ，此时依纯生过程索赔 l 风险模型的条件生存概率满足微分方程 炽卅卜詈) 蜘) 一孚咖) _ _ 挚 仍( + ) ：l ，( o ) ：盟够( o ) ，i z 2 索赔额服从混合指数分布：设索赔额分布函数为 ，0 ) = l q p 一扯一p 一缸，z 0 ，q 0 ， 0 ，q + 呸= l 代入微积方程( 1 ) 得 ( = 詈( 仍( ) 一f 仍+ l ( 一z ) ( e - z + o r 2 五e - , z ) 沈) 令x = 甜一z ，可得 ( 3 ) 得理整导求边两式 上oz 、j 够 研一c l i 、j 有故 t - 海大学博士学付论文 ) = 詈仍( “) 一詈( 丑p 一 “r 纵。( x 弦 。出+ 口：五p _ “r 纵。( x 弦协出) 故有( o ) 2 詈够( o ) ，7 z 。上式两边求导整理得 袱“) ：盟( 甜) 一旦( 口。a + 口：五) 够+ 。( ”) cc + 詈( 砰p _ ”r 够“x ) p 小出+ 哆p 呐“r 仍+ i ( x 弦枷出) = ( 詈一五) ( 甜) + 警五够 ) 一詈( 喁五+ 呸五) 纪“