（机械电子工程专业论文）灰色系统和时间序列分析在机车轴承故障预测中的应用研究.pdf

摘要 摘要 本文针对当前机车视情维修中存在的技术问题，开展故障预测方 法研究。以灰色系统理论和时问序列分析为工具，建立机车轴承故障 预测模型。本文的主要成果与结论是： 1 总结机械故障预测技术的发展状况，分析了预测模型在故障预 报中的重要作用。探讨了常用的预测模型的优缺点和适用范围。指出 多参数预测和组合预测在机械故障预报中的重要意义。 2 深入研究了灰色模型的建模机理和适用范围。针对灰色 g m ( 1 ，1 ) 模型的不足，探讨了一系列改进灰色模型。其中，灰色多变 量预测模型一m g m ( 1 ，n ) 模型从系统的角度对多个诊断指标进行统 一描述，能较好地描述机械故障的发展。本 a b s t r a c t t h et e c h n i q u eo ff a u l t p r e d i c t i o n i ss t u d j e di nv i e wo fc o n d i t i o n _ b a s e d m a j n t e a n c eo fl o c o m o t i v e s t h ef o r e c a s tm o d e l so fl o c 。m o t i v eb e a r i n gf a u i t sa r e p r e s e n t e db ym e a n so fg r e ys y s 把ml h r ya n dt i m es e r j e sa n a j y s i s t h ec o n b u t j o n s a n dc o n c l u s i o n sa r em a d ea sf b 儿o w s ： 1 a no v c r v i e w a n dc l a s s 擅c a “o no ff a u np r e d i c c i 咖t e c h n j q u e si nm a c h i n e r y s y s t e m si sp 碥s e n t e d ，t h ei m p o n a n c e0 fa p p l i e dm o d e l i n ga p p r o a c h e si nf a u l t f o r e c a s ti si n t r o d u c e d e m p h a s i si sf o c u s e do nt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so f l h ec o n v e n i 曲a lf o r e c a s “n gm o d e 】s t h es u i a b l er a n g ea | l d8 p p l i c a 虹彻so fm e s e m o d e l sa r ea l s os h o w n f u r t h e r i n o f e ，t h e 掣e a ti m p o n a n c eo fm u l t i v a r i a b l ef o r e c a s t m o d e la n dc o m b i n e df o r e c a s tm o d e li sd j s c u s s e d 2 1 1 l em e c h a n i s m 卸d 叩p 撕o nf i e i d so fg m ( 1 ，1 ) m o d e l i ss t u d e d i na c c o r d a n c e w i 山t h es h o n i ：o m i n go fg m ( 1 ，1 ) f n o d e l ，s e v e r a lj m p r o v e dg r e ym o d e l sa r cd i s c u s s e d 1 m em u l 诅r i a b l eg 砧ym o d e 】- m g m ( 1 ， ) c 衄d e s c r i b ec h ec h a n g e sj ne a c h d j 靶m o s 虹ci n d e xf i d mt h ev i e w so fs y s t e m s ，t h e r e f o f ei ti ss u i t a b l el oq u a n t i f yt h e f a l i l t sd c v c l 叩m c n t t h ee 骶c 廿v e n e s si ss h o w n b ye x p e r i m e n t su s i n gm l l i l l ge l e m e n i b e 曲g s 3 i h et i m es e t i e sm o d e li s 柚a l y z e d s i n c ea rm o d e li ss u i 协b l ef o rd e s c r i b i “g 山e s a t i o n a f yr 柚d o mp f o c e s sa n dg r e ym o d e lj sg o o da tf o r e c a s i n ge “d e n ci n c m 舔i n g v a r i a t i o n s ， i ti sa p p r o p r i a t ei ob u i l dc o m b i n e df o r c c a s tm o d e lu s i n gl h e a b o v e m 即i i o 鹏dm o d e l s t h e r ea r ev a r i o u st r e n d si nm 扯h i n e r yf a u nd c v e l o p m e n t ， s oh 噜h e ra c c u f a c yc o u l da c h i c v eb yp e f 缸i n gt l l ef a u 王tq u 锄虹f i c a t i o ni nt e r 玲o f c o 瑚山i n e df o r e c a s tl n o d e l 4 b a s e do nt l i ej n v c s f j g a “仰sm e n t i o n e da b o v e ，柏i f e l 珏g e n cd i a 鲫o s 出s y s 把mi s d e v e l o p e da n ds u c c e s s f u l l y 印p l i e dt ol h ef a u l ld i 8 9 1 1 0 s i sa n dp r e d i c o no fb e 撕n g s 洫a ne l c c t r i cl o c o m o v ed e p o t t h ef e s u l t ss h o wt 1 1 es y s t c mi sa d v a n c e da n dr e l i a b l e k e y w o r d s ：f a u l tp r c d i c t i o l i ，c o m b i n e d f o r e c a s tm o d c lm u l t i v a r i a b l ef o r e c a s tm od e l ， l o c o m o t i v e ，r o 儿i n ge l e m e n tb e a r i n g 北京交通大学硕士学位论文 第1 章绪论 加，至少是振动特征的改变，因而被广泛用于监测机械的运行状况【1 0 】。 从振动信号中可以提取很多反映机械工况的特征参数，并对这些特征 参数进行跟踪，进而做出故障预测。振动监测是普遍采用的基本方法。 当机械内部发生异常时，一般都会随之出现振动波形的相应变化，如 波形变尖、振动加剧、幅值升高等。因此，可以通过对这些振动波形 的特征参数进行跟踪和预测，从而实现对机械设备运行状态及潜在故 障的预测。 另一种常用的设备状态监测方法是油样分析法。机械设备循环油 液中包含了与系统工作状态直接有关的大量信息。在任何机械系统 中，伴随相接触金属零件的相对运动，都会发生磨损。由于运动件的 表面磨损，就会产生磨屑微粒，并进入机械的润滑系统中，这些微小 的磨损颗粒带来了机械设备实效和故障的重要信息。通过跟踪分析润 滑油中的金属成分和含量，可以判断磨损部件和磨损程度。油液髓测 适用于低速重载、环境恶劣( 如噪声大、振动源多、外界干扰明显) 、 往复运动和采用液体或半液体润滑剂且以磨损为主要失效形式的设 备监测。由于油液监测装置成本较高，且只适用于闭式机构的故障监 测，因此其应用范围受到一定的限制。 本文通过采集滚动轴承的振动信号，对滚动轴承的故障发展趋势 作出预测，取得了比较好的效果。 1 3 我国机车的运用维修 目前，我国机车的检修工艺主要是以时间为基础的定期维修，它 以使用时间或运行里程作为检修期限1 1 l l 。这种维修方式在一定程度上 保证了机车运行的安全性，但也存在一些问题。一是部件频繁地大拆 大卸对其可靠性及使用寿命无益反而有害。有的部件不拆时可以使 用，拆了就必须更新，如轴承、橡胶垫等。有的部件由于设备、技术 等原因，经过拆卸再组装后质景、性能下降，甚至报废。二是运用条 件的差异对部件状态影响较大。同一型号的机车车辆，由于运用区段 曲线、坡道、牵引定数、限制速度等运行条件的不同，其部件状态随 4 北京交通大学硕士学位论文 第l 章绪论 时间变化情况有较大差异【1 2 l 。所以视情维修更合理。 随着我国铁路事业的发展，其维修管理也将做相应的调整。铁道 部提出了大力发展电力机车车辆及其主要零件的技术性能、工作可靠 性和使用寿命的战略方案旧。因此将视情维修应用于机车滚动轴承这 类关键性部件是铁路发展的需要。这种以故障预测为基础的预知性维 修为机车轴承检修的发展提供了一种新的思路。这种维修方式，可以 充分发挥轴承的工作潜力，减少维修工作量和人为差错，提高工作效 率和经济效益。机车轴承故障预测将成为机车现代化管理中的重要一 环，将成为机车轴承示情维修的技术核心。 1 4 本文研究工作 本课题旨在研究建立在视情维修基础上的，基于预测模型的故障 预测系统。具体研究内容如下： 1 本文研究了故障预测技术，由于故障预测的核心是故障预测模 型，因此，在综合分析大量预测模型的基础上，根据故障预测对象的 需要，着重研究了时间序列模型和灰色模型。 2 重点研究了时间序列模型中的a r 模型和灰色模型中的m g m ( 1 一) 模型，并提出将组合预报模型应用于滚动轴承的故障预测，以适 应滚动轴承故障特征参数的变化兼具趋势性与波动性的特点。 3 开发了一套故障监测系统用于机车段修现场，专用于机车滚动 轴承的故障诊断与预测。 4 试验验证了该系统对于滚动轴承的各类早期故障具有较好的 预测效果。 5 北京交通大学硕士学位论文第2 章故障预测方法综述 第2 章故障预测方法综述 2 1 常用预测模型 故障预测的核心是建立符合实际的预测模型。随着对故障预测技 术研究的不断深入，人们将各种先进的系统分析理论应用于故障预 测。目前，常用的故障预测方法有很多，其中按模型分可分为曲线拟 合预测模型、时间序列预测模型、k a l m 眦滤波预测模型、灰色预测模 型、神经网络预测模型、模糊预测模型等。本章对上述预测模型分别 作简要介绍。 2 1 1 曲线拟合四 曲线拟合是一种最简单的预测模型。通过构造一个近似函数，使 其与实测数据的偏差为最小，计算其中的参数即可得曲线的数学表达 式，通过曲线外推的方法可进行机械工况预测。用特征参数的曲线拟 合方法进行设备状态预测的方法如下： 1 输入数据： 包括用于报警的阈值，用于回归拟合的特征参数值 置，( f = 1 ，2 ， ) ，通常要求n 2 0 。 2 曲线拟合： 为了用一条曲线来拟合或平滑数据置，工：，以( 实际值) ，通常用 最小二乘法对数据拟合为二次曲线，即假设相对劣化参数 墨，工：，吒( 理论值) 的变化规律符合二次曲线 薯l 口牢+ 6 + c( 2 - 1 ) 式中，口、6 和c 为常数，t 为x ，对应的时间。令残差平方和为最小， 用最小二乘法求得参数口、6 和c 。这种方法原理简单、实施方便，常 用于一些简单装置的监控系统中，但该方法预测误差通常较大。 6 北京交通大学硕上学位论文 第2 章故障预测方法综述 2 1 2 时问序列模型3 】 状态监测中最常使用并且有效的预测方法是利用时序模型进行 状态预测。时序分析主要是指采用参数模型对观测得到的有序随机数 据进行分析的一种处理方法。时序模型反映了不同时刻观测值的相关 性，即状态变化的“惯性”。这种惯性现象实际上反映了设备运行状 态的变化趋势。 如果把设备某项状态变化的时间序列看作一个随机序列 矗 ，将 已有的观测值作为样本，那么所需要做的工作就是利用样本数据建立 时序模型。时间序列a r m a ( a u t o r e g r e s s i v em o v i i i ga e r a g c ) 模型，特 别是a r 模型，是时序分析中最基本的、也是实际应用晟广的参数模 型。a r m a 模型的一般形式为 一= 菩帆一一慷，m ( 2 2 ) 一2 三锻薯一i 一2 r q 一，+ q 【厶矽 式中， t 为按一定“时间”顺序排列的一系列信号观测( 采样) 值； q 为对应的观测噪声序列； 锻 为自回归系数； 口， 为滑动平均系数； m ，n 为模型阶次。 a r m a 0 妒) 的意义为：将观察值x ，表示为f 时刻以前的，1 个观察 值z 。一一。以及m 个随机干扰的线性组合，其权值因子即为自回归参 数及滑动平均参数。 若( 2 - 2 ) 式中，岛- 1 ，b o ，f 一1 ，2 ，m ，贝0 - 孵+ i 帕。 ( 2 - 3 ) 面 上式描述了这样一种序列，即观测值工可以表示成过去若干时刻 观测值和当前时刻观测噪声的线性组合。工，对一一，的这种依赖关系称 为自回归，即a u t o r e 伊e s s i v e ，相应( 2 3 ) 式被称为自回归模型，简称 a r 模型。 7 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预测方法综述 对于一个具有某种规律的序列，序列观测值之间的内在联系凝聚 在模型参数m 。尼，够，一，确定后，便可以用当前及历史观测值 t ，。，一。对设备的未来状态t + ，进行预测。 由于a r m a 伽妒) 模型定阶复杂，计算时间长不便于预测，于是人 们将其简化为a r ( 一) 模型，具有建模简单，计算快速等优点。高阶a r 模型可以拟合a r m a 模型，且可用于非线性预测。 大量研究表明，a r 模型的自回归参数对状态变化规律反映最敏 感，因此采用a r 模型的自回归参数作为特征向量来分析系统的状态 变化应该是十分有效的。但由于a r 模型预测方法是建立在平稳随机 过程假设的基础上的。对于实际运行设备的状态参数，一般得不到线 性平稳的时间序列，尤其故障发生时更是如此。因而时间序列模型的 应用范围受到限制。针对旋转机械振动信号具有循环平稳性的特点， 文献【1 7 】提出了时变a r 模型，不仅可以检测早期碰摩故障，还能预 报未知故障，丰富了故障预报模型。 2 1 3k a i m a n 滤波模型1 k a l m a i i 滤波是一种用于对含有随机扰动的动态系统的最优状态 估值过程。更准确地讲，勋l m a n 滤波器是一种从受噪声干扰的观测信 号中，对被观测系统的状态进行统计估值的方法，由于它同时得到了 系统的预报方程，因此在预报领域也得到大量的应用。 砌l 1 i n 锄滤波器以线性、无偏、最小方差为准则递推估值，是一种 最佳线性估计器，具有较好的关于模型不确定性的鲁棒性，以及极强 的关于突变状态的跟踪能力。采用勋l l l l 粕滤波器对测量数据进行处 理，可以在基本上不增加计算量的情况下明显地提高辨识精度，与其 它方法相比，具有计算量小，预报精度高的特点。 但是k a l m 锄滤波器也有其局限性，只能用于线性系统。虽然扩展的 k a l m 孤滤波器能用到非线性系统中，但它关于模型不确定性的鲁棒性 很差，而且在系统达到平稳状态时，将丧失对突变状态的跟踪能力。 为了克服k a l m a n 滤波器对非线性系统进行故障预报的问题，人们研 8 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预月i 方法综述 究出了一些改进的k a l m a n 滤波器【1 3 1 ，如：基于强跟踪滤波器的自适 应故障预报方法，强跟踪滤波器是一种自适应滤波器，它同时估计状 态和时变参数。因此，这种方法能够对具有时变参数的非线性系统进 行故障预报。而且这种方法具有一定的关于模型不确定性的鲁棒性， 即使在系统含有未知噪声的情况下，仍然具有较强的预报能力。 2 1 4 灰色模型 灰色模型是一种应用较为广泛的预测模型，该模型预测的基础是 次色系统理论。灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。 由于相关信息不充分、欠完整、不确定的系统大量存在，使得灰色预 测模型在农业、气象、经济、交通、工业等许多领域获得了成功的应 用【1 ”。 由于影响机械设备工作状况的因素很多，其中既有确定性因素又 有非确定性因素，即“灰色”。因此，灰色模型适用于机械故障的预 测【1 8 1 【19 1 。目前，g m ( 1 ，1 ) 模型是最常用的灰色预测模型【2 0 】，它通过一 个变量的一阶微分方程揭示数列的发展规律。有关研究表明，g m ( 1 ，1 1 模型适用于具有相对确定性规律的数列，如加速发展的机械故障。而 对于随机序列，则不宜采用g m ( 1 ，1 ) 模型。此外，g m ( 1 ，1 ) 模型用于短 期预测效果比较好；在中、长期预测中应慎用【2 1 l 。 针对传统g m ( 1 ，1 ) 模型的局限性，人们在预测精度和适用范围方 面展开深入研究，提出了许多模型改进的方法，其中比较典型的有： 1 新陈代谢g m ( 1 ，1 ) 模型i2 2 1 。 利用g m ( 1 ，1 ) 模型适用于短期预测的特点，通过不断加入新信息 去掉老信息的方法，使建模序列更能反映系统当前的特征；同时避免 数据量过大、提高预测精度、减少所占内存和计算量，可用于机械设 备实施在线实时监控。 2 离散g m ( 1 ，1 ) 模型一d g m ( 1 ，1 ) 模型1 2 3 1 。 9 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预测方法缘述 在实际运用中，有时用灰色模型进行预测的效果并不十分理想， 缺乏稳定性。如g m ( 1 ，1 ) 模型是指数拟合曲线，但用纯指数序列进行 拟合时，却往往难以取得满意的拟合效果。有关人员在对g m n ，1 ) 模 型进行深入研究后发现，g m ( 1 ，1 ) 模型存在的缺陷来自建模机理，即 预测时从离散形式到连续形式的直接跳跃，从而导致在作长期预测或 发展系数较大时预测精度降低【1 2 1 ，甚至导致预测结果无法接受。离散 灰色预测模型，成功地解决了灰色模型预测的稳定性问题，将g m ( 1 ，1 ) 模型精确化。有关研究表明，机械设备的劣化曲线接近指数曲线，因 此，d g m ( 1 ，1 ) 模型在机械故障预报方面有很好的应用前景。 2 1 5 人工神经网络模型 近几年来，人工神经网络在时间序列预测中得到广泛关注。神经 网络用于预测有很多优点i 洲，不需要建立反映系统物理规律的数学模 型，比其它方法更能容忍噪声，而且具有极强的非线性映射能力。 神经网络可以作为“预测器”，即利用神经网络把时间序列的历 史数据映射到未来数据；也可以把神经网络作为“组合器”【吲，即基 于神经网络的组合预报模型，出神经网络给出常规预报方法的最佳组 合。同传统的非线性组合预报相比，神经网络组合预报模型在提高预 报精度的同时不需对摸型结构作限制，优势突出【御。 目前，机械故障预测中常用的人工神经网络有： 1 b p 网络 b p 网络的学习算法以其较为简单、清晰、有效的优点，得到了广 泛的应用。在机械故障预测方面早有成功的应用【2 7 删。针对b p 算法 存在收敛速度较慢和容易陷入局部极小点的问题，又相继出现了一些 改进的b p 网络模型。如：遗传算法与b p 两络的组合模型l 冽，采用 遗传算法优化网络权值的方法，将b p 网络由一个静态的系统转变为 一个开放的自学习系统，克服了b p 算法局部收敛的缺点，并有效地 提高了网络训练速度，达到在线应用的需要。模糊算法与b p 网络的 组合模型【蚓【3 ，这种网络模型综合了模糊逻辑和神经网络两者的优 点，由面向控制和决策的模糊神经元所构成。引入补偿模糊神经元， 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预测方法综述 使网络容错性更高，系统更稳定，通过实例分析，该模型具有学习速 度快、学习过程稳定、预测精度高等特点，具有较强的实用性。 2 自组织特征映射网络( s o m l 自组织映射神经网络由一个输入层和一个分布在二维平面上的 输出层组成。该模型神经元列阵全互连，即每个神经元接受的外部输 入都是一样的，它有两种权值：一种是神经元对外部输入反应的权值； 另一种是神经元间的连接强度，控制着网络神经元相互作用的大小， 其值可以为零。当外部输入出现时，网络的每个神经元都同时工作。 网络采用胜者优先的学习机制，选出的一个神经元网络训练好后，当 同样的模式出现时，某个神经元将兴奋起来，表示该神经元认识了这 个模式。这种思想来源于人脑内的感觉映射。 s o m 网络具有很好的样本聚类和模式识别能力，加之无导师的自 学习方式，在机械故障模式识别和故障预测中获得了广泛的应用【3 2 l 。 总之，人工神经网络具有较强的非线性映射能力，能逼近任意非 线性函数，因而能较好地反映出机械设备实际工作状态的发展趋势与 状态信号的关系。同时，人工神经网络能进行多参数、多步预报，在 故障预测方面具有很好的应用前景。 2 1 6 模糊模型 模糊模型1 3 3 j 是除人工神经网络模型之外的又一种重要的非线性 映射模型。在模糊故障预测中，模糊知识的表示方法借用故障一症状 之间的隶属关系，建立相应的模糊关系矩阵。这一过程也就是利用模 糊集合理论与模糊逻辑关系，根据系统输入与输出数据辨识系统模糊 模型的过程。模糊模型在处理复杂系统的大时滞、时变及非线性方面， 显示出它的优越性。近年来，随着模糊理论的深入研究，模糊模型在 故障预测中得到了越来越多的应用。模糊模型的最大特点是其模糊规 则库可以直接利用专家知识构造，因而能够充分利用、有效处理专家 的语言知识和经验，而且一个适当设计的模糊逻辑系统可以在任意精 度上逼近某个给定的非线性函数。 模糊模型适用于对复杂系统的预测，但由于模糊预测系统还处于 ” 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预测方法综述 研究阶段，有些问题还需着重解决。在模糊预测系统中，由于静态知 识库无法反映设备零部件的失效过程，使得故障预测系统的知识表达 不具有时间参数，没有实时控制的特性，从而削弱了方法的实用性。 还需要深入研究动态知识库的建造技术。为了提高预测精度，预测结 果的处理方法与择优规则是未来决策系统研究的重点。 总之，单独用模糊模型进行故障预测还不多见。由于模糊模型是 一种半定量方法，在表述知识和推理方面有其独到之处。因此，一般 把模糊模型与其它模型相结合，以期得到更好的效果。例如将模糊模 型与神经网络相结创3 4 1 ，可以在神经网络框架下引入定性知识。这种 网络结合了模糊方法与神经网络的优势，较一般神经网络具有更大的 针对性。也有将模糊模型与灰色模型相结合1 1 9 1 ，拓展了g m ( 1 ，1 ) 模型 的适用范围。 2 1 7 支持向量机 支持向量机( s u p p o r tv e c t o rm a c h i i i e ，s v m ) 是2 0 世纪9 0 年代迅速 发展起来的一种基于统计学习理论的机器学习算法，其出色的学习性 能，在小样本、非线性、高维问题及泛化能力方面表现突出。s v m 在 形式上类似多层前向网络，能自动解决网络结构问题，引申出的支持 向量回归( s u p p o nv e c t o rr e 掣e s s i o n ，s v r ) ，可用于预测。在电力负荷 短期预测的突出表现i ”j ，使s v r 在时间序列预测中得到广泛的应用， 且已经成功用于机械赦障预测f 挣3 甜。 s v m 的核心思想是通过引入非线性映射函数，将原始模式空间映 射到更高维的特征空间，在特征空间中构造最优分类超平面，并将低 维空间中的非线性问题转化为高维空间中的线性问题。s v m 的训练等 价于求解一个二次规划问题，任意解均为全局最优解，不存在局部极 值任意解均为全局最优解，不存在局部极 北京交通大学硕士学位论文 第2 章故障预测方法综述 2 2 多变量预测与组合预测模型 2 2 1 多变量预测模型删 上述的大部分预测模型都有一个明显的不足之处，就是只考虑一 个特征参数或单独考虑几个特征参数的发展变化，缺乏对各特征参数 的统一考虑。而实际中的系统往往包含多个变量，各变量相互关联、 共同发展。这时，每一个变量的发展变化都不是孤立的，一个变量要 受到其他变量的影响，同时也影响着其它变量。为了可靠地监测机械 的运行状况并准确地预测机械的寿命，必须同时使用多个特征参数， 描述不同类型的故障及其不同的发展阶段。因而单独使用几个单参数 模型预测，效果可能不够理想，而应考虑采用多变量预测模型【删。 神经网络是非参数模型，由于它特有的结构特点，因此在多变量 趋势分析方面有其独到之处，并取得了较好的预测效果。在多参数 故障预测方面也具有良好的应用前景【4 2 1 。本文重点研究多变量灰色预 测模型m g m ( 1 ，竹) 模型，通过联立求解超个开元微分方程，使模 型中的参数能够反映实际工程中多个变量问相互影响、相互制约的关 系。应用m g m ( 1 ，1 ) 模型对机械故障进行预测，从系统的角度对各指 标进行统一描述。试验表明m g m ( 1 ，n ) 模型非常适合量化故障的发展 和确定机器的状况l 一。 2 2 2 组合预测模型 在机械系统故障的发展过程中，既有确定性趋势，又有随机性趋 势1 4 3 j ，特别是早期的微弱故障更是如此。因此，为了提高预测精度。 可采用组合预测模型。组合预测模型由于具有信息利用充分、精度高 等特点1 4 5 】【删而受到重视，成为近年来人们研究的热点之一。 组合预测就是采用一定的手段，对多种预测进行有机合成。它能 够十分有效地利用多种有用信息，更为全面地反映系统的变化规律。 组合预测可以避免单一模型丢失信息的缺憾，减少随机性，提高预测 精度。 北京交通大学硕士学位论文 第3 章灰色模型预测 3 3 2 灰色模型的建立 g m q l ) 模型是一种常用的灰色模型，该模型是由一个变量的一 阶微分方程所构成，用于单个时间序列的动态预测。这种模型要求建 模数据应同号，且波动不大。其中“同号”是指同为正数或同为负数， 若序列异号，则需通过一定的预处理来满足同号的建模要求。它通过 一个变量的一阶微分方程揭示数列的发展规律，用最小二乘法求解模 型参数【矧。其建模过程如下： 设原始序列 x o ao 唧( 1 ) ，x o ( 2 ) ，并o ( n ) ) 一次累加生成序列 x 1 一0 1 ( 1 ) ，工1 ( 2 ) ，工1 ) ) 其中 x o ) = z 一一聃- ，m 取 z ( t ( t ) 。一三o ( t ) + x ( ”( j | 一1 ) ) ；k ：2 ，3 ，n ( 3 6 ) 为背景值。 g m 化1 ) 模型的基本形式为： x o ( 七) + t z 1 ( 七) 一“( 3 7 ) 上式被称为灰色微分方程。 称 掣+ 甜m ( f ) 。“ ( 3 8 ) d f 。 为灰色微分方程的白化方程，求解( 3 8 ) 式得 z ( 1 o ) 。k o ( o ) 一兰* 一口+ 兰( 3 9 ) 离散化形式为 北京交通大学硬士学位论文 第3 章灰色模型预测 并o + 1 ) 。【z 1 ( 0 ) 一竺p “+ 兰( 3 1 0 ) 口口 通过灰色微分方程解的形式可以看出，灰色模型是一种指数拟合 的形式。有关研究表明，g q 1 ) 适用于具有相对确定性规律的数列， 如加速发展的机械故障。 用最小二乘法进行参数估计得： 五- 【口，“】7 篁( b 曰) 1 曰7 l ：( 3 1 1 ) 其中：口为发展系数； “为灰作用量( 也称内生变量) ； b =( 3 1 2 ) k = 【x o ( 2 ) ，石o ( 3 ) ，x o ( n ) 】( 3 1 3 ) 最后经过一阶累减还原得预测值为： i 笔；：高一一”。一。 c 3 - ， 预测实例见图3 2 ，“号表示原始数据，绿色曲线表示拟合与 预测曲线： 图3 2 滚动轴承灰色拟合与预测 2 0 1 1 1 l l 劲现，吐，；，l 吖 北京交通大学硕士学位论文 第3 章灰色模型预测 上面预测示例中原始数据为处理后的滚动轴承时域特征参数，时 间间隔为8 小时前5 个数据用于建模，最后一个数据用于检验模型预 测精度。通过以上示例可以看出，灰色模型的拟合和预测精度都是较 高的。 3 3 3 灰色模型的适用范围 g m ( 1 ，1 ) 模型是有一定的适用范围的，通过灰色微分方程解的形 式可以看出，灰色模型是一种指数拟合的形式。大量研究结果表明， g ( 1 ，1 ) 适用于具有相对确定性规律的数列，如加速发展的机械故障。 另外，有关资料表明，随着发展系数a 的增大，模拟误差将迅速增大， 当a 小于0 3 时，模拟精度可以达到9 8 以上；当a 小于0 5 时，模拟 精度可以达到9 5 以上；当n 大于1 时，模拟精度低于8 0 ；当a 大 于1 5 时，模拟精度低于5 0 ；而当川2 时，g m ( l 1 ) 模型无意义”。 建立灰色模型不需要大量数据，少到只有三四个数据就可以建立模 型。而同时，这也是灰色模型的一个缺点，在对数据量较大的序列进 行拟合预测时，往往效果不佳。而且对于随机序列，也不宜采用 g m ( 1 ，1 ) 模型。 3 4 灰色模型的发展 由于灰色理论是一门刚刚诞生的学科，理论体系还不完善，还存 在一些有待于进一步研究的问题。近年来，随着人们对灰色模型研究 的不断深入，针对传统灰色模型的局限性，又出现了很多改进的灰色 模型【5 ”。如新陈代谢g m ( 1 ，1 ) 模型、d g m q l ) 模型、 f g m n n ) 模型 以及组合灰色模型等。 北京交通大学硕上学位论文第3 章灰色模型预测 3 ，4 1 灰色新陈代谢模型 由于g m ( 1 ，1 ) 模型预测的几何图形是一条较为平滑的曲线，因而 在数据量较大且含有随机噪声的情况下，如果从始至终只用一种 g m 仉1 ) 模型对数据进行拟合和预测，就很难满足系统动态时变性的 需要，也就很难达到满意的预测效果。而从时序的角度或从灰色系统 理论的观点来分析，系统的状态主要取决于系统近期的状态，而系统 过去较长时间的状态对于系统的影响并不大，甚至可以不予考虑。 新陈代谢g 他1 ) 模型，针对g m 但1 ) 模型适用于短期预测的特 点，通过不断加入新息去掉老息的方法，较好地弥补了6 m n l ) 预测 的动态时变性。使建模序列更能反映系统在目前的特征；同时避免数 据量过大、提高预测精度、减少所占内存和计算薰，可用于机械设备 实施在线实时监控。 这里通过对全国1 9 7 2 。1 9 8 2 年电视机产量的数据进行拟合和预测 来比较新陈代谢g m 化1 ) 模型与传统g m m l ) 模型的区别，预测结果见 图3 - 3 和表3 2 ： 匿3 0 q 新陈代谢模塑预测 图3 - 3 西g m ( 1 ，1 ) 模型预测 图3 - 3 两种模型拟合与预测的比较 表3 - 2 两种模型拟合与预测的比较 序号原始值“新”模型值 相对误差( )g m ( 1 ，1 ) 模型值相对误差( ) 1 3 2 3 3 2 3 0 003 2 30 26 ，9 46 6 7 7 43 7 82 3 7 82 4 2 5 9 3 1 0 8 71 0 6 3 3 9 2 1 73 & 3 62 5 2 9 6 41 7 7 】6 9 3 4 74 3 26 1 9 12 4 9 7 8 51 8 1 32 6 9 6 8 84 8 7 59 9 9 04 5 1 0 4 6 2 8 0 52 3 6 1 1 6 1 5 81 6 1 2 l4 7 4 7 4 74 7 73 4 6 3 3 02 8 9 92 6 0 1 54 3 3 4 l 8 1 3 2 1 4 7 5 8 2 4 84 2 6 24 1 9 7 92 1 7 6 9 92 4 7 9 22 2 1 4 6 5 01 0 6 76 7 7 4 l1 7 3 2 4 1 05 1 7 44 6 5 4 5 8 11 0 0 41 0 9 3 1 11 1 1 2 7 1 15 5 3 7 48 9 6 8 1 2 56 1 9 62 & 4 6 4 22 1 8 5 5 通过新陈代谢模型和g m ( 1 ，1 ) 模型预测实例可以看出，对于数据 量较大且指数规律不强的数列，应用新陈代谢g m q l ) 模型进行拟合 和预测会取得比较好的效果。 北京交通大学硕士学位论文第3 章获色模型预测 3 4 2 离散灰色模型 离散灰色模型，也称d g m n l ) 模型。由于g m n l ) 模型在实际运 用中，预测的效果有时并不十分理想，缺乏稳定性。虽然g m n l ) 模 型是指数拟合曲线，但有时用纯指数序列进行拟合时，却难以取得满 意的效果。正如前文灰色6 m ( 1 ，1 ) 模型的适用范围中提到，其发展系 数口是有一定限制的：川2 ，即如果对指数序列进行拟合，其底数 不能太大，否则拟合误差将会很大。 例如图3 4 和3 5 所示，用g m 仉d 模型对底数大于2 的指数序列 进行拟合时，已明显跟不上原序列的发展变化趋势。 图3 4 g m ( 1 ，1 ) 拟合底数为2 的指数序列 图3 - s g m ( 1 ，1 ) 拟合底数为4 的指数序列 下面根据g m ( 1 ，1 ) 模型在预测中遇到的问题，从建模机理出 发，对其进行分析和讨论。 北京交通大学硕士学位论文 第3 章灰色模型预溯 1 g m ( 1 ，1 ) 模型存在的问题 引用前文中的公式( 3 - 7 ) 和( 3 8 ) ，我们称 x o ( 七) + n z 1 ( 七) “( 3 7 ) 为g m q l ) 模型的基本形式；称 生兽+ 仳( - 均。 ( 3 固 出 、1 为g m ( 1 ，1 ) 模型的白化形式。 g m q l ) 模型建模存在的问题是式( 3 - 7 ) 是离散方程而式( 3 8 ) 是连 续方程，我们在预测时将( 3 7 ) 式求得的参数代入式( 3 8 ) 中，从离散形 式到连续形式的直接跳跃if是问题所在。2 dgjm(1，1)建模与预测【20】 dgm(1，1)模型针对例1)存在的问题，将(3墙)式的导数形式改 为差分形式。其模型形式为： 工1 ( 七+ 1 ) 一岛工”( ) + 以( 3 - 1 5 ) 按最小二乘法解参数声= ( 肛，岛) 7 得：声_ ( 曰7 b ) 一1 曰7 y( 3 1 6 ) 其中 k - 【x 1 ( 2 ) ，算1 ( 3 ) ，工1 ( n ) r( 3 - 1 7 ) 北京交通大学硕士学位论文第3 章灰色模型预测 下面对( 3 2 1 ) 式和( 3 - 2 2 ) 式作一下比较，将e 。和辟用麦克劳林公 式展开，得 e = 1 一n + 蔷一鲁+ + ( 一1 ) “箸+ 。“) ( 3 2 4 ) 2131 、7 一! 、7 届。崽小口( 1 _ 兰墨+ ”州r 争坤“) 小口+ 譬 ( 卅“等坤“) ( 3 2 5 ) 若只考虑前四项，则 令差值= p 一层，则 。一。1 一口+ 嬖一嬖 ( 3 2 6 ) 26 、 纠譬一手 p z ， a e 一一岛- 譬+ 等 。- 2 对应于不同的口值，取值如下表 表3 - 3 差值分柝表 口值o 10 2- 0 3 1 o 5 i - o 8 1 1 h 0 0 c 1 0 0 8 3o 0 0 0 6 6 7 o 0 0 2 5 l o 0 1 0 4 1 7 i o 0 4 2 6 7 1 o 0 8 3 3 3 因此。当口取值很小时，岛一e 一，则式( 3 - 1 9 ) 变为 北京交通大学硕士学位论文 第3 章灰色模型预测 彭” + 1 ) ；町( 1 ) 群+ 拦譬( 1 一群) - ( 1 ) 群+ 兰鲁危，t - 1 ，2 ，一一1 ( 3 2 9 ) 形式与( 3 2 2 ) 式完全相同。因此，d g m q l ) 模型与6 m “1 ) 模型可 以认为是同一模型的不同表达方式，在n 取值较小时可以相互替代。 有关研究表明，机械设备的劣化曲线接近指数曲线。因此，离散 灰色模型在机械故障预报中具有很好的应用前景。 3 4 3 初值修正灰色模型 初值灰色模型是针对传统灰色模型在预测中存在的问题提出的 另一种改进的灰色模型。 在应用g m 扎1 ) 模型进行预测时，发现有些预测明显失效。如对 全国1 9 7 2 1 9 8 2 年电视机产量的数据进行拟合和预测的结果，如下图 所示，点表示原始数据，实线表示6 ( 1 ，1 ) 模型拟合与预测的数据： 图3 - 8g m ( 1 ，1 ) 模型拟台与预测结果 从图中可以看出，拟合与预测的误差都相当大。经分析，发现这 是由于在解微分方程( 3 8 ) 时将重” ) 一x m ( 1 ) - x 。1 ( 1 ) 作为己知条 北京交通大学硕士学位论文 第3 _ 章灰色模型预测 则( 3 - 3 1 ) 式可记为 爿幂 上式的连续时间响应为 1 1 ，口1 2 ，口h 4 2 1 ，口2 2 ，。，口2 n m ，2 ，口 月 口；慨，6 2 ，吮) 譬肛( 1 ) + 口 ( 3 - 3 6 ) d f 石1 = p m z 1 ( 0 ) + 爿一1 0 巾一归( 3 - 3 7 ) 其中 矿小m + 丢“一，+ 砉鲁 p s s ， 21 白七! 、7 为辨识参数a 和b ，将( 3 2 ) 离散化得到： ) 2 喜詈。? 罅) + 石；1 一1 ) ) + 岛 ( 3 3 9 ) f = 1 ，2 ，n ；七= 2 ，3 ，小 记q = ( 口n ，q ：，包) ，f - 1 ，2 ，n 则由最小二乘法得到口；的辨 识值a 。 a ；( r l ) 。1 r v ( 3 - 4 0 ) 其中三；( 厶，厶，j ，一，1 ) 北京交通大学硕士学位_ 论文 第3 章灰色模型预测 工= 0 尹( 2 ) + 工5 ”( 1 ) ) 2 o 烈3 ) + f ( 2 ) ) 2 ： j o 咖) + 弓”伽一1 ”2 vt 嘣町( 2 ) o ( 3 ) ，毫o ( 历) ) 7 则得爿和口的辨识值二和雪 爿昌 q l ，4 1 2 ，4 h 口2 1 ，口2 2 ，口2 矗n 1 ，4 n 2 ，口 佑m ( 1 ，月) 模型的计算值为 ：b ； 吨 6 2 ： 玩 r 一雪1 仲) = 一耻1 z 1 ( 1 ) + - 一1 0 【一”一，) 雪，| i = 1 ，2 ， i 1 f 一1 ，2 ，m 翟t ； 理删“d 星蓟划蠢。弱薛。g i 誉孵翟”强“竖强骢。 蒌式妻廷琶影尝禹扭w 洛崩跨彗听曼i 摹婆鸯薹譬囊。= 薹誉。 箬蠡鹱萤妻砉。囊；薹嘉妻藿磊斡基膂露翳名崔镭翰羹楠y 吲尚 鹃甏若! 墓譬薹霪等睁= 萋囊囊翼麓爹。二霉鼍一薹萋鬟篓零辅 a 囊毯复葵辩镑，的形= 斧薹则 塑塑；屈， l + o 5 4 1上；8 1 + o 5 口 。 堡。l l 一反 ( 3 2 1 ) 下面对伽n 1 ) 模型和d g | i f q l ) 模型的预测方程进行比较，对于 6 m ( 1 ，1 ) 模型的预测方程，将( 3 - 1 0 ) 式改写为： 圣( 1 ( 七十1 ) 互并( o ( i ) e 一础+ 兰( 1 一e 一础) ，七= 1 ，2 ，n( 3 2 2 ) 将d g m q l ) 模型的预测方程( 3 1 5 ) ，递推得： 邶+ 1 ) 一删( 1 ) + 器舫m 2 ，卅( 3 - 2 3 )卅( 3 - 2 3 ) x 北京交通大学硕士学位论史 一 第4 章组合模型预涮 升高意味着模型参数增多，则导致计算误差增大，这是不利的一面。 因此，综合这两方面的影响，应该存在一个较为合适的阶次。 模型定阶的方法有很多种，如f 准则、f p e 准则、b i c 准则等。 不过这些准则在实际建模时也只是一个参考，实际中最常用且有效的 方法就是试算法，阶次的选定，还要在实践中对所得到的结果作多次 比较后，再予以确定，本文所用的就是这种定阶法。 3 模型参数求解 a r 模型预测的质量同其参数估计方法具有很大的关系。普遍认为 b u r g 算法是一种较好的算法。这种算法除了便于应用各种准则定阶 外，实践证明，其给出的预测效果也比较好。下面对a r 模型的b u r g 算法作简要介绍。 设a r 模型为p 阶，p 7 为前向预测误差，矿为后向预测误差，t 。 为反射系数，以为预测误差功率。为简明起见，( 4 - 1 )