（计算数学专业论文）有阻尼sinegordon方程的几个差分格式.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文对有阻尼的s i n e - - g o r d o n 方程构造了几个绝对稳定的差分格式。对于 一维情形，第二章构造了三个差分格式，精度为o ( r 2 + h 2 ) ，第一个格式不需要 迭代，直接解一三对角方程组，第二、第三个格式需要用所谓的“追赶迭代法” 进行迭代求解，并分析了其迭代收敛性，最后用离散范函分析的方法证明了其收 敛性与稳定性，数值结果表明本章的格式是有效的和稳定的；第三章构造了两个 紧致差分格式，其中第二个格式需要迭代求解，并证明了其收敛性，此类格式能 够用较少的点得到较高的精度，从而降低了达到同阶精度时所需要的计算量，并 证明了其精度为o ( r2 + h 4 ) ，数值结果比第二章的三个格式有了较大幅度的提高， 但计算量并无明显增加，用离散范函分析的方法证明了其收敛性与稳定性。对于 二维情形，为了降低计算的复杂性，构造了一个交替方向隐格式，其精度为 o ( r 2 + h 2 ) ，有效的降低了计算量并保持了一般隐式方法所据有的精度及稳定性， 并引入两个参数n ，托，在保持原有精度不变的情况下，通过不同参数的选取可 使格式达到较好的计算效果，最后用离散范函分析的方法证明了其收敛性与稳定 性，并给出了该格式的数值结果。 关键词：有阻尼s i n e g o r d o n 方程，差分格式，紧致差分格式，高精度，交替方 向隐格式，稳定性，收敛性 有阻尼s i n e g o o n 方程的几个差分格式 a b s t r a c t s e v e r a lu n c o n d i t i o n a ls t a b l ed i f f e r e n c es c h e m e sf o rt h ed a m p e d s i n e g o r d o ne q u a t i o ni sm a d ei nt h i sd i s s e r t a t i o n t h r e ed i f f e r e n c e s c h e m e sf o rt h ed a m p e ds i n e g o r d o ne q u a t i o ni no n es p a c ed i m e n s i o na r e s t u d i e di nc h a p t e rt w ow i t ht h et r u n c a t i o ne r r o r o ( r2 + h 2 ) ，t h ec o n v e r g e n c ea n du n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya r eo b t a i n e db yt h ed i s c r e t ef u n c t i o n s a n a l y s i sm e t h o d 。n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w nt h a tt h es c h e m ei se f f e c t i v ea n d d e p e n d a b l e t w oh i g ho r d e ra c c u r a t ec o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sf o rt h ea b o r ee q u a t i o na r ed e v e l o p e di nc h a p t e rt h r e e ，w h i c hc a ng e tt h et r u n c a t i o n e r r o r 0 p2 + h 4 ) w i t hl e s sd i f f e r e n c ep o i n t s ，t h ec o n v e r g e n c ea n du n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya r ea l s oo b t a i n e db yt h ed i s c r e t ef u n c t i o n sa n a l y s i s m e t h o d i no r d e rt od e c r e a s et h ec o m p u t ec o m p l e x i t yo ft h ee q u a t i o ni n t w os p a c ed i m e n s i o n s ，a na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p li c itm e t h o dw i t hi t s t r u n c a t i o ne r r o r o ( r 2 + h 2 、i ss t u d i e di nc h a p t e rf o u r h ei n t r o d u c et w o p a r a m e t e r s n ，y 2 ，a n dc a ng e tb e t t e rn u m e r i c a lr e s u l t st h r o u g hc h o o s ed i f f e r e n tp a r a m e t e r sw i t hp r e s e r v ei t st r u n c a t i o ne r r o r a tl a s t w eg i v e t h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h es c h e m e k e y w o r d s ：d a m p e dsi n e g o r d o ne q u a ti o n ，d if f e r e n c es c h e m e ，c o m p a c td if f e r e n c es c h e m e ，h i g ha c c u r a c y ， a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i ts c h e m e ， s t a b i l i t y ，s o n v e r g e n c e 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：延筮壁 日 期：迎q 、生：三：! i 南京航空肮大夫学硕士学使论文 第一章绪论 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的 数值汁算包括了偏微分方程的数值解问题。近几十年来，它的理论和方法都有了 很大的发展，而且在各个科学技术的领域中的应用也越来越广泛。 有限差分方法是当今流行的偏微分方程数值解的主要方法之一主要集中在 解决依赖于时间的方程的数值模拟，基于这种特点，本文对以下所谓的有阻尼的 s i n e - - g o r d ( ) n 方程 尝+ 口孚一d 幽+ f ls i n ， c t 甜 “ m 2 0 - “( x ，o ) ：1 1 0 ( x ) 罂( x o ) = ( x ) o t 作了数值模拟，其中q 是r ”中的有界开集 口 o d 0 0 ，厂h ：( q ) 。 1 1 前人研究成果回顾 ( 1 1 ) f 1 ，1 ( 13 ) a q 充分光涓，“= u ( x ，t ) r 其中 文：2 ：中对以下广义非线性s i n e - - g o r d o n 方程的周期初边值问题 粤+ a 挈一声婴一y _ 8 - u 吲沪，( 圳 ( 圳刚圳( 1 4 i 万+ “瓦一畜再一7 萨+ g ( 2 似) ( 。_ f ) 尺_ ” “( x + 1 ，) = “( x ，) ( x f ) ( r + o o ) ( 1 5 ) u ( x ，0 ) = “n ( x ) x r ( j6 ) 掣l ：“，( x ) x r ( 1 7 ) 讨论了其整体解与数值计算，其中r 是实数集，u ( x ，) 是以l 为周期的未知 函数，1 3 。( ) “( x ) q ( 叫，f ( x ，) 是已知函数，口，p ，y 是非负常数，很显然，当声= 0 ， g “1 - s i n h ，周期边界条件变为零边界条件时，方程( 1 4 ) ( 1 7 ) 变为本文 方程，文1 2 用拟谱方法对方程( i 4 ) 一( 1 7 ) 作了数值模拟，并证明了稳定性及收 敛性但对于此类方程的差分数值模拟尚未见到，基于此种情况，本文对方程 f 1 1 ) f1 3 ) 作了几个差分格式，并证明了其收敛性与稳定性，最后给出数 值结果对于非线性s i n e - - g o r d o n 方程， 有阻尼s i n e g o r d o n 方程的几个著分格式 三；一；：竿+ s i n “：o x ( 一，+ m ) f ( o 十。c ) ( 1 8 ) d ，一删。 u ( x 。0 ) = u 0 x ) ，x ( - - 0 0 + )( 1 。9 ) 导! ( x ，o ) ：l i ( x ) x ( 一，+ ) ( 11 0 ) 凹 由f 其一个重要的性质是系统的能量寸。匿，即 e ( ，) ：。 ( 孚) ：+ ( 孚) ! 十g ( “) 协：( o ) ，其中 一a l 6 x g ( “) = l c o s “， 于是对于此方程的数值求解是根据这个性质提出的，如文：j ：一 i ：，但是对于有 阻尼的s l n e 一r d o n 方程，很显然不具有能量守恒的性质，但是我们可以类似 于能量守恒的思想构造差分格式，如第二章格式2 2 2 ，数值结果表明本文所提 出的格式是有效的和可靠的。 1 2 本文的主要研究内容 本文从第二章丌始，基于不同的思想对方程t1 1 ) ( 1 3 ) 构造了几个不同 的差分格式。 第二章：对非线性项“s i n “”基于不同的构造方法提出了三个隐式差分格式， 格式2 23 类似非线性s i n e - - g o r d o n 方程的能量守恒思想，对非线性项作了类 似处理，收敛性的证明方法与非线性s i n e - - g o r d o n 方程相似，最后给出了数值 结果。 j ! 第三章：根据文：6 ：， 7 提出的观点，对“善”项进行了处理，得到了截断 c 譬。 误差较高的两个所谓紧致差分格式，相对于第二章的三个格式，本章格式的精度 有了大幅度的提高，而计算量并没有明显地增加，无疑是一种比较可取的方法。 第四章：与前面两章不同的是，本章对二维问题进行了讨论。对于二维问题 的差分解法，显式差分格式虽然计算简单，但其稳定性条件比一维情形更加苛刻， 若h 固定，则当维数愈高时，要求时i 剐步长愈小，计算工作量愈大。因此，显式 差分洛式虽然有计算相当简单的特点，但在解仞边值问题中很少彼应用，若以古 典隐式差分格式或者c 一格式计算，它们无条件稳定，因此，在满足精度的前 提下，a lr b j 步长可以放大，这就大大减少了要计算的时间层数，但是不幸的是， 在每- - h , i - i , l 层里，需要解一个复杂的线性代数方程组，而不是如同一维情形，只 南京航空航天人学硕七学侥论文 需要解一个三对角方程组，这就大大增加了计算工作量。如果醴一维情形隐式差 分格式优于显式差分格式，那么，在多维情形，一般说来，这个结论并不成立”“。 因此对多维问题构造每层计算量较小的无条件稳定格式一直是偏微分方程差分 解法中的重要研究课题之一。交替方向隐式差分格式( a d i ) ，实质上就是为了满 足上述要求而构造的无条件稳定的差分格式，使每一时川层的计算分成几步进 行，而每一步具有一维格式的计算非常简单的特点，因此每一时间层上仅需很少 的计算工作量。本章就是基于上述a d i 格式的特点，仿照文：i 4 ：的构造思想，加 入两个参数y i y ，构造了一个绝对稳定的a d i 格式，并证明了格式的稳定性与 收敛性，最后给出了数值结果。 第五章：全文的总结，对研究工作的展望。 1 3 本文所用的主要引理 引理13 11 4 5 1 ( 差分算子的s o b l e v 不等式) 对任意的网格函数 “。= 陋，【，= 0 1 1 ，有 。s 忱忡c ( s ) 删， 其中c ( 引为与s 有关的常数。 引理1 32 ”1 ( g r o n w a l i 不等式1 ) 若离散函数。满足如下不等式 珊。一曲俨l 兰a m 。a t + b o a 肛1 a t 十c 。f ， 4 口和( i ”= 1 2 ) 为非负常数 则有 j j o , ，t ，s ( 吐) 。+ c 。a t ) e ! 。“肌，其中，足够小，使得 f a + 口) f 蔓尘二生( 1 ) 。 2 引理1 33 1 ( g r o n w a l l 不等式2 ) 着离散函数0 9 h = 汹i k = o 1 ； v a t = t 满足如、不等式 甜。a + b 。a t t 一b 。为非负常数，则有 = i 、 1 忪“i ，兰a e x p ( 2 3 7 b ；a t ) ，a t 足够小，使得f 晋譬b t ) 专 引理1 3 4 m 1 若对任意n ( o h r r ) ，有：忖j 3 l c ，则成立 - 三型旦里兰尘鱼竺! ! ! 兰堡塑! ! 全堇坌堡茎 第二章一维带阻尼s i n e g o r d o n 方程的三个差分格式 2 1 引言 。! j 妻曼：n 。e 一? ? i ? ! 巴尊鸳，由于其能量守恒，因此，近年来关于此方程差分 格式的研究基本上以能量守恒为主，并得到了比不守恒格式较好的数值痞藁- 趋 是对于带阻尼s i n e g o f d 。n 方程，由于其带有阻尼”项“宴”，因此导致了其 譬兰鬯至! 埋堡i 。毽! 】构造了格式2 2 1 与格式2 2 2 ，同时，我们可以利用能 量守恒格式的构造思想，找非线性项“s i n “”的原函数“g ( 。) - - 1 二二：。“，”蒌 掣尊量毫嘎蹙式，对带阻尼s i n e g o r d o n 方程构造了一个差分格式，即格式 兰! ：! ：，文妻墨后，我们对： 个格式进行了数值实验，结果表明，我们的结巢趸 有效的和可靠的。 一一 2 2 格式的构造 q = 瞳胡，对平面区域k 6 o 】作网格剖分，卉为空问步长，且 ：b - a 时削步长为r ，x ，：d + 办，：1 ，一1 ，本文采用符号如下： ， u i ”1 2 u i + 。 fl r ：1 ) ，= 1 = 二 f ( 扩竺! ! 二型：堕 离散内积与范数定义如下 f 叭= 矗，? ， 本文构造如下格式： 格式2 ! 】： ，= 型尝 ( 。? b + a ( l r ? ) ，一矗! ：三= 掣+ p 。i n u ? - - - 1 7 , ( 2 ，1 ) w = u ? = o ， u ? = “。( 口+ y h ) ， j = 1 , 2 j 一1 u l u 一1 = “l ( r ，) ， ，= 1 2 ，一1 在( 2 1 ) 式中，令n = o ，并与上式联立，消去 、，得， 南京航空航天久学硕七学位论文 一d r ! 眯l + 2 ( 1 + d r ! ) 。：一咖二一【= 2 l i ? - d r r2 u i ( h ) + 2 r ( 1 一竿+ d r ：) “i ) 一d z r ! “1 ( x ) 一声r 二s i n u ? + r ! ，? 1 ， 洛式2 2 2 l 一) + 。( ”) ，一! ! ：；：! 二：! ! 12 ：。! 兰+ f lsinu ds i n l 1 ) + 口(”) ，一二二三二二二二+ “ 4 。 2 l ，i ， j - r ( 乙“一l + 一1 = u ? = 0 ， = “。( 口+ j h ) j = 1 2 j 一1 “l ( ，) = 1 , 2 j i 与格式2 2 1 相同，在( 2 2 ) 式中令n = 0 ，与上式联立，消去己一 得 ( 2 2j 一毋：l 。j 一| + 2 ( i + d r 二) u ：一d r ：己- j + ，= 2 u ? 一d 矿2 l i ( x h ) + 2 r ( 1 一要+ 咖：) “l ( t 。) 一d r r 2 “l f x h ) 一r ! s i n ( u ：一俐1 ( ) ) + f 二，1 用追赶迭代法求出u l ( ，= 1 , 2 ，一1 ) 。 格式2 2 ：令g ( u 卜1 一c o s * ( ：1 ，+ 。( u i d 竖二生婴 g ( u ”叫) 一g ( u ”叫) + 寺e 旁一2 7 t ( 2 3 u ：= u ? = 0 ， 乙? = “。( 口+ j h ) ，= 1 2 j 一1 一l _ 一= “1 ( x ，) ，= 1 2 ，j 一1 2 r 与格式2 2 1 相同，在( 2 ，2 ) 式中令n = 0 ，与上式联立，消去l ”i 得， 一d r ! 。! j + 2 ( 1 + d r ! ) 。：一d r ! u h i = 2 u ? 一d r r ：“( x ，- i ) + 2 r ( 1 一竿+ d r ：) “i x ，) 一d r r 二“1 ( j h ) 一卢r 、g ( u ：) 一g ( u ：一2 r u l ( x ，) ) 2 r u ，( x ) 然后同格式2 2 2 ，用追赶迭代法求出 ，：( = 1 , 2 j 1 ) 。 由t a y o r 展式易证三种格式的截断误差均为o ( r ! + h 二) 。 以f 用c 表示一般常数，在不同的地方有不同的值。 2 3 差分解的估计 塑墅堂堂塑墼堡坌塑 。，产理一ll(x。尝：4：幽譬c3，则对任意的h(o鲰()，搭式22 22 ：2 l 、 2 、 3 的差分解有估计式， 、”“ 妙j 18 s c i c ：1 1 0 ，于是办有 眇卜判”+ 1 p 胁c r l l u , n c 杉n c ， 令目72 o u 刈! + 詈耖：| + i i t 2 + 詈8 ，? o ：，则上式变为 t ”一l ”1 - c r f p j r + c r 8 u j r + c r ， 更有 e i 一i s c r e i + c r 1 + c f ， 于是，由引理i 3 2 ，得 ? c ， 亍譬- 0 得 掣嘞- i 【g ( 畔t ) 【。：ll：一【i。_。：+d华+口“善i-igcu?一i) - r i l 厂7 n 孤”n 驰j n 由g ( = l - - c o s d = 2 s i n 二兰o ，并移项，得 ( t j f | 皑+ 割。? + 。j + 6 善- i ( g ( 。? 1 十g ( 。? ) 】 ( + ；) o u ，。| | 二+ 鲁( j j 己t ? l j ：+ j j 己，? 一1 ) + 矗莩【g ( u ? ) + g ( u ：“) 】+ r 4 ，o ： 雨l + r2 t i ( 1 - 沙? 一孵( 。，胁一扣十g ( 。一】 令i = f i 一吾) 忙，”0 ：+ 鲁( 忙7 7 + ，i ! + f f u ? ：) 十厅- i g ( u ) + g f u ：，j 】，则有 有阻尼s i n e g o r d o n 方稃的几个莘分格式 e 1 5 芒l + z 万 2 2 一+ 巾叫i i ：， 一 1 r 一 一 依此类推，我们有 耶( 簧卜+ r 氧篙厂l 蔓e “7 ：十。7r j i 厂， 由已知条件，4 厂“妄c ，于是我们有 ? s 已阿7 e ? + a 7r h se “e ：十e “1t sc， 于是，得 m 。a 。x j ： c 2 o ，得 桫i 二一耖。卜“ 一芦话- i ( 。i 。兰：! ；j 兰：! 一s i n ! ! ：竺2 ) ( e ? + i e j 一) 十( 呓，。”+ l e ”一【) t ( 2 9 ( 2 9 ) 式右端= - 7 励c 0 5 + i 一2 “ 曼2 肪陋 ，；1 l u + “+ u ? 竺 一p ”叫) s i - n 颦和- 。- = 一i 。，一。j ， k ? + 1 一p ? 一i i + ( e ”+ l p “一i ) s 研外一e 卅，巾? “) ，卜( 州。”) ，巾”i ) r ) 重堕垫竺! ! 墼叁堂堕主量堡笙茎 曼卿渺卅，讹n ，“) ，卜鳓卦斗，+ ( e l + r ( 州矿) ，+ ( 。一t ) ，) 够! “| + 够忖。! j 二+ 够忖】2 + 够桫“9 二+ r ij _ l l ! + 剥e f 7 r + 到e j “： 2 矽r ：秘j j z + 2 f f r ：靴虿1 + f 1 ) 啦圭悃啦“3 兰( r ( r j j 。jj + jj e f ! + jj e ? 一 42 + j j 1 2 ) ， 容易看出，以下证明与格式! 2 1 类似，故不再重复于是我们得， 护屯o ( r ! + ! ) ， 对于格式2 2 ：j ，其截断误尊为 r ：j = l u ? i ) ，+ a ( u 1 ) 其中一1 = o ( r 二+ h ：j d 竖! 坚：笠。量 2 + ja ( c t - ) 一- ( ；( c t - ) 一? ，1 2 1 。) 蜘(“：1)：鬻=一可。osu；-cos“i 由( 2 1 0 ) 一( 2 3 ) 式，得 l 。：j ：1 ，+ a ( e j i j l ，( p ? + 一“一 p ，) 。 却a 圳e ? 卜d 掣 埘警等， + 1 3 ( g 1 ( u ? ) 一g l ( y ：7 ) ) ， i l ) g i 卜g 1 f u ? ) = fs i n ：“? + l + ( i - z ) “：一i 忱一f s i n = u ? 一1 + ( i 一：) u ? 一始 = j 2 c 。s 二“：冲l + 乙：h 1 ) 2 + ( 1 一= j ( “? 一+ 己一一) 2 】 ( 2 1 2 ) s i n z ( “? 一u ? “) 2 + ( 1 ：) ( “? 一? “) 2 出 ( 2 1 1 ) 式两端与g 一p ”。作内积，并移项得， 书一o ! + t 2 - 掣+ d ! l e ：“卜状 = 一鼢( 6 l ( “? ) 一g 1 ( u ? ) ) ( p ? “e ? 1 ) + ( 巧7 ，p ”1 e - i 同样，由口 0 得， 蚓一，m 犁 有i 俎尼s i n e - g o r d o n 方程的几个差分格式 f l h z g i ( “? ) 一g l ( ，? ) 佧? 一一p 川+ ( 以e ”1 一口”| ) ， ( 2 1 3 ) 由1 2 1 2 ) 式得， g i ( “? ) 一g l ( u 7 ) ls f 2 1 s i n z e 2 + ( 1 - = ) p ? 。2 壮 f 【“? “州叫e 眵 ( 5 m ， ( 2 1 4 ) 将f 2 1 4 ) 式代入( 2 i 3 ) 式，得 ； 。；1 l ! 一l p _ i8 ：+ 。i 学s 肋j - i ( p ? 一z l + l 。? ，- i ) p ? +一e 7 叫l + ( r ：1 e “制一e ”一1 ，一i s 枷( + ? ) ，一( e ? 。) ，卜 ，= i f ( r g ”) ，+ ( ”“) ，) ， 由此可以看出，以下证明与格式2 2 2 相同，故不再重复，于是我们有 1 l e 8 o ( r ! + 旷) 。 2 5 追赶迭代法的收敛r 胜分析 将格式2 2 1 、格式2 2 2 、格式2 2 3 改写为如f 万桂组， 格式5 2 2 1 ： 8 ，爿十方，u ? 川+ e ，u = = d ， w 2 u ? 2 0 ， 其中，“，= c ，= 一i d r ! ， 6 ，= l + 竿+ 毋! ， d ，= 2 。：7 一( 1 一a r ，9 7 ：+ 旦；一( 乙”j - 一i l + u ：1 + 己r ，n + - l i ) 一r 二s i n u ：+ f ! + ， 格式2 2 2 ： 口，u ? ：y “，u ? “i + c ，ut ：l ”“i = 吖， ( 2 1 j ) u 一”“= u ”“= 0 ，d ，6 ，c ，同格式1 t ( 2 t 6 ) d i ”= 2 l ? 一( 1 - a ru 。+ 车f u 小卜。r n 川- i ) 。 一亘至堕竺堕_ 大叁堂堕堂竺堡塞 一口。二。i 。型! 。 2 其中，u ”“= ( ” 格式2 2 3 ： “，v ：“+ 6 ，? “+ c l 7 爿”1 = d ， 吲“= u ”“= 0 ， d ，6 ，。c ，同格式2 2 1 ， d i ”= 2 l 7 7 一( 1 一警) 乙：+ 冬f u = + _ + u i j ) 堆：笔等7 ， f 2 1 7 ) ( 2 1 8j ( 2 1 9 1 l 2 2 0 ) 其中，0 ”“”= u ”， 显而易见，格式2 2 ，1 可直接解一三对角方程组，无需迭代。关于格式：、! ：， 格式2 2 ： 的迭代收敛性，我们有如下定理： 定理2 ，3 假设定理2 2 的条件满足，取初始迭代值0 7 “1 = ? _ s ，s j 一1 ， 并且步长，兰圭，则方程组( 2 。1 5 ) ( 2 l 7 ) ，( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 的迭代解“， 、f 一 收敛到格式2 2 2 ，格式2 2 3 的差分解u ”“， 证明：先证格式2 2 2 ， 令g ”“”1 = 乙r i ”一乙f ? + 1 ( “，则有 d ，sj h j - i “。+ 6 ，? “”1 + cj s ? 爿“= h i “， 1s ，一1 ，( 2 2 l j ? + “、+ = ? + “、+ “= 0 ， 茸中， ，- ”“+ u “ 日“2 7 一( s i n l l s i n 2 幽为“，= c ， 0 ，6 ，l “， + i c ，i 0 ，易证 ，攀“弘，搿，爿筝南= i 警l 丝笺 i珊。爿i， i 二s ，一i i + 由o i “o = 己? ，于是有 j s ：”“。js ，：m ，! a ，x lj 己：”i 一7 l j t 以f 用9 - 7 纳法证明，“! m a x l u 一己r ms = o 1 二 1 i i 二，一i 【 4 ( 2 ，2 2 ) ( 2 2 3j f 3 育阻尼s i n e ，g o r d o n 方程的几个莘分格式 假i 殳r ! ，2 ：3 j 式对s 成立，由于 s l n ? “。+ 己? 。ll ，己f y + u ? “+ 2 t ? 一 叫m r f 5 i 扎0 5 了一 s 如坐i 2 - i s ”1 r 于是有， m a x k ”“”l 玉口r 二m a x k ”“ l ，一i i 1 i e ，一i 选取f 兰一1 ，则有 晷 占肿 】e ? “。j 茎。m 。a x 一，l u 一u 1 7 l t 于是不等式( 2 - 2 3 ) 对s 1 亦成立e 由( 2 2 4 ) 式可知，迭代法收敛，且收敛阶为r 二。 对于格式2 2 3 ，有 d f ：f 川+ 厅，占：卜”1 引+ c ，占：l “、”= - 1 7 + 。“，1 j j 一1 ， ：”“= 卢f 二( g l “? “) 一g ( “? “) g ( 0 “”“”) 一g ( u ? ) “一“? 。u “一u ? 一 鲫) ：婴掣，则 一o g ( “? + 1 ) 一g ( “? 一)g ( o 。) 一g ( ) l 1 了f r 一可而矿i = 1 q ( ，：“1 ) 一q ( u ? “) j = 妇7 ( 爿一) ( c ，? “一u i “) l = 1 9 ( “) f ，其中“介于乙与u i , ”“”之间 q ( “) i ls i n _ - i “一s i n y ? “i i 万( 矿i = l c o sr 叫l 1 ，令 ? “介于“与己，：】之间，7 7 “介于五j ；i 与y ? “2 _ t 日j 于是有 骤。p “1 l r 。m 。a x 妒“”i ， ( 2 2 4 ) 了 ns 南京靛空航犬人学颈十学位论支 其它证明与格式! ! ! 类似，故不再重复。 2 6 数值实验与算例 取口= 1 ，口= 2 ，d = 1 ， “，、 x ) = f 1 一c o s7 ) ， “( x ，) = 一p “f 1 一c o s x ) ， ，( 工t ) = 一万。芒一c o s7 + 2 s i n ( e 叫( 1 一c o s 瓜) ) ， 易得u x y f ) = p “( 1 一c o s 府) ， 我们考虑u ( x f ) 在 0 2 上的数值解，在以下计算中，我们取h = 0 0 5 r = 0 0 5 ， 在切边值条件下，解格式2 2 1 的三对角方程组。用“追赶迭代法”解格式! ! ! 、 格式! 2 ： 的迭代方程组，迭代控制参数s = 1 0 ，当m a x i u ”“一“ss i 二压，一i i 叫，驳”= l “”“， 我们将格式2 2 1 、格式2 2 2 、格式2 2 ： 的平方误差分别画图如图2 1 ，2 2 ， 2 ： 幽2i ，格式2 ，2l 平方误差曲线h = 0 0 5 f = o0 5 f i g u r e 2 1 t h e e l f o eo fs c h e m e2 2l ，h = o 0 5 r = 0 0 5 有阻尼s i n e g o r d o n 方程的儿个差分格式 斟2 2 ，格式22 9 平方误莠曲线，h = 0 0 5 。r = 0 0 5 f 1 9 u r e 22 ，t h e e r r o ro fs c h e m e22 2 h = o0 5 f = 0 0 5 图2 ，： ，格式2 2 ，3 平方误蕞曲线， = 0 0 5 f = o 0 5 f i g u r e 23 t h e e r r o ro fs c h e m e2 23 ，h = o 0 5 f = o 0 5 南京航空航大欠学硕十学 立论文 从表中可以看出，格式2 2 2 的精度较好。 有阻尼s i n e g o r d o n 方程的几个等分格式 第三章一维有阻尼s j n e g o r d o n 方程的两个紧致差分格式 3 1 引言 在第一苹中我们已经对有阻尼s i n e 一6 0 r d o n 方程构造】，三个差分格式，其截 断误差均为o ( r ! + h ：) ，并得到了较好的计算效果。为了进一步提高格式的精度 并且在计算量基本保持不便的情况下，本章根据文 6 ，1 7 ：所用的“紧致差分格 式”构造了两个新的差分格式，所谓“紧致差分格式”是指这样一类格式，能够 以较少的点得到较高的精度，从而在不增加节点的情况下提高了计算效率，本文 两个紧致格式的精度均为o ( r ! + h 4 ) ，数值结果表明本章的两个格式比第一i 章的 格式有较大的数值优越性。 3 2 差格式的构造 q ：p 6 ，对平面区域 甜卅x 【o r 】作网格剖分，自为空间步长且 = _ b - ：d ， 时间步长为r ，x ，= “+ ，m，= 1 j i 本章采用符号如下： ( ：型掣，( i ：掣 d i 乙7 ：t ：( 乙7 ：，) 。：! 兰二二挲 离散内积与范数定义如下： ( u ”，矿”) = 自u ? 矿? r；p ”r = ( o “，u ”) 如果用中心差分离散空间二阶导数项，则所得格式只有二阶精度，为了在空 间达到四阶精度，本文利用文 6 ，1 7 提出的观点，用t a y l o r 展式对中心差分算 f 进行展丌，即 晒? = 萨c 3 2 u l + 西h2 矿o 。u l 圳n 川- + 西h = 噬) 窘l 砌， 注意到娑= d ；“+ o ( ! ) ，即可得四阶紧致差分格式： ( 器h 。= ( 1 + 告d ；一d 。2 “? + 。( 3 ) ，于是我们据此构造以下两个差分格式， 格式3 2 1 ： 童塞堕皇堕查叁兰堕主皇望笙三一一 u ? = “。( “+ j h ) ，= 1 2 j 一1 r ，t r ? 一1 二l 二l = “( ) j = 1 2 ，一1 2 r 。 格式3 2 ，2 ： ( 一州1 ，卅l + 鲁盼“； 。：= ? = 0 ， l ? = “。( “+ ) 乙f u 刮 上= “。 x ，) 7 r 。 + ps i n = ( 3 1 ) i = l 2 。t ，一l j = 1 , 2 l ，一1 = ，( 3 _ 2 ) 格式3 2 1 、格式3 2 2 两端同乘以算子( 1 + h z l 2d ；) ，可得等价格式如下： 格式3 2 ，3 ： ( u ：rh 十口( u ? ) ，一d 旦：! ：三坚1 2 ：盟+ ( 1 s i nl ? 一i + ；s i n l f ? + l s i n u + 1 ) + 笔c 新+ 鲁凡i = 耖，5 私杉i ， ( ： 3 ) 。乙，? h + 。( c r ：t ) ，一c ，! ! ：! ! 字+ ( 击s i n 华+ ；s i n ! ：；兰= = ： 扣华，+ 孔“。+ 鲁c 吼i 5 扣和咕伫3 - 4 j 对于格式的截断误差我们有如下定理 定理3 1设掰j y ，) 有任意阶导数，“。( x y ) “i ( x y ) c ：，则格式：；! l 、 格式3 ，2 2 的截断误差为o ( r ：+ h 4 ) 。 证明：由t a y o r 展式，得 ? ：( 。：b + “( 。? ，一矗尘! ：毕+ ( 丧s i n “：。+ 吾s i n “：+ 丧s i n “i ，) + 知? ，。，十等，。一c 影，弘咕。， dd 矿一也 h ， 坝 划 f 吲 w l 有阻尼s i n e g o r d o n 方群的几个蔫分格式 其中，( 一百h2 ( 嘶= ( 圭螺+ 弘+ 丧昨a ， 币? + 鲁( 窘牡篑( 窘l 砌n _ ，= ( ( 十d ( r _ 西h2 【( 萨。2 u 脚，= 西h 2 害+ 蔷熹+ 。( 一，