（基础数学专业论文）按序列分布混沌.pdf

1，l一j_1 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：杰壅指导教师签名：量垒兰兰 签名日期： 2 _ _ o o 年朝弓j 日 辽。j 。师范大学硕+ 学位论文 摘要 几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非完全相同，不 同的混沌定义会在实际分析中有不同的意义。因此对某些特殊空间的混沌分析更是有意 义的工作。 本世纪初，受研究微分包含的影响，一些学者开始对集值动力系统进行探讨，在2 0 0 3 年r o m a n - f l o r e s 3 】比较了紧致系统和由该系统诱导的一类集值动力系统的传递性问题， 并证明了这类集值动力系统的传递性蕴含其系统的传递性，反之不成立。进而提出了关 于混沌方面的基本问题，紧致系统( 兄f ) 的混沌性是否能蕴含其诱导的集值系统 ( k ) 7 ) 的混沌性，反之戗( x ) ，7 ) 的混沌性是否蕴含厂) 的混沌性。 本文的中心任务是： l 首先给出了一个按序列布混沌的充分条件，其次讨论动力系统( x ，厂) 的按序列分 布混沌性和其诱导的集值系统( k ( x ) ，厂) 的按序列分布混沌之间的关系。 2 讨论如下形式的c m l 系统：+ 1 。= ( 1 一) ( 。) + o 5 s f ( x m j ) + ( 卅1 ) 其中m n o = o ，1 ，2 ，) ，z z = ，一1 ，0 ，1 ， ， o ，1 为常数，且f ：r r 是连续函数。 在某个离散时空系统中给出了新的混沌的定义，并得到了系统是分布混沌的一个充分 条件。 关键词：分布混沌；离散时空系统；耦合映射；集值离散动力系统；按序列分布混沌； 周期点；h a u s d o r f f 度量 _ _ _ 辽。j 。师范人学硕十学位论文 c h a o t i c i t yo ns p e c i a ls p a c e s a b s t r a c t a l t h o u g hn e a r l ya l lt h ec h a o t i cd e f i n i t i o n sa r ei n d e t e r m i n a n ti nl o n g - t e r ma c t i o n s ? c h a o t i cp h e n o m e n o no ft h e ma r en o te q u a lt oe a c ho t h e r d i f f e r e n tc h a o t i c d e f i n i t i o n sh a v e d i f f e r e n ts e n s ei na c t u a la n a l y s i s t h ec h a o t i ca n a l y s i so ns p e c i a ls p a c e si sm e a n f u l s i n c et h eb e g i n n i n go ft h i sc e n t u r y ，b yt h es t u d yo ft h ei m p a c to fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s ? i n 2 0 0 3r o m a n - f l o r e s 【3 c o m p a r e dt h et r a n s i t i v i t yp r o b l e m so fc o m p a c ts y s t e ma n dac l a s so f s e t - v a l u e dd y n a m i c a ls y s t e mi n d u c e db yt h i ss y s t e m ，a n dp r o v e dt h a tt h et r a n s i t i v i b 7o fs u c h s e t v a l u e dd y n a m i cs y s t e mi m p l i e st h et r a n s i t i v i t yo ft h ew h o l es y s t e m ，b u to nt h ec o n t r a r yi t d o e sn o th o l d t h e yf u r t h e rp r o p o s e dt h eb a s i cp r o b l e ma b o u tc h a o s ，w h e t h e rd o e st h e c h a o t i c i t yo fc o m p a c ts y s t e m f ) i m p l y t h ec h a o t i c i t yo fi t si n d u c e ds e t 。v a l u e ds y s t e m ( k ( x ) ，7 ) ，a n do nt h ec o n t r a r yw h e t h e rd o e s t h ec h a o t i c i t yo f ( k 伍) , f ) i m p l yt h ec h a o t i c i b ；o f ( 兄厂) t h em a i np u r p o s e so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w i n g ： 1f i r r s to fa l lw eg i v eas u f f c i e n tc o n d i t i o no fd i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e ? s e c o n d w ed i s c u s s e dd i s t r i b u t i o n a lc h a o t i c i t yi nas e q u e n c eo f ( x ，f ) a s s o c i a t e dt od i s t r i b u t i o n a l c h a o si nas e q u e n c eo f ( k ) ，厂) 2w ec o n s i d e r t h ec m l “。= ( 1 一) 厂( 。) + o 5 e f ( x m ，。一，) + 厂( x 。，。+ 。) ) 聊o = o ，1 ，2 ，) ，胛z = ，一1 ，0 ，1 ，) ， o ，1 o f t h ef o r m w h e r e i s a c o n s t a n t a n df ：r 寸ri sac o n t i n o u o u sf u n c t i o n an e wd e f i n i t i o no fc h a o so nr e c u r r e n c ep o i n t ss e ti sd i s c r e t es p a t i o m p o r a ls y s t e m si s g i v e na n do n es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i ss y s t e m t ob ed i s t r i b u t i v e l yc h a o t i ci sd e r i v e d k e yw o r d s ：d i s t r i b u t i o n a lc h a o s ；d i s c r e t es p a t i o t e m p o r a ls y s t e m ；d i s t r i b u t i o n a lc h a o si na s e q u e n c e ；s e t v a l u e dd i s c r e t es y s t e m s ；p e r i o d i cp o i n t i i i i l 3 3 5 6 7 7 9 1 2 3 1c m l 系统介绍1 2 3 2 基本定义和引理1 3 3 3 主要定理和证明1 6 结 论19 参考文献2 0 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 2 致谓 2 3 一v 一 稳定性和可预测性：另一条路线，揭示它的复杂性、不稳定性和混沌性，而混沌是动力 系统中出现的貌似不规则的运动。在相当长的时期内，没有人明确指出什么是混沌，直 到1 9 7 5 年，在美国马里兰大学攻读博士的华人李天岩和他的导师y o r k ej 在题为“周 期三意味着混沌”的论文中首次用严格的数学语言定义了混沌，即“l i y o r k e 混沌”。 但是不同领域的人对混沌的理解和定义是不同的，因此许多学者在对不同系统的研究中 给出了不同的混沌的定义及判定规则i l 圳。例如：l i y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌、分布混 沌、r u e l l e t a k e n s 混沌、按序列分布混沌，w i g g i n s 混沌，熊一混沌等等。 混沌的研究对现代科学的影响，不仅仅局限于自然科学，还涉及经济学、社会学、 哲学及诸多人文科学等，甚至可以说覆盖了一切学科领域。混沌理论是一种兼具质性思 考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体、连 续的数据关系才能加以解释及预测之行为。( 如：人口移动、化学反应、气象变化、社 会行为等) 。混沌理论研究的目的是要揭示貌似随机现象背后可能隐藏的简单规律，来 发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。因此，混沌学是研究系统动态演进、解释和 建立系统复杂的混沌行为效应模型的理论依据和工具，并应用于地质学、资源学、环境 科学、生物学、化学、天文学等多个科研领域。混沌学研究的重要特点就是它跨越了学 科界线，它的普适性、标度律、自相似性、分形奇怪吸引子、重整化群等概念和方法已 经超越了原来数理学科的狭窄范畴，成为研究各个学科领域复杂问题的最好工具之一。 目前，混沌学受到各国政府及学者的重视和公认，成为各学科领域关注的一个学术热点。 尽管几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非完全相 同。不同的混沌定义会在实际分析中具有不同的意义。例如：在1 9 9 4 年s c h w e i z e rb 和s m i t a lj 文献【5 】给出了分布混沌的概念，这是一种具有统计规律的混沌概念，可用 概率方法进行研究，d e v a n e y 混沌系统在混沌行为中存在着规律性的成份，即有稠密的 周期点。因此对某些特殊空间的混沌分析是有意义的工作。为了研究l i y o r k e 混沌和 s c h w e i z e r s m i t a l 混沌之间的内在联系，作者1 6 j 引进了按序列分布混沌的概念，并证明 了对于空间映射l i y o r k e 混沌和按序列的分布混沌是等价的。 本文的具体安排如下： 第一章：动力系统的一些基本概念及几种常见混沌的定义 按序列分布混沌 第二章：离散动力系统中的按序列分布混沌集 第三章：c m l 系统中的分布混沌集 作 用下生成像点f ( x ) ，f ( x ) 仍然是x 中的点，厂可以对它继续作用，生成像点 厂( 厂( z ) ) = 厂2 ( z ) 。此过程可以无限进行下去，设f o = i d ，即x 上的恒同映射， f 1 = 厂，厂2 = f 。厂，一般地，对”2 ，f ”= f 川。f ，其中符号。表示映射的复合。 定义1 1 1 x 上的连续自映射序列 厂o ，厂1 ，f ”，) 称为x 上由连续自映射经过迭 代而生成的离散拓扑半动力系统，记为( x ，厂) ，简称为动力系统或紧致系统。 定义1 1 2 设( x ，厂) 为紧致系统，如果紧致子集x ocx 对厂不变，即f ( x 。) cx 。， 则把f 在x o 上的限制映射厂i _ ：x 。一x 。所生成的紧致系统( x 。，厂k ) 或厂k ，称为 ( x ，厂) 或厂的子系统。 子系统在动力系统的研究中扮演着重要的角色。大体而言，给定个紧致系统 ( x ，厂) ，我们要研究它的动力性状，而( x ，厂) 的每一个子系统的动力性状是( x j 厂) 的动 力性状的一部分，且( x 厂) 的全体动力性状可由它的全部子系统决定。因而，有时我们 要研究一个紧致系统( x ，厂) 的动力性状，只要在它的某个子系统上研究即可。 对每一点x x ，x 在厂作用下生成的轨道 x ，厂 ) ，f ”( x ) ，) ，记作o r b ( x ) 或 d ( x ) 。 给定x x ，易见x 的轨道是对厂不变的，因而紧致子集o r b ( x ) ( 即轨道的闭包) 也 对厂不变。 动力系统的问题是多种多样的，但其核心问题却是轨道的渐进性质或拓扑结构，即 当胛oo o 时轨道的极限性质。在x 的所有元素中，只有那些具有某种回复性的点的轨道 才是重要的。 定义1 1 3 对于x x ，如果存在整数n 0 ，使得f ”( x ) = x ，则把x 叫做厂的周期点， 并把使厂” ) = x 成立的最小正整数，? 叫做它的周期。厂的全体周期点的集合记作尸( 厂) 。 按序列分布混沌 周期性是最强的回复性，也是最重要的回复性。下面介绍的回复性都是周期性的推 广。 定义1 1 4 对于x x ，如果存在正整数递增序列 ，2 ， ，使l i m 厂”( x ) = x ，即对v 0 ， 3 n 0 ，使厂”( x ) v ( x ，) ，这里v ( x ，) = y xc l ( x ，y ) 0 ，使得对任意，7 0 ， f ”( 矿( x ，) ) n v ( x ，s ) = o ，则称x 为厂的游荡点。如果x 不是厂的游荡点，即对 v o ，3 n 0 ，使厂”( y ( x ，s ) ) n v ( x ，) 囝，则称x 为厂的非游荡点。 厂的全体非游荡点的集合记为q ( 厂) 。 定义1 1 6 设( x ，厂) 为紧致系统，x x ，如果存在递增序列 哆) ，使l i m f q ( x ) = y ， 则称点y 为x 的c 0 一极限点，并称x 的全体c o 一极限点的集合为c o 一极限集，庀作c 0 ( x ，f ) 。 u ( o ( x ，f ) 中的每个点称为厂的0 3 一极限点，记作( 厂) 。 工e 定义1 1 7 称x 是几乎周期的，如果对任意 0 ，存在整数 0 ，使得对任意q 0 ， 存在整数r ，q 0 ，使 得对v n 0 ，群( r 厂7 ( x ) v ( x ，) ，0 ， 0 ，使得 存在刀 0 ，使得 1 2 几种混沌的定义 李天岩和他的导师y o r k e 于1 9 7 5 年在【l 】中给出如下l i y o r k e 混沌的概念。 定义1 2 1 设( x ，d ) 是紧致度量空间，称连续映射f ：x x 是l i y o r k e 混沌的，如果 存在不可数集dc x ，使得对v x ，y d ，x y ，有 ( 1 ) l i m i n f d ( f ”( x ) ，厂”( y ) ) = 0 ； ( 2 ) 1 i m s u p d ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) o 。 而称d 是厂的l i y o r k e 混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为混沌点对。 定义1 2 2 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射厂：x - - - x 是分布混沌的，如果存 在不可数集dcx ，使得对溉，y d ，x y ，有 ( 1 ) 了 0 ，使得( s ) = l i m i n f 1 zx f o ，。) p ( 厂7 ( x ) ，f7 ( 少) ) ) = 0 ； ”w ， ( 2 ) 对于v t 0 ，j f l 习( ，) = l i r a s u p l _ 【o门(厂7(x)，(y)=1。 f 其中) c 【o f ) 表示 o ，f ) 上的特征函数，即当s 0 ，f ) ，戈 o ( s ) = 1 否则) c 【o f ) ( s ) = 0 。 而称d 为厂的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为分布混沌点对。 文献【6 】把分布混沌限制在一个f 整数序列上，得到了按序列分布混沌的定义。 定义1 2 3 设( x ，d ) 是紧致的度量空间， p ，) 为严格递增f 整数无穷序列，称连续映射 f ：x 寸x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcz ，使得对帆，y d ，x j ，? 有 ( 1 ) j o ， 使得r ( ， p ) ) 21 受i n f 寺荟玑。，( d ( 厂以( z ) ，f n ( y ) ) ) = 0 ； ( 2 ) 对t v t 0 ，( ， p ，) ) = ! 受s u p 圭x i 。，( d ( 厂n ( 工) ，f n ( 少) ) ) = 1 。 ” l 口。一“- 而称d 为厂按序列 p ， 的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为按序列分布混 沌点对。 按宁列分布洮沌 1 3 离散动力系统中的一些基本概念 定义1 3 1 设k ( 义) 由彳的所有非空紧子集组成，如果a k ( x ) ，我们称集合 n ( a ，) = b xd ( x ，彳) 0 1 a 量n ( b ，) ) 称为彳，b 的h a u s d o r f f 分离， h ( a ? b ) = m a x p ( a b ) p ( b 。a ) ) 称为k 伍) 上的h a u s d o r f f 度量。 定义1 3 2 设k ) 由x 的所有非空紧子集组成，我们把厂在k 似) 中的自然扩7 张定义 为7 ( 彳) = ( 厂( 口) l 口么) 么k ( ) 。 设 p ，) 是严格递增正整数无穷序列，a ，b k ) ，a = x ) ，b = y ) ，x ，y x ，r 0 ，令 叫“鲥) _ l i r a i n 咭酗”胆( 死以7 _ ( 跳 万“鲥) l i m s u p 寺砉孙川( 姒7 气如7 n ( 蹴如果ac k ( n w 肛b 有： ( 1 ) 3 5 0 使得万一丹( 6 ， p m = 0 ； ( 2 ) v t o 有f 爿付( f ， p ，) ) = 1 ， 则称a 是的按序列 p j ) 分布混沌集，a ，b 是按序列 p ， 分布混沌点对，厂在集值离散 动力系统中是按序列分布混沌的。 定义1 3 3 设 p ，) 是正整数递增序列，分别称 p r ( f ，缸 ) = ! ：x ，夕) 工x l v 0 , b i n ，d ( f 只( x ) ，厂，b ) ) 0 ， l i m s u p 芝z 【o c ) ( d ( 厂n ( x ) ，f n ( j ，) ) ) = 1 ， 于是存在一佃， h m 。+ s 。u p - - 最荟2 。x 【o c ) ( d ( f n ) ，厂气力”= 1 ， 一7 一 按序歹0 分布混沌 对于充分大的足有 圭 去喜x c ) ( 妒嗽) ，纵朋) o ，当 时，o 寺善x 【0 6 ) ( d ( 厂n ( x ) ，厂n ( 少) ) ) j 。，则 。去跏剐c 妒川舭1 孙c 妒c 舭互1 ， 所以存在k ：i n 胛止 ，d ( f 以2 ( x ) ，f 仇2 ( 少) ) 6 ， 存在k ， ，2 一。，胛_ ，d ( f p 。( x ) ，厂以( 少) ) 2 6 ， 可见( x ，y ) 仨a r ( f ，( p 朋，证毕。 引理2 1 3 【1 9 j 如果 p ) ， g ，) 是递增正整数无穷序列 聊，) 的子序列，那么存在 脚， 的一 个无穷递增子序列纯) 使得a r ( f ， p 朋nd r ( f ， g ，) ) cd c r ( f ， ，) ) 。 证明：若 p ，) n g ，) 为无限集 ， 因为a r ( f ， p ，) ) n d r ( f ， g ，) ) ca r ( f ， _ ) n d r ( f ， ) ) = 巾， 所以结论显然成立。 若 p ，) n g ，) 为有限集，则不妨设 p ，) n g ，) = 巾， 对于任意( x ，y ) a r ( f ， p ，) ) nd r ( f ， g ，l i md ( f n ) ，f 只( y ) ) = 0 且 i n fd ( f 吼( x ) ，f 吼( y ) ) 0 ， 于是对于v 8 0 ，存在 0 ，当i 时，d ( f n ( x ) ，f 只( y ) ) 0 ， 对于v f n ，d ( f 9 7 ( x ) ，f 吼( j ，) ) 5 ， 选取一j 下整数序列船。，使得玎，= 1 ，? 川= 2 k n 。及正整数序列 七，= i 2i = 1 , 2 ，) ， i 移i m ， 的无穷递增子序列 f ，) ，使得对于v ，n ，p ，k 一。 玎 0 ，因为x o 诺p ( f ) ，所以d ( x o ，f ”( x o ) ) = d o 0 。 又因为厂是连续的，所以那 o ，对v 亏 。，6 ) 有d ( 厂( ”们( ) ，厂w ( 亏) ) 誓。 记6 = m i n 6 ，譬 。因为& 。，厂( ) ，厂”( 戈0 ) ) 在x 中稠密，所以厂 。) 的轨道在x 中 稠密， 按序列分布混沌 则 3 p ) cz + 使 得d ( x o ，f ”( ) ) 5 l ， 所 以 d ( f 以”7 ，( x o ) ，厂”p ( 亏) ) = d ( i 厂棚( 厂” ( x o ) ，f 叫，( 亏) ) ) 譬， 所以a acd r ( 厂， p 女 ) 。 ( 2 ) 3 q cz + 使得a xac a r ( f ， g 女) ) ，取x ，y a ，那么3 m ，船z + ，m 肝， 设m 玎 0 ，令x = f 册，( x o ) ，y = f ( x o ) ，我们只需证明v k z + ，b q ) cz + 使得 d ( f 玑( x ) f 讥( 少) ) = d ( f 吼”7 ( x o ) ，厂靠m 9 ( y o ) ) 0 使得v y n ( x 女) 有 谢训协) ，广圳坳) ) 石1 ，记净幽k 去 。 因为x o 的轨道在x 中稠密，所以f ( x 。) 的轨道在x 中稠密，3 q 。 cz + 使得 d ( f 吼+ ( x o ) ，x ) 0 ，如果对任 意的点x = x n ：。e ，存在常数6 0 ，使得对任意y = y 。 ：。e 都有c l ( x ，y ) 6 ， 这意味着对所有刀z 都有l x 。一y 。i 0 ，使得对于任意两点x = x n ) ，y = y 。) e ，对所有，z z 满足 k 一l 6 ，这意味着d ( x ，y ) 0 ， 【_ ) 使得对v f n 有l f ”，( x + ) 一x + 0 有： 孵q ( x o ) ，x 0 ) ：妻旺裂：3 i s 砸) - x l ， d 2 ( f 竹( ) ，x o ) = s u p f q ( x + ) - x | 0 ，我们有： 妒旷) 暇，弘筑哦 = 盼陟) 彳i 0 和c ，v n 0 ，我们有： 群 r i f 7 ( x o ) v ( x o ，) ，0 r ，z 。 = r i d l ( f ( x o ) ，x o ) 0 ，我们有： 群 r i f 7 ( x o ) v ( x o ，) ，0 r 舱。) = 拌 r l d 2 ( f ( x o ) ，x o ) 0 使得对任意q 0 ，存在，q 0 对任意q 0 ，存在r ，q 0 使得 l i m i n f 麓z o , a l ( d ( f b ) ，( f b ) ) ) 碘砒i 跏, ，c 量掣， = l i m i 时寺善x 限6 ) ( 3 f 7 ( 小八6 ) | ) ：0 ( 2 ) 对v 昙 0 ， 辽宁师范人学硕十学位论文 l i r a s u p 寺善) c 【o ；) ( d l ( ( n ( ( y ) ) ) 也s 即i 乳, 塞学， = l i m s u p 寺善x 他厂7 ( 垆厂，( 6 ) i ) _ 1 同理，对于任何不同两点x = x 。= a ，。o ：一，y = 虬= b ，。一e ， 存在口，b t ，a b 且 ( 1 ) j 6 0 使得 。l i m 。i n f ! 盯2 一，艽【。，6 ) ( d 2 ( f ( x ) ，( f 7 ( y ) ) ) = l i m i 时吉善) ( s u p 湫x ) 一厂，( 6 ) 1 ) 2 牌i 时寺善z f o 渺7 ( x ) 一邝) 1 ) = o ( 2 ) 对v t 0 ， ! 现s u p l 芝，z 【0 ，) ( d ：( f k ) ，( f b ) ) ) = l i r a s 叩i 1 善, t m ) ( s u p f ( x ) 一f ，( 6 ) 1 ) = l i m s u p 吉善) c 【0 ，“) 一f 砸) ) = 1 这就意味着f ：e _ e 有一个不可数分布混沌集e 。 ( 1 ) 由引理3 2 4 ，如果厂的拓扑熵是正的，那么在集合r ( 厂) 一4 ( ) 中存在不可数分 布混沌集丁。由上面的证明我们知道f 中存在不可数分布混沌集 e = = a l a t ，o 。o 。cr ( f ) 一么( f ) ； ( 2 ) 由引理3 2 4 ，如果的拓扑熵是正的，那么在集合形( f ) - 彳( 厂) 中存在不可数分 布混沌集丁。由上面的证明我们知道f 中存在不可数分布混沌集 e = = a l a 丁 ：。c ( ，) 一么( f ) ； ( 3 ) 由引理3 2 4 ，如果厂的拓扑熵是i f 的，那么在集合4 ( 厂) 中存在不可数分布混沌 按序列分布混沌 集丁。由上面的证明我们知道f 中存在不可数分布混沌集e = = a l a t o c 。c 彳( f ) ， 证毕。 论动力系统f ) 的按序列分布混沌性和其诱导的集值系统( k ( x ) 夕) 的按序列分布混 沌之间的关系，得出如下结论： 设( 工，厂) 为紧致系统，张( x ) ，厂) 是由( x ，厂) 诱导的集值动力系统，如果厂是拓扑传 递的且3 x p ( f ) ，f p ( z ) = z ，贝i j ( 1 ) 醐cx 使得么是i 厂的无穷按序列分布混沌集； ( 2 ) jack ( x ) 使得a 是厂的按序列分布混沌集。 系统的重要动力性质都集中在它的非游荡集上，游荡集可以看成是种干扰，所以 在它上面发生的现象是不重要的，但是并非系统所有的干扰都集中在它上面。为了得到 这样一个子系统，它不仅可以摆脱所有的干扰而且还能保持系统原有的重要的动力性 质，我们研究系统( 3 1 ) ，并证明了系统( 3 1 ) 在集合a ( f ) ，a ( f ) 一r ( f ) 上有不可 数分布混沌集的充分条件。 按序例分布混沌 参考文献 1 l i t y ，j a y o r k e p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s j t h ea m e r i c a n m a t h e m a t i c a l m o n t h l y 19 7 5 ，8 3 ：9 8 5 - 9 9 2 2 b a n k s j ，b r o o k s j ，c a l m s g e ta l ，o nd e v a n e y sd e f i n i t i o no fc h a o s j ，a m e r m a t h m o n t h l ) 19 9 2 。 9 9 ：3 3 2 3 3 4 3 d e v a n e y ，r l ，a ni n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m s m r e w o o dc i t y ：a d d i s i o n w e s l e y p u b l i s h i n gc o m p a n y ，19 8 7 ；2 n ae d ，19 8 9 4 r o b i n s o n ，c d y n a m i c a ls y s t e m s ：s t a b i l i t y ，s y m o b l i cd y n a m i c s a n d c h a o s m ，f l o r i d a ：c r c p r e s s ，19 9 5 5 s c h w e i z e rb ，a n ds m i t hj m e a s u r eo fc h a o sa n ds p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no fd y n a m i c a ls y s t e m so nt h e i n t e r v a l j t r a n s a c t i o n so f t h ea m e r c i a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y 1 9 9 4 ，2 ：7 3 7 7 5 4 6 王立冬，紧致系统中的概率性质遍历性及拓扑混合 d 长春：吉林大学，1 9 9 9 7 j a n d r e s ，j f i 。s e ra n dl j a u t t n e r ，o nam u l t i v a l u e dv e r s i o no ft h es h a r k o v s k i it h e o r e ma n di t s a p p l i c a t i o nt od i e r e n t i a li n c l u s i o n s ，s e t - v a l u e da n a l y s i s ，10 ( 2 0 0 2 ) ，1 - l4 8 j a n d r e s ，l j , u t t n e r ，p e r i o dt h r e ep l a y san e g a t i v er o l ei nam u l t i v a l u e dv e r s i o no fs h a r k o v s k i i s t h e o r e m ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，5 1 ( 2 0 0 2 ) ，11 0 1 11 0 4 9 h r o m a n f l o r e s ，an o t eo nt r a n s i t i v i t yi ns e t v a l u e dd i s c r e t es y s t e m s 。c h a o ss o l i t o n sa n d f r a c t a l