（概率论与数理统计专业论文）连续时间下几类多险种模型的破产概率及其相关研究.pdf

摘要 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，用单一险种的风险模型 来描述风险过程存在了局限性。本论文在已有结论的基础上，从不同 的角度对几类多险种风险模型进行了讨论。 ( 一) 多险种复合p o i s s o n 过程。论文第三章将经典风险模型推 广到多险种复合p o i s s o n 过程。这一章对破产概率的研究都是基于对 贴现惩罚函数的研究。我们先求出贴现惩罚函数的积分一微分方程、 积分方程；然后用两种方法求出贴现惩罚函数的l a p l a c e 表示；最后 利用破产概率与贴现惩罚函数的关系，求出破产概率的l a p l a c e 表示。 ( 二) 带干扰的多险种复合广义齐次p o i s s o n 过程。论文第四章 将多险种复合p o i s s o n 过程推广到多险种复合广义齐次p o i s s o n 过程， 并加入了随机干扰项。首先用鞅方法求出了模型的破产概率的一般表 达式及调节系数；其次将其破产概率分解为由随机扰动引起的破产概 率和由索赔引起的破产概率，求出了他们在一定条件下的积分方程、 积分一微分方程，还证明了他们的一些性质；最后求出了当索赔额为 指数分布时他们的显示表示。 ( 三) 索赔相关的多险种风险过程。论文第五章将多险种复合 p o i s s o n 过程推广到索赔次数依照一定规律相互关联的索赔相关过 程。我们首先得到了模型的一些数字特征和性质；在此基础上，我们 利用鞅方法求出了破产概率的上界和破产概率的一般表达式；最后将 索赔相关与独立的情况进行了比较，得出了索赔相关时风险性更大的 结论。 关键词多险种风险模型，破产概率，鞅方法，贴现惩罚函数 a b s t r a ct w i t hc o n t i n u o u se x p a n d i n go ft h er i s ko p e r a t i o n ss c a l eo fi n s u r a n c e c o m p a n i e s ，t h eg e n e r a l i z e dr i s km o d e ls h o w ss o m el i m i t a t i o n s b a s e do n t h ee x i s t e n t c o n c l u s i o n s ，t h i s t h e s i sd i s c u s s e ss e v e r a lk i n d so f m u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l sf r o md i f f e r e n tv i e w p o i n t t h ef i r s tm o d e li st h e m u l t i t y p e i n s u r a n c e r i s km o d e lw i t h c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s i nc h a p t e rt h r e eo f t h et h e s i s ，w eg e n e r a l i z e t h ec l a s s i c a lr i s km o d e lt ot h e m u l t i t y p e i n s u r a n c e m o d e l sw i t h c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s t h es t u d yo ft h er u i np r o b a b i l i t yi sb a s e do n t h es t u d yo fa ne x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y f i r s t ，w ed e r i v et h e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ei n t e g r oe q u a t i o no ft h ee x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t y t h e nw eg e tt h el a p l a c ee x p r e s s i o no fi tb yu s i n gt w o d i f f e r e n tm e t h o d s b a s e do nr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er u i np r o b a b i l i t ya n d t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y ，w ed e r i v et h el a p l a c ee x p r e s s i o no ft h e r u i np r o b a b i l i t ya tl a s t 。 t h es e c o n dm o d e li sm u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e lw i t hc o m p o u n d g e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n i n c h a p t e rf o u ro ft h et h e s i s ，w eg e n e r a l i z et h em u l t i t y p e - i n s u r a n c er i s k m o d e lw i t hc o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s st om u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l w i t hc o m p o u n dg e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s ，a tt h es a m e t i m e ，w ea d da nd i f f u s i o np r o c e s st ot h em o d e l f i r s t ，t h ef o r m u l a so ft h e r u i np r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r gc o e f f i c i e n ta r eo b t a i n e db yt h eu s eo f m a r t i n g a l e s e c o n d ，w ec o n s i d e rad e c o m p o s i t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t y f o rt h er i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n ：c a u s e db yo s c i l l a t i o no rb ya c l a i m w ed e r i v et h ei n t e g r oe q u a t i o n sa n di n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s a t i s f i e db yt h e m a n dw ea l s op r o v es o m ep r o p e r t i e so ft h e m f i n a l l y , w e p r e s e n tt h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h e s ed i s t r i b u t i o n sw h e nt h ec l a i m sa r e e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d t h et l l i r dm o d e li sm u l t i t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e lw i t hi n t e r a c t i o n b e t w e e nc l a s s e so fb u s i n e s s i nc h a p t e rf i v eo ft h et h e s i s ，w eg e n e r a l i z e m u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l w i t hc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s st o m u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e lw i t hi n t e r a c t i o nb e t w e e nc l a s s e so f b u s i n e s s w ee x a m i n eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ep r o p o s e dr i s kp r o c e s sa n d n s t u d yu p p e rb o u n d sf o rt h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h er u i np r o b a b i l i t yi t s e l f b yt h eu s eo fm a r t i n g a l e w ea l s oc o m p a r et h el u n d b e r ge x p o n e n t so f i n d e p e n d e n c em o d e lw i t ht h eo n eo fd e p e n d e n c em o d e l a tl a s t w e d e r i v et h er e s u l tt h a tt h ed e p e n d e n c eo n ei sm o r ed a n g e r o u s k e yw o r d s m u l t i t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , m a r t i n g a l ea p p r o a c h ，t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：础 日期：珥年旦月鱼日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：逝宣 导师签名娃生l 喵期：立早年旦月二日 硕士学位论文第一章绪论 1 1背景 第一章绪论 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题。作为保险精算的一部分， 最初主要借助随机过程理论来构造保险经营中的余额过程，并研究其破产概率、 调节系数、精算量等问题。风险理论的研究溯源于瑞典精算师l u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有一百余年的历史。事实上，类最重要的随机过程， 即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。同时，c r a m e r 和其 他一些瑞典学者也在这方面做了大量的研究工作，因此，风险理论较为系统的形 成应该说始于l u n d b e r g 和c r a m e r 的共同工作。 随着随机过程理论的逐渐系统和成熟，为风险理论的研究提供了强有力的方 法和工具，风险理论的研究取得了重大的突破和获得了众多优美的结果。对风险 理论系统的论述当属g e r b e r t 4 1 。 近几十年来，风险理论的发展十分迅速，其研究范围迅速扩大。风险模型的 破产理论是风险模型研究的重点问题。事实上，我们可用以下随机过程 u ( f ) ：t 0 来描述保险公司在t 时刻的盈余额： u ( t ) = u + 孝( f ) 一s ( t ) 其中，u 表示保险公司的初始准备金；孝( f ) 表示( o ，t 1 时间段内总的保费收 入；s ( f ) 表示( o ，t 1 时间段内总的索赔量。这里我们忽略利息和其它除保费和索 赔之夕卜影响余额的随机因素。随着时间t 的变化，余额完全有可能在某一时刻为 负，当首次出现这种情况时，我们说保险公司发生了破产。 破产理论的一个主要的课题就是研究初始准备金为u 时的破产概率v ( u 1 。 不过，我们所研究的破产概率仍是衡量一个保险公司及其所经营某个险种的金融 风险的极其重要的尺度，破产概率可以为保险公司的决策者提供一个早期的风险 警示，也可以为保险监管部门对保险公司的偿付能力的监管提供依据。因此，破 产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都有着非常重要的指导 意义。 1 2 风险理论的研究现状及发展 1 2 1 经典风险模型 硕十学位论文 第一章绪论 破产理论的研究最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，它是一个余 额过程，其基本假设如下： 给定完备的概率空间f q ，尸) ，模型中的所有的随机变量和随机过程均定义 在这样的一个概率空间上。以u ( u 0 ) 表示保险公司的初始准备金；常数c ( c 0 ) 表示单位时间收取的保费；( f ) 表示在( o ，t 】时间段内的索赔次数， ( f ) ，t 0 是参数为五的齐次p o i s s o n 过程；z i 表示第f 次索赔量， 互，f = 1 ，2 ，l 是独立同 分布的非负随机变量序列，它具有分布f ( x ) ( f ( o ) = 0 ) ，期望为，方差为盯2 ； 假设 ( f ) ，t 0 和 z f ，i = 1 ，2 ， 相互独立；则保险公司在t 时刻的盈余( s u r p l u s ) 由下式给出 n ( o u ( t ) = u + c t - 互 f = i 定义在某一瞬时，盈余过程取负值，称保险公司“破产 。令r 为保险公司 首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 ， t = i n f ( t ：u ( f ) 0 ，则z = ) 定义保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) w ( u ) = p r ( t 0 ，称为相对安全负荷( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) ( 3 ) ( 调节系数存在唯一性假定) 个体索赔额( i n d i v i d u a lc l a i m ) 的矩母函 数( m o m e n tg e n e r a tin gf u n c tio n ) ： m z ( ，) = = j c o 矿订( x ) = l + ，f e “ i f ( x ) 出 至少在包含原点的某个邻域内存在：其次，要求下述方程 m z ( r ) = 1 + 詈， 具有正解足，称为调节系数。 若上述假定都成立则有如下破产论的三大经典结果： 2 硕+ 学位论文 第一章绪论 ( 1 ) v ( 0 ) = 而1 ； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：甲0 ) p 一，v “0 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 近似：+ 存在j 下常数c ，使得 l i mc w p 一( u 地) = 1 1 2 2 经典风险模型的推广与进一步研究 经典风险模型的重要结果为破产理论的发展奠定了坚实的基础，但由于经典 风险模型本身有着很多缺陷。于是很多研究人员对经典风险模型进行了推广和深 入研究，其中j g r a n d e l lt 5 1 、g e r b e ra n ds h i ue s w t 3 1 【4 】、w i l l m o tg e ( 6 】( 7 8 1 、w a n g g ：j 【9 1 0 1 2 1 等为风险理论的发展做出了巨大的贡献。 在过去大量的工作中常见模型推广有下面几个方面： ( 1 ) 多险种风险模型 经典风险模型有一个局限性就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只考虑 经营一种险种是的破产概率。但随着保险公司经营规模的同益扩大，险种的多元 化及新险种的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率 就无能为力了。于文广【1 3 1 讨论了复合广义齐次p o i s s o n 过程的多险种模型，w u x y ，y u e nk c t l 4 1 ，c o s s e t t e ，m a r c e a u t b 】等研究了离散时间的索赔相关模型， w a n gg j ，y u e nk c t 坦】等研究了连续时间的索赔相关模型。本文用不同分布的随 机序列来描述不同险种的索赔量，既能反映各个险种对公司总业绩的影响，也能 反映保险公司总体的经营业绩。因此，采用多险种风险模型来描述上述情况，对 于保险公司的经营及监管部门的监管更具实际意义。当然，由于条件的复杂性， 本文只考虑单位时间收取的保费为固定值的情况。 ( 2 ) 对保费收入过程的推广 。 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费为一常数c ，这 种假设过于理想化了。为此，很多学者在这方面做了推广。孙立娟和顾岚一认 为不同单位时间所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服从某一离 散分布，将经典复合p o i s s o n 模型推广到保单到达和索赔发生独立的p o i s s o n 过 程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式；龚日朝和 李风军将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅论的方法得出 了此模型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当个体索赔服从指数 分布时破产概率的具体表达式；龚日朝在索赔服从指数分布的情况下，得到 了有限时间内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明考虑了一类 具有马氏过程调制费率的风险模型，得到了破产概率满足的积分方程，并且推出 硕十学位论文第一章绪论 了在具有平稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时破产概率的一 个简洁估计式。 ( 3 ) 带扩散干扰项的复合p o i s s o n 过程 设盈余过程由下面式子给出： r o ) = u + c t s o ) + w ( t ) , v t 0 其中u 为保险公司初始盈余，c 为保险公司单位时间征收的保费率，s ( t 1 为 时刻t 为止的总索赔额，扰动项形o ) 则是一b r o w n 运动。假定 形( f ) ，f 0 和 s ( 4 1 0 是相互独立的。 此时破产概率甲( “) 可分解为： 甲( “) = 甲。( 甜) + 甲，u ) 其中匕g ) 表示因为随机扰动而引起的破产，甲，( “) 则表示因索赔引起的破产。 ( 4 ) 对索赔到达过程的推广 。 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程描述索赔到 达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数都是随 机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，索赔次数的强 度是随机变化的。例如机动车辆保险中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的影响， 因而用强度恒定不变的齐次p o i s s o n 过程描述索赔次数存在很大的局限性 g r a n d e l l 一中详细讨论了非齐次p o i s s o n 风险模型，c o x 风险模型，更新风险模型， 平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广。 ( 5 ) 重尾分布和具有复合资产的情形 经典破产论研究的都是“小索赔 的情形，一个很强的条件是调节系数的存 在。对于“大索赔”的情形，p a u le m b r e c h t s 和c l a u d i sk l u p p e l b e r g t 2 们在这 方面展开了研究。近来，对具有随机的投资收益的随机模型的研究感兴趣的人越 来越多，但工作难度较大。主要有j p a u l s e n 的t 作【2 l 】f 2 2 1 。 - 1 3 本论文的研究问题和主要结果 本文所研究的风险模型均是在轻尾分布假设下进行的。破产概率的估计和计 算是本论文研究的重点之一。由于保险公司在实际中并不仅仅经营单一险种，因 此，在单位时间内可能有几个险种同时发生索赔。在这种情况下，前面的单一险 种的经典风险模型就不太适用了。因此本论文在已有结论的基础上，从不同的角 度对几类多险种风险模型进行了讨论。 ( 1 ) 多险种复合p o i s s o n 过程 4 硕+ 学位论文第一章绪论 本文首先将经典风险模型推广到多险种复合p o i s s o n 过程。论文对破产概率 的研究都是基于对贴现惩罚函数的研究。我们先求出多险种复合p o i s s o n 过程的 贴现惩罚函数的积分一微分方程、积分方程，并用两种方法求出贴现惩罚函数的 l a p l a c e 表示。最后利用破产概率与贴现惩罚函数的关系，求出破产概率的l a p l a c e 表示。 ( 2 ) 带干扰的多险种复合广义齐次p o i s s o n 过程 将多险种复合p o i s s o n 过程推广到更为一般的情况，即多险种复合广义齐次 p o i s s o n 过程，并加入了随机干扰项。首先用鞅方法求出了模型的破产概率的一 般表达式及调节系数；其次将其破产概率分解为由随机扰动引起的破产概率和由 索赔引起的破产概率，求出了他们在一定条件下的积分方程、积分一微分方程， 还证明了他们的一些性质，最后求出了当索赔额为指数分布时他们的显式表示。 ( 3 ) 索赔相关的多险种风险过程 将多险种复合p o i s s o n 过程推广到索赔次数依照一定规律相互关联的过程。 我们首先得到了模型的一些数字特征和性质；在此基础上，我们利用鞅方法求出 了破产概率的上界和破产概率的一般表达式；最后将索赔相关与独立的情况进行 了比较，得出了索赔相关时风险性更大的结论。 、 5 硕十学位论文 第二章预备知识 2 1p o is s o n 过程 第二章预备知识 2 1 i 开次p o is s o n 过程 定义2 i 1 有限计数过程 o l f o 称为齐次p o i s s o n 过程，简称p o i s s o n 过程，如果它满足以下条件： ( 1 ) p ( 0 ) = o ) = 1 ； ( 2 ) 对于任意f s 0 ，增量o ) 一g ) 有参数为o s ) 的p d 汹d ，1 分布，即 对于任意k z = 0 , 1 ，2 ， 有： 尸撕) 一g ) ：砖：必 e 丹，) 这里o 是常数，称为过程的强度或发e l 生率。 ( 3 ) 具有独立增量 为方便起见，在下面的文章中齐次p o i s s o n 过程可简称为p o i s s o n 过程。 性质2 1 2 齐次p o i s s o n 过程 似f o 在任意的时刻f 0 的跃度有不超 过1 的跳跃。即点过程没有重点，有如下数学表达： p o ) = o 或l ，对每一时刻f 【o ，) = l 这里( f ) 表示点过程 o ) ，f o ) 在时刻f o 发生的点数。 定理2 1 3 若有限计数过程 o ) f o ) 为一齐次p o i s s o n 过程必须且只须 满足以下条件： ( 1 ) p ( o ) = o = l ( 2 ) 对于任意的t 0 和 0 ，当- - 0 时有： p ( f + ) 一o ) ) = 胚+ 。( ) 以及 p o + ) 一o ) 2 ) = 。( ) ( 3 ) 具有独立增量 2 1 2 广义齐次p o is s o n 过程 定义2 1 4 有限计数过程 o ) ，f o ) 称为广义齐次p o i s s o n 过程，若它满足 以下条件： ( 1 ) p “( o ) = o = 1 6 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 2 ) 有平稳增量 ( 3 ) 具有独立增量 广义齐次p o i s s o n 过程还有如下一个刻画： 定理2 1 5 若 o ) ，f o 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意s o ，o ) 的 概率母函数g fg ) 必形如：g ，g ) = p 讲g j h ；这里o 是某一常数，g ( , ) - - - z 多s 7 产l 是某一正数值随机变量x ：( 三，p ? 2p ? s ：) 的概率母函数其中p ，给出过程在 、p l 。 任意一个跳发生时刻有个点同时出现的概率。 对于如上给定的参数为p 和多，的广义齐次p o i s s o n 过程 o ) ，f o 为一复 合p o i s s o n 过程且o ) = 设以，= 名；其中1 ) x 为整数上的离散随机变量， 且舷，= 尼) = 允；2 ) 坍o ) 是强度为的齐次p o i s s o n 过程。 性质2 1 6 在定理2 1 5 的条件下， e x i 】- ，则有： ( f ) = 眦 定义2 1 7 设口o ) ，f o 是随机过程，识，t o 是一代数流，如果对任何 t ，x o ) 是e 可测的，则称x ( f ) 是c 一适应的。 记 y ：蟊： 是定义在【0 ，丁扯的可测适应过程，满足r 2 g 灿 0 ，形o ) 服从正态分布n ( o ，仃2 f ) 则称 矽( f x f o b r o w n 运动。 如果莎= l ，我们称之为标准的b r o w n 运动。 性质2 2 2b r o w n 运动是具有下面性质的随机过程 形( f ) ，f 0 ： ( 1 ) ( 正态增量) w ( o 一g ) 服从均值为0 、方差为t s 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) w ( o 一矽g ) 独立于过程的过去状态矽q ) ，o “ 0 记： f = i n f t w ( t ) | = 口x 【- 叩】 砒洲2 栌k 艺= - - 。忖万1 勋小啦! 4 k a ) 2 ) 酬= 赤矿薹，e x 一知+ 1 ) 2 如_ e 冲阻h ，2 一2 ( 4 k - o e x 学a 2 ，2 ) 则有： ( 1 ) 尸( 彤如乙 s ) = h ( 口，s ，x 妇： ( 2 ) 币。出) = h ( a ，s 协： ( 3 ) 尸( 彬。= 口，l 出) = p 慨= 一口，l 出) = 丢 ( 口，f 谚 引理2 2 4 ( 1 ) 固定口，t 0 ，那么h ( a ，t ，工) 关于x - - a ，口) 一致收敛；固定口 0 , x 0 ， ，则h ( 口，f ，x ) 关于t ( o ，佃) 连续；若h ( a ，0 ，0 = h ( a ，o + ，x ) = o ，那么 h ( 口，t ，x ) 关于f 【0 ，佃) 连续； ( 2 ) f 日g ，f ，x 协中的积分号和求和号可以互换次序； ( 3 )设口 0 ，那么h ( a ，f ) 关于f ( 0 ，佃) 一致收敛，一致有界且连续若令 厅( 口，o ) = ( 口，0 + ) = o ，, 贝l jh ( a ，f ) 关于f 【o ，佃) 连续； ( 4 ) 设口 o ，则( 日x 嘲一h ( a ，r ) ( 5 ) f = 日( 口，0 ，石) 出= 1 ( 6 )任给“o 0h ( a ，f lj i l 胎，f ) 舷，f ) ，关于g ，f ) 0 。，佃) ( 0 ，佃) 均一致收 敛。 定义2 2 5 ( 肠过程) 如果过程】，= 】r o f 丁) 可以表示为： 8 硕+ 学位论文第二章预备知识 r ( o = y ( o ) + f g ) 出+ 上盯g p 形g ) ，o t t 其中过程o ) 和盯o ) 满足： ( 1 ) o ) 是适应的并且f 陋。枷 o o ， 口j ； ( 2 ) 盯o ) 1 ， 则称y = ，o l o f 丁 为肋过程。 定理2 2 6 ( 肺引理) 设x o ) 是由 d r o ) = o 协+ 仃o p 形o ) 。 给出的肠过程，g o ，工) 是【o ，) 尺上的二次连续可微函数，则 y o ) = g o ，x o ) ) 仍为肺过程，并且 d 】，o ) ：譬o ，x o 慨+ 祟( f ，x o ) 妞o ) 优出 + 三窘) ) 似o ) ) 2 其中( 四o ) ) 2 = 汹o ”皿o ) ) 按照下面的规则计算： 出d t = 出d 矽( f ) = d 形o ) d t = o ，d o ) d ( f ) = d t 2 3 随机和 定义2 3 1 ( 随机和) 设x l ，x 2 ，x 。是独立同分布的随机变量，并且有相 同的函数f 和相同的矩母函数m ，( 厂) = e p 脯 ；它们和的分布函数是f 。“( ) ， 其中，4 表示f 的刀重卷积。阻( 厂) 】4 则是它们和的矩母函数。 若求和次数是一随机变量则也有类似的结果： 设是一个仅取非负整数的随机变量，记 m ( r ) = z e 蹦p 。 9 硕十学位论文第二章预备知识 其中p 摩= p n = 行 ，n = 0 , i ，2 ，又设置，工：，e 是独立同分布的随机变量序 列，并以f 与m o ) 分别表示它们的公共分布函数与矩母函数。再假定诸置和 也是相互独立的，并汜 s = x l + xz 七+ xn 当n = o 时，约定s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸置为s 的 加项。 那么有： ( 1 ) e b 】- e n e x 】 ( 2 ) v a r s = v a r i n i e x d 2 + e n i v a r x 】 特别，当求和次数服从参数为五的p o i s s o n 分布时有： ( 1 ) e 防】_ 肛防】，g a ， s l = 舾k 2j ( 2 ) b g ) 2 善v * n g ) 告e ( 2 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布。 2 4 鞅论基础知识及相关结果 定义2 4 1 ( 鞅) 实值过程m = m o l f o ) 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，m ( t ) 为f 一可测； ( 2 ) 对于任意的f 0 ，e 8 m o 】 ； ( 3 ) 对于任意的o j ， 定义2 4 3t 是q 哼l o ，l 上的随机变量，如果对于任意的t 0 ，都有 口t e ，则称z 是，一停时。 定理2 4 4 ( d o o b 停止定理) 设m = 膨o l f o ) 为一右连续的f 一鞅，s ，r 为两个停时，则有； e 瞳p ) i b 】= m ( t as ) ， 尸一口j 2 5 l a pi a c e - s ti e l t j e s 变换、卷积 l o 硕+ 学位论文第二章预备知识 定义2 5 1 设s ( x ) 是定义在【o ，0 0 ) 上的任意函数，我们把由 7 0 ) = f p 一材厂( f ) 出定义的函数称为它的拉普拉斯变换。 性质2 5 2 ( 1 ) 刀个相互独立的非负随机变量x 。x 2 ，鼍之和】，= 五+ t + + 鼍的 l - s 变换等于这，z 变量的三一s 变换西。o ) ，：( s ) 9o ，。( s ) 的乘积即- m ，( s ) = 。o ) ：( j ) 。( s ) ( 2 ) x j 置是一串相互独立同分布的非负随机变量序列，它们共同的 三一s 变换是( s ) ，又设是一个独立于 置，i = l ，2 的非负随机变量，它的 概率母函数是g o ) ，则随机变量z = 誓的三一s 变换：0 ) 是： = ( s ) = e ( s ) = g ( ( s ) ) 定义2 5 3 设x ，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 ，( x ) ，g ( x ) 则z = x + y 的分布函数是 日( z ) = 尸( z z ) = i fd f ( x ) d g ( y ) = e g ( z 一工矽( z ) = f g x y s ： 称为f ( x ) ，g ( x ) 的卷积。 性质2 5 4 设五，t ，鼍是以个相互独立的随机变量并且设它们的边际分 布分别为c ( 蕾) ，i = 1 ，2 ，3 ，刀，则s = 五+ t + + 鼍的分布函数，“) z ) 可以表 示为：， f ( ”( z ) = e 幸砂。1 ) 其中f ( i ( z ) = e ( z ) 2 6 条件期望 概率空间记为( q ，p ) ，g 是，的某一子盯代数，gcf 。孝细) 是满足 e 蚓 o o 的随机变量。 定义2 6 1 具有下列两性质的随机变量e ( 纠g ) 称为孝仞) 关于g 的条件数学 期望( 简称为数学期望) 。如果 ( 1 ) e ( 纠g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有：互e ( 纠g ) 尸( d 缈) = 毒p ( d e o ) 。 定义2 6 2 设c f 为任意事件，则它的示性函数，即：，c ( 缈) = 1 ，如果 彩c ，否则i c ( 缈) = c ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为 p ( c l g ) 。 硕十学位论文 第二章预备知识 p ( d g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) h d g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意a g 有：l 。p ( c l g ) p ( 砌) = p ( a c 5 。 注：在本文中，如无特殊说明，所有t 表示示性函数，即：i c ) = l ，如果 缈c ，否则，c ) = 0 。 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率1 成立的，孝，专，r l 都是随机变量且矧纠 e ( r lg ) ； ( 3 ) l e ( 孝l g ) l e ( i 孝i i g ) ； ( 4 ) 设o 磊个孝，e 眵i o o ，则e ( 磊l g ) 个e ( 孝l g ) ； ( 5 ) 设磊专孝，l 专i r l ，e r l 0 0 ，则e ( 茧l g ) 专e ( 孝i g ) ； ( 6 ) 如7 7 对g 可测，e 1 4 0 i o o ，q 刁l ，则e ( 勿l g ) = 祖( 纠g ) ； ( 7 ) 如孝对g 可测，则e ( f l g ) = 孝； ( 8 ) 若孝与g 独立，则层( 纠g ) = 霹； ( 9 ) 如g lcg 2cf ，则e 陋( 纠g 2 ) g 。】_ e ( # i g ) = e e ( 4g 。) i g 2 】； ( 1 0 ) e 陋( 纠g ) 卜鹾。 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率的 性质。 一个常用记号，孝关于盯代数f k ，t r 的条件期望，e ( 纠f k ，t r ) 记为 e ( 孝l ，t d 。 1 2 硕十学位论文第三章多险种复合p o i s s o n 过程 第三章多险种复合p ois s o n 过程 破产概率的研究历来是保险公司极其重视的问题。对于新兴发展的保险业尤 为重要。单一险种的风险过程前人已经提供了多种数学模型。考虑到风险经营业 规模的不断扩大，即风险经营的多元化，有必要建立多险种模型。本章在于文广 1 1 3 】的基础上将经典风险模型推广到多险种情形。由g e r b e rh u ，s h u ie w t 4 1 考 虑了破产概率为贴现惩罚函数的一个特殊的情形。本章首先求出了多险种复合 p o i s s o n 过程的贴现惩罚函数的l a p l a c e 表示，再求出破产概率的l a p l a c e 表示。 3 1 模型的描述 我们考虑一个包含n 类险种的破产模型 一( f ) u ( t ) = u + c t - 甲= u + c t - s ( t ) ( 3 1 1 ) j = l i = 1 实际背景： ( 1 ) u ( t ) 表示保险公司在t 时刻的盈余资本；u = u ( o ) 为其初始资本。 ( 2 ) s ( t ) 表示n 类风险在【o ，t 】时间内的理赔总额。 ( 3 ) 鬈u 表示第j 类险种的第i 次索赔额。且z u ( f = l ，2 ，3 ) 独立同分布， 分布函数p ( 1 y ) ，他们的期望为( n ，j = l ，刀。 ( 4 ) ，( f ) 为t 时间内第j 类险种的理赔次数，且服从参数为五，的泊松过程。 r ( 5 ) c 表示单位时间内公司收取的保费。 ( 6 ) 誓n ，= l ，刀相互独立，且与形) 独立。 定义3 1 1 ( 1 ) 破产时间：t = i n f t l u ( t ) o 。 ( 2 ) 最终破产概率：甲( “) = p r t 乃d ，贝l j l ，一i m v ( t ) = 0 0 ，甲( “) 0 。万o 为贴现因子。，为示性函数： j ( 彳) = l 时，彳发生；，( 彳) = o 时，a 不发生。 定理3 2 1 ( 掰) 有以下积分一微分方程： 州炉p 利吣) 一纠i = 1r 吣叫以胁) 一喜秽( 3 - 2 - 2 ) 其中缈力 ) = r w ( “，z 一甜) ，) ( x ) 出= f w ( “，y f ) ( “+ y ) d y 证明：当j j i o 时，考虑在( o ， ) 上可能发生的情况： ( 1 ) 在( 0 五) 上没有发生事故。 ( 2 ) 在( o ，1 1 ) 上发生一次事故，但是理赔总额没有导致破产( 可能存在多 ( 3 ) 在( o ，j 1 1 ) 上发生一次事故，理赔总额导致破产( 可能存在多次理赔) 。 ( “) ：矿鳓密p 一乃一( “+ 幽) + 喜r r 扭+ 凳一f 乃出r + 甜( “+ “一刁，c x ，出 + 扩挚 砒。, w ( u + c t , x - u - c t ) p ( t ) ( 二，? | o=一i万+窆乃l(“)+椰(“)+喜乃(fi(“一x切(x)出)j = l ，= l 、。 + 喜五( f wu , x - - u ) p ( ) 出) = 一【万+ 窆j = l 乃】( “) + 棚( “) + 窆1 = 1 乃( r ( “一x 扫( 力出) + 窆i = l 乃缈( ) ( 圳。 、。 。 令p ( u ) = e - 朋( “) ，将( 3 2 2 ) 两边同时乘以矿肛，由积分的性质得： 1 4 硕十学位论文第二章多险种复合p o i s s o n 过程 刚炉卜喜乃唧h 小喜五( r 叫f 砂( 石胁) 一矿舢( “) ，- i 定义 ，( 孝) = 万+ 乃一 = l ( 3 2 - 4 ) ( 3 - 2 5 ) 则( 3 2 4 ) 式中p ( “) 的系数为，( p ) 。在本章中我们用夕表示函数厂的拉 普拉斯变换，即 夕( f ) = f 口一务厂( x ) 出。当孝o 时，p 的拉氏变换为 ( 孝) ( 1 = i ，以) 。 考虑 骷) = 乃( 孝) 、 ( 3 2 6 ) ，= i 引理3 2 2 式，( f ) ：窆乃p 0 孝) 有唯一一个正根。 j = l 证明：因为，( o ) = 万+ 乃- e 乃= 乃声7 ( o ) ，且 秘，、 l 窆乃力( 善) l = 一窆乃( f p 一妇印( a 功出) o