（概率论与数理统计专业论文）离散时间有限状态的反射倒向随机差分方程及其应用.pdf

一 公 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：超自垄h 期：丝鳕麦旦婴j 3 飞 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兰蚣导师签名：姒翌：2 丛蛐口 专 、j - 山东大学硕十学位论文 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第一章引言1 第二章f s - r b s d e s 的建立和s k o r o h o d 引理3 2 1f s - r b s d e s 的建立3 2 2s k o r o h o d 引理5 第三章比较定理9 第四章解的存在唯一性定理1 3 第五章f 孓r b s d e s 和最优停时问题1 9 第六章离散时间有限状态下的争鞅理论2 3 6 1g - 期望和分鞅2 3 6 2 关于瓯r ( ) 可料抽样定理2 8 6 3 在k n i g h t i a n 不确定性下的多先验鞅中的虑用2 9 6 4 在多先验鞅框架下的最优停时中的应用：3 3 第七章在美式期权中的应用3 9 7 1 完全市场中美式期权的定价模型3 9 7 2 不完全市场中美式期权的定价模型4 5 参考文献4 7 致谢4 9 山东大学硕十学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n l c h a p t e r2t h ed e f i n i t i o no ff s - r b s d e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gs k o r o h o d l e m m a 3 2 1t h ed e f i n i t i o no f f s - r b s d e s 3 2 2s k o r o h o dl e m m a 5 c h a p t e r3c o m p a r i s o nt h e o r e m 9 c h a p t e r4e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m 1 3 c h a p t e r5f s - r b s d e sa n do p t i m a ls t o p p i n gt i m ep r o b l e m s 1 9 c h a p t e r6g - m a r t i n g a l et h e o r yi nad i s c r e t et i m ea n df i n i t es t a t es p a c e2 3 6 一g - e x p e c t a t i o n sa n dg - m a r t i n g a l e s 2 3 6 2o p t i o n a ls a m p l i n gt h e o r e mf o rg ( ) 2 8 6 3a p p l i c a t i o n st om u l t i p l ep r i o rm a r t i n g a l eu n d e rk n i g h t i a nu n c e r - t a i n t y 2 9 6 4a p p l i c a t i o n st oo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m si nam u l t i p l ep r i o r f r a m e w o r k 3 3 c h a p t e r7a p p l i c a t i o n st oa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s 3 9 7 1 t h cm o d e lo fp r i c i n go fa m e r i c a no p t i o n si na d y n a m i c a l l y c o i n - p l e t em a r k e t 3 9 7 2t h em o d e lo fp r i c i n go fa n m r i c a no p t i o n si na ni n c o m p l e t em a r - k e t 4 5 r e f e r e n c e s 4 7 a c k n o w l e d g e m e n t s 4 9 一i i 一 山东大学硕十学位论文 中文摘要 倒向随机微分方程( b s d e s ，p a r d o u x 和p e n g 1 6 1 ) 自建立以来，被 广泛运用到数理金融、随机控制等诸多领域巾；并由此引申出了一系 列具有附加条件的特殊方程，例如止倒向随机微分方程( f b s d e s ) 和 反射倒向随机微分方程( r b s d e s ) 以至于后来的倒向重随机微分方 程( b d s d e s ) 。受此驱动，c o h e n 和e l l i o t t 8 】研究了有限状态的倒向随机 差分方程的一般理论及其应用。但是有限状态的反射倒向随机差分方程 及其应用还无人研究。 本文首先建立了有限状态的反射倒向随机差分方程，并运用“一 步法”证明了此类方程的s k o r o h o d ；j i 理、比较定理和解的存在唯一性定 理。以这些理论为工具，我们研究了其在最优停时问题上的应用；为了 研究g - 鞅框架下的最优停时问题，我们首先建立了离散时问有限状态下 的g - 期望和g - 鞅，并证明- j d o o b - m a v e r 分解定理和可料抽样定理。 作为本理论两个具体的应用，我们通过解一类特殊的具有限状态 倒向随机差分方程( f s b s d e s ) 来计算多先验鞅；更深入地，我们证 明了可以通过解一类特殊的具有限状态的反射倒向随机差分方程( f s - r b s d e s ) 来解决多先验框架下的最优停时问题( r i e d e l 2 1 ) 。 最后，我们建立了完全市场下的离散时问有限状态的美式期权定价 模型；更进一步，运用以上理论，本文探讨了具有限状态的反射倒向随 机差分方程( f s - r b s d e s ) 在不完全市场巾美式期权定价中的应用。 关键字：b s d e ，r b s d e ，g - 鞅，多先验鞅，k n i g h t i a n 不确定性。 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e oi l j 5 e、ryo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cdr e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e sw a s f i r s ti n t r o d u c e db yp a r d o u xa n dp e n gi1 6 1 o v e rt h ep a s tt w e n t yy e a r s b s - d e sa r ew i d e l yu s e di nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e s t o c h a s t i cc o n t r o la n do t h e r f i e l d s b ya n a l o g yw i t ht h et h e o，f1ry o fb s d e sc o h e na n de l l i o t t8c o n s i d - e r e dt h eb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n sr e l a t e dt od i s c r e t et i m e a n df i n i t es t a t ep r o c e s s e 葛a se n t i t i e si nt h e ko w nr i g h t ，n o ta sa p p r o x i m a - t i o n st ot h ec o n t i n u o u sc a s e t h eg e n e r a lt h e o r yo fr e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ( r b s d e sf o rs h o r t lw a ss t u d i e db ye lk a r o u ie ta 1 1 9 1 t h i si m - p o r t a n tt h e o r yc o u l db ea p p l i e dt ot h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e ma n ds o m e p r o b l e m si nf i n a n c em a r k e t sf 1 0 1 s oi t i si n t e r e s t i n gt oe x p l o r et h er e f l e c t e d b s d e si nt h ef r a m e w o r ko ff 8 1 ，a sw e l la ss o m ea p p l i c a t i o n s i nt h i sp a p e r w ef i r s te s t a b l i s ht h er e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hf i n i t es t a t ef f s - r b s d e sf o rs h o r t ) t h e nw ee x p l o r e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e ma sw e l la st h ec o m p a r i s o nt h e o r e m b y o n es t e p ”m e t h o d t h cc o n n e c t i o n sb e t w e e nf s - r b s d e sa n do p t i m a l s t o p p i n gt i m ep r o b l e m sa r ei n v e s t i g a t c da n dw ea l s os h o wt h a tt h eo p t i m a l s t o p p i n gp r o b l e m sw i t hm u l t i p l ep r i o r si sas p e c i a lc a s eo fo u rf s r b s d e s a sw e l la st h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h ef s - b s d e sa n dt h em u l t i p l ep r i o r m a r t i n g a l eu n d e rk n i g h t i a nu n c e r t a i n t y a sab y p r o d u c tw ed e v e l o pt h eg e n e r a lt h e o r yo fg - m a r t i n g a l e si nd i s - c r e t et i m ew i t hf i n i t es t a t ei n c l u d i n gd o o b - - m a y e rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m a n do p t i o n a ls a m p l i n gt h e o r e m f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ep r i c i n gm o d e l s o fa m e r i c a no p t i o ni nb o t hc o m p l e t ea n di n c o m p l e t em a r k e t s k e y w o r d s ：b s d e ，r b s d e ，g - m a r t i n g a l e ，m u l t i p l ep r i o rm a r t i n g a l e ， k n i g h t i a nu n c e r t a i n t y 一i i j 山东大学硕士学位论文 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h et h e o r yo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e s lw a s f i r s ti n t r o d u c e db vp a r d o u xa n dp e n gf 1 6 1 0 v e rt h ep a s tt w e n t yy e a r s ， b s d e sa r ew i d e l yu s e di nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，s t o c h a s t i cc o n t r o la n d o t h e rf i e l d s s o m ep e o p l eh a ds t u d i e dd i s c r e t et i m ea p p r o x i m a t i o na n d m o n t ec a r l os i m u l a t i o no fb s d e s ，s u c ha sb r i a n de ta 1 1 2 i ，m ae ta 1 1 4 1 ， b o u c h a r da n dt o u z if 1 1 b ya n a l o g yw i t ht h et h e o r yo fb s d e s ，c o h e na n d e l l i o t tf 8 lc o n s i d e r e dt h eb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n sr e l a t e d t od i s c r e t et i m ea n df i n i t es t a t ep r o c e s s e sa se n t i t i e si nt h e i ro w nr i g h t ，n o t a sa p p r o x i m a t i o n st ot h ec o n t i n u o u sc a s e i nt h e i rp a p e r ，t h e yo b t a i n e d t h ec o r r e s p o n d i n ge ) ( i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o na n d c o m p a r i s o nt h e o r e ma sw e l la so t h e ri n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s f o rd e e p e r d i s c u s s i o n ，t h er e a d e r sm a yr e f e rt o1 6 la n d1 7 1 t h eg e n e r a lt h e o r yo fr e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ( r b s d e sf o rs h o r t ) w a ss t u d i e db ye lk a r o u ie ta 1 1 9 1 t h e yc o n s i d - e r e dt h ec a s ew h e r et h es o l u t i o ni sf o r c e dt os t a va b o v eag i v e ns t o c h a s t i c p r o c e s s ( c a l l e dt h eo b s t a c l e ) a n di n t r o d u c e da ni n c r e a s i n gp r o c e s sw h i c h p u s h e st h es o l u t i o nt or e m a i na b o v et h eo b s t a c l e t h i si m p o r t a n tt h e o r y c o u l db ea p p l i e dt ot h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e ma n ds o m ep r o b l e m si n f i n a n c em a r k e t s 1 0 1 s oi t i si n t e r e s t i n gt oe x p l o r et h er e f l e c t e db s d e s i nt h ef r a m e w o r ko f1 8 1 ，a sw e l la ss o m ea p p l i c a t i o n si no p t i m a ls t o p p i n g t i m ep r o b l e m si nd i s c r e t et i m es u c ha so p t i m a ls t o p p i n gu n d e rk n i g h t i a n u n c e r t a i n t v1 21l ，p r i c i n go fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m sa n ds oo n t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 t h ef i n i t es t a t er e - f l e e t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o n sf f s r b s d e sf o rs h o r t ) a r e d e f i n e d ks h o wt h a tt h es k o r o h o dl e m m ah o l d si nt h i sc a s e m o r e o v e r ， t h es o l u t i o no ft h ef s - r b s d e sc o r r e s p o n d i n gt ot h ev a l u ef u n c t i o no fa n o p t i m a ls t o p p i n gt i m ep r o b l e mi sp r o v e d i ns e c t i o n3 ，w ep r o v et h ec o t - r e s p o n d i n gc o m p a r i s o nt h e o r e m i ty i e l d st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s t h e o r e mt h r o u g ht h ec o m p a r i s o nt h e o r e mi n1 8 ii ns e c t i o n4 i ns e c t i o n5 ， w es h o wt h es o l u t i o no ft h ef s r b s d e sw h e r e ，i sac o n c a v e ( o rc o n v e x ) f u n c t i o ni st h ev a l u ef u n c t i o no fam i x e do p t i m a ls t o p p i n gs t o c h a s t i cc o n - t r o lp r o b l e m i ns e c t i o n6 i no r d e rt os t u d yt h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m s i nt h ef r a m e w o r ko fg - m a r t i n g a l e s ，w ef i r s ts t u d yt h eg - m a r t i n g a l e ，d o o b - m a y e rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n do p t i o n a ls a m p l i n gt h e o r e m ，w h i c h w e r ei n v e s t i g a t e di nc o n t i n u o u st i m ei n 【4 】，f 17 】，f 1 8 】w 色a l s og i v et h ec o n - n e c t i o n sb e t w e e nt h ef s - b s d e sa n dt h em u l t i p l ep r i o rm a r t i n g a l eu n d e r k n i g h t i a nu n c e r t a i n t y c o n s e q u e n t l y , t h eo p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e mw i t h m u l t i p l ep r i o r sc a nb es o l v e db yc o m p u t i n gas p e c i a lk i n do ff s - r b s d e s 一l 一 山东大学硕士学位论文 f i n a u yw ea p p l yt h ea b o v et h e o r yt os t u d yt h ep r i c i n gm o d e l so fa m e r i c a n o p t m ni nc o m p l e t ea n di n c o m p l e t em a r k e t si ns e c t i o n7 一2 一 山东大学硕十学位论文 c h a p t e r2 t h ed e f i n i t i o no ff s r b s d e sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gs k o r o h o dl e m m a a si nf 8 1 ，w ew i l lc o n s i d e rs o m eu n d e r l y i n gd i s c r e t et i m e ，f i n i t es t a t e p r o c e s sxw h i c hc a nb ea l w a y sa s s u m e dt ob ee s s e n t i a l l yb o u n d e da n dt a k e v a l u e si nt h es t a n db a s i sv e c t o ro fr ”w h e r emi st h en u m b e ro fs t a t e so f t h ep r o c e s s t h a ti s ，f o re a c ht a f = 0 ，1 ，2 ， ，x t e l ，e m ，w h e r e e i = ( 0 ，0 ，0 ，1 ，0 0 ) 。r “，a n d ( ) d e n o t e st h ev e c t o rt r a n s p o s i t i o n d e n o t e 五i st h ec o m p l e t i o no ft h ea - a l g e b r ag e n e r a t e db yt h ep r o c e s s xu pt ot i m et t h e nw ec o n s i d e rt l t i sp r o b l e mi naf i l t e r e dp r o b a b i l i t y s p a c e ( q ，厂， 五 o ， = f i sa n 五a d a p t e dr - v a l u e dr v a n de s s e n t i a l l yb o u n d e d ) ； c ” t o ，l 】= 妒8 ，t o ss l i sa n 无一a d a p t e d 舻一v a l u e dp r o c e s sa n de s s e n - t i a l l vb o u n d e d ，n = 1 ，2 1 - f o ra b b r e v i a t i o n ，w el e tc “：= c ”1 0 ，t 1 d e f i n e 舰：= x e 阢i 五一i 】a n dm 0 = 0 ( 舰) i sc a l l e d t h e m a r t i n g a l ed i f f e r e n c ep r o c e s s m o r e o v e r ，义i se s s e n t i a l l yb o u n d e dw h i c h d e d u c e sm ti sa l s oe s s e n t i a l l yb o u n d e d w | et h e nh a v ear e p r e s e n t a t i o no f t h ep r o c e s sxi nt h ef o l l o w i n gf o r m 五= e i 五i 五一1 】+ 舰胪 t h eg e n e r a lf o r mo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o nw a sd e f i n e d i nf 8 】 t h a ti s m = + ，( u ，k ，玩) 一玩帆+ l 05 t z ( 2 1 ) t u t t u t w h e r eti sad e t e r m i n i s t i ct e r m i n a lt i m e ，f 5 丁，yi sa nr - 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a s f o ra l lt 正 o ，1 ，t 一1 ， ( 切) o 。 玩眠+ l = o u s i m i l a r l yw es h a l lc o n s i d e raf s - r b s d eb a s e do nm i ti sn e c e s s a r yt o i n t r o d u c es o m ea s s u m p t i o n si na d v a n c e a s s u m p t i o n s ： ( h 1 ) s t ； ( h 2 ) t h em a p 厂：q o 。1 ，r ) r j p _ rs a t i s f i e st h a t v ( y ：z ) r r “，( ，秽? z ) c 1 ； ( h 3 ) t h e “o b s t a c l e & ，0 ts 丁】i sa n 五一a d a p t e dr e a l - v a l u e dp r o c e s s s a t i s f y i n g 对 i se s s e n t i a l l yb o u n d e da n d 踯f p a s d e f i n i t i o n2 1 at r i p l e ( f ，f ，s ) i sc a l l e dns t a n d a r dd a t a 矿i ts a t i s f i e 8t h e a b o v ea s s u m p t i o n s ( h 、1 一( h 3 ) d e f i n i t i o n2 2 as o l u t i o no fo l t rf s - r b s d ew i t ht e r m i n a lt i m et0 , 8 8 0 一 c i a t e dw i t hs t a n d a r dd a t a ( f ，f ，s ) i sat r i p l e ( k ，五，g d ，0 t t o 五 p r o g r e s s i v e l ya d a p t e dp r o c e s s e st a k i n gv a l u e s 伽r r “rs a t i s f y i n g ( i ) k c 1 ，五c “，k i s t ； ( i i ) k = + s 。 rf ( u ，k ，玩) + 坼一k 一逛。 t 玩帆+ l 0 t t ； ( i 蕊) k & p - 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