（机械工程专业论文）振动对激光扫描在线检测精度影响的研究.pdf

摘要 本文苜先建立了车床的7 个自由度的简化动力学模型，运用模态分析 理论对机床的振动特性做了深入的讨论并提出将工件作为质黄连续分布 的弹畦粱，用计算瓿数值计算醣方法对工件的振动傲了详尽的分析，并定 量地分析了振动对在缄检测精度的影响。结论表明：当扫描次数足够多时， 工件妁振动对检测精度影响不太，梭测可以实现。 关键词：振动激光扫描在线检测检测精度 a b s t r a c t 1 、h j sd i s s e r t a t i o nf i r s te s t a b l i s h e ds e v e l lo f l f e e d o mo f s i m p l i f i e dd y n a m i c s m o d e lo fm a c h i n et o o l ，b ym e a n so ft h et h e o r yo fp a t t e r na n a l y s i s ，m a k i n ga t h o r o u g hd i s c u s sf 。r t h ep e r f o m a a n c eo fm a c h i n et o o lv i b r a t i o n a n d p u t t i n g f o r w a nr e g a r d i n gw o r k p i e c ea se l a s t i cg i r d e ro f c o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o n q u a l i t y a n a l y s s i n gd e t a i l l ) ；v i b r a t i o no fw o r k p i e c eb yt h em e t h o do fc o m p u t e r n u m e r i cc a l c u l a t i o na n ds t u d y i n gt h ee f f e c to fv i b r a t i o n 协ro n l i n ed e t e c t i o n p r e c i s i o n i n d a t a s i g e ，e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ev i b r a t i o no f w o r k p i e c e h a v el i t t l ee f f e c to nd e t e c t i o n p r e c i s i o n ，w h i l e s c a m f i n g o n e r n u m b e ri sr e m a r k a b l e ，d e t e c t i o nc a nb e r e a l i g e d k e y w o r d s ： v i b r a t i o nl a s e r s c a n n i n g o n l i n ed e t e c t i o n d e t e c t i o np r e c i s i o n 第一章绪论 随着科学技术的不断进步， - 4 对机械加工提出了越来越高的要求。现 代的机械加工向着数控化、高效化、高精度化的方向发展，这就对检测技术 提出了更高的要求。检测水平是衡量一个国家_ t - 业技术水平的重要尺度。世 界工业发达国家者f 把计量检测，原材料和工艺装备作为j - , j k 生产的三大支柱。 随着科学研究和工业技术的发展，许多新技术新3 - 艺已经把计量检测在生产 中的应用从过去的间接控制产品质量，推进到生产和科研的第一线，促使精 密测量从过去的以静态为主，向着更着重于动态测量和在线检测的方向发展。 同时，由于计算机的广泛应用，使传统的计量检测技术在很多方面发生了革 命性的变革，测量仪器大多向光机电一体化的方向发展。 对机械加工产品质量的控制，最一般的方法是人工控制，但这种方法对 工人的技术水平要求较高、生产效率低，而且质量也难以保证；数控的方法 一般能获得比较满意的加工质量，但是数控加工是一种开环加工系统，当由 于工件刚度低而产生加工时的变形时( 例如用数控车床加工细长轴) ，就会使 加工出来的工件达不到精度要求。因此，对9 s n - t - 工件进行在线动态检测，通 过反馈系统对加工质量进行实时控制，已经成为现代化机械加工的一个迫切 需要。 所谓在线检测，就是在零件的加工过程中检测零件给出关于改变加工范 围必要性的信息，或关于补充调整机床的必要性信息，或当零件达到要求尺 寸时给出停止加工过程的信息等。在线检测技术具有以下优点： 1 、在不降低质量的条件下，因为缩短了停机检测零件的辅助时间，所以 提高了生产率。 2 、由于一边加工，一边检测，可以及时发现废品，及时调整，控制加工 过程，自动保持给定的加工范围，从而提高了产品质量，减少了废品率。 3 、减轻了工人劳动强度，保证工作安全，使用在线检测，也可实现一 人看管多台机床，同时，两天的要求并不高，可以使用非熟练工人，且不会 降低产品质量。 7 0 年代，苏联的h h - 马尔科夫就在线检测做了初步的研究，并提出 了在外圆磨床和平面磨床上应用在线检测的几种方法，但他所提出的在线检 测均为接触式检测，即单点、两点和三点箍触，对于高速的切i i f i j 加工，这种 方法还难以应用。对于高速切削加工妁在线检测，岿须寻求一种非接触的检 测手段。电容式检测饭虽然是非接联检测，但对探头列工停丽的距离要求比 较严格，对于去除量较大的加工，这种检测议作为在线检测仪器显然是不适 宜的。近年采发展起来的用光的办法避行在线检测，对测头i 工俘的距离要 求不严格，又具有非接触的特最，特别适合于高速，击除量较大的切削的在 线检测。霹诧，运释方法越拳越受到人们的重撬。 目前，日本、美国、德国、英国等一些发达国家在用光电的手段进行在 线捡测方面已经进行了大量秘绣究工锋，而显大多案中在车裁加z - ，弱为车 削加工在切削加工中占的比例较大。美国的w - me r g l e 教授研究了焦点跟踪 法韵李瘩主动捡潮手羧，这爨捡禳手段可保证睾露加工翡度在l 强默是。西 德d b a k e 等人研究了光焦点法车削加工的在线检测承统，加工精度为4 u 。 瑞典的劳亚大学a n o v a k 等人研究了一母光束季口工姊边缘期毒刀法的睾瘩在 线检测系统，加工精度为10 。近年来发展越来的激光扫描检测，由于具有 高逮、高精度、j # 接触等优点，为在践检测的避一步发展开辟了广阔妁前景。 这种检测方法静态检测精度可这o 3 “甚至更高，日本的中野辛久对激光扫 描在线检测从理论上做了定性的分折。国内许多研究机构、科研院髓、高 等学榱也广泛开展了在线检测方面的研究工作。长春瑷工大学研制出了系列 化的激光扫描尺寸在绂检测仪。 大量研究表明：影响视床在线检测精度的曾要问题就是机床的动态特性， 加工过程中工件的动态特性及切削液、切屑等因素，只有解决了这些问题， 才施切实地实要莞加工审镪在残捡潮。 在长期的科学研究和生产实践中已逐渐形成了一整套关于机械振动基本 理论f 2 矧，为磷宠氟泰加王孛畿振番耱缓奠定了基硅。为探索撮磅对在线检测 精度的影响创造了条件。 瓿虢振动戆类型遗常分为鑫峦撂动，强适振动孝囊激振动。 自由振动一一当系统受到干扰破坏了其平衡状态席由系统的弹性恢复力 来维拷聪撂动。耋系统毒阻尼辩，由于在撂动过程中餐能量撰失而无鲍量输 入，振动将逐渐衰减。无阻尼时的振动频率就是系统的固有频率。 受迫振动一一由外器拷续的教振力i 起争维持的振动。其撂动频搴与激 振力频率一致。 自激振动一一系统在一定的条件下，没有外部激振力，而由系统本身的 能量激发和维持的一种稳定的周期性振动。振动频率接近于系统的固有频率。 在以往的振动分析中，基本上都是从切削机理、振动机理、机床动力学 出发，研究如何提高工件的加工质量，或是针对机床及其各组成部分。分析 其动态性能，找出机床的薄弱环节，从而找出加工中的稳定区域，防止和避 免各种类型颤振的发生。而关于如何把加2 r _ 过程中5 - 件的动态性能和机床的 动态特性的理论应用于在线检测上以及振动与检测精度方面的问题，所做的 工作甚少。尽管目前日本、美国、西德、英国等国家的有些学者已对在线检 测问题做了不少的研究工作，并取得了一定的成果，但大多还处于实验和定 性分析阶段，而对在线检测实用性问题的探索，将为在线检测技术的应用提 供可靠的理论依据和实用资料。 基于上述目的，本文将以切削加工中的在线检测为研究对象，对加工中 的机床、工件的振动及振动对检测精度的影响进行详细的研究。在本文的研 究中，将以j s y - 1 a 型激光扫描尺寸自动检测仪作为在线检测仪器，由于检测 | 激光发射器 几、引 工件 ili ，l l 广一_ 厂 i 、叶1 w 便 习 t ； 匕：- 激光接收器l ，7i 图1 车削中激光扫描尺寸检测仪检测图 仪的扫描检测工件方向是铅垂方向，如图1 所示。故本文专门围绕机床、工 件铅蚤方向的振动进行研究，在探索振动规律的基础上，分析机床工件振动 对激光扫描捡测精度的影响。对机床工件在其它方向上的振动及其影响，因 为对检测精度的影响甚微，本文不傲讨论。 为全面、深入地研究机床、工件在铅垂方向的振动，需要建立机床的简 化动力学模爱和工件的动力学模型，并运用模态分析法、同计算祝求解工件 的频率和振动位移，求出机库、工件的固有频率和振幅，并用计算机模拟扫 籀结舔，最后讨论强动对检涮精度的影响，根据实验燎果散定量分辑。 第二章机床振动的数学模型 2 1 概述 机床是一个质量连续分布的弹性体，具有无限多个自由厦，但在动态分 析中，可以根据机床的具体结构，将机床离散成若干个集中质量的子结构， 子结构之间由等效弹簧和等效阻尼器联接，表示子结构之间的联接刚度和阻 尼，构成一个动力学模型，使振动系统成为一个具有有限个自由度的多自由 度系统，然后采用适当的方法进行计算。 一个多自由度系统，可以建立一个对应的运动微分方程组。从数学的观 点看，完全可以求解这个方程组。但实际上由于运动方程相当复杂，以致较 难求解。尤其是方程纽内部存在耦合时，运算3 - 作更加复杂，所以工程技术 中必须通过其它方法来解决多自由度系统的振动问题。 本文是采用模态分析法来解决这个问题的，模态分析法的优点在于：能 够较方便地消除方程组的耦合现象，使矩阵对角化，显著简化运算工作。 模态分析法是目前振动分析的一种较为成熟的方法，是凭借振动系统的 模态来对它的动态性能进行分析、预测、评价和优化的方法。模态分析法的 核心f o - 题是解耦，首先将动力学方程中的物理坐标变换为用模态坐标表示的 运动方程，在消除耦合的状态下求解方程，最后再把模态坐标转换成用原物 理坐标表示方程。为此，首先要建立一个能够反映振动实际情况的动力学模 型和数学模型。 2 20 a 6 1 4 0 车床的简化动力学模型 如图所示，图2 1 是c a 6 1 4 0 普通车床的外观图。c a 6 1 4 0 普通车床由主 轴箱、尾架、刀架、溜板箱、床身等部件组成。车削外圆时，工件由三爪卡 盘与尾架顸尖装卡，工件的左右端相 - 3 于作用弹性支承上，动态切削力作用 于工件上。加工过程中，机床的各个组成部分主轴箱、尾架、刀架、溜板箱、 床身均会发生振动。激光扫描尺寸检测仪放置在工件两侧，进行工件外径检 测，所以工件的振动是否会对检测精度有影响，一直是人们普遍关注的问题。 图2 1c a 6 1 4 0 普通车床外观图 根据振动分析理论，将c a 6 1 4 0 普通车床简化为图2 2 所示的动力学模型， 考虑到使用j s y - 1 a 型激光扫描测仪的扫描方向是竖直方向，故对水平方向上 的受力和振动不予考虑，只考虑竖直方向的振动，物理坐标也都取在这一方 向上，如图2 2 所示。 图2 2c a 6 1 4 0 普通车床简化动力学模型 图中各符号意义如下： x i = x 5 一一床身、床头箱、溜板、尾架、工件的位移。 m j m 5 一一床身、床头箱、溜板、尾架、工件的质量。 j 。 e 1 、es 一一床身、工件的转角。 k i - k 8 一一床身左右支承刚度，床身与主轴箱的联接刚度，溜板与导轨的 联接刚度，尾架与导轨的联接刚度，卡盘与工件之间的刚度，顶尖与工件之 间的刚度。 c 1 一c 8 一一床身左右支承阻尼，床身与主轴箱的联接阻尼，溜板与导轨的 联接阻尼，尾架与导轨之问的联接阻尼，卡盘与2 r _ 件之间的联接阻尼，顶尖 与工件之间的联接阻尼。 j i ，j 5 一一床身，工件的转动质量。 i 】，1 2 一床身重心到左右支承的水平距离。 1 3 ，1 7 一刀尖到床身重心，工件重心的水平距离。 1 6 ，1 8 一工件重心到卡盘，尾架之间的距离。 按此动力学模型，可以针对每一个构件应用牛顿第二定律，写出其运动 微分方程如下： 1 量i = 一k l ( z 1 一l j l 9 i ) 一c l ( 量i 一4 最) c 2 ( 量1 + 1 2 最) + k 3 ( x 2 一x l + ，3 9 4 ) 一后2 ( z l + ，2 9 1 ) + c 3 ( 童3 一i 1 + 1 3 8 1 ) + k 4 ( x 3 一工1 + x 4 t 9 1 ) 十c 4 ( 量3 一量l + 1 4 直) + k 3 ( x 4 一x l 一1 5 t 9 1 ) + c 5 ( 膏4 一置l 一鼠) j l l 9 l = 1 1 f 后l ( z 1 一，l , 9 1 ) + c i ( 毫一，l 拶1 ) 一，2 尼2 ( z l 1 2 1 9 1 ) + c 2 ( 量l 1 2 9 i ) 】 一，3 后3 ( x 2 一x 1 + 1 3 9 1 ) + c 3 ( 量3 一量i + 1 3 口1 ) 一，4 七4 ( x 3 一x i + 1 4 口l + c 4 ( 膏3 一量1 + 1 4 占1 ) 】+ 1 9 七9 ( x q x l 一1 9 j 1 ) + c 9 ( 量4 一量i 一1 5 口1 ) 】 ，”2 x 2 = k 6 ( z 5 一1 6 匙一x 2 ) + c 6 ( j 9 一，6 只一童2 ) 一3 ( x 2 一x l + l 旦) 一c 3 ( j 2 一t l 一1 3 鱼) 川3 焉= 凡“一女4 ( 屯一x l 十厶最) 一c 4 ( 女3 一i i 一1 4 瘟) m 4 1 4 = k s ( x 5 + i s 咒一x 4 ) + c 8 ( i 5 + i s 只一贾4 ) 一屯( x 4 一x l 一，5 最) 一c 5 ( 量4 一j 1 一，5 鱼) m 5 茗5 = 一后5 ( x 5 + 1 6 , 9 s x 4 ) + c , ( y c 5 + 厶砖j 4 ) 一屯( x 4 一工1 一，5 岛) 一c 5 ( 戈4 一量i 一，5 t 宴) 以8 = ，6 吒( x ，一厶只一x ：) + c 6 ( 文5 一，6 岛一莺：) 】 + ，l ，0 7 删一，8 意8 ( x 5 一8 岛一x 4 ) + c 8 ( 文5 + ，8 魂一土4 ) 】 罄理得： ? 葺+ ( c l 十白+ 白+ c 4 十c 5 ) 孟i + ( 一c ， + c 2 2 。3 厶一c 。l + c s ) 8 一c 3 竟3 c s k 4 十( k l + k 2 十k 3 + k 4 + k s ) x l + ( 一kj ，i + 尼2 _ ，。一膏3 ，3 一瓦，4 + k j 5 ) 岛一屯恐k 4 x 3 k 3 x 4 = 0 ，l 冀+ ( 一，l c j 十，2 c 2 一，3 岛一， c 4 畸- ，5 c ，) i l 十( ，? c l + j ；c 2 + ，；。3 + j ；c d + f j cs 、8 l 七l 3 i 1 十i4 c 、i 3 一i cs i4 ( - k l i l 七k ：1 1 一k 3 1 1 一k 、 4 + k s f5 、 x l - t ；| ；2 琏3 i ；七k 4 i ：+ * s i j 8 l 七3 i 3 x 2 k 4 i l x 3 一s | s x = 0 鸭是一白毫+ 岛厶岛十( 龟+ c 6 ) 岛一岛+ c 6 ，6 堪- k l x l + 岛厶塌( 岛+ ) 而一而十晚磊遗= e ，卵3 戈3 一c d 曼 q - c 最+ g 4 1 3 一七4 + 七4 ，4 8 + 五4 x 3 = 一f e 。州 ，”4 f 4 一c 5 孟i 一口5 ，5 岛十( c s + c 8 ) * d c 8 j 5 一c 8 厶热一j 5 一魏j 5 蠼( 是5 卡k s ) x 一k + x 5 一氛i s 岛= 0 5 量5 一主2 一啦戈4 + ( c 6 + c 8 ) 也一( c 6 l 一魄厶) 8 一k + x 2 一堍矗十( k 。+ g , ) x s 一( 素6 磊一矗) 迭= 一捌 j s 8 + 厶c s i ：一厶岛屯一( ，6 气一，嚣如) 也十( 露气+ ，；氇) 岛+ 苫。 1 8 k s x 4 - ( k 6 矗一魂，b ) + ( 1 9 k 6 + 女8 露) 砖= j 7 f 8 埘 写成矩阵形式，籁记为： 其孛： m 一一质量降 c 卜一阻尼阵 f 鞫一一薅l 痰终 田一一加速度列阵 f ) 一激振力列降 蔚一一速度列阵 x ；一一拄移列淳 其中 l 】= ，”， m 4 1 1 1 5 c i ic 12c 1 c 1 4c i5c 1 6c i7 c 2 1 c 2 2 c 2 3 c 2 4 c 2 5 c 2 6 c 2 7 c 3 】 c 3 2 c 3 3 c 3 4 c 3 5 c 3 6 c 3 7 c 4 1 c 4 2 c 4 3 c 4 4 c 4 5 c 4 6 c 4 7 c 5 1 c 5 2 c 5 3 c 5 4 c 5 5 c 5 6 c 5 7 c 6 l c 6 2 c 6 3 c 6 4c 6 5 c 6 6c 6 7 c 7 1 c 7 2 c 7 3 c 7 4 c 7 5 c 7 6c 7 7 c l = c i + ( 2 2 + c 3 + c 4 + c 5 c 1 2 = 一c l ，1 十c 2 ，2 一。3 ，一。4 4 + c 5 5 c 1 3 = 一。3。1 4 = 一c 4 c l52 一c 5q 62c 2 0 c 2 】= 一c 1 ，i + c 2 ，2 c 3 ，3 一c 4 ，4 + c 5 ，5 c 2 2 = c i ，? + c 2 ；+ c 3 ，；+ c c ，；+ c 5 ； c = 屯，3 c 3 l = - - c 4 c 4 1 2 c 4 c 2 4 = c 4 。 c 3 2 = q ，4 c 4 2 = c 4 ，4 c 2 5 = 一咚，jc 2 6 = c 2 7 = 0 c 3 3 = 0 0 4 3 = 0 c 3 42 c 4 c 4 4 2 c c 3 3 2 c ，6 2 c 3 72 0 c 4 = c 4 6 = q7 = 0 9 c 5 2 = c 5 1 5 c 5 52 f 5 + c 8c 5 62 - - c 8 c 6 1 = c6 ，= 0 c 6 52 + ( r 0 5 3 = c 5 4 = 0 c 5 7 。一c 8 8 c 6 4 = 0 c 5c 6 + c 89 6 72 一c 6 ，6 + o s ，8 c 7 l = c 7 2 = 0。7 3 。c 6 ，5 c 7 6 = 一c t a ，6 + c 8 8c 7 7 = c 6 ，：+ 氏，； k 】= 其中： k l l = k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 k 1 2 = 一k l ，i 斗女2 ，2 一女3 ，3 一e 4 ，4 + 女5 ，5 k 1 3 = 一k 3k 1 日= 一k 4k 1 5 = 一k 5k 1 6 = k = 0 k 2 l = 一k l ，1 斗2 ，2 一3 ，3 一4 ，4 + 也，5 k n = k t l j 十k 2 i j + k 3 i j + k ? i j 七k s i ； k 2 3 = k 3 ，3 k 3 i = 一k 4 k 2 4 = 尼4 1 4 k 3 2 = k 4 1 4 k 2 52 一k 5 ，5k 2 6 = k 2 7 = 0 k 3 3 = 0k = k 4 。3 3 = c 3 6 = 。 7 = 0 0 阳胁脚跏细细哪 帅胁铷胁胁胁哪 ， ” ” 非 ：。 ， 吒女七女女岛即胁脚跏胁鼬州 帅胁伽胁胁肋哪加坳肋如胁船卯 c一 k 4 1 = k d k 5 i = 一k s k q 2 = k 4 ，4 素5 2 = k j s k = 也+ k = 一k $ 6 】= 6 2 = 0 k 6 3 = 一k 6 a = - k 8k = k 6 + k 8 k 43 = 0k “= k 4霸3 = k 4 6 = k d 7 = 0 k s = 一k s l 8 k 6 d = 0 k 7 l = k ，2 = 0k 7 3 ：= k j s = 0 k b = 一e i k 6 = 一6 is + k l k ”= b | ：k 瑶 = 蕞i 舀l t 2 叠3 x _ ) c 5 拶5 扛 = f = 0 0 0 一f e i “ 0 一f e i “ f e j 。 b ) = x l 参l z 2 x 3 z 4 x 5 掌5 式( 2 - 1 ) 就是系统在激报力凡作用下的振动方程。可以着出，质量阵 建对角簿，两阻尼滓和羽疫跨踅对嚣摄簿，敌存在阻您，藕舍和弹槛藕合， 导致数学上的解题困难，只有消除了方程中的耦合现象，使 k 】和 c 变为对角 矩海，考可 冬袅矛璐方程变为单鸯惫度戆形式螽颤l 豢磐。 ，2 3 4 5 5 五n扩一xz一茗一xn扩 本文采用模态分析法来建立模态坐标表示的模态方程，解耦的具体方法 是利用主振型的正交性，找出能使 m 和 1 ( 同时对角化的转换矩阵一一模态矩 阵，从而实现对系统运动方程进行坐标转换，将物理坐标系统转换成模态坐 标系统，解出模态方程，再将模态方程的解经坐标变挟转换为原坐标下的解。 由于建立模态方程要利用各阶固有频率所对应的主振型，故首先在下文 讨论整个系统的固有频率和主振型。 2 3 系统的固的频率和主振型 系统的固有频率和主振型是振动系统的自然属性，必须通过研究无阻尼 的自由振动来求解。本系统的无阻尼自由振动方程为： h 取) + k m = 0 ( 2 2 ) 此方程虽然不能立即求解，但由于线性振动的振动位移是简谐函数，故 此解的形式可以假设为以下形式 扛 _ 扣7 w ( 2 3 ) 式中， a ) 为振动系统自由振动时，各坐标上的振幅组成的列阵，。为系统 的固有频率。 时式( 2 3 ) 求导，得 仕 = ，臼扣一7 矗) = 一0 9 ；扣扣m 一 将扛 、扛 代入式( 2 2 ) ，消去e 州整理得 碑卜：k ) = 0 ( 2 4 ) 使得臼 具有非零解的条件为式( 2 4 ) 的系列行列式满足关系 d e t ( 陋卜；k d = 0 ( 2 5 ) 式( 2 5 ) 即为系统的频率方程，：称为特征值，通过上式即可求得系统 的各阶固有频率：，再将：代入式( 2 4 ) 中可求得振型弘j 。一般情况下， 振动系统有死个垂虫度，魏吴骞几令域有颤零以及死个对应昀主撂型。 前面建立的振动微分方程有七个自由度，故式( 2 , 5 ) 展开后是以下形式 函；】7 + 珐磅r + 毯p ；f 酸囟背+ 蛾磕 + 岛b ：r + 马陆】十d o = 0 ( 2 6 ) 式中d 。d ，等系数都是与m 。的组合，所求得平方根m 0 一甜。分删是 系统锻1 7 玲瓣有蘩率，簧各蛾经按大争蔓蒌序褥列为 脚o j ( - 0 0 2 蛾3 彩枞 6 9 0 5 ( 0 0 6 i h i ，c 2 一e 乃兜3 一l a 4 ，c 4 = 0 k f t + e j 舀3 c 2 + k t c 3 一e j p 3 c 4 = 0 c h p l c l + s h i l l - c 2 一c o s i l l c 3 一s i n 卢1 c 4 l ( e l f l3 s l 一膏：c h p l ) c ，+ ( e l i l3 c h 8 1 一k ：s h i l l ) c ：+ 【( e ：3 3s i nf l l k 2 c o s p 1 ) e 3 一( e l i l3 + k 2 s i n i 1 1 ) c 。= 0 只有当c ，、f ：、q 、c 。的系数行列式的值为零时才具有非零解，故有 e l l 7 一k w e 1 8 一k w k le i 8 3k le i p c h i l ls h i l l c o s i l l s i n 口l e i p ：s h i l l k 2 c h i l l ，e 1 8 3s i n i l l k 2 c o s i l l e 1 i 1 3s i n , 6 1 - k 2c o s p l 一 e l i l 3c o s i l l 十e 2s i n f l l ( 31 3 ) = 0 ( 3 1 4 ) 上式即为图( 3 2 ) 所示支承时的频率方程，将此式展开即可求得芦，、岛 一系列的值，将各值代入公式 只= 所而( i = 1 、2 )( 3 1 5 ) 即可求得对应于每一个p i 的固有频率p i ( 角频率) ，将各属代入( 1 3 ) 即可 求得对应于每个届的c i 、c 2 、c 3 、c 。，从而可以求出振型函数x ( x ) n 丹j 态。 a v 文：t 手- g g 四章中给出计算机计算框图。由此框图具体计算给定支承( 图 3 2 所示) 条件下的各阶固有频率及振型函数中的待定系数c ，、c 2 、如、c 。 3 3 振型函数的正交性 前面已经讨论了工件的固有频率，并求出了对应于各阶固有频率的主振 型函数x ( x ) ，现在来讨论振型函数的正交性。 在第二章里已讨论过多自由度系统振型函数的正交性，这种正交性是模 态分析法的基础。实际上，连续弹性系统也具有类似的性质，从而我们在分 析连续系统时也可以用模态分析法求其动力响应。在简支、固定支承、悬空 的条件下，可推导出，振型函数是三角函数，它们的振型的正交性是比较容 易证明的。而在另一些情形下( 例如图( 3 2 ) 所示支承) 得到的振型函数包 含有双曲函数，它们的正交性以及更一般情况下振型函数的正交性有待5 - 进 一步讨论。 下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论其a t - 交性。因为在讨论正交性 时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们可以稍为放宽一些假设条件。 和前几节不同，本节所考察的梁的截面是可以变化的，这时，梁单位长度p ( x ) 以及截面刚度e i ( x ) 的都是x 的已知函数，而不必为常数，故梁的自由弯曲 振动微分方程为 导f 日c x ，窘c 叫一肿，挚2 c 列，s ， 采用分离变量法，将y ( x , t ) 表示为 y ( x ，f ) = x ( x ) r ( t )( 3 1 7 ) 将它代八方程( 3 1 6 ) 中进行分离变量后，可得 d = 2 r y + p 2 】，= o ( 3 1 8 ) 出2 箬卜掣卜贴删 我们将从方程( 3 1 9 ) 出发进行讨论。 现假设方程( 3 1 9 ) 在一定的边界条件下对应于两个不同的特征值p ，、 p j 的振型函数分别为x i ( x ) 和x i ( x ) 于是有 陋( x ) x 又x ) r _ p 2 i , o ( x ) x i ( x )( o x 1 )( 3 2 0 ) 陋( x ) j n ，( x ) ，；p ：y p ( z ) 剪( x ) ( o x 1 ) ( 3 2 1 ) 对( 3 2 0 ) 式两端同时乘以x j ( x ) ，然后在o x 1 上对x 进行积分，得 f x ，( x ) 【正y ( x ) x ? ( x ) 协= z ，( x ) j e y ( x ) x x x ) ：一j x ： e ，( x ) 爿j ( x ) 】 = x i ( x ) 回( x ) z j ( x ) 引：一：o ) e y ( x ) ? ) l 十j x ；( x ) 陋( x ) 爿x ) ( 32 2 ) = e 2fp ( x ) 爿，( x 瑙廖) 出 对( 32 1 ) 式两端同时以x 。( x ) ，然后在0 x l 上时x 进行积分得 f 置( x ) 陋( x ) 爿j ( x ) 出= 五( x ) 陋( x ) j ( x ) 轧一f 舡) 日( x ) 爿；( x ) r 出 = x ，( x ) 陋( 并) ；( x ) y l ：一爿j 。) j ( x ) i + f x t m ( x ) 爿j ( x ) 出 ( 3 2 3 ) = 鼻2l p ( x ) 爿，( x f ，( x ) 出 式( 3 2 3 ) 与式( 3 2 2 ) 相减得 ( 只2 一巧) f 户。) x ，( x ) z ，( x ) a k = x j ( x ) 陋( x ) z x x ) 一，( x ) z v ( x ) z j ( x ) r ( 3 2 4 ) 一z j ( x ) z v ( x ) x ；( x ) + 爿j ( x ) e ，( z ) 髟( z ) i ： 边界条件为 f x ( x ) i x o o , = 0 固定端 l x ( x ) b ，20 铰支端p 川1 1 划 f e i ( x ) x ”( x ) b ，= 0 i e l ( x ) x 8 ( x ) i ，川= 0 可以看到，从上述任意两个边界条件代入( 3 2 4 ) 式 所以在这种情况下，就有 ( 只2 一口) p ( x ) ( x ) x 小) 出= 0 前面已经假设只只，故有 它的右端都将为零。 ( 3 2 5 ) p ( x ) z 心) x ，( x ) 出= 0 ( 当i j 时) 正是在这一意义上，我们称振型函数z ，( x ) 与x ，( x ) 关于质量密度p ( x ) 正交。 考虑到( 3 2 5 ) 式，从( 3 2 2 ) 或( 3 2 3 ) 中都可以看到，在上述边界条件下 有 口( x ) r ? ( x ) 出= 0 ( i j ) ( 3 2 6 ) 由此可见，梁弯曲振型函数这种关于刚度e i ( x ) 的正交性，实际上是振型函数 的二阶导数所具有的正交性。 当一时，式( 3 2 4 ) 自然满足，这时，可记下列积分为 1 ( 户( 工) x ；( x ) 出= m i oj 陋( x ) 防义x ) 】2d x = k ， ( 3 2 7 ) m i 称为第i 阶振型的广义质量，k 。称为笫i 阶振型的广义刚度。由式( 3 2 2 ) 、 ( 3 2 3 ) 不难看到，有 ，卅 当梁的1 端为弹性支承时，边界条件为 e i ( 1 ) x ”( 1 ) = 0 ( x ) z ”( x ) n = h ( 1 ) 将它代入( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 得 f 日( x ) m x m d x + k x , ( x ) 小) = o ( f 力 ( 3 2 8 ) j 户( x ) x ，( x ) x 小) a x = 0 ( f ，) 又当梁的1 端具有附加质量时，边界条件为 e i ( 1 ) x ”( 1 ) = 0 日( z ) x ”( x ) 。l ，：，= 一m p 2 z ( 1 ) 代入式( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) ，可得 l p 。x ，。x 一。出+ 7 7 ，1 x ，1 = o 。7 ( 3 2 9 ) f 日( z ) x ? ( x ) ；( x ) 出= 0 ( f ) 由此可见，在弹性支承端情形和附加质量情形，它们振型函数的正交性分别 由( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) 袁示。 现在，我们来讨论图( 3 2 ) 所示支承惰况下的振型函数正交性。在这种 情况下，边界条件为 左端 e i ( x ) x ”( x ) i 。= k a z g 0 ) | e l ( x ) ”( x ) 】。i ，：。= k i x ( o ) 右端 e i ( x ) x ”( x ) | = o e i ( x ) x ”( z ) ib = k ：x o ) 将上式代入( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 式得 p ( x ) x , ( x ) x j ( x ) d x 2 0 ( f ，) ( 3 3 0 ) f 融) 日( x ) 衫( z ) 疵+ k ，( o ) + k 2 五( 1 ) ( 1 ) + k o x ；( o ) x j ( 0 ) = 0 ( f 力 上式就是图( 3 2 ) 所示支承条件下的振型函数正交方程。 现在来看上述正交性的物理意义1 9 2 叼。设第i 阶主振动和第j 阶主振动可 分别表示为 y ，= x ，( x ) g q ) y ，= x ，( x ) y ，( r ) 对于边界条件是简支、绞支、悬空的情况，正交性的物理意义很容易说明， 在这里我们就不讨论了。我们只讨论图( 3 2 ) 所示支承情况下正交性的物理 意义。现在来证明：当i j 时，对应于y i 的惯性力与弹性力在y 上所作的功 为零。 事实上，对应于y ，梁微元d x 的质性力d f i 为 彤，= 一p ( x ) d x x ，忱) j ? ( ，) 对应于y i ，梁在该微元处的速度为 坐一心)(f)5t ，、7j 、7 故整个梁列应于y i 的惯性力在y i 上所作的功率为 p ，2f 警弧= h 蛳删职岫 ( 3 ，。) = 一】7 ( r ) r 即) j 并，( x ) p ( x ) x ，( x ) c & = o ( f ) 在弯曲振动中，关于弹性力的功，只需要考虑截面弯矩所作的功。梁对 应于y 。的截面弯矩m 仅) 为 m ( x ) = 町( x ) j 义x ) z ( ，) 而对应于y j 的截面转角微元d 0 为 d 8 2 爿j 巧( ，) 出 d x 段对应于y 的角速度为 甜：譬：删出 一 在d x 段截面弯曲矩所作的功的功率为 d p u = m 。( - 0 = = e i ( x ) x ；( x ) y ，( t ) x ；( x ) y j ( t ) d x 在整个梁上弯矩所作功的功率为 彤= je i ( x ) 并x 工) z ( f ) 彤( z ) 巧( ，) 出= f o ) _ ( ，) f 肼( x ) z 又x ) 上j ( x ) 出 将式( 3 3 0 ) 代入上式得 易= 一z o ) 巧( f ) k x f ( 0 ) ( o ) + ：工f ( i ) ( 1 ) + 彰( o ) ( o ) j ( 3 3 2 ) 在梁两端，对应于y 的作用于弹簧上的力为 _ o i 。= ，x ，( o ) 】j ( r ) 剑。= k 2 x 羽) r ( f ) 驯。= 女w z 即) r ( f ) 对厘于儿的弹簧运动速度为 q k 旦d t 区j ( x ) l 。= x 誓k 如州l 即州 删 二o 上t i 一2 ，0 ) 形( 圳一2 ( 1 ) ( r ) 故梁两端对应于y ，的剪力q 及左端的力矩m 在对应y ，的振型上所作功的功 率为 b = q ，b 警k 也l 警l ，+ u l 哆k 。 = 向五( 0 ) z ( f ) z ，( o ) 巧o ) + 岛置( 1 ) z ( r ) x ，o ) y j ( o + k ，s s n ，( o ) r f ( r ) ( 3 3 3 ) = r o ) 巧( f ) k 。置( o ) 局( o ) + 岛置( 1 ) ( 1 ) + 掣( o ) 一( o ) 把( 3 3 1 ) 、( 3 3 2 ) 、( 3 3 3 ) 三式相加。根据式( 3 3 0 ) ，即可得对应y ，的弹性 和惯性力在y 上所作的功 p f + p m + p s = 0 可见，由于振型函数的正交性，当i ，时，主振动y ，不会激起主振动y ，。 换名话说，振型函数的正交性反映了各阶主振动之间既无惯性耦合，也无弹 性耦合。上述结论同样适用于简支、绞支、悬空时的情况以及单端弹性支承 和具有附加质量的情形。 3 4 主振型叠加法及动响应 对于多自由度系统的动响应分析，可以利用系统的主振型矩阵进行主坐 标变换，将系统相互耦合的物理坐标进行方程变换为解耦的主坐标运动方程， 从而使多自由度系统的动响应分析问题可以按多个单自由度系统的f 0 7 题分别 来处理，对于有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系 统的动响应。为此，只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振 型函数的正交性，就可以将系统的物理坐标偏微分方程变换成一系列主坐标 的二阶常微方程，这样就可以按一系列自由度的1 0 7 题来处理了。 现在，我们来分析梁的主振型叠加法，设有刚度为e i ( x ) ，质量分布密度 为p ( x ) 的梁，在分布截荷p ( x ，t ) 的作用了，求它的动响应，这时梁的弯曲振动 微分方程为 导p ( x ) 导如f 叫x ) 薯贴f ) 刊列) ( 3 3 4 ) 由式( 3 1 9 ) 知，梁的各阶振型函数x i ( x ) 满y - - t ， i 方程 陋( x ) x x x ) r 一只2 p ( x ) x ，( x ) = 0 并且满足相应的边界条件。第三节中还证明。在固支、绞支，自由端条 件下，这些振型函数还满足下列正交关系： r 缃( 功： 浮力 ( 3 3 5 ) 【m ( i = ，) f f 脚牒珍硝蛐： o o 叫 ( 3 3 6 ) 【k ，( f = ) 式中m ，、k 为第i 阶振型的广义质量和广义刚度量2 = 警 在图3 2 所示支承条件下，振型函数满足下列正交关系： 户( 。) z ，( 。) ，( 。) d 。： 。 i 。 l m ，( - ，) fe i ( x ) x x x ) x ； ) 出+ k ，x ，( o ) x ，( o ) + k ：朋) x ) l0 ( f ，) + k 。x 即) x j ( o ) = l k ，( i = ，) ( 3 3 7 a ) ( 3 3 7 b ) 现设桀的挽厦y ( x ，t ) 司表示为振型函数的级数： y ( x ，f ) = 爿，( _ ) 们) ( 3 3 8 a ) 式中各个q ，( t ) 可以看作系统的广义坐标，相当于多自由度系统的主坐标，我 们用拉格朗日方程来导出各个广义坐标的运动微分方程。 首先来看系统动能的表示式，由式( 3 3 7 ) ，梁各点的速度可表示为 詈( 工f ) = ；z ( 石) 引f ) ( 3 3 8 b ) 考虑到式( 3 3 5 ) ，系统的动能 丁= 洳穆川，卜 = 三2l 户( x ) ( ；工肛) 口f ( f ) ) ( ；x ，( x ) 寸，( f ) ) 出 ( 3 3 9 ) = j 1 删f p ( x ) z 。( x ) x ，( x ) 出 = 二1 一m ，g ? ( r ) 式中m ，= f p ( 茁) 爿? ( x ) 出 m 祢为对应于广义坐标q i ( t 1 的广义质量 再看系统的势能表示式，只考虑梁的芎曲势“t j b ，由式( 3 3 8 ) 梁各截面的 弯矩m ( x ) w 表示为 m ( x ) = 彤( x ) 筹( x 。) = 日( x ) x ? ( x ) “，) 考虑到式( 3 3 6 ) ，系统的万- 。目a u t 5 可表示为 u = 吉觚，l 警，) 1 出 = 告f 日( 肛) g ( r ) ) ( x m g ，( r ) ) 出 。 。 ( 3 4 0 ) = 丢g j ( f ) g 如) l e i ( x ) 彳又x 沙威 = i 1 。k ，g 沁) 式中k ，= 尉( x ) 防俐2 d x 然后看广义为q ，由式( 3 4 3 ) ，梁的虚位移可表示为 ，( x ) = x ，( x ) 国。( ，) 梁的分布截荷p ( x ，t ) 在上述虚位移上所作的虚功为 西= f p ( x f ) 军工( x ) 句i ( ，) 级 = 句( f ) f p ( 川) ，o ) a x ( 3 削) = q ( ，) 国，( f ) 式中，定义广义为q i 为 9 j ( r ) 5jp ( 五t ) x ，( x ) 出 ( 3 4 2 ) 将上面得到的动能t ，势能u 及广义力q ，的表示代入拉格朗日方程： 一df 望卜一8 t + 一8 u ：o ( 3 4 3 ) d t 、8