（计算数学专业论文）工程应用中高振荡函数积分的高效算法.pdf

摘要 高振荡函数积分问题及其数值计算广泛应用于应用数学学科。本 文所做的工作是在近年来高振荡函数数值积分高效算法研究成果的 基础上，对于工程中的两类高振荡函数积分，给出了比原有方法精度 和效率更高的算法。 。本文第一章综述了高振荡函数数值积分的经典方法和近年来发 展起来的新方法，指出它们各自的特点、适用范围和相互之间的关联。 第二章，研究了瞬变电磁测深中的余弦变换和正弦变换，两种变 换都是无穷区间【0 佃) 上的高振荡函数积分，本文首次采用复积分方 法 5 5 进行计算，并和以往的计算方法做比较，改进了这一领域中高 振荡函数积分的数值计算。 第三章，对于平面磁准静态场旋转电流问题中边界积分方程中的 奇异高振荡函数积分 5 9 ，首先运用三种方法计算，并和 5 9 中所用 方法的计算结果做比较，指出对于计算这种类型的奇异高振荡函数积 分，复合l e v i n 方法的效率比 5 9 中的方法高。本文最后还通过分部 积分运算得到了含有特殊函数s i ( x ) 的高效计算式，更好地解决了这 一领域中高振荡函数积分的数值计算。 关键词高振荡函数积分，精度，效率 a b s t r a c t i nm a n ya r e a so f a p p l i e dm a t h e m a t i c sa r eo f t e ne n c o u n t e r e dt h ep r o - b l e m so fc o m p u t i n gr a p i d l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s f o rt w ok i n d so fh i g h l y o s c i l l a t o r yi n t e g r a l si ne n g i n e e r i n g ，w ep r e s e n tm e t h o d sw h i c hh a v em o r e e f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o nt h a nt h ef o r m e rm e t h o d sb a s eo nr e s e a r c ho fe f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rh i g h l yo s c i l l a t o r yf u n c t i o n si nr e c e n ty e a r s i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r , w es u m m a r i z ec l a s s i c a lm e t h o d sa n dn e we f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sa p p e a r e di nr e c e n ty e a r sf o rh i g h l yo s c i l l a t o r yf u n c t i o n s w ei n t r o d u c et h ec h a r a c t e r i s t i ca n da d a p t i v er a n g eo f t h e s em e t h o d sr e s p e c t i v e l y a tt h es a m et i m ew e p o i n to u tt h er e l a t i o nb e - t w e e nt h e m i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d yt h ec o s i n et r a n s f o r ma n ds i n et r a n s f o - r mi nt r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i s ms o u n d t h e s et w ot r a n s f o r m a t i o n sa r eh - i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l so n 【0 佃) i nt h i sp a p e rw ef i r s t l yp r e s e n tc a ) m - p l e xi n t e g r a t i o nm e t h o d 5 5 】t oc a l c u l a t et h eh i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s a n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e dt h a tt h em e t h o di sm o r ee f f i c i e n t t h a nt h ef o r m e rm e t h o d s s ow ei m p r o v et h ec a l c u l a t i o no ft h e s eh i g h l yo - o s c i l l a t o r yi n t e g r a l s i nt h et 址r d c h a p t e r ，w er e s e a r c ht h es i n g u l a ro s c i l l a t i n gi n t e g r a l sa p - p e a ri nab o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o no f p l a n em a g n e t o - q u a s i s t a t i ce d d y c u r r e n tp r o b l e m 5 9 a tf i r s tw eu s et h r e em e t h o d st oc a l c u l a t et h es i n g u l a r o s c i l l a t i n gi n t e g r a l sa n dc o m p a r et h e s et h r e em e t h o d s t ot h em e t h o dw h i - c hu s ei n 【5 9 w ef i n dt h a tt h ec o m p o s i t el e v i nm e t h o dh a sh i g h e re f f i c i e n c yt h a nt h em e t h o di n 【5 9 】t oc a l c u l a t et h i sk i n do fs i n g u l a ro s c i l l a t i n g i n t e g r a l s f i n a l l yw eg e te f f i c i e n tf o r m u l aw h i c hi n c l u d es p e c i a lf u n c t i o n s i ( x ) t h r o u g hi n t e g r a t i o nb yp a n si nt h i sp a p e r s ow es e t t l et h ec a l c u l a t i o no ft h e s eh i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s 。 k e yw o r d s h i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l ，p r e c i s i o n ，e f f i c i e n c y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：垫鲨圣垒日期：迎 年上月 2 2 1 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：篮姿圣垒导师签名! ：盈堑日期：盟年卫月立日 硕士学位论文第一章文献综述 1 1 引言 第一章文献综述 高振荡函数数值积分问题及其计算在应用数学领域中有广泛应用，其中包括 量子物理、计算化学、流体动力学、地质勘探、电磁非线性光学、计算机图形学、 信号处理、医疗图象等各种学科，涉及渐近分析、调和分析、微分几何、动力系 统等理论，是国际研究热点问题。 所谓高振荡函数数值积分 1 是指被积函数在积分区域上有多个( 1 0 个以 上) 的局部极大值点与局部极小值点。含有高振荡函数的积分的例子常见于各种 变换中，如f o u r i e r 变换 r 厂 ) c o s 融，f m ) s i n o 撇x 或复数形式 f 八x ) e 妇出， 又如b e s s e l 变换 p ( x ) ，( 厶工) 出， 其中0 圪 九 是b e s s e l 函数的根。 在实际中通常需要考虑整个积分族，而非单个积分的值，于是可取一般形 式为： ，【厂】= f 厂( x ) k ( x ，国) 反r ，一0 0 口 6 佃， ( 1 1 ) 其中k ( x ，神是【4 ，纠上的振荡函数，而f ( x ) 是【口，明上的非振荡光滑函数。 例如，x f f 2 f i f o u r i e ，变换r 厂o ) s i l l 幼疵与f 厂o ) c o s o m x ，当国专时， f ( x ) s i n o z r 与f ( x ) c o s o 馘在积分区间k ，b 】内与工轴有很多交点，且彩越大时，这 两个被积函数振荡得越厉害，在积分区间【口，b 】内它们与工轴的交点也越多。因 此，在建立厂( x ) s i n 饿或f ( x ) c o s o a r 的插值多项式只( 工) 时，为了使( 功能很好 到逼近它们就要求插值多项式的次数足够高。但是，高次插值有严重缺点，使用 价值不大，即使用分段低次插值，效果也不会很理想。通常，此类积分可用分段 积分法，但它需计算厂( x ) 在积分区间端点处的高阶导数，一般也较少使用。为 硕士学位论文 第一章文献综述 了提高计算精度，需采用其他方法计算高振荡函数数值积分如图卜l ，是高振 荡函数c 0 5 f j 的振荡因子彩分别为1 0 和1 0 0 时在区间【o 5 】上的图象： ，、 1 n a p 86 i l- ； x il 0iluu ui 0 0 5 0 0 国5 1 0 图l 一1 振荡函数c o s ( 1 0 x ) 与c o s ( 1 0 0 x ) 的图象 1 2 传统的高振荡函数数值积分方法 1 2 1 两根之间作积分 在此方法中，被积函数振荡部分的根位于：口s 而 x 2 工， ， 一 ( 卜1 8 ) 则可得到这样的逼近式： ，f ( x ) d x = p ( 6 ) 蚋一p ( 口) 以口) 把式( 卜1 8 ) 展开，可看出烈力满足下式 。 双， + + ， ( 1 - 1 9 ) 由h l 。的线性无关性得知p 应该是下常微分方程的解。 幻善q + a t q = 厂 ( 卜2 0 ) 在 1 6 中，五绷加证明了对于( 1 - 2 0 ) 式存在一个非振荡的特殊解，通过选取 一组适当的基函数( 如多项式) ，利用配置法，可以找到这个特殊解的近似值 下面求p 首先，对i = 1 , 2 ，朋，令k 匕为区间【口，6 】上线性无关函数。采用配 置法求解上述微分方程。 定义，( 功= ( 硝( z ) 雳( 工) ，成( 砌，这里 一 p ? ( x ) z “：( 了) ，i = l ，和饼， k = l 而k 患。由下式决定 印“( x j ) 篁f ( x j ) ，= 1 , 2 ，靠 k j | ，均匀分布于【口，6 】至此可得到关于( 卜1 7 式的近似计算式： l 暑( p ”( 6 ) ) 。w ( b ) - ( p 4 ( 口) ) 叹口) ， ( 1 2 1 ) 通过积分公式便可以计算出结果。 下面给出两个引理，只要满足这两个引理就可以采用l e v i n 方法。在运用时 要注意验证 引理1 3 1i t s 如果吣) = ( w l ( x ) ，w 2 ( 曲，( 枷满足w o ) = 4 ( x ) h 功，且g ( x ) 是 【口，b l - _ 的单调函数，那么”( 曲= 以g ( 曲) ，满足 “( x ) = 曰( z ) 材( 力， 6 硕士学位论文第一章文献综述 这里曰( 曲是个m m 非振荡矩阵函数 引理1 3 2 t 1 5 1 假设“( 力= ( ( 功，“2 ( 功，( 瑚满足u ( 功= 雪( 咖( 力， 且吠力= “( 功，屹( 功，v ，( 砌满足( 力= c ( 力，( 力，而口( 力，a 力分别为k x k ， l x l 的非振荡函数矩阵。那么， w - “y ，i f = 1 , 2 k ，歹= l ，2 ，； 满足影( 功= 彳( 力以曲，么( 对为m m 非振荡函数矩阵，其中m = k l 。 在文献 4 3 中，向淑晃教授首次对b e s s e l 变换的l e n 方法做了误差分析。 1 3 2 广义积分法贝q j 广义积分法则 2 2 是e v a n s 和w e b s t e r 在2 0 0 0 年提出的，它的出现是基于 捌开早期的一种方法。这种方法在推广之后可用于处理振荡核函数，使用时需 要满足的前提条件是这个振荡核函数满足一个线性微分方程： l e o = 己( x ) c o 。( z ) + 己一l 仞 。1 ( x ) + + 丑( z ) 国，( 石) + 昂( x ) 以曲= 0 。 很多用于处理带有奇异因子或振荡因子积分的求积方法都运用了公式： f 烈x ) 厂( x ) 出= 主1 - 0 哆( _ ) + e 设国是一个振荡核函数，对于国找到掰+ 1 个系数另使它满足一个聊阶的线 性微分方程： 国= 乞( 功辫( 功+ 己一l 艉- 1 ( 力+ + 置( 功国( 功+ 异( 曲烈x ) = 0 ， ( 卜2 2 ) 那么对于r 烈力厂( x ) 出= 窆舯c o j f ( x j ) + 西 ( 卜2 3 ) 通过选取一组基函数仇( x ) 使层为零，用它们来表示( 石) ，求解出权h ， 从而得到积分公式，即对于( 1 - 2 3 ) 式有 r 烈x ) ( x ) 出= 喜哆五( ) ，七= o ，l ，刀 定义修正m 。m e n t sm 。= f 烈工) 以o ) a x ， 所以 虬= 哆五( 石，) ，k = 0 , 1 ，刀 难点是如何选择六( x ) 使得这些修正胁d 掰绷缸的计算变得精确些e v a n s 和 w e b s t e r 利用常微分方程的一些理论，建立的一个伴随算子m 使“ m z 暑( 一1 ) ”( 己z ) ”+ ( 一1 ) 艉一1 ( 只一l z ) 硝。+ 一( p z ) + p o z ( 1 2 4 ) 7 堡圭堂垡笙茎 第一章文献综述 一一一一：= ：= 由线性常微分方程理论中的三口g 姆恒等式有 z l a ) 一红姚= ( z ( 纰砌 其中，z c a ) ，z ) = ( 一1 ) i ( g ) m 国( 石) ， ，暑ip i 。，- l 对( 卜2 5 ) 式两边积分，由g r e e n 公式有 r 吐础一f a ) m z d x = 【z ( 婊z ) 】l ： ( 1 - 2 5 ) ( 1 - 2 6 ) 设z = k ( 力，又由( 1 - 2 2 ) 式三国= 0 ， 则r 硪z ) m y i ( x ) 出薯一【z ( 织屹) 】巴。( 1 - 2 7 ) 如果五誊m v k ( x ) 来表示通过适当选取叱( 功，就能显式计算r 烈功六( x ) 出， 从而可解出权h k 由于并不总有三国= o 恒成立，当国= g ( z ) 时，( 1 r _ 2 7 ) 式就变成 f 烈批( 砂出暑一留( 饿) 】芒+ f g 唯( 工) 办， ( 卜2 8 ) 对于f 烈x ) ( x ) 出g ( x ) 和v 七( x ) 通常都是基本函数，比较容易能计算出结果。 广义积分法则的实质相当于以饥( 工) ) 为基函数对( x ) 进行插值逼近， 即 、 ，( _ ) = ( _ ) ，歹= 0 , 1 ，n ， k = o 节点为k ，则f 烈功( 工) 出f 烈功( 姜良五( _ ) ) 出= 窆k = 0 f 嘶五( _ ) 出 ；- ( 卜2 9 ) 在文献 3 9 中，向淑晃教授证明了对于诸如“门= f 厂( 工嘞工) 出的积分， 即当振荡因子是广义而缈衙形式时，广义积分法则等价于三鲥矗配置方法，同时 还将广义积分法则推广到了高阶形式。 1 3 3l e v i n - t y p e 方法 l e v i n 一咖方法 3 7 是嘲方法的拓展，由向淑晃教授于2 0 0 5 年首次提 出，它具有高阶高精度的特点。 令j 为正整数，溉鼻为节点口= q 且c ( ，) b ( r ，南和它的导数对c 一致有界。令h 力= ：= 。反敝( 工) ，其中 也( 功 ：柚为线 无关的m 一维向量函数，满足式( 1 - 3 1 ) 和式( 1 - 3 2 ) 。那么，当c ( ，) 时，有 e ( d ： j ( f ) 一q ，j ( f ) i = ? ( 壁铲) 。 ( 1 3 4 ) 复合l e v i n t y p e 方法，是将积分区间陋，b 】平均分成长度为，的子区间 【o l ，t j ，其中l ，o = 口+ 乃，j | i = 生产。在每个子区间确定刀个配置点， 9 硕士学位论文 第一章文献综述 岛力= 0 i + 幻f ，i f 露，1 ，s z ， ( 1 3 5 ) ( 卜3 5 ) 式中0 = 而 s 2 - 1 - ( 1 - 3 9 ) 下面我们给出一个关于渐进法向量形式的引理： 引理1 3 5 p t l 假设w ( 功= 么( ，x ) r r ( x ) ，这里彳( ，x ) 是- m 肌矩阵，且 附加( 等卜g 赫力俨【口 6 】，虮令 墨( 曲= ，( 力，疋+ l ( 功= ( ( ，x ) f a x ) ) ，k - 1 ，2 ， 那么 j ( d = f ，( 力w ( x ) d x 一薹专署( 曰( ，6 ) 矿( 6 ) 一l ( 口) 曰( ，- 口) 形( 口” ( 1 - 4 0 ) 对式( 1 - 4 0 ) ，我们对无穷求和序列进行截断，截断前j 项，得到暑阶振荡函数积 分的渐近方法： ， 刃= 妻筹( 即m ，6 ) 删堋口) 聊州) 、 ( 1 4 1 ) 引理1 3 6 【3 7 1 假设矽( 功= a ( r ，曲形( 功，这里a ( r ，功是一m m 矩阵，且 肌) = ( 等卜在州吖) 唧 6 】州和它l 阶导麴 c ( r ) o , c ( r ) 一致有界。那么，对“厂) ， 期姐力瑚门| - d ( 黔) 。 ”4 2 ) 对于引理中给出的( 卜4 0 ) 式、( 卜4 1 ) 式以及( 卜4 2 ) 式是关于渐进法的向量形 式，而在文献 4 0 中，证明了渐进法的f 0 一e ，形式门= f 厂( x ) e 蚓力出是其向 量形式中当m = 1 时的特殊情况。在文献 3 8 中，向淑晃教授首次将f o 以一t y p e 硕士学位论文第一章文献综述 方法推广到b e s s e l 变换 引理1 3 7 2 6 令s 为正整数， 以) ：为一系列节点并且 a = x o 毛 ( 朋+ 1 ) ， f ( x ) = 【厂( z 弦蚓力出， ( 卜4 5 ) l 是以x 为起点的路径，且积分式( 卜4 5 ) 的阶为o ( e 一印 。 接着根据( 卜4 5 ) 来考虑f ( x ) 的值。确定以( p ) 路径的参数则需要求解方程 g ( 吃( p ) ) = g ( x ) + i p ，则沿着这条路径( 卜4 3 ) 式是非振荡和指数衰减的， f ( h ，( p ) 蚓肋= 厂( 以( p ) 弦吲。e 一。 ( 卜4 6 ) 一 例如一个最简单的例子是g ( x ) = 尉，路径就是九( p ) = x + i p 对于一个指数衰减的无穷区间上的积分，一个高效的方法是g a u s s l a g u e r r e 法 则 1 。对于一个最高次数为2 刀一l 的多项式，一个节点的g a u s s l a g u e r r e 法则 是很精准的。沿着路径的积分f ( x ) 可写成：令q = 印， ，( 工) = r ( j i l ，( p ) ) e 似烈j 卜纠联( p ) 勿= 8 蛔工f 厂( 而，( p ) ) 磁( p ) p 一印咖 硕士学位论文第一章文献综述 = 等肌姒耖j ( 护由， ”4 7 ) 运用刀个节点毛和权系数畔的面瓣一铂孵珊法则得到： f ( 工) 绋【 g ， ，】：竺竺窆q f ( h ，( 互) ) j i i ，( 益) 。( 1 - 4 8 ) f ( 工) 绋眈g ，九】2 气厂善q，( 老m 。( 卺) 对于有奇点的情况，先要对g ( j ) 做砀如，展开，具体方法可参考文献 3 5 中的详细步骤。 1 4 小结 在1 3 节中介绍的近代发展的一些方法在各自适用范围内的计算结果精度 很高。下面逐一说明它们的适用范围： 积分区间必须是有限区间，在遇到无限区间上的积分时，根据现有的方法 需考虑采用截断技术或进行适当变换。 l e v i n 方法及l e v i n t y p e 方法要求函数g ( x ) 在积分区间【口，纠上不含驻 点，当函数g ( x ) 积分区间上存在驻点时这两种方法便失去效用。l e v i n 方法及 l e v i n t y p e 方法的一个优点是使用时不需要计算m o m e n t s 。 广义积分法则本质是一种f i l o n 方法，可应用于计算f o u r i e r 变换以及 b e s s e l 变换，但与l e v i n 方法、l e v i n t y p e 方法一样，不能用于计算函数g ( x ) 在 积分区间h b 】上存在驻点的情况。 渐进法虽然是高阶方法，但逼近的收敛性得不到保证，在实际中很少使用。 f i l o n t y p e 方法前提条件是m o m e n t sr ，e 蛔g ( x ) d x 能精确求得，但实际上 存在很多高振荡函数积分的m o m e n t s 根本无法求得，这就使得本方法适用范围相 对狭窄 最速下降方法对解析函数性质要求太高，并且只适用于振荡函数是 f o u r i e r 形式的类型，对于振荡函数是b e s s e l 函数和彳修函数的情况无能为力。 高振荡积分的应用非常广泛，在遇到实际问题时，有很多工程领域中的可积 线性、非线性发展方程等，其解可用有限或无穷区间上的广义f o u r i e r 变换来表 示，且振荡函数在积分区间上含有驻点，因此现有数值方法失去了应有的效果 应当根据实际问题中高振荡函数积分的类型和特点来分别寻找适当的高效算法 进行计算。 1 4 硕士学位论文第二章一种正弦变换和余弦变换的高效算法 第二章一种正弦变换和余弦变换的高效算法 2 1 物理背景 瞬变电磁测深属时间域电磁感应方法 5 0 ，它利用接地电极或不接地回线通 以脉冲电流而在地下建立起一次脉冲磁场，在一次磁场间歇期间，在时域接收感 应的二次电磁场，由于早期信号反映浅部地电特征，晚期信号反映较深部地电断 面，这就可以达到测深的目的。瞬变电磁测深在区域填图、地壳深部勘探以及普 查石油、煤田、天然气、工程地质和水文地质、金属和非金属矿产方面有重要作 用 4 6 瞬变电磁测深利用脉冲电流供电，其波形主要有阶跃状、间断双极性方波、 连续双性方波等来激发二次电磁场。根据f o u r i e r 频谱分析理论，任何一种脉冲 都可以分解成许多正弦波或余弦波成分；每个谐波成分将对导电体激励起按频率 域电磁测深中的规律的电磁响应，这种响应将有对应的振幅值和相位。如果将时 域中各谐波激起来的二次场提取出来，这便是瞬变电磁信号，以此作为研究地质 结构的依据。e 4 t 4 9 2 在水平电偶极源激发的瞬变电磁测深中，主要观测平行电场分量e ，和垂直 磁场分量日：( x ) ，尤其更常用垂直分量日：“) 瞬变磁场可采用几种方式求解 5 l ，5 6 2 ，根据麦克斯韦方程，通过解微分方程直接求特定时间函数的响应；频 率域法，将频率域的解乘以一次激发场的频谱后，借助f o u r i e r 变换或l a p l a c e 变 换，逆变换成时间域的解；时间域法，通过叠加阶跃响应或脉冲采样响应求得瞬 态解。由于频率域的解已经求出，计算精度也高，一般都是由频率域转换到时间 域求得瞬变电磁场的解。其中很重要的一种是频率域解法，频率域解法又有 f o u r i e r 变换方法和l a p l a c e 变换方法两种，任意地质体某一时刻的瞬态响应，是 激发波形个f o u r i e r 分量在那一时刻产生的响应之和，频率域响应可通过f o u r i e r 变换或l a p l a c e 变换到时间域。 在瞬变电磁测深法中需求解瞬变电磁场，对于均匀大地表面的瞬变场，采用 逆l a p l a c e 变换由频率域转换到时间域，得到解析解，直接计算其瞬态响应；对 分层大地表面的瞬态电磁场，首先利用f o u r i e r 变换将频率域的解写成余弦变换 式，进而求得其数值结果，并得到瞬态响应曲线 5 2 对瞬态响应曲线进行直观 分析，就可得出瞬变场的时空变换规律，对野外施工具有参考作用。 对于f o u r i e r 变换方法，在文献 5 1 中已经证明了，对阶跃电流激发的瞬态 1 5 硕士学位论文 第二章一种正弦变换和余弦变换的高效算法 电磁响应，由于位于主剖面上的回线场源所产生电磁场分量在空间域中对于y 轴 具有奇或偶对称性，可通过f o u r i e r 变换将时间域响应具体表示成频率域响应的 实部或虚部的正弦或余弦变换。 正弦变换和余弦变换都是f o u r i e r 变换的特殊形式 5 3 ，可表示如下： 五扣) = i 八力c o s ( 缎边和) = 【八对蛳删出 正余弦变换都属于高振荡函数积分，其中当振荡因子国很大而非无穷时，正余弦 变换的近似计算尤其困难，主要是因为s 坂训和c o s ( o , x ) 振荡得很剧烈，通常的 近似积分公式很难保证数值计算精度。 一直以来人们提出了各种计算方法，其中最有名的是f i l o n 方法、折线逼近 法以及数字滤波法，但经验证这三种方法的精度和效率不太理想。针对目前已有 的计算方法的不足，本文将首次采用g r a d i m a i rv m i l o v a u o v i c 的复积分方法 5 5 来 对正余弦变换进行数值计算，得到比以往方法计算量小、精度高的结果。 2 2 已有的常用计算方法 2 2 1f i l o n 方法 对于积分以( 缈) = r ，( x ) c o s ( 绒边，在凡加方法 1 中，区间【口，6 】分成长度 为h 的2 n 个子区间： b a 力= 一 2 在每两个子区间上，用在网格点处对厂( x ) 插值所得出的抛物线来逼近( j ) ， 对于抛物型函数f ( x ) 口- f f $ 用分部积分显式积出f o u r i e r 积分，此法可导出下列近似? 积分法则，令： 岛：主f ( 口+ 2 r h ) c o s 烈口+ 2 r h ) 一昙【，( 4 ) c o s ( 翻匕) + f ( b ) c o s ( 国6 ) 】，( 2 - 1 ) 最一= f a + ( 2 r - 1 ) h c o s c o l a + ( 2 r - 1 ) h ， ( 2 2 ) 再令秒z 幽= 1 口o ( b 矿- a ) ，( 2 - 3 ) 及口= 吉+ 可s i n 2 0 1 2 s i n 广2 0 ，( 2 - 4 ) 1 6 硕士学位论文第二章一种正弦变换和余弦变换的高效算法 = 1 1 + c o s 20 一丁s i n 20 ， 5 ， ，= 愕一钥， 协6 ， 则 五( 功= f f (