（概率论与数理统计专业论文）相依erlang2风险模型下的gerbershiu函数.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究在相依e r l a n g ( 2 ) 风险模型下的g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数 和折期望折现分红自经典风险模型分红问题提出后，分红问题立即成为研究热 点，许多文献对其进行推广研究，以便更符合现实要求b a r r i e r 分红策略就是其 中之一，g e r b e r s h i u 对其进行了详细的研究至今，对于古典的p o s s i o n 风险模 型分红问题的研究已经相当完善。由于e r l a n g ( 2 ) 风险模型在现实生活中具有十 分重要的意义因此，吸引了大批学者的广泛研究在本文中把经典的e r l a n g ( 2 ) 风险模型推广到相依风险模型，利用参考文献【8 】中的研究方法来研究相依风险 模型下的g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数和期望折现分红 本文共分为三章对研究结果进行论述首先在第一章中给出了引言及当前研 究现状其次在第二章中给出了本文用到的一些基本知识和基本理论，并利用新 的方法详细求得g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数所满足的积分一微分方程并对该 方程进行详细分析，最终求得g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数的线性解最后在第 三章中求得6 ( u ) 的积分一微分方程，并求得v b ，5 ( 缸) 的线性解， 关键词：e r l a n g ( 2 ) 风险模型；g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数；相 依性；积分微分方程；期望折现分红 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw es t u d yt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na n d t h e d i s c o u n t e d 唧e c t a t i o i i so fd i v i d e n df o rd e p e n d e n te r l a n g ( 2 ) r i s k m o d e l t h e d i v i d e dp r o b l e mh a sb e c o m ear e s e a r c hf o c u ss i n c et h ed i v i d e dp r o b l e mo ft h e c l a s s i c “r i s kr n o d e lw a sp u tf o r w a r d l o t so fr e f e r e n c eh a sg e n e r a l i s e d i ts oa st o s a t i s 母t h er e q u i r e m e n t so fr e a l i t y b a r r i e rs t r a t e g yi so n e o ft h e m ，w h i c hh a sb 唧 r e s e a r c h e di nd e t a i lb yg e r b e r s h i u s of a r ，t h es t u d yo ft h ed i v i d e dp r o b l e m o f t h ec l a s s i c a lr i s km o d e lh a sb e e nv e r yc o m p r e h e n s i v e t h ee r l a n g ( 2 ) r i s km o d e l p l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nr e a ll i f e ，w h i c ha t t r a c t s al o to fs c h o l a r st os y u d y i nt h i sp 印e r ，t h ec l a s s i c a le r l a n g ( 2 ) r i s km o d e lh a sb e e ng e n e r a l i z e di n t o t h e d e p e n d e n tr i s km o d e l o fd i v i d e do fd e p e n d e n t r i s km o d e lh a sb e e nd i s c u s s e db y t h ew a yo f 引 ， t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tp a r t ，t h e i n t r o d u c t l o na n d t h es t a t u so fc u r r e n tr e s e a r c hh a v eb e e ng i v e t h es e c o n dp a r th a sg l v e nt h e i n t e g r e - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h eg e r b e r - s h i u d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nw l t n an e wi n e t h o d ，a n da n a l y z e di ti nd e t a i l f i n a l l y ，t h el i n e a rs o l u t i o no ft h eg e r b e r 。 s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nh a sb e e nf i g u r e do u t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t l a l e q u a t i o no ft h e ，6 ( u ) a n di t sl i n e a rs o l u t i o nh a v eb e e ng i v e ni nt h et h i r dp a r t k e y w o r d s ： e r l a n g ( 2 ) r i s km o d a l ；g e r b e r - s h i ue x p e c t a t i o n d i s c o u t e dp e n a 姆 f u n c t i o n ；d e p e i 血n c e ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d i s c o u n t e de x p e c t a t l o n o fd l v i d e n d 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文相依e r l a n g ( 2 ) 风险模型下的g e r b e r s h i u 函数，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究 成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式 注明本声明的法律结果将完全由本人承担 ，、 作者签名张宝日期：即侔钥 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 相依e r l a n g ( 2 ) 风险模型下的g e r b e r s h i u 函数系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲 阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：本建宝日期：矽。彳年争只 导师签名：7 名易移日期：伊。7 叫 2 第一章引言 在保险数学中破产论是风险论的核心内容破产论的研究最早应该始于瑞典 精算师f i l i pl u n d b e r g ( 参阅文献【2 7 ) 在1 9 0 3 年发表的博士论文事实上，破产 论的研究既有实际的应用背景，也有概率论上的意义其中有两个著名的风险模 型，一个是复合泊松风险模型，即l u n d b e r g - c r a m e r 风险模型，一个是连续时间 的更新风险模型，又称为s p a r r ea n d e r s e n 风险模型其中许多与破产相关的数 量，比如破产概率以及破产时，破产赤字，破产前的瞬间盈余，破产引起索赔额的 边际分布，联合分布都已经被许多人作了研究( 参阅文献 1 0 ，【1 1 】，【1 3 】，【1 6 】，【1 7 】， 1 19 】继c r a m e r 之后，g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者 g e r b e r - s h i u 在文献2 7 1 复合泊松风险模型中提出g e r b e r - s h i u 函数之后，由于它具有许多优 点，于是对于期望折现罚金函数的研究又成了一个热点关于罚金函数的研究可 见文献1 6 l ，1 7 1 d ef i n e t t i ( 文献【8 】) 在1 9 5 7 年就发表了关于分红问题论文在经典风险模 型中研究的主要是破产问题，但风险盈余过程破产前余额大于零，而且投资是需 要回报的，函此我们就需要考虑分红问题d ef i n e t t i 在文献 8 】中提出破产前 期望分红的概念，就是某公司在破产前能分给他的股东的期望分红值，而分红方 法就是我们现在称的b a r r i e r 策略，即当盈余超过某个特定值b 公司就把这部分 钱全部分给他的股东1 9 7 0 年，b u h l m a n n 在文献【3 】第一次在经典复合泊松模 型中讨论了分红问题并且在索赔量为指数分布和复合指数分布时给出了期望分 红函数y ( x ，b ) 的确切表达式本文主要是在他们的基础上对经典e r l a n g ( 2 ) 风 险模型推广，研究相依e r l a n g ( 2 ) 风险模型下的g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 和期望折现分红 第二章g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数的积分微分方程 2 1 预备知识 经典e r l a n g ( 2 ) 风险模型中，盈余过程 u ( ) ，t o 】可表示如下： ( ) u ( t ) = u - t - c t 一五，t 0 ， ( 2 1 ) 七= 1 其中u 0 是初始资金，c 0 是保险公司单位时间内的保费率， 五，i 1 ) 是 第i 次索赔额，是一列严格非负的相独立的随机变量， ( z ) ，t o ) 是e r l a n g ( 2 ) 索赔数过程且与索赔额过程( 置，i l 相独立。 但是在现实生活中两个索赔过程更多是不相互独立的情况，现在我们假设索 赔数过程 r ( t ) ，t o ) 是e r l a n g ( 2 ) 过程，其索赔时间间隔是独立同分布的随机 变量，用 w j ，j n + ) 表示，具有共同的密度函数：k ) = a 2 匏以。，t 0 分 布函数为k ) = 1 一e 。一a t e 。，t 0 ，即它是e r l a n g 2 ，入) 分布 n ( t ) = m a x n ：w 1 + w 2 + + t ，嵋n + ) ，t 0 五 墨。是一列独立同分布的非负随机变量，k 表示第i 次索赔额 我们假定两维随机变量 w j ，) ，j n + 相互独立但嵋与码是相依 的我们假定带有条件索赔额玛的概率密度，当= w ，定义a ，i w , ( 1 w ) 为两 个独立同分布的任意函数 和厶的混合 氏i w j ( x l w ) = w e o w f l ( z ) + ( 1 一w e 一肋) ，2 ( z ) ，z o ，j = 1 ，2 ，( 2 2 ) 假设保险公司的股东需要分红，令b 0 ，在本文中主要考虑是b a r r i e r 策 略，即假如盈余达到b ，就把这部分全部分给股东。假如盈余小于b ，就不分红 用d ( t ) 表示从时刻0 到时刻t 的分红量，用v d t ) 表示到时刻t 的修正余额， 既( ) = v ( t ) 一d ( t ) ，t 0 令 。= f o t e 6 t d d ( t ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 其中6 为折现因子，则d 表示到破产时刻所有分红的折现量，令z 为初始资本， 即 茁= u b ( 0 ) 定义2 1 ：期望折现分红函数定义为 ，6 ( u ) = e ( d 】 修正盈余过程满足 州= c d t - d s ( t ) , u b i 攀 其中，索赔额过程s = 警? 玛当b 口时，规定：= 0 定义破产时2i 甄 t ，巩( t ) 0 ，分红采用b a r r i e r 策略，则对 v0 让 ( z u m a ，s ( 乜可) 先c 可) d 可十忱( 乱) ) ( 2 7 ) 5 ， + 舻万舻 = + 第二章g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 其中边值条件为： m ：d ( 6 ) = m z 6 ( 6 ) = 0 m 如( 6 ) = 垒c - 5 2 - 6 ( 6 ) m = 一警( 6 ) + m i ? 2 ( b ) = 一6 + 6 + 8 c a ( a + 6 + 1 ) c ( 2 8 ) ( 2 9 ) 缸( 6 ) + 缸( 6 ) ( 2 1 0 ) 磐( 6 ) 一万2 a 2 ( 6 ) + 3 ( 半) 2 + 攀掣 + 4 ( a + j ) + 3 32 ( a + 6 ) c + 盯； 6 ( 6 ) 2 3 3 l c垒c 2 2 0 2 , ( 6 ) + 万) k 2 盯触) ( 2 1 1 ) 证明 通过观察上面的方程，我们发现由( 2 6 ) 对 t t 求导数并把( 2 6 ) 代入求导 后的式子可以得到： 州u ) _ _ 喾。( ) e - 攀“h 。 以川旧 +a + 6 + 8 c了) t 2z 。( ) 2 e 一半( 一叫吣以删- - o 2 , b , 6 ( 删如 一芸厂e 一籼叫6 ( t u ) m + 半菩小刊e 掣( t - u ) o - 2 , b , 6 阶u ) 出 ：一万2 a 2 厂( t - u ) e 一半u 础删- - 0 2 , b , 6 ( 删l 出 + 6 + 8 入2 c 2 c 讹，a ( 缸) 一菩z ( t 一让) e 一学( t - u ) c 7 2 b , 6 ( t 八6 ) 出 e 一半( h ) c r 2 1 6 j ( au ) d t + 半菩小刊e 一学( t - u ) o r 2 , b , 6 ( ) 出 6 入+ 6 + p ，、 一m 6 6 【i t j 一警序刊e 一半( f - 叫叽( m ) 嘞以删 班 一星c ! c 2 小叫e 举叫晰( 沁) 蹴 入2 c 2 e 一半( ) 仃2 以tau ) d t ， 由( 2 1 2 ) 继续对珏求导数并把( 2 1 2 ) 代入求导后的式子可以得到： m z 6u ) = a + 6 + 口 cm ：，6 ( u ) + 了2 a 2 + 6j r8 口a 2 + 二i c c ( 2 1 2 ) e 一半( ) a l ，6 ，6 au ) 一o 2 , b , 6 ( ta 训d t 警小叫e 一半”叫吼( t a 旷嘶( 删斑 e 一半( ) 0 2 扣，d ( tau ) d t 一型c 星c ! c a 小刊e 掣( t - t ) o r 2 , b , 6 ( m 知“让) 一半菩z e 一学( t - u ) 0 2 b , 5 ( a + 6 + 8 + cm ：，6 ( 札) + 了2 a 2 a + 6 + 口 c r m ：，a ( 钆) l e 一半( 舢h 6 6 ( au ) 一o r 2 , b , 6 ( a 训d t 入+ 6 + 伊 c m b 5 ( u ) + 等菩( ) e - 籼叫州t + 菩z e 掣( t - - ) c z 2 , b , 5 队u ，畸 + 譬菩z ”e 一半( t - u ) a 2 , b , 6 ( 膨 一型c 星c ! c 2 小叫e 喈细k 点以叫班 a 2 ，、 入+ 6a 2 + 石( “) 一手了 = 2 a + 巧+ 口 c 2 a 2 + 彳 矿 毗。( 札) e - 学( m ) 仃2 6 ，6 ( tau ) d t + 6 + 8 o oe - - 半( 细“t 7 1 2 ) m 6 1 a ( u ) ai t ) 一口2 a 6 ( ta 仳) 】d t 第二章g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 + 3 2 a 2 f 。( t u ) e 一半( h k ，a ( u ) 出 + 2 壁c ! c 2z e 一半( t - t ) a z b , 6 ( t 八u ) 出 + 每( 珏) 由( 2 1 3 ) 继续对u 求导数并把( 2 1 3 ) 代入求导后的式子可以得到： m 繇( u ) = 2 a + 6 + 8 + c m 如( ) 一f 半喾z 。0 cc o， a + 6 + g c 2 ) 以，6 ( u ) ， ( 2 1 3 ) e 一半( h ) c r l 6 ( au ) 一0 2 , b , 6 ( tau ) 】d t 一警“) - 呦“酬 口2a 2 c 2 c 2 e - 学( 细) o r 2 6 ，d a 乱) d t + t a + 6 譬菩小刊e 增h k 以删出 一2 譬知 + 682 a 2 + c 暑万c 酽 = 2 + 久+ 6 + 目 c 入+ 占+ 口 一了2 a 2b 1 ，6 。6 c 3 r1 “。 e 掣( t - u ) o r 2 , b , 6 ( t 删出+ 知a 小) m ：i a ( u ) 入+ 巧+ 召 c m ：6 ( u ) 喾z 。e 一半叫钆札) - - o 2 , b , 6 训 ( u ) 一眈6 s ( 缸) 1 一3 2 x 2 f 。e 一号笋 一u ) 仃2 石s ( u + 半卜h 2 a 2 c 3 ) 、+ 6 + 8 c 以6 ( 饥) + 入+ 6 + 8 c e 一半( p 1 6 。6 ( tau ) 一0 2 , b , 5 ( 八u ) 】d t 一2 ：3 万a 2 上f 。e _ 学( t - u ) 0 2 , b , 6 ( u ) 出 一知“札) 卜缸“钍) 一2 譬知“u 半笔菩 8 1 出 2 ) m b ，6 ( u ) e 一半( m ) 盯2 ，6 ，6 ( t u ) d t 2 、j 曲阜堕蔓盔堂亟主堂垡堡塞 一 一一 + + 入+ 6 + 侈 c a + 6 + 口 c + 型c 卜 + im 6 6 l u j 入+ 6 + p3 ( 入+ 6 ) + p c c m ；6 ( 让) ) 2 半佻“沪譬菩产销k 水川出 由( 2 1 4 ) 继续对u 求导数并把( 2 1 4 ) 代入求导后的式子可以得到： m 埝( 乱) + + 2 入+ 6 + 口 c ) 、+ 6 + 8 c + 半 噶 + im 妊t 珏， cl ) 2 半啪) a + 6 + pp2 a 2 _ 乏了c c 入+ 6p 2a 2 厂 e 乎乎3 u + 譬箬半水) 一万2 a 2 吒。+ ：石了仃2 6 l 缸j 一f 0 1 + + 6 + 8 c ) 、+ 6 + ( j 2 c a + 6 + p3 ( a + 6 ) + p c c 峭石( 姐) ( 2 1 4 ) 。( 扎) + 兰_ = 二j 半菩以，。，。( 乱) + 菩口兰。，a ( 乱) + 型c m ，b 6 t 珏) 一 ) 2 半州让) + 入+ 6 + p c 入+ 6 + p3 ( 入+ 6 ) 十多 c c 入+ 6 + p + 半1 m ： 小) + + t j 碱，6 i ) + 等氅篆 c 乎孑。l 。t c m 镪( 让) 入+ 6 + 83 ( 入十6 ) + p m ：6 ( t ) c c 碱6 ( u ) e 掣m k “m ) 出一售喾小) + 譬芸坐嘶。( u ) 一万2 a 2 吼i 。 + l 彳盯2 ，6 ，6 l t 上j 一_ = 丁d l 扣 cc c c 3 入+ 6 + 口 c 。(乱)+!：半菩以，。，。(乱)+菩盯：i冉，a(扎) + 半k 一 a + 6 + 6 ( a + 6 ) + 3 p 9 c c 嗽6 ( 牡) 出 m 吐 u 2 2 舢! 孑 6 “ 她 盯 小舻矿 八 p 一 6 一一 二 l 、一 盯 6一： 【 _ _ _ 卜一 一 1 、一 鎏c 掣 型 厂胁 砰一萨妒尹 型叫丝萨 出 d “ 口 丝萨 0 一c 一 如 6、j 妨 叽 a 川 肌 学 e “： 一e 掣 fe f 心l ，irl b 删 叫 ，地 珏、 r厶文 伊一护懈一萨 卵一 仇 十i 。釜c 2 厂一 ， 一 妒p坐一 箜三童旦塑坐一塑望堑墨塑全堕堑 + 警) 2 等学嘣旷( 幽c ) 3 了a + 6 啡， + 箬行e 一：, b a t a u ) d t + 字a + 6 弘2 a 2 二 + 曙c 半一半华恪b , 6 如，巍“钍， _ 剐 i c cr1 名v z j 了口】6 6 i 钍j + 型掣知“卅施“札) 由( 2 1 5 ) 继续对u 求导数并把( 2 1 5 ) 代入求导后的式子可以得到： 以譬( u ) a + 6 + 8 c + 半m 一 垒! 望6 ( a + j ) + 3 c c + a + 6 + f 1 ) 2 半喇u ) 一( + a + 6 3 3a 2 l e 一半( t - u ) u 2 , b , 6 ( t 八u ) 砒 一万f 1 3i a 2 眈点艿( 盟) + 了a + 6 了2 a 2 盯( u ) x + 6 + 8 c t n , 。l i t 。l - u ) ) 3 半刚让) + f l 2+flcc 一幽c 螋c 牌c 22 , b “小喾“1 , b “札) l 。，6 、u ，一百o 6l 札j + 2 - 2 ( a + _ 6 ) - 3 p 万a 2o r 2 , , a 。( 乱) + 筹口篆，j ( “) 5 3 半+ 掣一半半哟 + ( 半) 2 竽学州一( + 学u ，一 3 半+ 半1 +生业6(a+5)+3flc m c u 口、一， 一( 半) 2 警竽嘣u ，+ ( 一_ a + _ o ；7 2 a 2 矿1 ，6 ，j ( ) a + 5 + 启 c 1 1 1 八t 乱) 入+ 5 + 口 c ) 3 _ a + 5 啪) ) 3 掣文u ， 一臀型一巡华协+72a2c c c 仉1 , b “札)lc ic ；2 。z ，o ，d “，下：丁c ， ，6 l u ， 一呈二二兰半菩以 一( 让) 一菩口兰屯。( 札) ) 1 0 一箬知“让) + 了a + 6 7 2 a 2 吒 + 曙学一 a ! d 十2 一( a + 艿) 一2 p cc 降 小) 一万2 a 2 叱“让) +丝幽瓤一珏)+弘小,-jc ) 十一一 一 ? l o 一，r f t ( ，1 n r p “”、7 ：f3 半+ 2 塑c1 础( u )c i u ”、 一 型c 塑螋c+ 半半k 0 , 0 lccl 、吖 + ( 半) 2 绁c 必+ 学半坠竽 一( 半) 2 掣半州u ， + ( 半) 3 ( 半) 2 锄“旷( 半) 2 誊 lm ：6 ( u ) j 一 学一学半+ 壁c 2 半胁 小，+ 学铷一【r 一孑一了+ 一乏二j 石盯2 曲，6 ( 札) + 一i 仃i 抽，j ( “) + ( 掣一掣) 知一让，一万2 a 2 叱“训 一( 字+ 掣一半) 飘小，+ 细小， 所以利用恒等算子和微分算子， ( 2 1 6 ) 可重新整理成： 21 6 ( ) ( 半z 一。) 3 ( 半z 一。) 2 州u ， = 警( 学z 一半秒彬) 叽c t 仝训 + 薹 学一学竽+ 譬哥一( 半一竽) 。 + ( 丁a + 6 + 幽c 一竿) 。2 一剐 u ) 即 ( 半z 一秒) 3 ( 半z 一二) 2 州u ， 1 1 第二章g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 = 喾( 学z 一半刃) ( 卜“川秒) d y + 7 1 ) 刮学一学半+ 譬斟一( 半一竽) 。 + ( 学+ 华一竿) 秽一拼( 5 “讹“钍刊协，d y + 7 2 ) 边值条件( 2 8 ) 可以由( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 在t = b 时得到，同时( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 可 以分别由( 2 1 4 ) ( 2 ，1 5 ) ( 2 1 6 ) 在u = b 时得到 2 3 佻，6 ( t i ) 的线性解 如果0 1 七，6 ( u ) 对u 。司导，则积分一微分方程( 2 7 ) 的g e r b e r s h i u 期望折现罚金函 数m b 6 ( u ) 成立一个o 1 ，6 ，6 ( “) 对u 可导的充分但不必要条件是罚金函数u 和索赔 额分布 都可导在破产理论中大多数带有利率的罚金函数关于它们的第一次索 赔可导例如：破产前盈余和破产时赤字的联合矩母函数u ( z ，y ) = x k y 的罚金函 数以及仅含破产时赤字项的罚金函数( 即u ( z ，y ) = u 2 ( 可) ，0 3 2 是任意函数) ，对第 一次索赔可导引起破产前盈余的累积分布的带利率的罚金函数u ( z ，y ) = ， ：) 是不可导的 我们注意到( 2 , 7 ) 不依赖分红边界b ，因此，我们可以得出无分红边界的g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数m 。，6 ( u ) 满足如下非齐次积分一微分方程： ( 半z 一秒) 3 ( 半z 一口) 2 唰u ， = 喾( 学z 一半。) ( z “叫u 刊肫胁怕) + 菩 学一学竿+ 譬斟一( 半一竽) 。十石1i r 一r 丁十万下l 上一亨一一r 十( 学+ 掣一半) 。27 13 ) ( z “叫乱刊胁m 协，) ( 2 ，1 7 ) 当0 u 。o ，通过m 。，6 ( u ) 的l a p l a c e 变换，我们可以得到m 。6 ( u ) 的瑕疵更 新方程 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 由定理2 1 ，我们可以看出m “6 ( u ) 满足一个非齐次方程，通过微分方程的 一般理论和m b ，6 ( u ) 有关的非齐次方程( 具有边界条件，( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) ) 的解可以表示为一个特解( 即无分红边界的g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数 m ，6 ( 2 ) ) 和一个给定的五个线性无关解的组合，其中这五个线性无关解满足如 下齐次积分一微分方程： ( 半z 一口) 3 ( 半z 一口) 2 咖) = 警( 学z 一半刃) 小u 刊胁，咖 + 菩 学一学半+ 石3 2 斟一( 半一竽) 口 + ( 学+ 华一竿) 萨甲13 ) f 出刊胁汹 【2 1 8 ) 为了得虱if 2 1 8 、百个基本镪鞋们对齐次青程f 21 8 1 僦l a d l a m 啻摊 令 ( s ) = f o 。e - a u y ( u ) 如 ，( 3 0 ( s ) = e - s y ( y ) d x j o m = ( 半一s ) 3 ( 半一s ) 2 警( 学一半s 柑) 孙， 一菩 学一螋t 2 - 3 1 3 c 2+ 堡c 2 斗( 掣一半) s c 2l ic 3c c lc 2c 2。 + ( 学+ 掣一半) s 21 c s 3 泓， 我们很容易知道( 2 1 8 ) 的解可以表示为五个线性无关解 轧6 ( 钍) ，u o ， y 2 6 ( u ) ，u o ) ， y 3 ，6 ( u ) ，u o ， y 4 ，6 ( u ) ，u o ) ， y 5 6 ( u ) ，u o ) ， 1 3 第二章g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 y s 6 ( 仳) ，u o ) 的组合，其中； m 训s 卜学( 半) 2 ( 2 半+ 3 半) a + 6 + 口 l r - - - 。- - - - - 二 c + ( 半 3 ( 半 + 6 型查! 塑+ 3 cc + 6 型垒! 望+ cc 2 型+ 3 a + 6 + o c c m 唰s ，= 半l ( 半 c l 、c + 3 ( 半 、s 。一5 4 ( 半) 2 s ( 半) 2 s 2 + 6 型垒! 垡+ 3 cc + 6 型垒! 壁+ c c 2 型+ 3 垒! 壁 cc = 一 3 ( 半 + 、s 。一s 。 + 6 型垒! 壁+ cc 2 型+ 3 垒! 壁 cc 8 8 2 m 酬s ，= ( 2 学+ 3 半) 一s m 幸玩6 ( s ) = - 1 换句话说，( 2 1 8 ) 的一般解y h ( u ) 的形式为： ( 半) 2 s ( 半) 2 ( 2 ，2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 ，2 2 ) ( 2 2 3 ) y h ( u ) = c l y l 6 ( u ) + c 2 y 2 ，6 ( u ) + c 3 y 3 ，6 ( u ) + c 4 y 4 ，6 ( u ) + c 5 y 5 6 ( u ) ( 2 2 4 ) 注意到解 y l ，6 ( u ) ，乱o ) ， y 2 j ( 乱) ，u o ) ， 蜘，d ( 札) ，u o ) ， 可4 ，j ( u ) ， “ o 爹5 6 ( u ) ，锃o 有一个下标6 ，证明它们依赖于6 定理2 2满足( 2 7 ) 的g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数m b 6 ( u ) 的一个表达式 1 4 互胡i i j (、j f 0 一 + 一c半 曲阜师范大学硕士学位论文 是； l r t b ，d ( 2 正) = m 。j ( u ) + & y 1 ，6 ( u ) + 北，6 ( “) + 可3 d ( u ) + & 4 6 ( t 正) + & 可5 ，6 ( u ) ( 2 2 5 ) 其中常数& ，岛，品，& ，& ，是如下线性方程组的解： s 吮d ( 6 ) + 5 2 y 2 7 ，6 ( 6 ) + 岛垢d ( 6 ) + & 耖：，6 ( 6 ) + & 可：，6 ( 6 ) = 一m 乙d ( 6 ) ( 2 2 6 ) i i 。 b ， + 岛磋d ( 6 ) + 岛鳝d ( 6 ) + & 鲅j ( 6 ) + 品鳋j ( 6 ) = 一吧，d ( 6 ) ( 2 2 7 ) s - 一菩矽j f o uy z , 6 ( 删d 刁 + s j 可筘( 6 ) 一菩刃，0 uy 2 , 6 ( 6 一y ) ，2 ( 可) d 秒 + 焉) i i i 一差口j ( “融“6 一彩丘 ，匆j 。2 2 8 ， + 蜀i i i s ( 6 ) 一- 入5 2 口o u y 4 , 6 ( 6 一y ) ，2 ( ) d 秒 。 + s o 5 , 6 ( 6 ) 一菩刀z 。掣s ，a ( 6 一y ) ，2 ( 可) 咖 = 菩。z u 仇，a ( 6 一秒) ，2 ( ) d + 菩7 i ( 6 ) 一m 笔，。( 6 ) s 胁) + 警秒j o “y l , 6 ( 舀刊舳) 劫一 一万x 2 2 以u 州6 刊胁) d 铂 掣万) k 2 口z 0 u y l , 6 ( b 刊胁) 劫 + 岛p 器( 6 ) + 可2 a 2 。z 1 1 , 1 耽“6 一) ( 可) 句一 一) l 2 2 以u 酬6 刊胁) d 卅 + 品陋( 6 ) + 了2 a 2 。上0 u y 3 , 6 ( 6 刊加) 咖一 一歹, 入2 2 以u 蜘( 6 刊胁) 由 1 5 坐掣菩。厶羽刊纰) 由 堕掣箬。厶舶刊胁) 咖 第二章 g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 + & 胁) + 万2 a 2 。z 0 uy 4 , 6 ( 删妒坐掣菩。z 。则刊胁胁 一了、2 2 厶u 矾“6 一可) 止( 矽) d 可 + 品陋) + 了2 a 2 。厶和刊胁m 坐掣菩勿卜鼬刊胁油 一a 2 d 2 厶u 蚧( 6 刊胁) 咖 =一万2a2。z“唰删虮坐岩石a2。ff0j 0 “唰删咖 l j ol o a 2 , 1 ) 2 “叫删旷了2 a 27 ，( 6 ) + 坐掣菩铘) 、2 + 丢镌( 6 ) 一m 兽d ( 2 2 9 ) s 鼢6 ) + 6 半苦口 印刊胁) 咖+ 万2 a 2 口2 羽刊胁 一3 ( 半) 2 + 等掣 。o 缸轧鼬刊删分 一 半一半+ 竿 菩口2z o uy z , 6 ”蝴，咖 一菩。3z “萝- ，a ( 6 一爹) 是( 可) d 秽) + 岛6 半菩。卜鼬刊胁) 咖+ 万2 a 2 口2f o uy z d 6 刊加 一3l ( 半) 2 + 竽掣l 。f o “y 2 , 6 ( b - 蝴，咖 一 半一掣+ 半 菩口2 y z 6 ( 删由 一! v aj 。y 2 , 6 ( 6 一可) 厶( y ) d y ) + s + 品( 6 ) + 6 a + 6 + 口 c 苦口厶加刊加油+ 7 2 a 2 秒2 o 。础刊胁 一3 l ( 半) 2 + 等掣l 。o ”弧羽刊触，如 一 半一半+ 型 菩。2 小iy 5 羽0 刊y 胁a y c 一l 矿一一一十一i i 一6 i j ，2 i 剪j i c 二c i c ，n 。 一菩。3 厶鼬刊胁) 由) - ，6 半垒c 3 2 7 ) ”叫删旷喾。2 o ”叫删咖 + 3 ( 半) 2 + 攀掣m 叫删咖 + 半一半+ 下2 - 3 3 菩。2z “叫删匆 + 箬。3z “叫6 刊胁胁6 半翔6 ) - 了2 a 2 根6 ) + 31 ( 学) 2 + 等掣卜， +半一她+半筹馋)+筹伽)一仇跏)c酽 cl c o 。一 一。 ( 2 ，3 0 ) 证明 由( 2 7 ) 和( 2 1 7 ) 立即可以知道m b ，6 ( 让) 一m o o ，6 ) ( 0 墨u b ) 满足齐次 一微分方程因此m b 6 ( 札) 一m 6 ( u ) 具有的形式所以( 2 2 5 ) 成立 又因为m 66 ( u ) 满足边值条件( 2 9 ) ，( 2 i o ) ，( 2 i i ) 知道， , s l y i ，6 ( 6 ) + s 2 ，6 ( 6 ) + 5 3 y 3 ，6 ( 6 ) + & 以，6 ( 6 ) + t 兔可：，6 ( b ) + m 之，6 ( 6 ) = 0 ( 2 3 1 ) 1 7 第二章 g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 s t l b ) + 岛耖2 i i ，6 ( 6 ) + s i ! ( 6 ) + & y z d ( 6 ) + 民y l l ，6 ( 6 ) + 仇i 。i 6 ( 6 ) = 0 ( 2 3 2 ) 从而( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 式成立 对( 2 5 ) 求导： 刃吼1