（金融学专业论文）单因子利率期限结构模型的非参数估计.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究：i ：作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：丕；圣= 嗍 作者签名：丝；! ：=日期： 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：二选 导师签名：期：堋、6 、t e 摘要 摘要 利率期限结构是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投 机等的基准，所以利率期限结构一直以来就是金融学研究的重点。此外，随着 我国债券市场的发展，金融创新的不断深入以及利率市场化进程的逐步推进， 利率期限结构问题研究的重要性日益凸现。基于这些背景，本文以利率期限结 构为主要研究对象。 在理论方面，本文首先对国内外有关利率期限结构的理论研究和实证分析 进行了系统地介绍，分析了目前国内外利率期限结构的研究现状。接着详细论 述了具有代表性的单因子利率期限结构模型，如m e r t o n 模型、v a s i c e k 模型和 c i r 模型等。并在此基础上介绍了广义矩估计法和非参数方法 在实证方面，本文以银行间7 天回购利率为样本数据，用广义矩估计法对 v a s i c e k 模型和c i r 模型进行参数估计，同时用非参数方法对c k l s 连续时间利 率期限结构模型统一框架下的模型进行了估计，并对这两种估计结果进行了简 单的分析，且与美国的情况作了对比分析，此外，还在漂移函数、扩散函数和 边际密度函数等三方面对参数方法和非参数方法也进行了详细的比较分析，最 后得出非参数方法优于参数方法。 关键字：单因子利率期限结构非参数估计 中图分类号：f 8 3 0 9 1 a b s t r a e t a b s t r a c t a st e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t ei st h eb e n c h m a r kf o ra s s e t - p r i c i n g ，h e d g i n g ，r i s k m a n a g e m e n t , a r b i t r a r ya n de v e nm o n e t a r yp o l i c y m a k i n g , s oi th a sl o n gb e e nt h e r e s e a r c hc e n t e ri nf i n a n c e w i t ht h ed e v e l o p m e n to fb o n d sm a r k e t , t h ed e e p e n i n go f f i n a n c i a li n n o v a t i o n sa n dt h ep r o m o t i o no f i n t e r e s tr a t em a r k e t i z a t i o n , t h es i g n i f i c a n c e o ft e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t eh a sb e c o m ei n c r e a s i n g l ym a n i f e s ti nc h i n a c o n s i d e r i n gt h e s eb a c k g r o u n d ，t h ea u t h o rh a sc h o s e nt h et e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e a st h es u b j e c to f s t u d y f i r s ta n df o r e m o s ti n t h i sp a p e r , t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t eh a sb e e n s y s t e m a t i c a l l ye l a b o r a t e db o t ht h e o r e t i c a l l ya n de m p i r i c a l l y ，p r e s e n t i n gap i c t u r eo f t h es t a t u sq u oo ft h ei n t e r e s tr a t et e r ms t r u e t a r es t u d yh o m ea n da b r o a d t h e nb y s t a r t i n gw i t ht h ei n t r o d u c t i o no ft h er e p r e s e n t a t i v eo n e - f a c t o rt e r ms t n l c t u r em o d e l s ， i n c l u d i n gt h em e r t o nm o d e l ，v a s i c e km o d e l ，c i rm o d e la n ds oo n , m o r ed e t a i l e d i n d e p t hd i s c u s s i o n sa b o u tg m ma n dn o n p a r a m e t r i ct e c h n i q u eh a sb e e nt a k e n , i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n , g m mh a sb e e na p p l i e dt oe s t i m a t et h ev a s i c e km o d e l a n dc i rm o d e lb yu s i n gt h es a m p l ed a t ao fs e v e n - d a yr e p u r c h a s er a t ei nc h i n a i n t e r - b a n kb o n dm a r k e t a tt h es a n l et i m e ，w i t ht h ea i do f t h en o n p a r a m e t r i ct e c h n i q u e ， t h ea u t h o rh a sa l s oe s t i m a t e dt h ec k l sm o d e l 、析t ht h es o j l - l ed a t aa b o v e a f t e rt h a t , t h ee s t i m a t e dr e s u l t sh a v eb e e nb r i e f l ya n a l y z e da n dc o m p a r e dt ot h er e s u l tf r o mt h e u sd a t a f i n a l l y , t h ea u t h o rh a sc o m p a r e dn o n p a r a m e t r i cm o d e la n dg m m t h r o u g h t h r e er e s p e c t sa so fd e n s i t yf u n c t i o n , d i f f u s i o nf u n c t i o na n dd r i f tf u n c t i o n , a n dc o m e t oac o n c l u s i o nt h a tn o n p a r a m e t r i cm o d e li sb e t t e rt h a np a r a m e t r i co n e k e yw o r d s ：o n e - f a c t o r , t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e ，n o n p a r a m e t r i c c l a s s i f i c a t i o ne o d e ：f 9 3 0 9 1 2 单因子利率期限结构模型的非参数估计 引言 第一节研究意义 利率期限结构的理论是金融研究中最具有挑战性的课题之一，也是金融学研 究的重点。随着我国利率市场化的逐步实现，利率期限结构研究具有更多的理论 意义和现实意义。 ( 1 ) 利率期限结构的研究直接影响着各种固定收益证券及金融衍生产品的定价。 因为目前的资产定价思路就是将各期已知的现金流或期末已知的现金流进行贴 现，然后得出当前的理论价格，在这个过程就要用利率来进行贴现，所以利率的 正确与否直接影响着资产的定价是否正确。尤其是利率衍生产品的定价，因为它 的标的资产完全由利率决定，所以利率对利率衍生产品的影响更加明显。此外， 利率期限结构研究也符合了开发新型金融产品、进行金融创新的需要。经济全球 化的今天，金融创新己经成为国际化的潮流，利率衍生产品如利率互换、利率期 货、利率期权、浮动利率等在最近2 0 年发展迅速，这些都与利率期限结构的研究 密切相关。 ( 2 ) 利率期限结构的研究加强了利率风险管理的理论基础。目前我国的利率风 险管理意识相当薄弱、技术还是相当落后，这与利率不是市场化是分不开的。随 着我国利率市场化进程的加快，金融机构不得不加强和提高利率风险管理技术， 这就需要深入地研究利率期限结构，否则就不能精确地识别自身利率风险的暴露 程度，也就不能设计出规避利率风险的金融工具，在现代金融环境下，将难以保 证金融资产的安全。 ( 3 ) 从公司层面上来说，对利率期限结构的研究也是很重要的。因为公司在进 行投资决策时，需要对它的策略所带来的收益与机会成本和资本成本进行比较， 如果前者大于后者，这个策略是可取的，反之则反。而机会成本和资本成本的预 期取决于利率。所以如果不对利率期限结构进行深入的研究，企业或公刮就不能 做出正确的抉择，这就会影响公司的最终业绩。 ( 4 ) 从宏观层面上来说，对利率期限结构的研究也是相当重要的。短期利率和 长期利率之间的关系对货币政策的传导机制是十分重要的，因为货币当局可以控 制短期利率，只要短期利率与长期利率之间存在稳定的关系，当局就可以控制长 期利率，进而可以影响实物经济。此外，长短期利率差( s p r e a d ) 包含了关于未来 利率、通货膨胀以及实物经济行为的信息。例如货币当局和政策制定者可以把收 益率差作为经济通胀压力的指标。 引言 第二节研究对象、方法与创新之处 研究对象 根据基准利率的选择依据( 可控性、稳定性、关联性和反映市场的能力) 并 结合实际情况，选择银行间回购利率作为我国现阶段的基准利率是切实可行和合 理的。本文就选择银行问回购利率作为研究对象来分析我国的利率期限结构。具 体参考第四章第一节。 研究方法 本文用参数方法和非参数方法来研究单因子利率期限结构问题，主要运用 了实证分析和比较研究相结合的方法。在分析我国的利率期限结构问题的时候， 本文主要采用了实证分析的方法。实证分析重在强调客观依据，研究经济活动 的内在规律性，一般是利用统计和计量经济工具，通过建立计量经济模型，运 用回归分析等统计技术进行分析。具体如下： ( 1 ) 明确问题，提出理论假设； ( 2 ) 收集数据，并初步整理； ( 3 ) 建立计量经济模型； 。 ( 4 ) 应用模型处理数据； ( 5 ) 对实证结论进行分析。 在实证结果分析时，本文对中国情况和美国情况进行了对比分析，同时也 对各个模型所得出的实际结果进行了比较研究。 创新之处 基于前人的基础之上，本文有以下创新点： ( 1 ) 本文在利率过程服从马尔可夫过程及相对利率水平服从独立同分布等的 假定前提下，得出了利率的连续时间模型的一般表达式。 ( 2 ) 由于参数估计方法存在着一定的缺陷，所以本文采用了非参数方法对利 率期限结构模型进行估计，并且利用我国银行间7 天回购利率来进行实证分析。 第三节本文的主要内容 本文先以单因子连续时间利率期限结构模型的统一框架为基础，分别采用 了广义矩估计法和非参数估计，通过m a t l a b 编程，使用了银行间7 天回购利率 数据对单因子连续时间利率期限结构模型进行估计，并进行分析。具体内容如 下： 4 单因_ 利率期限结构模碰的非参数估计 第一章是利率期限结构的概述。简单介绍利率期限结构的概念，并从理论 模型和实证分析两方面系统地阐述了国内外研究现状。 第二章单因子利率期限结构模型。首先讨论了利率的变动情况，最后推导 出单因子模型的一般表达式。然后在c k l s 连续时间利率期限结构模型的统一 框架下，分别详细介绍了m e r t o n 模型、v a s i c e k 模型、c o x i n g e r s o l l r o s s 模型。 第三章是单因子利率期限结构的非参数估计。主要介绍了两种估计方法： 广义矩估计和非参数估计。利用这两种估计方法对c k l s 连续时间利率期限结 构模型建立了估计模型。最后还介绍了其他几种非参数估计方法。 第四章是实证分析。主要对本文所建立的利率期限结构模型进行实证研究 并进行结果分析，最后还在漂移函数、扩散函数和边际密度函数等三方面对参 数方法和非参数方法也进行了详细的比较分析。 第五章是结论及建议。本章对全文进行了总结并给出建议。 从内容的结构上看，本文主体部分可以分为两大部分：第一部分是利率期 限结构理论模型的介绍和估计模型的建立，第二部分是实证分析及结果比较。 第。章利率期限结构的概述 第一章利率期限结构的概述 第一节利率期限结构简介 利率期限结构( t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e ) 描述的是债券收益率与其期限 之间的关系。所使用的债券应该有相同的风险，应该处于同一税收地位，并且用 即期利率来构建收益率曲线。对于零息票债券，到期收益率与即期利率相同。因 此，金融债券的收益可用于收益率曲线。但是期限长于一年的零息票债券的到期 收益率则不能用作即期利率。在美国的利率期限结构中利用息票剥离到期收益率 的方法得到即期利率，但其中有三个基本的问题：首先，息票剥离市场的流动性 不像金融债券市场那么大：第二，特定的投资者基于他们的需要或者由于某个期 限的债券具有一些吸引人的特点，也许只愿意投资于某个期限的债券；第三，剥 离债券的税收与零息票债券的税收水平是不同的。 由上述定义可见，研究期限结构就是研究利率与时间( 或期限) 的函数关系。 收益率曲线是描述利率期限结构的重要工具。一般而言，在风险、流动性、税收 等方面相同的债券，由于债券的期限不同，利率也会有所不同。根据这些债券的 收益率绘成的曲线称为收益率曲线。因此债券的收益曲线反映的则是在一定时点 上不同期限债券的到期收益率与到期期限之间的关系，它表示的是债券的利率期 限结构。收益率曲线的形状主要有向上倾斜，平缓、向下倾斜和拱形四种情况： ( 1 ) 当预期市场收益率会上升时，债券的期限越长则其收益率越高，这意味着向 上倾斜的收益曲线类型；( 2 ) 当预期市场收益率会下降时，债券的期限越短则其 收益率越高，即向下倾斜的收益曲线类型；( 3 ) 如果预期市场收益率不会变化， 则不同期限的债券其收益率是相同的，即平缓的收益曲线类型；( 4 ) 如果预期市 场收益率先升后降，则先是债券的期限越长其收益率越高，然后变为债券的期限 越短其收益率越高，即拱形的收益曲线。 然而，上述描述的是传统利率期限结构理论所研究的主要内容。利率期限结 构理论还包括另一块重要内容，就是现代利率期限结构理论，即研究在给定的时 刻预期未来收益率的变化趋势，这是本文的研究重点。 第二节利率期限结构的文献综述 1 2 1 飘率朝限结构的理论模型综述 利率是金融市场最基本和最重要的价格变量之一，尤其是短期利率。因为固 6 单因子利率期限结构模型的非参数估计 定收益证券以及金融衍生产品的价格与短期利率的运动情况密切相关，尤其是利 率衍生产品。此外，从公司层面上来说，利率也是很重要的，因为大多数投资决 策基于对机会成本和资本成本的预期上，而这两种成本的确定也与利率有关。另 外，短期利率在货币政策传导中也处于主导地位。鉴于其重要性，学者们提出了 许多利率期限结构理论和模型来解释利率的行为。 在文献中，一般把利率期限结构的理论概括为两大部分：传统利率期限结构 模型和现代利率期限结构模型，而现代利率期限结构模型又可以分为：均衡模型 和无套利模型。用图表示如下： 利率期限结构模型 传统利率期限结构模型 流动性偏好理论 f 纯预期理论 i 市场分割理论 现代利率期限结构模型 均衡模型瓣模爿麟 多因素模型 ：嚣 无套利模型 h o l e e 模型 h u l l - w h i t e 模型 b d 一膜型 日一j 一 恻等 所谓传统的利率期限结构理论，指的是7 0 年代末实行利率市场化政策以前形 成的理论，主要是从定性的角度讨论市场上存在的利率期限结构的形状、它们形 成的原因以及它们所代表的含义。传统的期限结构理论主要有三种，分别是纯预 期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。 纯预期理论首先i 扫l r v i n g 于1 8 9 2 年提出，该理论认为利率的期限结构主要建 立在投资者对未来利率的预期上，投资者对未来利率的预期是影响利率期限结构 的主要因素。长期债券利率等于人们预期在长期债券期限内将出现的短期利率的 平均数。所以，纯预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期 利率有着不同的预期。 流动性偏好理论是i 捆h i c k s 于1 9 4 6 年提出，它认为风险和预期是影响利率期 限结构的两大因素，因为经济活动具有不确定性，对未来短期利率是不能完全预 期的。到期期限越长，利率变动的可能性越大，利率风险就越大。投资者为了减 少风险，偏好于流动性较好的短期债券。而对于流动性相对较差的长期债券，投 7 第| 章利率期限结构的概述 资者要求给予流动性报酬( 风险报酬) ，流动性偏好理论被认为是纯预期理论和市 场分割理论的融合和折衷。 市场分割理论是由c u l b e r t s o n 于1 9 5 7 年提出，该理论认为不同期限的债券完 全没有替代性，任何期限的债券收益率完全由该种债券的供求因素所决定，而不 受任何其他期限债券的影响。 由于传统利率期限结构无法解决现实的许多问题，所以，许多学者提出了 现代利率模型来模拟实际收益率曲线。 第一个现代利率框架是由m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 提出，他首先提出了一个简单的单因 子模型。该模型优点是表达式简单。主要缺陷对利率非负的破坏以及对均值回复 性的破坏。 i c e k ( 1 9 7 7 ) 首先给出了均值回复的期限结构模型以克服上述模型的缺 陷。他用o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程来描述短期利率过程。该过程有一个均值回复 的性质，这与市场上观察到的利率的实际行为是一致的。但是，该模型有几个 缺陷：第一，利率会出现负值；第二，存在套利机会：最后，风险的市场价格 是常数。 利率出现负值的问题是由d o t h a n ( 1 9 7 8 ) 、c o u r t a d o n ( 1 9 8 2 ) 以及c o x 、i n g e r s o l l 和r o s s ( c 1 r ) ( 1 9 8 5 ) 解决的，其中c o u r t a d o n 提出了单因子对数模型，而c o x 、 i n g e r s o l l 和r o s s 提出了平方根模型，该模型能够得出贴现债券和欧式看涨期权的 解析表达式，正是由于这个原因，它被广泛应用于实际中。该模型具有均值回复 性以及非负性。 但是，单因子模型无法解释利率的大幅波动问题，因此，b r e n n a n 和 s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 认为利率过程只取决于一个因子的假定是不现实的，因为这意味 着不同到期日的债券的瞬时收益率是完全相关的。因此，他们对c i r ( 1 9 8 5 ) 模型 进行了扩展，提出了多因子模型，使模型包含了短期利率和长期利率。f o n g 和 v a s i e e k 于1 9 9 1 年将v a s i c e k 模型进行扩展，提出了两因子模型，其重要改进就是 在原来服从o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程的利率中增加了随机方差项。该模型的缺陷是 对非负性的破坏：由于冲击项的波动系数是非负的。同样，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 在c i r ( 1 9 8 5 ) 模型的框架下提出了一个两因子的一般均衡模型，其中的两 个因子分别是短期利率和其瞬时方差。利率取决于方差的模型能比较好地解释现 实的收益率曲线。其优点是利率风险的市场价格是模型内生的，还有瞬时短期利 率及短期利率的波动率在实际中容易得到。该模型的缺点：没有考虑长期利率对 债券价格的影响。 上述模型在对利率衍生产品定价的问题上所使用的方法是十分相似的。它 们假定利率过程是给定的，从而可以外生推导出期限结构。它们之所以被称为 单因7 利率期限结构模型的非参数估计 是均衡模型，是因为它们选择利率过程的根据是期限结构必须与均衡经济相一 致。虽然一般均衡方法是很有用的，因为投资者可以决定债券的公平价格，但 是它引起了套利机会的出现。然而，在一般情况下，一个模型的所需满足的条 件就是无套利机会。 h o 与l e e ( 1 9 8 6 ) 率先提出了无套利利率模型。他们认为期限结构是给定的， 然后推导出合适的期限结构的运动情况。此方法确保了债券的理论价格是完全 取决于观察到的期限结构。但是该模型存在一个缺陷，就是没有均值回复的性 质，而且所有的即期利率和远期利率都是相同的。 为了克服上述问题，h u l l 与w h i t e ( 1 9 9 0 ) 把无套利方法运用到了具有均值回 复特性的c i r ( 1 9 8 5 ) 模型和v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 模型中，即对这两个基本模型进行了 扩展。该模型的优点是它与目前期限结构和所有利率的目前波动率是一致的。 此外，扩展的v a s i c e k 模型是容易得到的。同样，b l a c k 、d e r m a n 和t o y ( 1 9 9 0 ) 与b l a c k 和k a r a s i n s h i ( 1 9 9 1 ) 基于v a s i e e k 模型的扩展形式上提出了对数模型以 克服利率出现负值的情况。 最后，h e a t h 、j a r r o w 和m o r t o n ( h y m l ( 1 9 9 2 ) 从一个崭新的角度发展了利率的 建模理论。他们先导出远期利率，所以比较方便地拟合期初的收益率曲线。角度 上的转换可以推导出漂移率和波动率之间的关系，从而有助于模型的实证分析。 但是，该模型的一个缺陷是即期利率过程是取决于历史，是历史的结果，所以， 该模型是非马尔可夫结构。为了解决问题，一些学者研究了在什么条件下即期利 率过程是具有马尔可夫性质的。例如，c a r v e r h i l l ( 1 9 9 4 ) ，r i t h c h k e n 和 s a n k a r a s u b r a m a n i a n ( 1 9 9 5 b ) ，i n u i 和k i j i m a ( 1 9 9 8 ) ，b h a r 和c h i a r e l l a ( 2 0 0 1 ) 。 利率期限结构的最新发展 近几年来，利率期限结构模型有了新的发展，具有代表性的有市场模型、随 机跳跃过程模型以及随机折现因子模型等1 。 b r a c e ，g a t a r e k 和m u s i e l a ( 1 9 9 5 ) ，j a m s h i d i a n ( 1 9 9 6 ) 分别提出了一种方法， 该方法用市场可以观测到的变量来进行建模，后来统称为市场模型。市场模型是 直接处理可观测的市场数据的模型，这些数据包括l i b o r 或有限期限的互换利率 等。由于市场模型把期权价格和市场利率直接联系起来，所以在利率衍生品定价 上有着广泛的应用，虽然该模型是建立在h j m 方法的一般框架之下，但是由于它 结构简单，可以得出利率上限、利率下限和互换期权的封闭解，而且对于更复杂 的衍生产品进行定价时，用市场模型更容易。市场模型的缺陷在于它的效果取决 于设定的远期利率过程，而这一设定在实证中是否成立还没有确定的答案。 9 第一章利率期限结构的概述 前面讨论的模型仅仅用b r o w n 运动来描述不确定因素，这样是不全面的，因 为金融市场是十分复杂的，而b r o w r d 云动只能描述金融资产的价格过程是连续 的，但从金融市场发展的历史看，价格的连续性经常会被一些不可预测的随机事 件破坏，这些事件包括金融危机、股市崩盘等。所以，我们有必要把价格过程分 解为b r o w n 运动和随机跳跃过程之和，这就是随机跳跃过程模型。 随机折现因子模型是最近发展起来的定价模型。它是一个离散模型，首先建 立随机贴现因子所满足的时间序列，然后确立其与债券价格之间的关系，最后确 定债券的定价公式。随机折现因子模型既是一种定价模型，因为它的提出首先是 确定贴现债券的价格，也是一种期限结构模型，因为从债券的价格中很容易得到 期限结构。 1 2 2 翻率韵限结构的实证分析综述 国外研究状况 随着利率期限结构理论模型的相继提出，许多学者同时对模型进行了实证分 析。b r o w n 和d y b v i g ( 1 9 8 6 ) 利用美国市场数据( 1 9 5 2 年1 2 月- - 1 9 8 3 年1 2 f l 的国库 券价格) 检验了c i r 模型，他们发现，虽然用截面数据估计出的无风险利率的方 差与用时间序列估计的方差十分符合，但是该模型在系统上高估了短期利率。此 外，从模型的残差中发现该模型的设定对这些数据来说是不恰当的。还有，与其 他国库券相比，c i r 模型似乎比较符合短期国库券，但这违背了一个假定( 国库 券的定价误差是同分布的) 。最后，该模型在很大程度上高估了溢价问题，而低 估了贴现问题。 c h a n ，k a r o l y ，l o n g s t a f 拜s a n d e r s ( 1 9 9 2 ) 使用美国市场短期利率数据对8 个 短期利率模型进行了检验比较，用一个月的国库券收益率对c i r 模型进行实证， 得出的结论表明波动率的建模是否正确是非常重要的，能较好地描述利率的动态 过程是那些利率的条件波动率是取决于利率水平的模型，但令人奇怪的是最常用 的模型如v 硒i c e k ( 1 9 9 7 ) 和c i rs r ( 1 9 8 5 ) 模型的效果还不如d o t h a n ( 1 9 7 8 ) 模型和 c i r v r ( 1 9 8 0 ) 模型。他们还发现短期利率的瞬时方差并不是线性的，这与利率 模型的扩散系数等于状态变量的平方根不符( 实际上，他们估计得出的波动率的 弹性系数是1 5 而不是0 5 ) 。 在参数估计方法中，n o w m a n ( 1 9 9 7 ) 利用b e r g s t r o m ( 1 9 8 3 ，1 9 8 4 ，1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 提出的高斯似然估计法对一系列单因子连续时间利率期限结构模型进行了参数 估计，其样本数据是一个月期的英国利率，得出短期利率的波动率对利率水平的 敏感度不高，这与c k l s 使用美国数据所得出的结论不同。 p e a r s o n 和s u n ( 1 9 9 4 ) 使用最大似然法估计和检验了两因子模型的扩展形式 1 0 单因利率期限结构模型的非参数估计 以寻找未被观察到状态变量的条件密度。他们用美国贴现债券和息票债券对模型 进行了估计，发现三种不同的债券的收益率都拒绝t c i r 模型。同时c i r 模型的 扩展形式也不能很好地拟合债券价格的数据。此外，他们的实证结果还表明基于 短期收益率的估计隐含了较大的价格误差。 g i b b o n s 和r a m a s w a m y ( 1 9 9 3 ) 使用广义矩估计( g m m ) 对美国短期国债利率 ( 1 9 6 4 年一1 9 8 9 年) 进行实证检验，得出该模型能比较好地拟合短期国债利率的 数据，参数的估计值表明风险溢价总体上是正的。 此外，s h b a b b s 和k b n o w m a n ( 1 9 9 9 ) 采用k a l m a n 滤波( 1 9 8 7 - 1 9 9 6 年期 间的美国数据) 对一般v a s i c e k s j j 率期限结构模型( 包括单因子、两因子和三因 子模型) 进行了实证分析，发现，从统计方面来看，如果把三因子模型作为备择 假设，两因子模型就被拒绝，但是从度量方面看，两因子模型与三因子模型的效 果差不多。y uj u n 提出非线性连续时间短期利率期限结构模型的高斯估计方法， 对n o w m a n ( 1 9 9 7 ) 的高斯似然估计法进行了改进。 在非参数估计方法中，a i t s a h a l i a ( 1 9 9 6 ) 采用非参数的核估计方法建立的非 参数利率期限结构模型对1 9 7 3 1 9 9 5 年期间的7 天期的欧洲美元存款即期利率 进行了实证分析，发现单因子模型的漂移系数存在非线性性质。s t a n t o n ( 1 9 9 7 ) 利用t a y l o r 级数方法近似地对漂移率和波动率进行非参数估计，采用近邻回归 方法对美国3 个月的国库券收益率进行了实证分析，得出短期利率的漂移项是 非线性的。后来，p a u ly a u 和r o b e r tk o h n 运用贝叶斯方法对非参数估计进行 了改进。 l o n g s m t 匍s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 的检验表明增加因子的数目会增加拟合的效果， 因此多因子模型是合理的。但是p e a r s o n 和s u n ( 1 9 9 4 ) 研究表明两个因子是不够 的，利率曲线的平移和扭曲至少应该使用三个因子，但是使用多因子模型对债券 衍生品进行定价会变得非常复杂。 对于h j m 模型类，c a r v e r h i l l ( 1 9 9 5 ) 单因子马尔可夫模型在定价和对冲的时候 具有良好的效果，而更复杂一些的模型确实能够捕捉到期限结构演变更多的性 质，但是这种模型拟合的难度更大，应用起来更困难。a m i n 和m o r t o n ( 1 9 9 4 ) 使 用了六种不同的波动率结构，包括正比例、平方根比例、绝对数值、非线性系数、 指数等形式对期权价格进行检验，结果表明隐含波动率函数不是平稳的，两因子 模型定价的效果更好，但是增加了参数的不稳定性。 b i n g h u e il i n ( 林丙辉) 和s h i h - k u o y e h ( 叶仕国) 利用1 9 9 6 年1 月一1 9 9 8 年8 月的国债数据对v a s i c e k 模型的扩展形式( v a s i e e k 模型加上跳跃扩散项) 进行 了参数估计，他们发现该模型在利率行为的描述和利率衍生产品的定价方面要优 于v a s i c e k 模型，相对于长期刊率而言，短期利率具有较快的均值回复特性、较 第一章利率期限结构的概述 高的波动性和较高的跳跃频率。 国内研究现状 国内对利率期限结构理论的实证研究起步比较晚，主要原因是我国金融市场 还没有真正地实现利率市场化。国内对利率期限结构的研究主要局限于对收益率 曲线的研究，如杨大楷、杨勇( 1 9 9 7 ) 和姚长辉、梁跃军( 1 9 9 8 ) 对我国国债收益率 曲线进行了经验研究。庄东辰( 1 9 9 6 ) 和宋淮松( 1 9 9 7 ) 分别运用非线性回归方程和 一元线性回归方程对我国的零息国债进行建模，并进行了检验。 唐齐鸣、高翔( 2 0 0 2 ) 应用利率期限结构的预期理论对我国银行同业拆借市场 利率进行了实证分析，结果表明我国的同业拆借市场利率基本上符合利率期限结 构中的预期理论。吴雄伟、谢赤( 2 0 0 2 ) 改进了连续时间利率期限结构模型，并研 究了扩散过程下单因子利率模型的统一框架。 李和金、郑兴山、李湛( 2 0 0 3 ) 利用非参数的核估计方法和随机过程的原理建 立了非参数的利率期限结构模型，并采用上海证券交易所的国债回购利率数据进 行了实证检验。周万隆、胡雅丽( 2 0 0 3 ) 把人工神经嘲络方法运用到国债利率期限 结构的建模与实证中，得出其效果要优于计量模型。郑振龙，林海( 2 0 0 3 ) 对我国 市场的利率期限结构进行了静态估计，分析了中国利率期限结构的变化特征并指 出今后对利率期限结构的研究方向。朱世武、陈健恒( 2 0 0 3 ) 利用国外两种模型( 多 项式样条法和n e l s o n s i e g e l s v e n s s o n 訇“展模型) 对我国交易所国债的利率期限结 构进行实证分析，指出n e l s o n - s i e g e i s v e n s s o n 扩展模型的拟合效果较好，并对利 率的变动进行了主成分分析，用来研究利率曲线的主要变动形式。 王春峰、刘玮等( 2 0 0 4 ) 运用模糊利率期限结构方法对中国交易所国债市场利 率期限结构进行了实证分析，研究结果表明，中国交易所国债市场的利率期限结 构对利率变化趋势有一定的预期作用，增加短期国债的数量和改变付息频率可以 提高中国国债市场利率期限结构的精度。吕兆友( 2 0 0 4 ) 对一个月期的国债回购利 率的研究结果显示，对波动率的正确建模是非常关键的，尤其是那些允许利率的 条件波动性依赖于利率水平的模型，可以更好地描述研究区间的利率动态变化。 许瑾、缪柏其( 2 0 0 4 ) 对利率期限结构的主成分进行了分析，发现利率期限结构的 曲率变化与利率的波动率有关。 发展趋势 到目前为止，利率期限结构的研究已经取得了突破性的进展，但是，大多数 模型都存在着一定的缺陷。所以，我们有必要对模型作进一步扩展以更好地能描 单因r 利率期限结构模掣的非参数估计 述利率的实际行为。 在理论模型方面，我们可以在利率过程中引入随机波动和跳跃项，a h n t h o m p s o n ( 1 9 8 8 ) 和l o n g s t a f fs c h w a r t zd a s ( 1 9 9 4 ) ( 1 9 9 s ) d a sf o r e s i ( 1 9 9 6 ) 已对 这方面进行了研究，但是他们仍然在一般h j m 模型的框架之下，所以还要进一步 探索，突破这个框架。 在应用方面，因为多因子模型的计算一般相当复杂，所以我们需要在不降低 其对真实利率解释力度的情况下简化模型使其具有马尔可夫性，从而能够应用到 实际分析中。 在实证方面，我们需要进一步了解那些用来解释期限结构的因素的经济含 义。此外，我们还需要思考均值回复的重要性以及跳跃项在利率中的作用。 本章小结 本章简单地介绍了利率期限结构的概念，并从理论模型和实证分析两方面 系统地阐述了国内外研究现状。 第_ 章单因予利率期限结构模型 第二章单因子利率期限结构模型 第一节利率的连续时间模型 在讨论具体的利率期限结构模型之前，我们有必要先讨论利率的分布情况 及推导出利率模型的一般表达式，这样我们可以进一步了解具体的利率期限结 构模型。所以，本节主要讨论利率的分布情况，并最后得出利率的连续时间模 型。 2 1 ，1 翻率的运动情况 2 首先我们把时间区间【o ，r 】细分为个子区间： 0 = t o t i 0 时) 或单调减函数( 时，方程有负的漂移项，此时，短期利率水平将下降。 当 时，方程有正的漂移项，即将上升。从而利率的变化呈现出一种趋向 于平均水平口的走势，具有上述性质的短期利率模型被称为均值回复模型。均值 回复性可见下图 利 巫 f 图2 1 均值回复图 短期利率的分布形式 给定时刻s 的信息集p ，在时刻，( ，j ) ，短期利率服从正态分布，即 卜 1 + ( r s ，丢2 小。) 】 可以看出，出现负利率的概率大于零，但是由于在时刻r 短期利率的无条件 均值和无条件方差均为常数 舰e ，t 防) = 9 第_ 章单因了利率期限结构模型 l i m v a r , ( ，, l f , ) = 瓦0 - 2 表明，在均值回复过程中较大利率出现的概率相当小，因此更适用于描述 现实情况。v a s i c e k 模型下风险的市场价格是常数。 该模型的评价： ( 1 ) v a s i c e k 模型满足了均值回复的特性，因此比m e l t o n 模型更加接近现实情 况。 ( 2 ) f 是一个连续的马尔可夫过程，表明未来的短期利率仅于与现在的利率水 平有关，而与短期利率的历史值无关。 ( 3 ) 由于v a s i c e k 模型中没有考虑，的不连续变动，即没有考虑重要事件造成 的“跳跃”，所以该模型不能充分反映出c 所有的行为方式。 ( 4 ) 对利率非负性的破坏，由于的条件分布是正态分布，故，取负值的概率 大于零。 2 2 3c l r 模型 c o x 。i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 进一步把期限结构理论推广到一般均衡下的经 济环境中去。他们假定投资者的效用函数具育对数形式，在市场局部均衡( 无套 利) 的条件下，他们推导出一个非常重要的利率模型。该模型的短期利率服从 以下的平方根过程5 ： d r , = 口p 一功+ 盯4 7 , d w , 这里口，和0 - 都是正的常数。是围绕利率的长期平均值p 上下波动， 参数口反映了利率回复到口的速度，短期利率变化的方差与利率水平的平方根成 正比。 在c i r 模型中的系数都是常数，对变系数情形，有h u l l w h i t e 所提出的( 推 广的) c i r 模型： d r , = a t 峪t r 。| + o t l d w l 短期利率一的分布形式 给定时刻s 的信息集e ，在a t n t ( f j ) ，短期利率服从z 2 分布，根据该分 布函数，给定时刻s 的信息集e ，在时刻，( f s ) ，的均值和方差为 耳g 防) = + n 一- ”o “ 单因子利率期限结构模犁的非参数估计 比) = 鲁g - = o - d _ e - 2 , 4 , - , ) ) + 4 丢i l 矿) 2 均值为短期利率的当前值和无条件均值的加权平均。这些权重为正，并且其 总和等于l ，这反映了短期利率的均值回复性。当f 哼m 时，方差趋于常数，逐 渐变得独立于信息集f ，表达式如下： ! i m 廓把阢j = 烛比) = 爿丢】 c i r 模型的评价： ( 1 ) c i r 模型中的利率过程t 具有均值回复性，回复速度为口。 ( 2 ) c i r 模型中的利率过程具有非负性。从公式可知，当_ 0 时，漂移项是 恒为正数，而扩散系数盯z 也以利率平方根的速度趋近于零，这表明利率的波 动性也趋近于零，从整体来看预期的利率变化以为正数，从而保证了利率不会 取负值，也可以说，如果此时利率等于零，那么下一时刻利率将大于零。 ( 3 ) 不同于m e r t o n 模型和v a s i c e k 模型，c i r 模型下风险的市场价格不再是常数， 而是取决于短期利率水平。 ( 4 ) 当利率本身上升时，其绝对方差也将增大。 2 2 4c k l s 模銎 c h a r t ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f 和s a n d e r s ( 1 9 9 2 ) ( c k l s ) 建立了一个通用模型，他 们用它来估计和比较一系列单因子模型。该模型的结构为6 ： d r , = 盯一) d t + 0 r 4 d w , 其中，口，p ，盯和a 为正的常数。参数口，p ，五取不同的值就演变成不 同的模型，比如，当为长期利率、丑= 0 ，就是v a s i c e k 模型；当为长期利率、 a = 1 2 时，就是c i r 模型；当为长期利率、2 = 1 ，就是c o u r t a d o n 模型。该模 型的贡献在于它是一种通用的模型，通过它能够对各种模型进行实证检验。 除了这些模型以外，其他著名的模型还有d u f f l e k a n 模型、c o x 模型等，这 些模型的推导和结构都十分相似，所以本文刁i 详细讨论这些模型，表2 i 总结了 单因子模型。 2 l 第- 章单园f 利率期限结构模型 口归一，) 口一，) 口一，) 口一，) 口一，) 矽 一1 1 1 ( ，) ) a r 4 。一5 ) + 蹄 口+ + 2 8 o o v a s i c e k ( 19 7 n c o x i n g e r s o l l r o s s ( 1 9 8 5 ) c o u r t a d o n ( 1 9 8 2 ) c h a ne ta 1 ( 1 9 9 2 ) d u f f l e k a n ( 1 9 9 3 ) b r e n n a n - s c h w a r t z ( 19 7 9 ) m a r s h r o s e n f e l d ( 19 8 3 ) c o n s t a n t i n e d e s ( 19 9 2 ) m e a o n ( 1 9 7 3 ) d o t h a n ( 1