（微电子学与固体电子学专业论文）基于fpga的自适应滤波器设计.pdf

重庆邮电大学硕士论文 摘要 摘要 作为数字信号处理技术中的一个重要分支，自适应滤波器已经广泛地 应用在通信、医疗设备、图像处理、多媒体系统、便携式电子设备中。自 适应滤波器通常由两部分组成，一个是数字滤波器部分，另一个是自适应 算法部分。自适应算法的优劣直接关系着滤波器的性能，所以自适应算法 一直是设计研究的一个重点。在过去的一段时间内，d s p 处理器是数字信 号处理系统核心器件的主要选择，然而d s p 技术不断发展，对其算法的性 能要求远远超过了通用性d s p 处理器的能力。现代大容量、高速度的f p g a 给d s p 实现提供了理想的平台，并且具有灵活的可重构特性，使搭建的 d s p 系统非常易于实现、易于测试及硬件升级，克服了d s p 处理器的诸多 不足。另外在新型f p g a 芯片中，一般都内嵌有可配置的高速r a m 、p l l 、 l d v s 、l v t t l 以及硬件乘法器等模块，使得设计在并行性和速度问题上 突显出独特的优势。 本文首先分析了l m s 算法的基本原理，并通过自适应算法的计算复杂 度和收敛性这两个性能指标，对比l m s 、n l m s 、r l s 算法的优缺点，相 比于n l m s 和r l s ，l m s 算法是硬件设计的较佳选择。然后在m a t l a b 平 台下，设置不同步长因子、滤波器的阶数和信噪比来仿真l m s 算法，对 比输出的均方误差曲线。通过改进常用的直接型f i r 结果，设计一种级联 型自适应滤波器，并在m a t l a b 的s i m u l i n k 下建立该自适应滤波器模型， 应用在一个自适应噪声抵消系统中，完成了算法级的仿真。 其次在硬件设计上，把设计分成权系数更新模块，四阶直接型f i r 滤 波器模块，级联型f i r 滤波器模块和级联型自适应滤波器4 个模块来逐步 完成，每个模块合并到顶层设计中时都不会影响到底层模块的性能，可以 在顶层系统集成和验证中保持每个模块的性能不变。每个模块保持相对独 立，方便优化和调试，缩短设计周期。 最后在a l t e r a 公司的q u a r t u si i 平台下调用第三方仿真工具m o d e l s i m ， 对设计进行功能仿真，通过功能波形文件和算法级的仿真波形比较，验证 了设计的合理性。接着在c y c l o n e 的e p 2 c 8 f 2 5 6 c 6 在我们对设计综合，采 用采用q u a r t u s i i 的l o g i e l o c k 对设计的重点模块进行逻辑锁定，使设计的 最高时钟频率从17 6 0 m h z 提高达到2 3 13 m h z ，达到了预期的目的 关键词：自适应算法，计算复杂度，收敛性，逻辑锁定 重塞壑皇盔堂堡主丝塞 垒里墨墅坠盟 a bs t r a c t a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fd i g i t a l s i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g y ，t h e a d a p t i v e f i l t e rh a sb e e n w i d e l yu s e d i nt e l e c o m m u n i c a t i o n s ，m c d i c a l e q u i p m e n t ，i m a g ep r o c e s s i n g ，m u l t i m e d i as y s t e m s ，a n dp o r t a b l ee l e c t r o n i c d e v i c e s a d a p t i v ef i l t e ri su s u a l l yc o m p o s e do ft w op a r t s ，o n ep a r to ft h e d i g i t a lf i l t e r ，a n dt h eo t h e rp a r to ft h ea d a p t i v ea l g o r i t h m a d a p t i v ea l g o r i t h m i sd i r e c t l yr e l a t e dt ot h em e r i t so ft h ep e r f o r m a n c eo ff i l t e r s ，s ot h ed e s i g no f a d a p t i v ea l g o r i t h m si sv e r yi m p o r t a n tp a r to ft h ew h o l es y s t e m i nt h ep a s t l o n gt i m e ，d s pp r o c e s s o r sa r ec o r ec o m p o n e n t so fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g s y s t e m ，h o w e v e r ，a s t h e h i g hd e v e l o p m e n t o fd s p t e c h n o l o g y ，t h e p e r f o r m a n c e o ft h e i ra l g o r i t h m r e q u i r e s f a rm o r et h a nt h eg e n e r i cd s p p r o c e s s o r s m o d e r nh i g h - c a p a c i t y ，h i g h s p e e df p g a t ot h ed s pp r o v i d e st h e i d e a lp l a t f o r mt oa c h i e v ea n dh a v eaf l e x i b l er e c o n f i g u r a b l ec h a r a c t e r i s t i c s ，s o t h a ti s v e r y e a s yt o s e tu pt h ed s ps y s t e mi m p l e m e n t a t i o n ，t e s t i n ga n d h a r d w a r eu p g r a d e se a s yt oo v e r c o m et h ed i s a d v a n t a g e so fd s pp r o c e s s o r s a l s oi nt h en e wf p g ac h i p ，g e n e r a l l ye m b e d d e dc o n f l g u r a b l eh i g h - s p e e d r a m ，p l l ，l d v s ，l v t t l ，a n dh a r d w a r em u l t i p l i e r sa n do t h e rm o d u l e s ， m a k i n gt h ed e s i g n i n p a r a l l e l a n dt h e s p e e di s s u eh i g h l i g h t st h eu n i q u e a d v a n t a g e f i r s tt h i sp a p e ra n a l y z e dt h el m sa l g o r i t h ma n da d a p t i v ea l g o r i t h mb y c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y a n d c o n v e r g e n c eo ft h e s e t w o p e r f o r m a n c e i n d i c a t o r s ，c o m p a r e d t ol m s ，n l m s ，r l sa l g o r i t h mt h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e s ，c o m p a r e dt on l m sa n dr l s ，l m sa l g o r i t h m i st h eb e t t e r d e s i g nc h o i c ef o rh a r d w a r e t h e ni n t h em a t l a bp l a t f o r m ，i tc o m p a r et h e o u t p u to fm e a n - s q u a r ee r r o rc u r eu n d e rd i f f e r e n ts t e ps i z e ，t a pn u m b e r , s n r t h r o u g hi m p r o v e dd i r e c t t y p ef i rr e s u l t su s e dt od e s i g nac a s c a d ea d a p t i v e f i l t e r ，a n di nm a t l a b 。ss i m u l i n k ，t h ee s t a b l i s h m e n to ft h ea d a p t i v ef i l t e rm o d e l ， u s e di na na d a p t i v en o i s ec a n c e l i n gs y s t e m ，t h el e v e ls i m u l a t i o na l g o r i t h mi s c o m p l e t e d s e c o n d ，w h i c hi sa b o u th a r d w a r ed e s i g n ，t h ed e s i g ni s d i v i d e di n t o w e i g h t c o e f f i c i e n t u p d a t em o d u l e ，f o u r t h o r d e rd i r e c t t y p e f i rm o d u l e ， c a s c a d e t y p ef i rf i l t e rm o d u l ea n dt h ea d a p t i v ef i l t e r o fc a s c a d e t y p ef i r 重庆邮电大学硕士论文a b s t r a c t m o d e lt ot h eg r a d u a lc o m p l e t i o no ff o u rm o d u l e s e a c hi n c o r p o r a t e di n t ot h e d e s i g no ft h em o d u l et o pt o t h eb o t t o mw h e nt h e yd on o ta f f e c t t h e p e r f o r m a n c eo ft h em o d u l ec a nb ev e r i f i e di nt h et o p l e v e ls y s t e mi n t e g r a t i o n a n dp e r f o r m a n c et or e m a i nu n c h a n g e df o re a c hm o d u l e r e m a i nr e l a t i v e l y i n d e p e n d e n to fe a c hm o d u l et of a c i l i t a t et h eo p t i m i z a t i o na n dd e b u g g i n g ， s h o r t e nt h ed e s i g nc y c l e f i n a l l y , i nt h ep l a t f o r mo fq u a r t u si i ，u s i n gt h et h i r d p a r t ys i m u l a t i o n t o o l sc a l l e dm o d e l s i m ，w h i c hd ot h ef u n c t i o ns i m u l a t i o n t h ed e s i g ni sp r o v e d r e a s o n a b l eb yc o m p a r i s o nt h et h ew a v e f o r mo ft h ef u n c t i o ns i m u l a t i o na n d a l g o r i t h ml e v e ls i m u l a t i o n t h e nt h ee p 2 c 8 f 2 5 6 c 6c y c l o n ei n t e g r a t e di no u r d e s i g na d o p t e db yt h el o g i c l o c kq u a r t u si if o c u so nt h ed e s i g no ft h el o g i c m o d u l el o c k ，i tm a k e st h em a x i m u mc l o c kf r e q u e n c yf r o m17 6 0 m h zt o i m p r o v et o2 3 13 m h z ，t oa c h i e v et h ed e s i r e dg o a l k e yw o r d s ：a d a p t i v ea l g o r i t h m ，c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y ，c o n v e r g e n c e ， l o g i cl o c k m 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究的背景及意义 随着数字信号处理技术的迅速发展，自适应滤波器的研究已成为信号 处理中的一个重要领域在通信、医学、图像处理、多媒体系统、便携式电 子中获得越来越广泛的应用。 自适应滤波器在输入信号的统计特性未知或者输入信号的统计特性 变化的情况下，基于自适应滤波算法，它能够自动地迭代调节自身的参数， 以满足某种准则的要求，从而实现最优滤波。 自适应滤波器算法是自适应滤波器设计过程中的重要组成部分，对于 自适应滤波算法的研究是当今自适应处理中最为活跃的研究课题之一。寻 求收敛速度快，计算复杂度低，稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不 断努力追求的目标。自适应滤波器以其算法简单、易于实现和无须统计先 验知识等独特的特点，成为许多理论与工程实际问题的首选解决方案之 一。近年来，随着超大规模集成电路技术和计算机技术的迅速发展，出现 了许多特性优异的高速信号处理专用芯片，另外信号处理理论和应用的发 展，也为自适应滤波器的实践提供了必要理论基础。简单易行的自适应算 法以及较低的硬件实现成本是自适应滤波器硬件实践的关键。 因此，自适应滤波器的结构和自适应算法的类型、复杂度、收敛性能 和稳定性是决定设计的关键。一种基于全局快速收敛的结构合理具有万能 逼近的白适应滤波器所期望的，要达到这个要求，自适应滤波器还需要加 强以下几个方面的研究： 1 自适应滤波器的设计应向着泛化能力强，任意的函数近似能力，鲁 棒、简单、通用和器件物理容易实现的方向发展。 2 将先进的优化技术与滤波器的自适应算法相结合，保证其全局收 敛、收敛速度快和计算复杂度小。 3 大部分研究只停留在仿真实验上，在理论证明和实际应用上还需要 不断探索。 1 2 自适应滤波器的原理和结构 自适应滤波是在部分信号特征未知的条件下，利用前一时刻的结果， 根据某种准则，自动调整当前时刻的滤波器系数，以适应信号和噪声未知 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 或随机变化的特性，在完成一定次数的递推之后，以统计逼近的方式收敛 于最佳解。 图1 1 自适应滤波器结构框图 如图1 1 ，自适应滤波器主要由两部分组成，一个是参数可调的数字 滤波器，一个是自适应算法单元。其中自适应算法单元控制着数字滤波器 的权系数。 1 3 自适应滤波器的应用 自适应滤波器广泛应用于系统辨识、回波消除、语音预测自适应信 道均衡自适应天线阵自适应谱线增强等诸多领域中。自适应滤波器的形 式可以是多样的，这取决于系统的输入输出结构。然而他们都有一个共同 的基本特征：就是用输入向量和期望响应来计算估计误差，该误差用来调 整可调滤波器权系数。然而，自适应滤波器各种应用之间的本质不同在于 其对期望响应的提取方式不同。根据提取方式的不同，把自适应滤波器应 用分为四种类型：预测，反演模拟，辨识，噪声的抵消l l 】。 接下来我们要讨论这些系统的基本构想并给出这些种类的一些典型成 功应用。尽管并不是能够精确地描述具体信号的性质，但通常还是对所有 系统使用如下符号，分别是： x ( ，z ) ：自适应滤波器的输入量 y 仞) ：自适应滤波器的输出量 d 伽) ：自适应滤波器的参考信号 x ( 疗) = d ( n ) - y ( n ) ：估计误差本 1 3 1 自适应预测 在预测应用中，自适应滤波器的任务是提供随即信号的当前值的最佳 预测。显然，只有在输入信号与白噪声有本质区别时才是可能的。图1 2 2 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 以图形方式说明了这一结构。可以看到，输入d ( 刀) 给自适应滤波器的输入 施加了个延迟以及计算估计误差。 输入 图1 2 自适应预测框图 统输出 预测编码已经成功用于图像和语音信号处理。预测编码不是直接对信号进 行编码，而只是为传送和存储编码。其他的应用好包括功率谱建模、数据 压缩、谱的增强以及事件检测【1 1 。 1 3 2 反演模拟 在反演模拟结构中，自适应滤波器的任务是提供表示未知的时变被控 对象的最佳拟合的反演模型( 通常以最小二乘法式) 。一个典型的通信例 子就是估算信号的多径传播与理想传播的近似程度。图1 3 以图形方式说 明了这一结构。输入信号进入被控对象，未知被控对象的输出x 如) 是自适 应滤波器的输入。然后，延迟的输入信号d ( 力) 用于计算误差信号p ( ，2 ) ，并 调整自适应滤波器的滤波器系数。这样，在收敛后，自适应滤波器的传递 函数近似于未知被控对象的传递函数的反演。 除了已经提及的通信中的均衡以外，自适应滤波器的反演模型还成功 用于提高附加的窄带噪声、自适应控制系统、s i n 比率( 信噪比) 。在语音 信号分析中用于去卷积以及数字滤波器的设计。 输入信 图1 3 反演模拟框图 输出 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 3 3 辨识 在系统辨识应用中，自适应滤波器的任务是确定表示位置被控对象或 滤波器的滤波器系数。系统辨识的结构如图1 4 所示。可以看到，时间序 列x ( 乃) ，同时输入自适应滤波器和令一个线性被控对象或未知传递函数的 滤波器。未知被控对性的输出j 伽) 成为整个系统的输出。在收敛后，自适 应滤波器的输出y 伽) 以种最优( 通常是最小二乘法) 方式近似于d ( ，z ) 。 所提供的自适应滤波器的，自适应滤波器的系数将收敛到与未知被控对象 相同的值，在实际应用中，在未知被控对象的输出中通常都会有外加的噪 声( 观测误差) ，滤波器的结构不会精确地与未知被控对象匹配。这会与 描述的完美性能之间有所偏差。 这种系统辨识已经用于生物学中的建模以及社会和商业系统的模拟， 还有自适应控制系统数字滤波器和地球物理学等领域。在地震勘探中，这 样的系统已用于生成分层的地球模型来解决地球表面的复杂问题。 a w g n n ( n ) 系统输 1 3 4 噪声的抵消 信号源 噪声源 图1 4 辨识框图 系统输出 图1 5 自适应噪声抵消框图 4 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 如图1 5 为一个自适应噪声抵消框图，其中原始信号d ( 甩) 为有用信号 s ) 和噪声信号v o ( n ) 的叠加，v l ( 玎) 为参考噪声输入。自适应噪声抵消器实 际上是完成原始信号的噪声估计，并把估计值与主输入信道信号相减，从 而达到消除噪声的目的。 自适应噪声抵消器的应用十分广泛。例如心电图记录仪的干扰消除， 语音信号的镇噪，飞机、汽车、船舱内的大量噪声的消除，天线旁瓣干扰 的消除以及5 0 h z 纹波等。 1 4 自适应算法研究 作为在自适应滤波器的一个重要单元中，自适应滤波算法一直是设计 中的一个研究重点，设计者一直在追求计算复杂度低，收敛速度快的算法。 目前自应滤波算法的研究主要分为以下几个分支： 1 4 1 基于维纳滤波理论的方法 在线性滤波理论中，最小均方误差准则下的线性滤波问题是维纳滤波 器所要解决的问题。这种滤波方法是在已知信号与噪声的相关函数或功率 谱的情况下，通过求解维纳一霍夫( w i e n e r h o p t ) 方程【l 引，对平稳随机信 号进行最优预测和滤波。为了得到自适应横向滤波器权矢量调整的递推算 法，由最佳维纳解定义矩阵方程，使均方误差的梯度矢量趋近于零，就可 得到最佳权矢量。 维纳滤波方法的前提是已知信号特征先验知识。然而，在实际应用中 往往无法得到信号特征先验知识，维纳滤波器无法应用于这种情况下的问 题。在这种情况下，自适应滤波器能够得到比较好的滤波性能。其中最常 见的自适应算法最小均方( l e a s tm e a ns q u a r e ) 就是在维纳滤波算法的基 础上发展起来的。这种算法因其结构简单，计算量小，稳定性强，在实际 中得到了最广泛的应用。 1 4 2 基于最小二乘估计的方法 由维纳滤波器和卡尔曼滤波器所推导出的自适应滤波算法的代价函 数是最小均方误差，而最小二乘估计算法是以加权误差平方和的代价函数 最小为最优化目标，其中误差为期望响应与实际滤波器输出之差。 这种准则下的最具代表性的算法是递归最小二乘( r e c u r s i v el e a s t s q u a r e ，r l s ) 算法。r l s 算法的收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 谱特性无关。然而，相比于l m s 算法，该算法的计算复杂度很高，不利 于实时实现。后来人们提出一些改进的r l s 算法，如快速r l s 算法，平 方根r l s 算法等，旨在降低r l s 算法的计算复杂度，但改进的r l s 算法 仍然比l m s 算法计算复杂度高。 1 4 3 基于卡尔曼滤波理论的方法 卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，递推的计算形式能够适应 实时处理的需要，它可以用于平稳或非平稳的环境中。对于一个线性动态 系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程与测量方程来描述，前者以状态 矢量来刻画系统的动态，后者表述系统中的测量误差。 利用卡尔曼滤波的递推求解法可以倒数自适应滤波器更新权矢量的 不同递推算法。s a y e d 和k a i l a t h ( 19 9 4 ) 的论文开拓出r l s 算法和卡尔曼 滤波器理论之间的一一对应关系，证明了机遇q r 分解的r l s 算法和快速 r l s 算法事实上都是卡尔曼滤波器的特例。 1 4 4 基于神经网络的方法 人工神经网络是一种模拟生物神经模型信号处理能力的计算结构1 5 o 神经网络是由大量的神经元相互联接而成的网络系统，其实上它是一个高 度非线性的动力学网络系统。这个系统具有很强的自适应、自学习、自组 织能力，以及巨量的并行性和容错性，因而，它可以做许多传统自适应技 术所不能做的事。神经网络通过学习，对其神经突触不断进行调节，以有 序的方式改变网络的突触权值，从而达到自适应于环境变化的目的。目前 在自适应神经网络的学习算法及应用中取得了许多成果。 尽管自适应算法在以上四个方面都得到了发展，但基于维纳滤波而导 出的最小均方算法( l m s 算法) 由于结构简单，性能稳定，计算复杂度低， 易于实现等优点，仍然是目前应用最广泛的自适应滤波算法【4 叭。 6 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 5 本文的主要研究内容 本文把设计划分为自适应滤波器的理论基础，自适应算法性能，设计 的算法级仿真以及硬件设计四个大方面来开展工作。 本文的主要内容包括以下几个方面： 第一章，绪论。介绍论文研究的背景和意义。简要概述自适应滤波器 原理，应用以及自适应算法的研究分支。 第二章，自适应滤波算法。本章主要推导最小均方误差算法的计算公 式，在算法推导的过程中，分析自适应算法的收敛性能指标。最后，在 m a t l a b 平台下进行模拟仿真，分析不同步长因子、滤波器的阶数、信噪比 对算法收敛性的影响。 第三章，介绍了直接型、格型和级联型滤波器结构，提出了一种级联 型结构自适应滤波器，在s i m u l i n k 下建立模型，应用于一个自适应噪声抵 消系统，验证了设计的合理性。 第四章，对改进的自适应滤波器进行硬件设计，采用模块化设计方法， 分为权系数更新模块，四阶直接型f i r 滤波器模块，级联型f i r 滤波器模 块和级联型自适应滤波器四个模块进行设计。 第五章，进行设计的仿真验证，采用q u a r t u s 和m o d e l s i m 联合进行功 能仿真，采用l o g i c l o c k 技术对设计进行了优化。 第六章，结论与展望。 7 重庆邮电大学硕士论文 第二章自适应滤波算法 第二章自适应滤波算法 自适应滤波算法是自适应滤波器的一个重要单元。自适应滤波器选择 适当的自适应算法，输入信号x ( 刀) ，参考信号d ( ”) 以及输出y ( 刀) 构造成 一个代价函数，自适应滤波器调整代价函数到最小值，从而调整可调滤波 器的权矢量，滤波器达到了最优滤波，从而达到最有滤波。目前常用的自 适应算法有最小均方( l e a s tm e a ns q u a r e ，l m s ) 算法，递归最小二乘 ( r e c u r s i v el e a s ts q u a r e ，r l s ) 算法，归一化l m s ( n l m s ) 算法，符号 l m s 算法。其中基于维纳滤波理论的最小均方( 1 e a s tm e a ns q u a r e ，l m s ) 自适应算法因其结构简单，计算量小，鲁棒性好，易于实现等优点在工程 实践中广泛。 2 1 最小均方误差l m s 算法的推导 2 1 1 所需信号的属。陛 l m s 算法是在维纳滤波原理的基础之上发展起来的，在介绍l m s 的 推导过程之前，为使维纳滤波达到最优解，有必要对输入信号的特性做一 些规定。 设输入信号为是随机变量的一个向量，输入信号的统计属性，如均值 1 = e 工 = 舰专委如) ( 2 1 ) 或方差 盯2 = 以办= 舰专善( x ( 以) 一，7 ) 2 ( 2 2 ) 应该显示一组这样的随机变量平均值的统计属性相同的统计属性。 然后，信号应该是广义稳态( w i d es e n s es t a t i o n a r y ，w s s ) 1 1 9 】的，即在 一组平均值上测得的平均值或方差的统计测量不是时间的函数，并且自相 关函数 ，( f ) = e ) x ( 2 ) ) = e x ( ) x ( f ) ) = 般专丢x ( 刀弦( 力+ f ) ( 2 3 ) 只依赖于差f = f l f 。 8 重庆邮电大学硕士论文第二章自适应滤波算法 2 1 2 代价函数的定义 适用于评估器输出的成本函数的定义是所有自适应滤波器算法中的 关键参数。我们需要以某种方式“加权 估算误差 e 0 ) = d ( n ) - 畎刀)( 2 4 ) 其中d ( 珂) 是要估算的随机变量，y ( n ) 是自适应滤波器的输出估计值。 常常把方误差( m e a ns q u a r ee r r o r ，m s e ) 作为代价函数，使均方误差最小 以得到滤波器的权系数向量解。 则均方误差可表示为 j ( n ) = e e 2 ( n ) ) = ( d ( 珂) 一y ( 刀) ) 2( 2 5 ) 要说明的是，这并不是唯一的代价函数，其他的代价函数还有诸如绝 对值误差和非线性阈值函数等。 2 1 3 霍夫( w i e n e r h o p f ) 估计方法 本节将以最常见的横向f i r 滤波器结构为例，介绍维纳滤波及其求解 方法【4 1 。自适应f i r 滤波器的输出是通过卷积 图2 1 自适应f i r 滤波器卷积形式框图 y ( 刀) = 比x ( 刀一七) i 神 计算的。 则系统的输出误差可写成 e ( n ) = d ( 刀) 一y ( n ) = d ( 玎) 一w r x ( n ) 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 重庆邮电大学硕士论文第二章自适应滤波算法 自适应滤波器要达到最优滤波，就是通过输出误差，是使代价函数( 2 5 ) 达到最小，从而调整滤波器的权系数。 将( 2 7 ) 带入到( 2 5 ) 中，可得 j ( n ) = e 【d ( 刀) 一，x ( ，z ) 】2 ) = e d 2 ( 刀) ) 一2 e x ，( 疗) 荆川+ e 矿工( 力) ，( 刀) w ) ( 2 8 ) 定义尸为滤波器输入与期望响应的互相关向量，尺为横向滤波器中输入 信号的自相关矩阵，则尸和r 的表达式如下： i x ( 刀) d ( 一) l p = e ( x ( 刀) d ( 刀) ) = e j ( 2 - 9 ) l x ( n - l + 1 ) d ( n ) j f 厂( o ) 厂( 1 ) ，( 一1 ) 1 r ：e x ( 力) x r ( 力) ) ：e 厂( 1 )厂? ：一，( l - 2 ( 2 10 ) i ： l 【r ( l 1 ) r ( l 一2 ) ，( o ) j 其中厂( ，一七) 为相隔f 一七个延迟的滤波器输入的自相关函数，即 r ( i - k ) = e x ( n - k ) x 2 ( 拧一f ) 】( 2 1 1 ) 将( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 带入( 2 8 ) ，可将均方误差的表达式简化为 j ( n ) = e d 2 ( 功) 一2 ，w + w r r w( 2 12 ) 维纳滤波器的目标就是寻找一组滤波器权系数，使得系统的均方误差 j ( 刀) 达到最小值。从式( 2 1 2 ) 我们可以看到，均方误差是滤波器权系数的二 次方程，因此要得到均方误差的最小值，将式( 2 1 2 ) 右侧对w 求导数，并使 其为零，便可得到使均方误差达到最小的一组滤波器权系数，我们称这组 解为维纳解。对( 2 1 2 ) 两侧求导， 甜( 玎) 跏= - 2 尸+ 2 r w( 2 1 3 ) 令( 2 1 3 ) 等于零，并假设足是非奇异矩阵，则得到令均方误差最小的 最优滤波器权系数解 w o = r 1 p( 2 1 4 ) 式( 2 1 4 ) 称为维纳一霍夫( w i e n e r - h o p f ) 方程，这一组最优滤波器权系数解 称为维纳解，以维纳解作为滤波器各阶权系数的最佳线性滤波器称为维纳 l o 重庆邮电大学硕士论文 第二章自适应滤波算法 滤波器。 2 1 4 最速下降法 从式( 2 1 4 ) 中可以看到，求维纳解需要对白相关矩阵灭进行逆运算，算 法的计算量会急剧增大，对于权系数少的滤波还比较容易实现，但在多阶 数的滤波器实现就显得极为困难。这使得维纳算法在实际应用中并不适 应，只能作为一种最优解的理论准则。 为了避免求维纳解中的自相关矩阵r 的逆运算，给定任意初始抽头权 向量，最速下降法能以一种递归的方式来逼近维纳解。最小均方误差l m s 算法就是就是基于最速下降法思想推导出来的。 由式( 2 1 2 ) 可见，维纳滤波中的均方误差函数j ( 刀) 是权矢量w ( 刀) 的非负 二次函数，将该式展开，则误差函数j ( 刀) 的各分量只有一次项和二次项。 均方误差函数j ( 玎) 的函数图形是+ 2 维空间中一个超抛物面。有唯一的最低 点l h ，该曲面成为均方误差性能曲面。如图，自适应是自动调整系数，使均 方误差达到最小值 佃的过程，这相当于沿性能曲面往下搜索最底点。画出均方 误差性能曲面。如图2 2 所示旧。 图2 2 均方误差曲面 该曲面为一个抛物面，抛物面上的等高线就是j c n ) 为常量的截面在权 矢量平面上的投影，是一系列同中心椭圆。显然，均方误差曲面存在唯一 最小值，位于曲面最底部。最小均方误差准则的滤波器设计目标就是由设 定的初始位置开始，在权矢量面上不断更新，最终到达均方误差曲面最底 部在权矢量面上的投影或者它的某个邻域。 重庆邮电大学硕士论文 第二章自适应滤波算法 图2 3 等值曲面 在许多实际应用中，性能曲面的参数，甚至解析表达式都是未知的， 因此只能根据已知的测量数据，采用某种算法自动地在性能曲面上进行搜 索，寻找最低点，从而得到最佳权矢量。最速下降法就是采用沿每一时刻 均方误差曲面的最陡下降方向在权矢量面上的投影方向寻找最低点，沿目 标函数梯度向量反方向实现目标函数最小化过程。 基于最速下降法的维纳滤波，误差性能曲面即均方误差关于滤波器权 系数的曲面，误差函数，( 刀) 对w 当前值的梯度可由下式获得 v j ( 玎) ：v e e 2 ( 甩) ) ：掣= - 2 尸+ 2 r w ( 珂) ( 2 1 5 ) o w t n ) 则沿着梯度相反方向更新滤波器权系数的表达式如下 1 以刀+ 1 ) = w ( ，) 一卢v ，( ，) = w ( ，) - u - p + 足w ( 刀) 】 ( 2 】6 ) z 其中j l i 为滤波器权系数更新过程中的迭代步长。 由于误差性能曲面只有唯一极小值，因此只要选择合适的迭代步 长，无论权矢量的初始位置在哪里，最终都可以收敛到均方误差曲面的最 1 2 重庆邮电大学硕士论文第二章自适应滤波算法 底部，或者它的某个邻域。 上一节我们已经提到，在l m s 算法中，最主要的思想即去除最速下降 法中的均方运算，而将式( 2 1 5 ) 中的均方误差替换为瞬时误差的平方，以 瞬时误差信号平方的梯度作为均方误差函数梯度的估计，则新的梯度估计 为 v e 2 ( 刀) = 皇塑：- - 2 p ( 哟塑2 - 2 p ( 功x ( ，1 )( 2 17 )o 、7 w ( n ) 、7o w ( n )、7、7、 因为 e ( v e 2 ( 刀) ) = 2 e e ( n ) x ( n ) ) = 2 e ( d ( 刀) 一y ( 刀) ) x ( 玎) ) = 2 e d ( n ) x ( n ) - x ( n ) x 1 ( 疗) 以刀) ( 2 18 ) = 2 r w - 尸】= v e e 2 ( 刀) ) 所以用式( 2 17 ) 估计式( 2 15 ) 是无偏的。 利用( 2 1 7 ) d e 新的梯度估计得到的新的权矢量更新方式如下： 刀+ 1 ) = 似栉) 一等v p 2 ( 疗) = 以刀) + p ( 刀) x ( 刀) ( 2 1 9 ) 综上，w i d r o w h o f f l m s 算法采取如下步骤调整自适应滤波器的滤 波器系数： 1 初始化( lx 1 ) 阶向量f = x = o = 【o ，o ，o r 2 接收到一对新的输入采样值缸伽) ，d ( ，1 ) ) 并在基准信号向量x n 】中 移动研疗1 3 通过下面的公式计算f i r 滤波器的输出信号 y ( 万) = w 7 ( 咒) x ( 玎)( 2 2 0 ) 4 通过下面的公式计算误差函数 p ( 刀) = d ( n ) - y ( n )( 2 2 1 ) 5 根据下面的公式更新滤波器系数 w ( n + 1 ) 一以拧) + p e ( n ) x ( n ) ( 2 2 2 ) 接下来重复步骤2 最速下降法的主要优点是它的简单性，然而，这种方法需要大量的迭 代，才能使算法收敛于充分接近最优解的点。因此我们可以看到，l m s 算 法算法的原理是十分简单的，它不需要计算有关的相关函数，也不需要矩 阵求逆运算卜们。 重庆邮电大学硕士论文第二章自适应滤波算法 2 2 自适应算法的性能分析 衡量一种自适应算法的优劣一般有的衡量l m s 算法性能的性能指标 主要有算法的收敛性，收敛速度，稳态误差，自适应算法的研究和改进也 是围绕着这三个指标来进行的，在硬件实现上，还要参考计算复杂度这个 指标。下面将分别介绍l m s 算法的四个主要性能指标m 3 。 2 2 1l m s 算法 1 计算复杂度 计算复杂度是指每更新一次权矢量所需要的计算量。根据l m s 算法的 流程，将l m s 算法的所需的计算总结如下表2 1 ： 表2 1l m s 算法复杂度表 对于计算复杂度根据上式，一个三阶的l m s 自适应滤波器在一次迭代 中需要m 次乘法来完成滤波，另外需要( l + i ) 次乘法完成系数更新。同时 在f i r 滤波中需要( 工一1 ) 次的加法运算，误差计算和权系数更新上各需要 一次加法运算，那么l m s 算法在一次迭代中只需要2 三+ 1 乘法和2 三次加法， 也就是说l m s 算法的复杂度为o ( 1 0 ，与滤波器阶数三呈现性增长。计算复 杂度低是l m s 一个显著有点，因此l m s 算法在实际中得到广泛应用奠定 了基础。 2 收敛性 收敛性，即当n 趋于无穷大时，让滤波器权矢量处于某个最优值或者 在它的一个邻域范围内而不是越来越远，也就是让w ( 刀) 趋于w o 所需满足的 收敛条件。对任意自适应滤波系统，收敛性是实现其自适应功能的根本保 证。 1 4 重庆邮电大学硕士论文第二章自适应滤波算法 类似于最速下降法，定义权值误差矢量吠刀) = 心一以刀) ，并利用 p = r 叫w 口，把( 2 2 2 ) , 1 霰t 开为 w ( 力+ 1 ) = w ( 力) + u e ( n ) x ( n ) = w ( n ) + j l l ( d ( 甩) 一y ( 刀) ) x ( 刀) = 以力) + ( d ( 刀) 一x r ( 拧) 以哟) x ( 九) = ( 1 - l a x ( n ) r ( 以) ) w ( 刀) + l z x ( n ) d ( n ) 对( 2 2 3 ) 式求平均，因为x ( n ) 和似n ) 不相关，即得 e w ( 力) ) = ( ，一p r ) e w ( 力) ) + j l l 尸 ( 2 2 3 ) 则将式( 2 2 4 ) 写成v ( n ) 的表达式为 e v ( + 1 ) ) = ( ，一j l l r ) e ，( 刀) )( 2 - 2 5 ) 再次采用特征值分解r = q q r ，并令v 协) = q 7 v ( n ) ，( 2 2 5 ) 可变换为 e ，( 刀+ 1 ) ) = ( ，一l a t a ) e v ( n ) ( 2 2 6 ) 假设v i ( 刀) 有初始值v 。( 0 ) ，则( 2 2 6 ) 口- j 写成 e v 协) ) = ( i - 肚) ”e v i ( o ) ( 2 2 7 ) 因此，要使l m s 算法的收敛于均值，必须使步长参数满足下列条件 ， 0 p ( 2 2 8 ) l m 其中k 是相关矩阵r 的最大特征值。当迭代次数刀接近于时，自适应滤 波器系数矢量似刀) 近似等于最佳维纳解心。 由于自相关矩阵r 无法求得，因此无法得到k ，这样使得( 2 2 8 ) 所得 到的l m s 算法收敛条件在实际中并不适用，因此需要寻找一个在实际中方 便可求的l m s 算法收敛条件。而由于自相关矩阵的正定性假设，我们有 k ( 2 3 6 ) 记为厶( ) 定义厶( ) 与的比值成为失调，即 m ：厶盟 ( 2 3 7 ) ，血 它是l m s 算法得到的稳态解与维纳解相差程度的度量，它提供了如何 选择l m s 算法使得在均方误差意义下达到最优的一个测度。与1 相比，失 调越小，由l m s 算法完成的自适应滤波器作用越精确。通常用百分比表示 失调参数m 。例如1 0 意味着l m s 算法产生的均方误差要比最小均方误差 大1 0 。这样的性能在实际应用中被认为是满意的 如果定义抽头输入的相关矩阵r 的平均特征值为所有特征值和的平 均，记为k ，假设l m s 算法的集平均学习曲线可用时间常数k 的指数来 逼近，j 珏i j l m s 算法的平均时间常数为 1 f 一= _ ( 2 3 8 ) 二p 由w i d r o w 推导的经典l m s 算法理论中给出的失调为 1 7 重庆邮电大学硕士论文 第二章自适应滤波算法 m ：坐型( 2 3 9 ) 2 因此，根据( 2 3 8 ) 和( 2