（应用数学专业论文）小波在图像数据处理和偏微分方程中的应用.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了小波在图像数据处理和偏微分方程中的应用，以 及与小波变换有密切关系的r a d o n 变换在医学图像数据处理中的应 用。 本文共分五章。第一章介绍了小波分析的历史和目前进展以及应 用领域情况，并叙述了作者在读硕期间的研究工作；第二章简要地介绍 了研究工作中要用到的基本知识；第三章首先讨论了连续小波在医学 图像处理中的一种应用，然后构造了一类具有紧支集的无限次可导的对 称小波，并提出了基于小波的医学图像边缘检测算法，最后给出了计算 实例；第四章讨论了基于r a d o n 变换的包络法在医学图像数据处理中 的应用，并给出了计算实例；第五章首先讨论了小波在偏微分方程中的 应用，然后提出了基于紧支集双正交小波的插值法，最后给出了计算实 仍f - 关键词连续小波，紧支集， r a d o n 变换，医学图像，边缘检 测，双正交小波，偏微分方程，插值法 本课题得到国家自然基金资助( 基金号：6 9 8 7 5 0 0 9 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ya p p l i c a t i o n so fw a v e l e ti ni m a g ed a t ap r o c e s s i n ga n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n da p p l i c a t i o n so fr a d o nt r a n s f o r m ，w h i c hi sc l o s e l y c o n n e c t e dw i t hw a v e l e tt r a n s f o r m ，i nt h ep r o c e s s i n go fm e d i c a li m a g ed a t a t h e t h e s i sc o n t a i n sf i v e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fw a v e l e t a n a l y s i s ，i t sc u r r e n ta d v a n c e sa n da p p l i c a t i o nf i e l ds i t u a t i o nt h er e s e a r c hw o r k so f t h ea u t h o ri nt h eg r a d u a t ep e r i o da r es i m p l yd e s c r i b e d i nc h a p t e r2 。w es i m p l y i n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c ha r en e e d e di nt h er e s e a r c hw o r k i nc h a p t e r 3 、w ef i r s t l yd i s c u s sak i n da p p l i c a t i o no fc o n t i n u o u sw a v e l e ti nt h em e d i c a li m a g e p r o c e s s i n g t h e nw ec o n s t r u c tai n f i n i t l yd e r i v a b l e ，s y m m e t r i cw a v e l e tw i t hc o r n p a c ts u p p o r t f i n a l l yw ep r e s e n ta na l g o r i t h mo fe d g ed e t e c t i o nf o rm e d i c a l i m a g e p r o c e s s i n gb ym e a n so fw a v e l e ta n dg i v eac o m p u t i n ge x a m p l e i nc h a p t e r4 jw e f i r s t l yd i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fe n v e l o p em e t h o db ym e a n so fr a d o nt r m l s f o r mi n t h ep r o c e s s i n go fm e d i c a li m a g ed a t a ，a n dg i v ea c o m p u t i n ge x a m p l e i nc h a p t e r 5 ，w ef i r s t l yd i s c u s sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e ti np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e nw e p r e s e n tai n t e r p o l a t i o nm e t h o d 姆m e a n so fb i o r t h o g o n a l i t yw i t hc o m p a c t s n p p o r t f i n a l l yw eg i v eac o m p u t i n ge x a m p l e k e yw o r d s ：c o n t i n u o u s w a v e l e t ，c o m p a c ts u p p o r t r a d o nt r a n s f o r m m e d ， i c a li m a g e ，e d g e d e t e c t i o n ，b i o r t h 哪刘w a v e i e t ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e r _ p o l a t i o nm e t h o d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 陂保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：日期： 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 第一章前言 小波分析是当前数学学科中一门迅速发展的新兴分支，它具有十分广泛的应 用领域。 小波分析出现以前，f o u r i e r 分析是刻画函数空间、求解微分方程、频谱分析以 及各种滤波方法中有力的数学工具通常，在信号数据处理中，信号用数学上的函数 ，( z ) 来表示，其中自变量z 表示时间或空间。信号的一个重要特征就是它的频谱特 性，在数学_ k t g 就是信号所表示的函数的f o u r i e r 变换，) = 。f ：詈，( z ) b - i w r c d z 。 由于f o u r i e r 变换，( u ) 是将函数，( z ) 按照函数系 e i w ：) ，“兄的展开，所以 f o u r i e r 变换，) 只能反映信号的整体特征，而无法作信号的局部分析。小波分 析的出现则很好的解决了这一问题，因为它可以有灵活可变的时频窗，以适应不 同频率的分辨率的需要，在时域和频域上都具有表征信号局部特性的能力，这是 其它分析工具无法比拟的优势。 小波的起源可追溯到2 0 世纪七十年代初，a c a l d e r o n 表示定理的发现、 h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准 备，j 0 s t r o m b e r g 还构造了非常类似于现在的小波基；小波变换的概念是由法 国从事地质信号处理的工程师j m o r l e t 在8 0 年代初首先提出的，并通过物理的 直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式但小波的形成与发展还是8 0 年代中期才开始的。1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 构造出一个真正的小波基，并与 s i a l l a t 合作提出了小波分析的重要基础多尺度分析，给出了构造小波方 法，小波分析才开始蓬勃发展起来( 见【1 2 5 ) 。 1 9 9 4 年，d a u b e e h i e s ，i 2 和s w e l d e n s ，w f 2 6 】，f 2 7 】，f 2 8 j 提出了一种称为提升格 式”的新的小波构造方法，用来构造第二代小波，这是有别于以前第一代小波的 构造方法。第一代小波是由小波母函数经过伸缩和平移得到，这类小波的构造依 赖于f o u r i e r 变换，在f o u r i e r 变换不适应的地方，会受到很大的限制。而第二代 小波借助“提升格式”，不依赖于f o u r i e r 变换，完全在时域进行，拓宽了小波的适 用面，适用于区间、面和非规则采样等，还可以提高快速小波变换的计算速度。 日前，由于“提升格式”的优越性质，使得人们对整数到整数的小波分解与重构的 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 研究产生了浓厚的兴趣，因为这项研究不仅对实现通信中的图像无损压缩有很高 的应用价值，也会对数学领域的数值计算减少误差提供有力帮助 上面回顾了小波分析的历史和目前的进展情况，现在看看到目前为止，它的 应用范围涉及到哪些领域? 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学 领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武 器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语音的人工合成；医学成像与诊断；地震 勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。例如，在数学方面，它已用于数值分 析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方 面的滤波、去噪音、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类识别与诊断 等。医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间、提高分辨率等f 见 ( 1 ) 通过前面对小波分析的历史和目前进展以及应用领域情况的回顾，可以看出， 小波分析从一开始发展就与很多学科的实际应用紧密联系在一起，小波理论的发 展一直是伴随着实际应用。因此在对小波理论研究的同时，关注它在实际应用的 研究是非常有必要的。下面讨论本人在读硕期间所做的一些研究工作，主要是小 波在图像数据处理和偏微分方程中的应用，以及与小波变换有密切关系的r a d o n 变换在图像数据处理中的应用。 ( 1 ) 首先讨论小波在图像数据处理中的应用。 边缘是图像最基本的特征边缘是指灰度变化( 相对) 较大的地方，可以看 作是其梯度的极值点大多数文献中的小波变换模极大值边缘检测法采用高斯小 波，但由于高斯小波没有紧支集，运算量较大为了更好地检测图像的边缘，在第 三章中构造了一类具有紧支集的无限次可导的对称小波，然后提出一种基于小波 变换的边缘检测算法 ( 2 ) 再讨论小波在偏微分方程中的应用。 小波变换正成为数值求解偏微分方程的有力工具。目前，求解偏微分方程的 小波方法大致分为两种类型：小波一伽辽金法和小波配置法。采用的小波主要 是正交小波但是由于正交小波构造困难，使用上受到较大的限制，而双正交小 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 波具有较大的灵活性，可以根据问题的特性有针对地构造相适宜的双正交小波。 因此在第五章中采用具有紧支集的双正交样条小波，并且针对具有奇性的偏微分 方程，设计了一种在奇异性的区域范围内加密分点数的算法，得到更精确的解， ( 3 ) 然后讨论r a d o n 变换在图像数据处理中的应用。 r a d o n 变换是1 9 1 7 年由j r a d o n 首先引入的，它是层析成像( c t ) 技术的数 学基础，但它的逆变换即由变换数据重构原始图像的过程是一个不适定问题，利 用r a d o n 变换重构图像的困难处在于求逆变换而在医学的很多场合下，人们关 心图像的边缘。采用包络法可以由r a d o n 变换的数据直接得到图像的边缘， 而不需要逆变换的图像数据这样避免了逆变换。在第四章讨论了包络法在医学图 像处理中的应用 通过以上研究工作，使作者对小波理论及其应用有了更深的认识，受水平的 限制，其中不足之处将作为日后进一步的工作 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第二章基础知识 2 1 常用符号、定义及定理 在这里我们首先简要地介绍一些简单的数学符号及f o u r i e r 分析中的基本概 念和一些定理( 见 1 1 0 ) 兄：表示实数全体，即r = ( 一。，+ 。) 。 z ：表示整数全体，即z = f o ，土1 ，士2 ，土3 ，) 。 符号6 ： 一 幻z 。 【0 i j 万：若a 为一点集，则以万记其为闭包，即a 与其极限点之并 支集：如果，( z ) 是定义在r 上的函数( 可以取复数值) ，那么就称集合s u p p f = x l f ( x ) o ) 为，( z ) 的支集、如果s u p p f 是紧集，那么就称函数，( z ) 为支集紧 或具有紧支集 c 。( r ) ：表示r 上有七阶连续导数的函数构成的空间。 c 占( r ) ；表示r 上有阶连续导数且具有紧支集的函数构成的空间。 ( 守( 月) ：表示r 上有无限次连续导数且具有紧支集的函数构成的空间。 p ( 咒) ( 1 p ) ：表示满足l f ( x ) l ”d x 。的全体函数构成的空间， 在l p ( r ) 中定义范数： f i f l l ，= ( f ，( 2 ) p 出) 1 p ，( 2 1 i ) o 。 此时按范数”峙构成一个b a n a c h 空间，特别当p = 2 时，对v f ，9 l 2 ( 励，定 义内积： ( ，功= ，( z ) ；两出。( 2i ，2 ) l p ( z ) ( 1 p ) ：表示满足j 尸 o ，那么妒( ) 满足允许性条件( 2 2 1 1 ) 即妒( t ) 是一个小波母函 数。 当允许性条件( 2 2 l 1 ) 判别比较困难时，可考虑条件i o ( t ) l c 丁南) 1 十5 ， 有时相对容易些。 。 下面引入窗口的中心与宽度的概念以及对窗c i 的位置和大小给出一个定量的 描述 定义2 1 1 ( 1 l 设f ) ，t g ( t ) 三2 ( 只) ，则称夕( ) 是一个窗口函数；称 铲志白卵炉巩 ( 2 。”) 为窗1 2 i 函数9 ( t ) 的中心；称 t g 赢 上。( 一啪( t ) m 1 7 2 ( 2 肌8 ) 为窗口函数夕( ) 的宽度。 若小波母函数妒( ) 满足窗口函数条件，则可以利用上面的定义求得 蚓归击妒( 字) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文9 的窗口中心 ；。= 。t ；+ b( 2 2 1 9 ) 和窗口宽度 饥j = f a l p ，f 2 2 ，1 1 0 1 因此小波变换可以简单地看作信号在窗口范围里的某种特征 对一个窗口函数9 ( t ) ，称9 x 口为其窗口面积由于 p 。，s # 。，。2 | 。i p i o f - d ，( 22 1 1 1 ) 因此连续小波的窗口面积不随参数。，b 而变化，为使小波变换在时域和频域有较 好的局部性，妒( ) 及妙) 的窗日宽度当然是愈小愈好，但下面的定理表明，。 与j 的大小是相互制约的。 定理2 1 2 1 3 ) ( h e i s e n b e r g 测不准原理1 如果窗口函数9 ( ) 三2 ( 且) 满足条件：t g ( t ) 三2 ( 冗) ，雪) 2 ( 兄) ，那么 这里仅当g ( f ) = c e “ ，b r 。 g 岛；。 ( 2 2 1 1 2 ) 必 4 a ，时等号才成立，其中c 0 ，q 0 和 2 2 2 离散小波变换 定义2 1 3 设妒 ) 是一个小波母函数，取定n 。 l ，b o 0 ，记 奶，k ( t ) = n ；砂( n 扣一k b o ) ，j ，七z ， 则称 码( t ) 丘女。z 为离散小波。 特别地，当= 2 ，b o = 1 时，有 奶，* ( f ) = 2 矽( 2 一后) ，j ，七z ， 定义2 - 1 4 设，( t ) 上2 ( r ) ，记 q ( j ，斛= ( ，协，女) = f ( t ) 厕d t ， ( 22 2 1 ) ( 2 2 2 ，2 ) f 222 3 1 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 0 则称此离散的 ( j 0 ，七) h e e z 为f ( t ) 关于奶。* ( ) 的离散小波变换，也称为小波系 数。 定义2 1 5 如果个连续小波如b ( t ) 经离散化以后得到的 奶，0 ) ，构成空间 工2 ( r ) 的一组标准正交基，即 ( 小) ) ：厂虹丽拈5 j , t 5 枷： 刊，b ，( 2 2 _ 2 4 2 )( 奶，( t ) ：( t ) ) = 咖，女( t ) 瓦丽d 扛枷= “一“，( _ 2 4 ) 几o 。 j0 其他 则函数妒( t ) 称为是一个正交小波。 定义2 1 6 如果一个连续小波妒m b ( t ) 经离散化以后得到的 奶( t ) ) 构成空间 驴( r ) 的一组基，并且 ( 蜘，砂l , m ( 嘞：厂。蜘丽拈勘： 一，( 2 2 删25( 奶，( t ) ，砂( ) ) = 奶，& ( t ) 面丽出= 易，f = 1 。一，( ) o 一。 lo 其他 则函数砂( t ) 称为是一个半正交小波。 定理2 1 7 令v ( t ) 为一个半正交小波，通过设定 西上= ? 盟一， ( 2 弛6 ) 砂( u + 2 7 r 七) j 2 ) 1 2 可以证明砂。为一个正交小波。 离散小渡除了正交小波和半正交小波之外，还有一类非正交小渡双正 交小波，这类小波在紧支集条件下，具有正交小波( 除了h a a r 小波外) 没有的对 称性 定义2 1 6 如果一个小波 奶，k ( f ) ) 及其对偶历，t ( f ) 满足如下性质： ( 奶( t ) ，而，。( t ) ) = 岛氏。 则函数砂( t ) 称为是一个双正交小波。 由上一节的定理2 9 知，若函数，( 对2 ( 用关于矽0 ) 的连续小波变换 w a “，6 ) ，n b 月，a 0 已知，可由公式( 2 2 1 6 ) 唯确定函数，( ) 。而对于 ，三2 ( 司的离散小波变换( c ? 0 a ) b ，；z ，当奶，女( t ) 为正交小波基时，有以下 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 1 展开式 巾) = c y ( j ，k ) v , j ( t ) ( 2 2 2 7 ) k e z 成立。 此时由 毋0 ，七) h 女。2 完全确定函数，( ) ，这种由一个函数的乎移和伸缩构成 的正交基及展开式( 2 2 2 7 ) 在理论上和实际中都是非常有用的。 从数学角度来看，f o u r i e r 变换，连续小波变换和离散小渡变换都是将所研究 的信号( 函数) 在一组特定的基函数上展开的分解问题。由于基函数不同，因此就 有了不同的分辨率性质 2 2 3 多分辨分析 多分辨分析( m u t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 简称m r a ，是s - m a l l a t 在1 9 8 8 年提 出的，利用它可以得到构造小波的方法 定义2 1 8 2 】 我们称满足下列性质的中的一列子空间 u b 。z 及一个函数西( t ) 为一个正交m r a ( i ! 交多分辨分析) ： ( 1 。) 一致单调性： c1 - 2cu ic cmc 场c ； ( 2 。) 渐近完全性： u 巧= l 2 ( r ) nk = o ) ； ( 3 。) 伸缩规贝0 性，( ) v o 铮f ( 2 ) ，( ) k 辛，( 一 ) ； ( 4 。) 基的存在性；存在咖( t ) v o ，使得 妒( 一) ，k z ) 是的标准正交 基 定义2 - 1 9 如果d ( t ) 生成一个m r a ，那么垂( t ) 称为是一个尺度函数或多尺 度生成元 定理2 2 0 设 ) 及( 力为一个正交豹m r a ，令 白。k ( t ) = 2 j 2 曲( 2 ) ，j ，z ， 则函数系 屯，( t ) ，e z 构成空间k 的一组标准正交基 性质( 3 。) ，( 4 。) 表明，( t ) 鲁，( 2 ) 嵋，因丽定理2 2 0 成立 因 巧) ，e z 不是空间l 2 ( r ) 的正交分解，所以不能期望函数系( 如( t ) ) ”。 构成空间l 2 ( r ) 的一组标准正交基现在考虑k 在巧+ ，中的正交补空间j 即 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 2 上巧，且巧+ ，= 巧9 。显然，对任意的鼻j 7 z ，j 歹7 ，子空闻 巧与， 是相互正交的 因 = 一，o 一- = 一。o 一。畅。 = 0 眠0 一。o 嘛一。o “ ( 2 231 ) 根据性质( 1 。) ，( 2 。) 令必一o 。，n 一一。即得 。c l 2 ( r ) = o w j ，( 2 23 2 ) = 一 且上式右方是正交分解因此，如果存在这么一个函数砂( t ) ，使它的整数平移 奶，k ( t ) ) k t z 构成空间的标准正交基，则 锄，k ( t ) ) 舭e z 是l 2 ( r ) 的标准正交 基，那么此函数矽( t ) 称为是一个正交小波母函数构造正交小波母函数妒( # ) 的方 法将由以下定理来阐述 定理2 2 1 设f k ) j z 及( 印是仑正交m r a ，由于( 力ck ，雨 、2 矽( 2 一七) ) 女；z 是的标准正交基，所以 = c k 砂( 2 t 一砖) ， ( 2 2 3 3 3 ) k e z 称式( 2 2 3 3 ) 为双尺度方程，令 矽= ( 一1 ) 。碍一t 烈2 一七) ， k e z 及由式( 2 2 2 2 ) ，可以证明f 咖， ) e e z 是l 2 ( 固的标准正交基， 基 奶，k ( ) ) 女。z 张成的空间，即 。 = 8 p a n l 。 奶m k z ， 受f f 2 234 ) 并且记为由 ( 2 2 35 ) 上巧，o v j = v j + 1 ) v j z ， 且当j j 7 时，i i j 上嵋，( 证明见 3 ) 定理2 , 2 1 不仅讲述了构造正交小波的方法，还给出了尺度函数与正交小 波母函数t + ，( t ) 之间的关系，因此可将构造正交小波母函数妒( t ) ，使它的整数平移 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 3 f 妒0 一) 。构成空间w o 的标准正交基的问题转化为利用m r a 构造相应的尺 度函数( t ) 的问题 构造正交小波母函数的方法除了定理2 2 0 所介绍的一种之外，另有一种方法 是通过双尺度方程的f o u r i e r 变换 对式( 2 2 3 g ) 两边作f o u r i e r 变换，得 k $ ( u ) = ； t e 一。i “函( 善) = 日( 詈) $ ( 善) ， 。kez。 。 即 咖( 2 u ) = 日( u ) | i l ( u ) ，( 2 2 3 6 ) 其中 日( u ) = i 1 h 女e 一2 鼬 由w j = s p a n l 2 f n ) 奶， ，刁，巧+ 1 = 0k 知砂( z ) v v ock ，而 v ( 2 t 一七) ) 女z 是的标准正交基，因此 妒( f ) = g k 西( 2 t 一) ， ( 2 - 2 3 7 ) 七z 由f 2 1 中证明可知 砂( 2 u ) = g ( u ) 西( u ) = 一e 一附日( “+ 7 广) ( u ) ，( 2 23 8 ) 其中 g ( u ) = ；9 k e - - 批 一女z 然后公式两边作f o u r i e r 逆变换，可求得妒( f ) 前面讨论的是正交多分辨分析，对于双正交小波函数，则存在对偶尺度( t ) 和对偶小波妒( ) 满足对偶正交性： ( t ) ，( 一扎) ) = 南。，( 缈( t ) ，奶，( t ) ) = 矗，矗，自， 2 3 判断分析法 判断分析法【1 6 】是1 9 8 0 年由日本人大津展之提出，它是在最小二乘法原理基 础上推导出来的，其基本思路是将直方图在某一阕值处理分割成两组，当被分成 的两类的方差为最大时，决定阈值。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 4 设一幅图像的灰度值为1 ，m 级，灰度值为i 的像素数为扎 ，此时得到总 像素数： 各灰度值出现的概率为 n = m n 。 p l 2 丙 设以灰度k 为门限将图像分为两个区域，灰度为1k 的像素和灰度为k + 1l 的像素分别属于区域a 和b ，则区域a 和县的概率分别为： k u n = 纯 和 c d b = p i i = 1i = i + 1 为简单起见，定义0 3 a = 。( 南) ， 区域a 和b 的平均灰度为， 纵= 去娄i + a 垒希和b = 去。塞。t + a 垒芒瑞 其中肛为全图的平均灰度：“= i + 鼽= w a , u a + u 且船， 两个区域的方差为 矿- ( # a - p ) 2 + w b ( p 8 - - # ) 2 = 嬲 按照最大类间方差的准则，从l 至l 改变，并计算类间方差，使上式最大的 k 即是区域分割的门限 2 4 隐式迭代法 对于不适定的病态方程，在最后求解时需要采用正则化方法隐式迭代 一般的线性不适定问题都可用一个算子方程 a x = b ( 243 1 】 来表示其中a 是一个从h i l b e r f 空间凰一遍线性算子。如果方程没有常义解 ，即a 病态，我们往往寻找其最小范数最小二乘解4 + b 来作它的广义解x + 其 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 5 中4 + 是4 的m o o r e p e n r o s e 广义逆算子。由于方程的不适定性，广义解a + b 不 依赖于右端b 对于算子方程( 2 3 1 ) ，隐式送代法可用下面的格式( 3 3 j 去逼近广义解： ( 4 了4 + n ) 玛+ 1 = a t b + a 玛，0 o 0 用仉( z ，y ) 对函数f ( x ，y ) 进行光滑化得fs 妒。( z ，9 ) ，这等价于对f ( x ，y ) 作 钒 ，9 ) 的小波变换，即 w j ( z ，y ) = fs 慨缸，y ) ( 32 3 ) 孵m 川= 嘉矾m ，可) = ( ，小甏) ) ( 啪) ， i - v 孑f ( z 川= 南，( z 川= ( ，+ ( s 雳) ) ( z 川， 则有 。 r w 哪s 2 f 以( x 置, y 们) 、= s ( 萋z ：妻；暑) = s v c ，+ 饥，c z ，n c 。2 t ， 向量( 孵w n ，( ( 。x ，, v ) ) ) 的模取极大值的点对应函数，。饥( z ，f ) 的突变点 3 矗f ( x ，) = v 叮两不可雨币嚼瓦研，( 32 5 ) 而它与水平方向的夹角则等于 狮a n ( 器嬲；) 。脚 m s f ( x ，可) 在沿着由a s ，( 。，) 给定的梯度方向上取得局部极大值的点对应于 f + 移。( z ，y ) 的突变点 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 8 3 3 小波函数的构造 “牡p 由矗( z ) 构造得到下面函数 妒( o ) = 一o z o ( 3 3 1 ) 其他， ! 一虿1 2 ( x + a + 护2 一 e z 2 一。2 。 一 z 。 ( 3 3 2 ) 0 2 、。一7 a t ， 则令f ( x ，p ) = 0 ，即去掉点( z ，) ； 2 对f ( x ，y ) 沿x 方向与y 方向分别作小波变换并求出厂y ) 的梯度的模 舰f ( x ，y ) 和幅角a 。f ( x ，可) ； 3 、按邻近原则，将幅角a 。，( z ，9 ) 量化成八个值；0 ，7 r 4 ，2 ，3 4 ，7 r ，5 r 4 ，3 w 2 和7 ”4 由于任一像素周围邻接八个像素，故梯度方向。( 。，y ) 为量化后的幅角 a 。f ( x ，y ) ： 4 沿梯度方向。) 求函数，( z ，y ) 的梯度的模极大值点，以。( z ，y ) 一0 的情况为铡，凡使满足关系式 m j ( z 一1 ，) 尬，( 。，y ) o ) ，3 = ( z ，v ) l o l f s f ( x ，y ) t h 的点p 为始点，在其8 一邻域内 寻找同时满足 以，( z ，y ) t l 和与点p 的梯度方向差小于丌4 的点q 若存在， 则以点q 为始点继续往下跟踪直到找不到同时满足m j ( x ，y ) 芝t l 和与点p 的 梯度方向差小于”4 的点为止；否则，另找一个未处理过的点p 重新开始跟踪， 当所有的点p 都被处理之后，跟踪结束，得到最终结果 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 0 3 5 计算实例 由于小波妒( z ) 和妒( z ，y ) 的支撑长度与参数口有关，经过多次计算验证，取 a = 2 时，效果最佳 当a = 2 时， 妒( z ) = 4 一毒e 2 + 2 + 以) 2 4 2 2 讵 茁 一2 叼 e 护- 一2 z 2 ( 3 5 1 ) 4 一 8 不j = 而e 4 2 z 0 ，。 o ， 瓦_ 孬 b n ( 5 41 ) f乱( z ，o ) = 让。( z ) ， 其中 乱。( z ) = j z + 1 0 ，z o - 5 ， 【z 一1 0 ， z 0 , 5 ， 当，取为： m ，) ：? ( x + 1 0 ) ( 2 + 。) ， z 0 其真解为： “) ：j 。+ 1 0 ) ( 1 + 。) ) x 0 这里仅考虑解函数n ( z ，t ) 在z o ，1 上各时刻t 时的情况，在其它空间间隔的情 况可应用小波的平移类似求解 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 下面数值实验过程是采用5 ，3 节构造的算法得到的 ( 1 ) 取t = o 0 5 ，a t = 1 0 - 6j o = 3 ，j = 6 ，a z = 2 7 ，先采用5 3 节给出的算法 第1 步结果如图5 5 ，图5 6 所示注意，在小波解与真解比较图中，“” 表示小波近似解，“+ ”表示真解，以下相同 图5 5 小波解与真解 图5 6 相对误差( ) ( 2 ) 取t = 0 0 1 ，a t = 1 0 ，如= 3 ，j = 6 ，a m = 2 。，先采用5 3 节构造的算法 的第1 步结果如图5 7 ，图5 8 所示 图5 7 小波解与真解 图5 8 相对误差( ) ( ? ) 采用5 3 节构造的算法的第2 ，3 步从( 2 ) 中得到一个奇性区域范围 蠢，素j ，取a t = 1 0 - s , j o = 6 ，j = 7 ，a m = 2 。，结果如图5 9 ，图5 一i 0 所示 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 5 图5 9 小波解与真解图5 1 0 相对误差( ) 从图5 8 和图5 1 0 比较中，可看出t = 0 0 1 时刻的小波解与真解的最大 相对误差已由采用加密分点数法前的8 6 0 3 1 减少到4 , 2 4 5 9 ， ( 4 ) 对( 1 ) 的结果，在由( 3 ) 中得到的奇性区域范围f 杀，杀】内，采用( 3 ) 中 类似的处理，得到结果如图5 一i i ，图5 1 2 所示 ”卜 ”f 。1。 。【 。【 j ，。l。j。一图5 一i i 小波解与真解图5 1 2 相对误差( ) 从图5 6 和图5 1 2 比较中，可看出，经过( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 得到的t = o 0 5 时 刻的小波解，比直接由( 1 ) 得到的小波解精确，因为小波解与真廨的最大相对误 差已由采用加密分点数法前的1 2 0 8 4 9 减少到7 8 9 3 7 通过以上数值结果分析可知，经采用加密分点数法后的小波解在间断点附近， 与真解的相对误差明显减少，而且在间断点附近没有发生解的振荡现象这说明 该算法是可行的 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 参考文献 f 1 1 程正兴小波分析算法与应用。西安交通大学出版社， 1 9 9 8 2 】m a l l a t s aw a v e l e tt o u ro fs i g n a lp r o c e s s i n g b o s t o n ：a c a d e m i cp r e s s ，2 0 0 0 f 3 1 李世雄，刘家琦小波变换和反演数学基础北京：地质出版社， 1 9 9 4 ( 4 【美 崔锦泰著小波分析导论程正兴译西安交通大学出版社， 1 9 9 5 5 【日j 河田龙夫f o u r i e r 分析北京：高等教育出版社，1 9 8 2 f 6 1 6 杨福生小波变换的工程分析与应用北京：科学出版社，1 9 9 9 f 7 7 陈基明小波分析基础上海大学出版社，2 0 0 2 f 8 1 李建平，唐远炎小波分析方法的应用，重庆出版社，1 9 9 9 f 9 陈逢时子波变换理论及其在信号处理中的应用国防工业出版社， 1 9 9 8 1 0 1 刘贵忠，邸双亮小波分析及其应用西安电子科技大学出版社， 1 9 9 2 1 1 李世雄小波变换及其应用北京：高等教育出版社，1 9 9 7 ： 11 5 2 【1 3 】赵松年等子波变换与子波分析电子工业出版社。 1 9 9 6 1 4 】李建平小波分析与信号处理重庆出版社， 1 9 9 7 f 1 5 j d a u b e c h i e si t e nl e c t u r e so i lw a v e l e t s p h i l a d e l p h i a ：s i a mp u b l ，1 9 9 2 1 6 】贾永红，编著，计算机图像处理与分析，武汉大学出版社，2 0 0 1 f 17 f 刚谷口庆治数字图像处理( 应用篇) 北京：科学出版社， 2 0 0 2 1 8 1 c a s t l e m a nk e n n e t hr d i g i t a li m a g e p r o c e s s i n g p r e n t i c e h a l l 1 9 9 6 19 j 王新成高级图像处理技术北京：中国科学技术出版社，2 0 0 1 2 0 李立康，於崇华等微分方程数值解法上海：复旦大学出版社， 1 9 9 9 ：2 1 李荣华，冯果忱微分方程数值解法，北京：高等教育出版社， 1 9 8 0 。2 2 美 崔锦泰著多元样条理论程正兴译西安交通大学出版社，1 9 9 1 2 3 j b e r t o l u z z as n a l d ig aw a v e l e tc o l l o c a t i o nm e t h o df o rt h en u m e r j c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e