（应用数学专业论文）时间序列长记忆性实证分析.pdf

摘要 摘要 时间序列的一个本质特征就是具有动态性，相邻观测值之间具有很强的依赖 性。时间序列分析所论及的就是对这种依赖性进行分析的技巧，这要求对时间序 列数据建立随机动态模型。这种动态依赖性即是时间序列的记忆性。经济时间序 列具有非常明显的记忆性，表现为即使相距较远的时间间隔，序列仍然具有显著 的自相关性。历史事件会长期影响未来，这就是经济时间序列的长记忆性。 股票数据作为经济数据的一种，跟其他经济时间序列一样，具有长记忆性。 因此对股票市场收益率的波动性与长记忆性的研究，对于分析与了解股市的结构、 判断股市的走势以及波动对股市风险与股市未来变化的影响等方面无疑具有重要 的作用，特别是在各国纷纷开放资本市场、允许资本自由流动的背景下，变得十 分必要。 本文在查阅了大量文献的基础上，对长记忆的发现，长记忆的定义，长记忆 的检验，各种长记忆模型等做了综述，力求全面反映时间序列长记忆性的特征。 在先前学者研究的基础上，进一步提出猜想：时间序列长记忆性反映了时间序列 本身的记忆性，波动持续性反映了时间序列条件方差的长记忆性。通过对上海证 券交易所的股票日收盘综合指数数据进行长记忆性实证分析，利用统计软件s p s s 和e v i e w s ，对股票的日收盘数据建立了长记忆时变异方差时间序列模型 a r i m a a r c h 。并用此模型对日收盘数据进行了检验，预测。同时，对其隐含的 日收益率数据进行了相关性分析，指出了日收益率数据与日收盘数据不同的波动 规律，并且用统计方法研究了股票日收益率，对日收益率的波动性做了定性分析。 从数学的角度解释了股市的波动现象。 关键词：时间序列，长记忆性，a r i m a 模型，波动持续性，实证分析 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ee s s e n t i a lc h a r a c t e r i s t i co ft i m es e r i e si st h a ：t i ti so fd y n a m i ca n da d j a c e n t o b s e r v a t i o n sa r ed e p e n d e n t w h a tt i m es e r i e sm e n t i o ni st h ea n a l y t i c a lt e c h n i q u et ot h i s k i n do fd e p e n d e n c e t h i sr e q u i r e sf o u n ds t o c h a s t i ca n dd y n a m i cm o d e l so ft i m es e r i e s t h i sk i n do fd y n a m i cd e p e n d e n c eo fo b s e r v a t i o n si st h em e m o r yo ft i m es e r i e s e c o n o m i ct i m es e r i e si so fo b v i o u sm e m o r y ，r e p r e s e n t 鹤t h es e r i e sh a v er e m a r k a b l e a u t o c o r r e l a t i o n , e v e na p a r to f m a n ys p a c i n g , t h eh i s t o r i c a le v e n t sw o u l di n f l u e n c ef u t u r e e v e n t sf o ral o n gt i m e t h a ti sl o n gm e m o r yo ft i m es e r i e s t h es t o c kd a t a 嬲o n eo fe c o n o m i cd a t ai st h es a m e 鹊o t h e re c o n o m i cd a t a , i so f l o n gm e m o r y t h er e s e a r c ho nt h el o n gm e m o r ya n d f l u c t u a t ec h a r a c t e ro ft h ey i e l dr a t e o fs t o c ki si m p o r t a n tt oa n a l y s i sa n du n d e r s t a n dt h es t r u c t u r eo fs t o c km a r k e t ，j u d g et h e t r e n do fs t o c km a r k e t , e v a l u a t et h ei n f l u e n c eo fv o l a t i l i t yt os t o c km a r k e tr i s ka n df u t u r e c h a n g ee t c d o u b t l e s s e s p e c i a l l y , u n d e rt h eb a c k g r o u n do fa l lc o u n t r i e so p e n i n gc a p i t a l m a r k e t 、a l l o w i n gt h ef r e ef l o wo fc a p i t a l ，i tb e c o m et e r r i b l yn e c e s s a r y o nt h ef o u n d a t i o no fc h e c k i n gag r e a td e a lo fl i t e r a t u r e ，t h i st h e s i sg i v e s s u m m a r i z a t i o nt ot h ed e t e c t i o n , d e f i n i t i o n ，t e s t ，k i n d so fm o d e l i n go fl o n gm e m o r y , s t r i v e st oi m a g et h ec h a r a c t e r so fl o n gm e m o r ya c r o s s - t h e - b o a r d w h a t sm o r e , o nt h e f o u n d a t i o no ff o r m e r l ys c h o l a r s r e s e a r c h e s ，t h i sa r t i c l ep u t sf o r w a r df o l l o w i n gg u e s s ： l o n gm e m o r yr e f l e c t st h em e m o r yo ft i m es e q u e n c ei t s e l f , w h i l ev o l a t i l i t yp e r s i s t e n c e r e f l e c t st h el o n gm e m o r yc h a r a c t e ro fv a r i a n c eo ft i m es e r i e s a n dt h r o u g ht h ea n a l y s i s o ft h el o n gm e m o r yc h a r a c t e ro fs t o c kd a i l yc l o s i n gp r i c ed a t ao fa i n d e x e so fs h a n g h a i s t o c km a r k e t ，u s e ss t a t i s t i cs o f t w a r es p s sa n de v i e w s ，t h i st h e s i se s t a b l i s h e sl o n g m e m o r y a u t o r e g r e s s i v et i m e v a r y i n g - v a r i a n c em o d e la r i m a a r c h ，a n dd o e sl o n g m e m o r ya n a l y s i s ，t e s t ，f o r e c a s to nt h ed a i l yc l o s i n gp r i c ed a t ao f s t o c k a tt h es a m et i m e ， c a r r i e so nc o r r e l a t i v eq u a l i t ya n a l y s i st ot h er e t u r ns e q u e n c eo fd a i l yc l o s i n gp r i c eo f s t o c k sw h i c hi sc o n n o t a t i v e ，p o i n t so u tt h a tt h em o t i o nr e g u l a t i o no ft h er e t u r ns e q u e n c e o fd a i l yc l o s i n gp r i c eo fs t o c ki sd i f f e r e n tt od a i l yc l o s i n gp r i c e s t h i sp a p e ra l s o s t u d i e st h er e t u r ns e q u e n c eo fd a i l yc l o s i n gp r i c eo fs t o c kw i t ht h es t a t i s t i c a lm e t h o d ， d o e sq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ni t i te x p l a i n st h ec a u s a t i o no fv o l a t i l i t yp h e n o m e n o no ft h e i i s t o c km a r k e tf r o mm a t h e m a t i c sa n g l e a b s t r a c t k e yw o r d s ：t i m es e r i e s ，l o n gm e q t l o r y , a r i m am o d e l ，v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c e ，f a c t u a l a n a l y s i s i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：至生 日期：2 。7 年乡月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：圭壁导师签名：茎坌笙丝 日期：) 妒9 年6 月1 日 第一章引言 第一章引言 1 1 时间序列长记忆性的研究意义 1 1 1 时间序列概述 时间序列是按照时间顺序取得的一系列观测值。很多数据是以时间序列的形 式出现的：工厂货物数量的月度序列，公路交通事故数量的周度序列，机械系统 故障序列等。时间序列的例子在一些领域中是极其丰富的，诸如经济，商业，工 程，自然科学等。因此对时间序列的分析，变得十分必要。时间序列分析不仅可 以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其它现 象之间的内在关系及其变化规律，达到认识客观世界的目的，而且运用时间序列 模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造 客观之目的。 从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批有“实际背景”的数据，从数 据的形成来看，无非是横剖面和纵剖面两类( 静态和动态) 。横剖面资料是由若干相 关现象在某一时点上所处的状态组成的，它反映一定时间，地点等客观条件下各 相关现象之间内在的数值联系。纵剖面数据是由某一现象或若干现象在不同时刻 的状态所形成的数据，它反映的是现象以及现象之间关系的发展变化的规律性。 研究纵剖面数据的统计方法就是时间序列分析方法。 1 1 2 时间序列的分类 时间序列按照稳定性分类，一般可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列， 平稳时间序列是指时间序列的均值函数和方差函数是时不变的，其协方差函数是 关于时间差的函数。非平稳时间序列是指序列的均值函数或者方差函数是时变的， 或者其协方差函数是关于时间的函数。单整过程是一种特殊的非平稳过程，它是 经过整数阶差分可以达到平稳的非平稳过程。 按照记忆性的长短分类，时间序列分为长记忆时间序列和短记忆时间序列。长 记忆时间序列是指自相关函数的相关性，随着时间的推移，按照双曲率衰减的时 间序列。短记忆时间序列是指自相关函数的相关性；按照几何速率衰减的时间序 电子科技大学硕士学位论文 列。长记忆时间序列是在短记忆时间序列的基础上，考虑时间序列的长记忆性， 因此也通常称短记忆时间序列为经典时间序列。 1 1 3 经典时间序列及其局限性 a r ，m a ，a r m a 三类模型是出现比较早的经典的时间序列模型，他们的出 现给时间序列的发展带来了很大的促进作用，在很多领域有很好的应用。 a r 模型：如果一个时间序列) 可以用前p 个时刻序列值之间的线性关系来 刻画，则称这个线性过程是“) 的p 阶自回归过程，用a r ( p ) 表示表示为： 薯= 办誓一l + 丸t 一2 + + 矽p x t p + t ( 1 - 1 ) 其中，识，江1 , 2 ，p 是模型参数，占。是白噪声序列。 m a 模型：如果一个线性随机过程可以用下式表达： 而= 乞+ q q l + 岛乞一2 + 吃一g = ( 1 + q 雪+ 岛b 2 + + 巳b 叮) s ， ( 1 - 2 ) 则式( 1 2 ) 称为g 阶移动平均过程，记为m a ( q ) 。其中q ，岛9 oo 色是模型参数，b 为时滞算子，满足瓯= 置_ l ，岛为白噪声序列。 a r m a 模型：由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移 动平均过程，记为a r m a ( p ，g ) 其一般表示式是： x t = 织一1 + 欢一2 + + p 一p + q + 幺乞一l + 岛t 一2 + 岛q 一叮 ( 1 - 3 ) 其中8 t 为白噪声序列。办，f = 1 , 2 ，p ，q ，0 2 ，嚷为模型参数，b 为时滞算子。 上述a r 模型，以及a r m a 模型的自回归部分的特征方程为： 矽( z ) = 1 一么z 一2 2 2 一矽，z ，= 0 如果它的所有根的绝对值都大于1 ，则它们均为平稳的随机过程。可见， 为不需要任何条件的平稳过程。同时这三个模型均表现为短记忆过程。 ( 1 - 4 ) m a 模型 但随着研究的继续深入，发现这三种类型的模型，已经不能很好的描述现实经 济活动中的经济数据，必须要进一步探索时间序列的一种新的性质一长记忆性。 1 1 4 时间序列长记忆性的发现及其研究意义 自h u r s t 从潮汐数据中发现水文时间序列的长记忆性，m a n d e l b r o t 建立了长记 忆分析的严格数学基础以来，大量的研究表明，经济、金融市场中的大量金融资 产价格的收益和条件波动均呈现长记忆性。而现有的波动模型a r c h ，g a r c h ， e a r c h 或s v 模型均不能很好的描述这种长记忆性。金融的资产收益和波动的长 2 第一章引言 记忆性表现为：收益率序列的绝对值或幂的自相关呈现十分缓慢的衰减，相距较 远的时间间隔仍然具有显著的自相关性，表现为历史事件会长期影响未来。 传统的经济数据处理分析理论总假定经济时间序列是平稳的，自相关函数是指 数下降的短记忆过程，其建模误差为白噪声。 但是许多观察结果却说明，自然界以及人类社会经济过程是长记忆非平稳的， 表现出经分数维差分而为平稳过程的特征，亦即分整过程。 因此，过去金融理论的一些重要成果将遭到严重的挑战，现代投资理论定价模 型以及建立在有效市场假定下的其他经济理论的可信度将大打折扣。 表现在： ( 1 ) 如果收益率具有长记忆性，则意味着收益是可预测的，套利行为成为可能， 这与“有效市场假定”相悖。 ( 2 ) a r ，m a ，a r m a 以及自回归整合滑动平均模型( a r i m a ) 等描述的金融经 济时间序列的短期记忆模型将面临挑战，必须构建可充分考虑长期记忆性的新模 型。 ( 3 ) 长期记忆性反映了金融市场具有非线形结构，使得传统的线形模型将无法 描述金融市场的本质。 实证研究表明，对时间序列的长记忆性分析、建模在地理学，宏观经济，资 产定价模型，股市，汇率，利率等方面都有大量的应用【l 】。魏莉娅在2 0 0 7 年已经 开始探讨基金市场的长记忆性【2 】。最近2 0 年来，经济、金融时间序列的长期记忆 性成为经济学、金融学领域的研究热点。分析资本市场的长记忆性，对于分析与 了解市场围观结构、预测市场的走向以及对市场风险与未来变化的影响等方面无 疑具有重要的作用。 同时研究我国股票市场具有长期记忆性暗含着重要的政策意义：当市场具有 长期记忆时，即具有非线性结构时，如果市场监管者仍然依据线性市场条件下信 息反映的线性因果关系对市场进行政策调控，那么就有可能达不到所预期的市场 反映，甚至产生与预期方向相反的效果因此，无论对于市场的交易者还是对于 市场的调控者，既要考虑市场的短期相关关系，又要考虑长期的、滞后的影响。 1 2 国内外文献综述 自从g r a n g e r 和j o y e u x ( 1 9 8 0 ) 将长记忆性的概念引入经济学中，长记忆性的研 究得到了飞速的发展。国内外对长记忆的研究也逐渐多起来。前几年的工作主要 3 电子科技大学硕士学位论文 集中在时间序列长记忆性的检验及实证分析上，得到了很多很好的检验长记忆性 的方法，有：r s 分析法与修正r s 检验法、k p s s 检验、l m 检验、g p h 检验p j 。 我国的前几年的工作主要集中在长记忆的实证分析上。比如陈璞，郑术专在 2 0 0 6 年介绍了长记忆时间序列的检验方法，并用于分析我国上证指数的长记忆特 征【4 1 。雷鸣等2 0 0 7 中探讨了存款序列的长记忆实证研究 5 1 。苏卫东等在文献【6 】中探 讨了长记忆s v 模型的统计性质及其实证分析。施红俊在文献【7 】中讨论了中国股市 的长记忆性。d e r e kb o n d 等在文献【8 】研究了长记忆时间序列的检验问题，以及比较 了传统协整分析和分整方法的性质。 孙青华，张世英在2 0 0 5 年系统的阐述了长记忆向量时间序列之间的协整关系 产生的原因，在线形基础上，对系统内部存在的非线形协整关系的定义进行了深 入的分析【9 】。杜子平，张维在2 0 0 7 年归纳了分整长记忆时间序列的建模理论，以 及检验长记忆存在性的各种方法【1 0 1 。另外，杜子平、张世英早在2 0 0 3 年，就探讨 了协同持续性与协整的关系【1 1 1 ，这说明人们已经很早就开始注意时间序列各个研 究领域的交叉结合关系了。 最近几年，出现了一些新的长记忆模型。特别是2 0 0 7 年，长记忆时间序列模 型得到极大的发展。张世英，耿克红在2 0 0 7 年，针对股票市场的超高频持续期序 列，提出了长记忆随机条件持续期模型，并通过实证分析，验证了中国股市超高 频持续期序列长记忆性的存在【1 2 1 。在同一年，j i n c h u a ad u a n 讨论了长记忆时间序 列的几种新型模型，以及时间序列长记忆性的经济意义，并通过数据分析，分别 建立了长记忆模型和短记忆模型，最后证明了参数足够多的短记忆模型可以模拟 某些方面的长记忆现象 1 3 】。s a n gh o o nk a n g a ，s e o n g - m i ny o o n b 两人研究了韩国 股票市场的双重长记忆性质，并得出结论：长记忆在收益和波动中的动态性能由 6 d 想i m a - f i g a r c h 模型充分估计【1 4 1 。g a b j i no h a ，s e u n g h w a nk i m a 通过研究得 出如下结论：波动时间序列中的长记忆性可以归结为经济时间序列中的波动聚集 性【1 5 】。e s t h e rr u i z ，h e l e n av e i g a 提出了一种新的波动模型：不对称长记忆随机波 动模型( a l m s v ) ，用以处理波动中同时出现的长记忆性和杠杆效应，并比较了它 与f i e g a r c h 模型的统计性质的差别【1 6 】。 a a r o ns m i t h 在2 0 0 5 年探讨了变结构问题和伪长记忆时间序列的有关问题1 1 7 1 ， i s a b e lr u i z 在2 0 0 7 年从波动时间序列的非条件均值存在的潜在的时间变化角度重 新考虑了波动持续性和长记忆性的本质问题。此外，近来有证据说明长记忆性也 许只是能被忽略的突变点的一个意外现象，或者非条件方差的一个时间变动【l 引。 同一年，c l a u d i om o r a n a a 研究了多元长记忆时间序列的一般构成部分的建模问题 4 第一章引言 【1 9 1 。对长记忆的研究已经从存在性的检验，发展到对长记忆的本质、对长记忆存 在的合理性问题的研究上了。 综上可见，对时间序列长记忆的研究越来越深入，长记忆性也被用来分析更 多领域的数据特点。但是以前的工作很多是集中在长记忆时间序列的检验和实证 分析上，对于长记忆本身的理论研究工作并不多。可喜的是，最近两年来对长记 忆性质的研究探讨工作逐渐多起来，也提出了新的长记忆模型，这有利于长记忆 的应用的拓展。 1 3 本文的研究内容和方法 本文主要研究对象是时间序列的长记忆性，以及针对时间序列的特征，研究 了时间序列长记忆性和波动持续性之间的关系。全文结构如下：文章第一章介绍 了本文研究的背景和意义，第二章对时间序列的长记忆性做了全面的介绍，同时 介绍了目前常用的长记忆模型。第三章在以前学者研究的基础上，进一步提出猜 想，时间序列的波动持续性，就是时间序列的条件方差的长记忆性。第四章用s p s s 和e v i e w s 统计分析软件对上证综指日收盘价格数据进行了实证分析研究。提出 股票数据具有长记忆性，收益率序列不具有长记忆性，且相对稳定。文章的第五 章总结了全文，展望了研究前景。 本文采用的方法主要是时间序列分析法与统计分析法相结合的方法。使用的 软件为s p s s 和e v i e w s 。 1 4 本章小结 本章通过阐述时间序列的研究意义，经典时间序列的局限，以及长记忆时间 序列的研究现状和发展趋势，说明了对长记忆时间序列的研究具有现实意义。同 时本章还说明了本文的研究内容，文章组织结构和研究方法。 5 电子科技大学硕士学位论文 第二章时间序列的长记忆性 2 1 时间序列的分解和a r i m a 模型 2 1 1 时间序列的分解 许多经济时间序列，表现出忽增忽减的趋势。根据平稳时间序列的定义，这些 时间序列是非平稳的，并且是均值表现出非平稳的特征。一种方法是用确定的时间 趋势来描述这种趋势性，认为序列由确定的时间趋势和零均值的平稳随机过程构 成，另一种方法是用随机过程来模拟这个过程，认为序列为非平稳的时间序列和平 稳的时间序列的迭加。 时间序列分析的主要任务就是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计 模型，合理的模型会对所关心的时间序列的预测、控制和诊断提供帮助。大量时间 序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性的特征，或者只表现出三者中的 其二或者其一。这样，可以认为每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列， 都可以分解成三个部分的迭加。 置= m ，+ + e ( 2 - 1 ) 其中，趋势项m ，与季节项& 是确定性函数，且季节项是周期函数。 e ) 是 平稳随机序列，称为残量或随机噪声项。将时间序列 置) 分解为三项的迭加，可 以识别、估计、和提取出确定性成分后，对平稳噪声项 r ) 建立线性模型。一般假 定分解式( 2 1 ) 满足： e ( r ) = 0 ( 2 2 ) 从而 e ( 置) = m ，+ ( 2 3 ) 2 1 2a r i m a 模型定义 a r m a 模型是一种平稳时间序列模型，可是在实际问题中，时间序列并不平稳， 往往具有趋势性和季节性。最常用的是采用b o x j e n k i n s 方法，即差分方法：消除 6 第二章时间序列长记忆性 其趋势性、季节性，使得变换后的序列是平稳序列，并假设为a r m a 序列，然后 用此平稳时间序列模型进行建模。a r i m a 模型【2 她1 】全称为求和自回归移动平均模 型( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g em o d e l ，简记为a r 叫，是通过差分法 获得平稳序列的一种非平稳时间序列模型。 零均值川( p ，d ，q ) 的一般形式为： o ( b ) v d 置= ( b ) q ( 2 - 4 ) 式中，“) 为非平稳序列，慨) 为独立同分布随机变量序列。v 是差分操作数，d 是差分的阶数，有 = ( 1 一b ) 置= 置一置一。 ( 2 - 5 ) v d 工= ( 1 一曰) dx t ( 2 6 ) 其中 。v d = ( 1 - b ) a = 1 - ( b + ( 兰 艿2 + + 卜，d - 。 召d _ i + c 一，d 曰d c 2 - 7 ， 当p = q = o 时，( 2 4 ) 式可以表示为： v 4 置= q ( 2 8 ) 此时a r i m a 模型退化为f d n 模型，可见a r i m a 模型用d 来反映时间序列的长记 忆性，用a r m a 模型的形式来反应时间序列的短记忆性。所以，a r i m a 模型同时 反应了时间序列的长记忆性和短记忆性。 2 2 时间序列的长记忆性 2 2 1 时间序列长记t 亿性的定义 关于时间序列的记忆性，r o s c n b l a t t 在1 9 5 6 年就进行了探讨，提出了短范围相 依过程的概念【2 2 1 。 定义2 一l 假设离散时间序列“) ，t = 1 , 2 ，t ，其部分和为 7 s r = 一 ( 2 9 ) t = l 如果舰研丁卅s 2 】存在且非零，并且有 7 电子科技大学硕士学位论文 孑1 万1 j 形( ，) ，【d ，1 】( 2 - 1 0 ) 这里w ( r ) 为标准维纳过程，则称怯) 为短范围相依过程。 短范围相依过程反映了时间序列的强混合性和短记忆的特点。如果时间序列任 意两点间的相依性随着时间间隔的增加而变得很小，就称时间序列是强混合的。人 们一般将短记忆称为强混合，将长记忆称为非强混合过程。传统的时间序列如 a r m a 模型等都是以短记忆时间序列为研究对象的。 时间序列的长记忆性是跟短记忆性相对的一种性质，可以从不同的角度出发研 究时间序列的长记忆性问题。本文从两个角度概述了长记忆时间序列的定义，一种 是从时域的角度，另一种是从频域的角度定义。 定义2 2 假设时间序列“) 具有自相关函数以，其中r 为滞后阶数。如果岛满 足条件： 1 1 罂i p , l - , ( 2 - 1 1 ) n m 一 则称“) 为长记忆时间序列( m c l e a o d 和h i p e l 2 3 1 ) 。 定义2 3 如果平稳时间序列 x t ) 的自相关函数肛依负幂指数率( 双曲率) 随 滞后阶数f 的增大而缓慢下降，即： 以c r m 一，f 一0 0( 2 - 1 2 ) 其中c 表示常数，表示收敛速度相同，d 表示记忆性。则称瓴) 为长记忆时间序 y f j ( b r o c k w e l l 2 4 】) 。 说明对于平稳时间序列，要检验其是否具有长记忆性，可以从它的自相关函数 衰减是否为双曲率来做直观判断。 上述定义是从时域的角度给出的，下面从频域的角度给出长记忆性的定义。 定义2 - 4 称时间序列 置) 为长记忆过程( 研锄9 0 2 5 】) ，如果它的谱密度厂( w ) 具 有以下性质： ( 1 ) 厂( w ) 随频率w jo 而趋于无穷； ( 2 ) 厂( w ) 在除去至多有限个w 值外的所有其它1 4 ) 值上有界。 这个定义是根据长记忆时间序列的谱密度厂( w ) 在低频处的特性而给出的，可 以反映时间序列的周期变化规律，具有较广泛的意义。 另外，g r a n g e r 等讨论了更具广泛意义的长记忆的定义，比如关于信息集的依 分布长记忆，依均值长记忆。 8 第二章时间序列长记忆性 2 2 2 时间序列长记忆性的检验 长记忆性的存在检验方法主要有：r s 与修正r s 法，k p s s 检验，l m 检验， g p h 检验。 r s 检验【2 6 1 设时间序列“) ，t = 1 , 2 - - - , t , 取n 个序列观测值的均值为：2 吉善而 取r s 统计量： q = 器 ( 2 - 1 3 ) 其中， 极差 r ( 以) 2 隧骞( _ 一i ) 一勰喜( _ 一i ) ( 2 - 1 4 ) 标准差 s c 力，= b 喜c _ 一一x n ，2 j c 2 - - 5 ， 可以证明： p l i m ( n 州q ) = c( 2 1 6 ) 其中c 为常数。h 为h u r s t 指数。由( 2 2 1 ) 可得h 的近似估计值为。 日：警( 2 - 1 7 ) 当h = 0 5 ，这类时间序列是随机的波动的序列。当0 h 0 5 ，时间序列为长记忆，趋势是增强的，即如 果时间序列在前一时期向上( 下) 走，那么它的后一时期很可能继续该趋势，两者呈正 相关。当日专1 ，则趋势更强，当日j0 5 ，噪声就越大，趋势不稳定，此时序列 可看成偏随机游走，偏倚的强度看h 与0 5 差多少。 目前对中国股市的长记忆性研究的文献，基本采用此方法。该方法的一个优点 是对具有尖锋后尾的时间序列仍然适用，但是，该方法存在一个很大的缺陷，即当 时间序列具有短期记忆时，计算的h 值会有显著偏误【刀。 k p s s 检验 k w i a t h o w s k i ，p h i l l i p s ，s c h m i d t 和s h i n 在k p s s 检验，该检验方法是用来区分 9 电子科技大学硕士学位论文 i ( o ) 和i ( 1 ) 序列。l e e 和s c h m i d t 在文献【2 刀中推广了此方法，用以区分短记忆和长记 忆。 k p s s 检验将平稳性检验描述成一种趋势平稳性的假设，即： = + o c t + z t ，t - - = 1 , 2 ，t ( 2 - 1 8 ) 其中“ 是观测序列，亿 是瓴 与确定性趋势的偏差。且 z t2 + 6 t【2 。1 9 ) 其中是随机游走序列，满足： = 一l + q ，= 0 ，0 t f j d ( 0 ，o v 2 ) ( 2 2 0 ) 其中o v 2 0 0 ，且p ，) 为短范围相依过程。 k p s s 的平稳性零假设为：风：z ，为短记忆序列，h ；z ，是分整序列。 令e t = x ，一，取 墨= e j ，t = 1 2 一t ( 2 2 1 ) 2 m 吾喜q 一) 2 + 詈喜删 ，毒p 锄w 动 其中( 力= 1 一南， g ，而i = 吾喜毛 k p s s 检验的统计量为 ”r 善t 蔫 ( 2 删 k w i a t h o w s k i ，p h i l l i p s ，s c h m i d t 和s h i n 在文献【2 8 】中证明了 r ，j 【( ，) 2 d r ( 2 2 4 ) 其中( ，) 是二阶布朗桥。 令z ，= z ，z ，为乙的部分和过程，如果乙是分整的，则其部分和是 j = l o 尸( 丁“n 5 ) ，如果z ，是短记忆的，其部分和是o p ( 丁0 。5 ) 。 l m 检验【2 9 】： 即拉格朗同乘子检验。其目的是检验一个线性回归的扰动项是否为分数差分噪 声。为此对于y ，= 夕r 置+ 掰，其中o - l ) j 吩= q ，t 为白噪声。作如下零假设和 备择假设： 1 0 第二章时间序列长记忆性 h 0 ：d 2 0 ，h i ：0 d 0 5 检验统计量为： ( j - p j ) 2 埘= t j 生了_ 一 ( 2 2 5 ) 程1l6 其中，户，是线性回归最小二乘残差的第阶样本自相关函数。在零假设h o ：d = 0 下，l m 渐进趋于自由度为1 的z 2 分布。 g p h 检验【3 1 g p h 法又称为对数周期图法，最早由g e w e k e t 和p o r t e r - h u d a k 提出，后由 r o b i n s o n 改进。 设，( 允) 表示时间序列“) 的样本周期图， 删= 面1 陲e i t x ( x t - 一x ，1 2 陆2 6 ， 谱回归定义为： l 。g 【，( 五) 】：风+ 展l o g 4 s i n ：( ) + 旬，_ ，：1 ，2 堋， ( 2 - 2 7 ) 其中，m 为带宽参数，乃= 2 7 为角频率，表示基于观测赝本总数t 的第个傅 里叶频率。 ， 这种方法隐含的一个观点就是，当频率接近于零的时候，分整求积时间序列是 渐进对数线性的，斜率为一2 d ，该回归方程中估计的系数屈的相反数即为估计的d 值。缺点是此方法对m 的敏感性很强，故采用此方法将增加研究的难度。 2 3 目前主要存在的长记忆模型 ( 1 ) 分数布朗运动 令h 满足0 h 0 ，b ( f ) 为： 蹦f ) - 蹦o ) + j ， 肌叫i _ ( _ 一：坤+ f ( f - s ) 肛：部) ( 2 - 2 8 ) 1 。( 爿+ 芝) 。 。 其中b ( 0 ) = b o ，i ( ) 为f 函数，b ( s ) 为布朗运动( 维纳过程) 。 电子科技大学硕士学位论文 当b o = o ，h = 去时，b 。( f ) = b ( f ) 时，分数布朗运动退化为一般的布朗运动。 二 i b h ( t ) 的自协方差函数为： e l b ( f ) 一b 胃( s ) f 2 = 盯2 卜j j 2 月 ( 2 2 9 ) j t y 。= c k 2 肛2 ，c 为常数，盯为常数，即以与k 2 肛2 成比例。说明其自协方差函数 呈双曲率缓慢下降，这与布朗运动的自协方差函数呈指数率下降呈对比，故布朗运 动的记忆性是短记忆性，分数布朗运动的记忆性为长记忆性。 ( 2 ) f d n 模型 为刻画时间序列的长记忆性，g r a n g e r ( 1 9 8 0 ) ，g r a n g e r - j o y e u x ( 1 9 8 0 ) 提出了分数 差分白噪声( f d n ) 模型。如果随机时间序列砒) 满足差分方程： o d 4 晚叫) = 岛 ( 2 3 0 ) 则称秒，) 为分数差分噪声序列。式中：抄，) 为时间序列，l 为滞后算子，d 为分数 差分参数，反映长记忆性。同时 e ( y ，) = ，e ( q ) = o ，e ( 巳2 ) = 盯2 ，e ( 8 ，g ，) = 0 , i j ( 2 3 1 ) 1 9 6 8 年m a n d e l b r o t 提出的分数布朗运动为其提供了理论基础，e d g a r ( 1 9 9 0 ) 的分 形市场理论进步说明了长记忆行为的市场机理。分形市场认为金融市场是一个开放 的，非线性系统，具有正反馈机制( 股市中的从众心理是产生正反馈的原因) ，金 融波动具有长记忆性。 ( 3 ) a r f i m a 模型 为了在分数差分白噪声模型中，考虑时间序列的短记忆性，g r a n g e r ( 1 9 8 0 ) ， h o s k i n g ( 1 9 8 1 ) 将传统的a r m a 模型与f d n 模型结合在一起，提出分整a r m a 模 型，即a r f i m a 模型： 若平稳时间序列似) ，满足差分方程： ( 召) ( 1 一召) 4 ( 置- , u ) = 0 ( 曰) q ( 2 - 3 2 ) 其中曰为滞后算子，i d l 0 5 ，n ) 为白噪声序列，为 x t ) 的均值。( b ) 为p 阶 平稳的自回归滞后多项式，o ( 曰) 为g 阶可逆的移动滞后多项式，其所有的特征根 均在单位圆外，则称 x t ) 满足分整自回归移动平均模型，记为：a r f i m a ( p ，d ，q ) 。 它用m 个参数描述过程的短记忆特性，以参数d 反映过程的长记忆特征。 后来g r a y - z h a n g - w o o d w o r d 又将g e g e n b a u e r 过程引入长记忆建模中，提出 g a r m a 模型【3 0 1 ，对f d n 模型做了进一步的推广，以后又提出季节分整a r f i m a 1 2 第二章时间序列长记忆性 模型等其它形式。 ( 4 ) 长记忆a r c h 类模型 e n g l e 于1 9 8 2 年提出自回归条件异方差( a r c h ) 模型后，随着长记忆在经济学 上的研究取得突破，a r c h 与长记忆结合所产生的一系列长记忆a r c h 模型的研 究从1 9 9 6 年至今方兴未艾。 长记忆g a r c h 模型3 1 】： x | 2j l l t + 5 t = e , t r t ，e t i i n ( 0 ，1 ) q 2 - z c o c o , 2( 2 3 3 ) 1 - 1 c o t = 1 i = 1 仃打2 = 盯2 ( 1 - t r a 一层) + 口f 8 t 1 2 + f l i o j f 1 2 ( 5 ) 长记忆波动模型l m s v 随机波动模型( s 与长记忆的结合，更加拓宽了长记忆的应用范围，使 之7 1 起了广泛的重视。长记忆s v 模型【3 2 】： y ，= e x p ( h , ) e , ，一i d n ( 0 ，1 ) ( 1 一) d 矽( 三) 吃：秒( 三) 7 办，7 7 f 。f f n ( o ，1 ) ( 2 - 3 4 ) 其中，o ( l )o ( l ) ，为滞后操作数多项式，他们的特征根都在单位圆外，且 一0 5 0 ( 3 一1 ) 其中：v e c h ( ) 为向量半算子，它是将n x n 阶阵e 的下三角元素按列堆积而 成的( + 1 ) 2 x 1 的列向量。 随机过程僻) 称为是波动持续的，如果3 s 0 ，3 i ，i = 1 , 2 ，( + 1 ) 2 使得 熙s u p n , ( j ) ) ，i 0 ( 3 2 ) 几乎处处成立。其中饵，。( s ) ) 。表示向量日，( s ) 的第f 个元素。 定义3 3 文献【3 5 】基于f i g a r c h 模型，利用脉冲响应函数来研究波动持续性。 探讨了波动持续性问题。对于模型f i g a r c h ： m ( ) ( 1 一) d c t 2 = 口o + 1 一( ) 】( 3 - 3 ) 令 儿翔q ，鱼 e , + k - 1 ( 3 4 ) 其中以的值可以由滞后算子多项式厂( 三) 得到： 1 4 第三章时