（应用数学专业论文）一类比率依赖捕食者—食饵系统的参数分析.pdf

昆蚶理_ t 夫学碱 ：学位论殳 摘要 本文在第一象限( 包括x 轴和y 轴的证半轴) 内研究丁类比率依赖的具有j ( ，r 1 h 第1 ij 类功能性技鹿的两物种群竞争模型，本文分别研究了系统的局部稳定性和蛳 稳定 性，有i _ l o p f 分支及并宿分支出现，得到了丰富的动力学行为，尤其是艨点的扦矧、绵构及系统 的全局稳定性由数值模拟形象的描述出来 本文分四个部分，第一+ 部分是预备知识，第一部分研究了比率依赖捕食哲一食协系统 的奇点局部稳定性及f l o p f 分支，第三部分研究了比率依赖捕食者食饵系统的伞硒稳艇陡 及数值模拟，第四滞分研究r 比率依赖捕食者一食饵系统的异宿分支 关键词：捕食者一食饵系统，比率依赖反应，高阶临界奇点，吸引子，异宿啐 昆础删t 凡学顾f 学位论文 a b s t r a c t r e c e n t y ，s o m er e s e a r c h e r ss t u d i e dt h er a t i o d e p e n d e n td r e d a t o rpr e ys y s l ( 、m s w i t hh o u i n gt y p ei i i nt h i sp a p e r w es t u d yar a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o fh e y s y s t e m sw i t hi t o i l i n gt y p ei i i t h eq u a l i t a t i v eb e h a v io ro f acj a s s ( ) r a ，i o d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e ys y s t e ma tt h eo r i g in int h ei n t e r i o t ( ) 【1t 1 0 f lr 0 1 q u a d r a n t jss t u d i e d i ti ss h o w nt h a tt h eo f i g i ni si n d e e dac r it ic a p o i l 3 t01 h i g h e ro r d e r t h e r e c a ne x i s t m a n yk i n d s 0 f t o p 0 1 0 9 i c a ls t r l i c t u fc s ina n e i g h b o r h o o do ft h eo r i g i ni n c l u d i n gt h ep a r a b o l i co r b it s t h ee l lip t i co r ) h s t h eh y p e r b o l i co r b i t s ，a n da n yc o m b i n a t i o no ft h e m t h e s es t r u t l u r e sh l v ci m p o r t h l ll i m p t i c a t i o n sf o rt h eg l o b a lb e h a v i o ro ft h em o d e l ( ；1o b a lq u a l i t a t iv oa n e t lv s is o ft h em o d e ld e p e n d i n go na 1 1p a r a m e t e r sisc a r r i e do u t a n ds h o wt h e ( j x is t e n ( ：e o fe i g h tq u a l i t a t i v e l yd i f f e r e n tt y p e so fs y s t e mb e h a v i o isr e a li z e db yv i ir io u s p a r a m e t e rv a l u e s c o n d i t i o n so fe x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e0f m i tc y c l e sa n d h e t e r o c l i n i cl o o pf o rt h em o d e la r eg i y e n k e yw o r d s ：p r e d a t o r p r e ys y s t e m ，r a t i o d e p e n d e n tr e s p o n s e ，c r i t ic ：l ip o in tel h i g h e ro r d e r ，l i m i tc y c l e ，a t t r a c t o r ，l t e t e r o c l i n i cl o o p 融l 蚍理 k 学倾l 学位论尘 刖罱 种群生态学是生态学中的一个重要分支，假是迄一数学在生态学中应用得最为j 江铷 深入、发展得最为系统和成熟的分支生态学是研究生物体与它们j i i i ! 】刚环境之f t 关系的 f j 科学再说得稍微具体些，它是研究生物的存在条件，生物种群与环境之刚年h 旺怍用的过 榉及其规律的科学种群指的是在。特定时间内，占掘一定空蚓的同一。物种的个体的集合， 在种群动力学中，捕食者对食饵数量的功能性反应指的是：单位州问内把每个捕食者 所吃掉的食饵数量作为食饵数量函数近来，生物学家( a r d il i 和( ；ju z b u r g “：a r d 和 0 t n z h u r g 和a k c a k a y a ”1 ，a k c a k a y a “3 ，g u t i e r r e z ，等) 根据有关典型! l 二物学的喇i f i j 刻度、侬 赖于捕食者和食饵的数量比的数量反应( 尤其是当捕食者寻找食物或共，荠以及竞争食物的 情况下) ，定义了比率依赖功能性反应函数 在本文巾，我们根据h o l l i n g 型第1 n 类功能性反应函数，构造一一般的比率依赖捕食者一 食饵的模型，来进行以下的讨论 一般的比率依赖捕食者一食饵的模型( a r d i t ia n d ( ；i n z b a r g ( 1 9 8 9 ) ) 足： i d n 训( ) _ g 黔 i d p = e g ，i 5 曙 引，叫，1 这里函数r ( v ) 表示在没有捕食者的条件下食饵的生长率，线性函数妒表1 i 存没有 食饵的条件下捕食者的死亡率函数g ( 苦) 是营养函数，删( 心a ，卜甜本文以 h o l l i n g 第1 i i 类功能性函数g g ) = i 生+ a h x i 为基础，当苦代替x 州，得到比率依赖助能州一 反应函数：g ( 警) = 羔，其中( ，p ) ( o ，o 。) 2 、( o ，。l g ( 。，。) ：，g ( 。，p c 牡。， 且此函数适用于脊椎动物，因此，我们将研究以f 系统： 其眠，尸分别表示食饵群和捕食者群的密度，系统的参数，- ，k ，口，h ，。，q 均为黔负吱数 躲p 了 叫 掣捌一护一m 昆i 判理工人学啦l 。学位论卫 r ，k 分别表示在没有捕食者的前提下食饵群的，士：睁零和承受能札口扣永捕食彬曲ii 缺“ r ：率，c 表示捕食者的转化率，口，h 在表示比率依赖营养函数时h 表，k 摘餐桶捕愈食饵躬 活动时间，a 表示食饵的最大消费率 首先，我们对系统( 1 ) 作如下变换： n = k x 。p ：k y q “k 忙l ，1 系统( 1 ) 的参数简化为以下系统方程： ；= = = * ( 1 一x ) 一歹j i 3 - # z y i f ，。， 字= - t y + 半善 d f y + x 一 其中参数为：，：4 _ o ：h ，：导，：望，参数y 指的是被重新定义的捕食者y 的死f “：；衽参凝 r nr nr “和p 所表示的“营养成分”有以下意义：由二f 捕食者的数量是无限的，l ，表豕朗址食镟 被捕杀而致死的最大死亡率而表示的是在食饵的数量无限的情况下，捕食哲的最j 、i r 长率。 本文将在第一象限内( 其中包括x 轴、y 轴的正半轴) 分析系统( 1 1 ) 由二系统：l 在( o ，o ) 没有定义，我们从新定义系统( 1 1 ) 为： d x d r 咖 d f i - x ) 一器，v “+ x 。 ：一+ 譬乓， ( 12 ) y 一+ x 4 0 ，o ) = y ( 0 ，o ) = 0 在本文中，我们的目的是研究1 类比率依赖具有i t o l l i n g 第l il 炎j ) j i i l f l ! 反成的两j _ | 1 群模型，得到了丰富的动力学行为，有4 些新的结栗 本文的写作得到- 导师林怡甲教授的悉心指导和帮助，特此i 照致收心感谢! 限于作者现有的水平和能力，本文难免存在许多不妥，1 i 够全l 叭做浦各位老岬小番“i f ! 昆明理工大学学位论文原创姓声明 卒人郑重声明：所呈交的学位论文，是夺、在导师的指导f ：i 或 找个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 誉夕 ，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体、均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：纷鬣 日期：御千年，2 月竹 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存沧戈。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：盎：i 圣论文作者签名：勇臣整一 日期：巡叠一l 且一一丝一一旦一 预备知识 | _ _ r 本文的证明望用剑参考文献l1 中的些定媸，凼此我1 【j 将给出以p , - j 0 1 非线性方程组的奇点 给定微分方程组 争m ， i d 席v = y ) 改o ( o ，o ) 是系统( o 1 ) 的奇点，即x ( o ，o ) = r ( o ，o ) = 0 设x ( o ，o ) ，y ( o ，o ) 在原点附近刘x ，y l , j a 2 1 够高阶的连续偏导数 于是可将系统( o 1 ) 写成 面d r = m 。，少) + g ，_ y ) ( 。2 ) 陪= 瞧小如y l 其中x 。，r ，分别是x 和y 的聊，以次齐次多项式，m ，n 1 。妒= o ( r “q 妒= o ( r ”) ，当r 一 0 我 们假设x 卅，互质， 在本文中m = ”= 3 ，所以我们只考虑m = 盯的情况 令x = ，c o s 0 ，3 一封s i n 0 ，方程( 0 2 ) 化为 一l drcosox,(rcosorsino)+o(rcosorsino)+sino(g,虹!塑：塑盟丛，竺一so，三尘剑 ，d o c o s o r ，口) + ( r，r毋) 1 一，p，r 】1 口) + ( ， ，r口)10 r 1 2 , 0 8 0s i nc o s 0s i n s i n o x c o s 0s ic o s os i n u ( r ，0 ) 2 可两 ( 03 ) 令 g 矽) = = c o s o l ( c o s 0 ，s i n 口) 一s i n o x 。( c o s 0 ，s i n o ) , ，p ) = s i n 棚：c o s ，s i n 口) + c o s 0 ) 2 。( c o s 0 ，s i n 0 ) 其中g p ) = o n n 示性z n 方程( 0 3 ) 可写成 没 昆喇理工大学砸_ “学位论文 ，i d o = 调g ( o ) + 0 0 ) ，- - ，0 , t u i 面骊，7 4 g ) = o ，日 ) = h ，o ，g p ) = c ( o p y - 。( i o 一挣i 1 ， r 警= 等p 刊7 十。啡孙蛳。 证明：o u ：口= 谚+ s ，o ，t 上r _ d o 与c h 同号，即r _ d o ， o ：o a ，：护= ：谚一s ，o 蔓，7 7 e l f a r ：r d ，o 与c h 。反号，即卜d _ o 0 ：在区域洲，占，上，_ d o 有界。故区域洲拉，是第类矿常 d r a r甜 0 斧。i0 拿- i 证明：在，：口：只+ s ，o r 上，掣与c ，同号，即r 宰 0 ：在区域洲，b ，上，_ d o 有界，故区域伽，口，是筇：类h ：管 d rd ，口r 2 昆明理t 太学碳i 。学位论文 图01 ，2 引理3 设口：只是g p ) ：o 的z 重根，f 为奇数，g m ) h ) 1 时 p ，b l - c ( r 0 2 0 q ( r ，o i l c ( r 】p 。- 0 号，号，c ( r ) = 。 庐= 。”“l = o ( r 1 l ，斗。 则( 0 2 ) 只有唯一的轨线沿0 = 只进入奇点 引理4 设口= 只是g p ) = o 的f 重根，为偶数，g ( 0 归 ) 0 令 彳( r ) ：，n1 n ! 五 ， 叩( r ，0 ) = c o s o p , ( r c o s 0 ，r s i n o ) 一s i n o ( b ( r c o s 0 ，s i n o ) 设在扇型区域( m b ：1 0 q l - e ，r 中，当，- 充分小时有 叩p ，口) c 一p l o 0 ，品( 0 ) 是( ) ( o ，0 ) 的小邻域) 内次数不低于2 的解析函数，于是当占充分小时，存在解析函数妒( x ) ，满足 声b ) + q g ，矿b ) ) = o ，w 0 时，o ( o ，o ) 是不稳定结点 ( i i ) 当研是奇数且n 。 y 且p 2 t f l v2 y 且矿2 o ，1 0 在区域，r j ：0 s 0 1 ，0 0 在区域 p ，) ：。三- o 9 2 , 0 0 在区域 p ，r ) ：o s 口 q ，0 r o 在区域 p ，r ) ：。三一口 s ：，。 r 。在区域 ( 口，) ：。p 0 3 1 o e 3 , 0 。在区域 ( 见r ) ：。p 一以 o e 4 , 0 灭孝与时，奇点墨为稳定结点 如图1 2 1 所示： + 2 v u 3j v 0 y + l a v 2 c 歹翮, u 2 当v ! = 1 竺弋时，特征方程有零特征根，我们有以下的讨论 巩“一 。 作平移变换： i x i = x ， 卜一寿 o “3 + b + m 沁 ，f。l j l “0， = _ _ _ 邑坚醛塑塑型! 苎_ 一一 一 系统( 1 2 5 ) 化为： j 鲁一譬等“础h m 一兰ti 咖， 陪= 等 z 咖字w ；m 焉“讲l 2 鼢 因为d ：一互盟0 ，所以作变换： 系统( 1 2 8 ) 化为 f = x v ，7 鬲1 五+ ， y 十 r ：一型s y 警2 鲁冉绪勿+ 六乒寿+ 寿幽2 + 丽2 y v 翔+ 南六 万d r 叫一再p ：2 + 2 5 + 川2 y v 产赫冉哿n 掣翔 耐一器勃2 音砌一寿一斋p 设r = c 2 手2 + q f 3 + c 4 f4 + ，代入下列式子 p + 2 泓寿产并a 哿+ _ 3 ( 川r - 1 ) 2 r + m3 4 y v ，矽! 寿1 叩寿弘南粤。 得：叩2 焘冉o ) 2 鲁善2 + 。皓3 ) ，由于啪= 2 ，_ 7 2 石7 ，。，根据引理5 可知，原点是一个鞍结t i ，右 半部分是抛物扇形域，左半部分是两个双曲扇形域，通过逆变换，我们可知奇点k 7 是 个 昆明理工大学硕士学位论义 鞍结点，在第一象限中的部分是抛物扇形域且是稳定的我们可得到当p2 = 二一弋时，奇 八y j 点玛在平面g ，“) 上的图像 如图1 2 2 所示： 请改 ，兹j ) i k 3 o 其次，我们对系统( 1 2 i ) 进行b r i o t b o u q u e t 变换： y = y ，x = w y ，d s = y 2 d t ， 化为： 黟) w 一2 ，( 1 ：1 0 ) 眩= - y y + 如一y 胪 除了y = 0 ，其它在平面g ，y ) 的第一象限中是非退化的转化到平面( w ，y ) 的第一象限中也是 非退化的，而原点0 单项变化成w 轴 在w 轴上y = 0 ，因此有 w h p + 1 ) 】= o ( 1 2 1 ) 解方程( l2 。1 1 ) 得： w ：0 ，”3 ：y + 1 所以w 轴上有两奇点分别是：d i ( o ，o x ( w ，o ) 系统( 1 2 1 0 ) 得j a c o b i 矩阵 在奇点d ? ( o ，o ) 上 。，y ) ：f 1 + y 2 w v 一2 w y 一4 y w 3 2 ( u 一，) 删 、刊 产“ 叫 一 昆明理1 - 大学砸士学位论立 删= 卦 研： ( 0 ：) = y + l ，a ：( 0 7 ) = 一， 所以奇点o i ( o ，0 ) 为鞍点 在奇点k ：( w ，o ) 上， i ，( w 3 ，。) = f 1 + ，一0 2 恍 2 一w 3 ，+ 0w 驯3 4 球 ) = 一+ - ) 0 成立，则有： ( a ) j o ，r 5 0 在区域黔，r ) ：0 量口 0 在区域 归，r ) ：。三一臼 o ，撤掘q l 理l ，可知： ， o ， 0 在区域 p ，) ：o 8 s ，o r ( 内，当f 斗棚时，系统( i 2 1 ) 有无数祭轨 线沿g = o 进x ( o ，o ) ( b ) 6 ( 岛) = ，+ 1 ，h ( 吼) = 一 6 ( 以) ( 吼) = 一y o + 1 如 o ，根据引理3 ，可知j e 。，0 ，“，o 在区域p ，a 。玉兰- o 。在区域r p ，r ) ：。s p 0 4 1 0 恒成立 解方程( 1 _ 2 1 5 ) 得： 删幽= 舞心= 蔼 0 ，所以奇点0 1 ( 0 ，o ) 为不稳定的结点 在奇点k 。( o ，”) 上， a ( o ，“，) ( 芦一，一，) 一3 ( 。7 + ，k ：+ 2 v u ，c “一y 一1 ) 一十1 k 2 +，j 刊= 蜘铲 ( 啦镒 五 若要上式成立，则有：矿： y 2 v2 一，一1 ) 若要上式成立，则有：，： ( y + 1 ) l j y 2 尚 解不等式：2 ( 7 + l h y v2 一y v 、l a o 若。，三q 业，则上式恒成立， ， 若，： 型出j2 ( r + l 弘一z 厄 ， j + 1 址2 一彬y 2 ，2 y2 0 一y 一1 ) 若y ：垃坐，则上式恒成立， y 辄2 ，2 屯 因此我们有： 当一y 一1 。且 o 且v 2 了若皇刁时，奇点k ，为稳定结点 如图1 2 5 所示： 7 昆鲥理工夫学硕i ：学位论克 妇r 。 0 凰k 罚 图12 5 ( b ) 一y 一1 o 且，一一。 ，阻一一 当vz ： 旦弋时，特征方程有零特征根，我们有以下的讨论： y 一y j f 4 - - 平移变换： r 正、医 y l 钏一互丽 系统( 1 2 1 4 ) 化为： 出 d s= ( 等书y 。l 7 j 丁一p j x 。y 警。 缡+ ( 蔼肿铺y y 。2 一了v + 丁g az ；y y l 一一z l y + l + 卜螂小铡w l b ? 我们来分析系统( i 2 1 6 ) 的原点的情况 跏一销地c - 蔼+ ( 端卜獭换 系统( 1 2 1 6 ) 化为 言= x l ， c ，7 2 i 。l + h ， + l ， r ：一 2 p + 1 ) xx 1，j 、j 压面+ 一p p 一2 ，l + r。l y 、卟， f=j巫枷竺掘 k + 昆明理工大学硕? l 学位论文 | 堕： d r 陲d q = 一吉阻等州- + ( 蔼肿嘶x 。 刁+ q ：皓，玎l 比卜吉瞰等寸( 1 + ( 蔼) 2 妞啦， 也铲出等寸( 1 + ( 篙 2 0 点是个 鞍结点，右半部分是抛物扇形域，左半部分是两个双曲扇形域，通过逆变换，我们可知k l 是 一个鞍结点。右半部分为抛物扇形域且是稳定的我们可得到当p2 = j 上i 时，奇点k 。在 y l 一y j 平面g ，“) 上的图像 如图1 2 6 所示： ) ， i 改 锱。 i k o 3 黟h 一2 廿川胪胪4 ( 1 2 1 8 ) l _ d y = - y y + o r ) _ y h j 2 l a s 除了y = o ，其它在平面g ，y ) 的第一象限中是非退化的转化到平面( w y ) 的第一象限中也是 昆明理工大学 i i 卜学位论文 在w 轴上y = 0 ，因此有 w k 芦一y 1 h 2 + w 一( y + 0 j = 0 ( 1 2 1 9 ) 解方程( 1 2 1 9 ) 得 删，旷番川= 蒜高姐 其中= v2 + 4 p + 1 ) 一，一1 ) ，由于一，一1 0 ，所以a o 恒成立 所以w 轴上有两奇点分别是：o i ( 0 ，o l k ：( w 。，0 ) 系统( 1 2 1 8 ) 得j a c o b i 矩阵 驯= r 一3 ( , u 2 - ? - 舫1 ) w 2 嘞旷4 在奇点研( 0 ，o ) 上， 删= 一o ， 讲： ) = y + l ， ：) = 一y 所以奇点o j ( o ，o ) 为鞍点 在奇点k ( w ，0 ) 上， j ( w 、，o ) = f 1 + ，一 k i ：旯。k ：) = + 2 0 , 一y 一1 ) 2 v w 。一3 如一，一1 ) w ? 0 一w t w 1 ，+ 0 y 如，2j 媳丑z 悱堑出尝等掣 因为 伍? ) o ，奇点丘? 为鞍点若a ：伍? 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