（应用数学专业论文）拓扑传递系统的不规则集及c1单峰函数族的超稳定周期轨.pdf

摘要 摘要 自1 9 7 5 年l i - y o r k e 首次用严格的数学语言给出“混沌”的定义以来，人们开始 广泛地关注与研究系统的混沌性。随着研究的深入，混沌理论已取得了不少耀人的成 绩且在各个领域已有广泛的应用。因而，进一步对混沌理论进行研究有着重要的意义。 系统混沌性研究的核心问题是系统轨道的渐进性与拓扑性质。基于对系统轨道渐进性 及周期性的研究，本文主要研究了拓扑传递系统的不规则集合与单峰函数族系统的超 稳定周期轨，进而讨论了这两类系统的混沌性。 首先，介绍了混沌理论的发展历史及现实状况，指出了研究混沌理论的必要性。 同时，介绍了本文选题的出发点及研究内容。 其次，从动力系统的一些基本概念及理论、混沌研究中几种不同的混沌定义、拓 扑传递系统的一些理论及结果等方面介绍了本文涉及的背景知识及已有的一些研究 成果。 然后，着重研究了拓扑传递系统的l y - 不规则集，进而研究了系统的混沌性及其 应用。首先讨论了在拓扑空间中传递集的性质；然后，利用所得性质构造性地证明了： 在完备度量空间上，具有不动点的拓扑传递的连续自映射存在一个由拓扑传递点构 成的稠密的无限可扩的l y - 不规则集；进而得知：在完备度量空间上，具有不动点的 拓扑传递的连续自映射是圪混沌映射；同时，在更特殊的这样的空间中还构造出 了一个无限的由非拓扑传递点构成的l y - 不规则集；本章还利用得到的结论讨论了 l i y o r k e 混沌和d e v a n e y 混沌之间的关系，在拓扑传递系统中构造出了另一种混沌集 混沌集，并讨论了d e v a n e y 混沌定义中三个条件的关系。 同时还研究了另一种系统单峰函数族系统的超稳定周期轨及其表现出的混 沌现象。首先证明了：对于单位区间上的c 1 单峰函数族，必存在单位区间的一个子 闭区间，使得该子闭区间上的每个参数值对应的单峰函数都没有超稳定的奇数周期 轨，同时得到：在满的c 1 单峰函数族中必存在混沌映射。然后利用这一结果对 l o g i s t i c 映射的超稳定周期性进行分析，得到所讨论的l o 西s t i c 映射没有超稳定的奇 数( 不小于3 ) 周期轨的参数区间近似为【o ，0 9 1 9 6 。 关键词：混沌，拓扑传递，l y - 不规则集，单峰函数族，超稳定周期轨 s i n c el ia n dy o r k eg a v et h ed e f i n i t i o no f “c h a o s ”u s i n gs t r i c tm a t h e m a t i c a ll a n g u a g e i n1 9 7 5 ，p e o p l eh a v ep a y e dm u c ha t t e n t i o no nc h a o sa n dr e s e a r c h e di tw i d e l y w i t ht h e d e v e l o p m e n to fr e s e a r c h ，m a n yg r e a ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e no b t a i n e d b e s i d e s ，c h a o t i c t h e o r yh a v eb e e na p p l i e dt od i f f e r e n tf i e l d s ，s oi ti si m p o r t a n tt of u r t h e rs t u d yi t t h ec o r e p r o b l e mo fr e s e a r c h i n gas y s t e m sc h a o t i cp r o p e r t i e si ss t u d y i n gt h ep r o x i m a lp r o p e r t ya n d t h et o p o l o g i c a lp r o p e r t yo fas y s t e m so r b i t s o nt h ef o u n d a t i o no fr e s e a r c h i n go r b i t s p e r i o d i ca n dp r o x i m a lc h a r a c t e r i s t i c s ，i nt h i sp a p e r , i tm a i n l ys t u d i e sl y - s c r a m b l e ds e t so f t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v es y s t e ma n ds u p e r s t a b l ep e r i o d i co r b i t so fc i - u n i m o d a lf u n c t i o n s f a m i l y , t h e nf u r t h e rd i s c u s s e st h e s et w os y s t e m s c h a o t i cp r o p e r t i e s f i r s t , i ti n t r o d u c e st h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n ta n dp r e s e n to fc h a o st h e o r yb r i e f l y , p o i n t i n gt h en e c e s s i t yo fs t u d y i n gc h a o s b e s i d e s , i ta l s oi n t r o d u c e st h e i n t e n t i o no f s e l e c t i n gs u c hat o p i ca n dr e s e a r c hc o n t e n t s s e c o n d ，i tm e n t i o n ss o m eb a s i cc o n c e p t so fd y n a m i c a ls y s t e m , s e v e r a ld i f f e r e n t m a t h e m a t i c a ld e f m i t i o n so fc h a o s ，t h e o r yo ft o p o l o g i c a lt r a n s i t i v es y s t e ma n dr e l a t e d r e s u l t s t h i r d ，i ts t u d i e ss c r a m b l e ds e t so ft o p o l o g yt r a n s i t i v es y s t e ma n dt h e nt h es y s t e m s c h a o t i cb e h a v i o r s f i r s t , s o m ep r o p e r t i e so ft r a n s i t i v es e t so n at o p o l o g ys p a c ea r e i n v e s t i g a t e d u s i n gt h o s ep r o p e r t i e so b t a i n e d ，t h ef o l l o w i n gr e s u l t i s p r o v e db ya c o n s t r u c t i v em e t h o d ：o nac o m p l e t e l ym e t r i cs p a c ew i t haf i x e dp o i n t ，i fac o n t i n u o u s s e l f - m a pi st o p o l o g i c a lt r a n s i t i v e ，t h e nt h e r ee x i s t sa d e n s ei n f i n i t e l ye x p a n s i v e dl y - s c r a m - b l e ds e tc o n s i s t i n go ft r a n s i t i v ep o i n t s ，t h u ss u c hs y s t e mi sl y - c h a o s ；m o r e o v e r , t h e r e e x i s t sa l li n f i n i t el y - s c r a m b l e ds e tc o n s i s t i n go fn o n - t r a n s i t i v ep o i n t so ns u c ham o r e s p e c i a lc o m p l e t e l ym e t r i cs p a c e ；f u r t h e r m o r e ，i td i s c u s s e st h er e l a t i o n sb e t w e e nl i - y o r k e c h a o sa n dd e v a n e yc h a o s ；f i n a l l y , i tc o n s t r u c t sa n o t h e rc h a o t i cs c r a m b l e ds e t - s c r a m b l e ds e to nac o m p l e t e l ym e t r i cs p a c ew i t ha1 i i x e dp o i n t ；b e s i d e s , i ta l s od i s c u s s e st h e d e f i n i t i o no fd e v a n e yc h a o s t h ef o l l o w l i n g ，i ts t u d i e st h es u p e r s t a b l ep e r i o d i co r b i t sa n dc h a o t i cb e h a v i o ro f c a - u n i m o d a lf u n c t i o n sf a m i l y f i r s t ，i tp r o v e st h a tt h e r em u s te x i s t sac l o s e ds u b s e to fu n i t i n t e r v a lo fc 1 一u n i m o d a lf u n c t i o n sf a m i l y , a n de v e r yp a r a m e t e rp o i n ti nt h i sc l o s e ds u b s e t m a k et h ec o r r e s p o n d i n gu n i m o d a lf u n c t i o nh a s1 3 0s u p e r s t a b l eo d dp e r i o d i co r b i t s t h e n ，i t g e t st h a tt h e r em u s te x i s t sc h a o t i cm a p i nf u l le i - u n i m o d a lf u n c t i o n sf a m i l y f i n a l l l y , i t u a n a l y z e st h en o n - s u p e r s t a b l ep e r i o d i cp r o p e r t yo fl o g i s t i cm a pa n dg e t sl o g i s t i cm a p s a p p r o x i m a t ep a r a m e t e ri n t e r v a lt h a th a sn os u p e r s t a b l eo d d ( 3 ) l 弛r i o d i co r b i t si s 【0 , 0 9 1 9 6 k e y w o r d s ：c h a o s ，t o p o l o g yt r a n s i t i v e ，l y - s e r a m b l e ds e t , u n i m o d a lf u n c t i o n sf a m i l y , s u p e r s t a b l ep e r i o d i c o r b i t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：耄盏蝗 日期：沙形年岁, q2 ze l 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盏盏盎 导师签名： 日期：沥寥年r 月2 2 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 混沌动力学的出现与发展 动力系统这一术语是大数学家b i r k h o f f 在1 9 2 7 年用“动力系统”为名发表他 的专著时第一次出现的。实际上，动力系统的研究起源于1 9 世纪8 0 年代h p o i n c a r e 对多体问题质点组动力学问题的研究。当时“三体问题”的求解具有重大的 现实意义和理论意义，为此h p o i n c a r e 以太阳系的三体为背景，证明了周期轨道 的存在，发现了三引力互相作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某 些解有不可预见性。进而认识到当时的数学水平不足以解决天体力学的复杂问题， 因此就致力于发展新的数学工具，并与l y a p u n o v 一起奠定了微分方程定性理论的 基础，同时也拉开了动力系统研究的序幕。2 0 世纪3 0 年代，b i r k h o f f 等人将经典 的微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑动力系统。到了2 0 世纪5 0 年代，由于 微分流形和微分拓扑的发展，使传统e u c l i d 空间上定义的微分方程扩展到了微分 流形上的动力系统，进而出现了新的研究分支一微分动力系统。 动力系统理论一直沿着两条并行的路线发展。一方面，发现系统的简单性、 稳定性和可预测性。另一方面，揭示复杂性、不稳定性和混沌性。本文主要涉及 到混沌现象的研究。 混沌的研究开始于混沌现象的发现，所谓混沌现象就是指动力系统中出现的 貌似不规则的运动。它的发现仍然可以追溯到h p o i n c a r e 关于天体力学的研究工 作。h p o i n c a r e 最先发现了“三体问题”中的不规则运动，他研究双曲点邻域内轨 道的变化，发现了被人们称为h p o i n c a r e 栅栏的极其复杂的几何图像。1 9 1 6 年， b i r k h o f f 在研究平面环的的扭转映射中发现了混沌吸引子。1 9 6 3 年，气象学家 l o r e n z ( 混沌理论少有的几位开创者之一，被誉为“混沌之父”) 在研究大气对流现 象时引进了l o r e n z 方程，他发现在一定的条件下，该方程可以出现混沌解。在同 一时期，k o l m o g r o v a r n o l d m o s e r 建立了分析力学中的k a m 理论，这些定理对近 可积的h a m i l t o n 系统解的性质给出了一些重要的结论，当这些定理的条件不适用 时，h a m i l t o n 系统可能出现混沌。1 9 6 7 年，s m a l e 在结构稳定性理论的研究中， 构造了著名的反例一s m a l e 马蹄映射，该映射限制在一个不变集合上且拓扑共扼 于双边符号系统。从那以后，在微分动力系统的研究中，s m a l e 马蹄成为了混沌 电子科技大学硕士学位论文 的同义词。1 9 7 6 年，生物数学家m a y 在一篇对数学界产生很大影响的综述报告中 指出，生态学中的一些非常简单的数学模型具有极其复杂的动态行为，包括分支 序列与混沌。 然而，在相当长的时期内，没有人明确的指出什么是混沌。直到1 9 7 6 年，正在 美国马里兰大学攻读博士的华人李天岩和他的导师j y o r k e 联名发表了一篇震撼整 个学术界的论文一周期三蕴含混沌【1 1 ，文中用严格的数学语言给“混沌一下了 定义。他们说，如果区间上的连续映射厂有一个三周期点，则该映射一定是混沌 的，即存在一个不可数集合s ，使得s 中的任何不同的两点x , y 满足： l i m s u p d ( f “( 曲，f “( 夕) ) 0 l i m i n f d ( f 4 ( 力，f ”( j ，) ) = 0 目m 1 i m s u p d ( f ”( 工) ，f ”( p ) ) = 0 ( x s ，p 为周期点) 其中d ( ，) 表示两点之间的距离。后来这个定义被人们广泛地应用于各种紧致 系统的研究当中。在文献【1 】中，作者指出了在单位区间上的连续映射只要具有周 期3 的轨道，则一定具有以任何自然数为周期的轨道，并且从一个不可数 ( u n c o u n t a b l e ) 集合中出发的轨道表现出时分时合的不稳定性态。事实上，早在1 9 6 4 年，俄罗斯数学家s a r k o v s k i i 就给出了一个更为精致的定理( 见文献 2 】) ，定理叙 述了区间上的连续自映射的周期之间出现的必然次序。无论是李天岩、约克，还 是沙可夫斯基的工作都揭示了一维映射迭代确实具有远非简单的动力学行为。作 为具有复杂动力学行为的一维映射，一个十分重要的而且典型的例子便是l o g i s t i c 模型。该二次模型本身是用来描述动物种群的繁衍过程的，美国生物学家r o b e r t m a y 于1 9 7 6 年在自然杂志上发表的文章( 见文献【3 】) 便指出了在这类简单数 学模型中由周期向混沌演化的复杂动力学现象。1 9 7 8 年，在l o sa l a m o s 实验室工 作的f e i g e n b a u m 发现了倍周期分叉过程中的普适常数( 4 6 6 9 2 0 1 6 0 9 0 ) ( 见文献 【4 】) 。 从此，混沌动力系统的探究以及与混沌现象相关联的应用进入了一个全新发 展的阶段。数学家、理论物理学家们试图利用数学工具给混沌以合理的定义，给 肉眼所看见的相平面、空间中复杂缠绕的轨道以合理的数学解释，表现为( 1 ) 双曲 动力系统理论的发展日臻完善；( 2 ) 统计力学在动力系统中的运用与探讨；( 3 ) 奇异吸 引子的专题研究和深刻分析：物理学家、工程师们则在具体的领域构造混沌或是控 制混沌，以期能在具体的模型中利用混沌所具有的特性，表现为( 1 ) 时空混沌模型 第一章绪论 的出现与探讨；( 2 ) 混沌控制的方法改进；( 3 ) 混沌在具体信息通讯中的运用；( 4 ) 混沌反 控制在有限维和无限维动力系统中的研究与应用；生物学家、经济学家、医学家则 在相应的领域中构造出非线性数学模型，使人类能够真正了解生态、生物、经济、 生命等或是宏观或是微观系统中动力学行为的演化规律，表现为( 1 ) 各类生物神经 元模型、神经网络的建模与动力学行为的分析；( 2 ) 各类人工神经网络模型的建模与 动力学行为的分析；( 3 ) 经济系统中各类模型的建模与分析等等。 正如前面所讲的那样，l i - y o r k e 混沌是第一个用严格的数学语言给出的混沌定 义，但实际上，不同的领域内的人对混沌的理解是很不相同的。许多学者在对不 同的系统的研究中给出了不同的混沌判定规则。下面几种有严格定义的混沌系统， 都是理论研究中采用过的。 ( 1 ) l i - y o r k e 混沌系统【1 1 ( 2 ) d e v a n e y 混沌系统1 5 】 ( 3 ) 拓扑混合系统【n 】 ( 4 ) r u l l e - t a k e n s 混沌系统【l 钉 ( 5 ) c o 混沌系统 ( 6 ) s m a l e 马蹄 ( 7 ) 存在横截同宿点的系统 除此之外，还有一些其他的混沌的描述，我们就不再一一列举了。 这里我们感兴趣的混沌定义是定义( 1 ) 和( 2 ) ，两者都是晟早出现的混沌定义， 也是被研究的最深入、最广泛的混沌定义。 1 2 混沌动力学的研究现状 混沌一直以来都与非线性科学紧密相连，借由非线性科学的发展，混沌动力 学的研究工作者通过实验、仿真等手段在实际应用中取得了巨大的成绩，尤其在 混沌控制与混沌反控制中，一批学者作出了开创性的工作，如：e o f t 、g o r e b o g i 、 j y o r k e 提出了混沌控制的参数扰动方法，称之为o g y 方法：陈关荣、汪小帆等 人提出了混沌反控制理论，并最早研究了离散系统、连续偏微分系统、无限维系 统等系统的混沌反控制。目前，由于计算机技术的发展，使得一些复杂的仿真、 实验得以顺利的进行，混沌控制与混沌反控制已经逐渐形成了较为完善的理论系 统，混沌动力学在应用领域的研究成果已经同新月异。 在混沌动力学的理论研究工作中，经历了一个由简单空间、一维空问到复杂 电子科技人学硕士学位论文 空间、高维空间的研究与探索，人们首先研究了实直线、单位圆上的连续自映射 的混沌性，接着将其扩展到r ”空间及一般的度量空间上的研究( 见文献 1 4 】) ，由 于l i - y o r k e 混沌和d e v a n e y 混沌定义中都反映出了系统的拓扑性质，为了更好地 研究混沌的本质，研究工作者引进了新的研究工具拓扑理论。从拓扑学的角 度，学者们主要从两个方向研究了拓扑动力系统的混沌行为：一是通过遍历理论、 拓扑熵来研究拓扑动力系统的复杂性；二则是用拓扑理论来研究系统在各种不同 混沌定义下的混沌性以及不同混沌之间的相互联系，尤其是针对l i - y o r k e 混沌和 d e v a n e y 混沌的研究更为广泛。 l i - y o r k e 混沌和d e v a n e y 混沌两个混沌定义都涉及到动力系统轨道的周期性 及渐进性，而系统的混沌性态也正是由系统轨道的周期性及渐进性表现出来。在 混沌动力学中，对轨道周期性的研究已有很长历史，取得突破性的结果始于1 9 6 4 年s a r k o v s k i i 发现的s a r k o v s k i i 序；而对轨道渐进性的研究主要体现在对不规则集 合( s c r a m b l e ds e t ) 的研究。下面就具体介绍混沌动力学在这两方面的研究现状。 1 2 1 轨道周期性研究 不论是研究系统的简单性、稳定性还是研究系统的复杂性、混沌性，都涉及 到对系统轨道周期性的研究。就研究系统的混沌行为而言，不论是对系统进行混 沌控制还是进行混沌反控制，其基本方法也都是基于对系统轨道周期性的研究。 事实上，一个混沌系统中，混沌吸引子内嵌着大量的不稳定周期轨道，它们在混 沌动力学系统演化的过程中一直存在着。除此之外，由于混沌系统的遍历性，混 沌轨道还将经过或接近这些周期轨道中的任意一个。混沌轨道的真实运动是在各 个不同的不稳定周期轨道之间进行随机的变换。因此，混沌运动可以直接地想象 为：系统在不稳定周期轨道附近作近似于周期的运动。稳定的和超稳定的周期轨， 往往对应于实际问题中能够观察和易于计算出来的周期现象。因为这种周期现象 不因初始数据的不够准确和计算误差的微小扰动而有显著的变化。于是，稳定和 超稳定的周期轨的存在性，自然成为大家所关心的事。 对稳定周期轨和超稳定周期轨的研究可以更好的了解倍周期分岔现象以及其 混沌现象，而系统周期轨的稳定与否会随着系统参数的微小变化而发生改变。1 9 6 4 年，s a r k o v s k i i 在文献 2 】中指出区间上单峰函数的超稳定周期轨的出现顺序符合 s a r k o v s k i i 序。1 9 7 8 年，美国物理学家f e i g e n b a u m 对l o g i s t i c 映射六( 力= 4 2 x ( 1 一功 的超稳定周期轨进行了研究，从而全面研究了倍周期分翁现象。f e i g e n b a u m 在文 4 第一章绪论 献【4 】中发现，当且= 0 5 时出现超稳定的不动点，当五= 0 ，8 0 9 0 时出现超稳定的2 周期轨，当丑= o 8 7 4 6 时出现超稳定的4 一周期轨，随着参数值的增加，还会出现超 稳定的矿周期轨及超稳定的3 周期轨，而3 周期轨则往往意味着混沌。文献 【5 , 1i 1 4 】也通过对系统轨道周期性的研究讨论了动力系统的一些混沌性。 为了在更广阔的空间中得出类似于s a r k o v s k i i 序这样奇妙的结论，一些学者试 图在更复杂的空间上取得突破，文献【6 】讨论了一类连续体上连续映射的周期点，文 献 7 】讨论了可降映射的周期点。在这些空间上对轨道周期性的研究虽然困难重重， 但一旦得到某些优秀的结论很可能会开创出混沌理论研究的新局面。 1 2 2 拓扑传递系统的研究 拓扑传递性是动力系统的一个全局性质。尽管一个拓扑传递的动力系统其局 部满足诸如存在吸引不变集等性质，对于整个系统而言系统仍然是不确定的，例 如，有些拓扑传递的动力系统具有稠密的周期点集，而有些系统可能是不含周期 点的极小系统。拓扑传递的概念最早由q d b i r k h o f f 提出。 随后，很多学者对不同空间上( 例如：实线段、圆周、紧空间等) 的拓扑传 递系统做了进一步的研究，探讨了一些特殊的具体跌射在拓扑传递条件下的性质， 得到了在这些空间上的系统是拓扑传递系统的若干等价命题( 见文献 1 4 】) 。除此 以外，人们还进一步研究了具有拓扑传递性质的系统的拓扑共扼性、拓扑熵及混 沌性。 关于拓扑动力系统混沌性态的研究可以追述到r u e l l e 和t a k e n s ，在文献【1 5 】 中，他们认为混沌系统便是对于初值敏感依赖的拓扑传递系统。李天岩和y o r k e 在文献【1 中则认为一个系统中如果有一个不可数的l y - 不规则集合( s c r a m b l e d s e t ) ，这个系统则是混沌的。d e v a n e y 在文献 5 1 q 将具有对初值敏感依赖的周期 点稠密的传递系统定义为混沌系统。然而许多作者发现，周期点稠密的传递系统 本身就具有对初值的敏感依赖性。黄文和叶向东在文献【1 l 】中研究了紧度量空间中 具有周期点的传递系统中的混沌现象，指出这类系统在l i - y o r k e 意义下是混沌的， 解决了这个长期未解决的问题，其论证方式简洁而明快。麦结华在文献 1 6 中则用 构造性的方法，指出紧度量空间中，具有周期点的拓扑传递系统如果对初值敏感 依赖，则存在比l i y o r k e 混沌更为严酷的条件下的不规则集合。熊金城等人在文 献【1 7 】中用有别于l i - y o r k e 混沌的语言描绘了拓扑混合、拓扑弱混合以及拓扑混合 的保测变换中产生的混沌现象。熊金城还在文献 1 3 1 研究了拓扑传递的幂系统 电子科技火学硕士学位论文 中产生的混沌现象，指出在这一类系统中轨道对于时间的异常依赖方式其异常程 度远大于通常所说的“l i y o r k e 混沌一中所描述的；并且推广了“对于初值敏感依 赖”这一概念，并且讨论了这种广义的对于初值敏感依赖的传递系统中产生的混 沌现象。 1 3 本文的选题和研究内容 动力系统研究的核心问题是研究轨道的渐进性及拓扑结构，动力系统的混沌 性态也通过系统的这两个特性表现出来。由于在混沌动力学中，对系统的周期性 研究能够反映出系统的l i y o r k e 混沌性；同时，系统轨道的渐进性则影响到系统 的l y - 不规则集合的存在性及不规则集合的特征，而不同的l y - 不规则集合的存在 性则意味着不同的l i y o r k e 混沌系统。因此本文希望解决的问题就是：通过研究 系统的周期性及渐进性来探究系统的混沌性。 对l i y o r k e 混沌的研究发展到现在，由于各种混沌定义的出现，为了研究系 统的各种混沌性及不同混沌定义之间的关系，人们开始关注系统的回复性、渐进 性。因此，对系统是否存在着l y - 不规则集合的研究就显的尤为重要。 本文希望从拓扑学的角度，针对l i y o r k e 混沌与d e v a n e y 混沌两种混沌的特 点，研究拓扑传递系统中是否存在着l y - 不规则集，若存在又具有何种特性? 基于 对此的研究，是否能够发现不同混沌之间的关系? 由于前人对拓扑传递系统及不 规则集合均有研究，其中，黄文和叶向东证明了具有周期点的紧致的拓扑传递系 统中存在着不可数的l y - 不规则集，但并没有直接构造出这样的l y 一不规则集合。 那么，拓扑传递系统中的l y - 不规则集合到底是由具有什么样特性的点构成的呢? 拓扑传递系统中的l y - 不规则集合又具有什么特殊的性质呢? 基于这一出发点，本 文在文献 1 1 的基础上讨论定义在完备度量空间上的拓扑传递系统的l y 一不规则 集，进而由此探讨拓扑传递系统的混沌性及各种不同混沌之间的联系。 另一方面，由于l i y o r k 混沌的最早研究始于对一维动力系统的研究，到后来 由于对l o g i s t i c 系统混沌性的系统研究而取得了突破性的进展，并开创了新的研究 领域。同时，l o g i s t i c 映射也是在实际应用中采用较多的一种系统，具有很强的应 用价值。本文集中精力研究与l o g i s t i c 映射具有相似特性但又更为广泛的一类系统 单峰函数族的超稳定周期轨的一些特性。而早在1 9 6 4 年，s a r k o v s k i i 就指出 了区间上单峰函数的超稳定周期轨的出现顺序符合s a r k o v s k i i 序；1 9 7 8 年，美国 物理学家f e i g e n b a u m 又对l o g i s t i c 映射的超稳定周期轨进行了研究，得到了该映 6 第一章绪论 射出现超稳定2 周期轨的参数区域。而本文则反其道而行之，试图得出单峰函数 族出现非超稳定奇数周期轨的参数区域，使得当重新设计系统时选择参数于这样 的区域之外，系统便不会出现混沌。 7 电子科技大学硕士学位论文 第二章相关背景知识介绍 本章给出拓扑动力系统中的一些基本概念和结果。这主要是为后继的讨论作 准备。 2 1 动力系统的一些基本概念及有关结论 2 1 1 动力系统 动力系统的研究主要是从数学的角度研究物体的运动规律，它偏重的是运动 的某些较为长期的规律的研究，例如研究运动的趋势，运动的极限性质，运动的 周期性，返回性，以及根据运动的短期规律探索运动的长期规律。 若考虑空间的 拓扑结构或度量结构，且考虑运动的连续性，那么，相应的动力系统便是拓扑动 力系统。假如所考虑的空间还具有光滑性，所考虑的运动还具有可微性，那么， 相应的系统便是微分动力系统。假如我们关注系统的每一个时刻的状态，那么， 相应的便是时间参数连续的动力系统( 连续流) 。当我们只是间断地观测运动系统 的状态时，相应的便是离散动力系统。离散动力系统可以由一个映射产生，它的 表达方式比较简洁，但它的许多思想方法，概念及结果都与其他形式的动力系统 ( 如连续流等) 有相似之处。因此，人们可以通过离散动力系统去了解一般的动力 系统理论。 经典的动力系统理论十分重视运动系统的稳定性的研究。在今天，这仍然是 个热门话题。不过，近年来人们发现了许多动力系统中存在一种既非稳定也非不 稳定的更复杂的现象一混沌现象。动力系统的混沌成了众多学科关注的研究对象。 设x 为紧致度量空间，f ：x x 是x 上的连续自映射。可以看作是x 上 的一个作用：点工x 在厂作用下生成像点厂( 工) ，厂o ) 仍然是x 中的点，厂可以 继续它的作用，生成像点厂( 厂( 石) ) = f 2 ( 力这个过程可以无限的进行下去。令 f o = i d ( 即x 上的恒等映射) 厂= 厂，f 2 = fo f ，一般地，对r l 2 ，f “= f ”1 。f 定义2 1 1 x 上连续自映射序列 厂o ，f lf 2 ) ，叫做“x 上由连续自映射厂 经迭代生成的离散拓扑半动力系统”，记为( x ，厂) ，简称动力系统。对任意x x ， 工在厂作用下生成的轨道 工，厂( 工) ，f 2 ( x ) ，) 记作啪，( x ) 如果o r b r ( x ) = x ，则称 第二章相关背景知识介绍 x 的轨道在x 中稠密。 定义2 1 2 设，厂) 是动力系统，如果闭子集kcx 对厂不变，即 f ( x o ) c x o ，则把厂在k 上的限制映射厂k ：x o 专蜀所生成的系统( 蜀，厂i ) 称 为( x ，厂) 或厂的子系统。 2 1 2 动力系统中轨道的周期性、回复性 在一个变化发展的系统中，若系统的某种状态会一再出现，则这种状态可称 为系统的周期状态。迭代中的周期轨，是描述现实世界中周期现象的重要数学模 型之一。动力系统的核心问题是轨道的渐进性质或拓扑结构，即当刀寸0 0 时轨道 的极限性质。下面我们引进轨道的周期性、回归性等回复性概念。 定义2 1 3 对于x x ，如果存在整数忍 0 ，使得”( x ) = x ，则把石称为厂 的周期点，并把厂“( 曲= x 成立的最小的正整数甩叫做它的周期。的全体周期点 的集合记作肋u ) 周期为l 的周期点叫做不动点，厂的全体不动点的集合记作 f i x ( f ) 定义2 1 4 设厂是线段，到自身的连续可微函数，而i 是厂的n 一周期点。 如果( 厂( x ) ) l ，。而 0 ，存在 0 ，使得厂( x ) au ( x ，s ) ， r 。_ 田 这里u ( x ，占) 是x 的以8 为半径的球形邻域，则把x 叫做厂的回归点，也即工x 为 回归点当且仅当l i m i n f d ( f ”( 工) ，x ) = 0 f 的全体回归点的集合记作r e c ( f ) 月田 定义2 1 6 对于x x ，我们把x 叫做厂的游荡点，如果存在g 0 ，使得对 于任意甩 0 都有f ”( u ( x ，8 ) ) nu ( x ，占) = o ；把x 叫做厂的非游荡点，如果工不是厂 的游荡点，即对v 占 0 ，存在 0 ，使得f ( x ，s ) ) n u ( x ，占) 0 。f 的全体 非游荡点的集合记作q ( 厂) ，称做厂的非游荡集。 从各类点集的定义易见： f i x ( f ) cp e r ( f ) c r e c ( f ) cf f 2 ( f ) ， 而且，容易验证，它们都对厂是不变的。 定义2 1 7 对于x x ，如果存在单调递增正整数序列 n i 。i - - o ，使得 l i m f 一( x ) = y ，则把点y 叫做x 的缈一极限点o x ) ；并称工的全体( 0 - - 极限点的 l - - ) o o 集合为z 的国一极限集，记作国( 工，n 容易看出缈( 工，门对厂是不变的。c o ( x ，f ) 描述了工的轨道的渐进性质和拓扑结 构，限制在国( x ，厂) 上的子系统是最重要的子系统。动力系统的重要问题的研究往 往归结为这样的子系统的研究。 下面给出上述各类集合的一些相关结论。 命题2 1 1 设x x ，则缈o ，厂) 是x 的非空闭子集。 命题2 1 2 设石x ，则x r e c ( f ) 的充分必要条件是x c o ( x ，f ) 命题2 1 3 设工x ，则对任意n 0 ，有 ( 1 ) f ( o ( x ：力) = 国( 工，厂) ； ( 2 ) v n n ，f ( c o ( x ，f ”) ) = c o ( f ( x ) ，f ”) ； ( 3 ) v ，l n ，国( x ，f ) = u ：= lc o ( f ( x ) ，f 。) 证明( 1 ) 对于任意y ( j ，j r ) ) ，存在z c o i x ，厂) ，使得厂( z ) = y 因为有 厂”o ) ) 的子列f n ko ) - - z ，由厂在点z 的连续性，则厂+ 1 i x ) - - f i z ) = y 从而， y c o ( x ，厂) 另一方面，对砂缈( x ，f ) ，存在子列厂 ( x ) jj ，可知序列 厂旷1 ( x ) ) 有一个收敛的子列矿叫o ) ) ，不妨设其收敛于点z ，则z 彩( 工，f ) 并且 f i z ) = y f i 彩i x ，厂) ) 故f i c o i x ，厂) ) = c o ( x ，门 ( 2 ) 对固定的n n ，对f i c o i x ，f ”) ) ，士c o ( x ，f 4 ) 使得f ( z ) = y 因有 f h ( x ) ) 乏。的子列厂k i n i x ) - - - z ，故 l o 第二章相关背景知识介纠 f k i ”+ 1 ( x ) = ( 厂_ “( x ) ) = 厂”( 厂( x ) ) 厂( z ) = 少， 即y 缈( 厂o ) ，厂”) 反之，对于任意y c o ( f ( x ) ，f ”) ，有 f 蛔( 厂( x ) ) ) 函的子列厂即( ( x ) ) jy ， 即f k , 肘1 0 ) jy 而序列 厂印o ) ) 乞必存在收敛的子列 k i l n ( x ) ) 墨。，不妨设 厂b ”( x ) 争z ，贝i jz 缈( 石，f ”) 并且厂”+ 1 ( x ) = ”( 厂( x ) ) 厂( z ) 又由f k l l 斛1o ) jy 与度量空间中极限的唯一性，有f ( z ) = y 因此， y f ( c o ( x ，厂“) ) 故f ( c o ( x ，厂”) ) = c o ( f ( x ) ，f ”) ( 3 ) 同上，对固定的以n ，v y c o ( x ，厂) ，存在矿“0 ) ) 的子列f 飞o ) 寸y 则对任意后n ，有心= g t n + ，其中吼为正整数，l 甩因，之，有无穷多 项，但的值r 有力个，故 & ) ：。中存在常值子序列) 使得对任意_ ，n ，= f 故 厂o ) - f q k l 肿o ) 一y ( 当歹j 时) ， 从而y o j ( f 7 ( x ) ，厂”) = u ：。缈( 厂o ) ，f ”) 反过来，对于v i ( 1 f 刀) ， c o ( f ( x ) ，f “) ，存在厂巾( 厂o ) ) 专y ，即厂印( 石) 专j ，所以，j ，缈( x ，f ) 命题2 1 4r e c ( f ) = r e c ( f “) ，v n n 证明显然，r e c ( f ”) cr e c ( j ) ，下面用归纳法证明对v n n ，都有 r e c ( f ) cr e c ( f ”) 当疗= l 时，结论成立设m 0 ，假设结论对力m 已经成立。下面证明 = m + l 时结论成立。 设x r e c ( f ) ，可知工c o ( x ，f ) d u n 例- i c o ( f 7 ( x ) ，f ”) ，若x 国( x ，厂厅) ，结论已经 成立。 下设0 p 刀是最小的整数使得工c o ( f ，( x ) ，f ”) ，易知 c o ( x ，f 疗) cc o ( f p ( x ) ，f 刀) = f p ( c o ( x , f 疗) ) ， 因此p 也是满足国( 工，f 刀) cf p ( c o ( x ，f 刀) ) 的最小正整数。 由于f “( c o ( x ，f 甩) ) cc o ( x ，f 刀) ，所以存在最小的正整数t 以使得 f ( c o ( x ，f 刀) ) cc o ( x ，f 刀) ，我们有厂( 缈( 工，f 刀) ) cc o ( x , 以) cf p ( c o ( x ，f 胆) ) ，不妨 设ps f ，并用卜p 作用上式，得到：f 卜p ( 烈工，f 刀) ) cf 。( c o ( x ，f 忍) ) cc o ( x ，广) ， 根据关于f 的假设，我们有p = t ，并f t f p ( c o ( x ，f 肛) ) = c o ( x ，f 以) 令刀= p q + ，0 ， 1 ，这时p n ，使得 d ( f ” ) ，f “0 ) ) 万，则称厂对初值是敏感依赖的。 下面将给出人们熟知的d e v a n e y 混沌的定义。 定义2 2 3 【5 】设x 为度量空间，f ：x x 是x 上的连续自映射。若厂满足 下列条件： ( 1 ) 厂是拓扑传递的； ( 2 ) 厂的周期点集在x 中是稠密的； ( 3 ) 厂对初始条件是敏感依赖的。 则我们称厂是d e v a n e y 混沌的。 然而，以上三个条件并不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系，其结果 如下： 定理2 2 i i 2 9 1 设x 为度量空间，f ：x j x 是x 上的连续自映射。若厂是拓 扑传递的且其周期点集在整个空间中是稠密的，