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南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题最初主要借助随机过程理论 来构造保险经营中的余额过程，并研究其破产概率、调节系数等问题随着保险公司 经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，单一险种的风险模型有其 局限性本文建立了多险种风险模型 本文主要研究了两险种风险模型第一章绪论部分对风险理论及其发展作了 回顾，说明将经典风险模型推广到多险种风险模型的意义所在，并介绍了两种典型的 处理方法和获得的主要结果：第二章是主体部分，详细探讨了两险神风险模型生存概 率的估计及计算，并得到了保险公司最大损失的一阶、二阶矩和破产前最大余额分布， 同时也简略讨论了多险种风险模型；第三章对全文作了回顾，提出下步要做的工 作 关键词：经典风险模型，多险种风险模型，鞅方法更新方法，拉普拉斯变换，模 型调节系数，强马氏性 一类多险种风险模型的若干结果 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sah o tt o p i ci nt h ep r e s e ma c t u a r i a ls c i e n c ea n dm a t h e m a t i c sr e s e a r c hi t h e l p st oc o n s t r u c tt h er i s km o d e l i nt h el i g h to ft h ei n s t r u m e n to fs t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n d t o s t u d yt h ep r o b l e m so fr u i np r o b a b i l i t ya n da d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t t h e s c a l eo ft h e b u s i n e s s e x p a n d si n c e s s a n t l y a n dt h e t y p e s o fi n s u r a n c ei n c r e a s e c o n s i d e r i n g t h e l i m i t a t i o n so ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n do t h e r g e n e r a l i z e d r i s k m o d e l s ，t h e m u l t i i n s u r a n c er i s km o d e lh a sb e e nc o n s t r u c t e d t h i st h e s i s m a i n l yd e a l sw i t ht w o i n s u r a n c e r i s km o d e l i nc h a p t e r1w eb r i e f l y r e v i e w e dt h er i s kt h e o r ya n di t s d e v e l o p m e n t t h es i g n i f i c a n c e a b o u tt h i s p a p e rw a s e x p r e s s e d c h a p t e r2 i st h em a i nb o d yo ft h ep a p e r ，w ee s t i m a t e da n dc a l c u l a t e dt h e s u r v i v a l p r o b a b i l i t y o fat w o i n s u r a n c er i s k m o d e l ；w ea c q u i r e dt h ee x p e c t a t i o no f m a x i m a la g g r e g a t el o s sa n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h es u p r e m es u r p l u sb e f o r er u i n ；a tt h e s a m et i m e ，w ed i s c u s s e dm u l t i i n s u r a n c er i s km o d e li nb r i e f i nc h a p t e r3w eb r i e f l y r e v i e w e dt h ew h o l e p a p e r a n d p u t f o r w a r dt h ef u r t h e rt a s k s k e yw o r d s ：c l a s s i c a lr i s km o d e l ，m u l t i i n s u r a n c er i s km o d e l ，m a r t i n g a l ea p p r o a c h ， r e n e w a la p p r o a c h ，l a p l a c et r a n s f o r m s ，m o d e la d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ， s t r o n gm a r k o v i a np r o p e r t y 南京航空航天大学硕士学位论文 1 - 1 背景 第一章绪论 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题作为保险精算的一部分，最 初主要借助随机过程理论来构造保险经营中的余额过程，并研究其破产概率、调节 系数、精算量等问题风险理论的研究溯源于瑞典精算师l u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表 的博士论文 1 ，至今已有一百年余的历史同时，c r a m e r 和其他一些瑞典学者也 在这方面做了大量的研究工作，因此，风险理论较为系统的形成应该说始于 l u n d b e r g 1 卜 2 和c r a m e r 3 卜 5 随着随机过程理论的逐渐系统和成熟，为风险理论的研究提供了强有力的方法 和工具，风险理论的研究取得了重大的突破和获得了众多优美的结果对风险理论 系统的论述当属g e r b e r 6 卜 1 8 近几十年来，风险理论的发展十分迅速，其研究范围迅速扩大风险模型的破 产理论是风险模型研究的重点问题事实上，我们可用以下随机过程 u ( f ) ：t 0 ) 来描述保险公司在t 时的余额： u ( f ) = 甜+ f ( f ) 一孝( f ) 其中，“似 啦：表示保险公司的初始准备金； f ( f ) ：表示( o ，t 】时间段内总的保费收入； 孝( f ) ：表示( o ，t 】时间段内总的索赔量； 这里，我们忽略了利息和其它除保费和索赔之外影响余额的随机因素随着时间t 的 变化，余额完全有可能在某一个时刻为负，当首次出现这种情况是，我们说保险公 司发生了破产当然，我们这里所说的破产不一定是保险公司无力偿还债务或者即 将倒闭，只是保险公司遇到了暂时的经营困难事实上如果把其它影响余额的随机 因素都考虑在内的话，当保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，余额u ( f ) 仍然可能为正的或者逐渐回复为正的 破产理论的一个主要课题就是研究初始准备金为材时的破产概率嘶) 、生存概 率瓤( o = l 一甲) 不过，我们所研究的破产概率仍是衡量一个保险公司及其 所经营某个险种的金融风险的极其重要的尺度，破产概率可以为保险公司的决策者 提供一个早期的风险警示，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供 依据因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都有着非常 重要的指导意义 一类多险种风险模型的若干结果 1 2 经典风险模型及其推广 破产理论的研究最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，它是一个余额 过程，其基本假设如下： 给定完备的概率空间( q ，d ，以“m ，回表示保险公司的初始准备金；常数 c 和，0 ) 表示单位时间收取的保费iu ( o 表示在( o ，t 1 时间段内的索赔次数， ( r ) ： 2 0 是参数为 的齐次p o i s s o n 过程；z 。表示第i 次索赔量，亿：f = l 2 ， 是 独立同分布的非负随机变量序列，它具有分布，0 ) ( f ( o ) 一0 ) 和期望_ 【正；假设 ( f ) ：t 0 和 z ；：i - 1 ，2 ，) 相互独立；令 ( ，( f ) = 秘+ c f s ( f )( 1 - 1 ) 鬯卫) 其中，s ( r ) ；z ，：称w ( t ) ：f 毛o ) 为余额过程 嗣 经典风险模型的重要结果为破产理论的发展奠定了坚实的基础，但由于经典风 险模型本身有着很多缺陷，例如，忽路了利率对风险模型的影响，对傈费收入的插 述不够合理，索赔次数的描述有待于改进，于是很多研究人员对经典风险模型进行 了推广，其中j - o r a n d e l l 1 9 、g e r b e r 、吴荣【2 0 】一1 2 8 、成世学【2 9 h 3 5 】等为风险理 论的发展做出了巨大的贡献 在过去大量的工作中常见的模型推广有以下几个方面： ( 1 ) 更新风险模型：将( 卜1 ) 中的齐次p 。- 泌删过程 ( f ) ：f o ) 推广为更新过程， 即：对v 5 ，t 2 0 ，分布函数p o + s ) 一( 5 ) 一起) 一o , l 2 ) 不定是均值为z t 的 p o i s s o n 分布，也就是说把齐o ( p o i s s o n 过程的点间距服从的指数分布用一般的 分布代替，用更一般的分布来描述索赔过程 ( 2 ) 常利率风险模型：在保险公司的日常经营中，除了保费收入和索赔支出对经营 状况有很大的影响外，还有个不可忽略的因数就是利率设利率为常数6 ，则 常利率风险模型可表示为： d u ( t ) = c d t + 6 u ( t ) d t - d s ( t ) ( 3 ) c o x 风险模型：将( 卜1 ) 中的齐次p o 沁d ，l 过程 ( ) ：f 田推广为c o x 过程， 即：费) t 口o ) ) ：f 王田，傅p ) ：f o 的强度已不是常量a 这样的推广有其 实际背景和意义：在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、 退保人数都带有随机性的，同时生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因 南京航空航天大学硕士学位论文 退保人数都带有随机性的，同时生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因 素，例如在机动车辆保险中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的影响，某些时 候还可能发生一些特大事故，因此，索赔次数的强度是随机改变的，因而用强 度恒定不变的齐次p o i s s o n 过程描述索赔次数存在很大的局限性，用c o x 模型 研究索赔次数及考虑相对于保费的影响，更符合实际经营的情况，其结果也更 有实际的指导意义 ( 4 ) 带随机干扰和随机利率风险模型：将( 卜1 ) 推广为更一般的模型，即： u ( f ) 一“+ f 厂( s ) 出+ f og ( s ) a r c ( s ) 一，： ( s ) 擅( s ) 其中，f ，g ，h 均是满足一定条件的随机过程，w 一( ( f ) ：t 乏o ) 是布朗运动 积分的第一项表示带有随机利率的保费收入；第二积分项表示随机干扰产生的 收入或赔偿；最后一项是索赔 ( 5 ) 离散型风险模型：考虑在实际中，保险公司对一些重要的业务是按某个时间段 来收取保费和支付索赔量的，这个时间段通常为一年例如，在人寿保险中， 保险以年为单位向投保人收取一定的保费和支付索赔量对保险公司来说一年 内仅可能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生类似这种情况 可用以下的复合二项风险模型来描述 鬯q ) u 。= u + 册- ，肛= 0 ，1 ，2 ， 箭 其中，u 是保险公司的初始准备金；，i - l 2 ，是第f 次索赔量，且 ，i - l 2 ，) 是一列独立同分布的随机变量序列：n 一 ( 疗) ：n 一0 ，l ， 是一列 具有参数p ( o ，”的二项随机序列 ( 6 ) 多险种风险模型：经典风险模型及上述几方面推广的模型有一个共同的局限性 就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只考虑经营一种险种时的生存概率但 随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，这些 单个险种的风险模型对于研究整个公司的生存概率就无能为力了本文建立的 多险种的风险模型，用不同分布的随机序列来描述不同险种的索赔量，既能反 映各个险种对公司总业绩的影响，也能反映保险公司总体的经营业绩因此， 采用多险种风险模型来描述上述情况，对于保险公司的经营及监管部门的监管 更具有实际意义当然，由于条件的复杂性，对模型的分析就更加困难了本 文采取从特殊到一般的科学研究策略，从两险种的风险模型入手，逐步推广到n 险种的情形 3 一类多险种风险模型的若干结果 1 3 研究问题 生存概率的估计和计算是本文研究的重点之一，而风险理论中最为重要的研究 课题之一就是破产问题，即余额取负值的情形，其数学定义为： 甲( “) = p i 醇u ( r ) 0 l u ( o ) = “ w ( u ) 称为初始准备金为u 时的破产概率，o ( u ) = 卜w ( u ) 称为初始准备金为“时的 生存概率 引入破产时r ： i i ( ，：u ( t ) o ) 下一jf 2 0 。 i m ，若上集空 就有 v ( “) = p ( 嵝u ( t ) 0 l u ( o ) = “) = p t 0 0 l u ( o ) = “) 因此甲( “) 又称为无限时破产概率而甲( “，t ) = p t 0 ) 是直接黎曼积分可积的，若 ( ，) 是任意有界函数，且对 于七= 1 ，2 ，令2 ( 。巢咖厅o ) ，石2 ( 。一恶。切 ( x ) ，当r _ o 时，两个和数 匹国) = 彳岛与孑( 柙) = 叩瓦绝对收敛于同一的有限极限 注：直接黎曼积分的概念和通常意义下的黎曼积分是有区别的，两种积分存在 密切的关系( 见文献 3 6 ( p 1 5 6 - p 1 6 0 ) ) 定理1 4 1 若 ( ，) 在 o ，o o ) 上黎曼积分可积，且 ( r ) 是单调递减的非负函数， 则 ( r ) 在【o ，) 上直接黎曼积分可积( 见文献 3 6 p 1 5 9 定理3 - 6 - 2 ( a ) ) 定义1 4 2 称随机变量丁服从格子分布，若存在d 0 ，使得p t = n d ) = l 性质1 4 i m ( f ) = g “( f ) n i l 证明见文献 3 6 ( p 1 2 5 - p 1 2 6 ) 定义1 4 3 称形式如下的积分方程为更新方程： 一( r ) = ( f ) + j o 一( f x ) d g ( x ) ，t o 这里，函数a ( ，) 是未知的； ( r ) 为在任意区间上有界的已知函数，g ( f ) 为分布函 数，且 ( r ) ，g ( t ) 在负轴上均为零 定理1 4 2 更新方程4 ( f ) = ( f ) + 4 ( f 一曲d g ( 有唯一的有界解 - 一类多险种风险模型的若干结果 a ( r ) = ( f ) + i ：h ( t x ) ( 甜( x ) ( 1 - 2 ) 证明见文献 3 6 ( p 1 3 6 定理3 4 2 ) 定理1 4 3 ( 关键更新定理) ：若厅o ) 是直接黎曼积分，g ( t ) 是某随机变量的分 布函数，且g ( f ) 是非格子分布， 令 爿o ) = 矗( ，) + i ：a ( t x ) d g ( x ) 则 ! i m 4 9 ) ： 去r 厅( f ) 出，2 e 互】 0 ) 表示保险公司的初始准备 金；常数c ，( 。，0 ) 表示单位时间收取第j 险种的保费：n 力) 表示第j 险种在( o ，t 】时 间内的索赔次数， q ( f ) ：r 皇o 是参数为a ，的齐次p o i s s o n 过程；z ：n 表示第j 险种 的第f 次索赔量， z f l - 1 , 2 ，) 是n 列独立同分布的非负随机变量序列；它具有 分布巧何 z o ) 和期望p ，且巧( 曲= ( 靠( j - 1 , 2 , ，呻；假设 n ) ：f z o ) 和 z j lt 1 , 2 ， t g 相互独立 2 3 相关概念及定义 为了叙述方便，仅考虑下面所定义的两险种风险模型给定完备的概率空间 ( q ，d ；设 1 ( f ) ：t 苫0 ) 和 n 2 ( f ) ：f 2 0 是参数分别为 和九的齐次p o i s s o n 过 程； z f l ：f - 1 ，2 ， 和弘f 2 ：f = 1 , 2 ， 是两列独立同分布的非负随机变量序列，其分 布函数分别为曩( 功和e ，均值为e z p 一帅e z , c 2 一肛2 ，且鼻u ) 一，：( z ) ，f - 1 , 2 ： c = c 1 + c 2 ，c 0 是一常数；u ( “ 0 ) 表示保险公司的初始准备金 fr 1n ，“) 令 s ( f ) 一薹z j ”+ 套z i ( 2 z ( f ) = c t 一5 ( f ) u ( f ) 一“十z o ) 假定2 3 1 ( 独立性假定) ： m ：f 芑o ) 、 也( f ) ：f 芑o 、 墨“，i ；1 , 2 ，) 、 墨”，i 一1 2 ， 两两相互独立 定义2 3 1 若随机变量z 的分布函数f ( 功满足：f ( x ) 1 - m e ，m 苫0 ，n 之0 称分布函数f ( 曲为随机变量盖的重尾分布；1 - ，( 曲为轻尾分布 假定2 3 2 ( 轻尾分布假定) ：分布函数e ( 砷和，2 ( 功都为轻尾分布 1 0 南京航空航天大学硕士学位论文 定义2 3 2 称p 为相对安全负荷 p = 号糍 d 假定2 3 3 ( 相对安全负荷大于零假定) ：相对安全负荷p 0 定义2 3 3 称满足以上条件的余额过程 u ( t ) ：f 0 ) 为两险种风险模型 由( 3 - 1 ) 及假定2 3 3 知 e r ( r ) 】= ( c 一 晓1 一五2 口2 ) r 0 ，v t 0 又由强大数定律便知： p 忙挲咖 = p f 慨华南n 丢i ( t ) z ；i = 2 1 1 1 ) _ l p ：姆率嘲) = p 嫩华南静瑚) = 从而户蚀半一”五鸬) = ， 则p l i m u ( f ) = + = 1 定义2 3 4 称r 为破产时 丁= 紫o o 攀：，看上集至 ( 3 2 ) 定义2 3 5 y ( “) = p t 0 ，为( “) 的l a p l a c e 变换 l ( s ，f a x ) ) = j 。e - “f j ( x ) d x ，v s o ，j = l ，2 ，为( 茁) 的l a p l a c e 变换 定理2 4 2 砸，卿) ) 2 南j f 瓦面1 丽虿西丽，刚 证明记z 五为石和五的卷积则 j 。o ( x 一2 ) r i g ( z ) = o4 ( x ) ，= 1 ，2 对( 4 - 2 ) 式取l a p l a c e 变换可得： s l ( s ，0 0 ) ) 一。( o ) ：互生工( j ， ) ) 一鲁邵，西( 蝴邵，z ( 瑚一争郇，o ( 砌郇，五( 砌 整理可得： 琊州蝴2 j 函虿瓦器蠢霜而而 由m ( o ) _ l 一击，知 州枷2 南j 西石面不1 暖瓦丽丽泠5 ) 证毕 南京航空航天大学硕士学位论文 推论2 4 2 当分布函数f ( x ) 和 数分布时， t ( 。) 服从参数分别为上) ，o 和上 0 的指 口t 口2 吣) - l + f - 争c + 击2a 垃c ( 2 一纽垃c ) z 纽半击a c 击+ 扣吣 c 2 、口。a ， 小学去2 x l a 半c 2 一半， z ccr 。 + 毕击2 c 者+ 扣吣：“， c 、口口， 1。 其中 厄： 驴一丢c 毒+ 毒一华，+ 孚 驴一 c 者+ 去一半卜芋 证明 蛳加眦幢删= 毒 代入( 4 - 5 ) 可得： 三( j ，中( “) ) = 西( 0 ) 墨l 墨2 c 锄而杀毒嚣耘 设方程s ：+ ( 士+ 一生丛) 。+ 上一l 一2 l ：o 的解为： 口l a 2 c 。 口j 口2 c 口2c 口j 。 屯：一当( 上+ 上一兰凸) + 延 铲一i i + i t 工) + 手 驴一圭c 毒+ 去一半卜巫2 其中五 11 2-11(+2 去 生。 去 丑。 二茎兰垒翌竺! 竖堡型塑童堑鲞 待定邵，中( 训= 中( o ) ( 孚+ 击+ 击) ( 4 - 6 ) 卸瓣 、7 5 ( s s 1 ) ( 5 一占2 ) 其中：a 、b 、c 为待定系数 比较系数可得： a 。上 西( 0 ) b 一争一杀两+ 去c 寺+ 丢， 一去c 去+ 寺一且，c 赤川一再亍i + i 一7 ) 可可+ 1 ) d 1 磊一睾( 上+ 与 2 2 中( 0 )、c t 1 a 2 7 +击c音+去一址蔓)(南+12 ac0 。， + 产一( 一+ 一三l + ) 、d 1口2一中( ) 。 由于m ( o ) 一1 一半，对( 4 6 ) 取印j a c e 逆变换可得： 吣小学+ 击x 半m 半， 一生型土生。 。( 土+ 上) e 。p s l u ) c 2 a 1 a 2 。 。 + 卜堑出一上。兰也( 2 一生出) 2 c2 4 ac 、 c 十坐出。 。( 土+ 上) 。e 。p ( s 2 u c 2 、口1 a 2 。 考虑到单参数的指数分布来计算索赔量的局限，d u f r e s n e 、h u g e r b e r 9 卜 1 0 采用多参数的混合指数分布来近似计算保险公司的索赔量即 p ( 戈) = 1 一罗a e 唧，z 0 一， 这里，0 0 ，( ，) 0 ，知( ，) 在( o ，o o ) 上是一单调递增凸函数 当r 足够大时，( r ) 2c j 。x e 8 奶( 功+ 互c o f o 。船“幔( 曲 1 g ：( o ) 2 鲁r 硼( x ) + 鲁f 螂( x ) ：尘出：上 0 ) 为两险种风险模型的模型调节系数，若r 满足以，为未知 数的方程： 鲁p 【l _ 矗( 凇+ 鲁i o e 1 咧凇= 1 为了叙述方便，我们引入记号u 凡f _ l ，2 ，= 1 ，2 ，) 其中i = l ，2 性质2 5 1 模型调节系数r 满足如f 不等式： 肌专秽焉铲 证明由模型调节系数定义有 等r e “ 1 _ 互o ) l a x + 等r e e l 1 一e ( 列出= 1 而小“鹤( x ) = l + r 小“【1 一只( x ) l a x ，i = 1 ，2 则( 5 一1 ) 可化为： 去r e “犯( z ) + c r1 0 4 e 6 幔( x ) = - + 瓮 ( f i - 1 ) ( 5 2 ) 空墨璺兰苎至奎兰堡主兰些丝苎 卜“犯( x ) = r ( 1 + m 1 2r 2 x 2 + 3 l - - ! r 3 x 3 q _ , ) 犯( z ) r ( 1 + 触+ r 2 x + 扣n 犯 t + r 卢，+ 吉r 2 ( 2 ) ，= ，z 上式即 f e 6 奶( x ) l + r “+ 月2 ：”，f ：1 ，2 ( 5 - 3 ) 将。3 代人佑。2 可得：r o ) 时，模型调节系数r 满 足如下不等式： 詹 一1 lil而cm ) - 、 “+ 七“7 证明当0 x s m 时，由于 三m e x p 肼) + l 一寺 一 m ：三手i 型+ 1 - 三 m 智i !m 小妻i l l 学 ； l + r t x f i - l x i ( o x m ) _ 二 、 一， = e x p r x ) 故e x p r x m e x p r m 小寺，哑s m 从而对( 5 2 ) 就有 1 + 2 j 1 + 广2 2 = 去r e x p 瓜 犯( z ) + 去r e x p m ) 幔( ，) 生c r j r 。f 三me x p ( 胧) + l 一旁奶( x + 象r ( 砉e x p r m ) + l 一旁幔( x ) = 玉c r 塑型m ! 塑组+ l 一且m 】+ 枭【塑学+ i 一告】 o c 牙m1 一苏1 一类多险种风险模型的若干结果 也即 证毕 = 象c 掣, u i + 1 ，+ 叁c 掣1 2 + 1 ， l 华上r m e x p 删- l 】c 。 、 。 由于v ， o ，土 。的指 数分布时，模型调节系数r 满足如下等式： 即 也即 证明 r ：上+ 上一互旦一! 弘2 呸 2 把r e “嘞，= 击小古2 代入( 5 - 2 ) 丑主+ 互土：l + 生堕 c r 古一rc r 古一r c r 评一0 + 土一兰。互皿十上一玉一与：0 q 呸 o q 呸吗 不妨设上 上，墨，如( o 上+ 上一玉丛+ ! b 一土一互纠 弛2 呸 2 c 2 j q 呸 c i 2 0 卜2 。卜2警警 上弛h | 勉上掘上弛 足 南京航空航天大学硕士学位论文 由：y - o r ) ( 6 4 ) 由( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) 知： e 一“= e v ( t ) i t t p ( t r ) + e 矿( r ) t t p ( t r ) ( 6 5 ) 注意到，当t f 时，u ( t ) 0 ，从而 矿f n = e - r e ( ) 1 堕塞堕主塾圣查兰堡主堂皇丝苎 这样在( 6 5 ) 两边令，呻+ 。o ，由单调收敛定理与日6 8 昭u e 控制收敛定理，即得： e 一8 “= e v ( t ) i t o o 】p ( 丁 ) + e y ( ) l t = o o p ( t = o o ) 再由y ( r ) 的定义及尸 蜘u ( f ) = + ，= 1 知：矿( 。o ) = o 口矗从而有 由此即知i - 中( “) = e 一8 。= e 【y ( r ) l 丁 o o p ( t ) e r 。 e e “7 l 丁 r附 一p0 ) r ( u 0至意 注毕再证 一类多险种风险模型的若干结果 ( 1 - 墨( z ) ) + 九- - 。- ( 1 一，2 ( 砷) ，z 苫0 ，不是一个密度函数 但由模型调节系数的定义可知： 严 鱼( 1 一f i ( 工) ) + 生( 1 一( 砷) 】是某个随机变量的密度函数 cc 在( 7 - 1 ) 两边乘以e “得 扩唧( “) 。f 扩【争( 1 _ e ( 砌+ 等( 1 - ( x ) ) x e r ( u - x ) v 一z ) 出 + ，一“【争( 1 一( 瑚+ a 。2 ( 1 - f 2 ( 瑚胁 根据关键更新定理得 l i m 扩唧( 炉鲁 h 其中6 1 _ f e y 【鲁( 1 - 只( 砌+ 睾( 1 _ f d z ) ) l d x a u 6 2 f 朋“【鲁( 1 - e ( z ) ) + 睾( 1 _ e ( x ) ) 】出 化简岛i f 4 ： 岛。f 沙f 【鲁( 1 一( 砷) + 鲁( 1 一，2 。) ) d x d u f e “f 鲁( 1 一v , ( x ) ) d