（机械电子工程专业论文）空间弹性体有限单元计算的面向对象方法研究.pdf

摘要 有限元方法是求解数理方程的一种数值计算方法。是解决工程实际问题的 种有力的数值计算工具。它在经典的力学理论基础上，以计算机为工具，通过有 限元软件来具体实现其应用。有限元软件的应用领域非常广泛，为了满足它多方 面的功能和性能的要求，必须采用一种合适的软件开发方法来研制大量的高质量 的有限元软件。有限元自身的模块性特点又使得有限元软件非常适合采用面向对 象的程序设计方法来开发。 与传统的有限元程序( 通常采用f o r t r a n ) 相比，面向对象有限元程序更加 结构化、更易于编写、更易于维护与扩充、程序代码的可重用成分更大，它为开 发大型有限元分析软件提供了一条新的途径。 本文在静态线性有限元系统中引入了面向对象的程序设计方法，介绍了面向 对象方法的基本概念及特征，并通过有限元的面向对象分析和设计，确定了一套 基本的有限元对象类及有限元的面向对象模型，本文设计的所有类均采用c + + 编程语言进行了实现，最终形成了一套f e m 类库，它们以动态连接库的形式存 在。c + + 语言作为c 语言的扩展，既具有灵活高效的特点，又具有面向对象的特 征，因而被广泛用于软件设计。动态连接库是适应w m d o w s 多任务应用程序的 出现而产生的一种代码和数据共享技术。动态连接库加载后，多个应用程序可以 共享它在内存中的一份拷贝，从而减小了可执行文件的大小并提高了代码的共享 程度。 在设计面向对象有限元程序中运用了基于a n s f i s oc + + 标准模板库( s t l ) 的技术，以向量模板类的特化继承对象为变容案数据容器，实现了可按计算实例 的离散结点数量动态存取数据的机制和数据容器的零容量启动，从而避免了运算 时系统对静态内存空间的超量占用。 关键字：面向对象类继承有限元s t l a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i sak i n do fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o dt o r e s o l v en u m e r i c a l e q u a t i o n i t s a l s oap o w e rt o o lt or e s o l v ea c t u a l p r o b l e m i n e n g i n e e r i n g b a s e o nt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c a lt h e o r y , i tu s e st h e c o m p u t e r a sat o o lt o r e a l i z ei t ss p e c i a la p p l i c a t i o nb yf e ms o f t w a r e t h ef i e l do ft h es o f t w a r e sa p p l i c a t i o n i sv e r ye x t e n s i v e i no r d e rt os a t i s f yi t sv a r i o u s r e q u e s t so nf u n c t i o na n dc a p a b i l i t y , a a p p r o p r i a t em e t h o dm u s t b ea d o p tt od e v e l o pam a s so fh i g hq u a l i t yf e m s o f t w a r e t h em o d u l a r i t yc h a r a c t e ro ft h ef e mm a k e si t v e r ya p p r o p r i a t e t o a d o p t t h e o b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n gm e t h o d o p f e m ) t od e v e l o pf e m s o f t w a r e c o m p a r e dw i t ht h eu a d i t i o a a lf e m ( n a s a l l yi nf o r t r a n ) t h eo o p f e m i sm o r e s t r u c t u r e d ，m o r ee a s i l yt ob ew r i t t e n ，m o r ee a s i l yt ob em a i n t a i n e d ，e x p a n d e da n dm o r e r e a u s a b l e ，o o pg i v e sag o o da p p r o a c hf o rt h ed e v e l o p m e n to fl a r g es c a l ef i n i t e e l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r e s y s t e m t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p t so fo b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n gt ot h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rl i n e a rs t a t i ca n a l y s i s i nt h ev i e wo f o o a d ( o b j e c t o r i e n t e d a n a l y s i sa n dd e s i g n ) m e t h o d , a s e to fb a s i cc l a s s e sf o rt h ef e m s y s t e ma r ef o u n d e d a n dt h e i r r e l a t i o n s h i pi sd i s c u s s e d t o o a l lt h e s ef e mc l a s s e sa i m p l e m e n t e di nc + + l a n g u a g eb e c a u s e t h eh y b r i dl a n g u a g ec + + i sa no b j e c t - o r i e n t e de x t e n s i o no f c f r h i s l a n g u a g ei n c l u d e sa u t h ef e a t u r eo fca n di sw e l ls u i t e dt os o l v en u m e r i c a lp r o b l e m s b e c a u s eo fi t s e f f i c i e n c y ) t h e y e x i s ti nt h ef o r mo f d u u d y n a m i c l i n k l i b r a r y ) s o m ee x a m p l e a r ee m p l o y e di nt h es i x t hc h a p t e rt os h o wu s et h ef e mc l a s s l i b r a r y t h e o o ( o b j e c t - o f i a n t e d ) t e c h n i q u e o fs t a n d a r d t e m p l a t el i b r a r yw i t h a n s i f l s oc + + i su s e di nd e s i g n i n gt h ep r o g r a m a n dt h ed y n a m i ca c c e s sm e c h a n i s m a n dt h es t a r t u pw i t hz e r oc o n t e n ta r er e a l i z e db y u s i n g t h e s p e c i a l i z a t i o na n d i n h e r i t a n c eo b j e c to f v e c t o rt e m p l a t ec l a s sa st h ed a t a - c o n t a i n e r w h i c hc a n c h a n g e t h e c o n t e n ti t s e l fa c c o r d i n gt ot h en u m b e ro fd i s c r e t i z a t i o nn o d ed a t ao fa c o m p u t i n g p r a c t i c a l i t y s o ，t h ef a c tt h a tt h eu s eo f t h es t a t i ce m s m e m o r y w h i c hi sn o tn e c e s s a r y i sa v o i d e d t h ea d v a n t a g eo fo b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n gm e t h o di nt h ef i e l do ff i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dt h e a d v a n t a g e o f c + + l a n g u a g e i n p r o g r a m m i n g a r e d e m o n s t r a t e di nt h i sp a p e r k e yw o r d ：o b j e c t o r i e n t e dm e t h o d ，c a l s s ，i n h e r i t ，f e m ，s t l n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j b 友王些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名舞舾签字日期卫卅每月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j b 左王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权拙友王些盍堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 窖枣近 签字日期：2 孵月8 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：j 泐关 签字日期：卯咔f i 月乃日 电话： 邮编： 北方工业大学学位论文 1 1 引言 第一章绪论 有限元方法是求解数理方程的一种数值计算方法。是解决工程实际问题的 一种有力的数值计算工具，有限单元法从上世纪5 0 年代至今，经过几十年的发 展，不断开拓新的应用领域，其范围已由杆件结构问题扩展到了弹性力学问题 乃至塑性力学问题；由平面问题扩张到空间问题；由静力学问题扩张到动力学 问题、稳定问题；由固体力学问题扩张到流体力学、热力学、电磁学等闯题。 如今它己成为广大科技工作者的有力工具，解决了大量实际问题。 这个方法在上世纪中叶首次应用以来，得到了充分的发展和应用。特别是 近十几年来，个人计算机的普及，使得计算机的硬件费用大大降低，同时计算 机的运行速度也日益提高越来越多的有限元程序可以在个人计算机上解决各 种复杂的工程问题。目前，有限元方法和有服元软件已成为许多高新科学和技 术的基本工具和有效手段 诸多的有限元分析工具，大多从上世纪7 0 年代通过使用f o r t r o n 语言和 过程化设计发展起来的，如著名的a n s y s 、m a r c 、n a s t r a n 、a d i n a 等有 限元软件，其功能比较完善、通用性较强，但是其过程语言和结构化程序设计 的特点造成如果系统的需求改变时，这些程序出现不能被移植和重用的现象， 甚至十分简单的改变就可以造成整个程序一系列代码的修改，特别是数据结构 的变化将产生贯穿程序一系列代码的更改，从而表现出程序设计方法上存在不 足。另外在具体应用中，若用新的有限元方法、新型结构元件、新材料等，必 须使原有程序适应当前的数据、函数和物理模型、即要求修改或补充已有的程 序，从而增加了程序的复杂性，大大降低了程序的效率并极大地增加了有限元 分析程序的维护的难度。再者，在分析几何形状复杂的过程实际问题时，这些 软件也表现出对复杂形体整体建模困难的缺陷。从而出现一般工程技术人员难 以掌握、不易应用的情况。因此采用先进的程序设计方法，使工程技术人员易 于掌握，乐于应用的有限元分析工具软件一直是科学计算领域软件开发所追求 的目标。有限元方法及其应用领域仍在臼新月异地发展，这要求以它为核心开 发的有限元软件具有高度的可扩性和可重用性，同时由于有限元软件越来越成 为c a d c a m 软件不可分割的部分，这要求有限元软件具有可嵌入其他系统 的能力，使用传统的方法开发有限元软件已经难以满足这种要求。而随着面向 对象程序设计方法的兴起，在科学计算领域内，有限元程序软件开发也迎来了 北方工业大学学位论文 新的发展挈机，这为近一步开发大型通用有限元软件奠定了基础。 面向对象的程序设计方法是在结构化方法的基础上发展而来的。作为当今流 行的程序设计方法，它具有许多优点。面向对象的程序设计思想将我们认识一 个系统的过程和方法同我们用于分析、设计和实现一个系统的过程和方法统一 起来，它采用“建模”的观点，使用统一的概念和术语，使得分析、设计和实 现一致，从而极大地提高软件成果的可再用性和可扩充性。 面向对象的方法采用的基本概念有类、对象、实例、方法、属性、继承、派 生、封装性、多态性、消息传递等。面向对象的观点认为，系统是组对象的 集合体，这些对象通过消息传递互相作用，完成特定的功能。 在面向对象的方法中，对象和消息传递分别表示事物及事物间的相互联系； 类和继承是适应人们思维方式的描述范式；类是一组对象的抽象，它将该组对 象的共同特征集中起来，包含属性和方法，由该类对象所共享：方法是作用于 对象上的各种操作：对象和类的基本特征在于对象的封装性和继承性，通过封 装提高了对象的独立性和信息的隐蔽性；通过继承体现了类与类之问的关系。 运用面向对象的思想进行程序设计大致要完成三个内容，即面向对象分析、面 向对象设计和面向对象实现。 面向对象方法和有限元方法的结合便产生了一个新的学科方向面向对 象有限元方法( o b j e c t - o r i e n t e df e m ) ，它的诞生必将大大地改进有限元软件的性 能，提高开发有限元软件的效率。本文将对有限元软件的面向对象设计方法进 行讨论。 1 2 面向对象有限元程序设计方法的国内外研究现状 面向对象有限元方法( o o f e m ) 的研究于始上世纪8 0 年代后期，它是- - f 初 露端倪的科学。 在国际上，d r r e h a n k ”1 和j w b a u g h ( 1 9 8 9 ) 提出了有限元程序设计的新 技术面向对象的方法。p e s k i n r l 和r u s s om f 用这种方法设计了三个基本 类：p r o b l e m 、d o m a i n 和e q u a t i o n 。m i l l e rg r ( 1 9 8 8 ) ，b r u c cw r f o r d e ，r i c a r d o 0 f o s c b i 和s i e g f r i e de s t i e m e r b lf 1 9 9 0 ) 研究了面向对象有限元程序的原型。这 个原型把对象分为自由度、节点、单元和材料等等，每一种对象都有独立处理 数据的能力。f o r d e 等还对面向对象的有限元方法和传统的有限元方法做了比较。 f e n v e sg l 嘲( 1 9 9 0 ) 在面向对象有限元程序设计的负责算法方面研究了用面向 对象的概念来对节点重新编号的方法。r i m a c k i e 4 l ( 1 9 9 2 ) 提出了扩展的有限 2 北方工业大学学位论文 元对象，并指出：面向对象的方法在有限元问题的应用中，可以提高有限元程 序的模块化程度，减少错误的产生，并使程序设计的思路更为清晰化。t h o m a s z i m m e r m a n n ，y v e sd u b o i s + p e l e r i n 和p a t r i c i ab o m m e t 5 1 ( 1 9 9 2 1 9 9 3 ) 研究了面向 对象有限元编程的控制规则，并用s m a l l t a l k 语言编制了面向对象有限元的原型。 j u j 和h o s a i nm u 【6 1 ( 1 9 9 4 ) 运用面向对象的概念来设计有限元的子结构。 d e y h e r a m e n d y 和t h o m a sz i m m e r m a n n t 7 l 运用对象的概念开发了一个可以 表达有限元数学方法的系统，这个系统使得矩阵、方程组可以由继承得到。d e o l i v e i r a es o u s a t 8 1 和i n g r a f f e a a r ( 1 9 9 4 ) 用o o f e m 求解了一个岩石裂缝和流体 的有限元问题。u d om e i s s n e r ，j o a q u i n t 9 1 和s c h 6 n e n b o m ( 1 9 9 5 ) 运用o o f e m 对 一个三维岩土工程问题进行了分析。h w e m e r ，m m a c k e r 和m s t a r k t ”1 ( 1 9 9 5 ) 研究了在隧道工程中如何用面向对象的模型来设计与分析问题。m a c k i e ( 1 9 9 5 ) 提出在o o f e m 中，f e m 用户建立结构模型；这个模型和有限元模型是分开的， o o f e m 的数据结构是一种分布式的数据结构，而不是传统的集中式的数据结 构。r c h u d o b a ，z b i t t n a r “l 和i l k r y s l ( 1 9 9 5 ) j 丑o o f e m 研究显式表述的有限元 计算。h b e r g e r u g a b b e r t 和p ：w b h i l c r ( 1 9 9 5 ) 研究了在岩土工程计算机系统中 如何用o o f e m 来生成有限元网格。z i m m e r m a n n f l 3 l 和e y h e r a m e n d y ( 1 9 9 6 ) 研究 了符号继承和自动编程的规则，并为初始边界值问题设计了一个新的有限元模 型。 国内学者在面向对象有限元方面所作的研究相对较少。崔俊芝l 、梁俊等 在 ) 一书简要介绍了面向对象有限元的基本概念，并 通过面向对象分析和设计提出了一些类，如形状函数类、高斯类、单元类等， 对象的组织也建议采用链表结构。闺本宽、曹中清和陈大鹏【1 4 1 ( 1 9 9 6 ) 尝试用 b o r l a n dc + + 进行一种面向对象有限元程序设计，着重进行有限元程序的类的划 分与定义，并将几个典型的类设计成类等级。如类n o d e 、m a t e r i a l 和l o a d ，类 g a u s s 与类s h a p e f u n 及其他类。项阳，葛修润 i s t ( 2 0 0 0 ) ( i f 究了一个内嵌c a d 系统的有限元分析系统，该系统采用面向对象的方法设计。魏永涛，于建华和 陈君楷【1 吣( 2 0 0 1 ) 将面向对象的程序设计方法引入有限单元法，通过构建四个数 3 北方工业大学学位论文 据类，完整地封装了有限元基本数据。周德亮【1 7 】，丁继红和马生忠( 2 0 0 2 ) 根据地 下水模拟有限元的计算特点，依照面向对象程序设计方法，用c + + 语言，建立 了矩阵类、单元类、节点类、有限元主类等。项阳，平扬，葛修润舯( 2 0 0 2 1 用c + + 语言按照面向对象的方法建立了有限元模型的类，相关的类和方法包括 处理矩阵的类、单元类、节点类、高斯点类、形函数类、网格类等。朱恒山 2 0 l ( 2 0 0 1 ) 用r o s e 软件工具，采用u m l 建模语言和c + + 语言编制了面向对象的有限元程 序。综上所述，面向对象的有限元研究还很不成熟，尤其在国内基本处于起步 阶段，计算机应用的发展是曰新月异的，计算机语言也有其诞生、发展和更新 的过程。某种计算机语言编写的软件在一定时期发挥了重要的作用，当语言有 了更新的发展时，软件也应该随之进入一个新的阶段。在中国，计算机软件的 发展也不应该落后于其他国家的发展水平。 一般认为，面向对象的有限元法也包括三个过程： 1 ) 面向对象分析 分析的目标是采用与有限元法专家思维一致的观点，找出描述有限元的对 象类，以及对象类之间的关系。 2 ) 面向对象设计 设计以分析的结果作为输入信息，补充其他有关对象类，在此基础上形成 所需系统。这一阶段要完成用户接口的设计、数据管理的设计、系统组织。 3 ) 面向对象实现 采用某种面向对象的程序设计语言实现软件系统。原则上讲，任何完备的 程序设计语言都可以用于面向对象的程序设计，但考虑到使用的方便性及开发 效率问题，一般采用面向对象的程序设计语言。如s m a u t a l k 语言、e i f f e l 语言 和c + + 语言等。 1 3 本文的研究工作 本文的目的是在有限元中引入面向对象的程序设计方法，运用面向对象的 观点分析有限元，建立有限元的对象模型，设计一套基本类体系，并用c + + 语 言进行实现最终形成一个供开发有限元软件使用的动链接库。 面向对象的有限元法是一种较新的有限元方法，可获得的相关资料较少， 本文力争在面向对象的有限元方面作出一些探索。通过面向对象的分析，笔者 认为，面向对象的有限元系统大致包括两类基本对象类： 一是与有限元直接相关的类：如结构类、节点类、载荷类、材料类、单元 4 北方工业大学学位论文 类等，而单元类又可以派生出杆元、梁元、平面八节点等参元等。 二是一些辅助类，如矩阵类、高斯积分点类等。本程序完全采用标准c + + 开发，它可以用于绝大多数的c 开发环境，并能与系统中的类继承使用，如 矩阵类( c m a t r i x ) 、高斯积分点类( c g a u s s ) 等。 本程序完全采用标准c + + 开发，标准c + + 语言是使具有程序跨平台跨编译 器运行的基础。在数据存取方面，采用抽象模板容器类、s t l 类和泛型指针技 术来取代常规数组，从而实现软件以具体实例动态定内存的数据灵活存取机制， 使计算系统实现带零内存启动 2 1 1 ；在类的构建方面，广泛采用类模板技术，使 模板类在初始化时能按具体实例确定数据类型，大大提高了程序对不同计算实 例的适应性；在程序功能的扩充和转变方面，广泛采用继承和多态性技术。 本文的所有类均在v c + + 6 0 下调试过，并进行了严格的测试。本文的工作 充分证明了面向对象方法在有限元系统中的必要性和优越性。 5 北方工业大学学位论文 第二章有限元法及面向对象程序设计方法中的重要概念 虽然本论文目的在于研究面向对象的程序设计方法在有限元软件开发中的 应用，而并非侧重于具体的有限元公式的推导，但对有限元方法及公式推导过 程的深刻了解，将有助于在研究中完成对有限元分析以及其中概念的抽象。同 时，本章还将对面向对象程序设计方法的重要概念作一简述。 2 1 有限元法及其发展简史 有限元法( t h e f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) 是求解微分方程的边值和初值问题，建 立在待定场函数离散化基础上的一种数值方法。它起源于固体力学，已在传热 学、流体力学、生物力学、电磁学、声学等其他数学物理领域得到了广泛应用。 使用这种方法解决问题对，要把所研究的区域分割为若干个有限大小的子 区域，称之为有限单元( 简称单元) 。在单元的适当位置上( 一般是在单元边界上) 设置若干节点。与此同时，把待定的场函数用在各单元内部连续而在边界上满 足一定条件的分片场函数近似。在每个单元内部，近似场函数由各个节点函数 值的插值函数来表示，因而，各分片场函数可以通过节点函数值彼此连接起来。 倘若能够用某种加权平均的方法，使全部定解条件得到近似满足，从丽确定各 节点处的近似场函数值，那么，定义在整个区域上的近似场函数也就决定了。 在上述离散化的过程中。描述场函数变化规律的微分方程( 或微分方程组) ， 变成一组代数方程，宜于用计算机进行求解。并且，只要满足了一定条件，单 元网格划分得愈细。其近似解就愈接近于真实的连续解。也就是说，用有限元 法可以得到待定场函数满足任意精度要求的近似解。 回顾历史，可以认为，r f o u l a n 矧在1 9 4 3 年提出的s t v e n a n t 扭转问题的 近似解法，是第一次用有限元法处理连续体问题。他将所研究的柱体截面划分 成若干个三角形单元，在每个单元内设出呈线性分稚的翘曲函数，用最小势能 原理求解，但由于当时求解手段( 主要是计算机技术) 的限制，此方法没有引起人 们足够的重视。随着计算机技术的发展，人们逐渐对此方法加以重视。1 9 5 6 年， m j t u r n e r ，r w c l o u g h ，r j m a r t i n t 和l j t o p p i 。1 将矩阵位移法应用 于飞机结构的平面应力计算。同期，j h a r g y r i sc “1 对弹性结构的基本能量原 理作了概括，推广，并予以统一，发展了矩阵位移法。1 9 6 0 年r w c l o u g h 2 s 1 正式引用了“有限元法”这一名称，以区别于有限差分法。以后，有越来越多 6 北方工业大学学位论文 的研究成果在科技刊物上发表，其中，我国数学及力学工作者也为有限元法的 发展作出过创造性的互作，并且得到了国际学术界的公认。1 9 6 3 年以后，经过 j f b e s s e l i n g 等人的互作，人们开始认识到变分原理是有限元法的理论基础。 从变分原理的角度来看，按所选取的独立( 自变) 函数的不同，可以将有限元 法分为五种模型： l 、协调模型：以位移为独立( 自变) 函数，使用的变分原理势能原理。据此 建立的单元称为协调元，早期的有限元基本上均属类，此模型也最常见、最常 用。 2 、平衡模型：以应力为独立( 自变) 函数，使用的变分原理余能原理，作为 独立函数的应力事先耍满足平衡方程和力边界条件，故单元也称为平衡元。平 衡模型有限元法是1 9 6 4 年由b f r a e u j s d ev e u b e k e 首先倡导的。 3 、混合模型：独立函数既包括单元内部的位移，又包括单元部的应力， 使用的变分原理是广义变分原理+ 据此建立的单元称为混合元。该模型可得到兼 顾位移及应力的效果。1 9 6 7 年，l r h e r n n a n n 提出的薄板三角形单元即属此 类。 4 、杂交模型：杂交应力模型于1 9 6 4 年由t h h p i a n r l a 首创，该模型 使用修正余能原理，在单元内假设应力，在单元边界上假设位移，可兼顾位移 及应力，具有较好的收敛性。胡海昌教授曾经指出：“所谓杂交应力模型，实质 上是在单元内部使用余能原理，而对整体结构使用势能原理”。此后p t o n g 又 提出了与杂交应力模型对偶的杂交位移模型。 5 、杂交混合模型：1 9 8 2 年，t h h p l a n 和d f c h c n 提出使用 h e l l i n g e r - r e i s e n e r 广义变分原理或h u w a 8 h i z u 广义变分原理建立杂交模型有 限元，事先可以不必考虑应力平衡条件，这种方法解脱了各应力分量之闾的耦 合，使得h 矩阵的整体求逆变为求其子阵的逆阵，计算工作量大大减小。由于 既需同时假设单元内部的应力和位移( 或应变) ，又需在单元边界上假设满足协调 条件的位移，所以p i a n 和c h e n 等人便将此种模型称为杂交，混合模型。对于唐 立民教授等倡导的多变量拟协调元，尽管构造此杆单元的原始数学构思并不 需要广义变分原理，而是直接令弹性力学的几何方程及单元之间的连接条件加 权平均满足，但杨海元教授指出：“按其数学本质而言，也应属杂交混合模型。” 有限元法的发展是与变分原理密切相关的，有限元法的应用也与计算机技 术密切相关的，因此可以说，理论上的变分原理和应用上的计算机实施，是有 限元法迅速发展和得到广泛应用的两大支柱。1 9 7 7 年，o ，c z i e n k i e n w i c z 2 s 5 在 7 北方工业大学学位论文 总结6 0 年代有限元法的发展与成就时说：“( 有限元) 这一术语，意味着直接用于 离散系统的标准研究方法。在概念上，使我们对方法的理解得到完善；在 计算上，可对各种问题运用统一的方法并研制出标准的计算程序。”有限元法发 展至今天，一方面，人们认识到：尽管有限元法理论研究已取得相当大的成就， 但仍有许多尚待研究的问题，如大应变大转动问题的有限元列式，流体力学中 的有限元法等；另一方面，人们也认识到，研制出易于维护、易于扩展功能、 包含各种有限元模型、易于将理论工作者多年来取得的成果付诸实施的、通用 的、高效的、完善的有限元程序系统已成为一个更为重要的问题。也就是说， 为了更进一步地推广和应用有限元法，必须大力发展有限元软件技术。 2 1 1 有限元法程序的内容 有限单元法的基本思路是将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体， 以单元节点的位移或节点力作为基本未知量求解。按选取基本未知量的不同， 可分为位移法，力法和混合法。位移法选取节点位移为基本未知量，力法选取 节点力作为基本未知量，而混合法选取一部分节点位移和一部分节点力作为基 本未知量。 有限单元法进行结构分析的基本步骤如下： 结构物的离散化 离散化是将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，即将结 构物看成有限个单元构成的组合体。按结构物形状的不同和分析的要求，选取 不同形式的单元，通常在单元的边界上设置节点，节点连接相邻的单元。结构 物的离散化时，划分的单元的大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容 量来决定。 二单元分析 所谓单元分析就是设法导出单元的节点位移和节点力之间的关系，既建立 单元刚度矩阵。在分析杆件结构时，其单元通常为等截面直杆，单元两端的节 点位移和杆端力之间的转换关系可直接利用结构力学导出的公式给出。而在分 析弹性力学平面问题时，每个平面单元内的任意点的位移需要按一定的函数关 系用节点位移来表示，这种函数称为位移函数或位移模式。我们选择的位移函 数应保证解的收敛性。因此建立合理的位移函数是单元分析的关键。位移函数 确定后，就可以利用弹性力学的基本方程推导出单元剐度矩阵。 此外，还需要按静力学等效原则将作用于每个单元上的外力简化到节点上， 构成等效节点力。 对每一个单元进行上述分析之后，可建立起单元刚度方程。 8 北方工业大学学位论文 三整体分析 整体分析就是将各个单元组成结构整体进行分析。整体分析的目的在于导 出整个结构节点位移与节点力之间的关系，b 口建立整个结构的剐度方程。 整体分析的步骤为：首先按一定的集成规则，将各单元刚度矩阵集合成结 构整体刚度矩阵，并将单元等效节点荷载集合成整体等效节点荷载列阵：然后 引入结构的位移边界条件，求解整体平衡方程组，得出基本未知量一节点位移 列阵；最后计算各单元的内力和变形。 具体的解题步骤可用框图1 表示 团 输入数据 计算单元刚度矩阵 形成整体剐度矩阵 0 形成节点载荷向量 + 引入约束条件 0 解方程组，输出位移 0 _ 卜算单元应力，输出结果 结束 圈2 - 1 有限兀程序框图 有限元程序是把有限元法理论和方法用计算机实旌计算过程的纽带，静力 分析通常有三个基本内容： 1 前处理( 数据输入阶段) 这个阶段主要是读入数据或输入简图、生成数据，以便形成有限元网格， 为有限元分析计算做好准备。在数据输入阶段，通常需要输入的数据有： 9 北方工业大学学位论文 ( 1 ) 节点数据：如节点编号、节点坐标、约束条件等。 ( 2 ) 控制数据：如节点总数、单元总数、约束条件总数等。 ( 3 ) 单元数据：如单元编号、单元节点序号、单元的材料特性、几何特性等。 ( 4 ) 载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。 2 分析计算 这个阶段主要是有限元矩阵的计算、组装、和求解。主要内容有： ( 1 】计算单元的刚度矩阵，简单的单元可直接利用显式，“对号入座”，组装 成总体刚度矩阵。 ( 2 ) 计算单元非节点载荷的等效节点载荷向量，“对号入座”，组装总荷载向 量。 ( 3 ) 根据已知的位移边界条件，进行约束处理，消除总刚度方程的奇异性。 ( 钔利用线性代数方程组的解法，对总刚度方程进行求解，得出结构节点位 移向量等。 3 后处理( 数据输出阶段) 这一阶段是对每个单元建立单元节点位移向量，再计算单元内指定截面的 内力或指定点的应力。目前，后处理的发展很快，主要是增加图形输出，如变 形图、弯矩图、剪力图、主应力分布图、等应力线等。 另外，尚需进行软件集成，设计友好的界面，便于用户操作使用。 2 1 2 建立有限元列式的变分格式和加权残数格式 变分格式和加权残数格式是建立有限元列式的两种最常用途径。前者用于 描述问题的微分方程存在极小化泛函的情形，而后者则直接对微分方程的加权 残差进行离散化处理，适用于一切形式的微分方程。在一定条件下，这两种途 径可获得相同的有限元列式。 1 建立有限元公式的变分格式 以各类变分原理为基础是推导大多数有限元列式最常用的方式。这一方法 的优点是：偏微分方程对应的泛函一般具有明确的物理概念，如总势能、总余 能等等；着眼于寻求广义解( 弱解) 从而降低了对函数光滑性的要求：变分原 理保证了广义解在网格细化的过程中会收敛到真实解。已有为数众多的文献详 细阐述了如何在固体力学、流体动力学( 位势流) 、热传导、电磁场等领域中建 立有限元分析格式。这里以小变形下弹性力学边值问题为例，简述用变分原理 建立有限元格式的一般过程。 线弹性力学的基本方程为： 1 0 北方j i ：业大学学位论文 平衡方程：t v + f ；0 几何方程：e 一妄( v “+ u v ) ( 2 1 ) 二 本构关系：t = c e 其中t 为c a u c h y 应力张量，f 为体力矢量，e 为小应变张量，t l 为位移矢 量，c 是本构张量。 若边界r 上存在划分r l u r 2 t r ，r , n r ：= m ，则边界条件提法为： t n 一，在r l 上 “一“ 在r 2 上 ( 2 2 ) 业已证明，在所有满足r 2 上边界条件的容许位移中，满足平衡方程和应力 边界条件的真实位移将使总势能泛函的变分为零( 泛函取极小值) 。 n 4 帮一一驴讹一旷们 协s ， 从( 2 3 ) 出发可导出弹性力学中的有限元平衡方程。为简单起见，假设整 个区域只划分为一个单元。设单元节点位移矢量为 u ，则单元内位移矢量为 u ：t n q u ( 2 - 4 ) 其中【n 】为位移插值函数矩阵。设e 对应的( 工程) 应变量为 e ，t 对应的 应力矢量为 t ， c 为本构张量的矩阵形式。借助于几何方程和本构方程，可 将应变 e ) 和 u 的形式。 目= 【b 】 u t ，= 【q u 在此基础上，( 2 3 ) 中的各项积分可表示成 u ) 的形式。 ；题p 尉q4 主题p 怛m q 。三题p 九丑九c 】吲m q 一丢“刚) 娜f u d q 。溺w p n j t f d q 一帮v t f 】 f 耵，刊r 。耶u m 】7 f a r - u j r 哆 尸) ， 、协 ；分别表示出体力与面力引起的等效节点力，若令 p = p ，+ p i 则总势能泛函数兀为： 兀( ) 一寺 7 晖】卜 7 p 北方工业大学学位论文 对总势能变分并令其等于零，得有限元方程： 【k 】 u ) = p ) ( 2 - 5 ) 在分析区域被划分成多单元情形下，对【k 1 还有存在单刚矩阵组装成总刚过 程。在引入位移边界条件后，【k 】是一个对称正定的稀疏矩阵。 2 建立有限元公式的加权残数格式 数学物理中的许多定解问题并不存在对应的变分原理。此时，加权残数法 就为建立有限元格式提供了另外一种途径。它不依赖变分原理，直接从问题的 控制微分方程出发，数学处理上直观、方便；依据权函数的不同选择可以导出 各种有限元格式。下面就以不可压缩的粘性流动为例，简单阐述使用加权残数 法中伽辽金格式建立有限元列式的过程。 在不考虑温度效应的情况下，不可压缩n e w t o n 流体的控制微分方程为： 平衡方程：p 等r v + j 曲 工，l 连续方程：v v - 0 本构方程：t 。一p l + 2 加 ( 2 6 ) 其中p 为流体密度，v 为速度矢量，t 为c a u c , h y 应力张量，b 是体力矢量， p 为静水压力，p 为动力粘性系数，d 一( v v + v v ) ，2 为形变速率张量。若边界为 r ，且存在划分l u r 2 f 、r , n r 一妒以及r 3 u l - r 、l n r 4 妒，则边 界条件的体法为： v 。v 1 口。p ( 2 7 ) ( 2 。8 ) n 为r 上的外法线矢量。设：、；是方程方程( 2 6 ) 的近似解，则平衡方程和 连续方程的加权残数格式为 孵( p d d f v - t v - 川d q ( 2 9 ) 矽，( v ；) d q o l z 北方工业大学学位论文 ( 2 - 1 0 ) 积分式中雕、矸0 是权函数，其不同形式可导出不同的加权残数格式。特别地， 令形；d v 就可导出平衡方程的伽辽金格式：对连续方程，令睨一勿。对上两 式进行分部积分，注意对称张量t 存在以下张量恒等式： r v 6 v - v ( r 6 v ) 一t 6 d 应用c a u s e 公式，并在r 2 和r 4 上应用相应的边界条件，得： 妙p 告。6 ；+ 瑚) d q2 扩。删q + 1 9 f ，删r 。：小， 毽p 却v d q 甄v n 4 0 a r ( 2 1 2 ) 式( 2 1 1 ) 即虚功率原理：惯性力与应力张量的虚功率之和等于外力的虚功 率；而( 2 1 2 ) 则表明静水压力产生的虚余功率为零。 同样，在一个单元内建立有限元列式。设单元节点速度矢量 v ) ，压力速度 矢量为 p ) ，则可建立单元内速度v 和压力p 的插值形式 t ) ，并且表示成节点 量 v ) 和 p ) 的形式 d = 【b 】 v ) ( 2 - 1 3 ) n 一 2 p 2 9 p 肛卜 1 1 e - p i ： o 0 【c 】嵋】i v 一伽h 日】扫) 在此基础上将积分式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 改写成矩阵公式。 f f j p d , v + 铷。够缈詈呻母v h 脚 。f f o f i p ( z 1 】7 彤 + p r 【】7 陋】【】d q n = 6 r 瞰】彤) + 6 彤r 瞵”】) 北方工业大学学位论文 t 6 d d q ；伽裔 d ) 7 m 7 d q - n = j 妒r ( 陋九c 】吲卜【b 】7 历) 旧】 p ) ) d q - - 6 妒) 7 【k ”】彤) + 6 妒) 7 隧”】 p ) 旷，鼬+ 巧，唧r 眵 n l r b d q + 俨九肿 = 6 i v 7 垆) 妒酽知q - 妒t 雕( 陪毒毒】7 旧，) 1 彤闷 = 6 p ) 7 晖，】彤) 驴n 删卜妒料1 川h 盯旬料7 豫) 其中【m 】为质量矩阵，暇”】为对流矩阵，瞵”】为扩散矩阵，隧 为速度 一压力关联矩阵， f ) 为外力( 体力和面力) 的等效节点力，速度梯度矩阵【】l 】 的定义为岛t 却i 0 x f ， 【k ”】为连续矩阵， f ，) 为边界流量向量。最后得到有限元方程组： 料【k 谶川卅阶网 珏 方程( 2 1 4 ) 构成不可压缩粘性流的速度压力有限元列式，它是一个非线 性方程组，我们注意到瞵”】，【k 9 r 、晖”】噼”】丁，系数矩阵的非对称性 给粘性流体有限元分析造成极大的困难。 从上面的推导过程可知，虽然建立有限元列式的数学手段及所处理问题的 物理含义各不相同，但不同的有限元分析过程却表现出过程和数据结构的相似 性。这种相似性为后面建立对有限元分析的总体抽象奠定了基础。 2 1 3 有限元软件技术 有限元软件技术及技巧，是与计算机软件技术的发展密切相关的而与有限 元分析方法本身( 计算分析的核心) 关系不大。随着计算机软件技术的发展，在有 北方工业大学学位论文 限元法分析计算程序中逐渐使用了数据结构，数据库管理，计算机图象学，计 算机辅助设计( c a d - c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ) 等方面的成就和方法，从而使传统 的单一的有限元法计算程序很快发展成为一个新的技术领域有限元软件技 术，并作