（机械电子工程专业论文）空间复杂曲面逆向工程的理论及实践研究.pdf

空间复杂曲面逆向工程的理论及实践研究 摘要 2 0 世纪9 0 年代以来，因为激烈的市场竞争，人们对产品研制 开发的时间和更新换代速度提出了越来越高的要求。运用新的设计 制造技术来满足市场需求已是大势所趋，采用逆向工程( r e v e r s e e n g i n e e r i n g ) 缩短产品的研制时间在设计制造领域应用地比较广泛。 基于某种可获得的现有产品或物理模型盼测量数据来重构设计 概念，实现对原样件的遥近和修改，从而达到复制该产品或获得新 产品的过程称之为“反求工程”或“逆向工程”。 为了方便研究空间复杂曲面的逆向工程，我选择了荫罩焊接模和 鼠标两个具有空间复杂曲面的零件进行逆向，希望能够获得一种新 的方法来完成空间复杂曲面的逆向问题。 首先需要对鼠标和荫罩焊接模的复杂盐面进行数字化，本文根据 自有设备情况选用三坐标测量机作为数字化设备，在对鼠标和荫罩 焊接模曲面进行分柝的基础上，提出了适合它们盼采样测量方法， 以期提高溅量效率和测量数据的有效性，根据这种测量方法编制了 三坐标自动溅量程序，实现了曲厩的数字化，从而形成点云；其次 使用绽程软件v i s u a lc + + ，依靠前一步测量得到的点云数据，在该编 程环境中使用c + + 编程完成衄面的重构，生成具有i g e s 标准图形接 口规范鲍文件；再次将生成的曲面导入p r o e n g i n e e r ，对生成的曲面 进行一系列的修补，使得鼠标曲面的设计以及荫罩焊接模实体的全 部设计得以完成；最后直接将鼠标和荫罩焊接模文件导入 m a s t e r c a m ，进行加工工艺的排制以及n c 代码的生成。 关键字：逆向工程，v c + + ，n u r b s ，p r o e n g i n e e r ，m a s t e r c a m s t u d yo nt h et h e r o ya n dp r a c t i c e o fr e v e r s ee m g i n e e r i n ga b o u tt h e s o p h i s t i c a t e dc u r v e ds u r f a c e a b s t r a c t s i n c et h e1 9 9 0 s ，b e c a u s eo ft h ef i e r c em a r k e tc o m p e t i t i o n ，t h et i m e o ft h ep r o d u c tr e s e a r c ha n dt h ec y c l eo ft h eg e n e r a t i o nh a v ei m p r o v e d v e r ym u c h i ti st e n d e n c yt ou s en e wm a n u f a c t u r i n gt e c h n o l o g yt om e e t t h em a r k e tn e e d s i nt h ef i e l do ft h ed e s i g na n dm a n u f a c t u r e ，u s i n g r e v e r s ee n g i n e e r i n gs h r i n k st h et i m eo ft h ep r o d u c tr e s e a r c h b a s e do nm e r s u r i n gn u m b e r so ft h ep r e s e n tp r o d u c ta n dp h y s i c a l m o d e l ，w ec a ng e tad e s i g nc o n c e p tt or e c o n s t r u c t 。t h em o d e l u s i n gt h i s c o n c e p t ，i tc a nm a k et h ea p p r o a c ha n dm o d i f yo ft h ep r o t o t y p ec o m e t u r e a tl a s ti tw i l lc o m p l e t eap r o c e s sc a l l e dr e v e r s ee n g i n e e r i n g ，w h i c h c a nr e p l i c a t et h i sp r o d u c to rg e tan e wp r o d u c t i no r d e rt or e s e a r c ht h es o p h i s t i c a t e dc u r v e ds u r f a c ec o n v e n i e n t l y ，i c h o o s et h em o u s ea n dw e l d i n gd i ef o rt h es h a d o wm a s kt op e r f o r mt h e r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，a n dh o p eg e t t i n gan e wm e t h o dt oc o m p l e t et h e r e v e r s ee n g i n e e r i n go ft h es o p h i s t i c a t e dc u r v e ds u r f a c e f i r s t ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt og e tt h ep o i n to fs o p h i s t i c a t e dc u r v e d s u r f a c e i nm yp a p e r ，ic h o o s et h ec o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n eb a s e d o no u rs c h o o l sc o n d i t i o nt oc o m p l e t et h i ss t e p b e f o r et h ea n a l y s i so f t h es u r f a c eo ft h em o u s ea n dw i e l d i n gd i ef o rs h a d o wm a s k ，ia d v a n c ea m e t h o dt of i tt h es u r f a c et og e tt h ep o i n t s i nt h i sw a yi tw i l lb em o r e e f f e c t i v et og e tp o i n t sa n dm a k e sp o i n t sm o r ev a l i d s ob a s e do nt h i s m e a s u r em e t h o d ，1w r i t et h ep r o g r a mw h i c hc a nb er u no nt h ec m m a u t o m a t i c a l l yt of i n i s ht h ew o r ka n dp r o d u c et h ep o i n t sc l o u d s e c o n d u s i n gt h ep r o g r a ms o f t w a r ev i s u a lc + + a n dp o i n t sc l o u dg o tb yt h e p r e v i o u ss t e p ，1w r i t et h ep r o g r a mt o c o n v e r tt h ep o i n t sc l o u di n t o i i s u r f a c ea n dp r o d u c eaf i l et h a tm e e t st h eg r a p h i ce x c h a n g es t a n d a r do f i g e s o nt h ef o l l o w e ds t e piu s ep r o e n g i n e e rt oo p e nt h ef i l eo fi g e s t oc o m p l e t et h ec a do ft h em o u s ea n dw i e l d i n gd i ef o r t h es h a d o w m a s k a tl a s ti u s em a s t e r c a mt o a s s i g nm a c h i n i n gt e c h n i c s a n d p r o d u c et h en c c o d e k e y w o r d s ：r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，v c + + ，n u r b s ，p r o e n g i n e e r ， m a s t e r c a m i i i 原创性声明及关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 刍起 日期： 2 q q 2 生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解陕西科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权陕西科技大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 兰题盥导师签名：刍皇丝日期：2 q q ) 生旦莎 1 绪论 1 1 逆向工程简介 传统的产品开发过程都是遵循严谨的研发流程，从产品功能规格的目标确 定开始，构思产品的功能需求，再进行各个元件的设计、制造以及零部件组装、 测试。在此过程中每个零件都保留有原始的设计图。目前是利用电脑c a d 图 档来进行保存工作。此类开发过程我们一般称为“正向工程”( f o r w a r d e n g i n e e r i n g ) 。 “逆向工程”( r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，简称r e l ， 也称反求工程。广义的 逆向工程包括影像逆向、软件逆向和实物逆向。机械制造领域中的逆向工程概 念是从软件工程中的“逆向工程”概念发展而来的，其原来的含义为：“r e v e r s e e n g i n e e r i n gi st h ep r o c e s so fa n a l y z i n gas u b j e c ts y s t e mt oi d e n t i f yt h es y s t e m s c o m p o n e n t sa n dt h e i ri n t e r r e l a t i o n s h i pa n dc r e a t er e p r e s e n t a t i o no ft h es y s t e mi n a n o t h e rf o r mo ra th i g h e rl e v e lo fa b s t r a c t i o n ”( 逆向工程通过分析一个主观系 统来识别其组成部分及其之间的相互关系，然后创建它的另一种形式或更抽象 层次上的表示。) i t - 2 j 1 1 1 逆向工程的应用领域 逆向工程技术在制造业、娱乐业、医学等广大领域都有广泛的应用。 1 1 1 1 工业设计 在汽车工业中，设计师喜欢先用粘土制作出汽车外型，然后反求得到c a d 模型。这是因为c a d 系统缺乏传统方法的触觉和视觉优势。目前的c a d 系统 在设计具有规则几何形状的零件时功能很强大，但是在设计自由曲面零件时则 不那么得心应手。c a d 系统对于自由曲面的创建及编辑修改等都不够方便。 设计师们在进行自由曲面的设计时，经常采用粘土等材料进行传统的手工设 计，然后利用曲面反求技术将其转化为计算机可用的c a d 模型。随着工业产 品个性化、艺术化的潮流，以及人体工程学的广泛应用，在汽车、家电、玩具、 墼亘型堇奎堂堡耋堡垒塞 生活用具、体育器械等诸多制造业领域里，将越来越多地需要使用具有自由曲 面的零件，曲面反求技术也将因此更广泛地被采用。 1 1 1 2 反向工程 出于种种原因，人们经常需要对已有的零件、工艺品等进行仿制，比如， 仿制古代的雕塑、佛像等作为工艺品出售。传统工艺，一般采用石膏翻制等手 段，是从物理模型到物理模型的方法。如果想采用c a m 的制造方法，或者希 望在计算机中对这些物体处理、编辑，就必须首先得到该物体的数学模型，那 么，曲面反求技术就必不可少了。 1 1 1 3 模拟仿真 为了对已有工件进行计算机热力学、应力应变等模拟和分析，必须将其由 物理模型转换为c a e 软件或仿真软件可识别的数学模型。 1 1 1 4 三维动画和虚拟现实 我们在观赏好莱坞拍摄的大制作影片时，常常感叹于其使用三维动画技术 营造的逼真的三维场景。这些三维动画中的物体如各种器物、房屋、汽车、飞 机等，有一部分是采用c a d 软件设计出来的，但像人物、动物、植物等形状 复杂、具有很多自由曲面的物体，则必须采用曲面反求技术来得到。这些由实 物反求得来的曲面模型在电子游戏和虚拟现实等领域内也是必不可少的。目 前，在美国甚至出现了专f - j 制作和出售这种模型的公司，较有名的有 w w w a v a i o n c o r n 等。 1 1 1 5 医学成像 c t 、核磁共振等医学设备所得到的数据是一层一层的人体不同剖面的二维 图像，直接根据这些图像来进行分析、诊断，非常不直观，需要医师具有较为 丰富的经验。采用曲面反求技术，则可以由这些二维数据生成人体的外部和内 部的三维视图，大大方便了医师的诊断工作。 2 1 1 1 6 快速原型制造 快速成形( r a p i dp r o t ot y p i n g ，缩写为r e ) 技术是根据积分的思想，采用堆 积的方式，直接由三维计算机模型制造复杂三维零件的新兴技术。这是一种由 计算机中的数学模型到现实的物理模型的最快、最方便的成形方法。 快速成形技术与传统制造技术相比，能直接由三维c a d 模型制造形状复 杂的零件模型，省去了许多道传统的工序，大大缩短了产品开发周期，降低了 生产风险，使产品迅速抢占市场：由于它是将复杂的三维形体转化为两维截面 来解决，因此它能制造实际上任意复杂形体的高精度零件，而无需设计和制造 任何工装模具：可以进行视觉效果的评估，验证c a d c a e 设计，在投产前找 出设计存在的不足之处：能直接使用所制成的模型可进行有限次的试验等等。 快速原型制造的应用范围包括工业应用( 工业设计模型、实装模型、各种 成品工艺用母型、树脂模具及小批量零部件) 、三维复印( 半身像、人体模型、 地形图模型) 和医疗领域( 手术前模拟、整形成型外科手术用模型、教育培训模 型1 等。曲面重构也是快速原型制造的关键技术之一。曲面重构用于r p 的产品 c a d 建模、r p 工艺过程的数值模拟和数字仿真。i s j 1 1 2 逆向工程在机械领域的应用 目前，机械领域中大多数有关逆向工程的研究都集中在实物模型的几何形 状反求，即对于那些由复杂的自由曲面拼接而成，在概念设计阶段很难用严密、 统一的数学语言来描述产品实物，通过对木制或泥制的初始模型，进行数据化 获取和模型重建等操作，从而获得其c a d 模型描述，称为“实物逆向”工程。 这是因为一方面，作为研究对象，产品实物是面向消费市场最广、最多的一类 设计成果，也是最容易获得的研究对象；另一方面，在产品开发和制造过程中， 虽已广泛使用了计算机几何造型技术，但是仍有许多产品，由于种种原因，最 初并不是由计算机辅助设计( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ，c a d ) 模型描述的，设计 者和制造者面对的是实物样件。为了适应先进制造技术的发展，需要通过一定 途径将实物样件转化为c a d 模型，以期利用计算机辅助制造( c o m p u t e r a i d e d m a n u f a c t u r e ，c a m ) 、快速原型制造和快速模具( r a p i dp r o t o t y p i n g m a n u f a c t u r e r a p i dt o o l i n g ，r p m r t ) 、产品数据管理( p r o d u c td a t a m a n a g e m e n t ，p d m ) 及计算机集成制造系统( c o m p u t e ri n t e g r a t em a n u f a c t u r e 堕酉型垫奎堂堡堂丝堡塞 s y s t e m ，c i m s ) 等先进技术对其进行处理或管理。 1 1 3 引进先进制造技术 市场全球化使国家、企业面临地竞争日趋激烈，市场经济竞争机制已渗透 到各个领域，随着科学技术地高度发展，科技成果地应用已成为推动生产力发 展和社会进步地重要手段。如何更快、更好地发展科技和经济，世界各国都在 研究对策，充分利用别国的科技成就加以消化吸收与创新，进而发展自己的技 术已成为普遍的手段。事实证明，技术引进是吸收国外先进技术，促进民族经 济高速度增长的战略措施，据有关统计资料表明，各国百分之七十以上的技术 都来自外国，要掌握这些技术，正常的途径都是通过逆向工程。中国是_ 个制 造大国，能够制造出很多高质量的机电产品，但在这些产品中鲜有自己的技术， 也没有自己的知识产权。实事求是的说，我们在相当长的时期里还不具备创新 能力，在这个阶段更多的是学习和模仿，积累自己的经验，为今后的创新打下 坚实的基础。因此，通过逆向工程，在消化、吸收先进技术的基础上，建立和 掌握自己的产品开发设计技术，进行产品的创新设计，即在复制的基础上进行 改进进而创新，这是提升我国制造业的必由之路。实际上任何产品问世，不管 是创新、改进还是仿制，都蕴涵着对已有科学、技术的继承、应用和借鉴。逆 向工程通过重构产品零件的c a d 模型，可对原型进行修改和再设计，这为产 品的再设计以及创新设计提供了数字原型，各种先进的计算机辅助技术手段为 此提供了强有力的支持。 引进技术的应用和开发一般分为三个阶段： 第一阶段为使用阶段：对引进的生产设备等硬件技术会操作、使用、维修， 在生产中发挥作用。对图样、生产工艺等软件应通过加工和生产实践的应用了 解其特点和不足之处，即做到“知其然”。 第二阶段为消化阶段：对引进产品或设备的设计原理、结构、材料、工艺、 生产管理方法等进行深入的分析研究，用科学的设计理论和测试手段对其性能 进行计算测定，了解其原料配方、工艺流程、技术标准、质量控制、安全保护 等技术，特别是掌握产品的关键技术，即做到“知其所以然”。 第三阶段为创新阶段：对引进技术消化综合，博采众家之长，结合深入的 科学研究，通过移植、综合、改进等手段，开发具有本国特色的创新技术，并 争取进一步实现某些技术从输入到输出的转化。 4 1 2 我国逆向工程的现状 由于技术保密，除非购买转让，否则要获得产品的图样、技术文档、工艺 等技术资料几乎是不可能实现的，而产品实物作为商品和最终的消费品，是最 容易获得的一类“研究”对象。在只有产品原型或实物模型条件下，可以基于 产品实物逆向工程对产品零部件进行生产制造，除实现对原型的仿制外，通过 重构产品零件的c a d 模型，在探询和了解原设计技术的基础上，实现对原型 的修改和再设计，以达到设计创新、产品更新之目的。对于其他具有复杂曲面 外形的零部件，逆向工程更成为其主要的设计方式，如汽车、摩托车的外形覆 盖件，通常由艺术家制作1 ：1 的木或陶木模型，然后测量表面数据输入计算 机，进行造型、修改、完善，最后经c a m 完成模具。 目前在国内，由于c a d c a m 技术运用发展的不平衡，普遍存在这样的 情况：在模具制造中，制造者得到的原始资料为实物零件，这时为了能利用 c a d c a m 技术来加工模具，必须首先将实物零件转换为c a d 模型，继而在 c a d 模型基础上设计模具；艺术品、考古文物的复制：人体中的骨头和关节 等的复制、假肢制造；特种服装、头盔的制造要以使用者的身体为原始设计依 据，此时，需首先建立人体的几何模型。在r p m 的应用中，逆向工程的最主 要表现力：通过逆向工程，可以方便地对快速原型制造地原形产品进行快速、 准确的测量，找出产品设计的不足，进行重新设计，经过反复多次迭代可使产 品完善。 图1 - 1 是逆向工程系统的工作流程图。从图1 - 1 的逆向工程流程可以看 出，逆向工程系统主要由三部分组成：产品实物几何外形的数字化、c a d 模 型重建、产品或模具制造、组成系统的设备软件主要包括： 图1 - 1 逆向工程系统的流程图 f i g l - 1t h ef l o wc h a r to fr e v e r s ee n g i n e e r i n g 测量机和测量探头：测量机+ 测量探头是进行实物数字化的关键设备。测 量机有三坐标测量机( c o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n e ，c m m ) 、多轴专用机、 多轴关节式机械臂等；测量探头分接触式( 触发探头、扫描探头) 和非接触式 ( 激光位移探头，激光干涉探头、线结构光等) 两种。 数据处理：由坐标测量机得到的外形点数据在进行c a d 模型重建以前必 须进行格式转换、噪声滤除、平滑、对齐、归并、测头半径补偿和插值补点等 数据处理。 模型重建软件( c a d c a m ) ：模型重建软件包括三类，一是用于正向设计的 c a d c a m c a e 软件，如s o l i d w o r k s 、i - d e a s 、g r a d e 等，但数据处理和逆 向造型功能有限；二是集成有逆向功能模块的正向c a d c a m c a e 软件，如 集成有s c a n t o o l s 模块的p r o e n g i n e e r ，集成有点云处理和曲线、曲面拟 合、快速造型功能的u g 和s t r i m l 0 0 等；三是专用的逆向工程软件，如 l m a g e w a r e 、p a r a f o r m 、g e o m a g i c 等。 c a e 软件：计算机辅助工程分析，包括机构运动分析、结构仿真、流场 及温度场分析等。目前较流行的分析软件有a n s y s 、n a s t r a n 、i - d e a s 、m o l d f l o w 、 a d a m s 等，c n c 加工设备：各种c n c 加工设备进行原型和模具制作。 快速成型机：产生模型样件，按制造工艺原理分有立体印刷成型、选域激 光烧结、熔融沉积造型、三维喷涂粘结、焊接成型和数码累积造型等方法。 6 产品制造设备：各种注塑成型机、轧出机、钣金成型机等。 反求技术自产生到现在，对反求理论、曲面理论的研究已经有很多了。对 于实现方法，也有一些学者在做。但是利用专业的反求软件把无规则的离散云 点拟和成高质量a 级曲面的研究，还是近几年才有一些文章出现，并且还处 于摸索阶段，无论是技术还是经验都还不成熟和完善。以往人们多数是用集成 在大型软件中的反求功能，如：p r o e 、u g 、c a t i a 等来进行曲面处理，但是 随着对反求质量要求的提高，这些功能远远不能满足曲面的质量要求，这就需 要利用一些专用的曲面反求软件( 例如可以自行设计) 与功能强大的c a d 软 件相结合，产生逆向工程的技术路线。现有的研究只是针对某个特定的产品进 行研究，并没有一个成熟稳定的方法。因此，本课题进行逆向工程技术路线中 各关键技术的研究是有一定现实意义的。 3 - 8 l 1 3 课题研究的主要内容 为了便于研究空间复杂曲面的逆向工程，我选择了鼠标、荫罩焊接模进行 空间复杂曲面的反求，希望能够获得一种新的方法来完成空间复杂曲面的逆向 工程。 研究的过程是以具有复杂曲面的零件为研究对象，对其进行实际的三坐标 测量，应用曲面设计理论和相关的专业知识进行系统的深入的分析与研究，从 而掌握其相关键技术。模型重建是逆向工程中的关键部分之一，所以提出一种 依靠自己设计的具有很强针对性的软件进行高质量曲面反求就显得十分必要 ( 由于时间有限，不可能编制对所有曲面都适用软件，所以我进行了简化，这 样就使得如图1 - 1 所示的流程简化；同时通过这种简化也可以使得我们重点关 心的部分得以体现，满足设计和生产的需要，当然这也是本软件一大优点) 。 然后再利用p r o e 等软件对零件进行c a d 设计，最后利用数控( n c ) 加工生产 出成品。这样一种逆向工程系统的技术流程，解决了这几个具有空间复杂曲面 零件的曲面反求、c a d 建模、n c 加工以及软件之间的数据交换等一系列问题。 最终以这个技术路线为基础研究一般复杂曲面体反求过程中的各种技术问题。 具体的流程如下： ( 1 ) 对零件的表明进行处理使其达到测量的要求，并且通过对零件的前处 理，研究针对不同的实物样件表面修复方法对其测量结果的影响。 ( 2 ) 零件原型的数字化。即利用三坐标测量机( c m m ) 对零件复杂表明的数据 进行测量。 7 ( 3 ) 根据n u r b s 曲面的原理使用v i s u a ls t u d i o n e t 编制软件进行曲面的 重构。 ( 4 ) 编写一个图形接口，使它生成满足诸如i g e s 图形交换标准规范的文件。 ( 5 ) 将生成的复杂曲面标准图形接口文件导入大型c a d 软件( 如 p r o e n g i n e e r ) 进行零件的c a d 。 ( 6 ) 将以上步骤所得到的模型导入专业的数控加工软件，如m a s t e r c a m 等， 进行零件的数控加工。 2 自由曲面拟合重构理论 在逆向工程中，无论是采用坐标测量法还是采用光学测量法，都只能测得 曲线、曲面的离散点的坐标值。传统的数据处理方法是将测得的离散坐标值与 理论坐标值逐点比对，得出误差数据。显然，这存在两个缺点：( 1 ) 测量坐标系 与理论坐标系必须严格统一；( 2 ) 应用坐标测量机测量时，数据处理前必须逐点 进行测头半径的修正。这不仅影响了测量精度，而且给测量本身带来了麻烦， 这种数据处理方法亟待改进。我们希望用一个可以用解析函数表达的光滑的连 续曲面来代替这些离散的数据并进行建模，进行建模的原因主要基于以下几 点：( 1 ) 在多数情况下被测曲面本来就是光滑连续的曲面；( 2 ) 经建模后，更便 于了解曲面的全貌，因为测得的只是一些离散的点，还有许多未测点；( 3 ) 在逆 向工程中，可以根据由模型或样件测得的离散数据，通过建模获得曲面数学方 程，形成可以控制加工的c a d 和c a m 文件；( 4 ) 在测得的离散数据中包含了 测量不确定度，通过建模实现平滑处理，有利于消除测量随机误差等的影响； ( 5 ) 可用于测头半径补偿。 对于自由曲面来说，因为其形状不规则，数学表达式复杂，另外在测量中 还有测量随机误差，故在曲面建模中我们经常采用b e z i e r 逼近插补法与b 样 条函数法，以及在它基础上发展起来的n u r b s 曲面算法1 5 l 。由于在本设计 中使用了n u r b s 曲线曲面原理，所以下面将重点介绍该种类型的曲线曲面。 2 1 曲线曲面的参数化 在通常的应用中，我们使用的是曲线曲面的参数形式，这就要求进行参数 变换。曲线与曲面的数字表示有多种形式，常见的曲线和曲面的表达式分为参 数表达和非参数表达两种。在计算机绘图和计算中，参数表达比非参数表达好 的多。 2 1 1 非参数表达 曲线和曲面的非参数表达又分为显式表达和隐式表达两种： ( 1 ) 显式表达 9 堕亘型堡叁堂堡主堂丝坌塞 如三维空间一条曲线，它的每个点r ( x ， y ，z ) ，使用显式表达时可以 将y 和z 表达为x 的函数： f y f 瞄) i z 一，僻) ( 2 1 ) 用显式表达来表示空间曲线的问题是：在此方程中，每一个x 值只对应一 个y 值和一个z 值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线，如圆、椭圆 等。同时，在曲线的某个点会出现斜率为无穷大的情况，如垂直直线，显式表 达会出现困难。 ( 2 ) 隐式表达 用隐式方程的形式来表示曲线和曲面，其形式为： ，o ，y ，z ) 一0( 2 2 ) 隐式方程可以表达多值曲线，但是无论是显式方程还是隐式方程，非参数 表达都存在不完善之处：a ) 表达的曲线和曲面都与坐标轴相关；b ) 难以表达曲 线的垂直点，即斜率无穷大处；c 1 两个曲线连接处，很难决定它的正切的连续 性，而正切的连续性在许多应用程序中是很关键的问题；d ) 对于非平面曲线和 曲面很难用常系数的方程来表示；e 1 不便于计算机计算和编程。 2 1 2 参数表达式 曲线和曲面采用参数表达是计算机图形中常用的方法。解析几何中，空间 曲线上一点p 的每个坐标被表示成某个参数h 的函数x i 工 ) ；_ ) ，i ) ， ) ；z z ( u ) 。 把三个方程合在一起表示成参数u 的矢函数： p ) 一i xyz 】i h m ) y ( u ) z o ) 】( 2 3 ) 它的每个坐标分量都是以参数“为变量的标量函数。这种矢量表示等价于 笛卡尔分量表示p ( u ) - x ( u ) l + ) ， y + z 0 ) k 其中，k 分别是沿x 轴、y 轴、z 轴正向的单位矢量。理论上探讨时，我们常把此种曲线简记为p t p ( u ) ， 即曲线的参数表示。类似的，我们把曲面表示成双参数u 和v 的矢函数，即方 程： p = p ( u ，v )( 2 - 4 ) 曲面的范围常用两个参数的变化区间所表示的u 1 ) 参数平面上的一个矩形 域：h 。s u 量u ：v ，s v s 如给出。这样我们就相应得到具有四条边界的曲面即矩 形曲面。正常情况下，参数域内的点与z 曲面概念上的点构成一一对应的映射 关系，如图2 - 1 所示。 1 0 u - 佚u 图2 - 1 曲面参数映射 f i 9 2 - 1p a r a m e t e rc o u n t e rp o i n to fs u r f a c e 与非参数方法相比，参数方法具有以下优点：a ) 具有几何不变性；b ) 易于 规定曲线、曲面的范围；c ) 易于表示空间曲线；d ) 易于计算曲线、曲面上的点 及其它信息；e ) 便于处理多值问题；f ) 易于处理无穷大斜率；g ) 便于曲线曲面 的分段、分片描述；h ) 提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度；i ) 为向高维 问题推广提供了可能性。因而能较好的满足形状数学描述的要求。 2 2b 样条方法简介 b 样条曲线是由b 样条基函数和特征顶点线性组合而惟一确定的。因此首 先我们需要了解b 样条基函数的定义和性质，b 样条基函数的定义方法不是惟 一的，如截幂函数的差商定义、d c b r c o x 递推定义、磨光法定义等。这里只介 绍一种比较简单的由d eb o o r 和c o x 分别导出的b 样条的递推定义，又称为d e b o o rc o x 递推公式。这个著名的递推公式的发现是b 样条理论的最重要的进 展。【8 。l o l 2 2 1b 样条基的递推定义 在区间p ，纠上，取分割a - x os 工，s 矗- b为节y 董( k n o t ) ，构造b 样条基 函数为式2 5 州。 ：薯鬟 f 删。羔阱x i + k + 1 _ - - x 。n i 舻j j + i x jj f + i + l z l “ 规定扣 ( 2 5 ) 其中b 样条基函数的第一个下标i 表示序号，第二个下标k 表示基函数的次数。 该递推公式表明，欲确定第f 个k 次b 样条基，需要用到t ，毛。，薯。共 k + 2 个节点。我们称区间i x , ，工。+ ，】为的f j o ) 支撑区间，也就是说n ，。( x ) 4 2 这 个区间内的值不为零。 2 2 2b 样条曲线的定义 定义：设有一组节点序列 x i 】( i - 咄2 ，厅) ，由其确定的b 样条基函数j 。o ) ， 有一顶点系列以k - 0 , 1 , 2 ，弹) 构成特征多边形，将v , 0 ) 与化) 线性组合，得到 k 次七+ 1 阶b 样条曲线，其方程为式2 - 6 。 ，o ) 。荟o 形6 ( 2 - 6 ) 其中，o ) 是参数x 的k 次分段多项式。 2 2 3b 样条曲面的定义 b 样条曲面可看做是两个参数方向的b 样条曲线的张量积。 若给定空间1 6 个点的位置矢量k o - 0 3 , 2 ，3 ；，- 0 , 1 , 2 , 3 ) ，并将它们排成一个 四阶方阵 v = 。 k - 圪- k 。 圪： k 2 2 k ： s k 3 3 j 其中每一列看做是特征多边形的顶点，这四阶方阵被称为顶点信息阵。将这些 顶点沿参数方向分别连成特征多边形，构成特征网格。 取方阵中的每一列元素为特征多边形的四个顶点，可构造4 条三次b 样条 曲线q ) q ，u ) 暑【0 3 ) 。， ) 2 ，3 ) ” ) 】 即可表示为 1 2 0 s s 1 ，一0 , 1 , 2 , 3 ( 2 7 ) 2 n ：0 m 裂辫娜 ( 2 - 8 ) 一【o ，q ) n l a ) n 2 j o ) 3 ，0 ) 、7 对于【0 ，1 】区间上的每一个“值再把q 0 0 ) q l ) q 2 0 ) q 3 ) 看成一个 特征多边形的4 个顶点，构造一条关于参数的b 样条曲线 r ( u ，w ) ；【q o ) q 1 ) q ： ) q ， ) 】 将2 7 式带入2 - 9 式，得 n o ，( 叻 n ，3 ( w ) n ：，( w ) n 。( 忉 r 0 ，叻一【n o j o ) 机，o ) n z ，0 ) n ，j 0 ) n o 。( 叻 ”( ，) 2 3 ( w ) 3 。( w ) ( 2 9 ) 0 s u 10 w s l j - 0 , 1 , 2 , 3( 2 1 0 ) 如果把参数h 和，都看成相互独立地在【0 ，1 】中变化，那么式( 2 1 0 ) 就是双 三次b 样条曲面片的方程。 式2 1 0 还可以写成 ， ，叻- u b v b 7 w 7( 2 - 1 1 ) 其中 u - 1 h 2 h 3 】w - 【1 ww 2 w 3 1 v = ， k - ，l 坞。 z k 2 2 k ： ， k j k 。 巧j 且三 6 141o 一3o30 363 0 1331 ( 2 - 1 2 ) 2 3n u r b s 方法的介绍 2 3 1n u r b s 方法的提出 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的贝齐尔( b e z i e r ) 1 9 7 1 年发表了一种由控制多 边形定义曲线的方法。设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形状， 而且形状的变化完全在预料之中。贝齐尔方法简单易用，又漂亮地解决了整体 形状控制问题。它是雷诺公司u n 工s u r f c a d 系统的数学基础。贝齐尔方法 在c a g d 学科中占有重要的地位，它广为人们接受，它为c a g d 的进步发 展奠定了坚实基础。贝齐尔方法仍存在连接问题，还有个局部修改问题。稍早 于贝齐尔，在法国另一家汽车公司雪铁龙( c i t r o e n ) 汽车公司的德卡斯特里奥 ( d e c a s t e l j a u ) 也曾独立地研究发展了同样的方法，但结果从未公开发表。 德布尔( d e b o o r ) 1 9 7 2 年给出了关于b 样条的一套标准算法。美国通用汽车 公司的戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 1 9 7 4 年将b 样条理论应用于形 状描述，提出了b 样条曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克服 了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参 数连续性基础上解决了连接问题。与控制多边形和节点相联系，1 9 8 0 年分别由 伯姆( b o e h m ) 和科恩( c o h e n ) 等人给出的节点插入技术是b 样条方法中最重要的 配套技术，其次，有福雷斯特( 1 9 7 2 ) 与普劳苑( p r a u t z s c h ，1 9 8 4 ) 第二章n u r b s 曲线曲面重构的基本算法和程序实现等人的升阶技术。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的 描述问题。然而应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近 似表示，不能适应大多数机械产品的要求。代数几何里的隐方程形式可以满足 这一要求。在参数表示范围里，福雷斯特( 1 9 6 8 ) 首先给出了表达为有理贝齐尔 形式的圆锥截线。波尔( b a l l ，1 9 7 4 ，1 9 7 5 ，1 9 7 7 ) 在他的c o n s u r f 系统中提 出的有理方法在英国飞机公司得到普遍的使用。然而，欲在几何设计系统中引 入这些与前述自由型曲线曲面描述不相容的方法，将会使得系统变得十分复 杂。唐荣锡( 1 9 9 0 ) 教授提到，工业界感到最不满意的是系统中需要并存两种模 型。这违背了产品几何定义唯一性原则，容易造成生产管理混乱。正因为如此， 在过去有理曲线曲面从未像非有理曲线曲面那样得到广泛的接受。人们希望找 到一种统一的数学方法。美国锡拉丘兹f s y r a c u s e ) 大学的弗斯普里尔( v e r s p r i l l e ， 1 9 7 5 ) 在他的博士论文中首先提出了有理b 样条方法。以后，主要地由于皮格 1 4 尔( p i e 9 1 ) 和泰勒( ( t i l l e r ) 等人的功绩，至8 0 年代后期，非均匀有理b 样条 f n u r b s ) 方法成为用于曲线曲面描述的最广为流行的技术。非有理与有理贝齐 尔和非有理b 样条曲线曲面都被统一在n u r b s 标准形式之中，因而可以采用 统一的数据库。国际标准组织( i s o ) 继美国的p d e s 标准之后，于1 9 9 1 年颁布 了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，把n u r b s 作为定义工业产品几 何形状的唯一数学方法。n u r b s 技术仍在发展中，一些问题如生成曲面时怎 样确定合适的参数化与权因子等有待进一步研究。| 9 。1 5 l 2 3 2n u r b s 曲线的定义 。扯啪卜茄 p 1 3 ) 其中墨。m ) ，i - 0 工，n 称为k 次有理基函数。它具有七次规范b 样条基函 数m 。o ) 类似的性质。 2 3 3n u r b s 曲面的定义 r o ，叻。薹蔫k r 制乜叻( 2 - 1 4 ) 其中冠屯心o ，w ) 是双变量有理基函数 r i k j 4 如忉甚趟趔盟( 2 - 1 5 ) 薹蔫m t m o ) 肌( 叻 从上式可以明显地看出，双变量有理基函数不是两个单变量函数的乘积， 所以。一般地，n u r b s 曲面不是张量积曲面。 2 3 4n u r b s 方法的优缺点 n u r b s 方法在c a d c a m 与计算机图形学领域获得越来越广泛的应用， 这是因为，正如皮克尔( 1 9 9 1 ) 所概括的那样，它具有下述优点： ( 1 ) 既为标准解析形状( 即前述初等曲线曲面) 也为自由型曲面的精确表示 与设计提供了一个公共的数学形式。因此，一个统一的数据库就能存储这两类 形状信息。 ( 2 ) 由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。权因子 的引入成为几何连续样条曲线曲面中形状参数的替代物。 ( 3 ) 计算稳定且速度相当地快。 ( 4 ) n u r b s 有明显的几何解释，使得它对有良好的几何知识尤其是画法几 何知识的设计员特别有用。 ( 5 ) n u r b s 有强有力的几何配套技术f 包括插入节点细分消去、升阶、分 裂等1 ，能用于设计、分析与处理等各个环节。 ( 6 ) n u r b s 在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变 的。 ( 7 ) n u r b s 是非有理b 样条形式以及有理与非有理贝齐尔形式的合适的推 广。 然而，n u r b s 也还存在一些缺点： ( 1 ) 需要额外的存贮以定义传统的曲线和曲面。例如，为用一个外切正方形 作为控制多边形定义一个整圆。至少需要7 个控制顶点和1 0 个节点。而传统 的表示只要求给出圆心、半径和垂直于圆所在平面的法矢。这意味着，在三维 空间，用n u r b s 方法定义一个整圆要求3 8 个数据，而传统方法只要求7 个数 据。 ( 2 ) 权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化。甚至毁掉随后的曲面结 构。 ( 3 ) 某些技术用传统形式比用n u r b s 工作得更好。一个例子是曲面与曲面 求交，那里特别难于处理刚好接触的情况。 ( 4 ) 某些基本算法例如反求曲线曲面上的参数值，存在数值不稳定问题。 然而这些问题并非n u r b s 所特有，除( 2 ) p - ，其它自由型方法如非有理贝 齐尔、b 样条以及孔斯和戈登的那些方案也都存在同样的问题。 n u r b s 方法是建立在非有理贝齐尔方法与非有理b 样条方法基础上的。 如把n u r