（应用数学专业论文）两类结核病模型的全局稳定性分析.pdf

【一 g l o b a ls t a b i l i t yf o rt w ok i n d so ft u b e r c u l o s i sm o d e l s b y d a n gs h u a i - j u n b s ( t i a n s h u in o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s i nt h e l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u oh a i - f e n g a p r i l ，2 0 1 1 伽69唧8 58删8 伽脚y j 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 储签名：澎i 懦 e i , - 期：驯年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 日期：，年歹月一7 日 l a , - 期：2 。i j 年6 月7 日 幅坼 琢霍 铄孙签签 者师 怍导 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 绪论 课题研究背景 预备知识 具有变化潜伏期的结核病模型稳定性分析 引言 模型建立 无病平衡点的全局渐近稳定性 地方病平衡点的全局渐近稳定性 数值模拟 第三章 具有一般接触率和耐药性的结核病模型稳定性分析1 4 3 1 引言1 4 3 2 模型建立1 5 3 3 正性和有界性1 6 3 4 无病平衡点的全局稳定性1 9 3 5 边界平衡点的存在唯一性2 4 3 6 边界平衡点的全局稳定性2 6 3 7 地方病平衡点的存在唯一性2 7 3 8 地方病平衡点的全局稳定性3 0 3 9 数值模拟3 4 结论 4 2 参考文献 4 3 致谢 4 6 附录47 i 五 1 1 2 5 5 5 7 8 1 摘要 结核病是由结核杆菌感染引起的慢性传染病，也是中国发病、死亡人数最多的 重大传染病之一几乎一半的中国人是结核杆菌的带菌者本文采用建立数学模型 的方法来分析结核病的传播机理，并且对模型的全局稳定性进行研究 第一章，主要介绍了结核病模型的研究背景，现状及常用的理论工具，给出了本 文研究所需的一些预备知识 第二章，研究了具有变化潜伏期的结核病模型利用再生矩阵方法，得到基本 再生数风，进一步得到当风1 时，系统存在无病平衡点，且是全局渐近稳定的， 当风 1 时，系统存在唯一的地方病平衡点，且是全局渐近稳定的最后，数值模 拟验证了理论分析的结果 第三章，研究了具有一般接触率和耐药性的结核病模型分别讨论了无病平衡 点，边界平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性通过对模型的全局稳定性分析， 得到了决定疾病绝灭与否的阈值条件r 1 和月2 最后，数值模拟验证了理论分析的 结果 关键词：结核病；基本再生数；l i a p t m o v 函数；全局稳定性 a b s t r a c t t u b e r c u l o s i s ，a ni n f e c t i o u sd i s e a s ec a u s e db ym y c o b a c t e r i u mt u b e r c u l o s i s ，i s o n eo ft h el e a d i n gc a u s e so fi n f e c t i o u sm o r t a l i t yi no u rc o u n t r y a l m o s th a l fo f c h i n e s ea r em y c o b a c t e r i u mt u b e r c u l o s i sc a r r i e r m o d e l sa r ep r e s e n t e dt oa n a l y z e t h es p r e a dm e c h a n i s mo ft u b e r c u l o s i s ，a n dt h e n ，d e t a i l e dq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa b o u t g l o b a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i ao ft h em o d e l sa x ec a r r i e do u t i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no f t h es u b j e c t ，a n dg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o n i nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，at u b e r c u l o s i sm o d e lw i t hv a r i o u sl a t e n tp e r i o d si sp r e s e n t e d a n ds t u d i e d t h eb a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r 硒i so b t a i n e db yt h en e x tg e n e r a t i o n m a t r i x t h e r ei sad i s e a s e - f r e ee q u i l i b r i u ma n di ti sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e w h e n 1 t h e n ，i fr 0 1 ，t h e r ei so n l yo n ee n d e m i ce q u i l i b r i u m ，w h i c hi sa l s o g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i nc h a p t e r3 ，at w o - s t r a i nt u b e r c u l o s i sm o d e lw i t hg e n e r a lc o n t a c tr a t ew h i c h a l l o w st u b e r c u l o s i sp a t i e n t sw i t ht h ed r u gs e n s i t i v eo fs t r a i nt ob et r e a t e di sp r e - s e n t e d t h em o d e li n c l u d e sb o t hd r u g - s e n s i t i v ea n dd r u g - r e s i s t a n ts t r a i n s g l o b a l s t a b i l i t yo fd i s e a s e - f r e ee q u i l i b r i u m ，b o u n d a r ye q u i l i b r i u ma n de n d e m i ce q u i l i b r i u m i ss t u d i e d a n a l y t i c a lr e s u l t so ft h em o d e ls h o wt h a tt h eq u a n t i t i e sr 1a n d 忌，w h i c h r e p r e s e n tt h e b a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r so ft h es e n s i t i v ea n dr e s i s t a n ts t r a i n s ，r e - s p e c t i v e l y , p r o v i d et h et h r e s h o l dc o n d i t i o n sw h i c hd e t e r m i n et h ec o m p e t i t i v eo u t c o m e so ft h et w os t r a i n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s oc o n d u c t e dt oc o n f i r ma n d e x t e n dt h ea n a l y t i cr e s u l t s k e yw o r d s ：t u b e r c u l o s i s ；b a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r ；l i a p u n o vf u n c t i o n ； g l o b a ls t a b i l i t y 第一章绪论 1 1 课题研究背景 结核病是一种古老的疾病，历史上对人类的危害触目惊心解放前民间称结核 病为痨病，并有“十痨九死”的说法新中国成立以来，党和政府高度重视结核病， 加强国际交流与合作，使结核疫情总体呈下降趋势但是，近些年来，由于多发耐药 结核、结核菌与艾滋病病毒的双重感染和流动人口增多，结核病疫情出现回升据 世界卫生组织评估，我国是世界上2 2 个结核病负担较重的国家之一，患者人数仅次 于印度排在第二位 医学专家表示，近年来因不规范治疗，耐药结核病问题日益突出，尤其是严重 耐药性结核病危害性可与癌症相当，已成为严重威胁人民健康的重大公共卫生和社 会问题耐药结核病给社会经济带来的危害性很大，一个普通肺结核患者如果不加 以控制每年将会传染1 0 - 1 5 人，耐药结核病患者不但会像普通结核病那样传染，而 且传染的都是耐药结核病，治疗时间将是普通结核病患者规范治疗时间的四倍以上， 治疗费用也约是普通结核病的1 0 0 倍而且，不规范治疗的后果严重，耐药结核病 患者如果得不到规范治疗，将发展成为耐多药结核病，甚至是广泛耐多药结核病，成 为比癌症还要可怕的不治之症，治愈率很低、死亡率极高；由于治疗有效药物的缺 乏和h i v 合并耐多药结核病的出现，都增加了治疗难度，加速了患者死亡 传染病的防治是关系到人类健康和国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定 量研究是预防工作的重要依据f 1 】传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与经济 社会发展，对传染病发病机理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出目前， 对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究 传染病动力学是进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾 病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映 传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模 拟，来分析疾病的发展过程，揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行的原因和 关键因素，寻求预防和控制的最优策略，为防制决策提供理论依据f 引 在 3 】中，c a s t i l l o - c h a v e c 和s o n g 关于结核病的模型提出了七个具有挑战性的 问题，研究模型的全局动力学行为就是其中之一在接下来的第二章和第三章，分别 给出了具有变化潜伏期的结核病模型，具有一般接触率和耐药性的结核病模型，并 且对这两类模型进行全局稳定性分析 1 两类结核病模型的全局稳定性分析 1 2 预备知识 为了后面推理的需要，我们在这- d , 节里以定义和引理的形式给出若干个已知 结论作为工具 设以下系统： 面d x = 巾，z ) ，z ( 亡。) = z 。，z r n ( 1 2 1 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解z ( t ) = z ( t ，t o ，x o ) 的存在区间是( 一o o ，+ 。o ) ， 另外，( t ，x ) 还满足条件： 厂( t ，z + ) = 0 即z ( t ) = z + 是( 1 2 1 ) 的解 定义1 2 1 若对任意给定的 0 ，都存在6 = 6 ( ，t o ) ，使得当i iz o z + l | 6 时( 1 2 1 ) 的解x ( t ) = z ( t ，t o ，护) 满足： z ( t ，t o ，一) 一z + l i t ，都有x t d 定义1 2 5 设有非自治系统 塞= ，( 屯巩冗d c r 研- 钟 ( 1 _ 2 - 2 ) 与自治系统 鬲u y = 夕( 秒) ，g ：r p 舻 ( 1 2 3 ) 满足解的存在唯一性条件，解的存在区间为( a ，+ 。) 若当t _ + 时，对v x d ，y ( t ，x ) 一致地趋向于夕( z ) ，则称系统( 1 2 3 ) 是系统( 1 2 2 ) 的极限系统：而系统 ( 1 2 2 ) 称为具有极限系统( 1 2 3 ) 的渐近自治系统 引理1 2 1 【4 】( 微分方程解的存在唯一性定理) 考虑c a u c h y 问题 2 兰州理工大学硕士学位论文 f 鲁砒巩 ( 1 2 4 ) 【z ( o ) = 护， 其中z 为册中的向量，是实变量t 和凡维向量z 的n 维向量值函数若 f ( t ，x ) 在开区域g rx 毋中满足下列条件： ( 1 ) ，在g 内连续，简记为f c ( g ) ； ( 2 ) ，关于z 满足局部l i p s c h i z 条件，即对于点p o ( t o ，x o ) g ，j g o = ( t ，z ) l it t oi n ，l l z z o l f b ) cg 和依赖于p o 点的常数l p o ，使得v ( t ，x 1 ) ，( t ，z 2 ) g o 有不等式 i i ，( t ，z 1 ) 一，( ，x 2 ) | | l 昂i l z l 一x 2 | l 成立，其中表示欧式范数 则c a u c h y 问题( 1 2 4 ) 在区间it t oi h 4 上存在唯一的解其中 4 血n ( 九，去) ， 一n ( 口，击) ， m = ，m a xl i 厂( ，z ) l i f t , x ) e g o 、。 引理1 2 2 1 1 】( l a s a l l e 不变集原理) 设y 是自治系统 面d x = ，( z ) ，f ec ( dc 彤，酽) ( 1 2 5 ) 的定义在开子集qcd 内的一个l i a p u n o v 函数，v 在豆上连续，令 e = 。qy 7 = o ) m 是系统( 1 2 5 ) 在e 中的最大不变子集，从q 内出发的任一正半轨r + ( z o ) ( z o q ) 恒在q 中且有界，则轨线r + ( 如) 的u 极限集u ( r + ( z o ) ) cm ，且有 t + t i 概m d i s ( z ( ，z o ) ，m ) = 0 引理1 2 3 【1 】设，c ( r 舻) ，g c ( 舒) 均满足局部l i p s c h i t z 条件，若系 3 两类结核病模型的全局稳定性分析 统系统( 1 2 2 ) 的任一解z ( t ) 均正向有界，且其极限系统( 1 2 3 ) 的平衡点e 全局 渐近稳定，则系统( 1 2 2 ) 的任一解z ( ) 都有 1 i m z ( ) = e t + 。 。 第二章具有变化潜伏期的结核病模型稳定性分析 2 1引言 结核病是通过空气传播的一种慢性疾病【3 】，它由结核杆菌感染引起，又称为“痨 病”结核病一般通过空气传播，当患者咳嗽、打喷嚏、说话或吐痰时，他们把结核 杆菌排放到空气中，只需要吸入少量杆菌就可造成感染，有些感染结核杆菌的人马 上患病，也就是说这些人不经过潜伏期直接患结核病，成为结核病病人【3 ，但是有的 人由于免疫系统可杀死或者”隔离”结核杆菌，就进入了潜伏期潜伏期也是因人而 异，有些感染者潜伏期较短，大概在两年之内，有些感染者潜伏期长达几十年，还有 一部分感染者甚至一生都处在潜伏期，而且不发病文献5 1 研究了具有阶段结构 的结核病模型，其中将潜伏期分成了前期和后期两个阶段进行研究在文献6 1 中， 作者将潜伏期分成短潜伏期和长潜伏期两类，与文献f 5 1 不同的是这里的两个潜伏 期之间没有联系，感染者只能进入短潜伏期或者长潜伏期本文在文献【6 中模型的 基础上进行了改进，考虑了感染者不经过潜伏期直接患病的情况，并研究了改进模 型中无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性，其他相关文献可参见7 ，8 1 2 2 模型建立 根据流行病动力学仓室建模思想，本文把总人群分成5 类：s ( t ) 表示t 时刻易 感者的数量，e 1 ( t ) 表示t 时刻短潜伏期感染者的数量，e 2 ( t ) 表示t 时刻长潜伏期 感染者的数量，j ( t ) 表示t 时刻染病者的数量，r ( t ) 表示t 时刻治愈者的数量设 n ( t ) 表示t 时刻的人口总数，所以n ( t ) = s ( t ) + e 1 ( ) + e 2 ( ) + i ( t ) + r ( o 假设 所有易感者与染病者进行有效接触后成为短潜伏期感染者，长潜伏期感染者或者直 接成为染病者，可得具有变化潜伏期的结核病传播机制如图2 1 所示： 相应的结核病动力学模型为： s l = 入一8 s i u s ， e l = p l d s i 一后1 日一# e l ， 毋= p 2 f l s l 一k 2 e 2 一p 岛，( 2 2 1 ) i = k l e l + k 2 e 2 + p 1 3 f l s i 一( + d + r ) ， _ r ：= r i 一r ， 其中a 表示人口的自然补充率，p 表示人口的自然死亡率，d 表示人口的因病死亡率， 卢表示感染率，k 1 表示短潜伏期感染者转化成染病者的速度，乜表示长潜伏期感染 5 两类结核病模型的全局稳定性分析 图2 1 具有变化潜伏期的结核病传播机制图 者转化成染病者的速度，r 表示染病者的治愈率，p 1 ，仇，p 3 表示易感者和染病者有效 接触后分别转化成短潜伏期感染者，长潜伏期感染者，染病者的比例，p 1 + 耽+ 胁= 1 ， 并且所有参数非负将系统( 2 2 1 ) 各方程相加得 n | = a l l n d l ，( 2 2 2 ) 由( 2 2 2 ) 式可得 0 n 竺- 1 - n ( 0 ) e 一， 其中n ( 0 ) 表示总人口的初值，当t 一时，0 n 等从实际生物意义出发，在 集合圣： 1 时，由l a s a l l e 不变集原理【l o 1 1 】可 知，q 内任何轨线都趋向于地方病平衡点 只) ，则地方病平衡点 只) 在q 内全局 渐近稳定 2 5 数值模拟 根据国家统计局发布的中华人民共和国2 0 0 9 年国民经济和社会发展统计公 报，卫生部公布的中国结核病防治社会评价结果，以及参考文献【1 2 中的相关 数据，可以确定表1 中部分参数的参数值当卢= 0 0 0 1 时，r o 1 ，图3 给出此时具有 不同初值的结核病患者的时间曲线 1 1 两类结核病模型的全局稳定性分析 a 人口自然补充率 卢 人口自然死亡率 2 0 0 0 7 0 8 结核病死亡率 0 0 2 2 7 结核病治愈率0 9 1 6 感染率可变 短潜伏期感染者转化成o 5 结核病患者的速度 长潜伏期感染者转化成0 5 结核病患者的速度 易感者感染结核杆菌后0 3 进入短潜伏期的比例 易感者感染结核杆菌后0 5 进入长潜伏期的比例 易感者感染结核杆菌后0 2 直接患病的比例 参考文献f 1 2 1 中华人民共和国2 0 0 9 年国民经 济和社会发展统计公报 参考文献1 2 1 中国结核病防治社会评价结果 估计 估计 估计 估计 估计 估计 d r p h 如 m 见 船 兰州理工大学硕士学位论文 图2 3 当卢= 1 时，风 1 ，患病人数z ( t ) 随时间的变化 从图2 2 和图2 3 的数值模拟结果可以得出：无论初值取多少，随着时间的增 加，患病人数j ( 亡) 分别趋向于。和一个固定值，这就说明当t o 1 时，无病平衡点 岛在q 内是全局渐近稳定的，当局 1 时，地方病平衡点只在q 内是全局渐近 稳定的 1 3 第三章具有一般接触率和耐药性的结核病模型稳定性分析 3 1 引言 结核病是由结核杆菌引起的传染病，据世界卫生组织报告，世界上三分之一的 人口感染了结核杆菌，每年有2 3 百万人口死于结核病，结核病己近成为世界范围 内的难题结核杆菌是从人传播到人，未经治疗的活动性肺、咽喉部、气管或支气管 内膜结核患者在咳嗽、打喷嚏或说话时，都可能将病灶中的结核杆菌通过细支气管、 支气管、大气管、鼻腔和口腔排出体外，在空气中形成飞沫，飞沫蒸发后形成含有结 核杆菌的微粒，当含有结核菌的微粒吸入人体肺泡后就可能引起感染结核杆菌适 应环境的能力很强，对干燥、光线及化学物质都有较强的抵抗力结核菌在干燥的 痰内能存活6 8 个月，漂浮于空气微滴核中的结核杆菌可保持传染性8 1 0 天，在阴 暗处可存活几个星期 抗结核药物犹如一把双刃剑，它在消灭结核杆菌的同时也为结核杆菌耐药性的 出现提供了条件，耐药结核病多由于化疗方案的不合理造成如：药物联合不合理、 不恰当，疏忽患者以往用药史及过敏史，盲目制定化疗方案，化疗方案不合理等，患 者发病首诊服药剂量不足、疗程不足，药物供应不足，药物种类不全及质量不佳或 药物生物利用度不合格，以及对结核病患者管理不善或缺乏管理，造成不规则用药 和不能完成疗程，治疗中患者经济困难，自动停药或不规则间断用药等原因都会导 致结构杆菌耐药 数学模型是分析传染病传播和控制的有力工具【圳，相关学者已经构造出许多 结核病模型并且进行了深入的研究【3 ，1 2 , m 矧，在大多数的结核病模型中，接触率并 不是研究的重点问题，但是描述疾病传播方式的接触率对于模型是相当重要的实 验数据表明：用双线性发生率描述病毒的传播是不太准确的，而标准发生率描述人 类的疾病要更加恰当【矧此外，具有非线性发生率的传染病模型也引起了大量学者 的重视 2 7 - 3 2 】t h i e m e 和c a s t i l l o - c h a v e z 在参考文献f 3 3 1 中提出，与总人口规模有 关的发生率应该表示为3 c ( n ) s i n ，其中s 和j 分别表示t 时刻易感者和感染者 的数量，房表示两个个体在每次接触以后传播疾病的概率，c ( n ) 表示单位时间内感 染者和易感者接触的概率，表示总人口规模在文献3 4 1 中，z h a n g 和m a 认为 上述的发生率在大多数文献中经常采用两种形式当c ( n 1 = n 时，对应的是双线 性发生率3 n s i n = 卢s ，当c ( n ) = a 时，对应的是标准发生率a s i n 当人 口总数不是很大的时候，个体接触的次数会随着人口总数的增加而增加，所 以双线性发生率会比较合适当人口总数很大的时候，个体接触的次数是有限 的，也就是说个体接触的次数不会随着人口总数的增加而无限增加，这时候双线 性发生率不再有效，而标准发生率更加切合实际删我们不难看出，双线性发生率 1 4 兰州理工大学硕士学位论文 和标准发生率分别是人口总数很少或者很多时候的极端情形此外，h e e s t e r b e e k 和 m e t z 3 5 给出了饱和接触率的表达式 c ( 卟而赫， 其中c ( n ) 不是单调递减的，c ( n ) n 不是单调递增的 b o w o n g 和t e w a 3 6 】给出一个具有一般接触率的结核病模型，并且研究了模型 无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性，但是文章中并没有考虑结核病的耐药性 这一章在参考文献 3 6 】的基础上考虑结核病的耐药性，模型中加入了耐药的潜伏期 患者和耐药的感染者，然后给出了平衡点的全局稳定性和数值模拟的结果 3 2 模型建立 根据结核病的传播机理，我们可以将人群分为易感者s ，敏感的潜伏期患者臣， 敏感的感染者厶，耐药的潜伏期患者易和耐药的感染者1 2 ，t 时刻的总人口可以表 示为 n ( t ) = s ( t ) 十e 1 ) + 厶( t ) + e 2 ( 亡) + 厶( 亡) 图3 1 表示具有一般接触率和耐药性的结核病传播机制这里，人表示人口的自然补 充率，p 表示人口的自然死亡率由于潜伏期患者基本不具有传染性，我们假设易感 者只有和感染者接触后才有可能感染结核杆菌，感染的速度可以表示为侥( ) 五，i = 1 ，2 ，其中i = 1 和i = 2 分别表示敏感的感染者和耐药的感染者与易感者接触后传 播结核杆菌的速度，传播系数屈( ) 是关于总人口的非负c 2 函数，易感者感染 敏感的结核杆菌和耐药的结核杆菌以后分别进入潜伏期蜀和岛为了简便起见， 本文仅考虑对敏感的潜伏期患者和敏感的感染者治疗，假设对于敏感的潜伏期患者 e 1 的化学药物预防速度为7 1 ，对敏感的感染者的治疗速度为r 2 ，敏感的感染者接 受有效治疗以后就成为潜伏期患者我们假设敏感的潜伏期患者e 】由于没有接受 有效治疗而变成敏感的感染者j 1 的时间服从指数分布，则平均等待时间为1 ，因 此，敏感的潜伏期患者e 1 到敏感的感染者厶的传播速度为常数k 1 ( 1 一r 1 ) ，耐药 的潜伏期患者易由于没有接受有效治疗而变成敏感的感染者j 1 2 的时问也服从指 数分布，则平均等待时间为1 岛，因此，耐药的潜伏期患者易到耐药的感染者厶 的传播速度为常数7 _ 2 ，其中，比例为矽2 的敏感感染者由于正规治疗而成为敏感潜 伏期患者局，剩下的敏感感染者( 1 一p ) r 2 由于接受了不合理的治疗而产生耐药性， 成为耐药的潜伏期患者易结核病感染者 和j 1 2 的因病死亡率分别为d 1 和d 2 ， 其中d 2 d 1 则相应的结核病动力学模型为： 1 5 两类结核病模型的全局稳定性分析 图3 1 具有一般接触率和耐药性的结核病传播机制图 = a 一卢1 ( n ) s 1 1 一尾( ) s 厶一p s ， 巨= 卢1 ( n ) s 1 1 + 矿2 一七1 ( 1 一t 1 ) e 1 一# e l ， = k 1 ( 1 一r 1 ) 局一( r 2 + p + d 1 ) 厶， ( 3 2 1 ) 巨= 岛( n ) s 厶+ ( 1 一p ) r 2 1 1 一+ ) 易， = k 2 e 2 一 + d 2 ) l ， 其中a ，k l ，k 2 ，r l 和7 1 2 都是非负的，p 【0 ，1 1 传播系数f i x ( n ) ，3 2 ( n ) 满足如下条 件： 卢1 ( ) o ， 卢；( ) o ，( n t 3 1 ( ”，o ，( 3 2 2 ) 卢2 ( ) 0 ，良( n ) 0 ，( n & ( ) ) 。0 、7 我们可以看到，当p 。( ) = 铬，仍( ) = 舅时，对应的是标准发生率，当 卢1 ( n ) = 卢，3 2 ( n ) = 卢z 时，对应的是双线性发生率，当卢1 ( n ) = 3 1 c ( n ) ，3 2 ( n ) = 侥c ( n ) 时，对应的是饱和发生率，其中 刚) = 丽蒜 3 3 正性和有界性 系统( 3 2 1 ) 描述的是人群的数量，因此有必要证明变量s ，马，厶，岛，厶是 非负的，对于所有的t 0 ，系统( 3 2 1 ) 具有正的初值的解依然是正的，并且是有界 的 定理3 3 1 如果s ( o ) 0 ，e 1 ( 0 ) 0 ，1 1 ( 0 ) 0 ，易( 0 ) 0 ，j 1 2 ( 0 ) 0 ，当 t 0 时，系统( 3 2 1 ) 的解s ( z ) ，e 1 ( t ) ，1 1 ( t ) ，易( t ) ，厶( t ) 都是正的区域r 是系 1 6 兰州理工大学硕士学位论文 统( 3 2 1 ) 的正向不变集，从r 出发的所有解都趋向，进入或者停留在r 中，其中 r = 。 证明在给定的初始条件下，很容易证明系统( 3 2 1 ) 的解是正的；否则，我们假 设存在的一个时刻t 1 ，使得 当0 t t l 时， s ( t 1 ) = 0 ，s ( t 1 ) 0 e 1 ( t ) 0 ，1 1 ( t ) 0 ，易 ) 0 ，1 2 ( t ) 0 或者存在一个时刻t 2 ，使得 当0 t t 2 时， e a ( t 2 ) = 0 ，耳( t 2 ) 0 s ( t ) 0 ，五( t ) 0 ，e 2 ( t ) 0 ，厶( t ) 0 或者存在一个时刻t 3 ，使得 当0 t t 3 时， 五( t 3 ) = 0 ，( t 3 ) 0 s ( t ) 0 ，e 1 ( t ) 0 ，e 2 ( t ) 0 ，厶( t ) 0 或者存在一个时刻t 4 ，使得 当0 t t 4 时 e 2 ( t 4 ) = 0 ，砭( t 4 ) 0 s ( t ) 0 ，e 1 ( t ) 0 ，厶( t ) 0 ，1 2 ( t ) 0 1 7 两类结核病模型的全局稳定性分析 或者存在一个时刻t 5 ，使得 当0 t 1 ，无病平衡点岛不稳定下面给出关于无病平衡点岛全局稳定性的相 关定理 首先，我们不考虑因病死亡率，也就是说d 1 = 0 ，d 2 = 0 对于d 1 0 ，d 2 0 的 情况，我们随后给出相关结论和证明这时，总人口n ( t ) 满足方程d n d t = 人一p ， 并且当t _ 。时，n ( t ) 。人p 应用c a s t i u o - c h a v e z 和t h i e m e 3 7 l ，m i s c h a i k o w 3 s l 文章中的相关结论，通过考虑系统( 3 2 1 ) 的极限系统可以得出解的解析性质，假设 总人口n = s o = 人p 耳= 8 1 ( s o ) 厶( s o 一日一厶一易一厶) + 2 五 一+ k l ( 1 一r 1 ) ) e 1 ， = 七1 ( 1 一r 1 ) e 1 一( r 2 + p ) 厶， ( 3 4 1 1 巧= 屁( 岛) 厶( 岛一且一厶一易一厶) + ( 1 一p ) r 2 1 一( p + 尼2 ) 易， = k 2 e 2 一p 尼 这时系统( 3 4 1 ) 中没有关于s 的方程，这是因为s 可以表示成岛一e 1 一厶一易一乇 令 e 11 1e 21 2 z 12 丙，z 22 丙，y l2 丙， 耽2 一n ， 于是系统( 3 4 1 ) 的等价极限系统为 当t 0 时 硝= 岛卢l ( 岛) ( 1 一x l x 2 一y l y 2 ) z 2 + p r 2 x 2 一( p + k l ( 1 7 1 ) ) x l ， 吐= k l ( 1 一r 1 ) z 1 一( p + r 2 ) z 2 ， ( 3 4 3 ) 斫= s o 卢2 ( s o ) ( 1 一z 1 一x 2 一y l y 2 ) y 2 + ( 1 一p ) t 2 t 2 一( p + ) 可1 ， 必= k