（应用数学专业论文）奇异半正非线性二阶脉冲dirichlet边值问题的多重正解.pdf

摘要 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的 近年最新科技成果表明。这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、 医学、经济领域均得到重要应用 本文给出了一些新的。关于奇异非线性二阶脉冲半正d i r i c h l e t 边值问题多重正解的 存在性 全文共分三章，第一章衙述问题的历史背景和本文的主要工作第二章主要介绍上 下解方法，它将在第三章中得到应用第三章主要是利用上下解方法和锥不动点定理证 明奇异非线性二阶脉冲半正d i r i c h l e t 边值问题 i 矿( t ) + 弘q ( t ) 厂( ( t ) ) = 0 ，t “，t ( 0 ，1 ) ， 一a y 讯：“= ( g ( t k ) ) ，鼯= 1 ，2 m ， ig ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 0 ， 的多重正解存在性定理其中，p 0 是常数，给定0 t l t 2 t m 0i sac o n s t a n ta n dl e t0 t l 赴 一 t m 0 是常数，给定0 t l t 2 t 。 0 ，则边值问题 i 旷( ) + q ( t ) = 0 ，t j 7 ， i ( o ) = 0 ，( 1 ) = 0 ， 有一个解 t o 满足 w ( t ) t ( 1 一t ) c o ，t j 其中， g = 搿 南z 1 ( 1 一咖( z ) 如+ ；f o t x q ( 。) 如 引理3 3 【1 q scp 伊r 】是相对紧集的充分必要条件是s 在，上一致有界且在每个 以( 尼= 0 ，1 m ) 上等度连续 现在给出非奇异边值问题的存在性原则，它将在定理3 2 中用到；证明过程可以参 考祖，蒋 8 】 i + f ( t ，g ) = 0 ，t t ，0 ， 一a y ：“= i k ( y ( t k ) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 2 ) i ( o ) = a ，y ( 1 ) = b 4 引理3 4 假设下面的条件成立t 并且 御假设 ，：j r r 连续 ：r r 连续 f 对每个r 0 ，存在k 三k ( ，) 满足 s gt ( 1 一t ) k ( t ) d t m + | 6 l ，使得对满足方程 的任意解y p c i i j , r 1 m c 2 j o ，嗣，以及对任意的a ，都有 i y l o = s u pm t ) i h t e d 则( 3 2 ) 有一个解y 满足i 训o s h ( 1 1 ) 假设 i 存在h l k ( j 7 ) 满足詹t ( 1 一t ) h ( t ) d t o 。 l 使得i s ( t ，) l 曼k t ) 对任意t ，y r 成立 则( 3 2 ) 有一个解 引理3 5 【q 令e = ( e ，- 1 1 ) 是b a n a c h 空间， kce 是一个锥，关于l i ，k 单调递增r ，r 是两个常数，满足0 r 0 满足，( 钍) + m 0 【对珏( o ，o o ) 成立； f ，( “) 十m = 9 ( ) + ( u ) 在( o ，。o ) 上成立，其中9 o 在( o ，o o ) 上 i 连续不增，在【0 ，o 。) 上h o 且满足连续，；在( o ，o o ) 上不减； q 0 ，在，上满足口c ( o ，1 ) n l l 【o ，1 】 存在j 如满足g ( a b ) k og ( o ) 9 ( 6 ) ，v a 0 ，b 0 ； jj ， t t m c o 满足岳丽d u 群+ 卢g ( 1 一哗鱼) 1 + 黔) ， j r 满足岳丽 钎+ 卢g ( 1 一世竽) 1 + 器) ， i 其中6 0 = m o z 2 岔t ( 1 一t ) q ( t ) d t ，2 砖t ( 1 一t ) q ( t ) d t ) ； f 存在常数l m 和常数e 。 o ， l 使得对所有的0 0 且5 崭倘岫卜华m + 黔 慨。， 令m o 1 ，2 ，) 的选取满足土m o m i n ，e o ) ，n o = m o ，m o + 1 ， ，为证( 31 ) 有一 个非负解y p c i 捌n c 2 f 一，周满足i y + i o ( t ) 且l 可i i o 0 ， 如果此事成立，则u ( t ) = y l ( t ) 一曲( t ) 就是( 3 1 ) 的一个非负解( 在j 上取正值) ，且满 足l “+ 训o r ，因为 ”o ) = 口! ( t ) 一毋”( ) = - # q ( t ) f + ( l ( ) 一妒( t ) ) + i u m q ( t ) = 一p q ( t ) 【，国l ( t ) 一( t ) ) + m l + # m q ( t ) = 一t t q ( t ) f ( y 1 ( t ) 一曲( d ) = 一p q 0 ) ，( u ( t ) ) ，t j o ， 一a u i b 虹= 一( “+ 0 ) 一u ( t k o ) 1 = 一i ( 以( “十o ) 一矾( “一0 ) ) 一( ( 缸+ 0 ) 一( “一o ) ) 1 = 一m ( t k + 0 ) 矾( t k o ) 1 = 一巩i t ；“= ( ( u l 一妒) ( “) ) = 厶 0 女) ) ，k = 1 ，2 ，m 因此，我们将着重研究( 3 ，l o ) 我们的想法首先是证明 f 旷0 ) 十r e ( t ) 最( 扩( 力一p ) ) = 0 ，3 0 ， - a y l t = “= 最( ( 一( t ) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 1 1 ) ” ly ( o ) = 1 。，9 ( 1 ) = 。1 ，m j ， 对每个m 0 都存在一个解，当t j 时，满足轨( t ) 磊1 ，跏( t ) 2 庐( t ) 和 l l o 0 - 0 断言1q 。( t ) = 击+ 胁( ) + ( f ) = 1 。+ ( c + p m ) 训( t ) 是( 3 1 1 ) ”的严格下解，这里 0 f m i n p ( l m ) ，竺l w 上l o ，me 0 证明注意到o 。( o ) = 口。( 1 ) = 去，o 。( t ) 一毋( t ) 2 熹，t j ，且因为1 w c t ) + 去 1 w l o + 去 e o ，l 0 ，t j o ， 一n 二l t ；“= 0 最( ( o 。一庐) ( t t ) ) = ( ( o ，n 一) ( “) ) ，k = 1 ，2 m 为了寻找( 3 1 1 ) “的上解，我们考虑下面的脉冲边值同题 f ”( t ) + 埘( t ) 靠白 ) 一妒o ) ) 1 + 揣 = 0 ，f j 0 ， 一a y 讯：“= ( r ) ，七= 1 ，2 m ， ( 3 1 2 ) ” 【口( o ) = 击，( 1 ) = 鬲1 ，m n o 如断言1 ，我们很容易证明o t m ( t ) = 去+ t w ( t ) + ( ) = 鬲1 + ( 1 + p m m ( t ) 是( 3 1 2 ) ” 的严格下解 7 、j、j pk 如 ，iijll i | 、j 令鼹p c i 捌n c 。【j o ，捌是下面边值问题的唯一解 f ”( t ) + i u q ( t ) g ( e t 。( t ) 一庐( t ) ) 1 + 盥g ( r ) 、j = 0 ，t ，o ， 一矿b 。= z 0 - ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 1 3 ) “ 【y ( o ) = 击，( 1 ) = 去，m 0 ， 那么，我们有 砩( ) = 去+ p 蔚g ( t ，s ) q ( s ) g ( a m ( s ) 一庐( s ) ) 1 + 瓣 d s + 量g ( t ，t ) ( r ) 其中g ( t ，s ) 是d i r i c h l e t 边值问题一= 0 ，。( 0 ) = z ( 1 ) = 0 的格林函数，且 g s 卜 ：= i - - t 。) k s , 蓦冀： 如断言1 ，我们可以证明a 。( t ) 也是( 3 1 3 ) ”的下解则有 砩。( ) = 击+ 卢詹g ( t ，s ) g ( s ) 9 ( a 。( s ) 一( s ) ) 1 + 黔) d s + 薹g ( ，“) 厶( ( r ) 击+ pj ：g ( t ，s ) 口( s ) 9 ( o 。( s ) 一咖( s ) ) 1 + 裟) d s = 击+ p 对a ( t ，s ) q ( s ) g ( 1 + f ( s ) ) l + 黔 d s 2 击+ p 己 i + 糍 君g ( t ，s ) q ( s ) d s 2 击+ p 己伽( ) 击+ 1 w ( t ) + 妒( ) = n 。( t ) 于屉有 ( 碾( t ) ) 7 + p q ( t ) 螺( 熙( t ) 一( t ) ) l + 粥) = p q ( t ) 1 + 等等 【9 ( 嚣( ) 一( t ) ) 一g ( m o ) 一毋( t ) ) 】0 ，t j o ， 一( 卢要) 仉：“= 一【g ；( 札+ 0 ，“) 一g i ( 札一0 ，氏) j p ) = 厶扣) ，k = l ，2 m ， 故镌是( 3 1 2 ) ”的一个上解 取。袅eo 。，则q 参和恐分别足( 3 1 2 ) “的下解和上解，且碍( ) 雕( t ) ，对所有 的t j 成立于是存在( 3 1 2 ) ”的一个解届。p c i m 捌n 俨妒，捌使得 n 。( t ) = o ( ) sj ( ) 碟( t ) ，v t z 由鳃在 o ，o o ) 上单调减保证了风是( 3 1 2 ) ”的唯一解 下面我们将应用引理3 4 证明l p 矗i o r 考虑下面的问题 f “o ) + a 脚( t ) 蘸妇( ) ( t ) ) 1 + 黔) = 0 ，t ， 一矿f b “= a 厶( r ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 1 a ) r 【掣( o ) = 鬲1 ，口( 1 ) = 斋1 ，r r j ， 8 其中0 o ，。rt ，( 3 1 5 5 注意到y ( ) 一妒( ) o 。( t ) 一咖( f ) 击，于是有鲩( ( t ) 一毋( t ) ) = g ( ( t ) 一妒( ) ) 对， 有 v 却黼叭圹俐 1 + 糍) 联合( 3 1 5 ) 得到 卅( 掷p 娲卵一下# m c o ) l + 黔吲出m ( z ) ( 3 1 6 5 对z j o 成立从t ( t ) 到积分得 一( ( 口h 一0 ) 一y + o ) 一a y l t ：“) 9 0 ) ) p 硒g ( 1 一坚等鱼) ( 1 + 美筹) “g ( z ) 出， 于是我们有 ，( c + o ) 可，( 一o ) + ，厶( r ) + 9 ( 出) ) p 凰m 一坐竽) 1 + 器) z “口( z ) 出 t “ 。 9 因为- - v ( a m + 0 ) + 矿( a h 一0 ) 茎j m ( r ) ， 以t + o ) 耋聊) +卵一下# m c 0 0 g ( y c t ) ) p k o ) 1 + 筹) 厂g ( 讹d x p 7 ( 亡+ ) ( r ) + 9 ( 1 一f ) 1 + 吾淤) g ( z )， r = i 从0 到o m 积分得 喱焘= 瑶“盎 冬群+ p 硒g ( 1 一出竽) l + 黔) 厝。z 口( 。) d x冬杆+ p 硒一出竽) l + 器 j 孑”z 口( 。) s 竽+ p 硒g ( 1 一学) 1 + 器) 护如) d x ，s 督+ p 硒一型警卫) 1 + 器 j 孑m q ( z ) ， 因为( 口。) = r ，则有， z 嵩群+ p 酬一华) l + 鬻) 去卜( ，刊州“。1 7 ) 同理积分( 31 6 ) 从口。到t ( t2d 。) 然后再从口。到1 积分得 z 而d u ( 1 一) 群懈m 一华) l + 塑g ( r ) 、 叫c r m j o m z ( 1 - - x ) q ( x 胁( 31 8 ) ( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 说明 ! r 丽d u 崭+ # k o b og 卜华m + 羚 c 。唧 其中b o 同( 3 7 ) 的定义连同( 39 ) 说明m o r 由引理3 4 知( 3 1 2 ) ”有一个解姥满 足i 口l i o r 于足由( 31 2 ) ”解的唯性，我们得到既= 屈。且1 岛。i o r 通过下面的方程 盛( 口k o ) 一曲“) ) = ，( ( ) 一妒( ) ) = g ( z m ( t ) 一曲0 ) ) + ( 口k ( ) 一庐( ) ) = 9 ( 风( t ) 一( t ) ) ( 1 + 黔渊) 9 ( 风( t ) 一曲( f ) ) 1 + 等等 ，t j o 我们有 声篇( t ) + 肛q ( t ) 豫( z m ( t ) 一曲( ) ) = 一l t q ( t ) g * ( f l m ( t ) 一曲o ) ) 1 + 爱碧) + p g ( t ) 岛( 风o ) 一庐( t ) ) s0 ，t ，o ， 且 一熊l 。：。= 厶p ) 厶( ( 岛。一咖) ( k ) ) ， 1 0 于是届。是( 3 1 1 ) ”的个上解结合断言1 我们有q 。和口k 分别是( 3 1 1 ) ”的下 解和上解，且乜。( ) 舟。( t ) ，对所有的t ，成立于是有结论( 3 1 1 ) ”有一个解 枷p c i 【j r 】n c 2 j o ，r 】满足 n m ( t ) s f m ( t ) 房。( t ) ，t z 则有 i l 。 1 w ( t ) ，t z 下面证明 轨) “o 是址有界的等度连续族( 3 2 0 ) 因为 ，+ ( ”m ( t ) 一妒( t ) ) = g ( g h ( t ) 一妒( t ) ) + ( ! m o ) 一妒( t ) ) 对t j o 成立，我们有 堋邪删( 沪俐 1 + 粥) 因为y , n ( x ) 庐( z ) 4 - 1 w ( x ) = ( , u m + f ) 叫( z ) ，l i o 0 ，a 1 1 ，n o 口l 使得 a o 0 同理可得s u p t , 。：m b ) 0 在( 0 ，o 。) 上不增，故 日( 。) = 。) 则有，对任意的b 0 ，b 在【0 ，6 上连续注意到 b ( 蜘) ) 。n o 在j 上的是有界，等度连续族( 32 7 ) 等度连续性的证明如下( 这里t ，s ，) b ( 蜘。( t ) ) 一b ( 。( s ) ) i = lr ；等等崭d z i i t 叫群+ p 娲g ( 1 一蒜) l + 粥) i s ：v ( z ) d z 一s 杆+ p 娲g ( 1 一为等乌) l + 等等) i 此不等式说明在 o ，b ( r ) j 上b _ 1 一致连续且 ( t ) 一鼽( s ) j = l b - 1 ( 日( ( t ) ) ) 一b - 1 ( b ( 跏( s ) ) ) 于是得到了( 3 2 0 ) a r z e l a - a s c o l i 定理保证了存在0 中的子序列和函数y p c i 捌n 俨妒，捌， 使得在n 上当m o o 时，一致收敛于又v ( o ) = ( 1 ) = 0 ，西( t ) + 1 w ( t ) v ( t ) 妒( t ) ，取定t ( o ，t 1 ) 不失一般性假设t 鲁取 1 2 定霉( o ，t t ) 满足z t 对s 【弩，叫，注意到p ( s ) 一咖( s ) 1 w ( s ) lm i n 佃( 譬) ，w c ：o 选取他1 满足 = i l 一 r p a ，g ，所以 e 存在) 并且g ( ，s ) 是下面方程 矿= 0o nj 1 l ( o ) = v ( 1 ) = 0 ， 的格林函数，并2 - 0 口1 满足 口( s ) g ( 口，s ) d s = s u p q c s ) a ( t ，s ) d s 于是p j ，有一个解y p c i r 】nc 2 j o ，嗣满足在t j 7 上v ( t ) 0 且0 r 0 且6 r 满足 f 和崭，一华m + 黔 c s 。， 1 3 令伽 l ，2 ，) 给定且满足而1 ，而1 e o ( 1 一口) r ，且0 = 咖，低+ 1 ，) 为证( 3 1 ) 有一个满足i + 纠o ( ) 和b , t o 0 如果成立，则让( t ) = l ( t ) 一e ( t ) 是( 3 1 ) 的菲负解( 在j 上取正值) l 缸+ 妒i o r ( 如定 理3 1 ) 因此，我们将着重研究( 3 3 0 ) 首先证明下面方程 fp ”( t ) + # q ( t ) f m ( y ( t ) 一曲( t ) ) = 0 ，t ，o ， 一a y m ：“= 髭( 一咖) ( t k ) ) ，七= 1 ，2 m ， ( 3 3 1 ) ” 【y ( o ) = 击，9 ( 1 ) = 而i ，m 肌， 对每个m 0 有一个解y m ，在t j 上满足。( t ) 击，y m ( t ) o ( t ) 且rsj 蜘j o s 足 其中 厶c ”，= ：兹亏，“：! ：! 去 击最扣，= 乏 ：；：! ： 为证明对每个m o ，( 33 1 ) “有解，看下面的方程 f ”( t ) + 肛g ( t ) 工：( d t ) 一( t ) ) = 0 ，t j o ， 一a y 讯：“= 最( ( 一庐) ( 靠) ) ，k = 1 ，2 m ， ( 3 3 2 ) “ 【f ( o ) = 击，y ( 1 ) = 去，仇j ， 其中 f ，0 ) + m = 9 ( u ) + k v ) ， 击， 坛扣) = g ( 去) + 扣) ，0s 击， 【g ( 去) + ( o ) ， t i 0 注意当u ( 一o 。，+ o 。) 时篇0 固定m n o 令e = ( p c i 【zr ，i f o ) 且 k = “p c i r 1 ：u ( t ) 0 ，t j 且n ( t ) t ( 1 0 m o 在j 上成立 很明显k 是e 中的锥令a ：k p c i 嗣有如下定义 a 可( t ) = 当+ 肛f 1g ( s ) g ( t ，s ) 嚣o ( 5 ) 一q i ( s ) ) d s + 萎a ( t ，t k ) 露( o 一毋) ( t k ) ) 舢( 。) 2 袁+ 肛上g ( s ) g ( 。，8 ) 嚣( ( 5 ) 一州) 如+ 吾 m ) 露( ( 一撇) ) 则a ：k p c i 捌连续且一致连续下面证明a ：f k 如果k ，因为当 口( 一o 。，+ o o ) 时名( u ) 0 ，所以很明显a u ( t ) 20 在t j 上成立注意到 似蛇鬲1 + t ( 1 卅pz 1m 叫如) 层( m ) 叫绑d s + t ( 1 _ t ) 薹姒1 叫删州) ( t 枷 t ( 1 一t ) l a 9 i 。t ( 1 一t ) 【豪+ p z ls ( 1 一曲口( s ) 盛( ( t ) 一曲( ) ) d s + k 量= lt t ( 1 “) 露( 。一妒) ( t k ) ) 1 于是a y ( t ) ( 1 一t ) l a y l o ，且 j ( a u ) ”( ) 曼0 ，o n ，0 ， 【a u ( o ) = a u ( 1 ) = 击 因此，a u k ，a ：k k 令 q 1 = t p c i 【zr 】：l u i o 0 ，对t z( 3 3 5 ) 注意到，当t d 时 扁( y ( t ) 一妒( t ) ) g ( u ( t ) 一( t ) ) + h ( y ( t ) 一妒o ) ，) 因为如果0s u ( t ) 一妒( t ) 击且因g 在( o ，o 。) 上单调不减，有 矗( g ( t ) 一曲( 。) ) 29 ( 素) 十 ( o ) 一( t ) ) g ( ( ) 一o ) ) + ( o ) 一曲o ) ) ， 于是对o 有 一”( z ) 卢。( z ) ，( ”( z ) 一咖( 茁) ) + ；i ： ；j ；器) ， 联合( 3 3 5 ) 得到 叫p 酬l 华) ( 1 + 粥m 咖m ，z 一 ( 3 3 6 ) 将它从t ( tst o ) 到t o 积分得 g 印+ 0 ) 薹撕) + 9 ( y ( t ) ) l u k o9 ( 1 一学) l + 嘉) 舶姚d x g 0 + ) 矗( r ) +9 ( 1 一兰! ：；竺) l + 关) f 。g ( z ) ， $ 2 i ， 然后再从0 积分到t o 得到 r 7j 丝：，生 j 击9 ( u )，击9 ( u ) 妯群9 ( 1 一华) ( 1 十- h ( ，r ) ，lr t o z q ( z ) + t 。k on ( r ) t r o x q ( ) d x 。! ! 打9 ( 1 一半) 而1 再应甩( 3 2 8 ) 有下面的结果 矧a ) = ；1 + _ “f 0 1g ( 叩) 如) 名( 出) 叫胡d s + 耋g ( 小肌( ( g 刊) p 广4g ( 叩) g ( s ) 荒( 可( s ) 一州)+ 妻g ( 伊，t k ) n ) d s t k ) i k ( e t h ( 1 p g ( 口，s ) g ( s ) 荒( 可( s ) 一0 ) ) + g ( 伊， = p j ( 1 8g ( 盯，s ) q ( s ) 9 ( ( s ) 一妒( s ) ) 1 + ；) ) d s = p g ( 盯，s ) q ( s ) 9 0 ( s ) 一妒( s ) ) + = = 三游三 ；三* ) o a ih 、山，一v 山，j， + g ( 盯，“) 厶( d ( 1 一“) 劢 删， t + 黼 z “哪s ) 幽 + a ( o ，t k ) x k ( e t k ( 1 一t j , ) r ) r = i i o 所以i a y l 。 l y l 。，于是( 3 3 9 ) 成立引理3 5 说明a 有一个不动点y 。k n ( 砺q 1 ) 满足，当t j 时r s l l o 冬r 且y m t ( 1 一t ) r 因为 如。2 “1 一 净p m g “l 一) p m w ( t ) = 矿( 力， 所以( t ) 在t j 上成立于是是( 3 3 2 ) ”的一个解下面证明 。舶在堤有界的等度连续族，( 3 4 0 ) 叫到( 3 3 6 ) 【) i 辱y 挟成y r a ) ，凼为rsi 鼽i osr 开且碉 轨( s ) 一庐( s ) = ( 酬1 一等掣】( 州1 一卢m ，c o ， m o ， 所以有 一识( z ) p g ( 1 一了# m c o ) 1 + 器) g ( 帅( 硼g ( z ) z 一( 3 4 1 ) 因为，在j o 上珐0 且熹，如定理3 1 中的证明，存在t 。j 7 满足；在( o ，t m ) 上如0 且在( t 。，1 ) 上如0 ，将( 3 4 1 ) 从t ( 亡 t 。) 积分得 丽- v ( t - o ) 喾r a 碱卵一学m + 裟，胁胁 t 。， 现在证明存在a o 和a 1 使得a o 0 ，口1 1 ，a o i f , 1 满足 a o 0 同理，s u p ：n n o 0 在( 0 ，o 。) 上单调不增，所 以b ( o o ) = o 。) 满足，对任意的b 0 ，b 在【0 ，胡上连续于是 b ( 跏) 。e 胁是，上有解的等度连续族 ( 3 4 7 ) 等度连续性证明如下( 这里t ，8 j ) i b ( ( t ) ) 一b ( 鼽o ) ) i = i c 簧舞潞f 1 8 i t 刊驿+ u k o k 0 ( a 一学) 1 + 籍 i 出) 出f 一。i 生表面一 k 一趔竽) 1 + 爱嚣 i ”( z ) 出f 此不等式说明在【0 ，b ( r ) 】上b 。一致连续，且 i 枷( t ) 一( s ) i = i b 。1 ( _ b ( t ) ) ) 一b 。1 ( b ( ( s ) ) ) i 于是( 3 4 0 ) 成立a r z e l a - a s c o l i 定理保证，存在0 中的子列和函数p c i 嗣n 俨【t ，o ，r 】，满足当m 0 0 m n 时，在，上跏一致收敛予可并且y ( o ) = y ( 1 ) = 0 ， r o r 且u ( t ) t ( 1 一t ) r 对t j 成立尤其在，上暑， 0 同样的，如定理3 1 保证了当t , 1 0 时，i f , ( t ) + q ( t ) b ( 9 ( t ) 一咖( t ) ) + ( 口( t ) 一妒( t ) ) 】= 0 ， 最终，我们很容易看到l u l o r ( 若不然l y l o = r 与( 3 3 5 ) 一( 3 3 9 ) 矛盾) 定理3 3 假设阻剐一p 剀以及p 2 别成立则限j ，有两个解y l ，y 2 p c i 司n 伊【一，r 】满足在t ，上，口l ( t ) 0 ，y 2 ( t ) 0 ，且0 l y l + 妒1 0 1 ， 其中1 ( 0 ，, u o ) 满足 ( ! ! 掣) + 警g ( 3 4 0 ) 假设0 o ，且 0 l y l + 1 0 1 使得m = 1 ，e = j 1 ，o = i 1 ，岛= 也就足说选择r 使其满足1 一盏 ) m = 1 ，伽o ) = ；t ( 1 一t ) ，咖o ) = ；t ( 1 一t ) ， 且 9 ( ) = 争，地) = 护，f = 否1 ，口= 虿1 ，岛= ；，k o = 1 很明显，( 3 3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 8 ) 成立注意到 b o = m a x 20 5 t ( 1 叫础r m _ t ) = ； 以及 k ( r ) 石焉一正一一 不一学) t 1 + 黔) ：攀a+l-tac k l m 一券r2 币干习：可一l ”万j 则( 3 7 ) 当r = 1 时成立因为# m c o = g 譬1 = r 且 p 凰6 0 l ，所以取r o 。，于足，定理3 3 的所有条件都满足，这便保证了两个正解 的存在性 参考文献 1 l i nx ，j i a n gd m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，正m a t h a n a l a p p l 2 0 0 6 ，( 3 2 1 ) ：5 0 1 5 1 4 2 1r a c h u n k o v ai ，t o m e c e k j i m p u l s i v eb v p sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o r t h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h o u tg r o w t hr e s t r i c t i o n s j 3 m a t h a n a l a p p l 2 0 0 4 ，( 2 9 2 ) ：5 2 5 - 5 3 9 3 1l i ux ，g u od p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s so fs o e o n d - o r d e ri m - p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c h 叩a c e 8 【j 】，a p p m a t h c o m p u t 1 9 9 7 ， ( 2 1 6 ) ：2 8 4 - 3 0 2 f 4 a g a r w a lrp 0 r e g a nd m u l t i p l en o n n e g a t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，a p p l m a t h c o m p u t 2 0 0 0 ，( 1 1 4 ) ：5 1 5 9 【5 】a g a r w a lrp ，o r e g a nd e x i s t e n c et h e o r e mf o rs i n g l ea n dm u l t i p l es o l u t i o n st os i n g u l a r p o s i t o n e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s j ，j o u r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，2 0 0 1 ，( 1 7 5 ) ：3 9 3 - 4 1 4 【6 】e l o epw ，h e n d e r s o nj s i n g u l a rn o n l i n e a r ( k ，n k ) c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m j l ，j o u r d i f f e r e n t i a le q n a t i o n s 1 9 9 7 ，( 1 3 3 ) ：1 3 6 - 1 5 1 f 7 1g u p t acp ，e x i x t e n c ea n du n i q u e n e s st h c o r e m sf o rab e n d i n go fa ne l a s t i cb e a m e q u a t i o n s j ，a p p l a n a l 1 9 8 8 ，( 2 6 ) ：2 8 9 3 0 4 【8 】z ul ，l i nx ，j i a n gd e x i s t e n c et h e o r yf o rs i n g l ea n dm u l t i p l es o l u t i o n st os i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，t o p 0 1 m e t h o d si nn o n l i n e a ra n a l ，i np r e s s f 9 1l e eyh ，l i ux s t u d yo fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v e d i f f e r e n