（理论物理专业论文）电磁波逆散射理论与参数展开法.pdf

ab s t r a c t w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f c o m p u t e r a n d t o m o g r a p h y , r e c o n s t r u c t i o n t e c h n o l o g y o f i n v e r s e p r o b l e m s h a s b e e n g r e a t l y a p p l i e d . a n d m o r e a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e i r r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i 七 h m s . r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s b a s e d o n t h e f i r s t 一 o r d e r a p p r o x i m a t i o n c o u l d n o t s a t i s f y m a n y p r o j e c t s d e m a n d s . s o i n s u c h c a s e s t h e s e c o n d - o r d e r a n d h i g h e r - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t . f o r m a l p a r a m t e r e x p a n s i o n m e t h o d w a s p u t f o r w a r d d u r i n g o u r r e s e a r c h w o r k o n h i g h 一 o r d e r a p p r o x i m a t i o n s .i t i s e x p e c 七 e d t o b e a n e f f i c i e n t m e t h o d i n s o l v i n g i n v e r s e p r o b l e m s . i n t h i s p a p e r , t h e g e n e r a l r e s e a r c h i s p r e s e n t e d o n f o r m a l p a r a m e t e r e x p a n s i o n m e t h o d , e s p e c i a l l y o n i t s a p p l i c a t i o n t o e l e c t r o m a g n e t i c t o m o g r a p h y .o t h e r a l g o r i t h m s i n t h i s f i e l d a r e a l s o i n t r o d u c e d. af t e r d i s c u s s i o n o n t h e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e s e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s , w e g i v e t h e s c h e m e f o r e l e c t r o m a g n e t i c t o m o g r a p h y u s i n g f o r m a l p a r a m e t e r e x p a n s i o n m e t h o d . t w o c r i t e r i o n s 一c o m p l e x i t y a n d q u a l i t y a r e n e e d e d i n m a r k i n g a n e f f i c i e n t r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m . w e g i v e t h e e r r o r 一 a n a l y s i s f u n c t i o n s a n d u s e t h e m t o a n a l y s e o u r r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m. f i n a l l y , t h e t e c h n o l o g i c a l r o u t e s u s e d h e r e a r e di s c u s s e d. k e y w o r d s : f o r m a l p a r a m e t e r e x p a n s io n ; e l e c t r o m a g n e t i c i n v e r s e s c a tt e r i n g; e l e c t r o m a g n e t i c d i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y . 第一章逆散射间题综述 第一节引言 波在传播过程中遇到非均匀介质时，会产生反射、折射和衍射现象。散射波与 入射波在传播方向、振幅及位相上都有差异。非均匀性越强，这种差异就越明显， 即所谓的强散射。从信息的观点来看， 空间介质的折射系数等物理参量空间分布的 信息被反映到散射波的振幅、位相分布上。因此，从对散射波的适当取样测量所取 得的数据在理论上可以重建空间介质分布的分布图，这也就是逆散射成象技术的基 本指导思想。 探测波可以是很多种，最常见的是超声波和电磁波，另外还有粒子波等。采用 不同种类的波，我们可以得到同一种介质的不同物理参数的分布重建图。这在仅凭 单一物理参数分布图无法满足工程要求的情况下是很常见的。采用多种波进行逆散 射成象的方法称为复合成象法。它实际上是单纯波逆散射成象技术的综合。不过， 在一般情况下，采用单纯波逆散射成象还是能满足要求的。况且， 对复合成象技术 研究的基础还是单纯波成象。因此， 逆散射成象的主要研究方向也还是单纯波成象 技术。 逆散射成象的思想在工程技术上有着十分广阔的应用前景。在一系列不同物理 条件下出现各种逆散射问题，诸如地面的和卫星上的遥感系统，被气象学家和生态 学家用来研究大气层; 地质学家和地球物理学家们，为了 研究地球内 部岩层构造和 矿藏，就采用地磁和地震探测方法;逆散射技术在等离子体诊断和光学纤维特性的 研究中得到应用;目 标识别在雷达技术中是很重要的:用超声探查的生物声学的一 个重要应用就是查出脂肪层下面的病变组织的位置和形状. 2 一一-目 -一网一，- 一一. 一一一一一- 第二节国内 外的 研究现状 关于逆散射问题的理论和实践研究，在国外从 7 0 年代开始盛行。国内也在 8 a 年代逐渐重视起来，在算法和实际应用上都取得了一定的进展。 关于正散射问题的文献很多，而涉及逆散射问题或计算反演问题的著作相对比 较少，这主要是由于反演问题太复杂的缘故。首先， 、许多反演问题不适于用线性矩 阵方程或积分方程表达，因此，要想求解它们，就需要用更复杂的方法。就是有可 能 用线形矩阵方程描述反演问 题时， 得到的方程也往往是病态的， 所以 它的反演不 稳定。要处理这些情况，仍需要专门技术。 b o r n 迭代 法是以b i ( b o r n i t e r a t i v e m e t h o d ) 为 代表的一系列近似算法 1 2 a b o r n近似的本质在于通过将散射体内的总波用入射波来代替从而将逆散射问题线 性化。 b i 从b o r n 近似开始，反复计算正散 射和逆散射，通过最大限 度地近似散射 体内的总场来提高重建效果。数值计算表明，采用迭代法确实有效，即使对于包含 噪声的测量数据， 迭代过程也是可 行的。这种方法的缺陷在于，对于跃变型、高反 差的散射体，效果不好，只能得到平滑解，这主要是由于l - s 方程成立的条件得不 到满足而造成的。 b i 的一个延 伸是所谓的 变形b o rn迭代法( d i s t o r t e d b o rn i t e r a t i v e m e t h o d ，记为 d b d 。其主要思想是， 在每一步迭代过程中 ， 与散射体内的每个像素相联系的积分 核( 即 g r e e n 函 数 ) 都 将依 据上次 迭代的 结果 进行重新 估算。 这种算 法提高 重建质量 的 效果很 好。 其缺 点 在于 对噪 声 非 常 敏 感， 需 要 对重建图 形 进 行“ 后滤 波” 印 o s t - f i l t e r i n g ) 以 消除高 幅高 频 形变。 在d b i 基础上又产生一种所谓改进型b o r n 迭代法( t h e m o d i f i e d d i s t o r t e d b o r n i t e r a t i v e m e t h o d ， 记为m d b i ) 。 在此方法中， 研究者在迭代过程中 应用了图象分析 技术，以进一步改善 d b i 的重建效果。他们发现，对于积分核的重新估算，只需 应用到那些具有非均匀性特征的像素上，而不是散射体内的全部像素都需要。这种 有选择性的做法避免了大部分不必要的积分核重估，从而提高了迭代过程的速度和 稳定性。这使得md b i 与d b i 相比，使用性能和抗噪声性能都更胜一筹。 3 一 同 b o r n迭代法相反，逆散射间题还有另一类解法非线性万法。这些万法 通常是采用积分问题或g r e e n 公式将逆问题改写成一个非线性最优化问题。在达到 稳定解的每一步迭代过程中都需要计算正散射在不同区域的 解。这些方法的最新发 展是，避开了 每一步迭代过程中对于正散射的计算，同时， 将逆问 题分解为一个线 性不适定部分和一个非线性适定部分。 非线性积分方 程方法 3 4 和对偶空间 法 5 1 是非 线性方法的 两 个典型代表。 非 线性积分方程方法假定对障碍物有了一定的先验了解，相应于确定的波矢量，可以 把散射场表示成一个单层势场，远场数据可以表示为一个关于密度函数的第一类线 性积分方程。于是可以得到一个关于散射体物理参数的非线性积分方程，最后用非 线性最优化问题求解，且此最优化问题的解连续的依赖于测量数据。因为第一类线 性积分方程是不适定的，所以必须进行正则化处理。 对偶空间法也是一种非线性方法。它的基本思想是:通过入射波的加权迭加将 逆散射问题转化成一个内 边值问题，然后用非线性最优化方法求解。这个方法的计 算量是很大的。 在地球物理探井、医疗成象等实际工程应用方面，逆散射的研究也有很大的市 场 1 2 一 1 8 0 地球物理测井，是现代油气勘探和开发中不可缺少的重要手段和方法。它通过 一系列的物理方法获得测井响应，并由此得到地层不同深度的孔隙度、渗透率及饱 和度数据，为油气评价提供可靠的地质信息。 在石油地球物理测井中，电 磁波测井是最基本也是最重要的测井方法，占整个 测井工作量的6 0 %以 上 6 1 。电 磁波测井利用井中发射的不同频率的电 磁波在地层 非均匀介质中形成涡流和感应电流， 接收天线接受这些二次源所产生的散射场，再 将接受信号电压换算成地层介质的视在的复介电 常数， 作为测井响应记录下来。 根 据不同的需要，工作频率可选择在 1 0 - - 1 0 0 k h z ( 感应测井) ，1 0 - - 5 0 m h z ( 深传播电 磁 测井，即d p t ) ，以 及1 . 1 g h z ( 电 磁波传播测井，即e p t ) 等频段。无论是测井解释 工作的成效还是测井质量控制工作的开展，都取决于对电磁波测井法高速准确的数 值模拟。但是，由于地下构造和激励方法固有的复杂性，非均匀介质中测井响应的 分析一直是相当困难的理论问题。首先，这一问题不存在普遍适用的解析解;其 4 一一 次，单纯的数值方法， 如有限元方法和有限差分法将导致庞大的数值计算量和高昂 的计算成本。因此，不得不将模型简单化和理想化。 但模型的实际参考价值也将大 大降低，因为它难以 类比实际测井的复杂介质环境。上述方法中的困难使得电磁波 测井分析的基础长期落后于实际需要的状态。 在医疗成象领域，x光成象曾经是其主要内容。基于x光探测人体组织成分 的方 法得到了 不断改 进， 如 8 0 年 代出 现 在美国 临 床应用的d x a ( 双光人体结构分 析仪 ) 己 经被 我国 接受为 准确地 检测人体 骨密度的 仪器。 但 x光波长极短， 对人体 有相当大的辐射伤害。过频过量的照射将对人体组织产生不可预料的影响，甚至引 起基因突变，因而不能被无限制的应用。 在这种情况下，人们转而寻找 “ 无害”光 做为探测成象的光源。 采用可见光或红外光为光源的医学成象技术是当前国际上研究的热点之一由 于光在通过生物组织时被随机散射，大量散射光偏离直线传播方向进入吸收物体的 几何阴影区，使被测生物体的影象变模糊，甚至消失。 所以直接对人体组织中的 吸 收物体成象是不可能的。 近年来，随着激光技术和计算机技术的发展，各种光学成 象技术相继产生，并取得了一定进展。根据其成象原理的不同可以分为:时间分辨 成象技术、相干分辨成象技术、脉冲全息成象、散斑成象技术及全息探伤成象技术 等。其中时间分辨成象技术和相千分辨成象技术近年来发展迅速。时间分辨成象技 术具有较高的空间分辨率， 但是它要求以超短脉冲光作为光源，脉冲的峰值功率与 生物组织的安全阐值相矛盾，并且只能给出吸收物体的一维或二维图象。而相干分 辨成象技术可以直接给出二维图象， 还能够测量吸收物体在散射介质中的深度， 例 如光学相干层析( o c t ) 成象，它要求光源具有窄的相关函数， 可以用短脉冲光或宽 带连续光作为光源，具有一定的实用价值。 7 l 5 _一一一一一一一一一 第三节 未解决的 和待解决的问 题 从对国内外逆散射发展现状的研究情况看，有三个问题比较突出: i . 计算精度和计算成本的矛盾 b o r n叠代法的收敛速度得不到保证。虽然可以采取一些变形方法， 如 d b i 和 m d b i 方法来改善收敛速度，但在散射体详细信息( 这正是逆散射问题求解的目 的 所在) 未知的情况下，完全凭经验去调节程序参数不能保证收敛的高速度。要达到 高的计算精度必然导致较高的计算成本，在有些时候这是得不偿失的。其他非线性 方法，如非线性积分方程方法和对偶空间法由于要进行正则化处理或最优化求解， 计算量也很大。这是限制逆散射研究发展的一个关键因素。 2 . 几何光学近似的前提假设束缚了 发展 采用几何光学近似可以有效的简化逆散射模型，降低计算复杂度，在逆散射问 题发展的初期发挥了很大的作用。但随着逆散射问题的深入研究，很多工程实际应 用问题己经不能简单的用几何光学近似来处理了。为了能够更好的重建散射体空间 构型，必须屏弃 “ 几何光学近似”前提来构建逆散射问题。这就必须发展精确重建 理论。 3 . 缺少一个基于逆散射的物理和数学模型 现有的逆散射理论都是建立在正散射模型的基础上进行 “ 反演”，如果能建立 一个基于逆散射的物理数学模型，将逆散射问题求解转化为直接求解，就可以使逆 散射完全独立出来，开始一个新的发展里程。虽然这个问题的难度很大，但它是彻 底解决逆散射问题的方向所在。 为了解决这些问题，尤其是第一和第二个问题，我们在陆老师的指导下，对逆 散射问题开展了深入的研究。根据陆老师首先提出的形式参数展开法的思想，针对 医疗成象的实际应用，我对电磁波逆散射理论和形式参数展开法开始了研究，并做 了以下几项t . 作: 6 一-. 一-一 . 一. . .一一 一一. .一一- . 一一 1 . 对人体组织与电磁波的相互作用进行了 研究，通过对不同频段的波在人体内 穿透深度的研究以 及人体自 身的黑体辐射特性结合具体传感器的敏感区间分析， 选 取出合适波长的电磁波进行电磁波逆散射数值模拟。 2 . 对处于电 磁场中电介质的介质特性与电 磁波频率的关系做了研究， 为更深层 次的研究其 “ 反演”成象打下了基础。 3 . 建立了一个二维电磁波逆散射普适模型。应用形式参数展开法对简单散射体 的电磁波逆散射重建工作进行了理论计算。 4 . 通过对一维电 介质散射模型的精确数值模拟证明了形式参数展开的正确性。 通过对工作3 中提出的二维逆散射模型的数值模拟 ( 采用工作 1 中所证明的合适波 长的电磁波作为入射源)及其误差分析与复杂度分析进一步证明了形式参数展开法 在电磁波逆散射成象中的可行性。 最后，我们对本研究工作的技术路线进行了总结和评述。 第四 节 该工作的学术特点 和实践意义 陆老师提出的形式参数展开法是国内外首创的逆问题求解方法。从理论上已经 得到了证明。陆老师的另一位学生谭春虎同学己 经做了 超声波情形下的数值模拟工 作，在此基础上，针对电磁波散射的特点，我对电 介质和人体组织的电 磁波吸收特 性做了大量的调查工作并做了电磁波情形下简单散射体的逆散射重建数值模拟工 作。 由 于采用了形式参数展开法，计算精度有较大提高，计算成本( 复杂度) 却降低 了，而且突破了几何光学近似的限制，部分解决了逆散射研究领域所面临的第一和 第二个问题，对逆散射领域的深入研究有着重要的意义。 该工作的完成，对下一步做复杂散射体 ( 如人体)的散射模拟试验打下了良 好 了基础，为形式参数展开法应用到医疗成象领域铺垫了道路。 7 一-一一-一 . 叫.， 一一一 第二章 研究内 容 第一节人体组织与电磁波的相互作用 从电 磁波的 预言( 麦克斯威，1 8 7 3 年) 和用实验发现电 磁波( 赫兹，1 8 8 8 年) 起已 经过去了一百多年。从 1 8 8 5 年俄罗斯科学家 a .c . 波波夫演示了他在世界上首先发 明的无线电发射机时开始，电磁波就被用于无导线情况下信息的发送与接收。 在医学中，电磁波被用来作为治疗和诊断的手段。莱塞电磁辐射在医学家和 生物学家的科学实际活动中的应用已是众所周知的。在肿瘤医院中已经开始利用超 高频加热法:一束被会聚的固定频率的电磁辐射用来局部加热肿瘤 ( 温度约为 4 2 - 4 5度)，作为辅助治疗因素。肿瘤增长的抑制和肿瘤的吸收既与加热有关，也 和基本治疗因素一化疗药剂和 x 一 射线等的促进作用有关系。 人们对电磁波应用于医疗诊断寄予很大的希望。与上面讨论过的高信息相干震 荡的应用例子不同，起作用的不仅可以是外部 ( 人工震荡器)的电磁辐射，还可以 是生物体所固有的 ( 非相干)热电磁辐射。 人体热 辐射的 最 大 值按波 长来说 约 在1 0 ,u m左右处， 对 应于电 磁频谱中的 红 外频段。己经研制成功了液氦冷却下工作的非常灵敏的半导体结受感器，并在此基 础卜 制成了 所谓的热探测设备。在热探测器中人体皮肤的热场被转换成电 视显象管 屏上的可见图象。依靠人体皮肤场的热发射可以反映出皮下层的状态，以及分布不 深的血管和组织的状态。 电 磁波与生物体作用的特性，既由 辐射的参量 ( 如辐射的频率，传播速度，震 荡的相一 性，波的极化)所决定。也由作为媒质来看的生物体的物理性质 ( 介电常 数，电导率，以及与这些参量有关的参量:在介质中的电磁波波长，穿透深度，波 在空气一 生物组织分界处的反射系数)所决定，而波就是在这种作为介质的生物体 中传播 8 。因此，当拨透入生物组织时，其振幅的减小可以 用渗透深度s 来表 f if . : 8 是一个距离，在此距离上波的振幅减小到原值的 e ( e -2 . 7 2 )分之一。例 8 一一一. 一一 一一-一- 一 如，当x = 1 0 c m时 ( 震荡频率:f = 3 g h z )， 电 磁波在肌肉组织和皮肤中的穿透深度 约为 1 5 c m ; 而当入 二 8 m m ( f -3 7 . 4 g h z ) 时，6 = 0 . 3 m m。 直到介质中波长大大超过细胞和所进入的小器官的尺寸为止，都观察到6 随波 长入 的减小而减小的趋势。在很高的频率上，电磁波对生物组织的渗透性又重新增 大。例如，硬 x 一 射线和y 一 射线 ( 伽马射线)实际上可以无衰减地透过软组织。在 估价辐射与不同物体的相互作用效果时，习惯上将辐射分成为电离辐射和非电离辐 射。通常量子能量达到可以使分子链断裂或使原子电离的电磁震荡 ( 光辐射，x 一 射 线， 丫 一 射线)属于电离辐射。量子能量较小，波长较长的电磁震荡 ( 其中包括毫米 波)则属于非电离辐射。使体温升高便是辐射对机体的能量作用的典型例子，此时 电磁辐射将能量转变为热来达到有益的效果。但是，毫米波对机体的作用不是以体 温升高作为达到有益效果的主要因素。人们称这种情况下的作用为低强度的 ( 或非 热强度的)电磁辐射的控制作用 ( 或信息作用)。 在对电磁波与人体相互作用的研究基础上，利用人体组织对各种频率的电磁波 的响应特性，各种各样的基于计算机的c t 相继出现，x 射线c t ( 简称x c t ) ， 单光子 发射c t ( 简称s p e c t ) ， 正电子发射c t ( 简称p e c t ) ， 超声c t ( 简称u c t ) ， 微波c t ( 简称 m c t ) 和核磁共振 c t ( 简称 n m r c t ) 等，形成了医学影象学诊断的新学科。超声，x 线，红外线和核磁共振核医学被称为当今四大医学影象设备。 其中的采用可见光或红外光为光源的医学成象技术是当前研究的热点之一。 红外成象系统所用的探测材料有 i n s b , h g c d t e( 又称 m c t )。它们所敏感的波 段分别为2 - 4 . 6 u 。 和8 - 1 2 u m 。 在8 - 1 2 u m 波段， 人体皮肤近似于完全黑体，入射的 红外线将基本上被人体所吸收，不适合于做散射实验。 当介质中波长远大于细胞和小器官的尺寸 ( 约 u m的数量级)时，穿透深度随 频率增加而下降，能量被严重吸收大大影响了成象的质量，并且，根据瑞利判据， 大的波长 将不足以 有高的分辨率。当波长过短而进入x 射线范畴时，又会出现辐射 危险。因此，选取与人体细胞尺寸相接近的红外光就成为必然。 再考虑到探测材料的敏感度和人体吸收的问题，由于 8 - 1 2 u m波段的红外光波 基木上被人体吸收，也不适合于做探测用，只有 2 - 4 . 6 u m 的红外波段是理想的入射 源选择。取其敏感曲线的峰值大约为 3 u m附近，因此我们将在模拟实验中选取波 9 一叫 . ， . . . . . . . 叫 网 . ， . . . . ， ， 长为 3 u m的红外光源作为入射波波源。既能有较好的穿透率，又能较好的满足探 测器的探测要求。 第二节电 磁场中电 介质的 物理特性研究 电介质 ( d i e l e c t r i c )是在电场作用下具有极化能力并能在其中长期存在电场的 一种物质。电介质具有极化能力和其中能够长期存在电场这种性质是电介质的基本 属性。电介质体一般没有自由电荷，具有良 好的绝缘性能。而工程上实际应用的电 介质跟理想的电介质有所不同，最主要的就是实际电介质在电场作用下存在泄露电 流和电能的耗散以及在强电场作用下还可能导致电介质的损害。 电介质种类繁多，组成物质结构也千差万别。可以从不同角度对电介质进行分 类。一般将电介质分为极性电介质和非极性 ( 中性)电介质。按照介质组成成分的 均匀度进行分类，又可将电介质分为均匀电介质和非均匀电介质。 处于电磁场中的电介质有极化、损耗、击穿等物理性质，对不同频率的电磁 波入射有 “ 色散”现象。因此，在电介质作为散射体的逆散射问题中，研究这些性 质并在此基础上选择合适的入射波源就成为必然。 具有慢极化的电 介质在交变电 场作用下表现出的介质特性( 极化与损耗) 与电 场 频率有关， 故 可以 引入复 介电 常数e . ， 复电导 率厂的 概念。 首 先考虑一 个 平行 平板式静电 容 量为c 0 = 二 。 s l d 的 真空电 容 器， 如果 在该电 容器上加上角频率为口= 2 了的交流电 压: v = v o e 则在电 极 上出 现电 荷q = c , v ， 并且与 外 加电 场同 相位. 在外电路上的电流为电荷 q 对时间的导数: i = d q l d t = i c o c o v o e = i o) c o v ( 2 . 2 ) 由此可见，电路中电流与外加电压差9 0 相位。 下面接着分析电极间不是真空而是充满相对介电常数为 ， 的电 介质，显然 此时的电 容量具有新的值c = s , c， 相 应的电 流 变为 1=d q l d t =i co c v= a ,.i ( 2 . 3 ) 1 0 它比 上 述的电 流要 大。 ， 倍。 但是 该式 仅适于 理想电 介 质， 即 假设 所填充 的电 介质是理想绝缘的非极性电解质， 此时，电 流与电压仍然相差9 0 相位。 如果所填充的电介质是弱电导性质的，或是一种极性的，或者兼有这两种特 性的材料，那么，电容器就不再是理想的电容器，于是，电流对电压的相位就不会 恰好相差9 0。因为此时增加了一个与电压具有先同相位的电导分量g v， 故总的电 流为两部分电流的和: 1 = i w c v + g v = ( i to c + g ) v ( 2 .4 ) 由于g= 沼/ d 及c= s s , s l d ( s 一 极板面积，d 一 介质厚度) ，当 代入上式后， 即可求出电 流密 度j 为: j = ( i w c , e o + y ) e ( 2 . 5 ) 根据此式可以引出复电导率厂= i w e , b 。 十 y 以及复介电常数 二 : ， 一 i 一 y c j e , e , 由 上式可以 看出， 在交变电 场中电介质的特性参数为e . 和y ， 它们都和电 场 频率有关， 这一点与电 介质处于恒定电 场中的静介电常数和稳态电导率有本质的区 别。 在非理想电介质中电磁波能量发生损耗会直接影响透射能量的多少并进而影 响成象的质量，其数学模型和理想电 介质也不相同。因此，对有复介电常数的电 介 质，必须建立一套新的计算模型。这也是我们将来所要研究的内容之一。 n . 目 . . . ， . . . ， ， . ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 目. . 目 . 一一一目 钾 . 一一一 第三节二维逆散射模型的建立与利用形式参数展开法的求解过程 ( 一) 引言 基于逆散射问题的复杂性，人们开始考虑引入微扰论思想。在过去几十年里， 基于微扰论的透射和反射成象技术在很多领域得到了应用， 例如医学和地质勘探。 一般的，在假定弱散射的前提下，即成象物体的表征参数与周围介质的相应参数间 相差很小时， 一阶b o rn和 r y t o v 近似可以被采用。 然而，该限 制并不符合逆散 射 工作中经常出现的强散射的实际情况。基于这些考虑，一些科学家开始发展一些基 于一阶近似的方法的改进方法来改善成象质量。但在强散射情况下，这些方法都不 会取得太好的重建效果。为了能够尽可能的重建空间强散射体的物理分布参数， 二 阶和更高阶的微扰项也必须被考虑。 在进行高阶微扰计算的过程中， 陆老师提出了形式参数展开法的思想，并在简 单散射体超声波逆散射的重建中得到了 应用和证明。本文所做的主要工作就是建 立一个二维散射体逆散射模型，以电磁波作为入射光源，利用形式参数展开法进行 包括高阶微扰项的求解计算，为以后的电磁波逆散射复杂模型求解打下基础。 ( 二) 数学模型的建立 以二维空间中单频电磁波激发的非铁磁介质电磁衍射层析成象为例，令 e ( x , t ; b ) = e ( x ; b ) 。 一 邵 ， 其 数学 模型为 v 2 云 ( x ; b ) + k 2 ( o r x ) 云 ( x ; 9 ) + v( 云 . v l n c ) 二 0 入射波e n ( x ) ( 2 . 6 ) 云 ( x ; b )二 一 二 。 己 知0 5 0 ; v ,;b * = 一 、 . g . (x , ,。 二 t a x , ; b )( 2 . 2 7 ) 其中 e . (x , ; v . ;0 ) = j e , (x ;b ) e x p (一 ，2 m z , v ., )dx 2( 2 . 2 8 ) 称为散射波的 平面波角谱 9 ， 下标a 表示角谱， g o (x , , 、 ) = 仁 v x l) e x p (一 ，2 m c, v , )dx , e x p (i2 rr j k ; 一 * 2 、 ，。 i x 1) 4 n i 了 k ; 一 * 了 + i0 ( 2 . 2 9 ) 为奇异广义函数【 1 0 t (z i f (x ; ; v ;“ ) 一 j f (x i; v 一 v , ;0 ) e . ( x i; v , ;0 ) d v , 二 几. , e o( 2 . 3 0 ) v , ;0 ) 二 j f ( o r x ) e x p (一 2 n x , - v , ) d v( 2 . 3 1 ) 1 6 一，一一-一.一 e o 价 1 ; v ., ; 0 ) =丁 e ( x ;b ) e x p (一 2 7cr , v ., )d x ., e ,o ( x , ; v , ; 0 ) 一 e o a ( x , ; v . ; b )( 2 . 3 2 ) 一 。 2 1r ， 一 ，一 ，一 1 鑫 j1z=21 v2 一。 一 k,27r 一 会 设f是f 的f o u r i e r 变换，则 f (x , ; v s ; e ) 一 了 f ( . r v ) e x p (i2 ;r v ,x ,)d v , ( 2 . 3 3 ) 其中v = 6 1 , v 2 t/为空间 频率 矢量。 将( 2 .3 3 ) 式 代 入( 2 .2 7 ) 式， 得 角 谱 域公 式 e _ (x , ; v ., ;0 ) = - k 2 孙、“ v f (e r ( v 。 g o (x ， 一 x ; v s ，一 v : 一 v s )e . (x i; v s ; e( 2 . 3 4 ) 其中 v , e o表示直接和。 ( 2 ( v : 一 v ) 一 ( ; , v 2 一 v z y2 3 1 )式可以写成 ( 2 . 3 5 ) ( 1 一 l j e , ( x , ; v ; e ) 二 e o a ( x , ; v , ) 其中l 。 为角 谱域线 性积分算符 ( 2 . 3 6 ) l o = 一 、 o j d x ld 2 v g a (x : 一 x ; v , )e x p ( i2 ;r v ix ;)f (e) r ( v i 。 ( v ， 一 、 : ) (2 .3 7 ) 或形式上写成 l q =r . f 现在讨论 b o rn变换下逆散射微扰论。 将散射体的f o u r i e : 变换f按微扰参数展开 ( 2 . 3 8 ) 若在散射波角谱中引入微扰参数: ，且 f 一 y, f e ( 2 . 3 9 ) 1 7 一一一一一一一- -一一一一一- -一一-一- 则有 :， 一 : f 一 (,e _ + e oj = e o ( 2 . 4 0 ) 合并同幂项: m ，并令其系数为零，则得角谱域重建公式 e 二=r - , f , e , ( 几凡- ) e _+ ( 几凡) e a = 0 m ? 2 ( 2 . 4 1 ) ( 2 . 4 2 ) 将 ( 2 .4 1 )式代入 ( 2 .4 2 )式得 ( r , f . - , ) r , f , + r a f e , 。 二0 m ? 2 ( 2 .4 3 ) 己 知 e ( x ; 0 河 : 二 : .。 ， 因 而 可 计 算 得 e j x 1a ; v ;6 ) ， 由( 2 .4 1 ， 式 便 可 得b o rn 一 阶近似角谱域重建。当m = 2 时有 ( f . f , ) e . + ( f . 凡) e o a = 0 ( 2 .4 4 ) 由此可得 b o r n二阶近似项重建。以上的讨论对入射波的波阵面形状没有任何限 制， 它 可以 是 平 面 波， 球 面 波， 扇 形 波 或g a u s s 束。 如 果 是 平 面 波 ， 例 如 沿x ， 方 向 传 播 的 平 面 波e o ( x ) = a e 0 ， 则 e a 。 一 a e k 0 s ( v j ( 2 .4 5 ) 成 ) 为d i r a c - s 函 数 。 关 于 二 阶b o rn近 似的 重 建 算 法 和 数 值 模 拟 例 子 见 参 考 文 献 2 0 1 . 类 似地， 若在 散 射波w ， 中引 入微 扰参数， 将散 射体f 按之展开 介 l .f emmm=1， 了 一 f f mm.i卜 、 ，= 。 ( 2 . 4 6 ) 则有 b o r n 变换下空域重建公式 ( f f , ) e 。 一e ( 2 . 4 7 ) 1 8 一一 一一一一- 一- ( i 7 漏 ) e o = 一 ( 呱 - , ) e s m ? 2 ( 2 . 4 8 ) 将 ( 2 .4 7 )式代入 ( 2 . 4 8 )式得 【 双 八 +( i 丫 福 _ 、 ) 以 e o =0 m_2( 2 .4 9 ) 现 在 讨论 r y t o v变换 下 的逆 散射微 扰论 。为此 利用 展 开式 e x p ( 冬) - 也 。 宁 耳二 丫 漏 m ! ( e o )在广义散射波x中引入微扰参数 ， 将散射体 f 按微扰参数 展开，再将它们代入 ( 2 .2 6 )式得: x d 丛e0 e o m (e /m = -kp jg (一 it f ee oi m ! = - k o f g ( i ， 一 二 d 1 二 ，票 价 1y f p - ( )gd 2xp., , q ! e o ( 2 . 5 0 ) 于是有r y t o v 变换下积分形式空域重建公式 e , ( x) 0 m ! e o 特别到m = 1 时得r y t o v = 一 “ jg x 一 ie o(x ) y f p i ( x )gd 2xp+q=m q! e , = r fp i (x ) qe op+q=m q! e o ( 2 . 5 1 ) 变换下的一阶近似重建公式 、 = - k o f g ux 一 二 i) e o (x )f ( e) r . )d x , =r f e o ( 2 . 5 2 ) 和 ( 2 .4 7 ) 式相比 ， 所不同的 是， 这里用广义散 射波x = _ . e ， .、 “ ， . 、 . 气 in - 代晋靓别 一 吸双 乙 。 当m = 2 时便得r y t o v 变换下的空域二阶近似项重建 (r f 2 ) e 。 一 (以 ); + rf )x + 1 岑 之立 a ( 2 . 5 3 ) 1 9 一一 . 一一一一一-一 和 b o rn变换下的空域二阶近似相比，除用广义散射波代替散射波外，还多了一项 x2 2 e o ( 三) 形式参数展开法 以上所述逆散射问题的解都是无穷级数，相应的一阶和二阶近似重建算法只对 弱散射才适用，即当 f ( y ) ! 很小时才适用。 如果采用更高阶近似， 势必导致计算量 不断增加。能不能得到有限形式的 解呢?如果能 表示为有限 项之和， 那么这个问 题 就解决了。 若对方程的微分形式作广义散射变换 ( 2 . 1 4 )，则方程化为 v zx + k:一、 ;二 。 - 9- d a 分 (0a,2 ( 2 . 5 4 ) 在b o m和r y t o v 变换下， 分别化为 o z e , + k o e , = - k 2 1 ea ( 2 . 5 5 ) v sx + k一.je o一 e