（应用数学专业论文）ginzburglandau泛函的极小元的唯一性.pdf

摘要 摘要 在本文中，设q 为r 2 中光滑有界的单连通区域，b = z r 竹， 1 ) ，对r ( 0 ，1 ) 记a r = x r n ；r i x i 1 ) ，夕：a q _ s 1 为光滑映射 且d e g g = d 我们在函数类空间 磁= 群( q ，r 2 ) = ( 缸h 1 ( q ，c ) ；u = 9 0 7 2a q ) 中研究 疋( u ，q ) = 互1 上i v u l 2 + 1 。i 仳1 2 ( 1 一i 乱1 2 ) 2 ， 的极小元的唯一性；这篇文章第二部分中我们将用另一种方法证明泛 函足( 乱，b ) 在函数类 w = u ( z ) = ，( r ) 击h 1 ( b ，形) ；y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 1 ，r = ) i 山l 的径向极小元的唯一性首先在第一章前言部分，我们给出了本篇论文要证明 的几个定理结论随后在第二章中，我们证明了泛函疋在函数类日：中的极 小元的唯一性在第三章中，我们得到了极小元的零点分布情况在第四章 中，我们用另一种方法证明了泛函在函数类的径向极小元的唯一性 关键词 g i n z b u r g l a n d a u 泛函；极小元；径向极小元；唯一性 a b s t r a c t i i i a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w el e tqb eas m o o t hb o u n d e ds i m p l yc o n n e c t e dd o m a i n i nr 2 ；a r = z r n ；r i z l 1 ) ，v r ( 0 ，1 ) ；夕：a q _ s 1as m o o t hb o u n d a r y d a t ao ft o p o l o g i c a ld e g r e ed e gg = d w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eu n i q u e n e s sf o rt h e m i n i m i z e r so f 足u ，q ) = o nt h ef u n c t i o nc l a s s 去fl v u l 2 + 去小1 2 ( 1 一i 们i 2 ， 田= ( q ，r 2 ) = u h 1 ( q ，c ) ；u = g o no a f u r t h e r m o r e ，w ew i l lu s ea n o t h e rw a yt op r o v et h eu n i q u e n e s sf o rt h er a d i a lm i n i m i z 。 e r so f 足u ，b ) o nt h ef u n c t i o nc l a s s = ) = 竹) 高日1 ( b ，舻) ；，( 0 ) = o ，加) _ 1 ，r = l z i ) f i r s t ，i nt h ec h a p t e r1p r e f a c e ，w ep r e s e n tt h ec o n c l u s i o n si nt h i sd i s s e r t a t i o n t h e n i nt h ec h a p t e r2 t h eu n i q u e n e s sf o rt h em i n i m i z e r so f 疋o nt h ef u n c t i o nc l a s s i sp r o v e d w h i l ei nt h ec h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h el o c a t i o no ft h ez e r o sf o et h er a d i a l m i n i m i z e r s i nt h ec h a p t e r4 , w ew i l lu s ea n o t h e rw a yt op r o v et h eu n i q u e n e s sf o rt h e r a d i a lm i n i m i z e r so f 足o nt h ef u n c t i o nc l a s s 形 k e y w o r d sg i n z b u r g l a n d a uf u n c t i o n a l ；m i n i m i z e r ；r a d i a lm i n i m i z e r ；u n i q u e n e s s 第1 章引言 第1 章引言 设q 为r 2 中光滑有界的单连通区域，b = 【z r n ，i x i 1 ) ，对r ( 0 ，1 ) 记a r = 【z r 竹；r i x | 0 ( e o 与q ，9 ) 有关，使得对任意的 o 疋( u ，q ) 的极小元唯一 定理1 2 存在常数6 ( q ) 如果g = e 印o na q ，其中妒满足i i 妒”i | 6 ( q ) 则 对v e ( 0 ，) 足( u ) 有唯一的极小元u 。 定理1 3 设u 。是径向极小元，则对任意的0 h 1 ，e ( 0 ，1 ) u 。在b 中的零 点均在b ( o ，h e ) 中 定理1 4 对v s ( 0 ，e o ) ，足( 乱，b ) 的径向极小元在w 中唯一 第2 章极小元的唯一性 4 第2 章极小元的唯一性 由变分方法，足( 让) 的极小元u 。满足方程 篙书舢斗一2 ) | 毗| 2 书5 兰一m g 事实上，对任意妒h 1 ( q ，c ) 脚协) = 互1 上i v ( u + t o p 妒+ 击z i 札埘| 2 ( 1 一i u + t 妒1 2 ) 2 对它关于t 求导，令t = 0 然后分部积分即得上式 引理1 设u 为( 2 1 ) 的解，则i l 1 0 7 2q 证明：由于 f a l u 。1 2 = 即u 。+ i v 乱。1 2 = 古i u 。1 4 ( 1 u 。1 2 一1 ) + 萨1l u 。1 2 ( 1 一l u s l 2 ) 2 + i v u e l 2 【壶i u 。1 4 ( i u 。1 2 1 ) 因此函数v = i 1 2 1 满足 于是命题得证 越：三暑：l 麓 ( 2 1 ) 由于q 为r 2 中光滑有界的单连通区域，9 ：a q _ s 1 为光滑映射且满足 d e gg = d ，并且1 9 ( z ) i = l 对任意的z a q 则有一个光滑函数妒：a q _ 冗使 e 印= 夕o no f t 更重要的是，能设妒满足 ，- | c _ p t d a = 0 第2 章极d , ) f i 的唯一性5 i 丰lp o i n c a r 芒一w i r t i n g e r si n e q u a l i t y 。知 妒川l p ( a q ) c ( q ，p ) i i 妒i i l - ( 勰) f o r 1sp ( 3 0 ( 2 杰) 其中c ( f l ，p ) 是依赖于q 与p 的常数设札。是 m i n f l v u l 2 ，m 磁( q ，s 1 ) 唯一的光滑调和极小元，满足 童y 咖| 2 i nq i nq o na q 由【l 】知让。能写为u o = e 伽i nq ，其中妒。是妒在q 上的调和扩张 从而有 v u o 2 = l v 妒0 1 2 ， v 。q 因此，由( 2 2 ) 及标准椭圆估计，有 v u o 2 c ( q ) | i 妒”i i 主， 另一方面，由【1 ，t h e o r e m1 ，当一o n ，u 叫u 0i nc 1 ，q ( 豆) v a 1 因此，设i u 。i ；o nq 当充分小，且仳。= p e e 妒。其中风= i u e i 从而有 引理2 当e ，o n ，有 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 陆叫1i nc 1 ( 瓦) ；仇一妒oi nc 1 ( 豆) ( 2 7 ) 证明：由于叫o 时，叫u oi nc l , o l ( 孬) v q 0 使任意 g o 有p l = p 2 当且仅当妒1 = 妒2 证明：若p l = p 2 = p 令妒= 妒1 一妒2 由( 2 8 ) 知 即 两式相减得到 于是 由于 故 即 2 v 妒# v p # 一。h a l o # = 0 p kc p l + 2 v p v i ，o l = 0 p kc p 2 牟2 v p v q 0 2 = 0 p 妒+ 2 v p v i o = 0 一a c i o = 2 v 口p v 妒i n q p = 妒o ，歹= 1 ，2 ，i n 0 f l 妒= 妒1 一妒2 = 妒。一妒o = 0 i na q 忙絮呻g ( 2 1 0 ) 、g 甜 m 伽 i一2 一 劈 n j 一2 一 考 p 乃，孑 = 2 叻 v 乃l 十 i | 办乃 一 第2 章极小元的唯一性 8 在( 2 1 0 ) 式两边同时乘以妒由c a u c h y s c h w a r z s 不等式得 zi v 卯= 上2 ( 孚v 咖2 i i 7 v p 令一方面f h p o i n c a r e s 不等式知 由( 2 11 ) 与( 2 2 2 ) 可以得到 怯( 上i v 卯成上争 ( 2 1 1 ) 妒1 1 2 0 ，使对比 0 使比 0 ( 2 2 5 ) 由( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 矢h p = o i nq 由引理2 知妒= 0 ，因此钆1 = u 2 下面证明定理1 2 定理1 2 存在常数6 ( q ) 如果9 = e 印o i la q ，其中妒满足i i 妒”i i ( a 为一关于d i r i c h l e t 条 件的第一特征植) 方n ( 1 2 ) 只有一个极小元u 。因此我们只需要考虑 第2 章极小元的唯一性 1 4 s t e p2 方程( 1 3 ) 的任意一个极小元u 。有 门 v u 。1 1 。兰 i nq ( 2 2 7 ) 证明与s t e pb 1i n 【l 】类似因为s ( 0 ， 赖e 的常数c s t e p3 3 6 0 0 如果l 怯( 品则 ) 是有界的，故可以选取依 l iu 。i i 。1 6 ，v e ( 0 ，杀】 ( 2 2 8 ) v 、1 证明： 由于在丽内是正则的，则| z o 页使q = l ( z o ) l = i n fl u e ( z ) i 因为q 的边界是光滑的，则有两个正常数幽，c o 对v d d o ，v z 豆有m e a s ( f l a f l ( x ，d ) ) c o d 2 由s t e p 2l i v u 。i i i c 知i 巫掣i 譬故 因此 假设 u 如) i a + 詈p z qnq ( p ) ( 1 - i ( z ) l z ) 2 ( 1 - ( q + i c ) 2 ) 2 ( 1 - - q - - i c p ) 2 ( 2 2 9 ) c p _ c o p 2 警百0 1 2 j f ：n f z (，q z o , p ) 。 q 巴 = 积( 1 一a ) 4 a 2 第2 章极小元的唯一性1 5 故 由于札。为极小元，所以 e ( u e ) 忍( 乱。) = 互1 上i v u 。1 2 厂。，p ) l 二兰丞兰掣2 上i v 1 2 1 一如 s t e p4 厶i 鬻| 2 c ( q ) l l v u 洲至 ( 2 3 1 ) 证明： 令t ，= ( v l ，v 2 ) 为q 上的一个光滑向量场，在a q 上u = n 为外法向量 ( 2 1 ) 式两遍同时乘以 v u e = 0 1 舞+ u 2 a 0 俳z 2 ( 为了简便起见这里省略) 上u c u v u ，= 厶i 象1 2 一上娄c 口v 乱k 因为当一0 时厶i v u 5 1 2 仍然有界，所以 第2 章极小元的唯一性 1 6 i 如u x i ( 口1 让z l + v 2 u z 2 ) 吼 j = 如u z 。 1 ( u 。) z ；+ v 2 ( u z 。) z ；) + o ( 1 ) 1 = = f q v , ( 1 u z ；1 2 ) z 。+ u z ( i 乱z 。1 2 ) 。+ o ( 1 ) 【= f o q ( u z 。) 2 + d ( 1 ) 因此 上酬v - v u ) = z qi 磊o u1 2 - 互1z q i v u l 2 + o ( 1 ) 另一方面 1 矗u ( 1 一i u l 2 ) l u l 2 ( v 乱) 一萨1 仳( 1 一i u i 2 ) 2 v u ) = 壶如i u l 2 ( 1 一i 乱1 2 ) ( ；2 ：。v t ( 1 u i 2 ) 翰) 一霹1 矗( 1 一i u l 2 ) 2 ( 銎。地( 1 u 1 2 ) 。i ) = 击矗i u f 2 ( 1 一l u l 2 ) 2 d i v v 一萨1 如( 1 一i 乱1 2 ) 3 d i v v = 孕1 ( 3 1 u i 2 1 ) ( 1 一i u | 2 ) 2 = o ( 1 ) 厶j 丽o u l 2 一丢1 w 1 2 = 互1 “i 丽o u | 2 _ 口o u 丁i 2 ) = 。( 1 ) 所以存在c ( f 1 ) 使 z nl 囊| 2 1 6 ，( s t e p3 ) ，有 即 上妒仳1 2 ( 禹瑚。) 上肌小u 1 2 + 2 上a ( 1 叫上妒扎1 2s ( 击+ 4 c 。) 上冉2 上从 ( 2 3 6 ) 由于w 1 ，1 ( q ) cl 2 ( q ) 且 ( 上妒2 ) c ( q ) ( 上i v 妒i + f a i 川，v 妒1 1 ( q ) ( 2 3 7 ) 令妒= 2 a 。由( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) 失i ( 1 - e ) 点1 砒1 2 _ c ( q 川i v u 。i i z i i 砒i i z + i i v u 洲护+ z q 丽o a ( 2 3 8 ) j d sz v 。 另一方面，由单位分解定理与【l 】中s t e pb 3 的结论知 f o i lo a 2 ，如果i i 忆南 l i v u 。i l o o = i i v u 。一c i i 。 c ( q ) ( 1 l a u 。i l l 。+ i l u 。一c l i l * ( o m ) c ( q ) ( i i 妒i l l l + l i 妒，l - ) c ( q ) i i 妒i l l l 由( 2 4 0 ) 与最大值原理得到 2 0 皿i j 。4 1 1 v u 。l l 乙c ( q ) l i 妒| | 至- ( a q ) ( 2 4 2 ) 由( 2 2 6 ) 且再次使用p o i n c 疵s 不等式， 存在6 0 0 如果l i 忆t 6 0 ， 有 a ，fl u l 2 上i v u l 2 - 0 使得层i 髭1 2 d r c 事实上，由于疋( u ；，b )e 仳s = ( r 恫， 丢fl v ( 计+ _ 。二i f , 1 2 ( 1 一i f , 1 2 ) 2 0 ， l ，( r ) i c ( 3 3 ) 脚= 丢六i v 砰+ 击“2 ( 1 w ) 2 入) ，则i u 。( z ) i 订1 0 ， v x a m b 括 证明首先，存在卢 0 使对任何x a 和0 0 ，使对任何x ，x o 一a ， u 。( z ) 一 e ( z o ) i岛l z z o 障 取入= ( 丽蕊1 ) 2 ，p = p c l 入2 反证若存在x o anb k 使得l 乱。( z o ) i p s 2 j b 2 z 。n a 第3 章零点的位置2 5 这与( 3 5 ) 矛盾命题( 3 2 ) 得证 若 1 丘m 们a ( 1 卟铲) 2 鲰 则称b ( x 5 ，旭) 为好圆盘否则称b ( x 6 ，沁) 为坏圆盘 设 b ( z i ，旭) ，i ， 是一族满足如下条件的圆盘： ( i ) ：z ；a ，i ，；( i i ) ：acu t ，b ( z ；，a e ) 啦即；，等) n 即；，等) = g l 歹 ( 3 8 ) 命题3 3 记以= i ，；b ( z i ，旭) 是坏圆盘) ，存在不依赖于s ( o ，o ) 的正整数0 ，使得坏圆盘的个数c a r d j e n o 证明 ( 3 8 ) 意味着a 中每点均可被有限个，不妨设为n ( 不依赖于) 个圆 盘覆盖利用( 3 4 ) 和坏圆盘的定义，我们有 矿c 删以k ：糊n a ( 1 刊2 ) 2 s 礼( 1 一l u 。1 2 ) 2 n ( 1 一i 仳。1 2 ) 2 r i c e 2 j u i e & b ( z ：，2 a e ) a aj b b ( o ，h e ) 因此c a r d j e 警n o 利用命题3 3 及 2 1 中定理i v i ，我们可以将坏圆盘族加以调整，使得新一族坏 圆盘 b ( z ；，九) ；i j ) 满足 u t 以b ( z ；，a e ) cu i ，b ( 。；，h e ) ，a ；c a r d j c a r d j 。 i x ；一巧i 8 h e ，i ，j 以i j 最后这一条件表明新一族坏圆盘两两不交 第3 章零点的位置 2 6 定理1 3 设u 。是径向极小元，则对任意的0 h 1 ，s ( 0 ，1 ) u 。在b 中的零 点均在b ( 0 ，h e ) 中 证明首先证明u 。在a = b b ( 0 ，舱) ，中无零点 反证 若存在x 0 a 使i 让。( z o ) l 普则s o = z a ；= i z o l 上的所有点均满 足l u 。( z ) l k e ，因此s o 不能被单独的坏圆盘覆盖这表明s o 被至少两个互不相交 的坏圆盘覆盖这是不可能的于是 m z ) l 五1 0 n s z a ( 3 9 ) 由于u 。在a 中无零点，故零点均在b ( 0 ，h e ) 中 由命题3 3 知b 能被有限个坏圆覆盖，事实上，b ( 0 ，h e ) 也存在x o 使 1 ，b ( 孤2 旭) ( 1 一i u 1 2 ) 2 i 扎s 1 2 p ，故b ( x o ，2 a e ) 为坏圆盘同命题3 3 证 明，b ( 0 ，h e ) 中坏圆个数为有限个，并且b ( 0 ，h e ) 也是坏圆 第4 章径向极小元的唯一性2 7 第4 章径向极小元的唯一性 当拓扑度不为零时，对一般极小元而言是没有唯一性的。但极小元若有 径向结构，可以预见它的唯一性。事实上，【5 】已经证明最的径向极小元是唯 一的。我们将用一个新的方法来证明疋的径向极小元的唯一性。即，在第三 章讨论径向极小元的零点分布的基础上进行证明。就零点分布本身而言，也 是具有独立的重要的意义。 定理1 4 对v e ( o ，c o ) ，足u ，b ) 的径向极小元在w 中唯一 证明固定( o ，o ) 设u l ( x ) = ( r ) 南和u 2 ( x ) = 止( r ，j 习x 均 为r ( 仳，b ) 于w 中的径向极小元，则它们都满足( 3 1 ) 于是 取咖= u l u 2 = ( f l 一，2 ) 向有 fl v ( 仳一“z ) 1 2 如= 互1f b ( f 1 一止) 2 【4 ( 斤+ 眉+ f l f 2 ) 一3 ( ， + 片止+ 斤詹+ 詹+ 露) 一l 】出 ( 4 2 ) 运用( 3 3 ) 和( 3 9 ) ，在a 上有 于是 4 0 冀j r 瑾+ y l y 2 ) 一3 、 + 建f 2 + 冀绣+ h r + l 佘一1 曼0 fl v ( 仳t 咄) 1 2 如孬1 厶k ) ( 一，2 ) 2 m + 詹+ f l y z ) 一3 ( 斤+ 片，2 + 斤詹+ 詹+ 乃) 一1 】比 ( 4 3 ) zd 2 1 咄 u uu一 4 uu3一 u u一 2 让 u 阻 厂止 土舻 = zd 工v uv uv 厂厶 第4 章径向极小元的唯一性 2 8 由p o i n c a r 6 s 不等式知 故 ( u 1 一u 2 i i 2 乏nd z ) i n - 2sc ( n ，p ，q ) i v ( 仳1 一u 2 ) 1 2 d x j b j b ( f i f l j b 刊) 孚蚓哪j m b 剖2 蜒警z b ( 0 ，h e 、( 刊2 妞 厶c l ， ，) 由h 6 l d e r 不等式 故 ( 一止) 2 d z ( ( 一尼) 藉2 nd z ) 百“- 2i l b ( o ，h ) l l l 。：杀 j b ( o ，k )j b ( o ，k ) ：( ( 一，2 ) i 2 乏nd z ) n - - - 2 ( 九) 2 j b ( o ，h e ) ( fi1_，2|雨2n蚓nn-_22js 掣b c c ( n , p , f 1 ) f b 。， ( ( i x 一厂2 ) 雨2 n 如) 了n - 2 ( 比) 2 ，日( o ，h e ) i 一九i 箍出) 宁 其中，c ( n ，p ，q ) 依赖于h ，当h 适当小时，u l u 2 = co e 于b 注意到命 题3 1 包含的钆1 ，u 2 的连续性，和“1 = u 2 于a b ， 我们最终可得 钆12 札2 o nb 参考文献2 9 参考文献 【1 】e b e t h u e l ，h b r e z i s ，f - h l e i n ：a s y m p t o t i c s f o r t h em i n i m i z a t i o no fa g i n z b u r g l a n d a uf u n c t i o n a l ，c a l c u l c so fv a r i a t i o n sa n dp d e 1 ，12 3 1 4 8 ，( 19 9 3 ) 【2 】e b e t h u e l ，h b r e z i s ，e h 6 1 e i n ：g i n z b u r g - l a n d a uv o r t i c e s ，b i r k h l i u s e r ，1 9 9 4 【3 】3 y t l e i ：r a d i a lm i n i m i z e ro fp g i n z b u r g l a n d a uf u n c t i o n a lw i t hn o n v a n i s h - i n gd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，n o n l i n e a ra n a l ，6 0 ，( 2 0 0 5 ) 。11 7 - 1 2 8 e r - r a t a ，n o n l i n e a ra n a l ，6 5 ，( 2 0 0 6 ) ，1 4 8 8 1 4 8 8 【4 】d y e ，f z h o u ：u n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ft h eg i n z b u r g l a n d a up r o b l e m ， n o n l i n e a ra n a l t m a2 6 ，( 1 9 9 6 ) ，6 0 3 6 1 2 5 】r m h e r v e ，m h e r v e ：e t u d eq u a l i t a t i v ed e ss o l u t i o n sr e e l l e sd u n ee q u a t i o n d i f f e r e n t i e l l el i e eal e q u a t i o nd e g i n z b u r g l a n d a u ，a n n i h en o n l i n e a i r e a n a l ，1 1 ，( 1 9 9 4 ) ，4 2 7 - 4 4 0 【6 】l l a s s o u e d ，c l e f t e r ：o nav a r i a n to ft h eg i n z b u r g l a n d a ue n e r g y n o n l i n e a r d i f f e r e q u a p p l 5 ，( 1 9 9 8 ) ，3 9 5 1 【7 】c l e f i e r , v r a d u l e s c u ：a s y m p t o t i c sf o rt h em i n i m i z e r s o ft h eg i n z b u r g - l a n d a ue n e r g yw i t ha v a n i s h i n gw e i g h t ，a d v a n c e si nm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s a p p l i c a t i o n s7 ，( 19 9 7 ) ，2 5 9 - 2 71 【8 】m s t r u w e ：o nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fm i n i m i z e r so ft h eg i n z b u r g l a n d a um o d e li n2 d i m e n s i o n s ，d i f f i n t e q u a t i o n s7 ，( 19 9 4 ) ，16 13 16 2 4 ；e r r a t u m ，d i f f i n t e q u a t i o n s8 ，( 19 9 5 ) ，2 2 4 【9 】n a n d r e ，i s h a f r i r ：m i n i m i z a t i o no fag i n z b u r g l a n d a ut y p ef u n c t i o n a lw i t h n o n v a n i s h i n gd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，c a l c v a r p d e ，v 0 1 7 ，( 19 9 8 ) ，191 2 1 7 参考文献 3 0 【10 】p m i r o n e s c u ：o nt h es t a b i l i t yo fr a d i a ls o l u t i o no ft h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a _ t i o n ，j f u n c t i o n a la n a l y s i s ，1 3 0 , ( 1 9 9 5 ) ，3 3 4 3 4 4 i11 】d g o l o v a t y ，l b e r l y a n d ：o nu n i q u e n e s s o fv e c t o r - v a l u em i n i m i z 。 e r so ft h e g i n z b u r g - l a n d a u f u n c t i o n a li na n n u l a r d o m a i n s ， c a l c v a r p d e ，v 0 1 1 4 ，( 2 q 0 0 2 ) ，2 13 2 3 2 【1 2 】h b r c z i s ，e m e r l e , t r i v i 色r e ：q u a n t i z a t i o ne f f e c t sf o r a u = u ( 1 一i u l 2 ) i n r 2 , a r c h r a t m e c h a n a l 1 2 6 ，( 1 9 9 4 ) ，3 5 5 8 【13 】e t o l k s d o r f ：e v e r y w h e r er e g u l a r i t yf o rs o m eq u a s i f i n e a rs y s t e m sw i t ha l a k e o fe l l i p t i c i t y , 。a n n a m a t h p u r aa p p l ，1 3 4 ，( 1 9 8 3 ) ，2 4 1 - 2 6 6 【1 4 】e b e t h u e l ，h b r e z i s ，e h i 皇l e i n ：l i m i t es i n g u l i 色r ep o u r l am i n i r n i - s a t i o nd e sf o n c t i o n n e l l e sd ut y p eg i n z b u r g l a n d a uc r a c a d s c i p a r i s 3 1 4 ，( 19 9 2 ) ，8 91 - 8 9 5 115 d g i l b a r g n t r u d i n g e r ：e l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so fs e c o n do r d e r b e r l i n 。h e i d e l b e r g ，n e wy o r k ：s p r i n g e r19 8 2 【1 6 】e b e t h u e l ，h b r e z i s ，e h 6 1 e i n ：t o u r b i l l o n s d eg i n z b u r g l a n d a ue t6 n e r g i e r e n o r m a l i s 6 e ，c r a c a d s c i p a r i s 3 1 7 ，( 1 9 9 3 ) ，1 6 5 - 1 7 1 【1 7 】t m m a c r o b r e t ：s p h e r i c a lh a r m o n i c s ，a ne l e m e n t a r y t r e a t i s eo nh a r m o n i c f o n c t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s , ，t h i r de