（微电子学与固体电子学专业论文）基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法.pdf

摘要 摘要 在制造工艺中，化学机械抛光( c m e ) 是一种用来实现晶圆平坦化的技术。虽然 c m p 具有良好的平坦化效果，但是由于下层版图图形密度的不均匀，会导致抛光 后电介质厚度的变化不均匀。冗余填充是应用非常广泛的c m p 平坦化增强技术。 可是加入这些冗余填充对互连线之间的耦合电容会产生较大的影响。 本文给出了一种基于边界元法( b e m ) 的矩形冗余填充耦合电容提取方法。首 先，提取矩形冗余填充模块与互连线模块的模型参数，其次，基于该参数数据， 利用间接边界元法互连线与冗余填充的电容矩阵，最后，根据电容的串并联原理 计算出在添加了矩形冗余填充之后互连线之间的耦合电容的具体数值，完成耦合 电容的提取。 该方法速度快，精度高，应用方便，可用于冗余填充耦合电容的提取。 关键词：化学机械抛光边界元法冗余填充 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h e m a n u f a c t u r i n gp r o c e s s ，c h e m i c a l - m e c h a n i c a l - p o l i s h i n g ( c m p ) i s p e r f o r m e dt oa c h i e v eu n i f o r m i t yo ft h ew a f e r a l t h o u g hc m p h a sg o o dp l a n a r i z a t i o n , d u et ot h en o n - u n i f o r mo fl o w e rl a y o u tp a ：t t e md e n s i t y , t h e r ew i l ls t i l lb eap o l i s h e d u n i f o r md i e l e c t r i ct h i c k n e s s d u m m yf i l l sa r eb e i n ge x t e n s i v e l yu s e dt oe n h a n c ec m p p l a n a r i t y h o w e v e rp r e s e n c eo ft h e s ef i l l sc a nh a v eas i g n i f i c a n ti m p a c to nt h ev a l u e so f c o u p l i n gc a p a c i t a n c eo f i n t e r c o n n e c t s t h i sp a p e rg i v e sa l le x t r a c t i v ea l g o r i t h mb a s e do nb o u n d a r y - e l e m e n t m e t h o d ( b e m ) t oc o m p u t et h ec o u p l i n gc a p a c i t a n c ei n d u c e db yr e c t a n g u l a rd u m m yf i l l s f i r s t , p a r a m e t e r so f t h ef i l l i n gm o d e la r ee x t r a c t e d , t h e n , i n d i r e c tb e mi su s e dt oe s t a b l i s ht h e c a p a c i t a n c em a t r i xo fi n t e r c o n n e c t sa n dd u m m yf i l l s ，a tl a s t , t h ec o u p l i n gc a p a c i t a n c e o ft h ei n t e r c o n n e c t sw i t l ld u m m yf i l l i n gi so b t a i n e db yu s i n gt h ec a p a c i t a n c e s e r i e s - p a r a l l e lp r i n c i p l e t h ea l g o r i t h mi sf a s t , h i g hp r e c i o u sa n dc o n v e n i e n t , w h i c hc a l lb eu s e df o r c o u p l i n gc a p a c i t a n c ee x t r a c t i o n k e y w o r d s ： c m pb e m d u m m y f i l l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的背景和意义 集成电路的集成密度和性能在过去的3 0 年间经过了一场翻天覆地的革命。在 2 0 世纪6 0 年代，后来成为h n e l 奠基人的摩尔( g o r d o nm o o r e ) 预见：能够在一个单 片上集成的晶体管数目将随着时间按指数规律增长。这一预见后来称为摩尔定律 ( m o o r el a w ) ，它已被证明具有超凡的想象力【l 】。现如今集成电路的复杂程度大约 1 8 个月翻一倍，图1 为c p u 处理器晶体管数目随着时间的增长示意图，增长趋势 与摩尔定律非常吻合。2 0 1 1 年初i n t e l 公司发布了新一代处理器微架构s n b ( s a n d y b r i d g e ) ，这一架构采用了最新的3 2 n m 的制造工艺，晶体管数目达到几十亿个。 年 图1 1 摩尔定律发展趋势示意图 随着集成电路产业的快速发展，半导体产品正向着低成本、高性能、高成品 率的方向发展。晶体管的数目不断增多，工艺尺寸不断的缩小，晶圆尺寸的不断 扩大，使芯片在功能、频率和稳定性上都有了极大的提高，而功耗和制造成本却 得到缩减。但是，对于可制造性设计( d f m ：d e s i g nf o rm a n u f a c t u r i n g ) 来说，工 艺尺寸的缩小给集成电路的制造增加了很多困难。 由于特征尺寸过小，必须采用具有高分辨率的光刻曝光系统，但是这样的系 统会出现焦深变浅的问题。这就要求材料表面的平坦度必须在许可的焦深范围之 内。同时为了降低r c 延迟的问题，集成电路结构一般都采用布线多层化和立体化 结构。纳米级特征尺寸和多层立体结构对材料表面平坦度提出了更高的要求。如 果平坦化不佳，随着层数的增加，表面不平坦性累积效果会越来越显著，到上面 2 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 几层的光刻曝光时就无法满足浅焦深的要求。只有增加晶片的平坦度，实现局部 或者全局的平坦化之后，才能解决这些问题。 平坦化技术己成为与光刻和刻蚀同等重要且相互依赖的不可缺少的关键技术 之一。而化学机械抛光( c m p ：c h e m i c a lm e c h a n i c a lp o l i s h i n g ) i 艺技术更是目前最 有效、最成熟的平坦化技术。集成电路进入6 5 n m 节点之后，c m p 工艺的重要性 更加突出，6 5 n m 节点的多层金属互连为l l 层，4 5 n m 节点的多层金属互连为1 2 层，金属互连层间介质的增加，对c m p 工艺技术的依赖性也越来越大。采用这种 工艺的结果是，在金属密度不均匀的地方晶圆高度可能会有变化，这种起伏是版 图的图形密度变化所导致的。在化学机械抛光工艺中，由于上层介质层的厚度对 下层金属密度的依赖性，业界一般通过增加冗余填充( d u m m yf i l li n s e r t i o n ) 来保证 金属密度的均一化分布【2 3 1 ，以改善其平坦化效果。冗余金属填充通过在空白区域 插入预先定义的虚拟图形，用以补偿c m p 之后的芯片表面形貌起伏，可以大大改 善化学机械抛光对于金属和介质表面平坦化的均匀性要求。 但是这些填充物的存在对电路的电容会产生一定的影响。冗余金属填充除了 要考虑满足c m p 要求外，还需要关注它对寄生电容的影响，电容的增加会导致时 序的紊乱。因此，传统的c m p 冗余金属填充方法虽然有助于改善晶圆平整度，但 代价是电路时序可能会受到影响。如何能在保护设计时序的同时创建具有最佳平 整度的设计成为急需解决的关键问题。在深亚微米芯片设计中，只有用实际的布 图拓扑信息约束逻辑设计，才能得到准确的时序。深亚微米片上系统芯片设计必 须克服传统设计方法中前端设计和后端设计相互分离的弊病。 冗余填充所产生的耦合效应对电路信号所产生的负面影响已不容忽视。因此 考虑冗余填充金属对互连的耦合效应已经成为业界的研究热点，精确掌握并计算 冗余填充带来的耦合电容的数值是一个重要方向。 1 2 国内外研究现状及问题 c m p 冗余金属填充方法作为物理设计中的一个重要方面，近几年在学术界和 工业界均引起广泛的关注。c m p 冗余填充会给互连线之间带来耦合电容，对关键 线网的总电容有着重要影响【4 】，对电路的时序特性和稳定性构成较大威胁。目前有 许多的研究者都将关注重点放在减小冗余填充所带来的耦合电容上面，主要应用 两种方式：一是通过实验模拟冗余金属填充带来的影响，从而构造更好的填充模 型作为填充的指导，例如金属填充的模型以及考虑金属填充的参数提取方法，由 韩国三星电子l 等【5 】提出；二是考虑性能约束的冗余金属填充算法，例如性能影 响限制的冗余金属填充算法，由美国加州大学洛杉矶分校的c h e n 等1 6 j 首先提出。 在国内，有清华大学、复旦大学、浙江大学等单位开展了相关方面的初步研究， 第一章绪论 3 依托王泽毅教授【7 9 1 近年来对互连参数提取方面的进展，清华大学张梦生【1 0 】基于直 接边界元给出了一种提取浮空冗余填充寄生电容的方法。 对于冗余填充耦合电容的提取问题，可以借鉴已经研究比较成熟的互连电容 的参数提取的一些方法。互连参数提取问题最早是由i b m 公司的w a t s o n 研究中心 于2 0 世纪7 0 年代提出。到9 0 年代，集成电路制造已经进入深亚微米工艺，关于 互连参数提取的相关算法研究和软件开发逐渐活跃起来。数值模拟法是近来研究 比较热门的方法，这种方法是通过建立精确的互连结构的几何模型，然后求解静 电场以计算寄生电容，从而得到较高精度的计算结果。为提高计算的效率，人们 对静电场的数值计算有了很多研究，诞生了不同的参数提取软件。1 9 9 1 年美国麻 省理工学院的j w h i t e 教授开发了采用准静电场近似提取电容参数的f a s t c a p 。2 0 0 3 年德州农机大学的w s h i 开发出的参数提取软件p h i i c a p 又将f a s t c a p 的计算速度 提高了6 0 倍。当前，互连寄生参数提取特别是寄生电容提取的软件日趋成熟。其 中比较有代表性的有：a v a n t ! 公司基于有限差分法的2 d 3 d 互连分析软件r a p h a e l ， a n s o f t 公司基于有限元法的s p i c e l i n k ，j w h i t e 等人基于间接边界元法的f a s t c a p 以及q u i c k c a p 、a c r a d i a 、a u t o b e m 等等。 上述方法多要求使用者首先建立输入数据矩阵，对每个导体的三维结构有较 为详细的描述，例如f a s t c a p 即要求输入导体每个面上每个顶点的三维坐标，对于， 一个正方体就需要输入2 4 个三维坐标。虽然这样做对复杂结构的导体可以有较好 的描述，但是对于填充图形多为矩形，填充数量成百上千甚至更多的冗余金属填 充来说，输入数据将非常麻烦。并且对于需要大量金属模块的情况，软件计算过 程中的数据矩阵将会非常大，对计算机硬件提出了较高要求，增加了计算时间， 延长了计算周期，增加设计成本。 1 3 论文的研究目标 在冗余填充的过程中，有时候需要加入大量的冗余金属填充模块，这些模块 会引起较大的耦合电容，会严重影响电路的性能和稳定性。为了给设计者以参考， 使其在设计的过程中能充分考虑这种耦合电容的影响，排除故障出现的可能性， 精确计算冗余填充带来的耦合电容的数值是非常必要的。 本文的目标在于给出一种适用于计算大规模填充耦合电容的方法。由于矩形 填充的应用的普遍性和典型性，选取矩形填充为研究对象，应用间接边界元法给 出了一种耦合电容计算方法，以提高数据输入和计算效率，实现大量矩形冗余金 属填充的快速提取，满足目前集成电路设计所面临的更为苛刻的要求。 4 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 1 4 论文的章节安排 本论文的章节安排如下： 第一章主要阐述了冗余金属填充技术的背景和面临的问题，介绍了冗余填充 引起的耦合电容的提取问题，针对问题提出了本文的研究目标并介绍了本文的章 节安排。 第二章对化学机械抛光工艺和冗余填充技术进行了全面介绍，介绍了现今冗 余金属寄生效应对互连线耦合电容影响的解决办法以及计算耦合电容的方法。 第三章介绍了如何将电容的串并联原理应用到冗余金属耦合电容提取的问题 上，对边界元法进行了详尽的介绍，并对间接边界元法的分块方法进行了说明。 第四章给出了基于边界元法的冗余填充的耦合电容提取方法的计算步骤，进 而用m a t l a b 程序实现，并给出了仿真结果；最后对影响冗余填充的一些关键因 素进行了分析。 第五章为全文总结和展望。 第二章c m p 冗余填充技术 第二章c m p 冗余填充技术 随着i c 制造工艺中多层金属化技术的广泛应用和工艺尺寸的不断缩小，化学 机械抛光c m p 工艺已经成为生产过程中一个必不可少的环节。而为了减小化学机 械抛光引起的缺陷的影响，使晶圆金属密度更加倾向于均匀化，提高平坦化效果， 冗余填充已经成为一种广泛的c m p 平坦化擅强技术【1 1 1 。但是这些填充物的存在对 电路的电容会产生一定的影响，会在电路互连线之间产生耦合电容，对电路的稳 定性构成不利因素。本章主要研究c m p 技术和冗余填充技术以及冗余填充对电路 电容特性的影响。 2 1 1 工艺简介 2 1 化学机械抛光工艺 半导体晶圆不断向大直径、集成电路器件朝小体积、高密度的方向发展，超 大规模集成电路的发展趋势是微细化、高密度、高集成度和高性能，i n t e l 公司在 2 0 1 1 年初发布的新一代处理器微架构i n t e ls a n d yb r i d g e 几何尺寸已经缩小至 3 2 n m ，集成度达几十亿个元器件。器件几何尺寸的缩小，导致结构的立体化，造 成芯片的输入输出引线急剧增加，芯片内部连线和连线密度迅速上升，连线的横 截面积不断缩小，随着金属层数的增加，刻蚀要求每层表面十分平坦，光刻的焦 深必须由全局平坦化来支持，传统的一些平坦化技术只能完成局部平坦化，c m p 是能够完成全局平坦化的技术，同时是u l s i 多层布线制备中唯一能够进行全局平 坦化的技术。i c 制造工艺中，化学机械抛光作为最主要的平坦化技术已成为与光 刻和刻蚀同等重要并且相互依赖的不可缺少的关键技术之一。 2 0 世纪7 0 年代，由于多层金属化技术被应用到集成电路制造工艺中，使得硅 片表面的不平整度大大增加，由此引起光刻胶厚度不均匀而导致光刻受限，严重 影响了大规模集成电路( u l s i ) 的发展。1 9 9 1 年，i b m 公司首次将化学机械抛光 工艺技术成功地应用到6 4 m bd r a m 的生产中【1 2 1 ，其在表面平坦化上的效果较传 统的平坦化技术有了很大改善，之后c m p 工艺就被逐渐被应用到集成电路制造过 程中。目前，化学机械抛光技术已成为几乎公认为唯一的全局平面化技术，其应 用范围正日益扩大。 在深亚微米超大规模集成电路制造工艺中，包括了光刻、显影、刻蚀等步骤。 c m p 技术根据局部版图特性的不同对器件和互连图形具有不同的影响。制造经济 学指出工艺区域应当最大化，这反过来要求器件和互连的形状要具有高度的可预 测性和一致性。为了实现这个目标，就密度参数而言，版图必须具有一致性。半 6 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 导体制造工艺的物理特性导致制造高度的可预测学和一致性难以实现，特别的， ， c m p 的质量取决于介质层下的图形的密度。 2 1 2 工艺描述 c m p 为实现晶片全局和局部的平坦化提供了一种经济、有效的方法，使当前 设计和制造工艺的特征尺寸的持续缩小成为可能。 c m p 工艺的基本原理是将待抛光工件在一定的压力及抛光液的存在下相对于 一个抛光垫作旋转运动，借助磨粒的机械磨削记忆化学氧化剂的腐蚀作用来完成 对工件表面的材料的去除，获得光洁的表面【“1 1 1 3 】。首先，化学反应使得淀积薄膜 表面软化，悬浊液中的颗粒物作为机械刻蚀剂除去表面物质。悬浊液和晶圆表面 的化学反应形成了一种羟基有机物质。这种新物质具有比较弱的化学键，更加容 易被去除h 4 1 。接着就是通过研磨去除已经软化的薄膜表面【1 5 1 6 1 。 c m p 技术所采用的设备以及消耗品包括：抛光机、抛光液、抛光垫、后c m p 清洗设备、抛光终点检测以及工艺控制设备，废物处理和检测设备等，其中抛光 液和抛光垫是消耗品。一个完整的c m p 工艺的步骤包括：抛光、后清洗和计算测 量等部分。 ( 1 ) 抛光机： 样品 抛光 抛光工 削 图2 1 抛光机示意图 抛光机是用来从事c m p 加工的设备，典型的c m p 抛光机是将晶圆置于一个 抛光工作台上，如图2 1 所示，抛光工作台在电击的带动下旋转，上盘( 载物盘) 可相对下盘做旋转运动，上盘与下盘均粘有抛光垫，样品放在下盘的齿轮片中， 通过上盘施加一定的下压力，抛光液( 即为图中研磨剂) 从上部供给，均匀地渗 入抛光垫及抛光区域。 第二章c m p 冗余填充技术 7 ( 2 ) 抛光液： 抛光液是c m p 的关键要素之一，抛光液的性能直接影响抛光后表面的质量。 抛光液一般由超细固体粒子研磨剂( 如纳米s j 仉、a 1 ，以粒子等) 、表面活性剂、稳 定剂、氧化剂等组成，固体粒子提供研磨作用，化学氧化剂提供腐蚀溶解作用。 抛光液的化学成分及浓度、磨粒的种类、大小、形状及浓度、抛光液的粘度、p h 值、流速、流动途径对去除速度都有影响。 抛光液研究的最终目的是找到化学作用和机械作用的最佳结合，以致能获得 去除速率高，平面度好、膜厚均匀性好及选择性高的抛光液。此外还要考虑易清 洗性、对设备的腐蚀性、废料的处理费用及安全性等问题。 ( 3 ) 抛光垫： 抛光垫粘附在转盘的上表面，它是在c m p 中决定抛光速率和平坦化能力的一 个重要部件。抛光垫是由含有填充材料的聚亚安酯泡沫组成，用来控制毛垫的硬 度。抛光垫的机械性能，如硬度、弹性和剪切模量，毛孔的大小及分布，可压缩 性，粘弹性、表面粗糙度以及抛光垫使用的不同时期对抛光速度及最终平整度起 着重要作用。 随着抛光垫使用时间的增加，抛光垫表面的结构、化学性质和物理性质都会 逐渐发生变化。l u 等【l7 1 的研究表明，使用后的抛光垫的物理方面的改变( 比如毛 孔尺寸和粗糙度等) 比化学方面的改变更明显，这些改变对抛光垫的研磨性能有 着重要影响。同时，使用过程中抛光垫的表面会逐渐变的平滑，会出现一种现象： “釉化 ，这种现象会导致抛光过程中去除的速度下降，使抛光的速率不均匀。为 了避免这种现象的影响，应该使用修整的方法改善抛光垫的粗糙度，从而保持去 除的速率，延长抛光垫的使用寿命【1 8 】。 2 1 3 化学机械抛光机制研究 化学机械抛光系统对晶圆的表面平坦化，是化学作用和机械作用的双重行为。 首先晶圆表面材料与化学抛光液中的化学液发生化学反应，生成一层相对容易去 除的软质层，然后在抛光液中的磨料和抛光头与抛光垫的机械作用下，去除经化 学反应后的软质层，露出新的被去除物进行化学腐蚀，周而复始达到全局平坦化 的目的。 c m p 过程涉及到摩擦学、化学、流体力学、固体物理等诸多学科领域，因而 其作用机理非常复杂，也增加了研究的难度。针对化学机械抛光加工过程中的磨 损机理和材料去除机制，大量的学者进行了研究，归纳起来，主要有4 种建模方 法。 第一种方法是基于化学机械抛光过程结果的唯象学方法【1 9 1 。 8 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 第二种方法是基于流体动力学理论1 2 0 1 。 第三种方法是利用接触力学理论【2 i - 2 2 1 。 第四种方法是建立于接触力学和流体力学理论上团】。 上述的建模方法中，抛光液的化学反应在化学机械抛光过程中的作用没有同 时考虑，用这些理论模型揭示化学机械抛光加工过程的本质还有一定的局限性。 尽管人们对c m p 加工中的机械作用、流体力学、化学作用等诸多方面进行了 广泛的研究。但鉴于化学机械抛光的复杂性，已有的c m p 机理研究，都只是从某 个方面或侧面对c m p 进行了简化分析或建模，还缺乏一个能够综合考虑各方面因 素的c m p 模型。 2 1 4 化学机械抛光缺陷 在过去的几十年中，c m p 技术作为多层金属化工艺的一种优秀的平坦化技术 而显现出来。但是，对于某些版图图形，仍然可能在表面产生较大的高低起伏， 这样会影响光刻的焦深，继而导致关键尺寸发生变化，由于c m p 而导致的两种主 要的缺陷是金属凹陷和氧化物侵蚀。在铜c m p 工艺中，金属凹陷被定义为氧化物 高度和沟槽中金属凹坑和氧化物侵蚀。氧化物侵蚀被定义为c m p 前后氧化层高度 的差值【2 4 】。在本文中，凹陷和侵蚀分别表示金属凹陷和氧化物侵蚀。图2 2 分别表 示了铜c m p 工艺中的金属凹坑和氧化物侵蚀【2 5 。2 6 】。由于这两种现象导致了层间介 质厚度和互连线高度的变化，继而导致了互连电阻和电容的变化，从而影响了电 路性能。这种变化会增加电路时序特性的不稳定性，因此，减小凹陷和侵蚀变得 非常关键。但是由于c m p 的非理想性，总是会存在一些凹陷和侵蚀。重要的是在 寄生参数提取过程中建立一种描述这种变化产生的影响的模型，从而更加精确地 估计电路性能。c m p 过程包含机械和化学两个过程。机械作用以机械磨削为主， 主要磨去铜表面的凸起部分和化学反应生成物，机械作用过强，抛光后表面容易 产生划伤，且容易造成较高的表面粗糙度。化学作用主要是将金属、阻挡层及介 质层转化为易容的、易于去除的物质，通过其流动性，将反应生成物去除。若化 学作用过强，化学腐蚀不均匀，反应太快，反应生成物会不能完全去除，重新淀 积在硅片表面，造成二次玷污。 第二章c m p 冗余填充技术9 图2 2 铜c m p 中蝶形和侵蚀示意图 在铜c m p 过程中，由于对具有不同抛光率的材料同时抛光，导致了硅片表面 不平整。这种不平整通常以抛光铜的蝶形缺陷( d i s h i n g ) 、介质层的侵蚀( e r o s i o n ) 和抛光片内均匀性超差等形式出现 2 7 1 。其中铜蝶形缺陷是指抛光时由于铜线与边 缘介质层有较好的抛光选择性，从而在较宽的铜线内出现凹陷，通常用介质层与 铜线内的最低点之间的高度差来表示大小。 ； 尽管图形密度是导致c m p 缺陷的主要因素，同时也存在其他因素，例如悬浊 液流动速度，抛光片温度也对凹陷和侵蚀有影响。悬浊液就像是抛光片和晶圆之 间的冷却剂，它通过热交换带走很大一部分热量。散逸的热量改变了化学动力机 制和抛光片的物理特性。随着散逸热的增多，抛光片会变得更软，这会导致散热 片和晶圆表面的接触面积增大。而且，在c m p 过程中，散热片调节对抛光速率有 着主要的影响。失控的抛光片会丧失表面粗糙度，导致抛光速率降低。 2 2 冗余金属填充技术 由于化学机械抛光中存在缺陷，为了改善晶片的金属分布，是其更加均匀化， 冗余金属填充技术是常用的化学机械抛光平坦化增强技术。但是加入这些填充模 块之后对版图中互连线的电容会产生耦合效应，增加电容。工艺尺寸的缩小，冗 余填充应用的更加广泛，增加的耦合电容越发明显，已经对电路特性产生了较明 显的影响。因此，近年来对减小冗余填充对耦合电容的影响以及对增加的耦合电 容量的计算成为研究热点。 2 2 1 技术简介 随着层数的增多以及线宽的减小，晶圆表面也要求具有随之更高的平坦度， 这是由于对光刻焦深变化范围的严苛要求、电阻值随着金属厚度的变化非常敏感。 尽管c m p 技术有了发展，然而对于版图图形的敏感性依然很重要，因为这会导致 l o 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 由于下层图形密度的不同，某些区域比其他区域更高。c m p 冗余金属填充技术被 设计者和制造商们用来减小金属密度的变化。冗余的填充物是没有功能的图形， 也不会对逻辑应用产生影响，既可以接地也可以浮空。 2 2 2 接地和浮空 浮空的冗余金属填充直接以插入冗余金属模块的形式制造在介质层上，不与 电源线或者接地线相连，冗余金属模块相当于浮空在介质层中，有时也叫悬空冗 余金属填充 2 8 1 。这种填充方式有很多优点，例如寄生电容小、工艺简单、设计方 便、不受电源线布局约束、便于大规模使用。但是这种方式对电路引起的耦合电 容增量对较大，给电路的性能造成影响。 除了浮空的冗余填充方式，还有一种接地填充方式。将冗余金属模块与电源 线或者线相连，以使金属填充具有确定是电位。这种方式的填充图形必须制作在 上层或者下层金属层具有电源线排布的位置上，可以通过通孔连接到固定的点位 上；否则必须通过额外的互连线与电源或者地线相连。这种填充方式性能稳定， 引起的寄生电容小，但是寄生电容值易于计算。但是由于其设计和操作的复杂性， 使这种填充方式的应用有可能对已有的布局布线产生严重影响，会大大增加版图 设计的复杂度，并增加设计成本和延长研发周期。对于大规模数字集成电路而言， 浮空填充以其快速的方便的优点获得了更多的实际应用。 浮空填充对于接地填充来说可以达到更小的总电容，也不需要在填充几何图 形上提供接地或者电源通路。但是，浮空填充增大了耦合电容，这会导致信号完 整性问题。由于缺少快速又可靠地浮空填充提取工具，必须谨慎地使用浮空填充 或者根本不使用。尽管由于接地填充对总电容具有更大的影响而且要求高的通路 成本而常常巧妙地修改设计，它也代替了浮空填充【2 引。 2 2 3 寄生效应的影响 现代的制造工艺已经有1 0 到1 2 层立体结构，并存在不同的金属密度。这样 出现了平坦性问题以致产生制造难题和时序问题。c m p 冗余金属填充会同时改变 互连线的耦合电容和总电容。 第二章c m p 冗余填充技术 a 上c 曲 一c i 模块f 兀余填充充 _ 上c 曲 t b 图2 3 冗余填充耦合电容简化示意图 考虑一个简单的填充情况，如图2 3 所斜2 9 1 ，两条平行的互连线模块a 和b ， 中间填充一个冗余金属模块。c a b 、c 盯和c 6 f 分别是模块a 与模块b 、模块a 与模 块f 和模块b 与模块f 之间的电容；由于冗余填充模块f 的存在，a 与b 之间的 电容由于耦合效应而不再单纯为c 。，a 与b 之间的耦合等效电容为 2 + 羔。 可以看出，由于冗余金属填充模块f 的存在，模块a 与模块b 之间的等效电。 容大于它们之间的直接电容。 尽管c m p 冗余金属填充对版图图形密度的均匀性有利，它也增加了耦合和总 互连电容。因此，估计c m p 冗余金属填充对互连电容的影响变得非常重要，这可 ， 以减少电路时序计算中的不确定性。 c m p 冗余金属填充会同时改变互连线的耦合电容和总电容。而且，金属凹陷 和电介质侵蚀会改变互连线的横截面，由此而影响互连电阻。h e 等【3 0 1 提出由于凹 陷和侵蚀，互连电阻可以增加3 0 或者更多，而对于互连电容的变化也非常大。 2 2 4 冗余填充的优化 随着半导体工艺尺寸的按比例缩小，在信号完整性、功率以及制造工艺等方 面出现的问题愈发值得关注。冗余金属填充增加互连线的耦合电容已经越来越大 冗余金属填充可使关键线网的总电容最多增加到2 6 倍【4 】，为了减小冗余填充带来 的耦合电容，人们做了很多工作。 h e 等【3 l 】基于实验的结果给出了两条指导方针。评估的标准是基于冗余图形对 互连电容的影响。指导方针是： 如果长度固定，填充图形的列数应该最大化； 如果宽度固定，填充图形的行数应该最小化。 l2 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 在实际填充金属的过程中，改变填充金属的形状也是常用的方法。相对于正 方形填充，如图2 4 所示，十字形填充金属有着很多优点，与正方形同样尺寸的十 字形在抛光过程中有着几乎同样的平坦化效果，但是十字形的面积只有正方形的 5 5 6 ，减小了金属化的密度。经过计算十字形冗余填充对互连线之间耦合电容的 影响为同样边长的正方形冗余填的8 5 6 ，因此在同样平坦性效果的情况下，减少 了填充金属对耦合电容的影响【3 2 】。 l 一 厂r i_ 甘甘 i 00 j 图2 4 十字形冗余填充示意图 此外菱形结构c m p 冗余金属填充也能有效的减少耦合电容的影响【3 3 1 ，如图 2 5 所示。菱形结构的填充图形是正方形，与金属互连线成4 5 。角放置。与传统的 方块填充模式相比有效的降低了寄生耦合电容的大小。 2 2 。5 耦合电容计算方法 图2 5 菱形冗余填充示意图 理想的平行板电容器是一个简单的几何结构，可以用来模拟同一层的两个条 互连线结构。理想平板电容器的定义是两个相同面积、厚度薄的金属板组正的结 构，并且要求金属平板之间的距离d 较小，电容的计算公式为c = c a d ，其中占 为金属平板之间介质材料的电容率，a 为金属平板的面积，d 为金属平板之间的距 离。同一层的两条互连线可以看成距离较小的两个金属平板，但是金属互连线的 高度和宽度并不比互连线之间的距离大很多，有时候甚至比互连线之间的距离小， 与平板电容器的定义不相吻合。 第二章c m p 冗余填充技术 1 3 几何机构的电容值c 与其中一个电极即金属平板的储存的电荷量q 成正比， 与电极之间的电压v 成反比：c = o v 。由高斯定律得知，电极附近的电场e 与电极表面的电荷密度o r 有以下关系式：仃= 口a ，e = 仃g = 0 e a ，因 此电极附近的电场决定了电容器的电容值。当悬浮冗余金属填充模块的厚度t ( t o ，6 o 式( 3 - 5 ) d 力 式中采用的符号v x v ( 或s ) 的含义是对于每个属于域v ( 或边界s ) 的 点x ；妒和g 是定义在边界s 上的给定函数；以是域v 在边界s 上的外法线方向； a ，b ，c 可以是常数，或边界点的函数。 上述问题的经典解是，要求给出一个函数多，它在域v 内是调和函数，在域v 以及边界上都是连续的，且当任意一点从v 内用任意方式趋于边界s 时，均应满 足相应的边界条件。 3 2 2 泊松方程 泊松方程( p o i s s o n se q u a t i o n ) 是数学中常见与静电学和理论物理的偏微分方 程，因法国数学家泊松而得名。 在静电学中，泊松方程表现为等式： 第三章边界元法 2 1 v 2 ：一旦 气 式( 3 - 6 ) 式中妒代表电势( 单位为伏特) ，p 是电荷的体密度( 单位为库伦、立方米) ， 而毛是真空电容率( 单位为法拉、米) 。 如果空间中有某区域没有带电粒子，则p = o ，此方程就变成l a p l a c e 方程： v 2 妒= 0式( 3 - 7 ) 3 2 3 格林公式 在数学中，格林函数是一种用来求解有边界条件的非奇次微分方程式的函数。 格林函数的概念最早由英国数学家乔治格林( g e o r g eg r e e n ) 于1 8 2 8 年提出， 并以此命名。 设v 是以足够光滑的曲面s 为边界的有限三维区间，疗为其单位外法线矢量。 假设厂为曲面v 的闭区间，对于任意一个矢量函数f ，都有下面积分等式成立， 其中f 要求在闭区间厂连续且在开区间v 有连续偏导数： ， 一 ， 一 iv 削矿= i 万f d s式( 3 - 8 ) ； 设函数妒，l f ，以及所有业界偏导数在闭区间厂上连续，并且在开区间v 上存 在所有的二阶偏导数，使尹= y v ，带入式( 3 8 ) ，得到： ，( y v 2 驴+ v y v # ) d v = ，l ：f ，v 妒膦 式( 3 - 9 ) 上式即为格林第一等式，将上式中，l f ，交换，并把所得的式子与上式相减， 得到： ，( i f ，v 2 妒一妒v 2 u ) d v = ，( 1 f ，v 妒一驴v l f ，) 疗d s 式( 3 - 1 0 ) ys 上式即为格林第二等式。 下面介绍格林函数的定义： 格林函数一般表示为g ( x ，s ) ，是伴随着一个在流形中m 作用的线性算子三，为 方程式( 3 9 ) 的解 l g ( x ，s ) = 艿( x s ) 式( 3 - 1 1 ) 其中艿为狄拉克6 函数，流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相 对简单的空间的物体。 为了得到调和方程解的积分表达式，要利用调和方程的单位点源奇异解( 也 称为基本解) ，即如下方程在无限空间上的解 2 2 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 v 2 妒。( 工，工) = - ( 工，工) 式( 3 - 1 2 ) 式中基本解妒5 ( 工，z ) 用上标s 来区别于其他的场函数，同时提示基本解具有 奇异性，括号内表明了它是两点函数，不仅是场点x 的函数，而且也是源点( 即 奇异点) 工的函数。( x ，工) 是以x 点位奇异点的d i r a cd e l t a 固数。其中解 妒。( 工，夏) 为 驴。( x ，x ) 2 i ：1 ：! 二_ 式( 3 - 1 3 ) 忙一x 0 为场点x 与源点x 之间的距离。这个解同时也为三维调和方程的基本 3 3 1 边界元法简介 3 3 边界元法 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种精确高效的工程分析数值方法。 经过近五十年的发展，它不仅在固体与结构分析领域成为有限元法最重要的一种 补充，而且在微机电系统电磁场分析和大型结构电磁波散射分析等领域的得到广 泛应用。 边界积分方程边界元法简称边界元法( b e m ) ，是求解工程与科学问题的常 用数值分析方法之一。它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相 似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数 方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。 边界元法的最大特点是降低了求解问题的维数，将二维问题化为其边界线上 的一维问题，将三维问题化为边界面上的二维问题。它只以边界变量为基本变量， 待求域内未知量可以在需要时根据边界求解变量求出。这种方法一般具有较高的 精度，而且在一些情况下比有限元法更加有效。因此近年来，边界元法受到国内 外许多研究者的关注，并伴随着相应软件的发展和推广，在工程界逐步得到应用。 1 9 2 8 年g e o r g eg r e e n 就对位势问题提出了g r e e n 等式，即将问题的解表示为 单层势和双层势与边界变量与其法向导数乘积的边界积分 3 3 2 间接边界元法 在间接表达式中，积分方程完全用微分方程的单位奇异解表示，这些奇异解 对应的奇点是以特定强度分布在感兴趣的边界上，比如，单位奇异解可以是微分 方程的“自由空间格林函数”，这就说明边界元法跟通常所说的格林函数法也是密 第三章边界元法2 3 切相关的。奇点密度函数本身并无具体的物理含义，但一旦从积分方程数值解求 出密度函数，则只要作一些积分计算就可以得到物体内任意一点处参数的值。1 9 6 7 年h e s s 和s m i t h 采用间接边界元方法研究了椭圆型偏微分方程边值问题的计算方 法。1 9 6 9 年h a m n g t o n 等人利用间接边界元方法求解了电磁问题中的罗宾逊边界 条件的问题。他们的理论为间接边界元的发展起了十分重要的作用。后来 b u t t e r t i e l d 、h e s s 、m a s s o n n e t 、o l i v i e r a 和t o m l i n 等人又进一步发展并完善了这种 方法。 电势问题的求解是要求出满足边界条件的调和函数。根据数学的位势理论， 调和函数可甩在边界r 连续分布的源所产生的电势来表示，再根据满足边界条件的 要求，即可确定源在边界的分布，从而把要求的调和函数完全确定。 间接边界元法是利用边界表面电荷密度仃( 工) 作为未知函数的间接边界积分方 程，求出导体表面的电荷分布，进而求出电容分布。 对于只有两个导体( 导体l 和导体2 ，并且都为长方体) 的情况：首先，假设 导体1 电势为l v ，导体2 的电势为0 ；根据间接边界元法的基本理论【5 3 5 4 1 ，对于 单介质普通导体，在待求解区域中x 点的电势咖( x ) 满足： 驴( x ) = 二ig ( x ，x ) 仃( x ) d 式( 3 - 1 4 ) 6 0f 其中r 是待求区域的边界表面，x f ，s 是边界表面r 上的被积元，工是 被积元s 上的一点，为导体的电容率；g ( x ，x ) 是格林函数，对于单介质无限域 施采脏维l a p 方程位势蹰憾本解“墨r 卜研勺其中 肛一x 0 是x 和x 之间的距离；如果确定了导体l 的表面电荷分布，导体2 的总电 量n 便可通过下式计算出来： q = l 仃( x ) d s 式( 3 - 1 5 ) 其中f 。表示导体2 的表面； 接着，对砂( x ) 式进行离散化，将这两个导体的表面分成n 个方格，则第i = l ， 2 ，n 个方格几何中心处的电势p ，可用所有方格上的电荷在该几何中心产生电 势的总和表示，即： 岛= 萋y ：。- 麦与出 式( 3 - 1 6 ) 其中，8 0 为导体的电容率，o j ( x j ) 为第j 个方格上的面电荷密度，肛j x 川为 2 4基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 第j 个方格的几伺中心与第i 个万格的几伺中心之间的距禹，f j 为弟j 个万格的边 界表面，s 是边界表面一上的被积元； 接着，假设每个方格上的面电荷分布均匀，则上式可写成： p j = 步j = l 旦8 0 s j 南虮鼽钆为第j 个方格上所带的幄s j 为第j 个方格的面积。 然后，根据导体i 和导体2 都为长方体的结构，得到积分，d s = 勺，故将 上式简化为 q n = 碉j 式( 3 - 1 7 ) - 1 7 6 0i i f 一五f 最后，将i h 一工表示为d u ，得到第i 个方格几何中心处的电势p ，的计算公 式： 驴粪彘 式( 3 - 1 8 ， 式中s 。为导体的电容率，j 为不大于n 的正整数，q j 为第j 个方格上所带的电 量，n 为方格的总数。 3 3 3 直接边界元法 直接边界元法是最普遍的边界元法，一般提到的边界元法多为直接边界元法。 直接边界元方法最早是由j a s w o n 和s y m m 在1 9 6 3 年提出的，后来j a s w o n 和p o n t c r 又作了进一步的工作。在1 9 6 7 年，r i z z o 推导出了用于弹性静力学问题的直接边 界元方法公式。1 9 6 8 年c r u s e 和r i z z 。又将此公式推广到弹性动力学理论。1 9 7 4 年c r u s e 又研究了三维问题的边界元方法。至此就发展了比较完整的直接边界元方 法理论。当然在这一过程中还有很多学者作出了贡献，比如s h a w 、l a c h a t 和w a t s o n 等 基本思路是：将计算区域内的微分方程变换为区域边界上的积分方程；然后 将区域边界划分为一定数量的边界块单元，从而将边界积分方程离散化为线性代 数方程组，最后经过求解线性方程组得到边界节点单元的物理量。在直接边界积 分方程中，未知函数是边界上客观存在的物理量，与拉普拉斯方程里所含未知量 直接相关，具有明确的物理意义。直接边界元法非常适合于求解带各类边界条件 第三章边界元法 2 5 的三维拉普拉斯方程。直接边界元法语有限差分法和有限元元素法相比有两个显 著的优点： 1 ) 只需对边界进行离散化，降低了问题的维度，显著减少了变量的数目，减 少了问题的复杂度 2 ) 计算电容所需要的边界法向电场强度或电荷密度直接包含在边界积分方程 中，不用间接计算。 在三维电容提取中，对有限域介质或多介质结构，如图3 3 所示，电势满足如 下带混合边界条件的拉普拉斯方程： 强加边界 图3 3 一个三层介质寄生电容器截面图 毛v 2 妒= 0 ， 在q j ( j = 1 ，2 ，j | i f ) 咖= 九，在r 。上 式( 3 1 9 ) 口= 筹- q 0 o ， 在r 口上 其中妒为电势；有限域q = uq j ，q j 为第j 个介质占据的空间区域；，为区 域q ：的介电常数； 疗介质交界面单位法外向量，k 是电容器所含不同介质数；f 。为强加边界( 导 体表面) ，f 。为自然边界( 模拟区域边界) 。 应用格林公式及拉普拉斯方程基本解的性质，带混合边界条件的拉普拉斯方 程可转换为如下调和方程： c 。屯+ ，e * 驴d f = c e d r ，k = 1 ，2 ，k 式( 3 - 2 0 ) 2 6 基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法 其中，矿( s ，t ) = 弋是拉普拉斯方程的基本解，t 是计算区域边界上的 4 万r s 。t ， 场点，s 是源点，r ( s ，t ) 是源点和场点间的距离，妒( s ，t ) 的物理意义是源点是处 的单位点电荷在场点t 处产生的电势。e = 娑，疗为边界上的单位外法向，妒是 电势，e = 嚣，屯是源点s 的电势，乞是依赖于源点附件边界几何的常数，铀量 是包围第k 种介质的边界。 为了用数值方法求解方程( 3 2 0 ) ，需将其离散化，将边界表面划分为若干边界 单元，最终将问题转化为线性方程组的求解。根据边界元采用多项式插值基函数 的不同，可将其分成常数元、线性元、二次元甚至高次元。根据边界元的几何特 征，可将其分成三角形单元、四边形单元和曲面单元等。 间接边界