（水声工程专业论文）用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究.pdf

用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究 a c o u s t i c e i g e n v a l u ea n a l y s i su s i n gd u a lr e c i p r o c i t y b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d a b s t r a e t t h en o i s ec o n t r o lo fc l o s e dt h r e e - d i m e n s i o n d o m a i n ( s u c h 蹒t h ec a b i n ，c a b , w o r k r o o m ，e t c ) i sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e m o d a la n a l y s i so f a na c o u s t i cs y s t e m c a nd e t e r m i n ei t sn a t u r a l f r e q u e n c ya n ds h o wt h ed i s t r i b u t i o no f t h ea c o u s t i c q u a n t i t i e si ns p a c e ，g i v et h ek n o w l e d g ea b o u tt h ew a y t h a tt h ea c o u s t i cs y s t e m r e s p o n s e s a r ea f f e c t e dw h e n c h a n g e s a r em a d ei nt h ee x c i t a t i o ns o u r c e so ri nt h e d o m a i ng e o m e t r y ，a n dp r o v i d ev a l u a b l ei n f o r m a t i o nf o rt h en o i s ec o n t r o lo f c l o s e dt h r e e d i m e n s i o nd o m a i n ，b e c a u s et h em a t r i c e st h e m s e l v e so f t h e e q u a t i o n w h i c hb ef o r m e d b ya p p l i c a t i o no f d u a l r e c i p r o c i t yb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ( d r b e m ) a n d b eu s e dt os o l v et h ea c o u s t i cf i e l dm o d e , d on o t i m p l i d f l y c o n t a i n t h e f r e q u e n c yp a r a m e t e ri nt h e m , t h ea c o u s t i ce i g e n v a l u ep r o b l e mc a r lb ec a s t i n t oa g e n e r a l i z e de i g e n s y s t e md i r e c t l ya n db es o l 3 r e de f f i c i e n t l y t h i st h e s i si s c o n c e r n e dw i t ht h e p r o b l e m o f m o d a l a n a l y s i so f a c o u s t i c f i e l du s i n gd r b e m t h e a p p l i c a t i o no f d r b e mt op o i s s o ne q u a t i o ni sd i s c u s s e d an u m e r i c a l e x a m p l e o ft w o d i m e n s i o n a l p r o b l e mi sg i v e nt o t e s tt h e r e l i a b i l i t y o ft h e d r b e ma n dt h e v a l i d i t y o fs c h e m eo fc o m p i l i n g p r o g r a m ，t h e e f f e c to f a p p r o x i m a t i o nf u n c t i o na n d i n t e r n a ln o d eo nt h en u m e r i c a lr e s u l t si sd i s c u s s e d b y c o m p a r e dw i t he x a c ta n a l y t i c a ls o l u t i o n s 霸豫h u m e r i c a le x a m p l es h o w st h a t i n c r e a s i n gt h ei t e mo f r a d i a lb a s i sf u n c t i o ni sn o tar i g a tw a yt o i m p r o v et h e a c c u r a c yo f r e s u l t s ，a n dm o r ea p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n ss h o u l db ee m p l o y e di nt h e d r b e m d r b e m r e q u i r e si n v e r s i o no f am a t r i xf o r m e db y a p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n ， w h i c hm a k e st h i sm e t h o di n e f f i c i e n tf o r l a r g ep r o b l e m t h e n t h es c h e m e f o r m i n g f o ra c o u s t i ce i g e n v a l u ea n a l y s i su s i n gn o n - i n v e r s i o nm e 斑o di s p r e s e n t e d n e m o d a l a n a l y s i sp r o b l e m o f at w o d i m e n s i o n a l r e c t a n g u l a r a c o u s t i cf i e l di ss o l v e d u n d e rt w os o r t so f b o u n d a r yc o n d i t i o nu s i n gb o t hi n v e r s i o nm e t h o da n dn o n 。 i n v e r s i o nm e t h o d , m a dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t he x a c ta n a l y t i c a ls o l u t i o n s i i 大连理工大学硕士学位论文 m e t h o d ，a n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t he x a c ta n a l y t i c a ls o l u t i o n sa n dt h a t o b t a i n e db yc o m m e r c i a lf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i ss o f t w a r ea n s y s t h ep r e s e n t e d e x a m p l ep r o b l e mc l e a r l yd e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h ei n v e r s i o nd r b e m ，a n d t h en o n - i n v e r s i o nm e t h o di sr e l i a b l ei nc a l c u l a t i o no f a c o u s f i c e i g e n f f e q u e n c y ，y e t t h er e s u l t i n ge i g e n v e c t o r sc a nn o tb eu s e dt or e p r e s e n tt h ed i s t r i b u t i o no fa c o u s t i c q u a n t i t i e s t h e a p p r o x i m a t i o n f i m c t i o n sh a v ec r u c i a l e f f e c t so nt h e a c c u r a c y o f d r b e m ，a n dd i f f e r e n ta p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n sh a v ed i f f e r e n tp e r f o r m a n c ei n v a r i e d p r o b l e m s t h e r e f o r es e l e c t i o no f t h ea p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n si se s p e c i a l l y i m p o r t a n t i nt h e e i g e n v a l u ea n a l y s i so f t h r e e - d i m e n s i o n a la c o u s t i c s aw i d er a n g e o ff u n c t i o n sa r e i n v e s t i g a t e di ns o l v i n gt h ee i g e n f r e q u e n c yo fa3 - da c o u s t i c m o d e lu n d e rt w os o r t so f b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t t h ep e r f o r m a n c eo ft h e s ef u n c t i o n so nt h es a m ed i s c r e t i z a t i o na n di n t e r n a ln o d e s a n dt h e i rs e n s i t i v i t yt oq u a n t i t yo fi n t e m a ln o d ei sd i f f e r e n t t h ep e r f o r m a n c eo f s e l e c t e df u n c t i o n si sd i s c u s s e da n dt h eg u i d e l i n el o tc h o o s i n g t h ea p p r o x i m a t i o n f i m c t i o n si na c o u s t i ce i g e n v a l u ea n a l y s i s u s i n g d r b e ma r e p r e s e n t e d k e yw o r d s ：a c o u s t i c f i e l d ；e i g e n v a l u ea n a l y s i s ；d u a lr e c i p r o c i t yb o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d ；a p p r o x i m a t i o nf u n c t i o n s i i i 独创性说明 乍者郑重声骥：本颈学位论文是我个人在导师指罨下进行的骚究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连瑾工大学或其他单位静学位或证书所使用过的枋籽。与我一同工作 豹溺志对本磷究掰擞麴贡献均已在论文中皴了明确豹说骥著表示了谢 意。 作者皴名：垒鲮日期：趔迢：丕。兰笙 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 本文的研究背景及意义 随着生活水平的提高，人们对工作、生活环境的质量的要求也越来越高，尤其是对 工作空间的噪声质量。在较强的噪声环境中工作，会使人心情烦躁，容易疲劳，分散注 意力，反应迟钝，进而使工作效率降低。而噪声对脑力劳动的影响更为显著，如果长期 在较高的噪声环境中工作会危害人的听力，影响人的健康。船舶舱室、飞机舱室、汽车 驾驶室等空间的噪声高低直接影响到乘坐的舒适性，也是影响其商业价值的因素之一。 因此对上述工作、生活空间的噪声控制具有很高的实用价值，受到噪声控制界的特别重 视。而如何在设计阶段就考虑到噪声问题，并完成对有人工作空间的声学的动态设计， 使其具有良好的声学特性，可以在设定的工作条件下保证较低的噪声，达到提高工作环 境的噪声质量的目的，则是噪声控制在实际应用中的重要课题。 一般的工作、生活空间都可以看成是一个由结构围起来的封闭的声场，对这个封闭 声场的动态响应特性，可以通过对它的模态分析，即封闭声场的特征频率和特征向量分 析，进行研究。一般情况下，由于周围反射面的影响，声场不会是自由场，在封闭的空 间内，声波经过多次反射，各种反射波同直接辐射波的叠加就形成驻波，与结构相似， 在共振条件下，振幅将达到极大。为了防止出现过大的响应值( 包括声压和介质质点速 度) ，则必须使声学系统的固有频率避开激励频率。特征向量则表示的是声学量在声场 空间上的分布，并依此确定声学量的最大及最小量值出现的区域。通过对声学系统的模 态分析，还可以了解到声源及声场空间几何参数的变化对声学系统的相应影响。因此在 声学系统的设计阶段和分析阶段，得到它的固有频率及其对应的特征向量是非常重要 的。而边界元方法在声场的模态分析方面有着其他数值方法无法比拟的优势。 对具有弹性壁面的封闭空间进行结构声学分析时，需考虑结构振动模态与封闭空间 的声模态之间的耦合。目前中低频激励作用下的结构振动与声耦合问题的求解，最有效 和最能发挥方法自身优点的方法是耦合有限元边界元方法，即结构用有限元法处理， 流体用边界元法处理。但常规的有限元边界元耦合方法对封闭空间进行声模态分析有 定困难。采用常规边界元法形成的声阻抗矩阵与激励频率相关并随激励频率变化，即 声阻抗矩阵中的元素都隐含激励频率，因此较难用于声场固有特性和结构振动与声耦合 问题的计算分析。 双互易边界元法( d u a lr e c i p r o c i t yb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ) 成功地解决了这一问 题。双互易边界元法可将l a p l a c e 方程的基本解应用于h e l m h o l t z 方程，同时用近似函 用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究 数方法，将域内积分化为边界积分。由于l a p l a c e 方程的基本解中不含激励频率，故按 双互易边界元法所得到的边界元方程的系数矩阵与频率无关，可用于声场固有特性的计 算分析，并可与结构有限元方程耦合，进行结构振动与声耦合问题的模态分析和响应求 解。双互易边界元法的缺点是要用近似函数对域内积分作近似表达，能否得到精确的结 果主要取决于是否选取了合适的近似函数，而各种函数在求解不同问题时的表现也是不 同的，不能一概而论。 因此，将双互易边界元法应用于三维声场的模态分析，对相应的近似函数进行研 究，具有重要的理论意义和实用价值。 1 2 国内外研究概况i 培捌 边界元法是继有限差分法和有限元法之后的一种别具特色的新的数值方法。它是将 描述物理现象的偏微分方程边值问题化为边界积分方程并吸收了有限元的离散技术而发 展起来的。边界元法只在求解域的边界上进行离散，而在域内采用解析表达式，具有较 高的精度；使数值计算的维数降低了一维，从而减少了问题的自由度和原始信息量；另 外，对于无限域或半无限域问题，边界元法采用无限域或半无限域的基本解，避免了在 远场边界离散，大大减小了计算域。因此边界元法是处理声场问题最常用的方法【4 j 。用 边界元求解结构声学问题可以追溯到2 0 世纪6 0 年代c h e n 和c h e r t o c k 的研究工作。c h e n 和s c h w e i k e n 采用简单源方法分析了声辐射问题，c h e r t o c k 则采用表面h e l m h o l t z 积分 方程求解了结构表面振速分布为已知的结构声辐射问题。目前，结构声学边界元法基本 上都是基于h e l m h o l t z 积分方程( h e l m h o l t zi n t e g r a le q u a t i o n ) 进行的。结构声学的边界元 法也分为直接边界元法( d i r e c tb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 和间接边界元法( i n d i r e c t b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ) 。直接边界元法直接以结构表面声压和结构表面法向振速为边 界量，适用于具有封闭表面结构的声辐射和声散射计算。间接法以结构表面的声压差 ( j u m po fp r e s s u r e ) 和速度差( j u m po fv e l o c i t y ) 为边界量，可用于表面不封闭结构的声辐射 和声散射计算。r a y l e i 曲为嵌在无限大平面障板中的平面声源的辐射问题简化了 h e l m h o l t z 方程，并阐明平面声源相当于分布的点源。在早期的结构声学边界元法研究 中，对边界积分方程在边界上划分单元进行离散时基本上采用的都是常数元。8 0 年代 以后，随着边界元法的蓬勃发展，线性等参元、二次等参元、三次样条元等已经用于边 界积分方程的离散，极大地提高了求解结构表面为曲面的结构声学问题的计算精度和效 率。s e y b e n 等推导了h e l m h o l t z 积分方程中可用于任意非光滑结构表面的边界系数计算 公式，使之适用于有角点和棱边的非光滑结构表面。f 电1 门还对用边界元法求解半空间中 结构声辐射和声散射问题作了研究，采用半空间的格林函数建立了半空间内结构声辐射 大连理工大学硕士学位论文 的边界元公式。黎胜等以脉动球为例研究了以自由表面或刚性为界的半空间内结构声辐 射问题。邹元杰等在有限水深情况下研究了自由液面和刚性壁面对结构声辐射的影响。 应用边界元法研究结构声学问题需要处理积分方程中存在的奇异积分，对于外域问 题还要处理在某些频率处解不唯一问题 5 1 。对边界积分方程中奇异积分的处理，目前有 很多方法，包括极坐标变换法 6 ，退化单元法1 0 一、利用脉动球源解析解的间接处理方 法 8 1 、直接解析积分【1 0 l 等多种方法。针对特征频率处解不惟一问题，目前也已有多种处 理方法1 , 2 a 1 。本文将介绍由s c h e n c k 提出的c h i e f 方法口】。c h i e f 方法的实质就是将内 部h e l m h o l t z 积分方程作为约束条件补充到表面h e l m h o l t z 积分方程的求解中，得到一 个在特征频率处有唯一解的关于结构表面声压和声压法向导数的方程。但当所选取的内 点f c h i e f 点) 与相应内部d i r i c h l e t 问题的振型的节点重合时，c h i e f 方法失效。所以， 需要选取合适的c h i e f 点以保证方法有效是c h i e f 方法的最大缺点。改进的c h i e f 方 法嗍由于增加对c h i e f 点坐标求导的导数式作为补充方程，使得c h i e f 方法更为有 效。 应用边界元法，第一个问题是边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只考虑 边界的边界积分方程，要将描述定解问题的偏微分方程化为边界积分方程，相应的基本 解是必须的 住】。虽然，在目前对应于许多问题的基本解已经找到 t 3 1 ，但是也不能保证对 应每种情况都能找到适合的基本解，因此越来越多的问题在应用边界元法求解时遇到了 困难。对于那些没有基本解的情况，若用部分地满足相同边界条件下偏微分方程的基本 解，可以将偏微分方程部分地转化为边界积分，另一部分仍是域内积分。为了能够保持 边界元法的只在边界上进行离散的优点，很多方法被提出用于域内积分到边界积分的转 换，包括解析积分法( a n a l y t i c a li n t e g r a t i o na p p r o a c h ) 、傅立叶展开法( f o u r i e re x p a n s i o n s a p p r o a c h ) 、伽辽金向量法( g a l e r k i nv e c t o rt e c h n i q u e ) 、多互易法( m u l t i p l er e c i p r o c i t y m e t h o d ) 、特殊积分方法( p a r t i c u l a ri n t e g r a lm e t h o d ) 、双互易法( d u a lr e c i p r o c i t y m e t h o d ) 。其中双互易法是最简单也是实际应用最广泛的一种方法。双互易边界元法 ( d u a lr e c i p r o c i t yb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 是由n a r d i n i 和b r e b b i a 于1 9 8 2 年提出的【3 】， 原理是通过近似函数的方法和互易性原理将剩余的域内积分转化为边界积分。双互易边 界元法的优点之一，是在知道少数的基本解的情况下，也可以解决大量的工程问题。而 且，当研究的问题有微小变化时，对原有程序稍加改动就能用于现有问题的求解，为计 算机数值实现提供了方便。n a r d i n i 和b r e b b i a 首先用这种方法求解了弹性动力学问题， 之后被广泛应用于各种问题的求解包括一些非线性问题和时变问题。对双互易边界元法 的研究国内并不多见，王文清等【l4 】用双互易边界元法对弹性薄板小挠度问题进行了研 究。 用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究 双互易边界元法对偏微分方程中不能转化为边界积分的那一项进行近似地表示时， 需要用到一个近似函数，这是此方法的一个缺点。而应用双互易边界元法能否得到精确 的结果主要取决于是否选取了合适的近似函数口 。l e e 和w u l l 5 1 等用此方法研究了在高 速流体中的声辐射问题时指出近似函数的影响是重要的，应作进一步研究。因此进入 2 0 世纪9 0 年代以来，对近似函数的讨论成了研究双互易边界元法的热点，多种函数被 引入到双互易边界元法中。从最早的n a r d i n i 和b r e b b i a 提出双互易边界元法时用的径向 基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) ，到现如今的包括t p s 函数( t h i np l a t es p l i n e f u n c t i o n ) 、m q 函数( m u l t i q u a d r i cf u n c t i o n s ) 、全局函数( g l o b a lf u n c t i o n ) 、混合 函数( h v b r i df u n c t i o n s ) 等多种函数。但上述的各种函数在求解不同问题时的表现也是 不同的，哪种函数是最优的就不能一概而论，需要针对不同的问题，即不同形式的偏微 分方程进行讨论。十多年里，众多的专家学者对上述的近似函数在各种形式的偏微分方 程中的优劣进行了比较，并且提出了许多建议。c h e n g 和l a f e t l 6 1 等选择全局函数，包括 多项式、三角函数等，并在所列举的几个问题中得到了较为满意的结果。p a r t r i d g e 和 s e n s a l e t 1 将混合函数作为近似函数应用于双互易边界元法中，针对弹性问题研究了不同 的主体和不同的扩展项对结果的影响，同时认为混合函数可以得到准确的结果。针对 n a r d i n i 和b r e b b i a 使用的近似函数，z h a n g 和z h u 1 8 】提出了两种不同的径向基函数函 数，不但克服了前者在一些偏微分方程中会导致奇异的缺点，而且证明了在很多情况 下，这两种近似函数的结果都比前者精确。p a r t r i d g e t l 9 】对径向基函数函数和全局函数作 了对比，指出两者的优劣不能一概而论，要具体问题具体分析，而且通过多个算例说明 不是每种全局函数都能得到正确的结果，同时认为全局函数对求解域的空间形状很敏 感。p a r 缸i d g e 在文献【2 0 中对近似函数的讨论比较全面，他将径向基函数函数、t p s 函 数、m q 函数、混合函数等作为近似函数应用于不同问题，包括线性的、非线性的、包 含时间变量的多种偏微分方程，发现在不同的问题中，各种近似函数的表现不尽相同， 它们各有优劣。近似函数选择m q 函数时，p a r t r i d g e 并没有给出其中常数的确定方法。 g o l d b e r g 和t h e n 【2 1 1 对t p s 函数和以t p s 函数为主体、p a s c a l 三角形多项式的元素为扩 展项的混合函数作了阐述。a g n a n t i a r i s 和p o l y z o s 2 2 1 等在研究三维弹性体的自由振动问 题时对径向基函数函数、m q 函数、混合函数作了讨论。p r o v a t i d i s n i 就双互易边界元法 求解二维声场特征值问题对径向基函数函数、t p s 函数、全局函数、m q 函数进行了讨 论。g o i b e r g 和c h e n 2 4 1 对m q 函数进行了研究，并提出了一种方法用来确定其中的未定 参数。上述的函数都是针对有界域的，无法应用于无界域问题的求解。为此，l o e t t l e r 和m a n s u r 2 5 1 提出一个适用于无限域求解的函数，但是与m q 函数相同，这个函数中也 存在一个随特定问题变化的常数，至今没有一个准确的方法来确定。这也使得双互易边 大连理工大学硕士学位论文 界元法在应用于无限域问题的求解时受到限制。z h u 和z h a n g ”】基于双互易边界元法提 出了一种求解无限域问题的方法。上述对近似函数的讨论，大多是针对二维问题的，在 三维隋况下的讨论并不多见。而p a r t r i d g e 在文献 2 0 1 中指出关于近似函数在二维问题中 的结果，不能简单地用于三维问题。 边界元法在同样是结构声学问题的声场模态分析中起着无法替代的作用。随着人们 对工作空间的噪声质量的重视，多种基于边界元理论的方法被提出用于计算声场模态， 包括直接确定的方法( d i r e c ts e a r c hm e t h o d ) 州、计算域内积分的方法( i n t e r n a l c e l l m e t h o d ) 6 1 、多互易边界元法( m u l t i p l er e c i p r c o t ym e t h o d ) 6 如、特殊积分方法( p a r t i c u l a r i n t e g r a lm e t h o d ) 2 8 刀】、级数展开法( s e r i e se x p a n s i o nm e t h o d ) t 3 0 | 3 “，以及双互易边界元 法。k i r k u p a m i n i t 3 0 】直接将由隐含频率的求解矩阵展开成频率的级数形式，即级数展开 法，避免了反复迭代。k a m i y a 和a n d o h 吲用多互易边界元法进行了三维h e l m h o l t z 方程 特征值的求解。k a m i y a 和a n d o h 2 7 又提出一种重新组装求解矩阵的方法，可以将由级 数展开法和多互易边界元法得到的求解矩阵整理成求解广义特征值问题的方程。 r a j a k u m a r 和1 r n l s f 3 0 j 对多种计算声场模态的边界元法迸行了简单的介绍，并用特殊积 分方法求解了二维圆形声场的特征值问题。w u n 用直接确定的方法和多互易边界元法计 算t - - 维矩形声场模态。双互易边界元法将l a p l a c e 方程的基本解应用于h e l m h o l t z 方 程，使求解矩阵不含频率，而且直接形成广义特征值问题的求解方程，因此双互易边界 元法与其他方法比是最方便的。k a n t o n i 和p a r t r i g e 【3 3 j 等用双互易边界元法求解了控制方 程为h e l m h o l t z 方程的一些弹性问题的特征值。m i 和心a k u m a 产g i 等将双互易边界元法 用于声场的特征值分析，求解了一维细长管状声场的特征值和振型、二维圆形和梯形声 场的特征值。r 勾a k m n a r 和y u n u s 针对双互易边界元法需要求矩阵逆的缺点，提出了一 种不求逆的方法，提高了双互易边界元法求解声场模态的效率。p r o v a t i d i s c 2 3 用双互易边 界元法分析了二维矩形声场的特征值。 1 3 本文的主要内容 第一章对本文研究背景及意义进行了阐述，综述了边界元法计算声学问题、双互易 边界元法及近似函数、边界元法分析声场模态的国内外研究进展与现状，并介绍了本文 个章节的主要内容。 第二章讨论了用边界元法计算结构声辐射的边界积分方程的推导和数值实现；以四 边形线性等参边界元为例探讨了处理积分奇异性的极坐标变换法，并介绍了改进的 c h i e f 法及l a g r a n g e 乘子法处理特征频率处解不唯一问题。 第三章以p o i s s o n 方程为例对双互易边界元法的边界积分方程的推导以及数值实现 用双亘易边界元法进行芦场特征值分析的研究 进行了探讨，对矩阵方程的形成过程进行了描述，介绍了一然方便编写程序的处理技 巧，对疆互荔边赛元法中貔遥钕莲数稻蠛内点侔了嫠擎豹穷绥，并详绥说赘了诧方法审 特有的应该注意的问题。用一个二维算例验证了双互易边界元法用于数值计算的可靠设 良及本文绽割懿诗霎糕淳，劳裙步讨论7 透骰激鼗霸域囊点对诗算缝菜的影稳。诗算缨 果证明增加径向基函数的项数并不是改善结果的好办法，应该将更多的函数引入双互易 边要元滢中。 第四章详细阐述了几种用于求解声场模态的基于边界元理论的方法，包括直接确定 豹方法、诗黪竣内积分爨方法、多互甥透爨露壤、特殊织分方法巍级数震开法。这些方 法或者用h e l m h o l t z 方程的基本解或者用l a p l a c e 方稷的基本解来获得积分方程，因而 形残黪求磐方程魏系数矩阵或爨含或不隐含蒙窭。最瑟慧结了务秘方法戆往缺点。 第五章对双互易边界元法计算声场模态问题进行了讨论。由双互易边界元法得到的 求鼹方程载系数矩终是实数矩簿势虽不稳会壤攀，兔黎孵黄泉了援大戆方经。 入不隶 矩阵逆的方法，并阐述了在不同边界条件下求解矩阵的形成过程，这种方法可以提高双 互易遗赛元法计算声绥模态豹效率。分蒡题求矩薄逆与不求矩簿逆豹方法，诗冀t 嚣秘 边界条件下一个矩形二维声场的模态，并将结果与商业有限元分析软件a n s y s 的结果作 了毖较，得出下列结论；爆求矩降逆豹双互易边爨元法计算声绣摸态可以缮到较好豹缀 果，而用不求矩阵逆的双互易边界元法求解声场的特征频率是可行的，但是不能将由此 方法每器到兹特经商量惑凌爱予撼逑特缎频率下魈声场分蠢。 篇六章就三维声场特征德问题对用于双互翁边界元法的一蝗近似酌数进行了讨论。 首先谬细介绍了用予双互易边爨元法豹近 娃蘧数，并对它嚣 套求解不浏润题对鹃表现豫 了综述。根据三维问题的特点，选取多种近似函数，用于双互赫边界元法计算一个三维 长方体声场模型在两釉边界条 牛下的特征值。数值计舅结果表冁：在掇围的摹炎划分期 相同卣臼域内点的情况下，各种随数的结果还是有差异的；对域内点的数量的敏感程度也 是不嗣的。以诗算结黎误差的大小为标准，讨论了掰选各静蘧数趣优劣，为在残月双互 易边界元法计簿三维声场特征值时如何选择近似函数指明了方向，方便了实际的工程应 用。 第七章对全部的论文工作进行了总结，指出了本文工作中存在的一些问题，并对双 互易边界元法在声学数值计算中静应用遴行了鼹望。 大连理工大学硕士学位论文 2 计算结构声辐射的边界元法 2 1 引言 边界元法是继有限差分法和有限元法之后的一种别具特色的新的数值方法。它是将 描述物理现象的偏微分方程边值问题化为边界积分方程并吸收了有限元的离散技术而发 展起来的。边界元方法在边界上放松了对未知量的连续性要求，通过将边界划分成一系 列的单元，并对边界未知量采用一定的插值函数进行离散，最后将边界积分方程离散为 一系列结点未知量的线性代数方程组，求解这一方程组可以得到边界结点上的未知量， 进而可以计算声场域内的其它物理量。同有限元法相比，边界元法有许多优点：首先， 边界元法将流体域内的计算转化到边界上，使问题的维数降低了一维，从而减少了问题 的自由度和原始信息量；其次，由于利用了微分方程的解析基本解作为边界积分方程的 核函数，具有半解析半数值方法的特点，因而具有较高的精度；另外，对于无限域或半 无限域问题，边界元法采用无限域或半无限域的基本解，避免了在远场边界离散，大大 减小了计算域。在早期的结构声学边界元法研究中，对边界积分方程在边界上划分单元 进行离散时基本上采用的都是常数元。随着边界元法的蓬勃发展，结构声学问题的边界 元法理论也得到了发展和完善。线性等参元、二次等参元、三次样条元等已经用于边界 积分方程的离散，极大地提高了求解表面为曲面时的结构声辐射和声散射问题的精度和 效率。 由于上述的这些特点，使得边界元法在结构声学计算的数值方法中占据主导地位， 但在实施时出现的积分奇异性和特征频率( 内部d i r i c h l e t 问题的特征频率) 处解不惟一等 问题影响了边界单元的构造及其在工程实际中的应用。对边界积分方程中奇异积分的处 理，目前已经有很多方法，本章将采用其中的极坐标变换法。针对特征频率处解不唯一 问题，由s c h e n c k 提出的c h i e f 方法是目前使用最广泛的方法，而改进的c h i e f 方法 由于增加对c h i e f 点坐标求导的导数式作为补充方程，使得c h i e f 法更为有效。本章 也详细介绍了改进的c h i e f 方法及l a g r a n g e 乘子法处理特征频率处解不唯一问题。 2 2h e l m h o l t z 边界积分方程 对于具有封闭结构表面s 的振动结构b 产生的结构声，其有意义的区域通常是在振 动结构内部( 内场问题) 或外部( 外场问题) 的流体介质矿中，齐次波动方程可用来分 析这类由结构声源产生的声波。线性化的齐次声学波动方程为： v 2 芦g ，炉，f ) 一i 生掣：0( 2 1 ) 用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究 式中：v 为l a p l a c e 算子，芦g ，y ，：，r ) 为声压；c 为流体介质中的声速。设 多( t y ，乙r ) = p ( x ，y ，z ，代入( 2 1 ) 式后，得到h e l m h o l t z 微分方程： v 2 p + 2 p = 0 ( 2 2 ) 式中：p ( x ，y ，z ) 为稳态变化的声压幅值，k = c o l c 为波数，为圆频率。s 上可分为 d i r i c h l e t 边界条件( 给定p ) 、n e t t m a n n 边界条件( 给定劬o n ) 或混合的r o b i n 边界 条件： 印+ z 粤= ) ， ( 2 3 ) d 疗 式中：n 为s 的外法线单位矢量；口，z ，为给定的参数。对振动结构声辐射问题的 边界条件为n e u m m m 边界条件，即在弹性结构与流体的交界面s 上满足： 窭：一i m p c o o v 。 ( 2 4 ) 翥一”一 ( 2 4 ) 式中：p 为流体介质的密度，为结构的法向速度。外场问题p 要满足s o m m e r f e l d 条 件： 蝴考却) 卜 ( 2 5 ) 而内场问题则无需满足上述条件。 三维的( 2 2 ) 式的基本解自由场格林函数： p + ( q ，尸) = e 一“4 n r( 2 6 ) 式中：，= f q 一尸l ，q 为s 上任意点，p 为空间上任意点。( 2 6 ) 式满足如下方程： v 3 p + 七2 p = 一6 ( q p ) 式中：8 ( q 一尸) 是狄利克雷j 函数。 ( 2 7 ) 若所求问题为内场问题，为获得边界积分方程，考虑边界条件，假设p 点在声场 内，对p 和( 2 2 ) 式的基本解自由场格林函数p 应用格林第二公式： 蜘甲v 2 p + 砂气 p + 知等卜 亿s ， 式中：s 是微小球形区域k 的半径，墨为微小球形区域的边界，”为声场边界的外法线 大连理工大学硕士学位论文 单位矢量，注意h 在s 。上指向p 点。由于p + 在p 点处奇异，用一个微小球形区域k 将 p 点隔离于y 外( 如图2 1 所示) 。 图2 1 p 点在域内 f i g 2 1 pl o c a t e si nt h ea c o u s t i cd o m a m 由( 2 2 ) 式和( 2 7 ) 式，有v 3 p + = 一k 2 p 、v 3 p = 一k 2 p ，所以( 2 8 ) 式左端项为 零，而右端项是在两个边界s 和足上的积分。由于p 0 ( 1 r ) 、d s o p 2 ) ，可知： l i m p ：0 6 - 4 0 占。1 锄 ( 2 9 ) 并且鼍一e - 4 i k r1 、i 后+ r ) 嘉。g 2 ) ，而在微小球形区域k 的边界最上外法线单位矢 量n 与，共线但方向相反，所以有： l 。i m p o 咖p 箜：s = p ( p ) 姆，秘= p ( 尸) ( 2 1 0 ) 得到当p 点在声场内部时的边界积分方程： 加) = 驴詈一p 等卜 ( 2 1 1 ) 若p 点落在声场边界上，则( 2 1 1 ) 式不再成立。为避免奇异，仍需用一个微小区域 k 将p 点从声场隔离于矿外。( 2 8 ) 式左端项仍为零，( 2 9 ) 式仍然成立，但是由于k 不再是一个完整的球形区域，( 2 1 0 ) 式不再成立，如果此处的边界是光滑的( 如图 2 2 ( a ) 所示) ，有： l i mf 笪棚：! _ + o 占c a n2 ( 2 1 2 ) 用双互易边界元法进行声场特征值分析的研究 若边界是非光滑的，例如在角点或棱边上( 如图2 2 ( b ) 所示) ，设： c 。( p ) = 觋f 。和 ( 21 3 ) 一、弋 忒 o 图2 2 ( a ) p 点在光滑边界上 f i g 2 2 ( a ) p o n as m o o t h b o u n d a r y 为了便于数值实现，首先考虑： 图2 2 ( b ) p 点在角点上 f i g 2 2 p a t a c o m e r i i mp ：l i r a 兰兰：1 i m 0 一：l i m ( 2 1 4 ) ，_ + 0 1r - + o 4 月r 7 _ o4 册。r _ + o 。 式中：+ = l 4 m - 是l a p l a c e 方程的基本解a 类似的有： 购等= 姆驴e - i k r ( - 册) = 域一嘉 = 姆等 ( 2 1 5 ) 将上式代入( 2 1 3 ) 式： c 。( p ) = 脚l 。等钌 ( 2 1 6 ) 假设在当前的声场区域要求解的是一个l a p l a c e 问题：v 2 = 0 ，对和重复( 2 8 ) 式的过程，并考虑n v 2 = 0 、v 2 庐+ = 0 ，得到如下积分方程： 。= k p 警一妒等卜 由于= 1 是v 2 = o 的一个特解，将其带入( 2 1 7 ) 式并整理可得： o 痧- - 嬲：一 笪嬲 ( 2 1 8 ) 占，o n占c 3 n 大连理工大学硕士学位论文 将1 2 l 8 ) 式代八( 21 6 ) 式： c o p ) ：一【笪些哟， o d 胛 上式的积分是在s 上进行的，因此便于用数值方法计算。 构声辐射内场问题的h l e m b _ o l t z 边界积分方程： c 。c p ) p c p ) = p ) q ) 挚一) 挚 其中： c o c p ) = ( 2 1 9 ) 最后得到用于计算振动结 ( 2 2 0 ) 对于外场问题，h l e m h o l t z 边界积分方程的推导将重复上述过程，不同的是处理的 边界要包括无穷远边界。另外，当p 点落在边界上，系数c 。p ) 的也不相同，( 2 1 6 ) m - 仍然成立，但