（水声工程专业论文）基于进化策略的加筋板声辐射性能优化.pdf

基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 a c o u s t i cr a d i a t i o no p t i m i z a t i o nf o rs t i f f e n e dp l a t e sb a s e do nt h e e v o l u t i o n a r ys t r a t e g y a b s tr a c t t h en o i s ea n dv i b r a t i o nc o n t r 0 1i sa m a j o rr e s e a r c hs u b j e c ti n c i v i la n dm i l i t a r yf i e l d s i t i so fv i t a li m p o r t a n c ei na c o u s t i cs t e a l t hd e s i g nf o rs u b m a r i n e s i nn a v a ls t r u c t u r e s s t i f f e n e d p l a t e sa r ew i d e l ya d o p t e da n dt h e i ra c o u s t i cr a d i a t i o nb e h a v i o ri ss i g n i f i c a n t l yi n f l u e n c e db y t h e1 0 c a t i o n so ft h es t i f f e n e r s t h e r e f o r e t h i st h e s i su s e st h es t i f f e n e rl o c a t i o n sa st h ed e s i g n v a r i a b l e st oo p t i m i z et h ea c o u s t i cr a d i a t i o no ft h es t i f f e n e dp l a t e s f i r s t l y ，s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i sp r e s e n t e d d e t a i l e dd e d u c t i o no fs t i f i n e s sm a t r i c e so fb e a ma n dp l a t ee l e m e n t s c o o r d i n a t et r a n s f o mo f b e a me l e m e n t s ，t h es u p e r p o s i t i o nm e t h o do fs t i f f n e s sm a r x ，a n dt h ef e mm o d e lu p d a t ea r e a l s oi n c l u d e di nt h i sp a r t s e c o n d l y , am e t h o do fc o m p u t i n gt h ea v e r a g ea c o u s t i cr a d i a t i o n p o w e ro fab a f ! f l e dv i b r a t i n gp l a t ei si n t r o d u c e d t h ec o m p u t a t i o nf l o wc h a r ta n dt h ee s s e n c e o ft h ee v o l u t i o ns t r a t e g y ( e s ) a r ea l s op r e s e n t e dh e r e t h i r d l y ，t h et h e s i su s e st h es t i f f e n e r l o c a t i o n sa sd i s c r 就ev a r i a b l e st oo p t i m i z et h ea c o u s t i cr a d i a t i o no fab a f ! f l e ds i m p l y - s u p p o r t e d p l a t eu n d e rs i n g l ep o i n th a r m o n i ce x c i t a t i o n o p t i m i z a t i o nr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h o s e o b t a i n e db ya d d i n gc o n c e n t r a t e dm a s s e s ，d i s t r i b u t e dm a s s e s i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tt h e s t r u c t u r et a i l o r i n gm e t h o db ya d d i n gs t i f f e n e r si st h el i g h t e s tw a yt oa c h i e v et h el a r g e s t r e d u c t i o ni na c o u s t i cr a d i a t i o np o w e r l o t so fs i m u l a t i o nr e s u l t sr e v e a lt h a tt h es t i f f e n e r sh a v e at r e n dt oc o n n e c tw i t ht h eb o u n d a r y t 1 1 i sp h e n o m e n o ni s e x p l a i n e dq u a l i t a t i v e l yw i t ht h e c o n e 印to fi m p e d a n c em a t c h i n g f i n a l l y ，t h et h e s i ss u m m a r i z e st h et h e o r e t i c a lf o r m u l a t i o nf o r t h ea c o u s t i cr a d i a t i o nu n d e rt h em u l t i p l e p o i n tw h i t en o i s ee x c i t a t i o na n dp r e s e n t ss e v e r a l n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sf o rab a f ! f l e ds i m p l y - s u p p o r t e dp l a t e k e yw o r d s ：a c o u s t i cr a d i a t i o n ；e v o l u t i o ns t r a t e g y ；s t i f f e n e r ；a v e r a g es o u n dr a d i a t i o n p o w e r ；r a n d o mv i b r a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：塞越：日期：2 型：兰! 呈移 大连理 大学硕+ 研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者虢量墨啦一 *v r 作者签名：仁争p 过 导师签名： 杏傻亍纽 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 对本文立题的科学依据及研究意义进行了阐述，综述了用优化算法对结构声辐射进 行数值计算在国内外研究的发展与现状，概述了结构声辐射的主要数值计算方法，并介 绍了本文完成的主要工作和各章的主要内容。 1 1声学优化的概况与发展 由振动引起的声辐射问题是声学中一个长期的研究课题。2 0 世纪5 0 年代，有限元 方法一经问世，就显示出其巨大的优越性，迅速被应用于声辐射问题的分析计算。有限 元方法把差分法的离散改造成有限元离散，把里兹法的试函数近似换成插值函数近似， 以变分原理作为推导的根据，并充分运用计算机的计算能力，从而开拓了现代数值方法 的广阔领域。8 0 年代初，有学者提出了通过噪声有源控制技术来降低低频结构噪声，其 原理是通过在声场中设置一系列的次级声源( 控制源) 来抵消由初级声源( 噪声源) 产生 的噪声，以形成一个寂静区。到了8 0 年代后期，f u l l e r 1 1 考虑通过对振动结构施加次级 力源，以抑制结构的声辐射，实现声场中的噪声控制。在此基础上f u l l e r 提出了a s a c ( a c t i v e ss t r u c t u r a la c o u s t i cc o n t r 0 1 ) ，即结构噪声有源控制的概念，其目的是更有 效地控制中、低频率的结构噪声，其优点是可以用少量的作动器( 在控制系统中的输出 装置或转换器，可以把电、液压和气压的能量转换成机械动作。) 经济有效地抑制结构 噪声。 对于降噪结构优化设计的问题，国内外做过一些研究，就其范围来看，主要是处理 以下几个方面的问题：姚本炎和黄其柏【2 】提出加筋薄板振动声辐射特性的单元划分一组合 研究方法，研究了加筋结构的振动与声辐射特性；邓晓龙和张宗剁3 】用遗传算法进行平 板冲压筋的振动致声优化；吴文伟和冷文浩 4 1 研究了具有等间距相同加强筋板的声辐射 问题；c h o 和j u n g 5 】对非线性结构进行了拓扑优化和灵敏度分析；o h s a k i 6 】对于有限空 间的非线性结构的弯曲形变进行了优化和灵敏度分析，m a 7 】等基于结构一声场耦合有限元 模型，计算了响应声压对结构参数的灵敏度，并用于汽车内部低噪声设计分析。 上述研究分别通过加质量点、动力吸振器和改变加强筋的构型来抑制声辐射。在实 际工程中，尤其是在汽车、飞机和船舶结构中多采用加筋结构，所以改变加筋位置来抑 制加筋结构的声辐射具有重要的工程意义。由于加强筋的位置和取向一般都有着固定的 要求，设计变量不适宜用连续变量描述，所以，本文将加筋位置和取向作为离散设计变 量处理，以某一频段内的平均辐射声功率作为目标函数，采用进化策略对加筋板进行声 辐射优化。 基于进化策略的加筋板卢辐射性能优化 1 2 立题的科学依据及研究意义 研究船舶的声学特性，制定合理的降噪措施，目前己成为船舶设计中一项重要任务， 尤其是一些对噪声级有特定要求的船型。在船舶设计阶段，进行声学预报和设计，考虑 声和振动的传递、衰弱和阻抑，采用合理的措施来降低船舶噪声，对于现代船舶工程来 说是更高层次上的要求。 近年来，随着科学技术的不断进步，船舶的高速化、大型化、轻型化使得振动和噪 声问题比过去更加突出。板、加筋板等结构大量应用于船舶结构当中。在机械外力激励 作用下，板和加筋板都会产生振动，从而引起辐射噪声。振动不但会损害工程结构并影 响其寿命，降低仪器、仪表的灵敏度，而且过大的辐射噪声也很容易被敌方探测发现， 影响船体自身的声纳系统的作用距离和精度。对船上工作人员工作生活环境的舒适性也 有很大的影响。因此，如何抑制结构的振动，控制结构的噪声辐射是人们最为关注的问 题之一。研究板和加筋板的声振特性有利于实践中船体的减振降噪优化。 1 3 结构声辐射优化的主要研究方法 降低船舶结构振动引起的声辐射对于各类船舶都是十分重要的，等船舶建造好以后 再考虑其结构振动和辐射噪声的减振降噪问题，往往不能取得很好的效果。如果能够 在船舶设计过程中对其予以考虑，从而修改船舶某些设计参数并提出切实可行的降噪方 案，对降低噪声将是十分有利的i 因此，在船舶建造之前，对船舶噪声辐射的研究是十 分必要的。 板结构以及由它组成的复杂结构在机械、船舶和航空等领域有着广泛的应用。随着 科技的发展，板类结构在受到外部激励时的振动、噪声及其两者间的相互关系j 下越来越 受到重视。但就加筋薄板的研究而言，目前所作的理论分析主要基于有限元与 r a y l e i g h r i t z 法等分析方法，主要探讨板的振动特性与加强筋的结构参刿8 】等问题而较 少涉及板的振动声辐射问题。声辐射优化的设计变量可以是结构的厚度、刚度、密度以 及附加的一些外力。目标函数可以是动能、谱的形状、声功率以及声压、声强的指向性 等。约束条件一般是总重量、尺寸及维修的容易度等。其中，这些优化降噪方法以厚度 作为优化变量进行降噪优化和灵敏度分析最为常见。本课题主要研究的是结构加筋位置 的变化对声功率的影响，通过改变加强筋的位置来达到使声功率最小这一最终目的，计 算过程中还要与加载质量点，均布质量等结果进行对比，分析孰优孰劣。 1 3 1计算结构声辐射的解析方法 用解析法研究弹性结构的振动声辐射，始于二十世纪五十年代，由于该方法简便实 用、物理概念清晰，便于揭示结构振动声辐射的本质，半个世纪以来国内外的学者作了 2 大连理工大学硕士学位论文 大量的研究。目前，解析法 o j o 】已成功地应用于平板、球壳、单层圆柱壳、圆锥壳、双 层圆柱壳等结构的振动和声辐射研究中。虽然解析方法只能用于具有正交曲面的简单结 构，并且，对加筋弹性、粘弹性复合壳体结构通常需要对结构振动模式和声传播特性作 一些假定，但其研究方法和研究结果可以为数值分析研究提供了有价值的参考。 1 3 2 计算结构声辐射的数值计算方法 解析预报仅以简单规则的几何体为研究对象，大多数工程实际问题，结构振动引起 的声辐射是无法用解析解的形式解决的。因而，利用各种数值方法求解结构振动声辐射 就成为人们解决这类工程问题的主要方法。 用数值法研究结构的振动声辐射主要包括两种方法：统计能量法和离散数值方法。 统计能量法【l i j 2 是目前应用较为广泛的预报高频、高模态密度的复杂系统宽带振动 噪声的工程方法。统计能量法把复杂系统( 包括机械的或声学的系统) 划分为不同的模态 群，并在统计意义上把大系统分解为若干个便于分析的独立的子系统，各子系统之间通 过边界进行能量交换，从而建立各子系统的功率流平衡方程。由于统计能量法假定激励 和系统参数是概率分布的，即在一定频率带宽内的共振模态上是平均的，这就要求在这 个频率带宽内必须具有足够多的共振模态，以便构成统计意义的模态总体，所以只适用 于解决高频区的系统动力学问题。 统计能量法在实际应用过程中，比较难确定耦合损耗因子和模态密度，并且，目前 应用统计能量法对非保守、强耦合系统的研究尚不完善。对中低频区的振动声辐射问题， 通常采用离散数值方法。 结构声辐射计算的主要离散数值方法包括有限元法和边界元法，本文所涉及到的方 法主要就是这两种方法。有限元法【l3 】以变分原理或加权残值法作为推导的依据，简单直 观，计算效率好，一般数值精度也较高。但是，有限元法需在整个求解域上进行离散， 对于形状复杂的三维体，有限元的网格剖分，仍然不是一件轻松的事情。边界元法【l s j 具有半解析、降维等优点，但边界元法也有其难以克服的缺点，如建立边界积分方程需 要基本解以及方程中非齐次项的处理等。 5 0 年代初问世的有限元法把差分法的离散改造成更为灵活的有限单元离散，把加权 残数法的试函数近似换成插值函数近似，以变分原理或加权残数法作为推导的依据，并 充分利用计算机的计算能力，从而开拓了现代数值方法研究和工程应用的广阔领域。有 限元法简单直观，计算效率好，一般数值精度也较高。但是，对于三维空间声辐射问题， 有限元法需要在整个声场进行单元离散、变量插值，自由度数目庞大；其次对于无界域 基丁进化策略的加筋板声辐射性能优化 中的外场声辐射问题，有限元法在远场剖分边界难以确定，并会因此带来数值计算误差。 对大变形和裂纹扩展等问题，还须进行网格重构。 边界元法是继有限差分法和有限元法之后的一种别具特色的新的数值方法，边界元 法在结构声学中的应用克服了有限元法的不足。它是将描述物理现象的偏微分方程边值 问题化为边界积分方程并吸收了有限元的离散技术而发展起来的。边界元方法在边界上 放松了对未知量的连续性要求，通过将边界划分成一系列的单元，并对边界未知量采用 一定的插值函数进行离散，最后将边界积分方程离散为一系列节点未知量的线性代数方 程组，求解这一方程组可以得到边界节点上的未知量，进而可以计算声场域内的其它物 理量。同有限元法相比，边界元法有许多优点：边界元法只在求解域的边界上进行离散， 而在域内采用解析表达式，具有较高的精度：使数值计算的维数降低了一维，从而减少 了问题的自由度和原始信息量；另外，对于无限域或半无限域问题，边界元法采用无限 域或半无限域的基本解，避免了在远场边界离散，大大减小了计算量。 1 4 结构声学优化 薄壁壳类结构振动导致的对内、对外声辐射是主要的噪声源之一，包括汽车、机车、 内燃机及航空器在内的各个行业中，控制其薄壁壳类结构的振动声辐射一直是相关工 程中的重要课题之一。壳类结构振动致声问题的理论及数值方法己相对成熟，近2 0 年 来有限元法和边界元法在分析、求解复杂结构的声辐射【l9 】问题中得到广泛的应用，在很 多应用领域获得了成功。以此为基础，随着计算机容量、优化程序及软件的发展，以噪 声控制为目的的结构振动声学敏度分析、声学优化正成为相关工程中的研究课题之一。 通过阅读大量的文献，可以看到各种各样的优化方法【2 0 】常常与灵敏度计算相结合来 讨论问题，这里就不得不提到他们之间联系最为紧密的关键词设计变量。 设计变量的选取关系到一个优化的总体方向，选取这个设计变量的好与不好，需要 一个判定准则，这个准则就是灵敏度。在文献中，张军和兆文忠【2 ”就是选取了板的厚度 作为设计变量进行了灵敏度分析和优化。同样，选取以板厚为设计变量的人还有陈钢【2 2 1 ， m a t e u s 2 3 】等。 对于优化算法可以根据设计变量的数目和优化目标的数目来灵活制定，最为简单的 形式就是解决线性规划问题。对于求解单变量寻优的搜索方法主要有区间消去法、多项 式逼近法等。对于多变函数寻优的搜索方法主要有n e w t o n 法、梯度法、共轭梯度澍2 4 】 等。文献中所应用的大多是计算机常用的一些算法，如：拓扑优化方法和遗传算法【2 5 刃】。 杨德庆【2 8 1 和l e e 2 9 1 都应用了拓扑的方法对结构进行了声学优化；逯还通【3 0 。1 】用遗传算法 对结构进行了声学优化；陈钢【2 2 】选择了序列线性规划算法对结构进行声学优化。由此 4 大连理工大学硕士学位论文 可见，有很多种优化的方法可以选择，关键是要根据自己的模型，约束条件，设计变量， 目标函数的具体情况来选取合适的优化方法。而每一种优化方法都有自己的优点和应用 范围，采取合适的优化方法对于加快求解速度，简化求解过程有着十分重要的意义。 文献中有涉及到加筋位置的优化很少，其中只有邓晓龙在优化加强筋位置和长度上 做了一些工作，但是只局限于对离散的设计变量进行列举的方法，择优选取目标最优值， 而没有涉及到具体的优化方法，这说明，有限元的网格划分对于优化连续设计变量具有 一定的局限性，解决好这一类的问题也是本课题的重点和难点。 关于辐射声功率的求解，文献中提到的方法中大多是以r a y l e i g h 积分来求解辐射声 功率的。其中，以姜哲【3 2 瑚】的文章论述的较为系统和完善，可以直接通过阻抗阵和法向 速度向量这两个量求解得到辐射声功率，这在数值求解辐射声功率的方法中是相对较为 简单一种方法。 结构声学优化是一般意义上结构优化的深入和发展，但结构声学优化有其复杂性， 设计过程中不仅涉及到结构，而且涉及到声场及声场与结构之间的关系。结构声学优化 以结构振动声响应( 设计域点声压或结构辐射总声能) 最小化为优化目标，以结构体 积、形状及拓扑为修改手段。 在优化过程中一般会遇到两个方面的问题：一是系统在外界激励下的动力学响应， 并进而计算目标函数值( 本文为平均辐射声功率) ：二是声响应优化，即优化算法及优 化编程。本文对于离散的设计变量( 加强筋、质量点和均布质量的位置) 采用了进化策 略进行优化，优化方法的详细内容将在第三章介绍。 1 5 本文的主要内容 第一章对本文立题的科学依据及研究意义进行了阐述，综述了结构声辐射的数值计 算方法，概述了结构声学优化的主要方法，提出采用进化策略对离散设计变量进行优化 的方法，最后介绍了本文各个章节的主要内容。 第二章介绍了有限元方面的知识，详述了梁单元和板单元刚度矩阵的推导过程。并 且还说明了梁单元的坐标转换、刚度矩阵的叠加方法及有限元模型的更新。 第三章介绍了振动矩形钢板置于水平的无穷大的刚性障板上向上半空间进行声辐 射的平均辐射声功率的计算方法，并详细介绍了进化策略这一优化方法计算流程和进化 参数。 第四章进行了具体的算例分析。首先应用进化策略，分别通过加质量点，均布质量， 加强筋三种修改结构的方法，以平均辐射声功率为优化目标，对一块四边简支的加筋板 进行声学结构优化；然后对比优化结果，得到一个有效的结构修改方案，从阻抗和模态 基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 两个方面对结果加以分析，通过对比多次计算结果来证明方案的有效性；最后，对进化 参数进行了讨论。 第五章首先概述了白噪声激励下多点随机振动的理论推导，然后针对简直钢板这一 模型在白噪声激励下的进行优化，最终得出一系列规律性的结论，并验证了第四章的结 论。 第六章对全部的论文工作进行了总结，指出了本文工作中存在的一些问题，并对进 化策略在声学数值计算中的应用进行了展望。 6 大连理工大学硕士学位论文 2 有限元理论与计算模型的更新 2 1有限元法简介 力学中的数值解法有两大类型，其一就是对微分方程边值问题直接进行近似数值计 算，这一类型的代表是有限差分法；其二是在微分方程边值问题等价的泛函变分形式上 进行数值计算，这一类型的代表就是有限单元法。 有限单元法的基本思想是里兹法加分片近似，将原结构划分为许多小块( 单元) ， 用这些离散单元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给出 离散模型的数值解。由于是分片近似，可采用较简单的函数作为近似函数，有较好的灵 活性、适应性与通用性。当然有限单元法也有局限性，如对于应力集中、裂缝体分析与 无限域问题等的分析都存在缺陷。为此，人们又提出一些半解析方法如有限条带法与边 界元法。 本文主要是针对梁单元( 加强筋) 和板单元( 均布质量) 的叠加【35 1 ，计算出加筋板 的法向振速，进而为辐射声功率的计算做准备，所以下面主要介绍一下板单元和梁单元 刚度阵的形成，以及有限元叠加原理。 2 2 板单元刚度矩阵【3 6 】 2 2 1 基本附加假定 薄板弯曲问题属于应用弹性力学的研究范畴，除弹性力学关于理想弹性体与小变形 等基本假定外，为了简化问题，还补充了一些有关变形状态与应力分布的假定。 ( 1 ) 直线法假定，薄板中垂直中面的直线在变形后保持为直线且仍与中面( 弹性 曲面) 垂直。则有7 。= 0 ，比= 0 。 ( 2 ) 薄板的法线没有伸缩，板厚保持不变，这说明s ：0 ，即_ o w ：0 ，由此可知w o z 位移仅为x ，y 的函数，w = w ( x ，y ) 。 ( 3 ) 薄板中面内各点没有平行于中面的位移，即( 扰) 珈= o ，( v ) ：= 。= 0 。 ( 4 ) 忽略挤压应力仃引起的变形。 2 2 2 几何方程 由假定( 1 ) 有 基丁进化策略的加筋板声辐射性能优化 a uo w o z 良 跏却 瑟 砂 积分并注意到假定( 2 ) w = w ( x ，y ) ，得到 口w “= 一z + c d w 1 ，= 一z + 彳( x , y 厶( x ，y 由假定( 3 ) ( z ，) ：。= o 与( 1 ，) ：。= o ，可知 石( x , y ) = o ，厶( x ，y ) = 0 于是 o w 材= 一z 一 班 o w ，= 一z 砂 可以看出，只要确定了w 位移分量，就确定了所有的位移分量，从而也确定了薄板 弯曲问题中所有的物理量，所以将挠度w 作为薄板弯曲问题的基本未知函数。 由假定( 1 ) ， ( 2 ) 可知，不为零的应力分量是，0 ，： 锄a 2 w 1 舐 苏2 锄a 2 w 1 咖巩2 锄加 一a 2 w y 。= + = 一2 z 1 码 瓠j 执”瓠a v ( 2 1 ) 由于小变形情况，一窑与一窑分别代表薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的曲率， c 况c 一罢兰则代表它在x y 方向的扭率，它们完全确定了薄板内各点的应变分量，记 o x o v 大连理工大学硕士学位论文 x ) = a 2 6 0 玉2 a 2 6 0 砂2 a 2 缈 苏砂 ( 2 2 ) 称为薄板的应变，此式也称为薄板弯曲问题的几何方程为： ) = z z ( 2 3 ) 2 2 3 物理方程 由假定( 1 ) 和( 4 ) 可知弯曲问题的物理方程具有与平面应力问题的物理方程相同 的形式 或 将( 2 1 ) 式代入( 2 4 ) 式得到 q = 去( q 一巳) q = 吉( q 一吒) 岛= 掣 吒2 仃v2 七弘s 。 七p 。 2 可丽 吒一而飞两叫矿j e厂8 2 w8 2 w 、 q 一可z i 两+ 矿j e8 2 w 一而z 丽 ( 2 4 ) 瓦 岛 毒专e 基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 记为 6 ) = 专 1 z 1 o0 o o 1 一 2 a 2 w 缸2 a 2 w 砂2 a 2 w z 一 苏砂 = z 【d 】 ) c ( 2 5 ) 由此瓦口j 以看出，溥椒芎衄i 叫题甲，应力分重吒、o y 、是z 坐杯阴俞幽教，且 沿厚度方向线性变化。因为板弯曲问题中应力边界条件无法得到满足，求解时改用内力 边界条件，所以还需要给出内力与应变分量之间的关系式。 定义吒、o y 、k 与k 在单位宽度上分别合成弯矩帜、m y 与扭矩蚝积 分得到它们的表达式为 以= 皂z a ，c l z = 一南芬 妒7 l ：z c r y d z - - - 一褊滢+ 雾 略= 一虹如一褊茜 记为 m = 即 m x m m 。， e f 2 羽 2 高 1 1 o0 a 2 wa 2 w 一百一矿 a 2 w a 2 w 一 哥一可 一( 1 - , u ) 舄 o 0 1 一 2 1 0 a 2 w 苏2 a 2 w 砂2 ，、a 2 w 一二一 缸砂 ( 2 6 ) 大连理工大学硕十学位论文 或 其中： m - - d ，】 z 阶舯：南卜 l0 0 1o o 坐 1 二 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 称为薄板弯曲问题的弹性矩阵。 由于薄板弯曲问题中应力分量勺、勺与吒都为次要应力，一般无须计算。其中k 和l 在横截面上合成剪力q 和g 。 内力的正方向与标记均依应力分量而定，如图所示 图2 1 薄板横截面上的内力 f i g 2 1 t h ei n t e r n a lf o r c ea tc r o s ss e c t i o no f t h ep l a t e 对照( 2 5 ) ， ( 2 7 ) 和( 2 8 ) 式，有 l - = 7 1 2 z m z x y ( 2 9 ) 基丁进化策略的加筋板卢辐射性能优化 2 2 4 | | 匾功万丰星 一般空间问题的虚功方程为 6 t f = t 。 d x d y d g 将( 2 3 ) 和( 2 9 ) 两式代入得 6 t f ) = 肚2 t 罟 m 蝴 ( 2 1 0 ) 注意到 z 与 m 均与z 坐标无关，则 6 t f ) = 罟立z 2 龙 x t m d x d y 其中： 丘拖= 鲁 则得到 6 ) t f = z t m d x d y 称为薄板弯曲问题的虚功方程。 2 2 5 节点位移和节点力 薄板单元依中面划分，由于应力分量沿厚度方向线性分布而合成弯矩与扭矩，相邻 单元之间不仅有垂直于中面的法向力的传递，也有弯矩和扭矩的传递，故节点刚接。局 部坐标的选择完全与平面问题矩形单元一样，以平行于两对边的两条对称轴为x 、y 坐 标轴。 1 2 人连理工人学硕士学位论文 图2 2 矩形单元节点位移图 f i g 2 2 n o d ed i s p l a c e m e n to fr e c t a n g u l a re l e m e n t y x 由假定( 3 ) 可知节点只有w 线位移，角位移则只考虑x 轴与y 轴转动的两个节点 角位移，三个节点位移分量与坐标轴正向一致者为正，如图所示，由前面的分析可知， 三个位移分量中只有w 位移是独立的基本未知量。 由小变形假定有 槲叫芸 ( 2 1 1 ) 根据角位移正向规定分析只与只计算式的正负符号。如2 2 图所示，由y 轴逆时针 转动为j 下方向的只角位移，此时相应斜率娑也取j 下值；反之，正方向目，角位移是由x 哕 轴顺时针旋转，此时相应斜率竽取负值，所以 ( 只：_ 8 w ，口产一半 吵 m 于是i 节点的位移向量表示为 单元的节点位移向量为 基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 6 ；) =卧 6 ) 。= 6 0 6 j 6 m 6 p 共1 2 个自由度。 对应地，i 节点的节点力向量为( 图2 3 ) x z ( w ) 图2 3 矩形单元节点力向量图 f i g 2 3 t h ev e c t o r so fn o d ef o r c e so fr e c t a n g u l a re l e m e n t 1 4 、l 啼一r 吩劫仨 w 一 x 包 只 y 再 y m m 大连理t 大学硕士学位论文 单元节点力向量为 e ) = ，) 。= 彬 m x m y , f f ) c ) 2 2 6 薄板矩形单元的位移模式 薄板弯曲问题中，w 位移是唯一的一个基本未知量，它与z 坐标无关，只是x 和y 的函数，位移模式只涉及w 位移的表达形式，矩形薄板单元共1 2 个自由度，故依照 p a s s c a l 三角形及多项式位移模式的选项原则，取如下模式 w = a 1 + x + 口3 y - t - t 2 4 x 2 + a t 5 x y + 0 1 6 y 2 + x 3 + 口8 x 2 y + o t 9 x y 2 + 口l o y 3 + 口1 l x 3 y + a 1 2 x y 3 由( 2 11 ) 式得到另两个位移分量为 见= _ o w = a 3 + c q x + 2 a 6 y + a s x 2 + 2 a g x y + 3 a , 。y 2 + q l x 3 + 3 a 1 2 x y 2 砂 ( 2 1 3 ) o y = 娑= 一( 口2 + 2 a 4 x + c t s y + 3 c t 7 x 2 + 2 c r s x y + a 9 y 2 + 3 a 一2 y + a 1 2 j ，3 ) c 依次将单元各节点坐标代入上述三式，得到1 2 个方程： w2 口1 + 口2 x r + a 3 y r + x ，2 + g t 5 x r y r + 瓯”2 + t z t x r 3 + 口8 x r 2 y r + a g x r y r 2 + 口1 0 y r 3 + 口1 l x r 3 y r + q 2 x r ”3 = + 口5 x r + 2 a 6 y rd r 口8 x r 2 + 2 9 9 x y ，+ 3 口l o ”2 + l x r 3 + 3 q 2 x , y ，2 幺? = - - ( 1 2 2 + 2 c t 4 x r + c t s y ，+ 3 a 7 x r 2 + 2 a 8 x ，y ，+ a g y ，2 + 3 a ll x ，2 ”+ q 2 y ，3 ) ( r = f ，歹，m ，p ) 解出参数，o f 2 ，q ：再代回( 2 1 2 ) 式，整理为插值函数形式 基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 记为 w = h m i 七nx 9 l | nn 9 l np j 七n x 6 x l np 6 。| 七n m w m + nx ，x 。七nh ，y 。+ n p + nx 9 l p 七ny 9 y l w = 【n 】 6 。 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 其中： n 、= p l n l n y in ? i n 。i n yj n mn 。m n y m n p n x ny 飞( 2 1 6 ) 为形函数矩阵，形函数为x 和y 的四次多项式： ，= 吉( - + 考 + 考 2 + 妻( 一考) + ； ( 一：r1 虬= 埘+ 斯+ 斯一万y ) ”“删 ，= 吉_ ( + 专) 2 ( + 尝 ( t 一考 2 2 7 矩形薄板单元刚度矩阵 将位移插值函数表达式( 2 1 5 ) 代入( 2 2 ) 式求薄板单元的应变，整理后得到 其中：应变矩阵 子矩阵 b ，】= 一 x ) - 【b 6 ) 。 【b i = b 。b j b m b p 分n 缸2 分n 砂2 1a 2 r z 一 舐砂 将( 2 1 8 ) 式代入( 2 7 ) 式求内力得 分n x r 舐2 铲n x r 砂2 、分nx r 二一反砂 1 6 a 2 。 苏2 a 2 。 砂2 2 盟 苏砂 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( ，= f ，m ，p ) ( 2 2 0 ) 大连理： 大学硕十学位论文 即 其中：内力矩阵 m = d ，】【b 】 6 。 m = 【s 】 6 。 ( 2 2 1 ) 【s 】= 【d ，】【b 】- d ，】 b ；b jb 。b ， 记为 【s 】= s 。s js 。s ， ( 2 2 2 ) 子阵 【s r 】_ d ，】【b ，】 依( 2 8 ) 式和( 2 2 0 ) 式求出对应于各节点的应力子矩阵为： i 节点 【s i 】= 硐e 1 3 8 “口一8 b“鱼 口 8 口 一8 , u 6 6 鱼 2 ( 1 - r ) b - 2 ( 1 - 2 ) a - ( 1 - , u ) 0- 4 b000 “_ a 4 9 a 0 d 0 - 4 6 00 0 - 2 ( 1 - ) b 0 l 一0 0 j 节点 s ， 2 丽e 同t 3 6 鱼 口 ，b 一6 一 口 1 - g 4 口0 0 2 ( 1 - 1 ) a 。4 6 6 ( 鲁+ 詈 8 口 。 4 6 6 ( 詈+ 告 8 口 2 ( 1 - u ) b0 - ( 1 - t ) - 2 ( 1 - 吖) b 1 7 ( 2 2 3 ) 口一6 6 一口 凡 a 血 + + 一 6 一口 口一6 1 ，。、，。一 f d 、- d 8 b 8 , u b - 2 ( 1 - z ) a m 节点 【s m 】2 硐e t 3 p 节点 基丁进化策略的加筋板声辐射性能优化 4 z a 0 4 口0 0 2 ( 1 - a ) a ooo oo 0 1 - , u 0 0 - 8 t a - 8 a 8 b 8 u b - 2 ( 1 - t ) b2 0 - u ) , , s - 2 而e 丽3 f 口 一o d _ 6 鱼o _ 4 6 口 一6 鱼0_ 4 6 口 1 - , u - 2 ( 1 - , u ) b 0 0o o o0 0 - ( 1 - u ) 0 0 却詈_ 4 口。 一6 鱼 口 ，b 一6 一 口 - ( 1 - a ) 04 6 0 4 z b 2 ( 1 - , u ) b 0 o00 0 oo0 o - 2 ( 1 - t ) a - ( 1 - , u ) 0 0 引 訇 - 8 z a - s a - 8 b - 8 u b - ( 1 - , u ) 2 ( 1 - , u ) b2 ( 1 - f 1 ) a 1 8 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 口一6 6一 口一6 6 一 一 1 口一6 6 一口 心 a 灯 + + 一 6 一口 口一6 ，l，一 6 6 口 7 锄 d 也 4 o 口一6 巧 卜 “ 厶 + + 6 一口 口一6 ，、，一 6 6 大连理工大学硕士学位论文 将前面得到的薄板单元应变与内力表达式( 2 1 8 ) 及( 2 2 1 ) 式浮枚弯曲i 司趑虚功万 程( 2 1 0 ) 式 ( 6 。) t f ) 。= 肌) t m d x d y 得到 ( 6 。) t f e = ( 6 ) e ) t 【b 】t ( 【。，】【b 】 6 ) e 即 注意到 6 ) 。与 6 ) 。都不是坐标的函数，上式改写成为 ( 6 。) t f ) c = 。) t ( b 九d ，】 b 脚) 6 ) e 由虚位移 6 。的任意性可知要求 f 。= ( 小b 九d ，】【b k 咖) 即薄板单元的刚度方程，写成 f 。- k 】。 6 。 ( 2 2 7 ) 其中 k ) 。= 饥b 九d f b i d d y ( z 2 8 ) 为薄板单元的单元刚度矩阵，它决定于单元的方位、尺寸和弹性性质而与单元位置无 j 大。 对于矩形薄板单元，将【d f 】表达式( 2 8 ) 与【b 】表达式( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 4 - l z , k 式，再将形函数表达式( 2 1 7 ) 代入，展开后对x 由a 到a ，对y 由- b 到b 积分，加以 整理就得到矩阵薄板单元刚度矩阵的具体表达式： k 】e2 研e t 3 基于进化策略的加筋板声辐射性能优化 如= 8 b 2 8 a b 2 + 4 0 a 2 岛= 8 a 2 - 8 9 a 2 + 4 0 b 2 k 6 = 3 0 9 a b k 7 = - 2 1 + 6 , u - 3 0 等- z 州等 k s = - 8 b 2 + 8 , u b 2 + 2 0 a 2 = - 2 a 2 + 2 , u a 2 + 2 0 b 2 毛。= 一3 6 1 2 加+ 1 5 i q 2 毛4 = 2 a 2 _ 2 , u a 2 + l o b 2 k 1 7 - - 之1 + 6 a + 1 5 - 筹2 瑚吾 毛8 = - 2 6 2 + 2 , u b 2 + 2 0 a 2 岛9 = 一8 a 2 + 8 u a 2 + 2 0 b 2 k 2 0 = 3 b - 3 b + 3 0 譬- - - 哎1 ：一3 a - 1 2 口+ 1 5 b 2 ( 2 2 9 ) 厄如 肠旃以 肛厢。岛 如以廓鲰。 觑办如岛廓m 觑翰。跏旃。鼬 o 5 岛缸厢绯。以加。 岛觑岛伽伽纫胁如 触加。岛o鼬办。鼬 乜以伽o小缸。砌伽。 以肠以肠伽珈缸廓即助勘 矿一酽 ，l ， 一 矿竺矿m 义 + 一 咖 4 “ ：一 l ， 扒 拍 = = 2 纯 协 矿一矿 03+ 铲一矿 01 - i+ 6 2 = ： 1 中其 矿一6 矿一口 5 5 ，l 1 l + + 6 口 期 a 3 气j + + 6 口 一 一 = = 5 6 七 七 矿一6 矿一口 0 o3 j + + 6 口 灯 “ 2 2，l，i + + 6 口 f j 3 = = 觑 岛 大连理工大学硕士学位论文 毛l ：3 口一3 口+ 3 0 堡 口 2 3 梁单元刚度矩阵3 6 】 2 3 1 空间梁单元刚度矩阵 对于空间梁单元而言，每个节点具有6 个位移自由度，即三个线位移和三个截面转 角。单元节点位移分量的正方向和单元节点力分量的正方向完全相同，单元节点位移列 阵与节点力列阵分别为 6 ； 6 ： 一8i n x ，q y ，o ：，m 工，my ，m ： f j = nx j q 虬j qz j m j m 心m 。飞 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 上式中，n x ! 和为轴向力；级，心和鳓，m 习为x y 平面内的剪力和弯矩；q = i ，略和 q ，为x z 平面内的剪力和弯矩；m “，m 掣为扭矩，巳和巳为截面扭转角。局部坐标 系下的空间梁单元刚度矩阵k 。为1 2 1 2 阶的方阵 0o0 m00 0 筇0 oo 垡 三 0 乇筇0 缸口00 o00 也00 0 地8 0 oo ! 三 0 础0 6 f a00