（金融学专业论文）扩散过程的一种新检验方法及其在股市、即期利率市场中的运用.pdf

内容摘要 在衍生产品的定价中，首先必须外生给定标的资产所遵循的随机过程，我们 才能给衍生产品定价，如期权类衍生产品、利率衍生产品等。一旦错误地外生给 定标底资产所遵循的随机过程，这叫做模型误设。在经济方面，模型误设可能导 致定价、保值、风险管理方面大的错误；在统计方面，模型误设导致模型中参数 以及其方差协方差矩阵的不一致估计，在做推断与假设检验就会导致错误的结 论。在没有经济理论依据的情况下，标的资产所遵循的随机过程应该采取何种设 定形式，必须要数据本身的特征，要从统计学的角度来思考该问题。 本文通过非参数核密度估计与非参数回归的方法构造一个新的检验统计量 来检验数据是否由一般( 任何参数结构的) 扩散过程生成，这一方法不仅可以运 用到股票市场如上证指数日数据与s t a n d a d & p o o r 5 0 0 天内数据，还可以运用到即 期利率市场如7 天e u r o d o l l a r 利率日数据与一年期中国银行之间的同业拆借利率 日数据，并发现这些日数据都不适合用扩散过程来描述，说明极可能存在非连续 性，刻画这些变量变化规律的随机模型中很可能存在跳跃部分。 关键词：扩散过程；n w 估计量；无穷小矩 a b s t r a c t b e f o r ew ep r i c et h ed e r i v a t i v e s ，w em u s tk n o wt h ep r o c e s s e st h a tu n d e r l y i n g a s s e t sf o l l o w , s u c ha sp r i c i n gt h eo p t i o na n di n t e r e s td e r i v a t i v e s i fw eg i v et h e i n c o r r e c tp r o c e s s e st h a tt h eu n d e r l y i n ga s s e t sf o l l o w , w ew i l lo b t a i nt h ei n c o r r e c t p r i c e sa n dm a ye n c o u n t e rb i gl o s si nf i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n tp r a c t i c e ，a n dl e a dt o t h ei n c o n s i s t e n te s t i m a t e so fp a r a m e t e r sa n dv a r i a n c e - c o v a r i a n c em a t r i x t h e nw ew i l l h a v ei n c o r r e c tt e s tr e s u l t si ne m p i r i c a lw o r k w es h o u l da c c o r d i n gt ot h er e a ld a t a s f e a t u r e st oc h o o s ep r o c e s s e st h eu n d e r l y i n ga s s e t sf o l l o ww i t h o u tt h ee c o n o m i c a l t h e o r i e s t h a ti st os a yw en e e das t a t i s t i c a lv i e wt ot l l i l l l ( a b o u tt h i sp r o b l e m i nt h i sp a p e rio b t a i naf o r m a lm e t h o dw h i c hi sb a s e do nt h en o n p a r a m e t r i c d e n s i t ye s t i m a t i o na n dn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nt o t e s tw h e t h e rt h ef i n a n c i a ld a t a c o m ef r o mt h e g e n e r a l i z e dd i f f u s i o np r o c e s sw h i c hh a s1 1 0p a r a m e t e r s i l lt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n o u rm e t h o di su s e dt o t e s tn o to n l yt h es t o c km a r k e td a t a , b u t a l s ot h es p o tr a t em a r k e td a t ac o n v e n i e n t l y a n diu s et h i sm e t h o dt og e tt h er e s u l t s t h a ts h a n g z h e n gi n d e xl o gp r i c ed a i l yd a t a , s & p 5 0 0l o gp r i c ei n d e xi n t r a d a yd a t a , 7 d a y se u r o d o l l a rr a t ed a i l yd a t aa n dt h e1y e a rc h i n e s ei n t e r - b a n ki n t e r e s tr a t ed a i l y d a t ad on o tf o l l o wad i f f u s i o np r o c e s sw i t h o u taj u m p k e yw o r d s ：d i f f u s i o np r o c e s s ；n a d a r a y a - w a s t o n ( n - e s t i m a t o r ； i n f i n i t e s i m a l m o m e n t s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ： 象，乏；看 ， 历0 7 年垆月f 口日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：办f 冬 刷币答轹p 日期：细，7 年妒月f 口日 日期：z 司年严月口日 l 导论 1 导论 在衍生产品的定价中，外生给定标的资产所遵循的随机过程后，再利用无套 利或者鞅定价技术，我们一般可以给一些衍生产品定价，如期权类衍生产品等 ( b l a c ka n ds c h o l e s ，1 9 7 3 ；m e r t o n ，1 9 7 6 ) 【翻。但是，一旦错误地外生给定标底资 产所遵循的随机过程，那么就会产生定价错误，定价有很大的偏差，而对风险管 理而言，就会有未预期到的风险头寸。所以，标底资产所遵循的随机过程是否正 确关系到衍生资产的定价是否准确，风险管理者的操作是否恰当。 金融学文献中对于标的资产遵循的过程的设定有样本路径连续的与非连续 的两大类。 第一类是连续样本路径的设定，这就是我们通常所说的扩散过程( d i f f u s i o n p r o c e s s ) 。假设变量遵循的过程可以用以下的偏微分方程来描述， a x , = a ( 置，f ) 出+ 盯( 五，f ) d 形，( 1 ) b l a c ka n ds c h o l e s ( 1 9 7 3 ) ，期权定价中标的资产股票遵循几何布朗运动，即设定 ( ，f ) = ，盯( 五，) = 盯，漂移率函数( d r i f tf u n c t i o n ) 与扩散函数( d i f f u s i o n f u n c t i o n ) 都是常数，形通常为标准布朗运动，该标的资产遵循的过程的样本路径 是连续的【6 】。此外，在利率衍生产品定价中，即期利率( s p o tr a t e ) 遵循连续路径 过程( 一般被假设是时间齐次的) 可以用下面的偏微分方程描述， 咖= ( ) 出+ o ( r , ) d w t 如v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 的设定，漂移率函数为( ，：) = 位一，；) 是均值回归的，是即期利 率的线性函数，而扩散函数盯( ，：) = 仃是常数，其中口、都为常数【3 4 1 。 c o x i n g e r s o l l - r o s s ( 1 9 8 5 b ) ，b r o w n d y b v i g ( 1 9 8 6 ) ，g i b b o n s - r a m a s w a m y ( 1 9 9 3 ) 设 定漂移率函数仍为均值回归的，( ) = p ( a - ，；) ，扩散函数为盯( ) = 吖i 2 ，都是 即期利率的非线性函数1 1 5 1 1 9 1 1 2 1 1 。c o u r t a d o n ( 1 9 8 2 ) 设定漂移率函数为 ( ) = 夕位一，；) ，扩散函数为盯( ，；) = c r r ，都是即期利率的线性函数【1 3 1 。c h a r te t a 1 ( 1 9 9 2 ) 设定漂移率函数为( ，：) = 位一，；) ，扩散函数为仃( ) = 盯，：工为即期利率 。扩散过程的定义参见附录a 。 扩散过程的一种新检验方法及其在股市、即期利率市场中的运用 的幂函数【1 。d u f f l e k a n ( 1 9 9 3 ) 设定漂移率函数( ，：) = p ( a 一) ，扩散函数为 仃( ，；) = 盯+ ”，为即期利率平方根形式【1 7 1 。b r e n n a n s c h 坝i n z ( 1 9 7 9 ) 设定漂移率 函数为( ，；) = ，r , ( a - i n ( r , ) ) ，扩散函数设定为仃( ) = t r r , 嗍。m a e s h r o s e n f e l d ( 1 9 8 3 ) 设定漂移率函数为( ，；) = 口，；一( 1 一占+ ，：，扩散函数设定为仃( ，：) = 盯，：纠2 【2 7 1 。 c o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 2 ) 设定漂移率函数为( ，：) = 口+ 厩+ ”2 ，而扩散函数设定为 仃( ) = o - + y r ，1 1 4 1 。c o x ( 1 9 7 5 ) ，c o x i n g e r s o l l r o s s ( 1 9 8 0 ) 设定漂移率函数为0 ，扩 散函数设定为仃( ，：) = a r , 3 2 1 5 】。以上是金融学文献中设定即期利率遵循过程时漂 移率函数与扩散函数的各种常用的参数形式，在没有理论前提下，并不能随意假 定利率遵循某一参数形式的扩散过程。这时，我们需要一个方法来选择一个最好 能刻画数据特性的模型。 第二类是非连续样本路径的随机过程的设定，一般都是在上述各种过程中加 入跳跃部分，如加入p o i s s o n 跳跃等，如下文中( 1 ) 方程所示，或者是加入列 维过程( l e v yp r o c e s s ) 。 然而，金融理论通常没有说明哪种形式的设定是正确的，研究者通常是为了 获得各种证券价格( 金融工具) 的封闭解而使用方便的设定。这极可能导致模型 误设。在经济方面，模型误设可能导致定价、保值、风险管理方面大的错误；在 统计方面，模型误设导致模型中参数以及其方差协方差矩阵的不一致估计，在做 推断与假设检验时就会导致错误的结论。 所以，在没有经济理论依据的情况下，应该采取何种设定形式，必须要数据 本身的特征，所以要从统计学的角度来思考该问题。文献中对连续样本路径的漂 移率与扩散函数的设定检验，先驱性工作是a i ts a h a l i a ( 1 9 9 6 ) 完成的( 本文就 简要写为a i rs a h a l i o 检验( 1 9 9 6 ) ) 【l 】，h o n g ( 2 0 0 5 ) 研究了另外一种检验方法( 本 文简要写为h o n g 检验( 2 0 0 5 ) ) 1 2 2 1 ，并进一步改进了a i ts a h a l i o 检 ( 1 9 9 6 ) 。 而对样本路径是否是非连续的检验，也就是检验是否存在跳跃，已有的方法是基 于b i p o w e rv a r i a t i o n 的检验( b a r n d o r f f - n i e l s e na n ds h e p h a r d ，2 0 0 3 ) 2 9 j 与基于 s w a pv a r i a n c e 的检验( g e o r g ej j i a n ga n dr o e lc a o o m e n ，2 0 0 5 ) 2 0 1 ，这两种检 验都不要设定漂移率函数与扩散函数的某种参数形式，都从整体上来判断数据遵 循的随机过程的样本路径是否连续( 或者是否有跳跃发生) ，此外，这两种方法 2 l 导论 有构造检验统计量的特殊性而不方便用到即期利率市场中来，而本文提出的新检 验方法将不仅从整体上可以判断是否存在跳跃，而且可以大概知道跳跃发生的具 体位置，也不需要对漂移率与扩散函数做参数设定，同时可以方便地用到即期利 率市场中来。 本文的以下部分结构安排如下：接下来的是第二部分，即文献中已有的各种 检验方法的重要结论的一个简要回顾；第三部分是本文研究的新检验方法；第四 部分是将该方法运用到上证指数日数据，s t a n d a d & p o o r s 0 0 天内数据，7 天 e u r o d o l l a r 利率日数据，年期中国银行之间的同业拆借利率日数据等，和相应 的结论；第五部分是模拟以及相应结论；第六部分是本文的结论。 扩散过程的一种新检验方法及其在股市、即期利率市场中的运用 2 已有的扩散过程设定检验的方法：一个回顾 对特定的变量，比如即期利率、汇率、( 对数) 股票价格等，它们遵循的过 程的样本路径是连续的还是非连续的，可以从历史数据中来判断。已有的文献对 于连续时间模型的设定是否正确的规范检验问题可以总结为两类。 第一类检验是连续样本路径过程的前提下检验漂移率函数与扩散函数的某 种参数形式的设定是否正确，如a i ts a h a l i a ( 1 9 9 6 ) 基于状态变量边际密度和非 参数方法构造检验统计量【1 1 ，h o n g ( 2 0 0 5 ) 基于状态变量的转换密度和非参数方法 构造检验统计量【2 2 1 ，他们都是针对特定的参数结构的漂移率函数与扩散函数模型 的检验。但是，可能任何参数形式的漂移率函数与扩散函数都不能用来刻画变量 的动态变化规律。这时，就应该检验过程样本路径是否连续( 即是否存在跳跃等) 。 假设状态变量为股票( 或者股票指数) 的对数价格，遵循偏微分方程( 1 ) ，也就 是扩散过程，其中( 1 ) 中形通常为标准布朗运动，值得注意的是本文的新方法 却并不受到该限制，本文的新方法可以在更加一般的限制下：d w , = 占出，是 满足e ( 占) = o ，e ( 占2 ) = 1 ，e h 4 2 ( 3 3 ) 这里我们检验当r = 3 、4 时，看看上式( 3 3 ) 是否成立。为了方面起见，定义下 列函数， e ( 五+ 一五) 3 阮 全g ( 五) ， ( 3 4 ) e ( 五+ a 一五) 4 l 五 全朋( 置) ， ( 3 5 ) 由( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) 式可知下列两式成立， g ( 置) = d ( ) ， 肌( 五) = o ( a ) 当时间间隔趋于零时，函数g ( 五) 与册( 墨) 以更快的收敛率收敛到零，当抽样 国关于无穷小均值与方差的定义参见s a m u e lk a r l i n 。h o w a r dm t a y l o r , 1 9 8 1 ，“as e c o n dc o u r s ei ns t o c h a s t i c p r o c e s s , a c a d e m i cp r e 瓢一书的关于连续时间随机过程的章节。 扩散过程的一种新检验方法及其在股市、即期利率市场中的运用 是连续时间时，该结论就成立。而现实中我们的不可能做到，但是为我们提供近 似的基础，只能在大样本上的做离散近似。所以，当时间间隔非常小时，只要函 数g ( x ) 与m ( x ) 为接近于0 的常数，那么可以在直观上初步判断该数据的生成过程 为扩散过程。如果这两个函数明显偏离通过( o ，o ) 的水平线，直观上我们可以 认为数据生成过程不是扩散过程。所以，我们需要首先估计函数g ( x ) 与m ( x ) ，然 后在此基础上构造检验统计量来做检验。 3 1 函数g ( x ) 与m ( x ) 的非参数估计 s t a n t o n ( 1 9 9 7 ) 用n a d a r a y a - w a s t o n ( n w ) 估计量来估计债券利率的漂移率函数 和扩散函数【3 2 1 。这一方法同样可以用来估计( 3 4 ) 和( 3 5 ) 式。记数据的样本大 d , i 已9 5n ，上证指数价格对数的日数据用 五) ：表示。在用非参数估计时，选 择函数估计值个数为n ，用 刁 ：表示，k ( ) 核函数在这里用e p a n e c h n i k o vk e r n e l ( 或者也可以用正态核) ，其定义如下， k ( ”) = 云( 1 0 ) 硼甜i 钏) 其中i 为显示性函数( i n d e xf u n c t i o n ) ，定义如下， ，( f 材j t ，) 全 ：三【i i ： h 为带宽，带宽的选择用常用的p l u gi n 方法，见r u p p e r t , s h e a t h e ra n dw a n d ( 1 9 9 5 ) 1 2 3 1 。那么，使用局部线性平滑( 1 0 c a ll i n e a rp o l y n o m i a ls m o o t l l ) 的方法来估计 函数g ( x ) 与m ( x ) 估计值为g ( x ) 和m ( x ) ， ( ；( z j ) ，g 。( 乙) ) = a r g r n j n 善t f n ( 砰) 31 9 ( 刁) + g ( 毛) ( 五一刁) 】 2 k ( 墨产) ，( 3 6 ) 表示使得( 3 6 ) 式右边最小时函数g ( z ) 与g ( z ) 在序列 互) ：处的取值序列为 ；( 乃) 圪：和 ；( 刁) ：，其中，g ( z ) 是函数g ( z ) 的一阶导数。对于函数g ( z ) g 幸q - 的定义域上的任意一点x 处函数g ( x ) 的估计值可以用下式子来获得， ；( x ) ：；( 刁) + ；( 毛) ( x 一五) ( 3 7 ) 1 6 3 检验数据是否遵循扩散过程的新检验方法 同样，对函数r e ( x ) 的估计值也有， ( 确叙硼= a r g 幽善御h 毗舯。( z f ) ( z 吲】) 2 k ( 孥) ( 3 8 ) ，竹( x ) = 聊( 刁) + 脚( z 3 ( x 一刁) ( 3 9 ) 当我们将导数忽略掉是就是局部线性平滑( 1 0 c a ll i n e a rp o l y n o m i a ls m o o t h ) 的方法 的一种特例，即n a d