（应用数学专业论文）矩阵在联合寿险中的应用.pdf

中文摘要 摘要 传统的寿险费率计算是采用确定性利率，目的是为了简化计算但人寿保险是一 种长期性的经济行为，投保期间，政府政策，经济周期等因素都会带来不确定性，从 而随机利率下的寿险精算理论与方法的研究成为近年来研究的重点与热点问题目 前已有的研究多是针对单人寿险产品进行讨论，与单人寿险相对应的是联合寿险， 由于其现值函数矩的表达式是裾当繁琐的，特男l 是对于离散时闻情形因此本文针 对随机利率下的联合寿险在离散情况下进行讨论，推导得到了保险金给付现值前二 阶矩的矩阵形式这不仅使纯保费的计算和保单风险的度量更为快捷，丙且还簸观 察到剩率和死亡率对保费及保单风险的影响此外还能为寿险中的重要关系提供漂 亮的矩阵形式，例如平衡原理 全文共分七章：第章在分绍寿险精算和联合寿险在国肉外研究概况的基礁上 提出本文研究的问题第二章给出必要的准备知讽第三章简介由联合寿险合同产 生的积累支付流的现值函数和其前二阶矩的表达式第四章给出本文的主要结果。 一张保单z 耩保单组合2 k 的前二嚣令矩的矩阵形式。第五章在两个随机利率模 型下计算了相应的向量和矩阵并在w i e n e r 过程下给出了参数的具体数值，应用本 文的结论得到了张保单的现值，方差和保单数无穷大时的极限方差第六章和第七 章给出本文主要结果的证舞，并提出了今后工作盼展望 关键词；随机利率，联合寿险，保单组合，w i e n e r 和o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程 a b s t r a c t u s u a l l yt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r yi sb a s e do naf i xi n t e r e s tr a t ew i t ha p u r p o s et os i m p n f yc a l c u l a t i o n s h o w e v e r ，s i n c et h el i f ei n s u r a n c ei sal o n g - t e r m e c o n o m i ca c t i o n ，t h ef a c t o r so fg o v e r n m e n tp o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s e t h ei n t e r e s tr a t et ob eu n c e r t a i nd u r i n gt h et i m eo fi n s u r a n c e ，t h es t u d yo na c t u - a x i a lt h e o r ya n dm e t h o du n d e rr a n d o mr a t e so fi n t e r e s th a sb e c o m ea ni m p o r t a n t a n dp o p u l a rt o p i c i ta p p e a r st h a tf o r m u l a sf o rt h em o m e n t so ft h ep r e s e n tv a l u e o ft h eb e n e f i t sa r eq u i t ee x t e n s i v e ，e s p e c i a l l yf o rt h ed i s c r e t e - t i m ec a s e s ot h i s p a p e rd e r i v e st h em a t r i xf o r mf o rt h ef i r s tt w om o m e n t so ft h ep r e s e n tv a l u eo f t h eb e n e f i t sf r o mc o m b i n e dl i r ei n s u r a n c ei nas t o c h a s t i ci n t e r e s te n v i r o n m e n t w ec a ns i m p l i f yt h ee x p r e s s i o n sf o rt h ea p p r o p r i a t em o m e n t s m o r e o v e r ，m a t r i x n o t a t i o nn o to n l ym a k e sc a l c u l a t i o n se a s i e r ，b u ta l s op r o v i d e san i c ef o r mf o r s o m ei m p o r t a n te q u a t i o n s ，f o re x a m p l ee q u i v a l e n c ep r i n c i p l e 琵i sd i v i d e di n t os e v e nc h a p t e r s ：i nc h a p t e r1 ，w eg i v ei n t r o d u c t i o n st ot h e d e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c ho fl i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lt h e o r yu n d e rr a n d o mi n t e r e s t r a t ea n do u rr e s e a r c ho b j e c t i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h ee s s e n t i a ld e f i n i t i o n s i n c h a p t e r3 ，a f t e rab r e i fd e s c r i p t i o no ft h ep r e s e n tv a l u eo fc u m u l a t i v ep a y m e n t s t r e a m sg e n e r a t e db yc o m b i n e dl i f ei n s u r a n c ec o n t r a c t ，w eg i v ee x p r e s s i o n sf o r t h ef i r s tt w om o m e n t sa b o u ta s i n g l ep o l i c ya n dag e n e r a lp o r t f o l i o i nc h a p t e r4 ，o u rm a i nr e s u l t s ：t h em a t r i xf o r mo ft h ef i r s tt w om o m e n t so f za n dz n 、 i nc h a p t e r5 ，w ee s t a b l i s ht h em o d e lf o rt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tb yaw i e n e r a n da no r n s t e i n - u h l e n b e c kp r o c e s sa n dan u m e r i c a li l l u s t r a t i o nf o rt h er a t eo f 焚文摘要 i n t e r e s tm o d e l e db y & w i e n e rp r o c e s si sp r o v i d e d 。 i nc h a p t e r6a n d7 ，w eg i v et h ed e t a i l e dp r o o f sa n dp r o s p e c t k e y w o r d s ls t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s ，c o m b i n e dl i f ei n s u r a n c e ，p o r t f o l i oo fp o l l - c i e s ，w i e n e ra n do r n s t e i n - u h l e n b e c kp r o c e s s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任 声明人( 签名) ：天凡 调年5 - 月嘣日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电予版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复翩并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打竹 ) 作者签名：关凡 导师签名：歹如产o 7 1 日期：调年户月彬日 嗍2 叩朔秘嚣 矩阵在联合寿险中的应用 第一章引言 传统的寿险费率计算是采用确定性利率，目的是为了简化计算。实际上，利率具 有随机性，对于具有长期特点的寿险业务丽言，会带来定的风险，因此采用固定 利率可能带来预期与实际有一定的偏差人们开始注意到。由于利率随机性产生的 风险，对保险公司来说是相当大的。根据传统精算原理，由死亡率随机性产生的风 险可以通过出售大量酶保单来分散但如果保险公司出售的每张保单采用与实际菲 常接近的利率，这样的利率风险只单一的存在于保险公司一方，如果发生，可导致 保险公哥破产。保险公爵为减少因利率调整面可能导致的损失，往往在费率计算时 将利率订的较低，这样势必造成投保人的保费负攫加重，又导致投保人数的减步 从而减少利率不确定性的更好办法是采用随机利率模型在该模型中，利率不再被 看作固定的常量，菰是被称为随机交量，称这种利率为随机利率。随着精算理论研 究的深入，利率随机性的研究在近2 0 年来逐渐受到重视，随机利率下的精算理论的 研究已成为当前的重哉和热点问题之一 1 9 7 1 年毒。珏p o u a n d 首次把科率利患力视为嫩量，对精算丞数进行了 研究其盾批学者开始采用各种随机利率模型来模拟随机利率1 9 7 6 年b o y e l 考 虑了寿险与年金中死亡率与利率均为随机的情况，即所谓双随机性f l 】相应的随机 利息的般理论由p a n j e r 帮b e l l h o u s e 在2 0 世纪8 0 年代建立，随后g i a c c o t t o ( 1 9 8 6 ) ，d h a e n e ( 1 9 8 9 ) ，h u r l i m a n n ( 1 9 9 2 ) 等有过这方面的研究对于随机利率，他 f 丁都已时间序列方法建模的，例如，囟噪声过程，a r ( 2 ) 过程秘a r i m a 过程匀览 9 0 年代，批学者利用摄动方法建模，得到了具有双随机性的某些年金及寿险的一 系列结果；b e c k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 和1 9 9 1 年分别得到了息力由o u 过 程和w i e n e r 过程建模豹菜些确定年金的前二阶矩渤一圈，1 9 9 3 年又得刭了息力由 o - u 过程和w i e n e r 过程建模的终身寿险给付现值的前二阶矩【4 】，d es c h e p p e r 矩阵在联合寿险中的应用 和g o o v a e r t s ( 1 9 9 2 ) 得到息力壶w i e n e r 过程建模的某些年金盼矩母蠡数嘲，分 布函数与l a p l a c e 变换m v a n n e s t e 等则给出了息力由w i e n e r 过程建模的某些 年金的生成函数的一系列结果。1 9 9 4 年，g a r yp a r k e r 发表了在他博论文中的 些结果他研究了死亡所在保单年度之末等额给付的定期寿险，当保单数目趋于 无穷时每张保单平均成本的极限，得到了这一随机变量的近似分布函数的递推公 式嘲，还褥裂了这叫陂限随极变量的前三剿巨吲。 目前已有的研究多是针对单人寿险产品( 即每份寿险产品的保障对象为个被 保险人) 进行讨论，与单人寿险相对应的是联合寿险所谓联合寿险，是指两人( 或 两入以上) 作为被保险入联合投保，按照保险合同约定，于保险事故发生或达刭合露 约定的年龄，期限时享有保险金的一种寿险，特别适用于夫妇联合投保联合寿险的 保险金给付依赖于多个被保险人的死亡时间，具有多样性与复杂性，因而对其精算 模銎的研究难度要大予单入寿险的情形，匿翦学术界对于联合寿险精算模型的研究 多集中予确定利率环境下的讨论见文献【1 1 】一 1 2 】针对文献【11 _ 【1 2 】在确定利 率下进行研究的不足，文献【1 3 】前进步。采甩a r i m a 过程对利息力建模求得 了保单损失变量的期望值，但这无法为保险人确定费率或计提准备金提供足够的决 策支持事实上，对于保险人确定费率而言，不单单需要知道保险金给付现值的期 望值，给付现值的波动情况也是其重要的决策依据。我们可以从方差角度来刻燕一 个随机变量的波动情况，后者能够提供更加丰富的信息由于各阶矩的表达式相当 庞大，特别是离散情形本文所要做的工作就是得到随机利率下离散型联合寿险保 单保险金现值丞数静熬二孚睫的矩阵形式。通过矩阵形式，我镌不仅能麓讫一酚， 二阶矩。很便于掌握和使用，而且还能观察到利率和死亡率对保赞及保单风险的影 响。 2 矩阵在联合寿险中的应用 2 1 摹螅的概念 2 1 1 利息的定义 第二章寿险理论基础 利息是使用资本的代价或报酬资本使用者不一定拥有资本的所有权。他可借 入资本来使用。对资本借入者来说，利息就是西能使用资本借出者的资本丽支付给 后者的代价，对资本借入者来说，利息就是他暂时转让资本的使用权而从资本借入 者处得到盼报酬。 我们把每项业务开始时投资的金额称为本金，而把业务开始定时间后回收的 总金额称为该时刻的积累值( 或终值) 积累值与本金的差额就是这一时期的利息金 额在初始时刻t = o 投资的1 单位本金，我 j 定义该投资在时刻专的积累值为积累 函数a ( t ) 那么a ( o ) 一1 ，并且a ( t ) 通常为递增函数，积累函数a ( t ) 有时也称作 t 期积累因子把从投资日期第n 个时期所得到的利息金额记为厶，则； 厶= a ( n ) 一g ( 死一1 ) ， 钆1 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本 金金额之比实际录l 率是利息的种度量方式通常，实际科率鹰字母i 表示对于 有多个度量时期的情形可以分别定义各个度量期的实际利率这时，用i n 记从投资 墨算起第n 个度量期的实际利率，则； 那么有； 和错= 志，喇 a ( n ) = ( 1 + ) o ( n 一1 ) ， n 1 3 矩阵在联合寿险中的应用 因此有t 口( n ) = ( 1 + “) ( 1 + i n - 1 ) ( 1 + t 1 ) 特别的，若每个度量期的利率i n 都相同，记i 俺为i ，这样就有， n ( n ) = ( 1 + i ) n a ( n ) 就是利率为i 下，初始时刻投资1 单位本金在时刻n 的积累值那么利率为i 下初始时刻投资k 单位本金在时刻i i 的积累值为k a ( n ) 2 1 2 现值，折现因子，贴现率，利息力 我们把为了在t 期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累 值的现值( 或折现值、贴现值) 而积累函数a ( t ) 的倒数n _ 1 ( t ) 称为t 期折现函数 显然，口_ 1 ( t ) 是t 期末支付1 的现值，在t 期末支付k 的现值为k a _ 1 ( 亡) 特别 的，把期折现因子口_ 1 ( 1 ) 简单的称为折现因子，并记为v 在利率为i 下， 1 口2 雨 贴现率记为d ，它也是利息的一种度量方式，定义为。 d = 南 考虑n 年末给付c 元，设其现值为x 。假设每年的利率为i ，那么根据： z ( 1 + i ) n = c 得到现值。 一南一n弘丽：2 例 前面定义的i ，d 都是用来度量规定时间区间内利息的度量方式，在很多情形下，我 们还希望能度量每一时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息这种对 4 矩阵在联合寿险中的应用 利息在各个时闻点上的度量方式瑟q 做翻息力( 或者称利息强度) t 时刻的利息力记 为况定义为。 ) = 鬻 将匕式变形，有t 蔫五dl n 口( t ) 用r 代替专，然詹将艺式露端在0 到r 艺积分，得； n ( t ) = e ：9 6 , 由 其中我憾将y ( o = 露嚣毋称为时刻t 的利惠力累积函数。如果利息强度在某时间 区间上为常数，那么该时间区间上的实际利率也为常数，并且在利息强度为常数的 情况下，有： 艿一l n ( 1 + i ) 根据折现因子和利息力的定义。可得： 2 2 随机利率模型 近年来，关于随机利率本身的研究进步受到重视，国内外的许多学者对随枫 利率建立了各式各样的利率模型，但这些随机利率模型也不外乎两种：一种是连续 的；秭是离散的。我们就两种利率模型分舅v 1 匆n 以介缨。 2 2 1 连续利率模型 所谬连续利率模型，就是将每个时刻的利率视为个连续变化过程的利率模型。 在连续利率模型中，般采用随机过程对利率建模大量的随机过程已经被使用去模 拟利率的随机性，并且这些随机过程还被不同的方法所使用 5 矩阵在联合寿险中的应用 6 前蕊已经介绍了以表示时刻s 的利息力，y ( t ) 表示嚣重刻t 的利息力累计函数， 并且t 萝( 亡) ：厂瓦 目前，在连续利率模型中，对利率随机性的建模，有两种方法，一种是对和息力建模， 即假设利息力瓦是随机过程；另种是对利息力累计函数建模，即假设利息力累 计函数y ( t ) 是一随弧澎匿 ( 一) 利息累计函数建模： 考虑利息随机性的种方法是用随机过程去模拟利息力累计函数y ( t ) 其中w i e n e r 过程稻o r n s t e i n - u h l e n b e c k 篱称o - u 过程) 是这类方法中使甩最多的两中随机过 程，并且这两类随机过程都是g a u s s 过程的特殊形式 ( 1 ) 利甩w i e n e r 过程建摸：在这类模型中，令 y ( t ) = y w ( 芒) = a w ( t ) + ( 2 1 ) 其中艿为常数利息力，盯是常数，且仃0 ，w ( t ) 是标准w i e n e r 过程 2 ) 剩居o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程建摸l 在这类模型中，令 y ( t ) ；x ( t ) + 蹴( 2 2 ) 其中x ( t ) 满足下列随机微分方程； d x ( t ) = - , ) f x ( t ) d t + a d w ( t )( 2 3 ) w ( t ) 是捧准w i e n e r 过程，且x ( o ) 一o ，蟊q 0 为常数 ( = ) 利息力建模； 考虑利率随机性的另外一种方法是用随机过程去模拟利息力以。类似于剩息 力累计溺数建模，用来模拟利息力瓦的随机过程，仍然采用w i e n e r 过程和o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程 矩阵在联合寿险中的应用 1 ) 利用w i e n e r 过程建模， 在这类模型中，利息力磊定义为： 磊= 艿v w ( t ) 1 7 芝0 ( 2 4 ) ( 2 ) 利用o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程建模；在这类模型中，利息力蕊满足下列随机微 分方程； 舐= 一a ! ( & 一o ) d t + a d w ( t )( 2 5 ) 式中a ，正口均为常数，且q 0 ，仃0 ；以的初始值为如；w ( t ) 服从标准 w i e n e r 过程 2 2 2 离散利率模型 离散利率模型，它将各年的利率假定为个随机变化鳃亭刭。因为在实际生活 中，利率在年当中般是固定不变的，所以离散利率模型更加贴近实际 在离散利率模型中，对利率随机性的建模，也有两种方法：种是假定各年的利 率i k ( k 燃l ，2 ，) 是个随机变化的序魂；另外种是假定各年的利息力最( 嚣 1 ，2 ，) 是个随机变化的序列 在最初的离散利率模型中，假定各年利率i k ( k = 王，2 ，) 是独立同分布的随 机序列。但匿为利率可能受到过去数年番j 率变化以及政治，经济因素等多种外舞因 素的影响，所以假定各年利率是独立同分布的不太符合世纪为了更好的模拟利率 的变化，近年来，很多学者最( 蠢= 熏，2 ，) 采角时闻序列方法建立模型，先后密现 了a r ( 1 ) ，a r ( 2 ) ，m a ( 1 ) ，m a ( 2 ) 等利率模型现在，已经将这些利率模型到条件 稳定a r ( p ) 利息力模烈，广义a r ( p ) 利息力模型和般利息力模型 2 3 生存模型 寿险保单其保险金的给付是以被保险人的生存或死亡为前提条件，被保险人在 7 矩阵在联合寿险中的应用 投保时的未来寿命是建立寿险精算模塑的重要匿藕之 2 3 1 生存函数 个人的寿命是从出：皇到死亡的时闷长度，由于事先无法确定，嚣既是个连 续型随机变量，记为x 将x 的分布函数记为f ( x ) ，则 f c x ) 尝p ( x z ) 2 芝0 )( 2 6 ) 令 s ( z ) = 1 一f ( 嚣) = p ( x z ) 扛0 )( 2 7 ) 函数f ( x ) 与s ( x ) 都可以描述新生儿能活到x 岁的概率在概率论与统计学中，人们 习惯采用分布函数来描述，在精算学和人口统计学中则习惯采用生存函数来描述 生存函数s x ) 的一些壹观性的性质如下： 1 s ( o ) - i ，h m + s ( x ) = o ； 2 。s ( x ) 是单调递减的函数； 3 。8 ( x ) 是个右连续函数。 根据概率原理新生婴儿在年龄x 岁与z ( x 名) 岁之间死亡的概率是t p ( x x 2 ) 一f ( z ) 一f ( x ) 落8 ( x ) 一8 ( z ) 类似地，新生婴儿在x 岁时仍活着的条件下，与年龄x 岁与z ( 茹z ) 岁之间死亡 的条件概率是； 砷 垆错然等笋一卷 般地，新生婴l 在x 岁时仍生存的条f 譬下，予年龄y 岁与z ( x y t ) ( t 芝0 ( 2 9 ) t 表示( x ) 在t 年内死亡的概率，是关于t ( x ) 的分布函数；挑表示( x ) 将在 x 专岁仍生存的概率，是关于t ( x ) 的生存函数。 ( x ) 生存t 年后，在x + t 岁与x - t - t + # 之间死亡的概率，用精算符号t m 冁表 示，即 q x 掣p ( t z ) ，剡 一l 一等t p = = 1 - t q z = 等 t m q x = p ( 亡+ l l l 忿? ( z ) 丢) 燃件严如一t 一壑兰二兰亏产 一s + t ) s ( z + t ) 一3 ( z - i - t + i z ) =一_-_二_-i_-二-_-_-_m稿 s ( 茹)s 囊+ t ) 。t 阮| l c l = + t 上式表曝 ( x ) 在x 十t 岁与x + t + z 岁之间死的条件概率等予( x ) 在x + t 时仍生 存的条件概率与( x + t ) 在以后的p 年内死亡的条件概率之积 2 。3 。3 离散型未来余命的生存分布 设g ( x ) 表示( x ) 来来寿命的周年数或( x ) 在未来生存的整年数，即k ( x ) 一【t ( x ) 】， 是w ( x ) 螅最大整数部分，则 p ( k ( x ) = k ) 一p ( k 0 是描述瞬闻死亡水平的指标，在研究系统寿命酶可靠缝理论中，称谓 失效率或故障率，更完整的名称为失效率函数 1 0 矩阵在联合寿险中的应用 岁l ：刃毽l q 至仔盥双秤，以碉埏隧矾父萤 明分席， 讹由= 志哿叫l n s 】一心匆= 丽前= d 【l n s 圳 对b 芰从x 刭x + t 进行积分，得 一厂脚妇= 厂d 【l n s ( 洲她( 等曲( 糊 即 姚= 唧( 一厂p d y ) 舻唧( 一厶“s ) 特别的，当x = o ，t = x 时，有 s ( z ) = 茹伽。e x p ( 一z 加d s ) ，嚣 f x ( 。) ：王一8 ( 茹) = l 一固( 一厂鳓玉) ，0 a ( z ) = 一s ( 嚣) = p ze x p ( 一f 2p 。d s ) j 0 w ( x ) 盼分布j 函数和密度函数分男l 是 砰( z ) = l - - t = 1 一e x p ( 一t # z + s 如) 矗。；= 一夏d ( 。) = 鲰盼法 2 4 多元生命函数 由于本文是在个体寿命相互独立鲍假设下进行研究的，西此本节仅讨论个体寿 命相百躺寺时名肇龠瓣本植刑酶右落牲雨 姬阵在联合寿险中的应用 2 4 1 = 元联合生军蓼状态记为x y ) ) 指( x ) 与( y ) 都活着时为存在，而当其中有个死亡时为消亡的状态记w ( x y ) 为二元联合生存状态消失的时间，受| l 联合生存状态( x y ) 至少在t 年内存在的概率 为。 p ( t ( x y ) 亡) = p ( t ( x ) t ) p ( t ( y ) t ) = t p x t 鳓 w ( x r ) 的密度丞数为 厅( 训( t ) = 丢( 1 一概。岛) =一麓。( 一魏鞠睁) 一艮( 一t 藏。乒如+ ) = t p x t 砌( j l l 薯+ t + 乒+ t ) 考惑( x y ) 存续的整年数k ( 珂) = 【t ( ) 】。对于惫一0 ，1 ，2 有 p ( k ( x y ) = 知) 嚣p ( kst ( x y ) t ) 拳1 一p ( t ( x ) t ) p ( t ( y ) 毒) = 1 一( 1 一t 如) ( 1 一t 鳓) 一t m + t 巩一t t 胁 t ( 瑟蓟的密度丞数为 厅( 动) ( t ) = 爰( 1 - t p x t 珊+ t p x t 鳓) = 。比+ t 十t 鳓# u + t - t 锄( p 舛t + 肛”+ t ) 1 2 矩阵在联合寿险中的应用1 3 考虑( 瑚存续的整年数k ( 珂净寥( 丽) 】。对于k 一0 ，l ，2 有 p ( k ( _ ) = k ) 蕊p ( 七茎r ( 可) k + 1 ) 端知l 晦= 七翩糟一蠹+ l 船萝 篇概一k + i p z 蠢一蠢+ l 秘+ k p y k + i p y j , p j ：k + i p z 矩阵在联合寿险中的应用 第兰章模型假设 本文便考虑两个被保险人( x ) 和( y ) 的情形，不妨设x 或者生存 型即由于被保险人生存到保险合同期限末如生存寿险或保险人缴付的保费从金融 学角度来看，称现金流c k b0 ) 是一种流入( i n f l o w ) ，如果r - x 寸某种基金来说是种 牧人称它为一种流出o u t f l o w ) ，如果对某种基金来说是一种支离。注意保费和受 益对保险人和被保险入来说方向恰好相反如保费对保险人而言是种流入。而对 被保险人则是一种流出在此为避免符号混淆只考虑方的现金流根据上面的假 设考虑合同麓限为n 年的情形 令c 表示张保单在合同期末现金流的总和， c 一c k f f i k 挈( j ) j = o 那么现金流的总现值z 具有下面的形式： z 拳绦。b o ) e y 溺 ( 3 王) # - - o 其中y c t ) 为一累积利息力函数当我们考虑n 张保单保单组合，则现值函数 表示为反期 五m = 磊 ( 3 2 ) 1 = 1 其中五为第l 张保单现金流的现值蹰魏为了得到z ，玉) 的一阶程二阶矩我嚣】有 以下几个假设t 1 对l = l ，2 ，随机变量，独立； 1 4 矩阵在联合寿险中的应用 2 在已知y ) ，歹= 0 ，l ，褥，随枧变量磊， = l ，2 ，独立嗣分布 3 对z = 1 ，2 ，随机变量，独立于y ( j ) ； 4 e - y o ) 的各阶矩都是有限的 那么现值函数z 的一阶和二酚矩为 - i n n 、 e ( z ) 嚣勉l 鲰( c o b e ( e - y ) ) + 嘞( a ) e ( e 一) ) l + k 2 = 0j = 0 j = 0 - - 1 舟刀 1 i q x 鲰i 劬( c l k 2 f ( e - y u ) ) + n 鳓( c o n g ) 层( e 一) ) ) + k 2 = 0j = o j = 0 n - i 忭 、 + 热 砭1 ( 锡e ( e 伪) ) + 确( ) e ( e 一) ) ；。 k 2 = 0 j 蛾j = 0 ( 3 3 ) e ( 扩) 篇蟊 幻| 鳓露( c o 恕e ( e - y ( j ) ) 2 ) 摊秘暑( c 槭i ) e ( e - y u ) ) 2 ) k 2 = 0 j = 0 j - - - - 0 n - 1 n n、 l i 蚓曰( 。e ( e - v ( ) ) 2 ) + n 珊e ( c l 竹o ) 层( e 一) 2 ) l + ，n 一1n住、 + n 乳b i e ( | b 。e c e - r o ) ) 2 + 编刀( 竹( j ) e ( e - y o ) ) 2 ) 幻= o j = oj = o ( 3 莲) 并且对n 张保单，根据假设我们有 联互嬲) = e ( z i ) ， 1 = 1 1 5 瓦磊 镩g 试 m 然 瞬旅 防y 矩阵在联合寿险中的应用 第四章z 和五) 矩的矩阵形式 这章分为两小节。第小节我f 】给出e ( z ) ，e ( z 2 ) 的矩阵形式使用矩阵形 式我 】幂仅能简化表达式，而且还麓观察到e ( z ) e ( z 2 ) 是如何依赖与番l 率和死亡 率在第二部分我们考虑n 张保单保单组合的情况 4 。1 张傈单 在我们给出e ( z ) ，e ( z 2 ) 的矩阵形式前，我们给出些矩阵符号记 m = m o ，m l ，拜) 7 奄留+ 1 ， 其中m 知篁e c e x p c - y ( k ) ) ，k 攀0 ，1 ，竹记i h = ( o ，0 o ，1 ，o ) t 、h _ r 奄 酽桃。令y = ( e - y ( o ) ，e y ( n ，e - y ( 再强舻+ l ，随瓿向量y 的协方差阵势 r = | r 材i 1 0 9 j 5 n ，其中 = c o v ( e x p ( - y ( i ) ) ，e x p ( - y ( j ) ) ) ，l ，歹= 0 ，1 ，2 ，终 此外令a = i l 如1 l o i 忭，这里 如篇e ( e x p ( - y ( i ) e x p ( - y ( j ) ) ) 一c a v ( e x p ( - y ( i ) ) ，e x p ( - y ( j ) ) ) + e ( e x p ( - y ( i ) ) ) e ( e x p ( - y ( j ) ) ) 2 + m i r a i 根据上面的定义我船有下面的等式。 a 燃r + m m r 那么a ，r ，m 只予利率有关另夕冷d o 兰( 鳓，1 1 鳓，抖一l i 锄，孔巩) ，d 1 = l t q x ( q y ，1 i 铷，n l i 咖，n p y ) ，d n 一1 = 一1 l 吼( 锄，1 1 ，抖一1 1 ，咖) ，d t i = 1 6 艉阵在联合寿险中的应用 概( 锄，l | 锄，铲1 鳓，编) 为未来整值寿命向量，丽 c o ； c l = c n = c o o ( o ) c o o ( 1 ) 。o 扣一1 ) ( 他) c l o ( 0 ) c l o ( 1 ) 、 c l o ( i , 一1 ) c o ( o ) c 竹o ( 1 ) c o ( n 一1 ) o ( n ) c o i ( o ) c o l ( 1 ) c o l ( n 一1 ) c o l ( n ) c 1 1 ( 0 ) c n ( 1 ) c l l ( n 一1 ) c l l ( n ) 锡l ( o ) c m ( 1 ) l 黛一1 ) 1 ( n ) c o n l ( o ) c o n 一1 ( 1 ) ： c o n l 一1 ) c o 一l ( n ) c l 1 ( o ) c l 作一i ( 1 ) c l f l 一1 ( n 一1 ) 3 1 抖一l ( 他) 一l ( 0 ) 一l ( 1 ) ： 一l ( 嚣一1 ) c n 一l ( n ) o ) ( 1 ) ( 器一1 ) c o ( n ) c l n ( 0 ) c l n ( 1 ) c 1 ( n 一1 ) c l n ( 佗) ( o ) n ( 1 ) 摊一1 ) n ( n ) 为现金流矩阵本文所考虑的保险产l ；鑫= 具有普遍睫，这是由于所考虑的联合寿险类 型仅仅影响现金流矩阵c o ，c t ，c n 例如c o 中的前1 1 列表示的是( x ) 的整值 寿命k ( x ) = 0 而( y ) 在合同期限内死亡的给付，c o 的最后列表示( x ) 的整值寿 1 7 矩瞎在联合寿险中的应用 命k ( x ) - 0 ，而( y ) 在合同裳限结束仍存活的绘付情况通过竣变c o ，c 1 ，e 靠 中的数据及n 的不同我们就可以得到想要联合寿险那么下面我们介绍一些联合寿 险的现金流矩阵。 例1 ，联合生存状态下的n 年两全寿险 令+ 1 为k + 1 处的给付额如果联合生存状态在区间陋，k 十1 ) 终止，詹= 0 ，1 ，摊一1 此外令为生存给付如果在合同结束时状态存续，对这种情况我嬲 有现值硒数 f 址l e x p ( 一y ( 奄+ 1 ) ) ) k ( z y ) - k ，o k ( 瑚 死， z = 固( 一y 霸) ) x ( 2 们芝髓， 【o 其他 那么我嚣黼到c o ，c l ，c 捧 c o oo 魏6 l o o o o o 0 舂l舂l o o o o c 1 = c 住= 0 0 魏0 0 6 2 ： o0 0 0 b t 0 0 如 0o o o 0 0 6 26 2 o o 00 o0 oo ke n 1 8 矩阵在联合寿险中的应用 铡2t 联合生存状态下期初付的1 1 年定期生存年金 令为在区间c j ，j 十1 ) 的年缴保费如果联合生存状态在j 时存续，对于这样的 年金合阕我们有 ， 删： 座刚列) 斛删) m 1 0 其它 穰 z = 岛乃e x p ( 叫u “) ) ) o s 酢小n ， 【掣吃唧( 一y 0 + 1 ) ) ) k ( x y ) n c o 一 和7 1 0 0o oo oo 7 t o7 r o oo 00 oo c 1 = c 竹= 7 t on o 0 7 r l o o oo z o 1 t o 0 7 1 1 00 0o - 7 t o1 t o 。7 1 17 r 1 oo oo 例3 ；最后生存状态下的n 年两全寿险 令b k + l 为k + 1 处的给付额如果最后生存状态在区间陬奄+ 1 ) 终止，k = 0 ，1 ，n 一1 此外令为生存给付如果在合同结束时状态存续，对这种情况我们 1 9 瓢 n ： o 强 n ； o 矩阵在联合寿险中的应用 有现值函数 b k + l e x p ( - y ( k + 1 ) ) )k ( i 动然知，0 ( i 霭) n ， 肚 。e x p ( - y ( n ) )? 独， 那么我们就得到c o ，c l ，c 傩 c o oo oo 玩0 00 oo o0 00 k c l = c n = 00 k oo oo oo oo 0o o0 e 忭e ne ne n 例4 ：最后生存状态下期初付的n 年定期生存年金； 令为在送闻羹，j + 1 ) 酶年缴保费如果最后生存获态在j 时存续，对于这榉的 年金合同我们有 删= 矗0 碱毅瑚q o 0 o o 0 o o k o o k 圣臣阵在联合寿险中的应用 2 1 穰 z= 凄= o 乃e ) 中( 一y 0 + 1 ) ) ) 0sk ( 可) 他， 踹矗- j e x p ( - y ( j + 1 ) ) ) k 渤) n 粕i f 0 n on o 0o oo oo oo o0 oo c 1 = 7 t on o 舶硒 瓤7 r l f f l 砘 1 t o 7 r l ： 硒硒 7 1 1 - 7 1 韵 7 1 1 ： 一l 一l 一l 弦一l 0000 例5t 我德考虑联合生存状态下的撒年限期缴费如铡2 ) 的数年期两全寿险魏 例1 ) ，对于这祥个保险合同总损失l 如下， k ( x y ) m ， 煅k ( z y ) 托， k ( x y ) 仡 ； o o ； o o ； 0 o ； o o 湖 + + ，fk n w 哪堋 唰 卿删 即 巧卜 ，o t o p 七声瓣。删 嘲 踟蹦一 冷羚，! l d d + + 一 y y 、 一 一 叫 以 唧 唧卅卅 舡 糖 跏 矩阵在联合寿险中的应用 2 2 且 j 罄 c 黼燃 一绚一和一确一7 r o o o o 0 一确一铂一两一翻 6 l一7 r l 一7 r l 一丌l 0 如一砸一砚 o o o o ： o 一霄。一翔一硒一铂 6 1一霄l 一巩一m c 1 = l0 一鼬 一硝1 一砚 o 一翔 一7 r l 一锄 一翔 一7 r 1 7 f 2 0 6 m l一7 b i l 一 f m 一17 1 m 一1 0 o k o ； o k o ； o 如 0 ； o k ； o o 以： o o o ； k 矩阵在联合寿险中的应用 c 性一 一露o一再o 一7 毛o 一露8一再e 一7 l o一7 强 h- - 7 r 1 - - t f l 一丌1- - t f l 一m- - t f l 0 b 27 r 2 一7 r 2 一他 他一砚 000 魏再一1一耳兢一1 一露k 一1一嚣巍一1 0000 h 0 0 ： ： ： ： 00 0 iik e ，l 根据以上的些准备工作我们得到下面的定理： 定理4 。1 。知果z 和荆满足假设1 4 ，那么 e c z ，一( 妄c 。；) r m ( 4 1 ) e ( z 2 ) = d c i 蠢g c c a c t i k ( 4 。2 ) 证明：我们将在第六章给出细节证明 r l 定理4 1 中我们可以发现向量d o ，d l ，d 雄仅依赖于( x ) ，( y ) 的未来寿命， m ，a ，r 只和利率有关，矩阵c o ，c 1 ，c n 仅依赖于各时刻的现金流量，也就 是说保单类型的不同只影响现金流矩阵这样当死亡假设改变或利率参数改变或者 保单类型改变时，我船只需要改变其中的个或疆。个向量或矩阵即可，从蔼大大筒 化了计算 注：根据例5 的定义和定理4 。1 ，那么平鹜漾理可以写成下嚣的形式t 佳壹c i d i 卜。 3 ， 矩阵在联合寿险中的应用 4 2n 张保单 在这小节我们给出n 张保单组合的现值函数五) 的一阶，二阶矩的矩阵形 式。驭第= 节的定义我勰有 苏聊= 汤 1 = 1 这里汤表示第f 张保单的现值函数我们假设每张保单的期限都是n 年，那么对 第；张保单我们有 ，y 1 ) 。签约年龄。 d l o ，d a ，d 饥，整值余命概率向量， c t o ，c a ，c t 摊：现金流矩阵 定理4 2