（金融学专业论文）欧式电力期权的定价.pdf

中文摘要 摘要 电力作为一种非常常见的资源，在人们的日常生活中发挥了越来 越重要的作用。与此同时电力本身的物理特点决定了它不能够被有效 的存储。这也就意味着作为一种资产，它的价格将存在着异于其他资 产的特点。通过分析历史数据，可以发现电力的现货价格有着很明显 的周期性和巨大波动性。b u n nd w ，d e n gs j ，b a r l o wm 等学者都对电 力现货价格的建模提出了自己的看法。但是大多都没有考虑电力需求 方通过自己的行动来影响电力价格走向的可能。本文将考虑这一因 素，得到电力现货价格的模型。 随着电力衍生市场的发展，很多普通电力期权及一些特异期权纷 纷出现。对这些期权的定价就成为了迫切的问题。由于电力的不可存 储性质，导致了无法持有电力，也就没办法应用传统的无套利定价理 论来对电力期权进行定价。d e n gs j ，m i c h e a ll 等都提出了自己的解决 办法。本文把含有电力资产的市场看为电力交易受限的不完全市场， 并利用d a v i s 不完全市场定价理论的思想来为欧式电力期权进行定价。 同时给出了一些选择特殊效用函数的例子。 关键词：电力期权，热率相关期权，不可存储，不完全市场 英文摘要 a b s t r a c t e l e c t r i c i t yi sak i n do ff a m i l i a ra s s e ta n dp l a y i n gam o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l ei no u rl i v e s d u et oi t so w np h y s i c a lc h a r a c t e r ，e l e c t r i c i t yc a nn o t b es t o r e de f f e c t i v e l y t h i sm e a n st h a te l e c t r i c i t y sp r i c em u s th a v ed i f f e r e n t c h a r a c t e r s w ec a nf i n dt h ep r i c eh a sd i s t i n c tp e r i o d i c i t ya n dh u g er a n d o m t h r o u g hs t u d y i n gt h eh i s t o r yd a t a s b u n nd w ，d e n gs j ，b a r l o wmh a dr e p r e s e n t e dt h e i ro w no p i n i o n si nm o d e l l i n gt h ep r i c eo fe l e c t r i c i t y b u tm o s to f t h e md i dn o tc o n s i d e rt h ee f f e c to ft h ed e m a n ds i d ea d e q u a t e l y t h e yc a n c h o o s et h e i ro w nr e s o u r c ea r r a n g e m e n tt oi n f l u e n c et h ee l e c t r i c i t yp r i c e i n t h i sa r t i c l e ，w ew i l lc o n s i d e rt h i se f f e c t ，a n dg e tt h ep r i c em o d e l a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fe l e c t r i c i t yd e r i v a t i v e sm a r k e t ，m a n yo r d i n a r ye l e c t r i c i t yo p t i o n sa n de x o t i ce l e c t r i c i t yo p t i o n sc o m et oe x i s t h o wt o p r i c et h e mb e c o m e sa ne x i g e n tp r o b l e m b e c a u s eo ft h en o n s t o r a b l ec h a r a c t e ro fe l e c t r i c i t y ，w ec a nn o th o l dt h ee l e c t r i c i t yf o rap e r i o d t h e r e f o r ew ec a n n o tu s en o n a r b i t r a g et h e o r yi np r i c i n ge l e c t r i c i t yo p t i o n s d e n gs j ，m i c h e a l lp r e s e n t e dt h e i ro w nm e t h o d s i nt h i sa r t i c l ew et r e a tt h em a r k e ti n c l u d i n ge l e c t r i c i t ya sa ni n c o m p l e t em a r k e t ，i nw h i c ht h ee l e c t r i c i t yt r a d e sa r e r e s t r i c t e d t h e nu s et h ep r i c i n gt h e o r yi ni n c o m p l e t em a r k e to fd a v i st og e t t h ep r i c e so fe u r o p e a ne l e c t r i c i t yo p t i o n s a n dg i v es o m ee x a m p l e sw h e n c h o o s i n gp a r t i c u l a ru t i l i t yf u n c t i o n s k e yw o r d s ： e l e c t r i c i t yo p t i o n s ，h e a t r a t e l i n k e d d e r i v a t i v e s ，n o n s t o r a b l e ，i n c o m p l e t em a r k e t n l 第一章简介 第一章简介 1 1不可存储资产的性质 不可存储的资产指不能够长时间持有或者持有成本非常高的资产。日常 生活中的电力就是典型的不可存储资产，没有很好的办法来存储它。宾馆 在某一天的房间也具有同样的性质。在这里我们将研究的对象定为电力， 而且是没有价格管制的，自由定价的市场，其他的资产可以做类似推广。 与其他商品一样，电力的价格也是受着供求关系影响的。当需求增加， 其价格倾向于增大；如果供给不能有效的满足需求的话，价格还会更大程 度的提高。但是电力资产不可存储，缺乏替代品，不确定，具有较小的需 求弹性以及陡峭的供应函数。这些性质决定了它的现货价格具有很特殊的 性质。由于各种技术条件的限制，电力不能够长时间低成本的有效存储。 另外，它的替代物也较少。从短期来看，电力的需求弹性很小，因为需求 者很难在很短的时间内找到有效的替代品，一般情况下，突然降低需求量 往往还会给需求者带来较大的经济损失。而且电力的需求往往具有不确定 性。例如，突然地天气变化往往会导致电力需求的较大增加，进而造成电 力价格的波动。 首先，由于消费者的电力需求依赖于很多因素，例如：天气，气候，生 活习惯等，因此电力需求有着较为明显的时间周期性。图片1 引述了新英格 兰在某5 月的一个星期的电力需求。这样电力价格将也必然具有一定的时间 周期性。如图片2 所示的那样。 其次，由图片2 我们也看到电力价格有着巨大的波动性。这是因为我们 没有存货来弥补供需间的矛盾。当然这种巨大的波动也可能来自于电力生 产之外的宏观经济环境。例如：若用于火力发电的石油和天然气等出现了 较大的价格波动，必然引起电力价格更为剧烈的波动。 1 2 电力衍生产品市场的主要产品 1 2 电力衍生产品市场的主要产品 电力作为一种重要的能源在生产和生活中发挥着日益巨大的作用。但 是随着电力市场管制的减少，在美国出现了很多自由竞争的市场。在这种 自由竞争的电力市场价格有着比普通商品高得多的风险。若不能很好的控 制该风险会产生灾难性的后果。1 9 9 8 夏天，美国中东部的电力批发价格从 平时的3 0 一6 0 美：元m w h 涨至q r o o o 美元m w h ，导致东海岸的两家电力厂商违 约。2 0 0 4 年2 月，在一场持续3 天的暴风雪期间，德克萨斯居高不下的电力价 格致使一家依赖现货的电力零售商破产。2 0 0 0 2 0 0 1 加利福尼亚的电力危机 及其极大的经济恶果主要是因为各事业单位没能利用长期供货合同有效的 对冲风险。这些事件引起了市场参与者的重视，他们认识到在竞争的电力 市场上进行风险管理的必要性和重要性。而衍生市场是很有用的手段。 电力衍生市场的主要产品除了期货和远期，以及比较常见的标准看涨 和看跌期权之外，还有着很多其特有非标准期权。多商品的电力期权： 热率相关期权( h e a tr a t e l i n k e dd e r i v a t i v e s ) 以及区域传输期权( 1 0 c a t i o n a l s p r e a dd e r i v a t i v e s ) 。 热率相关期权的支付函数是电力价格与用于产生该电力的燃料价格的 差。热率( 热效率) 定义为生产单位电力所需的燃料量。一份关于燃料g 的 热率为k 日欧式热率相关期权的持有者有权在t 时刻支付k 日乘以t 时刻燃料 的价格，来得到一个单位的电力。到期支付函数为 欧式热率相关看涨期权支付函数= m a x ( s t k h g t ，0 )( 1 一1 ) 其中s t * 口g t 分别为电力和燃料在t 时刻的价格。可以发现除去一个火电厂 的启动成本和相应约束外，使用发电机生产每千瓦电力的收益等同于拥有 一个热率相当于发电机热率的一千瓦热率相关期权。基于这个结论，该期 权在对冲燃料发电机生产电力的价格风险中起着重要作用。同时也有助于 评估发电机资产的价值。 在区域1 5 9 i 区域2 之间的欧式区域传输期权赋予期权持有者支付在t 时刻 区域1 的单位电力价格，得到在区域2 的玩单位的电力( 如果在区域1 和2 之 间存在传输成本，我们可以将l 设为小于l 的数) 。以口“= l ，2 ) 表示区 域l 和2 的电力价格， 2 欧式区域传输看涨期权支付函数= m a x ( s 一k l 蹬，0 )( 1 - 2 ) 第一章简介 1 3 电力现货价格的建模 由于电力资产的特点及电力需求和供给的特点，电力现货价格表现出剧 烈波动性和季节性，周期性，及强烈的均值回归。在很多的文献中对此进 行了研究。 第一类是基于对电力市场运作和电力市场系统的模拟来得到市场价格； 另一类则尝试对市场价格的历史数据和统计分析的随机行为进行建模。 第二类模型中包括离散的时间序列模型，如g a r c h ( b u n nd w ( 2 0 0 4 ) ) ， m a r k o v 再生模型( m o u n tt ，e t h i e rr ( 1 9 9 8 ) ) ，连续时间扩散模型，如均值 回归模型，带跳的扩散模型等( d e n gs j ，j o h n s o nb ，s o g o m o n i a na ( 2 0 0 1 ) ， b a r l o wm ( 2 0 0 2 ) ，d e n gs j ，j i a n gw j ( 2 0 0 2 ) ) 现简要介绍一下几个模型： 1 l u c i a 和s c h w a r t z ( 2 0 0 2 ) 得到了如下模型 & = m ) + 五( 1 3 ) i & = e x p ( 厂( t ) + 五) 、7 其中托是o _ u 过程o u ( o ，a ，盯) ，( ) 为t 的确定性函数。 d x t = 一入( k a ) d t + 仃d ( 1 - 4 ) 2 b a r l o wm ( 2 0 0 2 ) 通过进行供给需求分析，假定需求是没有弹性的，是一 个随机过程，得到了电力现货价格的一个连续时间扩散模型，很好地解释 了电力现货价格的行为。 l 饥( z ) = 时刻t 价格为x 时的供给 i 也( z ) = 时刻t 价格为x 时的需求 u 。( ) 为增函数，也( ) 为减函数。价格& 是使得下式成立的唯一值。 u d s , ) = 也( s t )( 1 - 5 ) 假定供给u 。( z ) = 夕( z ) 是非随机且和t 无关。而需求c f t ( z ) = d t 是和价格无关 的随机过程。价格为 s t = g - 1 ( d )( 1 - 6 ) 3 1 4 电力衍生资产的定价 b a r l o w 取夕三1 ( y ) = ( 1 一q 可) 一1 。，o l = o 时夕i 1 ( 可) = e x p ( y ) 。 3 h e n d r i kb e s s e m b i n d e r ，m i c h e a ll l e m m o n ( 2 0 0 2 ) 取成本函数为 t c ：f + 竺( q ) c ，c 2 c 得到电力市场价格为 p = o ( q ) ( ) 1 4电力衍生资产的定价 ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) b s 模型中的无套利理论无法在电力衍生资产定价中直接应用。因为电 力是无法存储的资产，自然就不能通过持有该基本资产来进行风险对冲。 在已有的讨论电力衍生资产的文献中解决这一问题的办法主要有两种： 第一：由于在到期日期货的价格一定会收敛到现货市场价格。那么可以 将具有合适到期时间的电力期货作为得到瞬时无风险资产组合的一项基本 资产，来进行风险对冲，并以此来确定电力期权的价格。在国外众多市场 上有着相当成熟的电力期货市场，同时也有着很多将期货作为基本资产的 期权。e l t e r m i n ，n o r d p o o l 两个市场的电力期货日交易均额达到2 0 0 0 g w h 以 上。而且在n o r d p o o l 确实有以期货作为基本资产的期权交易。期货价格的 确定一般基于真实价值的原则，而非无套利理论。这样就可以以期货作 为基本资产应用无套利理论了。如在d e n gs j ，j o h n s o nb ，s o g o m o n i a na ( 2 0 0 1 ) 的文章中，以如下的随机微分方程表示电力期货和生产燃料期货的价 格过程。 ld f e 如= 抛出+ a e d b l，。、 id f g f g = p g d t + a g d b 2 、7 其中b 1 f n b 2 是有着瞬时相关系数p 的两个布朗运动。 通过使用电力期货和生产燃料期货以及无风险资产，可以建立 起瞬时无风险的资产组合，进而得到热率相关期权价格v ( x ，y ，t ) = 4 第一章简介 c 。( 磁t ，磁t ，k h ，t 一) 所应该满足的偏微分方程 一磁+ 墨陋2 k 。盯：+ 2 p a 。z 可k y + 可2 k 可盯；】= o y ( x ，丁) = m a x ( z 一可，o ) ( 1 - 1 0 ) v ( z ，0 ，1 = z v ( o ，y ，t ) = 0 进而得到热率相关期权的价格显示表示。 第二：通过均衡分析确定电力衍生资产的价格。h e n d r i k ，b e s s e m b i n d e r ，m i c h e a ll l e m m o n ( 2 0 0 2 ) ，d jw u ，p a u lr k l e i n d o r f e r ， j i n e z h a n g ( 1 9 9 9 ) 都应用了最优化分析的办法。 d jw u ，p a u lr k l e i n d o r f e r ，j i ne z h a n g ( 1 9 9 9 ) 指出公司的收入可以表示 为 r ( 只( u ) ) = s q ( s ，g ) + g q ( p 。( u ) ) ，f o rg ( 只( u ) ) q ( s ，g )( 1 1 1 ) 其中s 是期权合同中每单位电力的签约费用，g 是期权合同规定的执行价 格，q ( s ，夕) 表示合同规定的电力交易量，q ( p s ) ) 为消费者实际消费的合同 电力量。 g ( p s ( u ) ，g ，q ，d ) = r a i n q ( s ，夕) ，d ( p s ( u ) ) ) x ( 只( ) 一g )( 1 1 2 ) 其中d ( 只) ) 为消费者的需求量，x ( ) 为示性函数。 与此同时，零售商的效用表示为 v ( d ，q ，p 5 ) = u ( d ) 一s q g q ( p s ，g ，q ，d ) 一p s z( 1 1 3 ) 其中x 表示为了满足需求而在现货市场上购买的电力量。 在只和q 已知的情况下，可以解出g 和z ，然后通过最大 化e v ( d ，q ，p s ) 得到最优的合同量q ，进而得到生产者的最优策略。 由于电力的不可存储性质，投资者无法长时间持有电力，导致含有电力 资产的市场成为不完全市场。在一般的不完全市场中，由于无法有效的对 冲衍生资产，因此无套利理论也没有办法应用。有很多学者对这一问题进 行了探讨。m h a d a v i s ( 1 9 9 7 ) 使用“边际替代率”的概念，成功地为不 完全市场中的期权定出了价格，下面介绍这理论。 5 1 5 小结 作为有着效用函数u ( ) 和期初资金z 的投资者，他的目标是通过投资使得 在t 时刻其所拥有的财富的期望效用e u ( 姆( t ) ) 】最大，记最大值9 v ( z ) v ( x ) = s u pe 矿( 。磁( t ) ) 】 7 r t ( 1 1 4 ) 其中，丌表示投资策略，丁表示可行的投资策略集合。 如果市场上存在种衍生资产，在期初时投资者取出6 的资金投资于该 衍生资产，其余资金用于其它投资，则在t 时刻投资者的财富的最大期望效 用变为 w ( p ) - 栅s u pe u ( x l 6 ( t ) o b ) 】( i - i s ) p7 r 丁 其中，p 表示衍生资产在0 时刻的价格，b 表示在t 时刻衍生资产的收益。 定义1 1 ：假设对于每一对( z ，p ) ，函数6 一w ( 6 ，z ，p ) 在5 = o 处可微，那么 满足方程 丽o w ( 。，z ，p ) = 。 ( 1 1 6 ) 的芦( z ) 称为期权0 时刻的公平价格。 可以看到这个公平价格使得投资者将财富投资于衍生资产并不会给投资者 带来额外的效用。它是某种意义上的”边际替代率”。 定理1 2 - 假设y ( z ) 在每个zer + 处可微，且y 7 ( z ) 0 ，则公平价 格西( z ) 为 1 5小结 ( 1 一1 7 ) 本章指出了电力资产不同于一般资产的不可存储性质，并对其需求和价 格的一些特征进行了分析。介绍了一些特殊的电力衍生期权。同时回顾了 在电力现货价格确定，电力衍生资产定价和不完全市场期权定价方面的主 要文献成果。 6 第二章资产现货价格模型 第二章资产现货价格模型 2 1价格函数的确定 通过第一章对以往电力现货价格模型的回顾，可以发现它们大多只考虑 了电力生产的成本方面，而广泛认为电力的需求弹性为0 。从短期来看，电 力需求弹性相对较小。但从长期来看，电力还是有着一定的需求弹性的。 电力需求者可以通过选择更为有效的能源分配策略，增加对其它能源的消 费和制定节约策略等来改变自己对电力的依赖程度，影响需求量，进而对 电力的现货价格造成影响。 从图3 中，我们可以发现在电力的供应方面，边际生产成本随着采用不 同的发电手段增长很快。 我们在这里首先考虑确定性的情况，假定电力的现货价格是电力的供 应量和需求量的二元函数p ( d ，s ) c 1 ，一，而且仅存在一个电力现货交易市 场。 考虑下面的模型： 一方面，电力的需求者希望最大化自己的收益 m a x t f ( d ) 一p ( d ，s ) d 】( 2 1 ) 其中，( d ) 表示d 单位的电力资产为需求者带来的货币收益，厂，( ) 0 ，f ( o ) 0 ，6 ( s ) 0 ，边际成本递增。 7 2 1 价格函数的确定 我们得至u p ( d ，s ) 满足的方程 d s 鬃o p “f f ( 沪d ) - 即p ( d , s ) 陋3 ， 求解第一个一阶拟线性偏微分方程，根据 d dd s d p ( d ，s ) d 0 ，7 ( d ) 一p ( d ，s ) 我们得到两个独立的首次积分 is=g ip ( d ，s ) d f ( d ) = q 其中c 1 ，c 2 是任意常熟。 从而得到满足第一个方程的价格 印= 学( 2 - 4 ) 其中砂( ) 是任意可微函数。 同理得到满足第二个方程的价格 p 2 ( d ，s ) ：掣( 2 - 5 ) 其中妒( ) 也是任意可微函数。 由于资产的不可存储性质，现货市场的供应量和需求量相等，即s = d 。那么p l 和p 2 应该满足如下的平滑性条件 8 p 2 ( d ，d ) 豁暑 p 6 ) 地告必：塑告型 g = 攀业书) 上蛔 垡：垒! ( 旦2 旦二! ( 2 ) 二竺( 望) 右2 参r 一 d d d d d d r d * 拶衬r 嚣 第二章资产现货价格模型 f ( d ) + 哆( d ) 垆7 ( d ) 砂7 ( d ) q 0 7 ( d ) 矽7 ( d ) 搿二攀二箨6 仞) 一掣蜉 我们得到 荆：华一必等竺一导 p 7 ， 由于f ( d 。i 。) 一p ( d m 饥，s ) d m 讯= 0 ，得到c l = b ( d r a i n ) d m 协。 可以发现，当我们选择l t 较特殊的，( ) 和6 ( ) 时，价格函数就可以变为电 力需求d 的具体函数。 1 取f ( d ) = a d ，o l 0 ，b ( s ) = p 5 ，。，c 2 代入最优价格的公式，得到 p + ( 。) = p 。- l + a 一面气竽f 可 p d 患 d 2 = 一再31 ) d 。一l 如果选择笔等苹：g ，有 ( d 。“一一d e + 。i ，一刍( d 2 一碥饥) q ，1 ，q d 象饥c p d m c + 饥l 、 + 互+ 萨( 彳一芹) p ( d ) = 兰旷1 + 詈( 2 - s ) 具有( 1 - 8 ) 的形式。 2 取，( d ) = 茜e 邶，6 ( s ) = c s e a s + f 3 , o z o ， o 代入最优价格的公式我 们得到 p 4 ( d ) = c e a 唧+ 南e 帆p 一击( 胎聊一d m t n e 哦甜p ) 一丝盘。+ 卢 d 2 9 ，-j(1【，、_ ； 号 2 2 电力需求的建模 = 扩刚+ 吉( 警：q d m i n + 1 3 - - d 柙) 如果选择a = 而l ，我们有 1 7 m t n 尸+ ( d ) = c e a d + p 具有( 1 - 3 ) 的形式。 2 2电力需求的建模 ( 2 - 9 ) 考虑到电力的需求存在很大的季节和时间周期性，同时也有着一定的随 机性。这些随机性可能来源于天气、气候的突然变化，其它经济或社会的 突发事件等。因此我们假定电力的需求量是满足如下等式： = 9 ( t ) + x t = 一七五班+ a d w t = = x o ( 2 一1 0 ) 其e f t ( t ) 是电力需求的周期性部分，可以通过对历史数据的分析来估计该函 数。x 表示电力需求的随机性部分，为具有均值回归性质的伊u 过程。 对k = x t e 2 。应用，6 引理，有 得到 = e k t a d w t = x o 。 五= x o e - k t + o z 0 t e k ( s - t ) d 矾 现= 9 ( ) + 凰e - k t + o z t e k ( s _ t ) d 矾 电力需求d 。的条件分布是正态分布， 1 0 岛d t = v a r o d t = 夕( t ) + x o e 一凫。 褰( ，- e 一。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 一1 5 ) 现x d胧拈 x ，j(、【 第二章资产现货价格模型 因此，电力现货价格为 h ：掣产一厶等坐一象p 峋 = 9 ( t ) + x o e 一。+ 盯后e k ( 5 一。) d 服 应用，亡6 引理，有 d p + ( t ) = b ( t ) d t + 5 d 其中 6 ( 亡) a ( t ) ：f ( d t ) + b ( d t ) - 2 p ( d t ) 9 俅) + k g ( t ) 一k d 。 f 。、7 。 + 华垫2 坐堕主幽盟1 盯。 。2。d 。 ：f ( d t ) + b ( = d t ) - 2 p ( d t ) 盯 d ， 2 3 随机性情况 ( 2 1 7 ) 假设在t 时刻，电力需求者有着需求d 。，并假设该需求是一个随机变 量。需求者能够在【d 。d 。 之间选择一个最优的实际需求k 来使得他的收 益期望效用达到最大。 。m s a 溉x s d te u i ( f d ( x t ) 一p d ( x t ，) 咒) ( 2 1 8 ) 其中仉( ) 是需求者的效用函数，而( ) ，p d ( ) 分别表示电力带来的收益和电 力的现货价格，与确定性的情况相似，只是此时和d 。有关。 另一方面，电力生产者会在其生产能力许可的范围内选择最优的实际供 应量k ，使得他的收益期望效用达到最大。 v m ，y a x e 巩( 易( 咒，k ) k 一6 ( k ) 一k )( 2 1 9 ) 1 t 二1 ”t o z 其中巩( ) 是生产者的效用函数，6 ( ) ，k 与确定性情况下的定义相同。 假设w 是使得电力需求者达到最大期望效用的实际需求值，那么磁+ 11 2 4 小结 聊就不是最优的。其中e 0 ，叩为任意的随机变量。记 g ( x ，p ) = 仉( 如( z ) 一p d ( z ，v ) x ) 有 呦筹k o 由于7 7 的任意性 誓k = o 为( 墨) 一p d ( 群，k ) 一瓮( 墨，k ) 嚣= 。 同理通过对生产者进行类似的分析得到 6 7 ( k + ) + p d ( x t ，v ) + 案( 五，k 。v = o 可以发现，如果选择，n f 1 ：九1 ，问题转变为确定性情况。 2 4小结 u ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 本章在考虑到电力需求方可以通过改变其能源需求的结构，制定节能措 施等手段减小电力需求，进而影响电力价格的情况下，利用需求方和生产 供应方都达到收益效用最优为准则，得到了电力价格对电力需求的函数关 系。并对电力需求建立了包括周期性部分和随机性部分的模型。 1 2 第三章期权的定价模型 第三章期权的定价模型 3 1欧式期权的定价 由于电力资产不能有效存储，投资者不能通过持有电力来对冲购买电力 期权所带来的风险，不能应用无套利定价理论。我们应用d a v i s 不完全市场 中衍生资产定价理论来为电力资产进行定价。 我们考虑只有电力资产和无风险资产构成的市场模型 j d p o ( t ) = p o ( t ) r d t ，。，、 1d p l ( t ) = 出+ 子( t ) d w t p 1 其中r 为无风险利率，p l ( ) 为电力资产现货价格( 2 1 7 ) 。 在这个市场上，电力资产是不可持有的，即无法投资于电力资产来获得 收益。市场模型是典型的不完全市场。在该市场中唯一可行的投资策略就 只能是将全部资金投资于无风险资产。 我们利用d a v i s “边际替代率”的定价思想。假定投资者期初有x 的资 金，他的效用函数为u ( ) 。考虑以下两种投资购买电力方案： l 、投资者将z 的资产全部投资于无风险资产，在丁时刻用积累的资金购 买电力。 2 、投资者拿出6 的资金量购买电力欧式看涨期权，将剩余的资产z 一6 投 资于无风险资产，在丁时刻选择是否执行该期权，并将剩余的资金拿来在现 货市场上购买电力。 那么投资者的两个方案在t 时刻所得到的电力给投资者带来的期望效用 分别为 e u ( 硐x c r t ) 删群+ 高( 一尚) 枫啦巾 ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 1 3 3 1 欧式期权的定价 cgeu(型(z-生5)ert焉挫g k 。：。( 3 - 4 ) c o = 笔x e r t k p 5 ， 刚1 ( x - 矿5 ) e 7 r + 妄( 1 一高酬 刚镨+ 妄( 1 一高刖 ( _ 晶+ 去( 1 一丽km 一祧：。 = 剐丽x e r t ) ( 一丽e r t + 1 丽k ) i i p k t ) k k i ) 恼 求解c o 就得到了定理中的式子，定理证毕。 1 4 第三章期权的定价模型 舻_ e u tx装e7t磬( 。“t 耳石可j 耳两 3 2 若干例子 我们首先选择电力的现货价格具有( 2 - 9 ) 的形式 ( 3 - 6 ) 蹦现：恭篡。fit川0,卢2。od x o e帆 ( 3 _ ，) i= 9 ( t ) +一“+ 口尼e 。o “) d m 、。7 记d t 的条件均值和条件方差为 e o d r = g ( t ) + x o e 7 圭u d v a v o d r = 磊( 1 可2 7 ) ；a ； ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 下面计算欧式期权的价格： 例子3 3 ：取u ( x ) = i n x 时，代入定理3 2 ，得到欧式看涨期权的价格为 c o 一”疆业警型) - - e - r t 州丝) ( 3 1 0 ) 其中，中( 1 为标准- - n i e n # 布的分布函数 。+ = i n k - r l n c - - f i 2崩 b ：坐型箕堕坐 解 c o = e - r t ( e p l ( t ) ，m ( q 兰州一p ( p l ( t ) k ) ) = e 。7 e p i ( t ) i t d ，d 。lk p ( d t d + ) 】 e ”7e ( 丽) _ l c e 口1 5 仇 1 5 3 2 若干例子 一e r t k p d t - - # 0 望：二些里1 ：e 川喜e 型崔净拯厂o oe 一正铲幽 、2 7 r 盯刍 j d * 一e 川k 西伴二氅 ：c e b r t 圣( 竺里壁! 堕二望：) 一e r t k 西( 竺望二望：) o do d 例子得解。 同理在相同效用函数下欧式看跌期权的价格为 p o ：e r t k 圣( 里二三尘) 一c e b r t 垂( 兰) 二二二警) ( 3 - 1 1 ) o dg d 在一般的市场模型中，看涨期权和看跌期权有着如下的平价关系 p o + s = c o + k e ”t ( 3 1 2 ) 其中s 为初始时刻基本资产价格。 我们根据这里得到的电力看涨期权和看跌期权的公式，得到如下等式 p o + c e b 一”= c o + k e 一t( 3 1 3 ) 可以看到在原来资产价格位置上的并不是电力资产现货价格的初值。这是 因为电力资产不可存储造成了市场的不完全，无法通过持有电力资产来构 造原来的平价关系投资组合。 例子3 4 ：取u ( x ) = 护，( 0 0 ，c 2 9 ( ) + x o e 一2 。+ 盯后e 2 ( 5 一。) d w t 记d t 的条件均值和条件方差为肛d ，仃刍 例子3 5 ：取u ( z ) = i n ( x ) ，得到欧式看涨期权的价格 c o ：9 1 e - r t 厂。0d d c f ( s ) d s + e - r t ( 阮一k ) 西(c o =t 。 + ( 阮一k ) 西( j d d d + 盯d d s ( 3 1 4 ) ( 3 一1 5 ) 1 7 其中，西( ) 为标准一元正态分布的分布函数， 解： d+= f ( s ) = c o = e - r t ( e p l ( t ) 厶p l ( t ) k 】一k p ( p 1 ( t ) k ) ) ：e r t e ( p 1 d 。+ 胁) 如r d 】一k e 一7 t p d t d + ：e 川耻m 啦d 1 】+ ( 国删e 川西( 警) ：z 。e - r r ：。+ e , - r t d f ( s ) d s e,-rtd( 仍圳圣( 譬d ) = 。+ ( 仍一k ) 圣( 竺 ) ， + u 例子得解。 3 3 小结 u 一 本章将含有电力资产和无风险资产的市场看为受限的不完全市场模型。 l 娴d a v i s 不完全市场定价理论的思想，对其稍加改变，得到在该市场模型 下普通电力欧式期权的价格公式。同时给出了选取部分特殊效用函数和特 殊电力价格模型时的例子。 1 8 学 孚每降赤 第四章热力相关期权的定价 第四章热力相关期权的定价 4 1含有燃料资产的市场模型 在这一章中我们将考虑包含有电力生产原料的市场模型。并进一步确定 热率相关期权的价格。 首先，假定市场上包含有无风险资产p o ( t ) ，电力资产p 1 ( t ) 和燃料资 产尸2 ( ) 三种资产。电力资产的价格为第二章得到的价格模型。 = = r p o ( t ) d t = b l ( t ) d t + o l l ( t ) d 肌( ) ( 4 1 ) = p 2 ( t ) b 2 d t + a 2 1 d w l ( t ) + a 2 2 d w 2 ( t ) b l ( t ) = b ( t ) = a 1 1 ( t ) = 子( t ) = 丝业骂掣) + k g ( t ) 一k d 。】 d f 9 “” + 三f 丛堕型垫上婴盟1 盯： 。2。dt 1 f ( d t ) + b ( = d t ) - 2 p ( d t ) 仃 d + w l ( t ) ，( ) 为独立的布朗运动。这个模型指出燃料的价格不但依赖于影响 电力价格的因素，而且也依赖于某些其他因素。 在这里需要说明的是：尽管电力的价格受生产燃料的市场价格的影响， 但是对整个电力市场来说，它的市场价格也同样依赖于其他发电方式的成 本，而且作为一个行业来讲，单个热电厂的成本尽管与燃料价格密切相 关，但其生产的电力的交易价格却与市场价格相同。 1 9 r r 恳 d d d ，lj(1-【 中 其 4 2 应用d a v i s 理论对热率相关期权定价 4 2应用d a v i s 理论对热率相关期权定价 首先，直接应用d a v i s 定价理论对热率相关期权进行定价。 根据定理1 2 ，我们需要得到上一节的市场模型中的最优投资策略+ 和最 优财富效用v ( x 1 。 在含有燃料的市场模型中，由于无法持有电力资产，故投资于电力资产 上的资金应该为0 ，换句话说就是应该仅考虑含有无风险资产和燃料资产的 最优投资问题。即 p o ( ( t t ；三r p o ( t ) d t p 2 ( t ) b 2 d t + a 2 1 d w l + 0 2 2 d w 2 ( 4 - 2 ) id p 2 ( t ) = + ( t ) + ( t ) r 叫 如果投资者将资金中的( t ) ( 比例) 投资于燃料资产，而将剩余的l 一( t ) 投 资于无风险资产，得到的财富过程五满足如下的随机微分方程： d x 、，, 2 x c ( u b 2 + “1 - ) ) d r + u 0 2 1 托d ) + 阳2 2 k d ) ( 4 - 3 ) i 五= zt = 0 、7 我们需要确定+ = + ( t ，咒) 使得e u x f + ( t ) 】最大。将最大效用记为 v ( x ) = s u pe u 磷( 丁) ( 4 - 4 ) 丁 其中丁表示所有可行的投资方案的集合。 根据随机控制理论，定义 v ( t ，z ) = s u p e u ( x f 7 ) 】；是马氏控制，0 1 - = e 叩 u ( 磷+ ( 7 ) ) 其中7 _ 表示离开区域g = ( r ，z ) ；r o 的首出时，为停时。 定义微分算子 ( 删拈) = 差+ z ( b 2 u + r ( 1 叫) 筹+ 知埘。妒z 。筹 ( 4 - 5 ) 得到如f 的h j b 方程 ls u p ，( l ”y ) ( ，z ) = 0 ，( t ，z ) g ； y ( t ，z ) = ( z ) ，江丁 【y ( ，0 ) = u ( o ) ，t 。，：= 万0 2 v x 。 d 0 l z 。 选 + = ( ，z ) = 一而( b 再2 - 虿r ) v 瓦。 将其带入h j b 方程，有 f k + r z k t 币( b ；2 。- + r 盯) ；2 。v ) 兰匠币；。+ 盯；。) 匠 v ( t ，z ) v ( t ，0 ) = 0 ，t 0 ( 4 - 6 ) ( 4 7 ) ：c ，( z ) ，扛t ( 4 8 ) = u ( o ) ，t t 对于一般的效用函数u ( ) 很难解出y ( ，z ) 。而对于某些特殊的u 可以得到显 示解。 1 若u ( x ) = f 佗( z ) ，可以验证 v ( t ，z ) 入 v ( x ) 工， 2 若u ( x ) = z 口，0 0 夕( t ) + x o e 一。+ 口后e k ( 5 一。) d v 眈 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 记d t 的条件均值和条件方差为肛d ，盯刍。 例子4 2 ：取u ( z ) = f n ( z ) ，应用d a v i s 定价理论得到热率相关欧式看涨期权 的价格如下 c o = c e c a t 西( d 1 ) 一k 日p 2 ( o ) e d b t 圣( d 2 ) 其中，圣( ) 为标准一元正态分布的分布函数， 2 2 6 。+ + r ( 1 一+ ) 一鳋型2 丛 b = 以一6 2 + ( o 2 1 - - f - 0 2 2 ) k + = 砒地踟) 山。丁+ 学 口多 f 1 0 y 0 z 仃曼 汪z 盯；1 + 口；2 砣，+ 盯瓦1 p 。盯6 r 2 。( 1 - e - k t ) 岛吐+ 磋，+ 司。一罢角盯盯z ，( 1 _ _ 6 - k t ) 一8 l u d 一8 2 ( 4 1 9 ) ( b 2 7 ) 2 2 ( 盯刍+ 以。) 第四章热力相关期权的定价 c=盯多( 1 一+ ) 2 2 p a y 盯z ( 1 一+ ) + 盯耋一2 肛z d ：塑! 二型 2 d 1 = d 2 = 2 k + 一肛z p c r y a z ( 1 一+ ) + 盯刍 o z k + 一肛z p o - v o z ( 1 一+ ) 盯z 解：最优财富过程和燃料价格过程分别为 群+ ( t ) = x e b 2 v + r ( 1 ) 一 ( 口；l + 吃) ( p ) 2 】? + v g 2 1 叭( t ) + w g 2 2 ( t ( 4 2 0 ) p 2 ( t ) = p 2 ( o ) e 【b 2 - ( 口；- + 口；2 ) 】t + m ( t ) + 蚴w 2 ( t ) 应用定理4 1 f 1 u ( x ) = l n z 雕 特例，得到 其中 c o = 警 = e e a 丁y 盼( f ) 一k p 2 ( t ) i i p 。( t ) k h p 2 ( t ) 】 ( 4 2 1 ) = c e 【e a t + 1 y e i z s k 】 一k h p 2 ( o ) e e b ? + ( 1 ) y 忆冬k 】 y = o 2 1 胍( t ) + 0 2 2 ( t ) z = y t 3 1 d t + 伤 y ，z 为二元正态分布 ( ( o ，肛z ) t ，e ) = ( p a y 盯a 多z ：篡y 仃z ) 接下来 e e ( 1 ) y e i l z s k + 】 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 4 3 若干例子 = 仁e 彳仁e ( 1 f ( y , z ) d y d z ：厩，仁以一斜 一1 】e ( 1 - u * ) y e d y d z 佩仁e - z e 趟学+ 血肄掣 e ( 兰= 些互z 矿以 e