考研数学_知识点精妙讲解_受益总结.doc

考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数学基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是-”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。阳春三月风光好，抓好基础正当时。考研数学讲座（2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。“连续函数与不连续函数的和会怎样？”写成“连续A+不连续B=？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。如果，“连续A+不连续B=连续C”移项，则“连续C连续A=不连续B”这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件f(1)0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出h趋于0时，lim(f(1+h)f(1）)/h0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式A=，0，要是移项写成（AE）=0，0，这就表示是齐次线性方程组（AE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。考研数学讲座（3）极限概念要体验极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是xx0；一类是x，“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？”如果是，则称数a为函数的极限。“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。x0+时，对数函数lnx趋于；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。x时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国高等数学教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是“若x趋于时，相应函数值f（x）有正的极限，则当x充分大时，(你不仿设定一点x0，当xx0时，)总有f（x）0”*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当xx0时，)函数的绝对值恒小于1若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当xx0时，)函数的绝对值全大于1*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1（你不仿设定有充分小的数0，当0x时，函数的绝对值全小于1）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数0，并利用它们。考研数学讲座（4）“存在”与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。1海涅定理观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。2用左右极限来描述的等价条件用语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。（3）突出极限值的等价条件考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）A为无穷小。从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于：函数值f（x）与数A的距离f（x）A无限接近于0如果记=f（x）A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：f（x）=A+（无穷小）考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（00）=0，x从右侧趋于0时，函数趋向+，由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp（1/x）是无穷大。但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0例2x趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。分析用海涅定理证明其等价问题，“x趋于+时，sinx不存在极限。”分别取x=n及x=2n两个数列，n趋于+时，它们都趋于+，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1）。故sinx不存在极限。（构造法！）例3x趋于时，函数y=arctgx不存在极限。分析把视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，x趋于+时，函数极限为/2，x趋于时，函数极限为/2，故，函数y=arctgx不存在极限。请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即方向有水平渐近线y=/2；+方向则有有y=/2例4当x1时，函数f(x)=(exp(1/(x1)(x平方1)(x1)的极限（A）等于2（B）等于0（C）为（D）不存在但不为b分析考查x1时函数的极限，通常认为x不取1；而x1时，可以约去分母（x1)，让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x1)左极限f（10）=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+，（选（D）（画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。）例5f（x）=（2+exp（1/x）（1+exp（4/x）+sinxx,求x趋于0时函数的极限。分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上x0-时，limf（x）=（2+0）/（1+0）1=1x0+时，exp（1/x）+，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1由定理（2）得x0时，limf（x）=1例6曲线y=exp(1/x平方)arctg（x平方+x+1）(x1)(x+2）的渐近线共有（A）1条（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B）分析先观察x趋于时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1和2；对于每个零点x0，直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有x时，limy=/4，曲线有水平渐近线y=/4其中，x时，limexp(1/x平方)=1；im（x平方+x+1）(x1)(x+2）=1（分子分母同除以“x平方”）考查“嫌疑点”1和2时，注意运用“典型不存在3”，f（10）=e/2；f（1+0）=e/2，x=1不是曲线的竖直渐近线。类似可以算得x=2不是曲线的竖直渐近线。x0时，前因式趋向+；后因式有极限arctg（1/2），x=0是曲线的竖直渐近线。啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：定理（4）夹逼定理若在点x0邻近（或|x|充分大时）恒有g(x)f(x)h(x)，且xx0(或x)时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）加上讲座（3）中的“近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。考研数学讲座（5）无穷小与无穷大微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。1.概念在某一过程中，函数f（x）的极限为0，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。为了回避语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。无穷小是个变量，不是0；y=0视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。（潜台词：并不表示极限存在。）比如x从右侧趋于0时，limlnx=；x从左侧趋于/2时，limtgx=+无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。y=tgx（在x/2左側时）是无穷大。在（0，/2）内y=tgx是无界变量x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。2.运算与比较有限个无穷小量的线性组合是无穷小；“”则结果不确定。乘积的极限有三类可以确定：有界变量无穷小=无穷小无穷小无穷小=（高阶）无穷小无穷大无穷大=（高阶）无穷大其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。例10作数列x=1，0，2，0，3，0，-，0，n，0，-y=0，1，0，2，0，3，0，-，0，n，0，-两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界无界=有界两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。x趋于0时，=xsin（1/x）和=x都是无穷小，且显然有；但它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅分析中的反例的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。回到基本初等函数，我们看到x趋于+时，y=x的次方，指数0的幂函数都是无穷大。且习惯地称为阶无穷大。（潜台词：这多象汽车的1档，2档，-，啊。）x趋于+时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。x趋于+或x趋于0+时，对数函数是无穷大。x趋于时，sinx及cosx都没有极限。正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。请体验一个很重要也很有趣的事实。（1）x+时，lim（x的n次方）exp（x）=0，这表明：“x趋于+时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”或者说，“x趋于+时，函数exp（x）是任意高阶的无穷小。”（2）x+时，limlnx（x的次方）=0；是任意取定的一个很小的正数。这表明：“x趋于+时，对数函数lnx是比x的次方都还要低阶的无穷大。”在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（x）为“速降函数”。只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。例11函数f(x)=xsinx（A）当x时为无穷大。（B）在（，+）内有界。（C）在（，+）内无界。（D）在时有有限极限。分析这和y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。（选（C）例12设有数列Xn，具体取值为若n为奇数，Xn=（n平方+n）n；若n为偶数，Xn=1n则当n时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D）请与“典型不存在1”对比。本质相同。例13已知数列Xn和Yn满足n时，limXnYn=0，则（A）若数列Xn发散，数列Yn必定也发散。（B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。（D）若变量1Xn为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小量。分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0，Yn必须为无穷小量。应选答案（D）。考研数学讲座（6）微观分析始连续微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。1函数的连续性定义设函数f(x)在点x0的邻近有定义。当x趋于x0时，如果函数有极限.且极限值等于函数值f(x0)，就称函数f在点x0连续。否则，称函数f在点x0间断。x0是它的间断点。“函数f在点x0的邻近有定义”意味着，如果函数在点x0没有定义，那x0只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。函数y=1/x在原点就是这样的。“有极限”意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”函数在一点连续的定义等式，“左极限=右极限=中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。最值定理在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。介值定理如果数c能被夹在连续函数的两个值之间，则c一定属于此函数的值域。请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x)=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。例16试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M=f（x1），最小值m=f（x2），闭区间m，M内的任一数c，自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。（潜台词：没有零点的连续函数定号。）分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）例18函数f在闭区间a，b上连续，其值域恰好也是a，b，试证方程f(x)=x在区间a，b上有解。分析作F=f(x)x，它显然在已知闭区间上连续。且有F(a)0而F(b)0如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）2间断点分类连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。对于第二类间断，我们只学了两个特例。即x=0是震荡因子y=sin（1/x)的震荡间断点。（画外音：请联想“典型不存在（2）”）x=0是函数y=exp(1/x)的无穷间断点。（画外音：请联想“典型不存在（1）”）只要函数在x0的一个单側为无穷大，x0就是函数的无穷间断点。x=x0是图形的竖直渐近线。考题中经常把问题平移到别的点去讨论。例19确定y=exp(1/x)arctg（x+1）/（x1）的间断点，并说明其类型。分析函数的解析表达式中，分母有零点0，1（潜台词：两个嫌疑犯啊。）在点0，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0点是无穷间断点.在点1，前因子连续非零，后因子的左极限是/2，右极限为/2，第一类间断。三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。例20设函数f(x)=x(a+exp(bx)在(,+)内连续，且x时，极限limf(x)=0；则常数a，b满足（A）a0，b0，b0（C）a0，b0（D）a0，b0分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。已知函数连续，则其分母不能为0，而指数函数exp(bx)的值域为(0,+)，故a0又，x时，极限limf(x)=0表明，f(x)分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx)为无穷大，只有b0且f(a)0（D）f(a)0且f(a)0分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除（A）；俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。（画外音：如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=0，而f(a)0，则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。）2讨论深化我在讲座（2）中举例，“连续A+不连续B=？”如果，“连续A+不连续B=连续C”则“连续C连续A=不连续B”这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。推理的关键在于，逆运算减法可行。自然类似有：可导A+（连续）不可导B=不可导C。比如y=x+sinx在点x=0不可导。例32函数f（x）=sinx+cosx的不可导点是（？）分析函数为“和”结构。无论是sinx的不可导点或cosx的不可导点，都是f的不可导点。即x=k与x=k+/2，k=0，1，2，更深化的问题是：可导A(连续)不可导B，是可导还是不可导？比如y=xx在点0可导吗？与“和”的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A0时，才有C/A=B所以结论1，若f（x）在点x0可导，且f（x0）0，g（x）在点x0连续不可导，则积函数y=f（x）g（x）在点x0一定不可导。结论2（*例33）已知函数f(x)在点x=a可导，函数g(x)在点x=a连续而不可导，试证明积函数F（x）=f（x）g（x）在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0.证明先证充分性，设f(a)=0则F(a)=0令h0,F(a)=lim(F(a+h)F（a）/h=limf(a+h)g（a+h）/h=(lim(f(a+h)f（a）)/h)limg（a+h）=f(a)g（a）再用反证法证必要性。设函数F(x)在点x=a可导而f(a)0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x=a的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。例34设函数f（x）可导，F（x）=f（x）（1+sinx），则f（0）=0是F(x)在x=0处可导的（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A）分析1+sinx是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A）例35函数y=（x平方x2）x立方x的不可导点的个数是（A）3（B）2（C）1（D）0分析函数y具“积”结构。y=f（x）g（x），可导函数f（x）=x平方x2只有两个零点x=1，x=2，而连续函数g（x）=x立方x有不可导点x=0，x=1，x=1；（即x3x的三个零点。）其中有两个不是f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B）。实际上，x=1是积函数的而重零点。3函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：“是对表达式中的哪一个变元求导？”对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导对幂指型函数求导，视y=f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟在考研试题中，条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？无论是高数，线代或概率部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。1条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”推理信息（1），自变量x，当然是x趋于0时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0时，limf（x）=0（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x=1+（无穷小），即，f（x）=x（1+）信息（2），已知f连续，故f（0）=limf（x）=0信息（3），（潜台词：这是“双特殊情形”啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值f(0)=1信息（4），(“符号体念，近朱者赤。”)商的极限为正数1，在0点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x同号，左负右正。最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。对比：如果把条件中的分母换成“x2”，则后两条信息就不同了。信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0信息（4）*，商的极限为正数1，在点0的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。再对比：若考题把条件中的分子换成f（x）x，怎么办？那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）=f（x）x，先对F写出结论，再写还原讨论f（x）。比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f（x）=F（x）+x也在原点可导。有了高速路，找到匝道就上去了。例36已知x1时，lim(x2+bx+c)(x1)=3，求常数b，c的值。分析平移到点x=1用基本推理。记f（x）=x2+bx+c，f连续，由已知极限得x1时，limf（x）=0=f（1），实际计算f（1）得方程1+b+c=0再由已知极限与极限定义得f(1)=3，实际求导即2+b=3；联解之，b=1c=22程序化的经典题目在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为：“求（分段）函数f(x)的导函数，并讨论导函数的连续性。”这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。例37设a为实常数，定义函数f(x)如下x0时f(x)=xasin(1/x2),x0时，f(x)=0回答下列问题，并简单说明理由。（1）在什么情况下，f(x)不是连续函数。（2）在什么情况下，f(x)连续但在点x=0不可微？（3）在什么情况下，f(x)有连续的导函数f(x)？*（4）在什么情况下，f(x)可微但f(x)在原点邻近无界？*（5）在什么情况下，f(x)可微，f(x)在原点邻近有界，但f(x)不连续？分析x0时，f(x)恒为零，故f(x)在0点左连续，且左导数为0；讨论的关键在于：sin（1/x2），cos（1/x2）都是震荡因子。当x0+时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。（潜台词：有界变量无穷小量=无穷小量）解（1）a0时，f(x)不是连续函数，它在点x=0处有第二类间断（振荡间断）。（2）01时，f(x)在0点的