（机械电子工程专业论文）门式起重机结构强度与结构优化设计研究.pdf

摘要 本文详细阐述了有限单元法的基本思想、力学基础以及屈曲稳定性分 析等基本理论，其体说明了有限元分折软件m s c n a s t r a n 的功能和它 的开放式结构以及m s c n 玎r a n 的主要特点。本文的研究工作主要集中 在分析大型桁架式门式超重机的强度、刚度和稳定性以及优化设计这些方 面。 本文以桁架式门式起重机为研究对象，用m s c p a t r a n 建立起重机 仿真模型后，综合分析起重机各种工作工况，选择四个典型工况，用 m s c n a s t r a n 进行强度分析，得到各个工况竣超重机的最大应力值和最 大应力位置以及应力分布，最大应力9 1 2 m p a ，强度储备较大，有进一步 优化的必要：通过对各个工况的屈曲稳定性分析，可以看出稳定系数均大 于规定值，说明该超重机满足稳定性要求；接着在m s c n a s t r a n 中定 义设计变量，确定设计目标，限制约束上下限，进行灵敏度分析和优化设 计。结果表明：最大应力值增大，充分利用了材料，有效的减轻了重量， 应力分布也更加合理。 本次砑究结果表明用m s c n a s t r a n 建模分析可以节省人力物力， 又有比较高的模拟精度，对于工程实际是相当有帮助的，可以提高起重机 结构设计水平，使得起重机结构更加合理，满足当今社会发展的需求，也 显示了m s c n a s t r a n 在强度分析和优化漫计中的作用和意义，本论文 的研究方法适用于指导任何其他类型机械的分析。 关键词：起重机m s c n a s t r a n强度屈曲稳定性优化 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e n a t i o n ，t h eb a s i ci d e a ，m e c h a n i c a lf o u n d a t i o no ff i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dt h et h e o r yo fb u c k l i n gs t a b i l i t ya n a l y s i sa r ee x p a t i a t e di n d e t a i l t h ef u n c t i o na n do p e ns t y l es t r u c t u r eo ft h ef i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s s o f t w a r e ，m s c n a s t r a n ，a n dt h em a i nf e a t u r e so fm s c p a t r a na r e c o n c r e t e l ye x p l a i n e d t h ep r o c e s s e su s i n gm s c n a s t r a nt oc a r r yt h r o u g h s t r e n g t h ，s t i f f n e s sa n a l y s i s ，s t a b i l i t ya n do p t i m u md e s i g no ft h eg a n t r yc r a n e a r ei n t r o d u c e da saf o c a lp o i n t t h i sp a p e rt a k e st h eg a n t r yc r a n ea st h eo b j e c to fs t u d y a f t e rie m u l a t e d t h ec r a n ew i t hm s c p a t r a ns o f t w a r e ，c o m p r e h e n s i v ea n a l y z i n ge v e r y w o r k i n gc a s e ，f o u rw o r k i n gc a s e sa r es e l e c t e d t oc a r r yt h r o u g hs t r e n g t h a n a l y s i sw i t hm s c n a s t r a ns o f t w a r e t h er e s u l ts h o w st h em a x i m u m s t r e s sa n dt h em a x i m u ms t r e s sl o c a t i o na n dt h ed i s tr i b u t j o no ft h es t r e s s t h e m a x i m u ms t r e s sa t t a c h e st o9 1 2m p a t h er e s u l ta l s os h o w st h em a x i m u m s t r e s sv a l u ei no r i g i n a ld e s i g ni sm u c hl e s st h a nt h eb r e a k i n gp o i n to fa 3 s o i ti sn e c e s s a r yt oo p t i m i z es t r u c t u r eo ft h i sc r a n e s t a b i l i t yf a c t o r sc a nb e r e c e i v e df r o mb u c k l i n gs t a b i l i t y a n a l y s i s a n dm e e tt h ed e m a n do ft h e c r a n e f i n a l l y ，u s i n gm s c n a s t r a n t od e f i n ed e s i g nv a r i a b l e ，d e t e r m i n e d e s i g no b j e c t a n dr e s t r i c tc o n s t r a i n t u p p e ra n dl o w e r l i m i tt o o p t i m i z e d e s i g n w ef i n dt h a tt h em a x i m a ls t r e s sv a l u ei n c r e a s e d t h i sd e s i g nm a k e s m a t e r i a ls u f f i c i e n t l yu s e d ，t h ew e i g h to fc r a n ee f f e c t i v e l yl i g h t e n e d a tt h e s a m et i m e ，s t r e s sd i s t r i b u t i o ni sm o r er e a s o n a b l e b ym s c n a s t r a ns o f t w a r ee m u l a t i n gi tm a ys a v em a n p o w e r a n d m a t e r i a lr e s o u r c e sa n dh a v er e l a t i v e l ys i m u l a t i o np r e c i s i o n i ti sv e r yh e l p f u l t oa d v a n c et h ec r a n es t r u c t u r ed y n a m i c sd e s i g nl e v e li ne n g i n e e r i n g i tm a k e s t h ec r a n es t r u c t u r em o r e r e a s o n a b l ea n dm e e t sd e m a n do fs o c i a d e v e l o p m e n t t h r o u g ht h i ss t u d y ，w ec a nf i n dt h ef u n c t i o na n ds i g n i f i c a n c eo f m s c n a s t r a ni ss h o w e di ns t r e n g t h a n a l y s i sa n do p t i m u md e s i g n t h e s t u d ym e t h o do ft h i sp a p e ri sf i tt ot h ea n a l y s i so fo t h e rk i n d sm a c h i n e r y k e y w o r d s ： c r a n em s c n a s t r a n s t r e n g t hb u c k l i n gs t a b i l i t y o p t i m u md e s i g n k 安人学硕l 学伸沦支 第一章绪论 1 1 起重机的发展概况及其作用 1 1 1 起重机的发展概况 自有人类文明以来，物料搬运便成了人类活动的重要组成部分，距今己有五 千多年的发展历史。随着生产规模的扩大，自动化程度的提高，作为物料搬运重 要设备的起重机在现代化生产过程中应用越来越广泛。因此起重运输机械在国民 经济中有着十分重要的地位。提高起重运输机械的生产效率，确保运行的安全可 靠性，降低物料搬运成本是十分重要的。据统计，在美国每百元工业产品成本中， 物料搬运费用约占2 0 2 5 美元，美国某厂生产流程中物料搬运所用的工时占总生产 周期的2 0 。英国每年用于工厂及工地物料搬运的费用高达1 0 亿英磅，相当于全 国工资支出的九分之一。1 9 7 4 年英国工业部下属的物料搬运费用调查委员会曾对 3 0 家公司进行调查指出：“工序间的物料搬运费用占加工费的1 2 以上，如加上工 序内和工厂外的搬运费用估计要达到成本的2 0 一2 5 ”。前苏联用于运输的费用每 年高达8 6 7 亿卢布，其中装卸费用为2 1 7 亿卢布，占总运输费用的四分之一。德 国d e m d g 公司也曾作过详细调查，证实物料搬运费用占生产费用的4 5 ( 工序问 物料搬运占3 0 ，工序内的物料搬运费用占1 5 ) 。我国东风汽车一也作过统计， 汽车零件在工厂中的加工工时仅占5 ，其它9 5 的工时均用在搬运和储存之中。 生产1 吨产品要把物料提升5 0 吨次，生产1 吨铸件要搬运8 0 吨次，东风汽车厂 的生产能力原定为1 0 万辆，物料搬运设备占了总设备的很大部分。由此看到，作 为物料搬运设备重要组成的起重机的需求量是十分可观的，起重机械行业有着广 阔的前景。科学技术的飞速发展，推动了现代设计和制造能力的提高。激烈的国 际市场竞争也越来越依赖于技术的竞争。这些都促使起重机的技术性能进入崭新 的发展阶段，起重机i _ = = 经历着一场巨大的变革。超重机正向人型化、高速化、自 动化和智能化方向发展，这也是社会发展的必然要求。 长期以来，起重机的设计方法多采用以经典力学利数学为基础的二仁理论、半 k 安人学硕士学化论文 经验设计法和模拟法、直觉法等传统潋计方法，设计过程反复多，周期长，没汁 的精确度较低。近年来随着电子计算机技术的广泛应用和系统工程、优化工程、 价值工程、可靠性工程、创造1 程、人机工程等现代设计理论的不断发展，促使 许多跨学科的现代设计方法出现，使起重机的设计进入创新、高质量、高效率的 新阶段。 1 1 2 起重机的有关概念 1 起重机的构成【2 】 起重机是物料搬运的主要设备，起重机械是由金属结构、动力装置、工作机 构和控制系统四大部分组成。 ( 1 ) 金属结构 金属结构是超重机的骨架，是安装各机构和支托它们全部重量的主体部分。 ( 2 ) 动力装置 动力装置是起重机的动力源，是最重要的起重机组成部分。它在很大程度上 决定了起重机的性能和构造特点。 ( 3 ) 工作机构 工作机构为实现起重机不同运动要求而设置的，不同类型的起重机工作机构 有所不同。起重机最基本的工作机构有起升、变幅、回转和行走四大工作机构。 ( 4 ) 控制系统 控制系统包括操纵装置和安全装置。通过控制系统实现各机构的启动、凋速、 换向、制动和停止，从而达到起重机作业所要求的各种动作。同时，保证起重机 安全作业。 2 起重机的类型和用途【2 起重机有桥架型、缆索型和臂架型三大类型。根据用途和使用场合的不同， 起重机有多种形式，但其共同特点是整机结构和工作机构较为复杂。工作时，能 独立和同时完成多个工作动作。因本文研究对象是桁架式门式起重机，属于桥架 型起重机，就着重介绍桥架型起重机。 桥架型起重机主要有梁式起重机、桥式起重机、装卸桥和门式起重机四种类 型。其特点是吊钩悬挂在呵沿桥架运行的起重机小车或起重葫芦上，使重物在空 叫垂直升降和水平移动。 ( 1 ) 梁式起重机采用电动梁结构，跨度小，结构简单，在地面操作起重机 的工作。用于起重量较小的工作场所。 ( 2 ) 桥式起重机采用电动双梁桥式结构，主粱为箱型结构，强度高，跨度 大，在主梁下有操纵驾驶室。用于起重量大，工作速度快的工作场所。 ( 3 ) 装卸桥起重机多采用桁架结构，主梁跨度大，要求起重小车运行速度 快，从而保证装卸生产率。用于冶金厂、发电厂、码头装卸散料以及港口集装箱 的装卸工作。 ( 4 ) 门式起重机桥架两端通过两侧支腿支承在地面轨道或基础上的桥架型 起重机，类似“门”字的形状，亦称龙门起重机。起重量大，广泛应用于1 厂、 货场、码头和港口的各种物料装卸和搬运工作。 3 超重机的主要性能参数【2 】 起重机的基本参数是说明起重机械的工作性能和技术经济指标，是设计起重 机械的技术依据，也是生产使用中选择起重机械技术性能的依据。 ( 1 ) 起重量q 起重机起吊重物的质量称为起重量，一般以吨为单位，但按 照国际单位制应以牛顿为单位。起重量依国家标准已成为一个系列，起重机设计 时须按照这一系列进行。起重量大的桥式起重机常备有主副两套起升机构。副钩 的起重量约为主钩的五分之一到三分之一。 ( 2 ) 起升高度h 起升高度是指白地面或轨面到吊钩钩口中心的距离，用h 表示，单位为米。通常以额定起升高度表示。 ( 3 ) 跨度l 指桥式起重机大车运行轨道中心线之间的距离，单位为米。国 标巾有桥式起重机跨度的标准。 ( 4 ) 工作速度v 指起重机的各机构( 起升、运行、变幅和旋转) 的工作 速度，单位为米分。机构的工作速度足根据工作要求来定的。 ( 5 ) 外形尺寸和自重这是任何种机器应有的技术经济指标，它1 i 仪是能 说明起重机械本身性能优劣的数捌，而且直接影响基建费用的投资，j 1 1 1 - l ，应十 长安人。产帧十学位论文 分重视减轻自重和减小外形尺寸，以达到紧凑而轻便l ”i 。 1 1 3 起重机械在物料搬运中的作用 起重运输机械作为物料搬运工具，装备着国民经济的各个部门，在现代化生 产中占有重要地位。起重运输机械，在完成一个工作过程中，一般都包括“储、 装、运、卸”作业，因而对于提高生产能力、保证产品质量、减轻劳动强度、降 低生产成本、提高运输效率、加快物资周转、流通等方面均有着重要的影响，对 安全生产、减少事故更有显著作用。现代的搬运技术已超越了单纯地减轻体力劳 动这一传统概念，必须根据系统的需要，及时地、迅速地、有节奏地将必要的原 材料或零部件，在规定的时自j 里，送到必要的工艺位置上。否则，现代化的生产 是不可能的。如果看看现代化大规模生产的汽车工业、冶炼工业、电子工业以及 先进高效的加工中心、数控机床、装配自动线，就会深深感到我国的物料搬运机 械与工业发达国家相比还很有差距。现在常有种说法：物料搬运技术是现代工业 中最薄弱、最迫切要解决的问题之一。随着现代工业的迅速发展和生产规模的扩 大，物料搬运费在生产成本中的比例越来越高。从而可以看出，提高搬运技术将 是降低产品成本虽有潜力的一个途径。 如在机械工业方面，所有制造工业的每道工序以及工序之间都需要装卸、运 输、堆垛等项作业的配合。搬运作业贯穿在生产的全过程中，物料搬运机械把各 道工序有机地连接起来，成为整个生产系统的一个组成部分。机械工厂的物料搬 运次数是很频繁的，每生产一一吨产品，一般在机械加工方面约为五十吨的装卸搬 运量，在铸造方面约为八十吨搬运量。物料搬运费用在整个生产中几乎与机械加 工费用相等p j 。 1 2 本论文的研究内容 1 2 1 该起重机的基本结构组成 k 安人学硕士学惯沦文 图1 - 1 桁架式门式起重机 如图1 - 1 所示该桁架式门式起重机主要由主桁架、八字形支腿、支腿横梁等组 成。它的两根主梁都是由三角桁架组合成的封闭空问结构。桁架中各杆件在节点 处通常采用节点板来连接，为了节约材料，支腿和支腿横梁均采用桁架结构。 该起重机主要为某高速公路某桥梁的修复而设计的。根据桥梁修复要求，起 重机主要有以下结构参数和性能指标： 起重量q ：5 0 吨 小车自重g ：4 吨 跨度l ：2 4 米 起重机净高h ：3 6 米 支腿侧面宽度：2 2 米 1 2 2 本论文的研究内容 由于该起重机全部采用空间桁架结构，且起重机支腿相当高，为了保证结构 既安全可靠又节约钢材，本文运用有限元的方法对该门式起重机进行结构分析， 使用有限元分析软件m s c p a t r a n 、m s c n a s t r a n 分别对其进行几何建模、有 & 安大学硕二 学位论文 限元分析和结构优化设计。设计过程中主要工作如下： ( 1 ) 利用软件m s c p a t r a n 对门式起重机进行几何建模，建立有限兀模型： ( 2 ) 提交到m s 蜊a s t r a n 进行有限元强度分析，生成应力、应变云纹图， 并且进行刚度和稳定性分析； ( 3 ) 用m s c n a s t r a n 对门式起重机的有限元模型进行灵敏度分析和优化 设计，以达到节省材料，实现起重机轻量化的目的。 总之，通过本文对门式起重机的设计，设计者可在起重机研制出来之前就对 起重机应力和变形以及稳定性情况有一个较为准确的了解。而本文的特点就是运 用有限元分析软件m s c n a s t r a n 对该桁架式起重机进行尺寸优化设计。通过本 次设计，发现有限元分析软件m s c p a t r a m 、m s c n a s t r a n 在设计中是非常 有效且简便的方法，它可以极大地缩短设计周期和设计成本，对于提高自我设计 能力有很大的现实意义。 k 宜人学硕十学位论( 第二章有限元法理论和有限元分析软件n a s t r a n 2 1 有限元法基本概论卜e 1 。l 有限元法的思想起源于2 0 世纪5 0 年代处理b 机结构的矩阵分析。由于当时 电子计算机不普及，未能引起人们的重视，直到6 0 年代才被推广到弹性力学平面 问题的应用分析上，并开始采用“有限元素法”这一术语。半个世纪以来随着电 子计算机的广泛应用，有限元法不仅成为进行工程结构分析的重要数值方法，而 且被广泛应用于固体力学的各个分支，甚至流体力学、热传导、电磁场、地质力 学、生物力学等领域中，从结构计算扩展到结构优化设计，并向更高设计自动化 方向发展。有限元法的发展借助于两个重要工具：其理论指导采用矩阵方法，在 实际计算中则采用电子计算机。因此，在有限元法中，有限元、矩阵、计算机是 三位一体的。 有限元法是将结构划分成有限个不重叠的小单元。有限元法分析计算的思路 可归纳如下： 1 物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型。离散后单元与单元之间 利用单元的节点相互连结起来，单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、 描述变形形态的需要和计算精度而定( 一般情况，单元划分越细则描述变形情况 越精确，即越接近实际变形，但计算量越大) ，所以有限元法中分析的结构己不是 原有的物体或结构物，而是由同样材料的众多单元以定方式连结而成的离散物 体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常 多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 2 单元特性分析 ( 1 ) 选择位移模式 在有限币元法中，选择常点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力 作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和部分节点位移作为基本未知量 时称为混合法。位移法易j 实现计算自动化，所以征有限单元法中化移法应用范 眨安人学硕士学何论文 围最。 “采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元中的一些物理量如 位移、应变和应力等由节点位移米表示。这时可以对单元中位移分布采用些能 逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法中我们将位移表示为坐标变量 的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。 ( 2 ) 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元 节点力和节点位移的关系式。这是单元分析中关键的一步，此时需要应用弹性力 学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。 这是有限元法的基本步骤之一。一般来说，建立刚度阵的方法有：直接方法；虚 功原理法；能量变分原理方法；迦辽金法等。 ( 3 ) 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对 于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而，这种 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，也就 是用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。 3 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来， 形成整体的有限元方程 【k 】 q ) = f ) ( 2 - 1 ) 式中，f k 】是整体结构的刚度矩阵； q ) 是节点位移列阵； f ) 足载荷列阵。 4 求解未知节点位移 解有限元方程式( 2 - 1 ) 得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择 合适的计算方法。 通过上述分析，可以看出，有限单元法的摹本思想是分合”，分是为了进 行巾元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。 鉴窒盔堂堡f 堂笪堡兰 2 2 弹性力学基本方程与变分原理阳j 用角。限冗法求解弹性连续体问题之前，先介绍线弹性理论的基本知u 。弹性 力学是研究在载荷作用下弹性体中内力改变和变形规律的一门学科，丰要研究弹 性体内的应变场、应力场、及心力与应变的关系。 弹性力学分析问题从静力学条件、几何学条件与物理学条件三方面考虑，分 别得到平衡微分方程、几何方程与物理方程，统称为弹性力学的基本方程。 弹性体在载荷的作用下，体内任一点的应力、位移及应变可表示如下： i 盯2 【q ，q ，吒，岛，k ，k 】。 “= “，矿，w 】7( 2 2 ) le = 【s r ，r ，。，y ，v ，y ，z ，y 丘 其中：盯为应力矩阵，巳、盯，、仃：为正应力，k 、r 。、k 为剪应力；“为位移 矩阵，“、v 、w 分别为直角坐标系三个坐标方向的位移分量；为应变矩阵，f 。、 s 。、：为f 应变，k 、y 。、k 为剪应变。 对于三维问题，弹性力学基本方程如下： ( 1 ) 平衡方程力和力矩平衡方程为 鲁+ 鲁+ 誓+ 五=缸a va z “ 0 其中：五，五，五为单位体积的体积力在x ，y ，z 方向的分量。 ( 2 ) 几何方程戍变位移关系 ( 2 3 ) 却 却 何 打一担嘻担 + + 竖吵监砂 + + 堡觇鳖眦 ! 三j 茎叁= i ：! 堡主兰堡堡：兰 ( 舭 = 一 = 一 d v 一 一 d z 2 面+ i k a va w 2 i + 石2 a “a w 7 n2 i + i 27 n ( 3 ) 物理方程应力应变关系，也称为本构关系 其中：d 为弹性矩阵 盯= d e d 些= 尘 ( 1 + v x l 一2 v ) l 1 一v1 一y 000 00o 000 式中e 为弹性体材料的弹性模量，1 ，为泊松比。 ( 4 ) 应变协调方程 一02 , f + 堡：2 逸2 a x 2d z 2 越把 旦阻+ 盟一监1 ；生 a x 【e y 越e x j o y e z 旦盟+ 盟一监1 ：堡 a v 【以8 x o yj 以如 旦阻+ 丝一生1 ：堡 000 000 oo0 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) h 旦h ， h ， 。一 。五二 o o o 一卜，一k d o 屯一卜 o 一水 。一叶 些耻。 。 监岫 观 监矿 堕舻 监驰 监矿 监舻 【、奠人学颁十学位沦文 ( 5 1 弹性力学问题的求解 前面给出的基本方程，山刑亡解微分方稃，还需要给出定解条件，静力学问 题的定解条件只包含边界条件。憎| 生体的边界条件分为力边界条件s 。和位移边界 条件s 。 1 ) 力边界条件( 已知弹性体边界上的力) 假设弹性体边界上单位面积的内力为t ，l ，t ，单位面积上作用的外力为 ( ，元，z ，根据弹性体平衡条件有： l = t ，0 = l ，t = t ( 2 - 7 ) 殴边界外法线为n ，其方向余弦为n ：，n ，n ：，则： i l ；，o 口+ 订y f ”+ 九：f “ t = n ，+ 一o y + n ：1 7 z y ( 2 - 8 ) 【t 互咒，+ n ，t y z + 儿z 吼 把( 2 _ 8 ) 代入( 2 7 ) 得： n 产口n 。 n y 盯y + n t z y n ，f f + n i 口。 ( 2 9 ) 2 ) 位移边界条件( 已知弹性体边界上的位移) 假设弹性体边界上某点的弹性位移为u ，v ，w ，约束位移为厅，矿，万，则 “；订，v = 矿，w = 万 ( 2 - 1 0 ) 弹性力学问题的变分解法属于能量法，是与微分方程边值问题完伞等价的并 行不悖的方法，将弹性力学问题归结为能量的极值问题，下面介绍变分原理。 ( 1 ) 应变能和余能 单位体积的应变能，或称应变能密度为 u ( s ) ：三s ，d s( 2 1 1 ) 巾化体积的余能( 余能密度) 为 y(盯)=1仃7d口(2-12) + + + 以k k 以 m m = ； = 一弓一t ，-。【 k = 安人学硕士学似c 仑z ( 2 ) 线弹性力学自然变分原理 如图2 - i 所示弹性体，在弹性体内受体力作 f j ，在力边界s 。上给定f f 玎力芦 在位移边界s 。上给定位移皿。假设该弹性系统是保守系 磊 统，存在总势能f i 和总余能y l 。( 设约束力为p ：) 。 该弹性体总势能为： 2 正 口y 一工正“c d y 一正。曩“z d s f 2 1 3 ) 总余能为：图2 _ 1 弹性体边界条件 i ic 5 fw x o , y ) a v 一正p t 互豳 ( 2 _ 1 4 ) 最小位能原理是建立在虚位移原理基础之上的，它表示所有满足给定几何关 系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能最小。 最小余能原理是建立在虚应力原理基础之上的，它表示所有满足给定平衡方 程，在边界上满足给定力的边界条件的可能应力中，真实应力使系统的总余能最 ，j 、。 2 3 空间梁单元基本理论【1 0 1 ，1 在有限元分析中，根据受力不同，杆件结构可简化为梁单元和杆单元，又可 以根据具体受力及截面情况，使用各种不同的梁单元和杆单元。其中，杆单元只 能承受拉压和扭转载荷，梁单元除能承受拉压及扭转载荷外还能承受弯曲和剪切 载荷。本论文研究的对象主要是桁架结构，其受力情况不仅要能承受拉压及扭转 载荷还要能承受弯曲和剪切载荷，所以大量采用空间梁单元。 在分析空间梁单元时作如下假设： 1 该梁单元为等截面梁； 2 不考虑梁【u 于受扭转变形引起的翘曲影响； 3 ，集中载荷只作用存梁单元的市点上； 4 变形6 n 垂直于梁轴线的平1 酊变形后保持为垂直于中心线的平可。 z 人学硕十学位论文 m 【d 1 17(hi 【 l 冬 2 - 2 一结点空间粱单元 ( a ) 力利线位移( b ) 力矩和截面转动( c ) 局部坐标系和总体坐标系 如图2 2 所示梁单元，以结，? 、li 处梁单元截面形心为坐标原点，以单元轴向为 x 轴，梁单元中性面内垂直于x 轴的方向为y 轴，并按右手螺旋定则建立局部坐标 系。因为该梁单元为等截面梁且不考虑梁由于受扭转变形引起的翘曲影响，所以 研究该单元时单元上质点的坐标只有x 坐标差异。结点i ，i 各有六个自由度，即 三个平动和三个转动，因此每个结点有六个结点力分量，一个单元共有1 2 个结点 力分量。 设单元的结点位移矩阵和结点力矩阵分别为a 。和u ，则： n 。；，v f ，w i ，钆，o y i , 吼。，“，v ，w j ，0 w ，0 口r ( 2 - 1 5 ) u ； n x i ，n n n m 。m m 。j n 。nq ，n 。m4 m p m 。飞 设单元上任一点p 位移为s ，其矩阵式为： s = 阻，v ，w ，0 ：，0 ，日：】7( 2 - 1 6 ) 由材料力学和立体几何知识知： 峥丽 巳= i 忡：o u h 2 + 并 吁骶 ( 2 1 7 ) 冈勺：r , j i 个结点有6 个自山度，每个币冗仃两个结点，根据位移函数构造准则 窄问梁竹尢位移函数如下： “= 卢1 + 卢2 z + 卢2 + p 4 工1 r = 卢5 + 卢6 x + 卢7 x 2 + 卢8 工3( 2 - 1 8 ) w = 岛+ a l o x + t j l i x 2 + 反2 x 3 联立式( 2 - 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 并把结点坐标代入得 “，= 1 u = p 1 + p 0 + 9 0 z + p 4 1 5 v t = 8 s v j = 8 5 + 8 0 + p l t z + _ b ￥1 3 w i = 成 w ，；岛+ a o f + 屈1 1 2 + 鼠2 1 3 8 。= 、3 畦+ 醯 = ( p 。+ 2 卢，l + 3 f 1 8 1 2 ) 2 + ( 展。+ 2 鼠。l + 3 f l ，2 2 2 ) 2 e 。= qp j + p 矗 = ( 卢：+ 2 以，+ 3 只，2 ) 2 + ( 氏+ 2 f l n l + 3 , 8 1 2 l z ) 2 8 。= 心p j + b ： 日。一j ( 反+ 2 乜“3 成f 2 ) 2 + ( 成+ 2 岛z + 3 成f 2 ) 2( 2 1 9 ) 其中，为梁单元长度。 求解方程组( 2 1 9 ) 得到单元位移函数系数b1 ，d2 b1 2 ，带入式( 2 - 1 8 ) 得到单 元位移函数，类似于空间板壳元，通常表示如下： “= n ，“。+ n “+ 川j “i v = m u + n j v ，+ m 吒 ( 2 - 2 0 ) w = n 【w 。+ n i w i + nk w k 其中n i ，n ，n k 称为单元的插值函数或形函数，它们是坐标x ，y ，z 的萌数a 式 ( 2 - 2 0 ) 用矩阵表示为： s = n a 。 ( 2 - 2 1 ) 其t 1 ：n 为插值函数矩阵或形函数矩阵，与空| 、日j 板壳元插值函数矩阵或形函数矩 阵形式类似。 存小变形前提下，气三例粱巾元田认为l j 以f 四种情况复合而成： 1 ，x 方向的拉爪杆 2 x v 面内的弯曲梁 3 x z 面内的弯曲梁 4 绕x 轴的扭转杆 因此，空问梁单元几何关系为 o u 占= d x d o 。 a = 出 ，d o y 2 ，一i 一：一丝 d x 但一2 2 ) 其中：乜为截面的扭转率，即单位长度的扭转角增量；，k ：为粱中性面分别在 x _ z ，x y 面内变化的曲率。 应力应变关系为： o x = e e ， 乏：毁 陋z ， m 。= e ：k z 其中：e ，g 分别为梁单元材料的弹性模量和剪切模量：m ：为转矩：m 、v 。，m 。：分 别为绕y 轴和z 轴的弯矩；j 为梁单元的扭转惯性矩；i 。，i ：分别为梁单元绕y 轴 和z 轴的弯曲惯性矩。 平衡方程为 其中：o - ( 。) 表示坐标为( v z ) 点的_ f 应力，r 表示剪应力。 根据有关资料，空间梁啦元总位能为： ( 2 2 4 ) 监f + y 坠。 生爿 ：i 坠， 。岸 v ，+ 长安人学硕卜学位沦辽 位能n 。是结点位移a 。的函数。 由位能原理知： 可得到空问粱单元有限元方程： 其中单元剐度矩阵k c 如下 k 1 ，k 2 ，k 3 ，目的表达式如下 k 1 ； + 弘c 警胁+ 伊，c 窘舳 k 。a 。= 尸 叫乏 ；即，+ ；州等) o o 6 e i 。 ，。 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 出 厂 生舻 日 纠 1 2 厶，ro 浓 虬i 尝 l 艺， r l 一 竖扩 。弘一r o o o呸一， 6 4 一。堕，。 o o o甜一，o o 。 o堕p。 。 。半。 蹦一，o o o o o k _ 人= 碗+ 学侮沦文 k 2 = k 3 = k 4 = 0 一三三丝 o0 0o 0o 0 一6 e _ i 一丝o 0一一1 2 _ = e l o0 0 o 0 0o o0 一1 2 e i l y 0 r 0 g j z 6 e 1 ， ，2 0 0 o 0o oo 一丁1 2 e l y 。丁6 e l y 。 ，o，o 0 g j 00 z 。一等。孚。 墼000 堡 ，f 0o 坐 o o 00 4 e l y 0000 ， 0 0 0 4 e 1 利用有限元方程可求出结点位移，进而求出结点j 衄变和应力。对于兰；三问杆系 结构，应该先进行坐标变换，把单元局部坐标求出的刚度矩阵换算成整体坐标的 刚度她阵，进而组合求m 总体刚度矩阶，再利用自限方程可求出总体坐标系r 的结点位移、结点应变和应力。 7 。坠r。6 一 o o坠r 之 o 。竺r 。堡p o l 一 坠，o o 民奠人学硕p 学f 口论迁 2 4 屈曲稳定性分析基本理论 1 2 l f l 3 】 2 4 1 平衡状态方程 弹性理论中的克希霍夫( k i r c h h o f 0 定理一一解的唯“胜定理是以下述假 设为基础的：体系的变形非常微小，平衡条件可按变位 前的几何位置建立。 在稳定理论中，平衡条件必须按变体后的位置建立， 这时就会出现解的多值现象。克希霍夫定理不再适用。 在具有多值解的场合，用以表示体系的萄载一位移关系的 平衡状态方程可以把体系各种可能的平衡状态完全表示 出来。如将平衡状态方程在荷载位移坐标系中绘成曲 线，称为平衡状态曲线。 试以图2 3 所示的单自由度体系作为例子来讨论。 剐性杆在下端( b 点) 弹性固定，其转动的刚度系数( 产生 图2 3 单位转角所需的力矩) 为c 。设在轴力p 和力矩m o 共同作用下，构件产生一倾角驴。 于是对b 点的力矩平衡方程可写成： p i s i n 妒+ m o c 9 = 0 ( 2 2 7 ) 两端各除以c ，得平衡方程之无量纲表达式为： a s i n 妒+ 妒。一妒；0 ( 2 - 2 8 ) 式中： = 罟，胪警( 2 - 2 9 ) 所得方程( 2 2 7 ) 或( 2 2 8 ) 代表平衡状念f 体系的荷载与位t _ 9 2 _ f a i 的关系，它们 就是所讨论单自由度体系的平衡状态方程。 k 坟凡乎硕士学位沦文 2 4 2 判别稳定性的基本准则 判别所考虑| 勺平衡状态是否稳定最根本的准则是：，f 1 5 1 设对处于甲衡状态的体 系施加一微小干扰，当干扰撤去后，如体系恢复到原米的平衡位置，则浚平衡状 态是稳定的：反之，如体系偏离原来位置愈来愈远，则该平衡位置是不稳定的； 最后，如体系停留在新位置不动，则该平衡状态是随遇的，这是介于稳定与不稳 定之间的一种过渡状态或临界状态。 根据上述基本准则，可导引出备种不同的判别稳定性的具体准则，计有 ( 1 ) 能量准则； ( 2 ) 静力准则： ( 3 ) 运动准则。 在屈曲问题中，所讨论的体系是“理想”的，即既无初始缺陷，也无初始干 扰力的作用。在这种情形下，当荷载值低于屈曲荷载时，体系始终维持初始的平 衡形式；一旦荷载达到屈曲荷载值，相邻的平衡形式也成为可能，体系处于临界 的随遇平衡状态，这时，在平衡状态曲线上出现了分枝。 在屈 | 分析中，一般仅关心如何求得屈曲荷载，因此在分析过程中只需对分 枝点附近的微小邻域进行考虑，而不必考虑大变位问题。此外，由于分枝点处平 衡的稳定性质从物理方面已经判定，一般可不再研究总势能的二阶变分的符号问 题。 2 4 3 屈曲分析方法 1 能量法 设图2 3 中的刚性杆仅受轴向力p 的作用，在临界状态下，刚性卡t 有。微小的 转动妒，根据小变位假没，这时体系的总势能可用下式米表达： n + = 一丢爿( 妒) 3 + 昙c ( 妒+ ) 2 ( 2 - 3 0 ) 其阶变分为： 6 n + = ( c q 7 一p l q ：+ ) 却+ k 宜人学硕十学位论文 在f f f i 界状态时，体系处予随遇平衡，即弼所代表的位置也应足平衡的。按照这 条件可确定屈曲荷载的大小。根据总势能驻值原理，此时肌8 必须等予零，即 c 妒+ 一尸z 驴+ = ( c p f ) 妒；0 按命题要求，妒4 o ，因此必须有c 一只= 0 ，由之得体系的屈曲荷载为： 兄；了c 如前所述，能量法仅适用于保守系统。 2 静力法 仍以上述仅受轴力p 作用的刚性杆为例。在临界状态时，微小转角所代表的 位置也应是平衡的。按照对下端的力矩平衡条件，有 p f 伊+ 一c 9 = 0( 2 - 3 1 ) 此时得( 将p 记作最) 最= 孚 3 运动法 这一方法的原理是：假定体系由于某种原因( 例如在某种干扰力作用后) 绕所讨 论的平衡位置作微小自由振动，写出振动方程，并求出其振动频率。此振动频率 与体系上的荷载大小有关。当荷载增大时，频率会变小。当荷载趋近其临界值( 屈 曲荷载1 时，振动频率趋近于零。按照这一条件即 可确定屈曲荷载的大小。仍以仅受轴力p 作用的刚 性杆为例进行讨论( 图2 - 4 ) 。设刚性杆的总质量为 m ，沿杆长均匀分布，则杆单元出之质量为 d i n ：竺出。今作用在体系上的所有力( 包括惯性 f 力) 对杆f 端之力矩为零，即可写出体系的振动方 程如下： 年l z2 d i n + c 平l p l c f 。= 0 幽2 4 k 安人m ：t 学位论文 式中的积分 2 咖舟2 出= 等 代入振动方稻1 并整理后得： 一d 2 q ，* + 坚二g 砭：0 出2用，2 3 此方程之解为 口+ = a c o s o ) t + b s i n 耐 ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) 式中0)2；c-，p2i(2-34) 脚，。 3 m 就是体系的振动频率。 在临界状态时，= o ，由式( 2 - 3 4 ) 得c p f = o 由之得b = 了c 。 在所讨论的例子中，运动法显得有点繁琐。但运动法可应用于非保守系统的 场合。在那种场合，运动法是一种比较有效的求屈曲荷载的方法。 2 4 4 空间杆系结构的稳定性分析 用有限单元法进行空间杆系结构的稳定性分析，稳定性分析的主要目标是确 定临界荷载，为此必须把杆单，i 的弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵在局部坐标系中 的表达式变换到整体坐标系中去。 将整体坐标系的单元弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵汜为 k e 】。和【k 。】。，则有坐 标转换式 辫k 筹群k 罱 p s s ， 【。】。= 口 。【。】。阿 。 式中【t j 为坐标变换矩阵，i t 为它的转置矩阵，目 长安人。产颇十学位论爻 【t ； i l 二l a l ： ：! a 1 3a 二3 00 00 oo 屯1 0 3 2 0 a ”0 0 a l l 0 ： 0 ， oo 0o oo a 2 】a 3 】 a 2 2 九2 2 3k 式中 1 l ，凡1 2 ， 1 3 ， 2 1 ， 2 2 ， 2 3 ，凡3 1 ，13 2 ， 为局部坐标轴与整体坐标 轴之间的夹角的余弦值。 现在来进行整体分析。将坐标变换后的单元刚度方程在整体坐标系中进行叠 加，便得到有限单元法方程 ( l k 。】+ 【k 。】) d 。 = p ( 2 - 3 6 ) 式中 阪1 ；r k 】；阮1 8 以 和 p 分别表示总的节点位移列阵和总的横向节点荷载列阵。 当己知荷载 p ) 时，可以由式( 2 - 3 7 ) 求出节点位移 既) ： d 。) = 【n l d ( 2 - 3 7 ) 式中：怛) = 伽。um “，v ，r 为单元两节点在局部坐标系中的位移 f 】称为形函数矩阵，它用节点位移表达杆件轴线位移 【n 】= 1 一x 00兰00 ，f 01 一兰00 苎0 ， 001 一x00 苎 f， 这是一般的稳定平衡分析问题，只是考虑了纵向弯曲的作用，或者晓计入了 轴向力对刚度的影响。而当研究结构失稳问题时，临界的轴向力尚为未知，但从 式( 2 - 3 8 ) 可知，儿何刚度矩阵陆。 与杆件的内力n 有天。 艮安人孚 ll 学位论文 陆。 ：_ n 00 ol oo oo ol o0 oo0o 00 10 1001 0000 0o10 1oo1 ( 2 3 8 ) 几何刚度矩阵k 。】正比于轴向力，符轴向力按比例因子 增加，叩 ，= 州n + )( 2 - 3 9 ) 式中的 n ) 为选定的参考值，则几何刚度矩阵也相应线性地增加为一新值 州】，其中【砭j 为 n ) = n ) 时的几何刚度矩阵。因此，有限单元法可写成 ( 【k 。 + 饥k ：】) p 。 = p ( 2 4 0 )