（机械电子工程专业论文）非完整机械手的设计与运动模拟分析.pdf

中文摘要 非完整系统的运动约束不可积，因而具有可用较少的控制输入数确定其比控 制输入空间维数大的位形空间内的运动。在本文尝试利用机械手的这一性质，设 计具有非完整特性的机械手，以解决机械手设计过程中的驱动单元问题。 本文分析了一种摩擦圆盘传动机构的运动原理，证明了该结构的为非完整机 构的条件，并总结出该结构的实际上为我们可以认为非完整传动机构实质上就是 一种变传动的变速机构。而后，以摩擦原盘机构为传动机构，完成了机械手的设 计。在对机械手原理图进行分析的基础上，得到了该机械手的运动方程，并完成 了链式变换，结果显示该机械手为单链系统。由于单链系统是全局可控的。从而 间接的证明了该机械手的可控性。 本文的另一重点是机械手的3 d 模型的建立和控制算法的模拟。在介绍了软 件中机械系统的拓扑结构和坐标变换的方法后，在p r o e 中建立了机械手的3 d 模型；解决了模型建立过程中的零件模型的简化、零件的装配、摩擦圆盘机构的 理想化、模型中电动机的转动方向等问题。模型的建立为机械手的路径规划和控 制提供验证平台，而后用该模型对控制算法进行了模拟。在模拟过程中，发现了 机械手的运动存在较为严重的干涉问题。经分析后发现主要是由于采用的控制方 法是最小时间控制，造成了机械手各关节的角位移太大，从而产生了干涉。 关键词：非完整系统机械手链式变换运动模拟 a b s t r a c t n o n h o l o n o m i cm a c h i n es y s t e mh a sac h a r a c t e rt h a tt h en u m b e ro fd i m e n s i o n so fi n p u ts p a c e i sf e w e rt h a nt h a to fc o n t r o l l a b l ep o s t u r es p a c e ，t h ec h a r a c t e ri sv e r yh e l p f u li nt h ed e s i g no f m a n i p u l a t o r b e c a u s ei tc a r lb eu s e dt os i m p l i f yt h es y s t e ms h a r p l y i nt h i sp a p e r , ar u bd i s cm o v e m e n t d e c o m p o s i t i o no r g a n i z a t i o ni sf i r s t l ya n a l y z e da n dp r o v e d t ob ean o n h o l o n o m i cs y s t e m i nf a c t i ti sas p e e dc h a n g i n gm e c h a n i s mt h er a d i oo fw h i c hi s v a r i a b l e t h e ni tw a su s e da sj o i n tt of o r mam a n i p u l a t o rw i t hf o u rl i n k s t h ec h a i n e df o r m c o n v e r s i o nh a db e e nd o n ea f t e rt h ea n a l y s i so f t h ec o n s t r a i n t so f t h em a n i p u l a t o r t h er e s u l to f t h e c o n v e r s i o ns h o w st h a tt h e m a n i p u l a t o r i sa s i n g l e c h a i n e df o r m s y s t e m b e c a u s e o ft h e c o n t r o l l a b i l i t yo fs i n g l ec h a i n e df o r ms y s t e m s ，t h e nt h es y s t e mi sa l s oc o n t r o l l a b l e a n o t h e r e m p h a s i s o ft h i s p a p e r i st h ee s t a b l i s h m e n to f3 dm o d e lo ft h e m a n i p u l a t o ra n dt h es i m u l a t i o nt ot h ec o n t r o lm e t h o do ft h em a n i p u l a t o r a f t e rt h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo f m a c h i n e s y s t e ma n d t h em e t h o do fc o n v e r s i o no fc o o r d i n a t e a r ei n t r o d u c e d ，3 dm o d e lo ft h em a n i p u l a t o rh a db e e ns e tu pi np r o ，e i nt h ep r o c e s s ， s e v e r a lp r o b l e m sh a db e e ns o l v e d ，s u c ha s s i m p l i f i c a t i o no fp a r tm o d e l ，a s s e m b l y , i d e a l i z a t i o no f r u bd i s cm o v e m e n t d e c o m p o s i t i o no r g a n i z a t i o n t h e n t h es i m u l a t i o no f c e n t r e la r i t h m e t i ch a db e e nd o n e i nt h es i m u l a t i o ni tw a sf o u n dt h a tt h e r ew a s i n t e r f e r e n c ew h e nt h em a n i p u l a t o rm o v e d i ti sb e c a u s et h e m a n i p u l a t o r i sc o n t r o l l e d b y m i n i m u mt i m em e t h o d t h em e t h o dh a sn oc o n s t r a i n t sa b o u t a n g l ed i s p l a c e m e n t k e y w o r d ：n o n h o l o n o m i cs y s t e m ，m a n i p u l a t o r , c h a i n e df o r mt r a n s f o r m a t i o n ，k i n e m a t i c s i m u l a t i o n 武汉理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题名称与来源 本课题名称为非完整机械手的设计与运动模拟分析。本课题的目的是要设 计一种具有非完整约束的机械手，并实现它的运动规划和控制。由于非完整系 统可用少于系统可到达的位形空间维数的控制输入实现控制，使其对于降低机 构的复杂程度和简化机构的设计、分析有着重大的意义。 重庆市邮政自动化与控制技术重点实验室基金( 2 0 0 1 0 f 0 1 ) 1 2 非完整机械手的研究的历史与现状 “完整”与“非完整”是力学中约束与系统的分类概念。完整约束是指可 将系统运动限制在位形空间内某一光滑超曲面上的约束，其特点是约束方程可 以表示成以系统广义坐标为自变量的代数方程。否则，约束就是非完整约束。 非完整约束不能表示成为位形空间上的约束形式，即非完整约束的方程一般是 不可以积分的微分方程。具有非完整约束的系统称为非完整系统。 非完整力学是分析力学的一个重要分支，“非完整”一词来自法语n o n h o l o n o m e 。1 7 8 8 年，法国学者l a g r a n g e 出版了分析力学一书，从而奠定 了分析力学的基础。但是在那个时代，还不知道有独立坐标数目与坐标的独立 变分数目不相同的非完整系统。直到1 8 9 4 年德国学者h e r t z 才第一次把约束和 系统分成完整与非完整两大类。从而开辟了非完整力学的新领域。从那时起， 到现在已经有1 0 0 多年的历史了。但直到近十年来，非完整控制( 受非完整约束 的非线性控制) 系统才受到重视。随着现代控制理论，计算机技术，特别是微分 几何等学科的飞速发展，促使了非完整系统在近代科学技术的研究和复杂工程系 统的研究都取得了一定的成就，尤其在航天领域和机器人领域。 非完整约束主要存在于含有滚动接触的系统( 如多指机器人手和轮式移动 机器人) 以及角动量守恒的系统( 如有机器人的卫星运动和半空中的跳水员或体 操运动员) 这类问题通常是由于机械系统受到对速度的不可积约束引起的，这类 约束不可通过积分的方法表示成位姿空间的约束形式。 武汉理工大学硕士学位论文 对于完整约束，约束把系统之运动限制在位形( c o n f i g u r a t i o n ) 空间上的一 个光滑超曲面上，因此系统不能在不同能级集合的位形之间自由运动。然而利用 约束的非完整性我们可以实现不同位形之间的运动。汽车即是具有此类运动特 性的一个很好的实例。汽车的运动是受约束的，它的前后轮只允许滚动和自转， 而不允许侧向滑动所以，汽车本身是不能侧向移动和原地转动的。尽管如此，事 实表明汽车是可以停泊在平面上的任何位置。由此我们可以认为对于完全非完 整系统，是系统在位形之间的自由运动。( 如粗糙水平面作纯滚动的园球，冰面上 冰刀的运动，轮式机器人，a p p e l l h a m e l 椅子轮等等) 。另外，我们知道，汽车的 控制输入只有二个( 后轮的驱动和前轮的方向) ，可是它却能在这二个输入的 操作下，确定在三维位形空间的运动。这一特性表明，在位形空间的维数高于 输入空间的维数时，非完整系统是可控的，因此可以用极少的输入来控制多个输 出。同时也为探索复杂机械的运动控制提供了一个很好的新思路和方法。 在非完整系统的研究中，链式结构和系统具有重大的实际意义。一方面是 因为链式系统是一种结构最简单的非完整系统，另一方面是因为一般的非完整 系统在满足一定的条件下可通过状态变换和输入状态反馈精确或近似地转化为 链式系统，特别是大多数实际的非完整系统一般都可化为链式系统【l 】。文献 1 7 】 中指出绝大多数无漂移非完整系统通过恰当的坐标变换和输入变换，可以转化 为链式系统，并且针对两个控制输入的系统，给出了这种变换的条件。 目前，国内外关于非完整系统的研究仍主要集中在非完整力学以及对现有 的非完整系统的路径规划和控制算法上【4 】【5 】【6 】【7 1 ( 主要针对拖车系统) 【7 】。而基 于现有的非完整系统理论，利用非完整约束的特殊属性，研究和开发新型的机 械系统还很少见。 多关节机械手是一种严重非线性、高度耦合的复杂动力学系统，有着常规 机器人所不具有的的特殊性质( 比如能进入窄小的空间进行工作，并能避开障 碍) ，在各行业中有着广泛的应用。但在对多关节机械手臂的研究中碰到了很 多困难，其中最重要的就是手臂的重量问题，而重量问题中的瓶颈就是驱动单 元问题。现在驱动的主体还是电机，在传统的多关节机械手臂的设计中，都是 把电机固定在关节上，以驱动手臂，如美国的尤尼梅特公司生产的p u m a 7 5 0 机 器人，法国生产的u 一8 0 机器人，还有斯坦福机器人( s c h e i n m a n ) 。然而对于一个 长而且较重的多关节机械手臂，再加上多个电机的重量，将极为笨重。并且由 武汉理工大学硕士学位论文 于运动惯性的加大，在运动规划中，由于过冲量的加大，必将造成控制器的设计复 杂。 为了解决驱动单元的重量问题，部分学者尝试将驱动器固定在机座上，利 用特殊的传动机构将能量传递到机械手臂的各个关节【l l 】【4 0 【4 1 1 ，典型的方法就是 腱驱动。腱驱动主要是由固定在机座上的驱动器通过腱来驱动手臂连杆。尽管 腱驱动具有重量轻和柔韧性好的优点，却使运动学关系复杂化。虽然每个腱只 与一个连杆相连，但驱动腱时可能会对多个关节产生力，这个因为在拉动腱 时，沿腱的整个长度上都作用有力，并且传递至对腱起支撑作用的零件上。这 中耦合作用是很难消除的。另外为了驱动一个腱，必须使用两个电机。这不仅 会加大成本，而且会使整个机构复杂化。如文献口i 】中，为了驱动一个八连杆的 多关节机械手臂，在机座上使用了1 6 个电机。 而对于非完整系统，由于约束方程不可积，因而具有可少于位形空间维数 的输入，来控制系统，而且全局可控的。我们将利用这一属性，研究实现仅仅 在机座上使用两个电机来驱动机械手臂。 1 3 非完整理论的基础概念 非完整力学中的基本概念有：约束、广义坐标、准坐标、虚位移、交换关 系等。这些概念是非完整力学的基础。 1 3 1 约束 约束：研究一质点系相对于某个惯性坐标系的运动时，在系统的点的位置 和速度上事先加上一些几何的或运动学特性的限制。 考虑包含个质点的离散力学系统，第f 个质点的笛卡尔坐标为t ，y ，毛。 系统的运动受到如下约束： n ( 如量，+ 岁，+ c 卢j ，) + 巩 l _ 1 或乃 ，y ，z 。，量。，岁，2 ，r ) = o 0 卢= ( 1 ，g )( 1 1 ) ( 1 2 ) 如果约束可积，则称其为完整约束伙伴完整约束( l u r e ，1 9 6 1 ) 2 1 ，否 则，则称其为非完整约束。如果系统所受约束中至少有一个为不可积约束，则 称其系统为非完整系统。 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 2 广义坐标、广义速度、广义加速度 广义坐标：凡是能够确定系统位置的、适当选取的变量。广义坐标比笛卡 儿直角坐标意义更广泛，可以是距离、角度、曲面上的g a u s s 坐标、面积以及 别的量。 广义速度：广义坐标对时间的导数。 广义加速度：广义坐标对时间的两阶导数。 可将笛卡儿坐标表示为广义坐标和时间的函数。 t = t ( 吼，t ) ，以= y i ( q s , f ) ，2 ，= 刁( ，r ) j = ( 1 ， )( 1 3 ) 或 = t ( q s ，r ) 第i 个质点的速度为： h 童- i = 喜缸专 其加速度为： q = 喜矗坑+ 娄喜去玑乱+ z 喜嘉睾 因此，有l a g r a n g e 关系式 塑；盟：鱼 8 4s8 4 。8 q 。 旦旦：盟 d tc 3 q 。 和n i e l s e n 关系式 堕：2 盟 a 4 ：a q 。 如果用广义坐标和广义加速度来表示非完整约束，则方程( 1 1 ) 变为 n 舢口。，= 。三石讥qo q , = 0 ( 渊g ) ( 1 - 4 ) 帆。2 喜h 景+ 薏+ 鲁j m s ， + ，2 b + 喜卜。亳+ 纬，薏+ q ，象 其约束方程( 1 2 ) n z 变为 武汉理工大学硕士学位论文 厶( 吼，蟊，r ) = 0 ( 1 - 6 ) 1 3 3 准坐标、准速度、准加速度 准坐标：广义坐标的线性组合形式，设系统的位形由 个独立参数给定， 但在不少情况下，点的速度不是直接由广义坐标确定，而是它们的线性形式。 准速度：准坐标对时间的导数。 准加速度：准坐标对时间的二阶导数。 当力学系统受到形如( 1 6 ) 式的约束时，我们引入n 个准速度。 ，0 = 1 ，玎) 其中：。口= 厶( 吼，4 ，t ) = o 由此，前占各方程自动满足( 1 6 ) 。l l l 】e 1 习 考虑动力学函数f ( g ，蟊t ) ，令 f ( q s ，国。，f ) = r ( q ，吼( g ，国，r ) ，t ) ( 1 - 7 ) 且有署= 荟瓦o f 面i 弛l k 对广义速度的偏导数和对准速度的偏导数有如下关系【1 3 1 【1 4 】： 三：竞婺昙( 1 - 8 ) 8 。惩8 s 勰。 我们引入准坐标以的偏导数 要：囊婺要( 1 - 9 ) a 筇s 铝8 sa q k 且有： 矿彘 l = 一 a 国sa 艽。 其中，代表t 表示为口和国的函数。 引入如下准速度b ：b = b ( q k ，峨，如，t ) 反解出晓= 西。( 吼，q ，矗，)( 1 1 0 ) 考虑动力学函数s = f ( q k , ( 0 。，喀，t ) ，令 s ”( 吼，q ，e ，r ) = ( 吼，q ，以( 吼，峨，& ，f ) ，t ) 可得：篆= 骞署警 m 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 4 虚位移 虚位移：在某一固定时刻，在一定位置上为约束所允许的假想无限小位 移。 约束 1 8 】对位移j 吼的限制为a p p e l l c h e t a e v 条件【】1 】1 习 喜甏札= 。 上式对线性非完整约束自动满足。速度空间中虚位移艿玑满足以下条件2 巧】 喜甏地= 。( 1 - 1 3 ) 利用d a l e m b e r t l a g r a n g e 原理和条件( 1 - 1 2 ) 或利用j o u r d a i n 原理和条 件( 1 - 1 3 ) ，可求得非完整力学的运动方程。 1 4 本文的主要研究工作 本课题将尝试以一种非完整的圆盘运动分解机构为机械关节的传动机构， 首先完成运动分解机构的运动特性分析，并设计机械手，最后在p r o e 中对机械 手的运动进行模拟。 在研究工作中，主要的工作是： 第一、用摩擦圆盘传动机构构成了机械手，且完成了链式变换。并不是所 有的非完整系统都是可控的，现阶段只是对链式结构和系统的可控性研究比较 透彻。本课题也是以链式系统为基础的，必须要使设计的非完整机械手的运动 方程能够进行链式变换。 第二、完成了机械手的设计。在a u t o c a d 中完成了各部分的零件图和机械 手的装配图。 第三、在p r o e 中完成了机械手的3 d 模型的建立。 第四、用m e c h a n i s m 完成了机械手的运动模拟。 1 5 本课题研究的目的和意义 目的：利用非完整系统可用少于位形空间维数的输入数来控制系统且是全 局可控的特点，来设计机械手，研究实现仅仅在机座上使用两个电机来驱动机 械手臂，为解决多关节机械手的驱动单元提供一种新的思路。并在p r o e 中的建 武汉理工大学硕士学位论文 立机械后的3 d 模型，为路径规划和控制算法的验证提供试验平台。 意义： 1 、拓宽非完整系统的研究思路。目前对非完整系统的研究仍主要集中在非 完整力学以及针对拖车系统地的路径规划和控制算法上，对非完整机械系统的 研究还很少。 2 、尝试解决多关节机械手的驱动单元问题，提供了一种新的思路。 3 、利用p r o e 对机械手的设计进行验证。符合现在机械行业发展的趋势。 武汉理工大学硕士学位论文 第二章非完整机械手的设计 2 1 摩擦圆盘机构 2 1 1 摩擦圆盘机构的结构形式 摩擦圆盘机构的结构如图1 所示。 其中的圆盘和架子都可绕轴i 旋转，在 轮架的支撑下各轮子可绕轴i i 旋转，同 时轮子也绕自身的转动轴i i i 转动。整个 系统除了轮子和圆盘接触点处有滚动摩 擦外，其他各运动副的摩擦忽略不计。 在图1 所示的运动传递机构中， 当某个轮子有自身转动( 即绕轴i i i 转动) 时，在滚动摩擦的作用下，通过圆 盘的转动就将带动另一个轮子的自身转动，且自身转动之间的转动比关系显然 与架子和轮架的转动有关。另一方面，当圆盘有转动时，在滚动摩擦作用下， 将带动各轮子的自身转动，圆盘与各轮子的转动比关系也受控于架子和轮架的 转动。因此，这种摩擦圆盘运动分解合成机构既能以圆盘的转动为主动运动， 也可以轮子的自身转动为主动运动，即可实现转动运动的可逆传递，并且在架 子和轮架的转动控制下，这种可逆运动传递关系是可改变的。 2 1 2 摩擦圆盘机构的运动模型 非完整传动机构是利用非完整约束传递动 力的装置，其运动关系如图l 所示。它是由一 个具有二维转动空间( 。矽) 的半径为r 。的 输入小摩擦圆盘和一个只在。方向上转动的 分度圆半径为r 。输出摩擦圆盘组成，当输入 小摩擦圆盘在。方向以角速度甜。转动的同 时还在目方向以一定的角速度分转动，由于摩 擦力的作用带动输出摩擦圆盘以角速度甜。，在 石的方向上转动。由图2 可得非完整传动机构的运动学关系为 武汉理工大学硕士学位论文 r 。，t hc o s o = 口，“ 设m 。= x 、。= y 、z = 0 ，则： ( r 。c o s z ) x p y = o 2 1 3 机构的非完整性 一般的，如果系统的约束方程可以表示为： a ( x ，y ，z ) 出4 - a ( x ，y ，z ) d y4 - c ( x ，y ，z ) 出= 0 如果( 2 3 ) 可积，则系统为完整系统，否则为非完整系统。 可积，且结果为：0 ，y ，z ) = 名( 五为常数) 则当：譬o 时，有结果知：x ：x ( 弘z ) m 则d x ：竺咖+ a x d z ( 2 一1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 假设( 2 - 3 ) 式 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 比较( 2 - 3 ) 和( 2 - 5 ) 式，可得 f 鱼：一鱼：只 2r a 1 ( 2 - 6 ) l 妻：一导：q j 叫 因为罢兰：芒兰，由( 2 6 ) 式可得 c v d 2d 2 c v 罢+ 票g = 詈+ 詈只 浯， 将( 2 - 6 ) 式代入( 2 - 7 ) ，并整理得 爿c 雾一署，+ 曰c 鼍一参+ c c 罢一等，= 。 c z 方程( 2 8 ) 为方程( 2 3 ) 可积的充分必要条件。 考察方程( 2 2 ) ，设彳= r 。c o s 2 、曰= p 、c = o ，方程可变为( 2 3 ) 式，将爿，b ，c ，x ，y ，z 代入( 2 8 ) 式，可得： 一p 如s i n 0 5 0 ( 2 9 ) 由此可知：方程( 9 ) 成立是方程( 1 ) 可积的必要条件。即 口尼丌( 七= 0 , 1 ，埘) ，所以( 1 ) 式所表示的运动系统为为非完整系统的条件为 0 k z r ( k = 0 , 1 ，z 1 。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 4 机构的本质 由上面的分析知：该非完整机构的最大工作空间为( 一三，+ 三) ，且传动 机构为非完整传动机构。 另钋( 1 ) 式可变为岱。：r * c o s 9 国。，因此我们可以认为非完整传动机构 p 实质上就是一种变传动比为墨生! ! 翌的变速机构。 p 2 2 机械手的原理设计 由于非完整系统的位姿空间的维数高于系统的自由度数，可以用较少的输 入来控制系统的多个位姿量【3 5 1 。设计机械手的目的是验证能否用布置在机座上 的两个电机驱动一个四关节机械手。故在设计之初就决定了机械手的运动方程 形式要能进行基于三角形模型的链式变换。 ( 有关三角形模型的介绍，见后面 相关章节) 基于图l 所示的非完整传动机构，结合三角形模型的要求，我们设计了如 图2 3 所示的机械手。 n o ：o ”bf 。j 自bd q一、一、广- 、 i 】。4 ，i1 t _ 弋_ | ! r _ _ 弋。1 i 卜_ 广_ 卜。 o _ 一卅l、0 r 几广一 r 广 一 n n 十广_ l 、凸、rj 阼剥 ；# j 2 ；# ie 二二二圳 ：三=j 了3 、苎ei 计甘可ij i f i 、l ，哩毒r 己主奎游爿圭圭警f j ，。f 一 1 r 1 广产_ 广_ 7 _ _ r _ 一一o c f a b 图2 3 机械手的结构简图 m o t o r a 、m o t o r b 分别为电动机a 和b ；b 分别为大摩擦圆盘、a 为小摩擦 圆盘；b 与圆锥齿轮c 及齿轮d 固接；d 通过齿轮e 带动下一关节转动，而c 通过圆锥齿轮f 带动小摩擦圆盘a ，作为下一关节的输入。当第f 个关节的大摩 擦圆盘以叫：) 转动时，会使小摩擦圆盘a 以角速度州川转动，同时使齿轮e 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 驱动下一关节i + 1 转过的角度o g 而在c o + n 、o i “的共同作用下，大摩擦圆 盘b 会产生角速度为。的输出。 第一个关节是由m o t o r b ( 控制量u ，) 单独驱动，其余关节的驱动关系如上 所述，由m o t o r a ( 控制量u ) 驱动，逐级传动。 在以上原理图的基础上，完成了机械手的设计。下图为装配图，具体图纸 见附录。 一、了、，、一i 、 _ _ r 套：? rp 1 、j i ，1 j 、 = ： 唧啊卜筵蓼圄基卜十垣匐卜+ 。手 ，三? r j ，一j 、上一? ? 图2 4 机械手的装配图 2 3 机械手的运动分析 分析机械手的运动学关系： o j + 1 = k 1 0 9 。( ，) ( 2 1 0 ) k 1 为圆锥齿轮c 与f 间的传动比。 c o i n ( ) = k ：o , o 州，) ( 2 11 ) k 2 为齿轮d 与e 间的传动比。 同时，由传动机构的运动学方程( 2 1 ) 可得 武汉理工大学硕士学位论文 r o j m c o s 0 , = p 0 9 。 综合( 2 - 1 0 ) ( 2 11 ) ( 2 1 2 ) 三式可得： 扩万r c 吣= 珥i - il ( 岛万rc 。s q 户。 儿卜旷七弘i - 2 挚叫 - l 、， 又有 f = “， c o i n ( i ) 2 u 2 ( o o u t ( 1 ) ：警。0 1 d f o o 州) = k p u 2 n c o s o j f _ l ”1 ( i _ 2 n ) ，_ l 一。， 谚= 吒“：兀c o s o j 舯畛。 1 另外：r o i ：- - r k 2c 。s 只一( i ：2 n ) b lp 1 、7 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 可积分，得：只= 丢k 2 s i n e 一。+ cc 为常数。( 2 一1 6 ) 2 4 机械手模型的链式变换 2 4 1 基于三角形模型的链式变换 在非完整控制系统的研究中，链式系统具有重要的意义。这一方面是因为 链式系统是一种结构最简单的非完整系统，单链系统是一种2 个输入n 个输出的 可控系统，2 个以上输入的为多链系统；另一方面是因为一般的非完整系统在 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 满足一定的条件下可通过状态变换和输入状态反馈精确或近似地转化为链式系 统，特别是大多数实际的非完整系统一般都可以化为链式系统。 在具有如( 9 ) 式所示为一般单链系统的表达式 将一个动态的模型变换成链式形式是困难的。在研究链式变换时我们先对 一种特殊的形式进行链式变换。结果证明能表示成三角形结构的全部系统都具 可变换性。三角形结构的系统定义如( 2 1 8 ) x l = x 2 = u 2( i = 3 , 4 ，5 ， ) x f = z ( x f 1 ) “1 这有： 出， x ，三，x 。】7 虚， z ( x 。) 三【，o 。) ，l ( x 。) 】7 ，( ) 是连续函数。假定在x = p 我们有 掣f 一 ，甩 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) 那么我们就可以在x = p 的邻近地区式( 2 - - 1 8 ) 可以同等变换为( 2 2 0 ) 链式形式 71)疗1 j = ( 地一 一 = = ： ，屯=。 = 武汉理工大学硕士学位论文 z 。= h 。( x 。) 铲红( t ) 竺掣“一) f _ 2 ，刀一1 ( 2 _ 2 0 ) 一 d 堑一一 a e f 毛= 啊( 一) = x 1 v 1 = “1 ，：掣堕胁：掣。： v ，= 一 i x lw 1 + 一“， o x l 一出， h ( x 。) 是连续函数，且满足 掣 在论文中我们取九= x 。来得到最简方程式。 以上我们说明具有三角形式的系统可以转变为链式系统。 驼4 2 机械手的链式变换 令驴= 印州。) = k p 兀c o s o - ，- 卢2 则：参= 笠k pi l c 生o s o j 再取：驴= 南= 。 q = 膏2 = 一2 b l = x 。 账扣等志。，b k 川- 3 ，4 ，5 n ) ，虹) 2 i k q 赢1 ( i = 3 ，4 ，5 n ) 由三角形模型链式变换的条件知： 1 4 ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 武汉理t 大学硕士学位论文 皇! 壁型：生 ! 墅塾o ( i - 3 ，4 ，5 n ) ( 2 2 5 ) o x i _ ，k v n nc 。8 。c o s 2 x i _ 1 即： o i ( 一i 7 ，o ) u ( o ，三) 时，该系统为链式系统。 ( i 2 ，3 ，4 n ) 毛= v 1 = ( 2 2 6 ) 丢( 毛洲嚣等揣+ 等潴箍 赤 + i ! 垫刍垡! ! ! ：刍1 2 。一4 s i n 0 4 ( s i n 2 幺+ 2 ) 、，1 。2 s i n 2 只+ 1 l c o s 5 只c o s 3 岛c o s 0 2c o s 5 幺c o s o jc o s 0 3 c o s 0 4c o s 4 只c o s # 3 丽s i n 0 4 南 毛h = ( 岛锁咖州s i n o ss 岛i n 。0 而4 + 端 v l 铲掣- = k l 钉焘 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 第三章机械手运动模型的建立 3 1 虚拟设计技术的内涵及现状 3 1 1 虚拟设计的主要特征与关键技术 虚拟设计是以“虚拟现实”( v i r t u a lr e a l i t y ) 技术为基础，它是以机械产品 为对象的设计手段虚拟现实技术，是基于自然方式的人机交互系统利用计算机 生成一个虚拟环境，并通过多种传感设备，使用户有身临其境的感觉。本质上 讲，虚拟设计是将产品从概念设计到投人使用的全过程( 产品创生命周期) 在计算 机上构造的虚拟环境中虚拟，不仅进行模拟和可视化，而是对产品的性能，行为 和功能以及在产品实现的各个阶段中的实施方案进行预测、评价和优化。它是 产品设计开发的测试床。象真实的产品生产过程样。虚拟设计技术包括：工程 分析、虚拟制样、网络化协同设计、虚拟装配及设计参数的交互式可视化等。 虚拟设计的主要特征可概括如下【3 8 】： ( 1 ) 沉浸性：集成三维图像、声音等多媒体的现代设计方法，用户能身临其境 地感受产品的设计过程和性能，从仿真的旁观者成为虚拟环境的组成部分。 ( 2 ) 简便性：自然的人机交互方式，所见即所得，用逼真的临场感，支持不同 的用户背景，支持并行工程，丰富设计理念，提供设计新方法和激发设计灵 感。 ( 3 ) 多信息通道：用户感受视觉、听觉、触觉和嗅觉等多种信息，发挥人的多 种潜能，增加设计的成功率。 ( 4 ) 多交互手段：摆脱传统的鼠标键盘输入方式。运用多种交互手段( 数据手 套、声音命令等) ，支持更多的设计行为( 建模、仿真、评估、预测等) 。 ( 5 ) 实时性：实时的参与、交互和显示，把人在c a d 环境下的活动提升到人 机融为一体的积极参与的主动活动，构成融入性的智能化开发系统。 而实现虚拟设计的关键技术有以下几种： ( 1 ) 全息产品的建模理论与方法。 ( 2 ) 基于知识的设计。包括设计知识的获取、表达与应用。设计信息和知识 的合理流向、转换；设计知识的融合、管理与共享；从设计过程数据中挖掘设 计知识。 武汉理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 设计过程的规划、集成与优化。包括设计活动的预规划和实时动态规 划、设计活动的并行运作以及设计过程冲突管理与协商处理。 ( 4 ) 虚拟环境中的人机工程学。 ( 5 ) 虚拟环境与设计过程互连。 ( 6 ) 产生虚拟环境的工具集。包括一般所需要的软件支撑系统以及能接受各 种高性能传感器信息。能生成立体的显示图形；能调用和互连各种数据库和c a d 软件的各种系统。 3 1 2 虚拟设计的现状及应用前景 目前，虚拟现实和虚拟设计无论从理论上还是从应用上都不很成熟【3 9 】，然 而现代设计方法的发展和目前c a d 技术的应用现状都对虚拟设计方法提出了很 高的要求，因此对虚拟设计( 包括制造、装配) 方法展开深入、细致的研究就很有 意义了。 虚拟设计方法产生的背景之一在于目前的c a d 软件已远远不能适应现阶段 的需要。从整体上说，目前的c a d 软件离理论要求相去甚远，基本上只能算 “电子图板”，而在设计方面功能甚弱。而虚拟设计技术在实现时则可考虑到 受力、变形分析或与其他应用软件的集成，因此其辅助设计功能大大增强，更 有利于计算机辅助设计制造装配的集成。此外，虚拟设计方法可充分利用网络 功能，实现分布式并行设计，对我国国有大中型机械企业的“以资金为纽带的 跨地域分布的格局尤为适合。虚拟设计方法与传统c a d 方法相比有很多本质 区别，这一点是不言而喻的。然而，如果只看到这一点，是不利于虚拟设计技 术的推广和应用的。相反，在现阶段，考虑对虚拟设计方法的实现时，尤应考 虑到虚拟设计技术是从c a d 技术脱胎而来的，两者是有很大相容之处的。惟如 此，才能充分利用各企业在应用c a d 技术方面所作出的成果和实现以往大量价 值的经验和数据( 包括用c a d 软件绘制的图纸) 的复用，才能使企业接受和学习 虚拟设计这一先进技术，对虚拟设计技术尽快投入企业的实际应用产生积极影 响。 虚拟原型可视化并取代物理原型。例如1 9 9 1 年美国n a s a 建立航天飞机数 字模型与虚拟风洞用以观察飞机流线分布，验证飞机外形设计合理性。沉浸 式设计环境”：虚拟环境与设计互连。通过建立三维数字模型，设计者使用虚拟 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 现实装备在虚拟环境中直接指导操纵模型。虚拟装配：可以实时碰撞检测、零件 穿透预防和装配件的三维公差评估。 3 2 虚拟设计中机械系统的结构描述 3 2 1 机械系统的拓扑结构图与编号规则 构成机械系统的构件间的链接形式各不相同，使得机械系统的结构十分复 杂。但无论多么复杂的机械系统，在物理上都是由或多或少的零部件组成的， 不同零部件间又是通过这样或那样的铰链链接在一起的。如果我们暂时不考虑 机械系统中零部件的具体形状，则可以用固连在其上的一个坐标系完全代表这 个零件或部件，我们不妨称其为“构件坐标系”；如果我们不考虑各种铰链的具 体结构形式，则可以用与各种铰链所起到的对零部件的约束作用相同的“约 束”来表示。因此可将任何一个机械系统抽象化为一系列构件坐标系和一系列 约束的特定组合。进一步，如果将机械系统中的各个构件坐标系用顶点来表 示，约束用连接两个构件坐标系的带方向的线段来表示，则可将机械系统的结 a 非树型结构b 树型结构 图3 1 机械系统的拓扑结构 构关系用一个拓扑结构“系统图”来表示。如图3 1 所示。 在机械系统的拓扑结构图中，顶点对应于机械系统中的构件，边( 或弧) 代表 着系统中构件之间的约束关系，这样由边( 或弧) 将顶点依次联结即构成了机械系 统的图结构。当系统中任意2 个顶点之间只有唯一的通路存在时，称该系统为 1 b 武汉理_ 丁大学硕士学位论文 树型系统，如图3 1 b 。反之，称带有封闭回路的系统为非树型系统，如图 3 1 a 。树型系统中的构件( 顶点) 数目与铰( 弧或边) 数目相等，非树型系统中的铰 ( 弧或边) 数目多于构件( 顶点) 数目。 在实际的机械系统中，树型结构比非树型结构要少得多，但由于对于任何 非树型结构的系统都可以通过暂时去除适当的约束而缩减为树型结构，在求出 树型结构系统的动力学方程后，将被去除约束的约束方程重新引入，就可得到 非树型结构系统的动力学方程。因此首先讨论建立树型结构系统的动力学方程 的方法，然后再简述非树型系统的动力学问题。 3 2 2 机械系统中构件、约束类型及其描述方法 在机械系统动力学计算中，每个构件不但涉及到构件的位置，还包括质心 位置、惯量参考系的位置和方向、所受约束的位置和方向、受力点的位置和受 力的方向等信息【4 踟。因此，一般对于构件至少应包含如下坐标系： 1 ) 代表构件的构件坐标系； 2 ) 代表构件质心位置的质心坐标系； 3 ) 代表构件惯量参考坐标系的位置和方向的惯心坐标系： 4 ) 代表构件所受约束的位置和方向的约束坐标系： 5 ) 代表构件受力点的坐标系。 对于每个约束而言，都有两个约束坐标系，这两个坐标系的初始位置完全 重合但分别属于不同的构件。 3 2 3 机械系统中相邻接两构件的描述 1 9 武汉理1 = 大学硕士学位论文 图3 构件的连接关系 为了便于表述，设p i ，p j 为机械系统中的相邻接两构件( p i 的编号大于p j 的 编号) ，c i 为链接这两个构件的铰链：，r j 分别为代表p i ，p j 的构件坐标系， m i ，m j 分别为p i ，p j 的质心；i i ，u 分别为铰c i 的i 坐标系和j 坐标系；g 为惯 性参考系( 编号为0 的构件) ：s i ，s j 分别为表示，r j 在g 中的方位的坐标变换 矩阵，s o i ，s o j 分别为表示m i ，m j 在g 中的方位的坐标变换矩阵，s i m 为表示 m i 在p i 中的方位的坐标变换矩阵，s j m 为表示m j 在p j 中的方位的坐标变换 矩阵，c i i 为表示i i 在p i 中的方位的坐标变换矩阵，c i j 为表示i j 在p j 中的方 位的坐标变换矩阵，c s i 为表示i i 在1 j 中的方位的坐标变换矩阵；p i o ，p j o 分别 为砌，砌在g 中的位置矢量，p 。、p i 分别为m i ，m j 在g 中的位置矢量，矢量s ， 为铰链c i 的约束位移，矢量r i 为构件p i 的质心m i 在r i 中的位置，矢量r ? 、 f 坝0 分别为铰链c i 的两个约束坐标系i i 和i j 分别在构件坐标系r er i 中的位 置；，为p i 的角速度，珊，为p j 的角速度，0 3 。为i i 和i j 之间的相对角速度。它 们之间的相互关系如图3 2 所示。 由此不难得出如下形式的递推公式： s o j = s 1 s f m = s j c i j c s i c i i s i m = 孓，c i j c s i c i l 7 s i m p ，2p ，0 + r t = p o + f ? + s 。一t ；+ r t 掰，= j + 甜， ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 武汉理工大学硕士学位论文 3 2 4 坐标变换方法 机械手每个关节的运动都可用各自的关节坐标( 动坐标系) 来描述，也可以同 时用相对于一个固定的惯性坐标( 惯性坐标系) 来描述。从描述机械手的运动角度 上来考虑，每个关节都用动坐标系来度量其运动比较直观，但在分析机器人运 动学特征时需要用到惯性坐标系描述。因此，必须讨论不同坐标系中点的坐标 变换方法。 1 、齐次坐标 齐次坐标是用”+ 1 维坐标描述n 维空间中的位置。引入齐次坐标，不仅对 坐标变换的数学表达带来方便，而且也具有坐标值伸缩的实际意义。 假设三维空间任一点在直角坐标系铆z 的坐标为kj ，z f ，如果对应的 齐次坐标为b 。x ：工。】7 ，则存在下述关系： x ：量 x d _ y = 兰( 3 - 4 ) z ：量 x 4 其中x 。称为比例坐标，是一个不等于零的实数，通常取值为l 。 2 、坐标平移 以二维情况为例，坐标平移可用图3 - 3 来表示，坐标系o , x 。_ y 是原坐标系 o x y 分别沿x 和y 轴分别平移a 和b 。 y jiy i e 1 刁“：” b 0 1x 1 0 z oax 图3 , 3 平移的坐标变换 武汉理工大学硕士学位论文 为方便起见，称。砂为坐标系。，称d l x ，m 为坐标系一。设p 点在 动坐标系。中的位置为k y 。r ，通过平移变换，在动坐标中p 点的齐 次坐标可以用在惯性坐标系。中的齐次坐标来表示。很显然，p 点在动坐标 系的齐次坐标为i x 。y 。l r 。，如果p 点在惯性坐标系。的齐次坐标为 b 。y 。1 rj ，则存在如下关系式 川矧 ll 1j 萃 = ii ；1 r ； = 。只 ； ( 3 - 5 ) ( 3 6 ) 其中o e 为动坐标罗，对惯性坐标系y 。的平移变换矩阵。 完成平移变换的关键在于构成一个变换矩阵。只。对于二维情况，它是一个 3 ) 【3 维方阵，由一个2 x 2 维单位矩阵、动坐标系y 、原点位置对惯性坐标系 y 。的列矢量及满足齐次坐标表达而增加的一个行矢l o 0 1 l 组成。对于三维 情况，o 只是一个4 x 4 维方阵。把二维情况推广到三维的场合，当动坐标系罗 在惯性坐标系y 。的平面沿x 轴、y 轴和z 轴分别平移a 、b 和0 ，可得这时的 平移变换矩阵。只为 x o y o 2