（金融学专业论文）聚合及分离金融衍生产品的定价问题及其波动率微笑.pdf

摘要 摘要 全球经济不断变化，可以说是一个在动念中寻求区域平衡的过程。在这一 过程中一些区域的经济趋向于联合，一些则趋向于分离，相应的，这些区域经 济的货币也有改变的趋势。比如，在2 0 0 8 年的金融经济危机中，英镑和欧元趋 向于等值，英国的一些领导人丌始谈论加入欧元区的好处；另一方面，香港以 及一些阿拉伯国家的货币是与美元挂钩的，每到经济危机的时候，这些区域的 货币就面临着和美元脱节的问题。 我们将这两种现象分别称为聚合和分离。这些现象对于会融衍生产品的定 价，尤其是对一些奇异产品的定价是有很大影响的。 第一章，我们会具体介绍聚合及分离现象的概念及其产生的可能情况。 第二章，我们将会分析这些现象对汇率动念方程及金融衍生产品定价的影 响，并且提供一种较为简单的方法，通过引入一个跳跃过程，将聚合或者分离 情况加入了原有的一些奇异期权的定价过程中，和扩散过程一起来描述这种聚 合或分离现象，使得我们可以利用一些期权的价值组合得到新的定价公式，建 立新的模型，对受聚合和分离影响的金融产品重新定价。 第三章，我们会建立数值模型，分析比较模型的波动率微笑及市场波动率 微笑，尤其是将波动率分成聚合和不聚合两部分分别讨论，并分析当波动率是 出人们对聚合及分离的预期引起的，而不单纯是由随机过程产生时的情况，从 而验证理论模型的正确性和合理性。 关键词：聚合及分离波动率微笑聚合概率相关系数 a b s t r a c t a b s t r a c t n ew o r l de c o n o m yi sc o n s t a n t l yc h a n g i n gn o w i ti sad y n a m i cp r o c e s st h a t s e e k sl o c a le q u i l i b r i u m i nt h i sp r o c e s s ，s o m ee c o n o m i e st e n dt oc o m b i n e ，s o m et e n d t o b r e a k ，w h i c hi si n e v i t a b l e a c c o r d i n g l y , t h ec u r r e n c i e so ft h e s er e g i o n a l e c o n o m i e st r e n dt oc h a n g e f o re x a m p l e ，g b pm a yj o i ne u r ，a n ds o m ec o u n t r i e s m a yd e p e gt h e i rc u r r e n c i e st ou s d ，s u c ha sh k e v e r yt i m et h ee c o n o m i cc r i s i s h a p p e n ，t h e s er e g i o n sa r ef a c e dt h es t r e s st od e p e gt h e i rc u r r e n c i e st ou s d w ec a l lt h e s ep h e n o m e n ac o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c e t h e s ep h e n o m e n a a f f e c tt h ef i n a n c i a lp r o d u c t sv e r ym u c h s op r i c i n gf i n a n c i a lp r o d u c t st a k i n gi n t o a c c o u n tt h e s ep h e n o m e n ai sa l w a y sr e l e v a n ta n di m p o r t a n t ，e s p e c i a l l yf o rs o m e e x o t i cd e r i v a t i v ep r o d u c t s i nc h a p t e rl ，w ew i l li n t r o d u c et h ep h e n o m e n ae x a c t l y i nc h a p t e r2 ，w ew i l li l l u s t r a t et h ee f f e c to nt h ef xr a t ed y n a m i ce q u a t i o na n d t h ep r i c i n go ff i n a n c i a ld e r i v a t i v ep r o d u c t sc a u s e db yt h e s ep h e n o m e n aa n dw i l lf i n d an e wm e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m w ew i l lu s eaj u m pp r o c e s sa n dad e r i v a t i v e p r o c e s st o g e t h e rt od e s c r i b et h ep h e n o m e n a a n dt h r o u g ht h i sm e t h o dw ec a ng e tt h e n e w p r i c i n gf o r m u l aw i t ht h ee x i s t e n tv a l u e so fs o m ee x o t i cp r o d u c t sa n dp r i c et h e f i n a n c i a lp r o d u c t sa g a i n a n dt h e n ，i nc h a p t e r3w ew i l lu s ean u m e r i c a lm o d e lt oa n a l y z et h ev o l a t i l i t y s m i l eo ft h em o d e la n dc o m p a r ew i t ht h em a r k e tv o l a t i l i t ys m i l e w ew i l ls e p a r a t e t h ev o l a t i l i t yi n t ot w op a a s - - - - c o n v e r g e n c ep a r ta n dn o nc o n v e r g e n c ep a r tt o i l l u s t r a t et h ev o l a t i l i t yc a u s e db yp e o p l e sa n t i c i p a t i o n b yt h i sm e t h o d ，w ec a n v a l i d a t eo u rt h e o r e t i c a lm o d e l k e yw o r d s ：c o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c e ，v o l a t i l i t ys m i l e ，c o n v e r g e n c ep r o b a b i l i t y ， c o r r e l a t i o n i i 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经公开发表过的研究成果。与我一同工作的同志对本 研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 作者签名： 年月日 第l 章绪论一聚合及分离现象及其影响 第1 章绪论一聚合及分离现象及其影响 1 1 引言一聚合及分离现象 全球经济不断变化，是一个不断寻找区域经济平衡的动态过程。在这一过 程中，一些区域的经济趋向于结合，一些则趋向于分离。伴随这些区域经济的 变化，它们的货币体系或汇率制度也会发生相应的改变。比如，2 0 0 7 年1 月1 闩，斯洛文尼亚加入欧元区，斯洛文尼贬丌始使用欧元；2 0 0 8 年1 月1 同，塞 浦路斯于零时与马耳他起加入了欧元区，开始使用欧元。类似的，一些东欧 国家也有可能加入欧元区。虽然这些国家的货币在世界金融领域中，重要性不 是特别大，而且通常不太会成为金融衍生产品的标的资产，但如果像英国这样 对全球经济影响较大的圉家加入欧元区，即英镑被欧元所取代，那么以英镑汇 率为标的资产的金融产晶就会受到很大的影响。另一方面，香港及一些阿拉伯 图家的货币是与美元挂钩的，每到经济危机的时候，这些区域的货币就面临着 和美元脱节的压力，因此，它们在未来某个时间，很可能由于巨大的压力，取 消与美元的挂钩。我们将这两种现象分别称为聚合和分离现象。 我们首先以英镑和港币这两种在金融衍生产品领域较为常用的货币为例， 具体分析二下聚合及分离现象发生的可能性。然后我们将具体讨论这种可能性 对一些衍生产品的定价所发生的影响。 以英镑为例来讨论聚合现象，早在19 9 7 年】o 月，时任英国财政大臣的布 朗便宣布了英国引入欧洲统一货币的5 项经济评估标准，即：英国与欧元区经 济稳步趋同、欧元区具有应付经济变化的足够灵活性、英国的海外投资不受影 响、有利于英国会融服务业的发展以及有助于促进经济增长和增加就业等。当 时看来，这五条严格的标准使得英国很难加入欧元区，但，目前来看，却已经 不会构成英国加入欧元区的最大障碍。 自从去年丌始的盒融危机以来，英镑大幅贬值，甚至一度趋向于等值，为 此，英国的一些领导人一直在谈论英酗加入欧元区的好处。2 0 0 8 年1 1 月前， 欧元对英镑的汇率一直徘徊在l ：0 8 左右，且大多数时矧低于该值，显有超过， 但从金融危机爆发以来，欧元对英镑的汇率却路大幅上扬，使得英镑迅速贬 值，这引发了对英国加入欧元区的热烈讨论。一方面，英政府希望可以通过加 入欧元区，用低汇率、低利率的货币政策来刺激英国经济增长，尤其是应对目 前越来越严重的金融危机；另方面，他们又对加入欧元区有所顾虑。不加入 欧元区，英国可以保持独立的货币政策，尤其是面对金融危机时，它将拥有较 第l 章绪论一聚合及分离现象及其影响 为灵活的调控手段，可以通过自由调节货币政策来应对。更为重要的是，英国 的国际贸易公司大多使用海外货币结算，与欧元相比较，英镑的高利率和高汇 率，都有很大的优势，一旦加入欧元区，英镑的利率和汇率都要与欧元区统一， 这将使得英国百姓手中货币的含金量大为降低。但金融危机发生以来，英镑大 幅贬值，英镑的价值大幅缩水，这种损失显然已经减少了很多，这使得英国加 入欧元区的顾忌大为减少。 图1 1 给出了从2 0 0 8 年3 月1 5f 1 至2 0 0 9 年3 月1 5r 之间的欧元与英镑 问的汇率变化。 t 。 4 。1j ，4 2 0 9 0 ：h a y j u nj u l a u gs e p o c t n 9 q t o e 2 0 0 9 f e bm a r 图1 1 欧元( e u r ) 与英镑( g b p ) 间的汇率变化 注：幽中的纵轴为欧元j 英镑问的汇率( e u r g b p = x ) 。横轴为时问，时问段足从2 0 0 8 年3 月1 5 伞2 0 0 9 年3 月1 5i i ，最小为0 7 7 3 9 ( 2 0 0 8 1 0 6 ) ，最人为0 9 7 7 3 ( 2 0 0 8 1 2 3 0 ) 。数据由e x c h a n g e - r a t e s o r g 柏：2 0 0 9 年3 门1 5 | i 提供。 观察图1 1 可以看到，这十二个月的数据显示，欧元对英镑汇率 ( e u r g b p = x ) ，从2 0 0 8 年1 1 月前平均低于o 8 0 的水平，急速上升，并于1 2 月底，一度达到近0 9 8 ，接近于1 的水平，并且，随后一直保持在0 9 的较高 水平上。 英国商务大臣彼得曼德尔森表示，政府将加入欧元区作为长期目标是正 确的。虽然短期内英镑不会被欧元所取代，但分析人士普遍认为，从中长期前 景来看，英国加入欧元区是一种必然。欧元是欧洲一体化建设进程的重要标志， 2 第】章绪论一聚合及分离现象及其影响 英国如果想在未来的一体化欧洲中发挥更大的作用，并在欧盟重大问题上施加 影响，显然不能长期游离于欧洲一体化进程之外。因此，英国很有可能在某一 天加入欧元区，也就是说，在将来的某一天，会发生英镑与欧元的聚合现象。 与此同时，港币等一些与美元挂钩的货币，也存在着与美元分离的可能性， 尤其是在金融危机发生时，他们之间的联系会面临巨大的压力，分离的可能性 会更大。 以港币为例，香港1 9 8 3 年- 丌始实行联系汇率制度，将港币和美元的汇率固 定于7 8 ：1 的水平，政府设立一个外汇基会；有发行本币现钞资格的银行须按 该固定汇率在外汇基金存入1 0 0 的外汇储备，换取无息的“负债证明书”，作为 发行港币的依据：其他持牌银行向发钞银行取得港币时，也要以百分之百的美 元向发钞银行进行兑换。这样，港币与美元的汇率就联系起来了。 联系汇率制度建立之初，香港经济与美国经济联系紧密，将居民对港元的 信心建立在对美元的信心的基础上，这种制度安排使得汇率制度的经济基础与 信心基础相统，有利于减少冈投机而引起的汇率波动，减少经济活动中的不 确定性，使个人、企业、政府都有稳定的预期，进而更有利于稳定香港经济。 在8 0 年代中英谈判前后和9 0 年代香港回归过程中，联系汇率制度就起了积极 的稳定作用。f 嗵历史发展到今天，这种统一是否依然存在? 随着香港经济与中 国大陆经济的联系f 1 趋紧密，这种联系汇率制度是否需要改变? 尤其是每当金 融危机爆发时，港元面临巨大的压力，还能否始终保持与美元的紧密挂钩? 香港目前处于一个比较微妙的境地。香港与美国经济的联系程度总体呈下 降趋势，而与中国大陆经济的联系程度却在不断加深，其实体经济与中国大陆 经济的也联系越来越紧密，贸易投资一体化不断深化，香港的经济越来越依赖 于中国大陆经济。这种经济基础决定了港元应该与人民币一体化。虽然目前人 民币汇率制度仍需要进一步改革完善，人民币还没有实现完全可自由兑换，港 币不可能与不能自由兑换的人民币挂钩，但随着中国大陆的经济地位水涨船高， 内地企业寻求外部扩张的海外布局活动愈来愈频繁，企业对于人民币的需求， 推升人民币走向自由兑换。随着人民币逐步实现可自由兑换，原有的障碍被扫 清，港币有很大可能性与美元脱离转而与人民币挂钩。此外，从人民币汇率制 度改革以来，人民币升值，美元较之从前大幅贬值，美元霸主的地位受到动摇， 这也将加速港币与美元脱离的进程。 更为重要的是，每逢会融危机来临，港币与美元挂钩的联系汇率制度都会 面临重大挑战。1 9 9 8 年会融危机期l 日j ，港币承受了巨大的贬值压力。虽然香港 政府坚持了联系汇率制度，但香港经济也为此付出了很大代价，香港经历了严 重的通货紧缩，消费价格指数下跌，资产价格大幅缩水。此番面对自1 9 3 3 年以 第l 章绪论一聚合及分离现象及其影响 来最为严重的经济危机，港币面临脱离与美元挂钩的压力将是巨大的。 自2 0 0 8 年余融危机爆发以来，美元的走低致使港币的持续贬值，已经使香 港的通货膨胀率达到了十年来的高点，这也使香港金管局陷入了抑制通货膨胀 与保持联汇制度的稳定之问的两难抉择。在二者的权衡之中，通胀率很可能会 得到优先的关注，因为过高的通胀率将会很可能引发社会动荡，这显然是金管 局不愿也不能承受的后果。而这意味着港元联系汇率制度不可避免地需要进行 调整，迎来与人民币融合的升值之旅。 在香港经济与中国大陆联系只益紧密，人民币持续看涨、美元持续走弱的 背景下，港元的联系汇率机制势必要做出调整。 1 2 分离现象对汇率衍生产品定价的影响 虽然聚合及分离现象发生的频率不会很高，但一旦发生，那么对于以汇率 为标的资产的金融产品的定价必然产生极大的影响，尤其是在对一些新型期权 ( e x o t i co p t i o n ) 定价的时候。因为无论发生以上哪种现象，汇率都会发生完全 不同于一般随机过程的变化跳跃性变化，此时，从前的定价公式将不再适 用，由于此种变化产生的波动率也不同于以往的随机波动率。 以港币美元汇率为例，香港的联系汇率制度规定：港元和美元的汇率固定 于7 8 ：1 的水平，使市场汇率在预定官价的上下2 范围内浮动。在此制度下， 香港存在两个平行的外汇市场，即由外汇基会，发钞银行与其他持牌银行因发 钞关系而形成的公丌外汇市场和发钞银行与其他持牌银行因货币兑换而形成的 同业现钞外汇市场。而联系汇率制的运作，f 是利用银行在上述平行市场上的 竞争和套利活动进行的，也即政府通过对发钞银行的汇率控制，维持整个港元 体系对美元的联系汇率。但是，在香港的公开外汇市场上，港币的汇率却是自 由浮动的。无论是银行l 、只j 的同业市场( 批发市场) ，还是银行与公众间的现钞或 存款往来( 零售市场) ，港币汇率都是由市场的供求状况决定的。港币与美元之 间固定的联系汇率水平是在外汇市场上由汇率浮动实现的。联系汇率与市场汇 率、固定汇率与浮动汇率并存。相应地，存在官方固定汇率和市场汇率两种平 行的汇率。也就是说，这个汇率虽然表面上是固定在7 8 的水平上，实际上却 存在着一个流动性很好的期权市场，这意味着市场预期这个汇率是不稳定的。 而且，该期权市场还暗含了一个“波动率微笑”( “v o l a t i l i t ys m i l e ”) ，即在某一 给定的到期r ，具有相同标的资产、不同执行价格的欧式期权的波动率是不同 的。 4 第1 章绪论一聚合及分离现象及其影响 虽然人们通常使用b l a c k s c h o l e s 模型来解决欧式期权的定价和对冲( h e d g e ) 问题，但业界却通常采用随机波动率( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ) 模型或者局部波动率 ( 1 0 c a lv o l a t i l i t y ) 模型来为会融衍生产品定价，这主要是因为： 在b l a c k s c h o l e s 模型中，一个非常重要的假设前提是：期权标的资产价格 的动态演化过程遵循如下随机微分方程： a s , = t s t d t + a s t d w t ， ( 1 1 1 ) 其中，s 为标的资产在时刻f 的价格，和分别是漂移项和波动率，形 是标准布朗运动。最重要的是，b l a c k s c h o l e s 模型假设波动率在期权的存续期 间内是一个常数。如果标的资产s 为汇率的话，b l a c k s c h o l e s 模型假设汇率是 服从对数正态分布的扩散过程，并且其波动率是一个常数，因此，不能直接考 虑波动率微笑。 虽然b l a c k s c h o l e s 模型的假设不太合理，并不符合市场的实际情况，但仍然 可以用它来为一个常规的美元港币汇率期权进行定价。因为b l a c k s c h o l e s 模型 是通过在市场中获取期权的实际价格，通过公式反推出一个和期权价格相对应 的隐含波动性。对于一系列给定到期h ，拥有相同标的资产、不同执行价格的 期权，我们可以在市场中找到它们的实际价格，进而获得一组波动率数据，这 些找到的波动性按照不同的执行价格将呈现一种微笑形状。 但是在讨论港币对美元汇率的情况时，无论是b l a c k s c h o l e s 模型，局部波 动率模型，或者是随机波动率模型都有些牵强附会。因为港币对美元汇率在过 去很长的一段时i 日j 内( 1 9 8 3 年至今) 都没有变化，或者说没有较大的变化，而 且这种情况在短期内不会改变，仍然会继续下去，因此它并不是一个简单的随 机过程。更贴切的解释是：市场预期港币有一天会解除与美元的联系，也就是 说，港币对美元汇率有一天会跳跃而至分离这种跳跃性导致了该期权市场 及其波动率微笑的存在。 首先，如果波动率微笑主要是由分离的可能性引起的，那么有时候就不可 能通过调整随机波动率或局部波动率来契合校对市场，即和市场价格相一致； 其次，时间越久远，分离发生的可能性就越大。这样，不同时间的微笑就有了 一种相关性。目前的方法所找到的微笑不能反映出这种随着时间推移而增加的 分离的可能性。如果给一个多期汇率期权定价的话，这些考虑更加重要。 在聚合的情况下，也许并不明显，但一个能够反映聚合的模型可以更简单 的校对并且定价更准确。当我们为一个英镑利率期权定价的时候，我们不需要 考虑有一天英镑转换成欧元的可能性。然而，当我们为一个汇率衍生产品，比 如英镑欧元差价期权定价的时候，这种细节分析就是必要的了。 因此，不对这种聚合及分离关系进行细致的描述会带来很多问题。第一， 第1 章绪论聚合及分离现象及其影响 标的物的波动率微笑不容易得到描述；第二，更复杂的衍生产品不能得到正确 得定价，其风险不能准确得描述，从而不能得到有效的对冲。 6 第2 章理论模艰 2 1 引言 第2 章理论模型 给带聚合或分离现象的会融衍生产品定价，首先要考虑聚合或分离现象对 金融衍生产品价格的影响，但由于聚合和分离现象都是一次性行为，并不是经 常性发生的跳跃，因此不能简单的作为一般跳跃过程束描述，这一点，类似于 信用违约互换合约中的违约行为。 通常情况下，金融产品中标的资产出现跳跃情况，会用l e v y 过程来描述， 并且根据l e v y 过程的增量形式来选择l e v y 过程的具体形式维纳过程或者 是泊松过程，但吐 于聚合及分离现象发生的特殊性，我们不能用简单的l e v y 过程来刻画，因此本文提出将聚合和分离现象作为一个生灭过程来描述，把市 场对这些事件发生的可能性看成一个参数，称为聚合( 分离) 概率，其值由市 场价格束拟合，我们将在第三章对聚合及分离概率作具体的分析。虽然它的值 是不能直接观察到的，但这个更细致的模型，使得前面的问题可以得到解决。 并且我们将会在第三章看到，通过改变聚合( 分离) 概率这个参数，可以看到 它对衍生产品价格的影响。 为了简化问题，我们将只讨论聚合发生时的情况，分离情况的原理与聚合 类似。并且，我们将具体以欧元一英镑差价期权为例，具体讨论其定价公式， 并以此类推到其他金融产品。 2 2 差价期权的定价 2 2 1 汇率动态方程 为了讨论汇率的动态方程，我们假设有两种货币和两个市场：一种作为本 币和本币市场；另一种作为外币和外币市场。并且假设本币和外币的利率都遵 循一个因子的h e a t h j a r r o w m o r t o n ( h j m ) 动态模型。 f ( t ，t ) 为t 时刻看由t 到t 时间段的远期利率，b ( l 丁) 为t 时刻看到期同为 t 的零息债券的价格，则二者的基本关系为， b ( t 。丁1 ：p m ( 2 2 1 ) 由此，可以得到由0 到t 时刻的折现因子为， ( f ) ：p 山7 出。 ( 2 2 2 ) 则我们可以得到在p 中性测度下本币及外币债券利率的动态方程为， 第2 章理论模型 瓦d b a ( 西t , t ) = 和+ 吼r ) 聊， ( 2 2 3 ) 可d b s ( 而t , t ) = r ，r d t + c r ( t , t ) 町芦 ( 2 2 4 ) 其中，( ，t ) 是期限为t 的零息债券在t 时刻的均衡波动率；为瞬时点 利率，有，；= ( ，t ) ，在p 一中性测度下即为无风险收益率：d 彬a , p d 彬f p 均为 在p 一中性测度下的标准和朗运动；加入指数d 表示本币，f 表示外币。 下面我们来考虑汇率的动念方程，用s 来表示汇率，则根据汇率的定义， 我们有： 1 外币= s 本币。 ( 2 2 5 ) 如果我们假设瞬时点汇率s 是服从对数正念分柿的，我们可以将这个动态 方程写为： 拿：前+ f 彤蹦。 ( 2 。2 6 ) ) ， 其中，是漂移项，一是均衡波动率，a w , r 卢为p 一中性测度下的标准布 朗运动，现在我们要先确定汇率的漂移项。 首先，假设我们有一外币资产d ，并且在外币瞬时利率c ，处被资本化，则 有其简单的动念方程为， 鸳= f i s d t 。 ( 2 2 7 ) d ： 如果在t 时刻我们将资产d 变成用本币表示的资产x ，根据汇率的定义 ( 2 2 5 ) ，我们有， 置= s ， ( 2 2 8 ) 根据i t 0 公式，我们可以得到x 的动念方程为， 譬：( r + ) 出+ d 形哪， ( 2 2 9 ) f 根据无套利原理，我们知道每个用本币表示的可交易资产的漂移项都应该 是无风险收益率，我们有， ：r ? = 畦七：r 。 i e ， 堪= 蜉- r , f o忱2 1 0 ) 将公式( 2 2 1 0 ) 代入公式( 2 2 6 ) ，我们有， 拿：( 4 一| ，：，) a t + 一彬即。 ( 2 2 1 1 ) 也就是说，汇率也可以被看成是一种具有连续分红的本币资产。 上面所考虑的外币资产d ，其动态方程中只是简单的考虑漂移项，并没有 分析其波动率，现在我们将考虑稍微复杂一点的情况，外国资产d 为j 9 l 7 ( f ，t ) ； 8 第2 章理论模删 则将其变为用本币表示的资产x 时为b 7 ( f ，丁) s ，利用i t o 公式，并代入公式 ( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) ，我们可以得到资产x 的扩散方程： 譬= ( + 厂) 面+ 一j 彬酃+ 盯；( f ，t ) d w , 朋+ 矿仃；( f ，r ) d ( 是夕，形 卢) ， j， = r , a d t + 一d 形文口+ 盯；( f ，r ) ( 风，q s d t + d 彬，) ( 2 2 1 2 ) 这里风，代表汇率和本币债券的瞬时相关系数。 同样的，根据无套利原理，我们知道这个资产是用本币表示的，因此它的 漂移项应该等于，也就是说，在本币p 冲性测度下应有一个布朗运动d 彬d , ， 满足： d w , 似声= 风，o - ； d t + d 形7 ”。 ( 2 2 1 3 ) 我们将利用公式( 2 2 1 3 ) 中的这个联系，将外币中性测度转换成本币中性 测度，这一改变只是为了让定价过程更简便，并不会改变相关系数。 现在，我们将说明怎样在给定一个本币期限结构盯。( f ，t ) ，和外币的动态 方程的条件下，找到一个汇率的期限结构呱( f ，r ) ，让岜适合一切欧式汇率期权 的定价。 由于本币与外币利率之闯具有一定的相关性，而在折现因子中却没有，因 此我们将对本币及外币的动念方程做一点改变，将这种相关性表示出来，以便 能更好的分析他们之间的关系及方差， 而d b a ( t , t ) = r 比一( f ，t ) d w , 邶， b “( ，丁) ” 而dbf(t,t)：出一以(，t)dw,椰。b7 ( r ，7 1 ) 。一 公式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 可以变为： ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 这罩的改变并不会改变结果，因为d w 卢和d w , 7 都是随机数，既可以是正 数也可以是负数，因此在前面加入负号对结果没有影响，只是反映了一种相关 性。 根据无套利原则，我们定义：在t 时刻看到期同为t 的远期汇率f o ，丁) 为， 地丁) ：b 肌( t , n t ) s ， ( 2 2 1 6 ) 则，幽i t o 公式，并代入公式( 2 2 ii ) 、( 2 2 。1 5 ) 和( 2 2 。1 6 ) 我们可以得到 该远期汇率的动念方程为， 丽d f ( t , t ) = ( 华瑚妒蝴刀瑚灯州驯瘢， + 弧( ，) d 形即一以( ，t ) d w , 7 声+ 仃：( ，t ) d w , 4 ，p ( 2 2 1 7 ) 忽略漂移项不计，我们可以得到f ( t ，r ) 的瞬时方差为， 9 第2 章理论模刑 吩( f ，t ) = v s ( t ，乃+ 以o ，乃+ 以o ，乃 一2 c o v s , f ( t , t ) + 2 e o v s 一( f ，7 ) 一2 c o v d , ：( 厶7 ) = 啄2 0 ) + ( 乃) 2 + ( o ，刃) 2 一纨，c r s ( t ) o b ( t ，d 2 圳 + 2 侍。c r s ( t ) ( t ，乃 一2 忍r ( f ，d o ，力 其中，y ，以，丁) ，v s ( t ，7 1 ) ，以( f ，丁) 和y ：( f ，丁) 分别代表远期汇率，( f ，丁) 的瞬 时方差，点汇率s 的瞬时方差，外币表示的零息债券b 以及本币表示的零息债 券b d 的瞬时方差；c o v “( f ，丁) ，c o v n c f ( f ，丁) ，c o v ( ，丁) 则表示标准布朗运动 w s , w ：矛h w d 三者之间的协方差；风，风，d ，p d ，则表示三者之问的相关系数， 也就是说， d w s ( f ) d w ) = 风，d t ， d w s ( f ) d w d ( t ) = 风，j d t ， d w d ( ，) d w7 ( f ) = 岛 d t 。 在市场上，为了准确找到欧式汇率期权的价格，我们要求远期汇率的二阶 方差与市场隐含的二阶方差相匹配，也就是说，对任意到期时间t ，有： y 肥t ) d t = 仃( 丁) t 。 ( 2 2 1 9 ) 这罩，仃( 丁) 是到期时间为t 的隐含汇率波动率。 在q r 测度下，远期汇率f ( f ，丁) 是鞅，我们知道如果m 是鞅，则每个期权 都是累计变量的函数， e m k 】+ = f ( q v ) ( 2 2 2 0 ) 因此，由b r i g o 和m e r e u r i o 书中的期权的定价公式，我们可以得到远期汇 率期权的价格是， p r i c e ( t ) = b d ( ，t ) e 【s 一k 】+ ， ( 2 2 2 1 ) 在t 时刻，瞬时点汇率就是该时刻的远期汇率，也就是说， f ( t ，t ) = s ， 我们可以得到远期汇率期权的定价公式为， p r i c e ( t ) = b a ( f ，t ) e 【f ( t ，丁) 一k 】+ 。 ( 2 2 2 2 ) 2 2 2 带汇聚f g f e 率动态方程 现在我们要在原有的汇率动态方程中介绍一个新的过程，加入一个外币可 以变成同一本币的聚合过程。当聚合发生时，外币利率与本币利率也将变成一 致的，举个例子，在未来某一未知的n c f 白j ，英镑聚合为欧元，英镑的利率与欧 1 0 第2 章理论模玳 元的利率一致，此时，英镑欧元问的汇率动念方程将发生改变，对以二者利率 为标的物的金融衍尘品的定价也将会有很大的影响。 以英镑聚和为欧元为例，将欧元看作本币，英镑看作是外币。假设本币和 外币的利率仍然遵循一个因子的h j m 动念模型，且假设在零息债券期限结构和 p 中性测度的条件下来，本币债券利率的动念方程仍然为， 可d b a 而( t , t ) = r a d t + ( f ，r ) 彤卯， ( 2 2 2 3 ) 然而，由于外币债券利率会随着聚合的发生产生变化，外币利率的动态方 程有一点变化， 船- 1 删) 船+ 1 圳 r d t + 吼刀彤f , p 】。( 2 2 2 4 ) 这罩，r 是聚合发生的f j 期，也就是英镑可以转换成欧元的时间，它是一 个随机时间；l r f 是示性函数，分别表示事件发生的时间是在t 之 d 才和t 之后；其他的参数指数的含义与上一节中类似。在这罩，为了便于讨论， 我们仍然假设仃。( f ，t ) 是确定的，否则利率应为高斯的。 由公式( 2 2 2 4 ) 可以看出，如果聚合发生在t 时刻前，则外币利率与本币 利率有同样的动态方程，否则，它将有自己的动态方程。 我们仍然使用公式( 2 2 5 ) 来表示汇率s 的动态方程，只不过此时的汇率 有所变化：当外币利率转换成本币利率的时候，汇率将变为1 ，它的变化率为0 。 否则它将有自己的动态方程。如果我们假设点汇率s ，是服从对数f 态分稚的， 我们可以将它的动态方程写为： 孚= l r f ) 衍+ 矿d 昨】 。 ( 2 2 2 5 ) ) ， 问题仍然是确定汇率的漂移项。 首先，考虑外币表示的资产d 。如果它不会转换成本币资产x ，这一价值 将会利用外币点利率，：7 资本化。如果我们在t 时刻用本币改变这一价值，我们 可以得到本币资产x ： x t = d ：s t o ( 2 2 2 6 ) 利用i t o 公式，可以得到z 的动念方程， 导= ( 1 f f + 1 f f ) d r + l r t c r t d w , s 。 ( 2 2 2 7 ) a 。 无套利条件要求每个可交易的本币资产的漂移项均为一，也就是说： ? = r d r , s ， ( 2 2 2 8 ) 等= l r f 【( 一，：7 ) 破+ o r , s a r u , n 】。 ( 2 2 2 9 ) 峨 与上节所描述的情况类似，加入聚合后，汇率仍然可以被看作是一个有连续分 第2 章理论模型 红的本币资产，只是要在聚合没有发生的前提下。 现在我们考虑外币资产d 为b t ( f ，t ) 时，相应的本币资产x 变为 彰( f ，丁) s ，利用i t o 公式，我们可以得到下面的扩散方程： 譬：蕊d b f ( t , t ) + 拿+ b 7 ( ，丁)s b 7 ( ，t ) 7s = l f 町7 西+ 仃融t ) d w , 朋 + l r ， ( d 一7 ) 斫+ 一媚_ 勺 ( 2 2 3 0 ) + 1 r ，) 盯知，丁) 风一西 = l 矧) 而d b a ( t , t ) + 1 f f ) d t + c r t d t o - s ( t ) d w , s 。 - l r f 盯二( f ，t ) d w , + l f r 盯：( f ，t ) d w ，d ( 2 2 3 3 ) 第2 章理论模刑 因此，如果我们假设跳跃是独立于所有的句朗运动的，f ( t ，t ) 的瞬时方差为： o ，r ) = p r o b ( 1 ， ) 【咏o ，r ) + p ，( f ，丁) + y ( f ，丁) 一2 c o y s ，( f ，t ) + 2 c o v s , d ( f ，r ) 一2 c o v a , ：( t ，丁) 】 = p r 。6 ( 1 l ，m p c r , 2 ( f ) + 吒，( f ，丁) + 仃；，( f ，丁) ( 2 2 3 4 ) 一2 风，o s ( t ) a n ，( f ，t ) + 2 p s ，略( f ) 仃( f ，t ) 一2 仍，o n a ( f ，丁) 吒，( f ，丁) 】 这里p r o b ( 1 l r f | ) 是跳跃在t 之后发生的概率，也就是不发生聚合的概率。 找到欧式汇率期权价格的条件是二阶方差匹配，也就是说，对任意到期时 问t ，我们有， t 2 l v f ( f ，t ) d t = 仃( 丁) t ， ( 2 2 3 5 ) 占 这罩， o ( t ) 仍然是到期时间为t 的汇率的隐含波动率。 因此，根据等价鞅测度，我们仍然可以得到期权的定价公式为， p r 缸e o ) = b 。( f ，丁) e 【s 一k i + 。( 2 2 3 6 ) = b d ( f ，t ) e 【f ( t ，丁) 一k 】+ 我们知道如果m 是鞅，每个期权都是累计变量的函数。 e m k 】+ = f ( q v ) 。 ( 2 2 3 7 ) 2 。2 3 定价公式 有了上面对带聚合情况的汇率动念方程的分析，下面我们将具体讨论对相 应受影响的汇率衍生产品的定价公式，我们以基于两个利率的差价期权为例。 为了使定价过程更加简单明了，我们定义本币和外币的远期利率的动态方程分 别为， 而d f u ( t , t i ) = 仃d ( f ，z ) 驯，( 2 2 3 8 ) 锱- 1 矧) 鬻+ 1 圳咄刃蚋。 ( 2 2 3 9 ) 也就是说，我们认为二者的漂移项都为零，只考虑它们的波动率。 为了将上面公式中的外币远期测度下的标准布朗运动形，变换为本币远期 测度下的标准布朗运动，我们将公式( 2 2 31 ) 代入上式，可以得到， 鬻_ 1 删咄刃驯】 。 ( 2 2 4 0 ) + l f f ) 【风，o s c r ：( f ，t , ) d t + 仃jo ，z ) d 彬2 】 这罩，f d 和f 7 表示本币和外币的远期利率，形1 和彬2 均是在本币远期测 度下的标准布朗运动，风，为外币利率与汇率之间的相关系数。我们之所以用z 第2 章理论模刑 代替r ，是因为期权要针对不同的时间。 现在考虑一个基于两浮动利率的差价期权，这个期权在z 一时确定，到z 时 交付，交付的金额是( 三一上，1 n d 。其中，l 是本币浮动利率；三r 是外币浮动 利率；n 是名义价值；d 是时间差z z ，在这罩，我们只是简单的定义一个 时间段，更准确的情况应当考虑市场同期计算常规。则此差价期权在t 时刻的 收益用本币表示为， n d ( l - l j r - x ) j 。 ( 2 2 4 1 ) 由公式( 2 2 3 7 ) ，在时刻z ，收益是g ( f d ( 7 ：一，) ，f ( z 一，) ) 的衍生产品，t 时刻对该收益的无套利价格是， p ( f ，z ) e o g ( f d ( z 一，) ，f 7 ( 7 ：一，) ) l f ， ( 2 2 4 2 ) 其中，尸( ，z ) 表示本币利率期限结构下的折现因子，e 口表示在测度q 下的期 望，巧是由( f j ，f i ) 到时间t 生成的盯域。， 则在t 时刻收益为( 2 2 4 1 ) 的无套利价格为， d 尸( f ，r ) e ( j ( 国( 一二，一k ) + l 鼻) 。 ( 2 2 4 3 ) 其中，对于看涨期权c o = 1 ，对于看跌期权缈= 一1 。 确定和交付都在同一个时问z 一，的期权，通常被称为尾部支付期权。但是， 在z ，时交付( 一l ，) n d ，等同于在7 ：时交付( 1 + 比) 倍的金额。所以这样的期 权，其现值为， d 尸( 口) 彩( 一。一k ) + ( 1 + d l ) i f , ) 。 ( 2 2 4 4 ) 公式( 2 2 4 3 ) 和( 2 2 4 4 ) 可以合并写为， 谚p ( f ，丁) e q 国( 三一二，一k ) + ( 1 + 地) 。 ( 2 2 4 5 ) 其中，对于看涨期权c o = l ，对于看跌期权缈= l ；一般情况下u = 0 ，尾部 支付时d = 1 。 现在我们考虑可能发生聚合的情况，假设聚合概率为p ，则不聚合的概率 为i - p 。如果发生聚合，则和l r 相同，此时公式( 2 2 4 5 ) 变为， n dp ( t ，r ) e ( j ( 缈( 一k ) + ( 1 + o n l ) i f , l 。( 2 2 4 6 ) 如果聚合不发生，则公式( 2 2 4 5 ) 不会发生变化，但为了区分此时的本币 浮动利率是不聚合的部分，我们将改写为k ，则此时公式( 2 2 4 5 ) 写为， 0 - p ) n d p ( f ，丁) e q f 缈( k 一三，一k ) + ( i + o d l ) i f ， 。 ( 2 2 4 7 ) 将( 2 2 4 6 ) 和( 2 2 4 7 ) 代入收益( 2 2 4 1 ) ，则其在t 时刻的无套利价值 为， 1 4 第2 章理论模刑 v a l u e = p nd p ( t ，丁) e d ( 彩( 一k ) + o + d a l ) i f , + ( 1 - p ) j v d 尸( f ，丁) e a ( 功( l n 。一l j k ) + ( 1 + u d l ) i 巧) 显然，聚合发生时，该无套利价值只与聚合发生的概率有关，因此期权价 值可以看成是一个与聚合概率有关的固定价值，我们定义为p 埘，聚合未发 生时是一个与聚合概率及一般差价期权价值有关的值，我们用。l s o ( ) 来表示 基于三一三，的期权的无套利价值，则公式( 2 2 4 8 ) 可以变为， v a l u e = p 甜+ o - p ) l s o ( ) 。 ( 2 2 4 9 ) 其中， l s o ( ) = d 尸( f ，丁) e 口( ( k 一二厂k ) + ( 1 + u 比) 1 只)