（机械设计及理论专业论文）sobol灵敏度分析方法在结构动态特性分析中的应用研究.pdfVIP

摘要 灵敏度分析是近年来发展比较迅速的一种结构动态设计方法。工程结构的动态 特性灵敏度分析对工程结构的动态设计、优化设计、控制理论和动态修改等方面的 研究有着十分重要的意义。目前，结构动态特性灵敏度的分析法一般采用局部法， 如直接法、差分法和摄动法。但是这些方法只能求参数域某点的灵敏度，不仅受模 型、计算精度的限制，而且二阶以上的灵敏度求解比较困难。全局法蒙特卡罗方法 虽然考虑了参数的概率分布，并且与模型无关，但是计算量巨大，参数之间的交叉 作用不易求得。s o b o l 法和傅立叶幅值灵敏度分析法能很好解决上述问题。 本文分别介绍了局部灵敏度和全局灵敏度分析方法以及结构动态特性灵敏度 分析的主要手段并指出其中的不足。着重讨论了s o b 0 1 灵敏度分析方法和采样小、 收敛快的l a t i f l 超立方和w n d s t a i f s 采样技术。应用s o b 0 1 灵敏度分析方法和局部 法研究了非线性被动隔振体中非线性项和其他结构参数对共振角频率和传递率的 作用；讨论了具有重特征值的模型中重根灵敏度问题；分析了单自由度双随机系统 中随机参数的灵敏度；计算了间隙非线性齿轮系统中参数对转变频率的影响。分析 结果表明，与局部法相比的s o b o i 方法具有以下优点：1 参数变动范围可扩展到整 个参数定义域；2 参数允许同时变化，可以计及参数之间的交叉作用：3 可应用在 非单调、非线性、非叠加等模型。分析结果对模型的理论研究具有重要的指导意义。 关键词：灵敏度，全局法，局部法，动态特性，优化设计 a b s t 卧c t s a w h i c hh a sm a d er a p i dp r o g r e s sr e c e n t ly ，i ss e r v e da so n eo fs t r u c t l j r a id y n a m i c d e s i g nm e t h o d s t h es t r u c t u r a ld y n a m i cs a i np r o j e c ti so f g r e a ti m p o r t a n c ef o rt h es t u d y o nd y n a m i cd e s i g 啦o p t i i r i i z a t i o nd e s i g 玑c o n t m lt h e o r ya n dd y l l a m i cm o d i f i c a t i o ne t c ，a n d d h e c tm e t h o d ，d i 踟r e n c em 鲥m da n dp 酬u r b 矾o nm e t h o df o rd y n a m i cs a a r ea d o p t e d r e 弘l 蜀et h o u g hf o l l o 谢n gs h o r t a g e sa r eo b v i o u s ：o n l yl o c a li m p a c t 0 ft h ef a c t o f so nt h e m o d e 】c a nb eo b t a i n e d ；m o d e ld 印e n d e n c e ：t h ei n t e r v a l i su s u a l l yt h es a m ef o ra l lo ft h e v a r i a b l e sa n di sn o tr e l a t e dt oo u rd c g r e eo fk n o w l e d g eo ft h ev a r i a b l e s ：s h o n a g eo f p r e c i s i o na n ds oo na j t h o u 曲p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni si n v 0 1 v e di nm e n t ec a r l o ( m c ) 龃a 1 v s i s 缸l dr n o d e l i si n d e p e n d e n t ，y e tt h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nf a c t o r sa r ea v a i l a b l e u n e a s i l ya n dm u c hi sc o s t s u c hp r o b l e m sa r en o td i f f i c u i tf o rs o b o l a n di ? a s t l o c a ls e n s “i v i t ya n a l y s i s ( s a ) 柚dg i o b a ls aa r ep r e s e m e di nt h i sp a p e r i n c i u d i n gt h e m o s t l yu s e dm e a j l sf o rs t n l c t i l m ld y t l a m i c sb e l l a v i o rs aa l o n gw i t ht h e t h e i rd i 啦d v a n t a g e s t h ee m p h a s i si sp l a y e do nt h ed i s c u s s i o no fs o b o l m e t h o d 觚dt h el a t i nh y p e r c u b e 蹄m p l i n g 卸dt h ew i n d s t a i r s 鼹m p l i n gc 胁d e 血酣 a ss m a l l s a i t l p l ep l u sq u i c k c o 刑e r g e n c ea r e l e c 七e d u s i n gs o b o l m 啦h o d 孤dl o c a ls 气t h ei m p a c t so fn o n - l i n e a r i t y 柚do t h e rp a j l 埘e t e r so nr e s o n 锄c e 粕g j e 丘e q u e n c ya n dt r 肌s m i s s i b i l i t yf o rn o n l i n 髓r p 觞s i v ev i b r a t i o ni s o l a t o f 盯es t u d i e d ；t 1 l es ao fr e p e a t e de i g e n v a l u e sa r ed i s c u s s e d ；t h e s a o f m d o mp a r a m e t e r sf o rs i n g i ed e g r e eo f 丘e e d o m d o u b l er 锄d o ms y s t e ma r eo b t a i n e d ； t h ei n f l u e n c e so n 甘a n s f o 咖a t i o nh e q u e n c i e sf o rg e a rn o n l i n e a rm o d e la r ec a i c u l a t e dt h e r e m l t ss h a wt h a ts 0 b o rm e t h o dh a st h ef 0 1 l o w i n ga d v a f l t a g e s ：1 t h ef a c t o r s r a n g eo f e x i s t e n c e 缸ec o v e r e d ，2 a uf a 吐o r sa r ea l l o w e dv a r y 讯gs i m u l t a n e o u s l y ；3c a n b eu s e do n n o m l i n 咖j t y n o n - m o n o t o n y n o n - a d d i t i v “ym o d e l s t h ea m l y s i sr e i i u l t s a r ei m p o r t 趴t g u i d 柚c ef o r t h e o r ys t u d yo n d e l k e y w o r 凼：s e 鸺话“l y ，l 埔c e a i n t y ，g l o b a lm e t h o d ，1 0 c a lm e t h o d ，由，a m i cb e h a “o r 1 1 概述 第一章绪论 灵敏度分析研究地是模型输出受各种输入变化的影响以及模型本身受输入信 息的影响。由于它的诊断性和预测性，在任何领域中研究者都将灵敏度分析看作是 建模和模型分析的先决条件【l 】。 有些系统比较复杂，用实验方法进行研究不仅耗时耗财甚至有可能行不通。这 时，研究者往往采用数学或计算模型来模拟、近似属性( 物理、环境、社会与经济) 不同、复杂程度不等的系统和过程。但是，对于任何实际的系统，人们总不可能把 它辨识得绝对精确。换言之，用系统辨识理论求得的系统数学模型只是相对准确的； 其次，由于制造有容差，所以任何理论的构思和设计计算都不可能绝对准确地实现； 再次，随着时间的推移，任何系统都会发生老化、磨损等系统性能的改变以及环境 和运行条件的变化：为了简化设计计算或者便于数学处理，工程上常常有意把一些 复杂的情况或数学模型简化或理想化。因而，相对于作为设计依据的这种简化或理 想化的模型来讲，真实系统就相当于种参数不确定性情况了。这些不确定性影响 了研究者对模型工作性能的把握【2 】。 灵敏度分析则是一种研究与模型输出、模型性能相关的不确定性的重要方法， 往往用来帮助建立模型、模型检验、模型校准、模型鉴定及机构简约等。模型校准 的难度随着模型复杂程度增加，灵敏度分析用在模型校准前。得出每一参数的重要 性后确定理应被分析的对象，可减少校准分析的次数：能够研究输入和结构中的不 确定性，并作为一种重要手段来判断置于模型中的科学假设的真实与否；通过比较 各种模型运行时所需的实验条件，灵敏度分析可以确定描述已定现象最合适的模型 结构：通过对影响输出变化较大的输入参数的分析，从最终模型中去除不重要的参 数，简化模型等等。 灵敏度分析的概念最早是在电路设计中出现的。为了达到设计电路的整体性能 最佳，就需分析电路中各个元件的参数对整体性能的影响，并找出对整体性能影响 最大的那些元件，即最灵敏的那些元件，这也就是电路设计中灵敏度分析的概念。 不同的研究对象，灵敏度有着不同的含义。对软件工程师来说，灵敏度分析与 各种测试条件下软件的鲁棒性和可靠性有关；对专家系统的开发者来说，根据“重 要”分布的分位点进行灵敏度分析是很重要的；而对化学家来说，灵敏度是对动力 或热力输入与可测反应输出之间关系的分析。不管是哪种类型，它们都有一个共同 点：研究某一特定模型的输出如何随着输入的变化而变化。在模型开发、验证、校 准、鉴定和结构缩减中，建模者进行灵敏度分析一般是用来确定： 模型与所研究的系统或过程是否相似。如果模型对假设不重要的参数表现出 较强的依赖性或者模型预测范围不够理想，该模型就不能够正确地反映所研 究的问题； 对输出变化影响最显著的以及需进一步进行研究以加强对模型了解的参数。 灵敏度分析结果可以帮助建模者判断参数估计是否足够精确，以保证模型能 够得到可靠的预测； 对模型工作无关紧要的或者能够去掉的模型参数( 或模型某部分) 。这里所说 的不重要意思是“不影响输出的变化”。研究者认为，当模型输出结果比较复 杂时，模型需尽量精简，一些不重要的参数及过程应该删除； 输入参数在定义域内是否存在某一范围，使模型变化量达到最大； 用于校准研究的输入参数的最佳区域。在这里需要用到全局分析，因为区域 的确定应该在参数的整个定义域进行而不能只围绕某一点： 参数之间是否存在相互作用。通常，参数间的联合作用并不能直接表示为各 参数单独作用之和。 在现实的科学技术问题中，存在着大量的灵敏度问题。从工程控制论的观点 来看，这都是系统本身的参数摄动以及作用在系统上的外干扰信号的不确定性引 起的。随着科学技术的发展，人们对这种不确定性因素的影响必然会给予更多的 关注，这也是人们对自适应技术及灵敏度与稳健性理论日益重视的原因。 1 2 灵敏度分析技术的发展状况 灵敏度分析早期用于分析控制系统参数变化对系统性能的影响【3 】，六十年代， 列入到基于梯度的最优化方法中，以搜索下降的方向。目前，工程中比较常用的灵 敏度分析技术是直接求导法、有限差分法和摄动法。这三种方法概念明确，数学推 导简单还可融合使用，如在直接求导法加入有限差分法的半解析法【4 】可简化计算。 三者研究的都是各因素对模型的局部影响( 如某点) ，因此它们又可被称为局部法。 使用局部法时必须保证输入因素在各中间值处的变动不能过大( 中间值的1 0 ) ； 输入与输出的关系需假定为线性的；所有因素的变动范围都相同；由于局部灵敏度 分析技术是在线性模型的基础上发展起来的，因此，当模型是非线性的或者影响输 入变量的不确定性处于不同数量级时，局部法有时不能提供有效的分析结果。这些 条件实际上也就是局部法的局限性。局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏 2 度微分方程较易推出，不确定性因素较少的系统模型中。 全局灵敏度分析方法可以解决上述问题。之所以为全局法，一方面是它考虑了 各因素的概率密度函数的分布和形状的影响，另一方面是计算分析时，所有因素都 可同时变化。全局法的优点是：因素变动范围可扩展到因素的整个定义域；各因素 允许不同的变化范围并且可以同时变化；不受模型限制，能够对非线性、非叠加和 非单调模型进行研究。由于涉及到各因素整个变动范围，全局法往往通过采样技术 来分析，即研究者根据对输入因素的了解先选择概率分布函数及分布区域，采样之 后进行模型的不确定性和灵敏度分析。最常见的方法是蒙特卡罗法，在蒙特卡罗法 基础上又有多个灵敏度评价方法，如散点法( h e l t o n 1 9 9 3 ) 、皮尔逊积矩系数、斯 伯尔曼系数、标准回归系数、预测误差和的平方( 灿l e 玑1 9 7 1 ) 及偏相关系数等。 0 a t ( o n e a t a - t i m e ，d a i l i e l ，1 9 5 8 ，1 9 7 3 ) 法是全局法中比较简单直观方法，它着重将 重要的因素从其他因素中隔离出来，但简单的o a t 法不能计算因素之间的交叉作 用。1 9 7 8 年，b o x 等人提出了f a c t 耐a ld e s i g n 和f r a n i o 舱lf a c t o f i a ld e s i g n ，之后 又有人提出了i t e r a t e df r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i 龃，这些方法不仅能计算交叉作用， 而且还能大大减少计算量。重要测量是一种基于方差的分析法，h o r a 和i m n 于 1 9 8 6 、1 9 9 0 年，i s h i g a m i 和h o m m a 于1 9 9 1 年分别给出了灵敏度指数的表达式。目 前，使用最多的基于方差的全局灵敏度分析技术要数1 9 9 0 年s o b o l 提出的s o b o l 法和c u k i e r 等人于1 9 7 3 年提出的傅立叶幅值灵敏度测试法。这两种方法都能简便 地求出因素的总灵敏度。 当前，全局灵敏度分析技术己广泛应用于物理、化学、经济、核能、环境、控 制及神经网络等领域的模型中。 1 3 结构动态特性的灵敏度分析 在结构设计中，当结构的数学模型确定之后，常常会遇到两种情况，要求对结 构作定的修改，其一是由于设计及制造的原因，不得不对结构作些局部的小量 修改i 其二是为了使结构的动态特性( 如某阶固有频率及振型) 满足预定的要求。 即便是一个较为简单的结构，亦有多种修改方案可供选择，有很多设计参数可供调 整。为了确定何种方案最为有效，分析各个结构参数或设计变量的改变对结构动态 特性变化的敏感程度( 或变化率) 是十分必要的。这就是所谓结构动态特性的灵敏 度分析 灵敏度分析是近年来发展比较迅速的一种结构动态设计方法，将灵敏度分析首 先引入结构动力系设计中来的学者当推r l f 0 x ( 1 9 6 8 ) 。以后不少学者和公司围绕 此课题做了很多工作，比利时l e u v e n 大学、l m s 公司、美国i s d c 公司的研究成果 尤为突出，我国也已做出优异的工作。 在结构动特性修改预测的灵敏度分析中，目标通常指的是结构的动态特性，如 固有频率和振型( 特征值和特征向量) 等，也可指传递函数或振动响应等。设计变 量则指的是结构参数即质量、刚度和阻尼。结构动态特性灵敏度分析是指结构参数 发生改变时对结构动态特性的影响程度；或者说某部分结构参数发生改变后对动 态特性带来多大程度的影响，并帮助指出修改的最佳位置。 目前，直接求导法、差分法及摄动法等局部方法是结构动态特性灵敏度分析的 主要方法，在工程设计和理论分析中发挥了重要作用。但是，随着结构的日益复杂、 所受外界不确定性因素的增多和研究者对分析要求的提高，加上局部法自身的局限 性，单凭局部法的计算结果不能提供满意的答案。蒙特卡罗法也常常应用于分析中， 虽然它能够给出比较精确的结果，但由于需要通过大量采样，所以往往只是作为一 种辅助手段。近年发展起来s 0 b o l 法和f a s t 法己应用于经济、核能、环境、气候 等领域的灵敏度分析，取得良好的效果，而且计算量不大。 总之，工程结构的动态特性灵敏度分析是一个丰富的研究领域，对工程结构的 动态设计、优化设计、控制理论和动态修改等方面的研究有着十分重要的意义。对 于动态分析、优化设计和主动控制，需要依据实际情况合理地选择设计参数，这样 灵敏度分析就显得十分重要。 1 4 本文主要研究内容 本文首先介绍了灵敏度分析的各种方法，重点推出全局法s o b o l 方法和与之相 关的采样技术，研究了用局部法分析动态特性灵敏度的不足之处：长期项的产生和 截断误差使精度降低：依赖于对模型所进行的假设；只能求参数局部的灵敏度等。 应用s o b 0 1 方法以及l a t i n 超立方采样和w n d _ s t a i r s 采样技术讨论了结构动态特性 中比较常见的问题，主要工作包括以下几个方面： 1 建立非线性被动隔振的模型，用s o b o l 方法研究了非线性项等结构参数对 共振角频率和传递率的影响，并用龙格一库塔数值分析对灵敏度分析结果进行验 证。 2 用s 0 b o l 方法计算了工程中常见的多重特征值灵敏度问题。 3 采用虚拟激励法将随机激励转化成确定性激励，在参数随机的情况下，用 s o b o l 法得出了双随机问题的灵敏度。 4 分析了单自由度齿轮系统的间隙非线性振动，用不同的灵敏度撇得出了 参数对转变频率的影响情况。 本文工作对结构动态全局灵敏度分析及结构修改设计与优化设计具有重要意 义。 2 1 概述 第二章灵敏度分析方法 灵敏度分析研究地是模型输出受各种输入变化的影响以及模型本身受输入信 息的影响程度。由于研究的对象、目的以及环境的不同，各个领域所采用的灵敏度 分析方法也不一样。为了较快地选择合适的方法以便圆满地解决问题，对各种灵敏 度方法的了解是必不可少的一个环节。 假设一个系统有七个输入因素i = ( x ，x ：，x 。) 和一个输出变量y 。输入因素受 多种不确定性影响，分析时将它们看作具有某种概率分布的随机变量。向量x 是具 有联合概率密度函数p ( x ) = p ( 工。，x ：，z 。) 的随机向量x 的实现，输出y 是随机变 量r 的实现。输入因素与输出之间的关系可由函数( ) 表示 y = ，( 五，x ：，。) = ，( x ) 在本文的灵敏度分析中，术语因素指的是可以改变模型输出的任一输入。该数 值可以是一个输入参数，也可以是一个输入变量。输入变量从相应的实际系统中观 测到，而参数不行( 可以估计) 。例如，化学实验的反应速度属于参数，而力学模 型中机构所受外力属于输入变量。 输出的统计特性可由y 的y 阶矩求得 = l ，7 ( x 咖( x ) d x 式中，n 表示输入因素的七维空间。 根据分析时对因素处理方式的不同，可将灵敏度分析技术分为局部灵敏度分析 方法和全局灵敏度分析方法。 2 2 局部灵敏度分析方法 数学模型己广泛应用于不同领域，其中大部分是建立在代数和微分方程的基础 上。近年来，人们发现数学模型的变量和参数数量逐渐增加，其根本原因是为了迎 合高需求而使模型变得越来越复杂。另一方面，计算机工作速度加快，复杂模型的 处理也随之简单化。但是，大型模型也带来了一个普遍问题，即不同参数在模型中 起的作用不是很明显，如哪些是重要参数，哪些是由输入不确定性引起的输出不确 定性以及参数变化对输出的影响等等。 局部法主要分析因素对模型的局部影响( 如某点) 。局部法可以得到参数对输 出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。在其他方面，如不确定 6 性分析中，局部灵敏度分析的计算效率使得它可作为模型快速的前期研究。 2 2 1局部灵敏度分析的特点 静止( 与时间无关) 系统可用下述代数方程描述 f ( y ，x ) = 0( 2 1 ) 式中，y 代表肛维的变量，x 代表m 维的参数。式( 2 一1 ) 隐性代数方程的解用y 5 表示。 参数x 值变化时，方程解也将发生改变，其解用下式表示 m 怕x h 沁，+ 善挚，+ 三喜善势鸬+ p z ， 非静止( 与时问有关) 系统可用微分或微分一代数方程来描述。下面是一初值 问题 粤= ，( y ，x ) y ( o ) = y o( 2 3 ) 同样，y 代表n 维的变量，x 代表m 维的参数，y 0 为初值数组。参数改变对方程解 的影响可用泰勒展开式表示 ，瓢x + 缸，铘+ 善挚，+ 三喜善静鸬+ p a ， 在上述静止和非静止系统中。偏导砂，知，是一阶局部灵敏度，a 2 儿良，为二阶 局部灵敏度，依次类推。一阶灵敏度可组成灵敏度矩阵s = 嘞) = 饥知， 。 全局灵敏度系数不仅依赖于参数假设的概率密度函数，还往往与所选择的计算 方法有关。而局部灵敏度系数就是由式( 2 2 ) 、( 2 4 ) 确定。局部灵敏度的计算比 全局灵敏度的计算快得多。然而，局部灵敏度有一些局限性：使用局部法时必须保 证输入因素在各中间值处的变动不能过大( 中问值的1 0 ) ；输入与输出的关系需 假定为线性的；所有因素的变动范围都相同；局部灵敏度分析技术是在线性模型的 基础上发展起来的，因此，当模型是非线性的或者影响输入变量的不确定性处于不 同数量级时，局部技术可能不能够提供有效的分析结果：对所有的实际系统而言， 参数值是受不确定因素影响的。大多数情况下，不确定性相当大，有时当参数在不 确定因素范围内变化时，模型性质会发生改变。与全局灵敏度不同，局部灵敏度不 能提供模型受参数范围改变的影响等信息，它只能提供关于参数定义域内某点的情 况，这一点往往是参数的最佳估计值，也叫参数标准值。通常情况下，参数值的微 小变化并不会使局部灵敏度改变很大，但是当参数变化程度较大时，可能会得到完 全不同的灵敏度分析结果。 非静止系统的灵敏度分析还有一个特点。灵敏度分析一般是通过另组参数进 7 行研究的，但是它也可以采取参数摄动法。对于前者，参数在模拟时间0 时发生变 化，灵敏度计算的初始时间等于模拟的初始时间。然而大多数情况是模型与灵敏度 计算的时间并不相同。假设模拟始于时间o ，参数摄动始于时间 ，于，时研究摄 动结果。摄动解y 可由原始解y 及灵敏度矩阵s 表示 y ( f 2 ) y ( f 1 ) + s ( f 2 ，f 1 ) x 2 2 2 局部灵敏度分析方法( l o c a is 。n s i t i v i t y n a i y s is ) 2 22 1 有限差分法( f i n i t e d i 什e r e n c ea p p r o x ；腑t i o n ) 局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个 微小的摄动缸，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。一种简单的策略 是采用向前差分格式 盟。! 垡：2 = 羔! 翌 缸i缸i ，_ ，= l ，所( 2 5 ) 式中x = ( z 。x ：，x ，+ 缸，x 。) ，截断误差与缸，同阶。有时采用更为精确的中 心差分公式 宴。艘粤掣，_ ，：1 _ ，珊 ( 2 _ 6 ) 缸2 缸 。1。、 式中x + = ( ，r 2 ，x j + 缸j ，靠) ，z = ( 而，x 2 ，x 一缸j ，工。) 。中心差分 法的截断误差与a r j 同阶。虽然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每 一个导数时需要多求一次函数值，这意味者多做一次结构分析，增加了计算工作量。 有限差分法原理简单，易于应用。但亦有一些不足主要表现在：计算工作量 十分巨大，当设计变量个数为m 时，向前差分至少需要进行肌+ 1 次结构分析，而 中心差分法则至少需要2 m + 1 次结构分析：设计变量的微小摄动量缸难以确定。 从截断误差的角度来看，x ，越小，设计灵敏度越精确。但缸，过小则舍入误差占 优势，同样会使数值失真；如果缸，过大( 5 ) ，可能会破坏假设的局部线性性； 各个设计变量对结构响应的敏感性不一样，故要求的摄动缸不一样。增加了分析 的难度。 22 2 2 直接法( d ir e c t _ e t h o d ) 式( 2 3 )对x ，微分得到下述灵敏度微分方程 票妻：j 要+ 晏 ( 2 _ 7 ) d f 良，彘，良， 、 或者，以矩阵形式表示为 s = j s + f ( 2 8 ) 式中，j = 够钞， 是微分方程右边对系统变量的导数( 可称为雅可比矩阵) ， f = 够知， 是对参数的导数，有时称为参数雅可比。微分方程( 2 7 ) 的初始条件 为零向量。 直接法建立在常微分方程( 2 7 ) 上，其解需要知道矩阵j 和f 的值，而矩阵的 值又是由系统变量的真实值确定，因此需同时或预先得出( 2 3 ) 方程的解。 对于非静止系统，如果平稳点是渐近稳定的，则静态灵敏度系数是动态情况下 的极限值，其时间导数为零，这样，方程( 2 8 ) 可变为 s5 = 一j f ( 2 9 ) 式中矩阵s 。为静态灵敏度矩阵，矩阵j 和f 由静态点的变量值计算。 对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简 单快速的灵敏度分析方法。 2 2 2 3 格林函数法( t h eg r e e nf u n c t i o n t h o d ) 微分方程( 2 3 ) 关于初始值y o 的方程为 著冰，f 】) ：1 ( f ) x ( ，f 1 ) ( 2 1 0 ) 式中f ，f 分别表示摄动时间和观测时间，x 为初始灵敏度矩阵，即 x ( u 弘 耥 ，x 吐纠， 式( 2 7 ) 是系统的非齐次线性微分方程，可首先确定式( 2 1 0 ) 齐次解然后求特解 s ( f t ，f 2 ) 2 上1 x ( f ：，j ) f d 5 ( 2 11 ) 上式中，x 被称为格林函数，基于式( 2 1 1 ) 解的数值方法为格林函数方法。 直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加，而格林函数的计算量与变量 数成比例关系。 2 2 2 4 其他方法 在一些文献中还介绍过其他局部灵敏度的计算方法，但都没有被广泛使用。如 m 1 l e r 和f r e n h a c h 于1 9 8 3 年提出利用一组简单的经验方程作为参数的表达式来近 似系统的积分解。这样一个经验模型的建立非常耗时，而且不能仅仅由灵敏度结果 来进行调整。尽管如此，但是一旦得出经验方程并对其求导，局部灵敏度就马上出 9 来了。 根据多项式近似法，( 2 7 ) 微分方程的解还可由拉格朗日插值多项式近似。尽 管该方法计算速度快，稳定性高，却一直没有解决过实际问题。 2 3 全局灵敏度分析方法( g l o b a ls e n s i t i v i t ya n a i y s is ) 2 3 1 全局灵敏度分析方法的特点 c u l 【i e re ta 1 ( 1 9 7 8 ) ，i m n 和h e i t o n ( 1 9 8 8 ) ，s o b o l ( 1 9 9 0 b ) ，h e l t o ne ta 1 ( 1 9 9 1 ) 及 s a l t e l l i 和h o m m a ( 1 9 9 2 ) 等陆续研究了全局灵敏度分析方法。之所以为全局法，一 方面是它考虑了各因素的概率密度函数的分布和形状的影响，另一方面是计算分析 时，所有因素都可同时变化。全局法的特点是：因素变动范围可扩展到因素的整个 定义域；各因素允许不同的变化范围并且可以同时变化；不受模型限制能够对非 线性、非叠加和非单调模型进行研究。由于涉及到各因素整个变动范围，全局法往 往通过采样技术来分析，即研究者根据对输入因素的了解先选择概率分布函数及分 布区域，采样之后进行模型的不确定性和灵敏度分析。 2 3 2 全局灵敏度分析方法 23 2 1 筛选法( s c r e e n i n gd e s i g n ) 筛选法通常用来处理含有大量输入因素的模型。它的计算量比较小，所以当 模型因素相当多时，先利用筛选法确定对模型输出影响较大的因素，去除影响甚 微的因素，然后再用其他方法进行灵敏度分析，这样可以大大简化计算量。但是 筛选法只能做定性的分析即只能得到输入因素按重要程度的排序，而无法给出 一个参数比另一参数重要多少的结果。 a o a t 方法( o a t a _ t i m e ) 筛选法中最简单的方法是o a t 【6 l 法，意思是每次只能分析一个因素对输出的影 响。o t 方法也分为几种这里介绍m o r r i s 于1 9 9 1 年提出的o t 。 在m o r t i s 提出的o t 方法中，各因素可在整个定义域内变动。因素对输出主 要影响是这样估计的：在每个输入因素存在域内的，个不同点x j ，1 2 ， ，i f 分别 计算r 个局部值，然后取平均值( 相对局部法来说，这样做减少了对特殊点的依赖 性) 。设模型因素的七维向量x 中元素在集如1 “p 1 ) ，2 ( p 一1 ) ，1 ) 有p 个值， 区域q 是个j x p 维的坐标网格。为1 ( p 1 ) 的倍数，第f 个因素在点i 的初步影 响是 d i ( x ) = j ，( 薯，一1 ，r 。+ ，x i i ， ) 一j ，( i ) 】， ( 2 1 2 ) 式中x 为在区域q 所选的任何值，并且点x + 仍在q 内。第f 个因素基本影响的有 限分布f 可通过x 在q 中取样获得，每个f 包含元素个数为p “1 p 一( p 一1 ) 】。分 布f 的均值“和标准方差盯，可以提供第1 个因素对输出影响的信息：均值大表示该 因素对输出的总影响很大；标准方差大表示该因素与其他因素有交叉作用或者该因 素对输出的影响是非线性的。 o a t 法主要的缺点是因素之间的交叉影响估计不出来。尽管在分析时所有因素 都可变化，但是它无法得出交叉影响的具体结果。 b c 0 1 1 m r 设计法( c o m r sd 器i g n ) c 0 n e r 于1 9 7 9 年提出了一种不需要预先作任何假设的方案，即s f r d 法 ( s y s t e m a t i c 舶c t i o n a lr 印l i c a t ed e s i g n ) 。如果有七个因素，则需按下列步骤运行孔+ 2 次： 第一步所有因素取低水平值； 每一个因素取高水平值重复运行i 次，同时其他七一1 个因素取低水平值； 每一个因素取低水平值重复运行七次，同时其他i 一1 个因素取高水平值； 最后一步所有因素取高水平值。 这里，水平表示一个因素的强( 如主要的) 或弱( 如极小的) 性。用，m ，儿， n 。，y ：。，y ：。表示输出结果。则因素j 的期望值表示为 c o ( j ) = 【o m 。一y ) 十c y j 一儿) 】 ( 2 1 3 ) 1 c ，u ) = 【o ：“，一，“，) 一o ，y o ) 】 ( 2 一1 4 ) 1 用m ( _ ，) = l c 。o ) | + | c 。u m 可估计因素的重要性程度。 系统分数复制设计计算效率高，但是受因素相互之间的影响，某些重要因素可 能检测不出来，而且这种算法的精度不高。 c 砸d ( n e r - t e df n c t i o n 越f 丑c t o n 丑ld 嚣i g ) 1 9 9 3 年，a n d r e s 和h a j a s 提出了删m 法，这种方法最大的特点是运行次数刀比 因素七数少，可估计影响因素的主效应、二次效应和两因素的交叉作用。 i f f d 法首先将所有的因素归拢到一个集合，再通过分数析因设计将因素随 机地分配到集合的各组子集中去。一个有影响作用的集合必然包含一个有影响作 用的因素。因此两次迭代后可在两集合的交集中找到影响因素。 虽然i f f d 法计算量小，但是，为了获得较好的结果模型的输出只能由影 响因素决定。 2 3 2 2 蒙特卡罗法咖o n t ec a ri om e t h o d ) 蒙特卡罗法是一种数字模拟法，它从己知的模型输入的概率分布随机抽样构造 随机变量，然后根据随机变量的计算结果确定输出的不确定因素，再将其分摊到输 入中的不确定因素中去。分析过程分为五步：确定每个x ，的概率分布和区域；在各 概率空间抽样；根据抽样对数学模型进行计算；不确定性分析；灵敏度分析。蒙特 卡罗灵敏度有几种分析方法： 扎散点法和相关系数法( s n n e r p i o t sa n dc o r 托i a t i o nc o e 仿c i e n t s ) 散点法是一种图形分析法，也是灵敏度分析中最简单最直观方法之一。每个输 入因素x ，取不同的值吒，对应一个输出变量只，这里，= 1 ，i 为因素数量，= 1 ，为模拟次数，然后根据这些对应的点画出散点图。有时仅靠散点法就能很好 地揭示模型输入( 如x 的元素) 与模型预测( 如y ) 之间的关系，尤其是只有一两 个输入决定输出的时候。此外，散点图能显示出非线性关系、临界值和变量的交叉 作用，便于对模型行为的了解，促进进一步的灵敏度分析。不足的地方是由于基于 抽样，须产生大量的随机数，计算量大：再者只能定性地给出各因素相对的重要性。 另一个简单方法是皮尔逊积矩相关系数法口e a r s o np r o d u c tm o m e n tc o n e l a t i o n c o 踊c i e n t ，p e a r ) ，它计算的是点( x 。，y ，) ，f = 1 ，的线性相关系数。输入变量x ， 和输出y 的相关性，z ，为 卫 ( 矗一巧) c y ，一歹) 2 医生_ _ 衍了下 ( 2 。1 5 ) l ( 矗一t ) 2 | o ，一罗) 2 式中 歹。军努， ：y 翌 j n ，= l ，七是输入因素数。，值可评价x ，和y 的线性关系，对于非线性模型，可 由斯伯尔曼系数( s p e a m a l lc o e f f i c i e n t ，s p e a ) 进行评价。斯伯尔曼系数是用y 和x ， 的秩数而不是原始数据来进行计算的，模型的两个基本假设是： 矗和咒为在各自总体中的随机取样； 两变量之间至少是序数比较。 b 回归分析限e g r e s s i o na n a l y s i s ) 大多数灵敏度定量分析法是在回归分析门的基础上发展起来的。一个线性模型 可以这样描述 j ，。= 6 0 + i 矗+ 占。， _ ，= l ，2 ，j i f = l ， ， 式中6 ，是要确定的回归系数，s 。是近似误差。通常用最小二乘法求解系数6 ，。 一旦6 ，确定，就可由它来指示重要的输入变量a 假设b 已经求出，回归模型可 另外表示为 式中 可：争笠 。 乞n ；= 陲譬 i ，2 ( 2 1 6 ) 弓= 喜吾 弘陲譬r 系数6 j i j j 称为标准回归系数( s 协n d a r d k e dr e 妒s s i o nc o e m c i e n t s s r c s ) ，当z 值独立时，s r c s 的绝对值可以用来判断变量的重要性。s r c s 的计算相当于均值为 。标准差为l 的回归分析。其结果可以分析输入变量对输出的量化影响。 采用s r c s 评价影响程度时，模型系数的确定比较重要， nwn o ，一刃2 = ，一歹) 2 + ( 多。一y ，) 2 l = 1i ；1j = 1 刃2 刃2 ( 2 1 7 ) 式中立代表回归模型只的估计值，夕为m 的均值。根据碍可以判断回归模型模拟 实际输出j ，的准确废。碍代表的是输出方差的一部分，霹越接近1 ，模型变动越小， 表示模型构造得越好。 2 3 2 3 相关和偏相关系数 ( c o r r e i a t i o na n dp a r t i a lc o rr e l a t i o n c o e f f i c j e n t s ) 在基于采样的不确定性和灵敏度的研究中相关和偏相关是两个有用的概念，由 i m n 等人于1 9 8 5 年提出。对一系列观察值 。，儿) ，七= l ，肼，j 和y 之间的相 关定义为 孚 毕， ，学 黔f 一一 影 ( x 。一i ) ( 儿一歹) r ：= ：_ ，一 。9 砉c r 。一i ，2 ”2 善c y 。一刃2 ”2 i ( k i ) 2i ( y 。一刃2 l t = 】jl t = lj ( 2 1 8 ) 式中i 和歹的定义与( 2 一1 6 ) 式相同。相关系数。可以测量j 和j ，之间线性关系，它 是在下列回归模型基础上建立起来的 ，= + 6 。x 如果输入有两个或两个以上的变量，相关系数的意义就不那么明确了。这时可用偏 相关系数来评价y 和各输入变量的线性关系。首先建立两个回归模型 n 曼，= c 。+ c p r ，歹= 6 0 + 6 ，x ， ( 2 一1 9 ) p = 1，= l p t ip | 然后，用这两个回归计算结果定义两个新变量z ，一量，和y 一歹。z ，和y 之间的偏相 关系数即为z ，一主，和一一夕的相关系数。 偏相关系数着重表示的是当其他变量的线性效果被修正后未被修正的变量 与输出的线性关系；而标准回归系数表示的是变量变动后对输出的影响。因此， 两者是彼此相关而又不同的评价变量重要性指标。偏相关系数排除了被研究变量 假定的分布以及其他变量的影响，而标准回归系数受输入变量的分布及变量对输 出的作用的影响较大。 2 3 2 4 基于方差的方法( v a ria n c e - b a s e dm e t h o d ) 将方差作为评价输入因素重要性的指标不是初次被提出，实际上它也是前面提 到的回归分析法的基础。相关系数和重要估计法起源于用概率分布对不确定性的简 单描述，分析依据是条件方差。尽管两者出发的背景完全不同，但是它们都得到同 一个数值跆k 【联y i j ) 】作为输入因素j 的重要性指标，这个数值与s o b o l 和f a s t 方法的一阶灵敏度值相等。可以将基于回归分析的方法看作是基于方差分析法的特 例。基于方差的灵敏度分析技术的思想是将输出方差中的不确定性归于输入方差的 不确定性。 a 重要估计法( 1 呻o r t a n c 日_ e a s u r e s ) 与蒙特卡罗法结合起来用的一种全局灵敏度分析方法是重要估计法，它根据下 述数值进行估计的 岷【e ( y i ，2x j ) 】 p 撕) ( 2 2 0 ) 式中e ( 】，i x ，= x ，) 代表z ，取定值的条件下r 的期望值，砌，代表x ，的方差。 m c k a y ( 1 9 9 5 ) 将( 2 2 0 ) 式的分子称为方差相关期望。 i m a n 和h o r a 观察到，尽管方差相关期望法在推导上是准确的但是它的稳健 性不够，而且容易受非正常点的影响。 1 9 8 9 年，i s h i g a m i 和h o 姗a 提出了另一种重要估计法，即 1 f 删( j ，) = 吉彬? i ；l 式中是计算次数，只为第f 次计算的输出结果，j ，? 为第1 次计算时除x ，外其他变 量都重新取值后的输出结果。 m 方法的意图很直观：如果x 是个重要的变量， 得到的只值和y ? 值大，组成的 m 值也大：如果不是重要的变量，x 和y j 随机组 合，得到的印m 值也小。 m 的一个缺点是稳健性不足，解决这一问题可以采用 秩取代值的办法。 b 傅立叶幅值灵敏度测试法( f o u r i e ra 呻| i t u d es e n s v i t yt e s t f s t ) s o b o l 法和f a s t 法是基于方差法的另外两种方法。s o b o l 法将在后面专门讲 解。f a s t 是一种专门分析不确定性和灵敏度的方法，它可以估计输出的期望值和方 差以及单个输入变量对方差的影响。f a s t 独立于模型的任何假设，可以分析单调、 非单调系统。它的特点是通过可以描述整个输入空间的曲线来研究输入因