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上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 摘要 准晶体是1 9 8 4 年在实验中发现的。这种新型的物质引起了科学工作者极大的兴 趣，并得到了广泛的研究。本文主要考虑一维准晶杆的振动问题和波动问题。其中包 括了其一维自由纵向振动和波动，以及一端加上力后的强迫振动。 首先，从一维六方准晶体的应力一应变本构方程出发，通过能量变分法导出其控 制方程，然后利用边界条件求解控制方程，得到声子场和相位子场的一维自由纵向振 动的解，得到自由振动的全部频率。 其次，在准晶杆的一端加上分别作用于声子场和相位子场的周期力，通过虚功原 理和最小势能原理得到其强迫振动方程，然后运用杜哈梅积分求解得到声子场和相位 子场的位移响应。同时通过取一个施加常数力的特例，并辅以图表将它们的影响关系 明确的显示出来。 最后，对一维准晶杆的弹性波动问题进行了初步分析，由其控制方程推演成一般 波动方程形式，以确定其波的传播速度，再由给定的初始条件求出一维波动方程的一 般解，并给出其位移解。 本论文总体上分为六章，第一章对准晶的相关研究领域进行了简单的介绍，并对 本文要做的工作、研究的方法以及意义进行了说明；第二章对本文所要用到的线弹性 理论和物理方法进行了简要的介绍；第三章和第四章分别分析和研究了一维准晶杆的 一维自由纵向振动问题和强迫振动问题；第五章，则着重分析了一维准晶杆的波动特 性；最后一章是对所做工作的总结和展望。 关键词：准晶杆，相位子场，声子场，自由纵向振动，强迫振动，波动，虚功原 理，变分原理 j ，争1 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 s i n c et h ee x p e d m e n t a ld i s c o v e r yo fq u a s i c r y s t a l si n19 8 4 ，t h i sn e wk i n do f m a t e d a i sh a sa t t r a c t e dm u c ha t 【e n t i o na n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d 1 nt h i s p a p e r t h ev i b r a t i o np r o b l e ma n dt h ew a v ep r o b l e mi nl o n g i t u d i n a ld i r e c t i o no fab a r , w h i c hi sm a d eo fq u a s i c r y s t a l sa r em a i n l yc o n s i d e r e d i ti n c l u d e st h eb a r sf r e e v i b r a t i o ni nl o n g i t u d i n a ld i r e c t i o na n dw a v ep r o b l e m 。a n dt h e f o r c e dv i b r a t i o n p r o b l e mw h e naf o r c ei sa p p l i e dt oa ne n d f i r s t l y , b a s e do nt h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n so ft h eo n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a l q u a s i c r y s t a l s ，t h ec o n t r o le q u a t i o n sa r ed e d v e db ye n e m yv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e t h e nu s i n gt h er e l a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n sa n ds o l v i n gt h ec o n t r o le q u a t i o n s ，w e f o u n dt h eo n e - d i m e n s i o n a if r e ev i b r a t i o ns o l u t i o nj n i o n g i t u d i n a ld i r e c t i o n o f p h o n o n f i e l da n dp h a s o n f i e l d a tt h es a m et i m e ，w ef o u n da l lt h ef r e q u e n c i e so ft h e f r e ev i b r a t i o n s e c o n d l y , c o n s i d e d n gt h eq u a s i c r y s t a lb a ra n da p p l y i n gt w oc y c l ef o r c e st oi t s o n ee n d ，w h i c hs e p a r a t e l yh a v ea ne f f e c to nt h ep h o n o n f i e l da n dp h a s o n f l e l d w e o b t a i n e dt h ef o r c e dv i b r a t i o ne q u a t i o n sb yu s i n gt h ev i r t u a lw o r kp d n c i p l e t h e n ，b y u s i n gt h ed u h a m e li n t e g r a l w ef o u n dt h ed i s p l a c e m e n tr e s p o n s e so ft h ep h o n o n f i e l da n dp h a s o nf i e l d s i m u i t a n e i t y , w et a k eas p e c i f ce x a m p l e a n dg i v eac h a r tt o c l e a d ys h o wt h e i ri n f e c t i o nr e l a t i o n f i n a l l y , w em a k ea na n a l y s i so ne l a s t i cw a v ep r o b l e mo ft h eo n e - d i m e n s i o n a l q u a s i c r y s t a l sb a r w eo b t a i nt h es t a n d a r dw a v ee q u a t i o n sb yt r a n s f o r m i n gt h e c o n t r o le q u a t i o n s 。a n df i n df o u rs p e e d so ft h ew a v e b a s e do nt h eg i v e ni n i t i a l c o n d i t i o n s ，w eg a i n e dt h eg e n e r a ls o l u t i o n so ft h eo n e - d i m e n s i o n a lw a v ee q u a t i o n s t h ed i s p l a c e m e n ts o l u t i o n sa r ea l s of i g u r e d t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o s i xc h a p t e r s t h er e s e a r c ha c t u a l i t yo ft h e r e l a t e df i e l do fq u a s i c r y s t a l si sb d e f l yi n t r o d u c e di nt h ef i r s ts e c t i o n a n dt h ew o r kt o b ed o n e t h er e s e a r c hm e t h o d sa n di t s s i g n i f i c a n c ea r ea l s oe x p l a i n e di n t h i s s e c t i o n t h el i n e a re l a s t i ct h e o r ya n dt h ep h y s i c a lm e t h o d su s e di nt h i sa r t i c l ea r e b d e f i yi n t r o d u c e di nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w er e s p e c t i v e l y a n a l y s e da n ds t u d i e dt h ef r e ev i b r a t i o ni nl o n g i t u d i n a ld i r e c t i o np r o b l e ma n dt h e f o r e dv i b r a t i o n p r o b l e mo ft h eo n e - d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a l b a r t h ew a v e 2 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 c h a r a c t e r i s t i co ft h eo n e - d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a lb a ri ss t u d i e da n da n a l y z e da s a ne m p h a s i si nt h ef i f t hs e c t i o n t h el a s tc h a p t e ri n c l u d e st h es u m m a r ya n d p r o s p e c t k e y w o r d s ：q u a s i c r y s t a l sb a r , p h o n o n f i e l d p h a s o n f i e l d ，f o r e dv i b r a t i o n ，f r e e v i b r a t i o ni n l o n g i t u d i n a ld i r e c t i o n ，w a v e ，t h ev i r t u a lw o r kp r i n c i p l e ，v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e l i uj i j u n ( m a c h i n ed e s i g na n di t st h e o r y ) d i r e c t e db yp f _ s h iw e i c h e n ( ! ：。 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 第一章绪论 能源、信息、材料被称为社会发展的三大支柱，其中，材料研究在近几十年 内得到了迅猛的发展，新型的高性能材料层出不穷。在本世纪8 0 年代中期，材 料领域有三大发现：y b a c u o 高温超导体、富勒烯c 6 0 、和准晶( q u a s i c r y s t a l ) ， 更推动了这一领域的发展。 准晶体是准周期晶体的简称。它是一种具有多重旋转对称轴、不同于传统晶 体和非晶玻璃体的固态物质结构。自从准晶被发现以来，许多科学家在此方面进 行了大量卓有成效的研究。同时，这一进展也给物理学家，特别是固体物理学家、 力学家和材料学家提出了新课题。随着准晶逐步作为结构材料而在生产实践中得 到广泛使用的阶段的到来，其力学性能的研究必将越来越受重视。 一 1 1 准晶的发现及结构特征 近百年来，人们对世界上成千上万种晶体进行了大量的研究。最初人们是用 眼睛对晶体的几何外形进行观察研究，后来发展到用光学显微镜进行细微结构的 研究，通过这些研究，使人们认识到晶体是由某些基本单元( 晶脑) 在三维空间做 周期性排列而构成的。后来这种平移周期性又被归纳成1 4 种点阵，称为1 4 种布拉 菲 b r a v a i s 点阵。也就是说，晶体中的原子排列，可用一些基本单元来描述，这 些基本单元在空间中的排列方式只有1 4 种，称为空间点阵。受这种平移周期性的 限制，晶体的旋转对称也只有1 、2 、3 、4 、6 这五种& p 3 6 0 。、1 8 0 。、1 2 0 7 、 9 0 。和6 0 。五种旋转对称】，而5 次【7 2 。】和大于6 次的旋转对称都是不可能的， 因为它们破坏了平移周期性。本世纪初x 射线的发现。开创了晶体研究的新纪元。 由于x 射线的波长是如此之短，原子在晶体内三维空间的排列可视为一种三维光 栅，对x 射线产生明显的衍射，而明锐的衍射峰恰好证实了上面谈到的平移周期 性的存在，尔后，人们对数万种晶体进行了x 射线的结构研究，无一不表明这种 平移周期性的存在。因而，打开任何一本有关固体物理晶体学的教科书，人们都 可以看到如下开宗明义的结论：“晶体具有平移周期性，晶体中5 次和超过6 次以 上的旋转对称都是不存在的”。 然而j1 9 8 4 年底，美国国家标准局的道谢克曼等人在用电子显微镜观察由 特殊的急冷法制备的a 1 一m n 合金时，意外地观察到有五次对称性的清晰的电子 衍射谱。这套电子衍射( 与x 射线衍射相似但波长更短) 谱却使上述信条受到了挑 战。这套衍射谱中的衍射斑点具有同晶体衍射一样的明锐性一一说明应具有晶体 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 那样的平移周期性：但衍射斑点的分布却又呈现5 次旋转对称性一这是与平移 周期性不相容的! 这使人困惑不解。5 次对称的存在说明不应具有平移周期性， 而没有平移周期性为什么衍射斑点又象晶体那样明锐? 这到底是不是晶体? 由于这一发现“违背”了晶体学中最经典的基本定律，引起了许多晶体学家 和凝聚态物理学家们的极大重视。各国科学家都争先用x 射线衍射，中子衍射， 电子衍射和高分辩电子显微镜等手段，对这种新材料进行了深入的研究，很快就 弄清了它的结构特征。这些研究表明了它既不是晶体，也不完全是非晶体，而是 一种介于晶体和非晶体之间的一种具有特殊排列方式的材料。并给它以“准晶体” 这一新概念。 我们知道，传统的固体原子结构被分为两大类，即晶体和非晶体结构。晶体 的结构是高度有序化的，它具有以原胞周期性排列为特征的长程平移序和满足晶 体学点群为标志的最近邻价键长程指向序。相反的f 非周期却不具有这种晶体长 程相关性。准晶体作为一种新被发现的晶体结构形态，在结构特征上是处于两者 之间的。准晶体具有以下结构特征： ( 1 )这种物质的原子排列与非晶不同，而显示出长程并进排列。 ( 2 )原子不呈现周期性排列。 ( 3 )原子呈现准周期性排列。 任何准周期结构都可以用适当的高次周期结构的断面来表述并能以数学计算来 证明。此外，准晶体的主要特征还有自相似性，黄金分割系数，多种单胞组成和 具有晶体中不容许的对称性等。 以一维准晶体为例，图l 中给出了一维准周期原子排列方式。把图1 ( a ) 中 的一部分原子去掉，则构成了图1 ( b ) 所表示的一维准晶体。新构成的准晶体与 原来图l ( a ) 中准晶体的原子排列方式完全相同，我们称图1 ( a ) 和图l ( b ) 具有 1 1 1i i f 圈1 ( ) 以黄佥比f 为准周期的一维准周期原千 捧列( b ) 田( ) 的原子捧列中，取出一部分原 予后，耨剐的准周期为f 的募一种赢干排列 自相似性。从图l 我们看到了 原子的排列虽然没有平移周期， 但还是有一定规律的。这种排列 规律就称为准周期性。把一维情 形可以推广到二维和三维情形 。 时，与准周期性共存的还有旋转 对称性。当旋转对称性为晶体中 所具有的2 、3 、4 、6 次对称性 时，准周期性没有任何限制，甚 至任何无理数都可以，这种情形 就是晶体中的无介度调制结构。 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 当旋转对称性为晶体中不容许的对称性时( 为五次、十次对称等) ，准周期性要受 到限制。如在二维情形中，具有五次对称性的 准周期是由两种菱形组成。一种是内角为3 6 。和1 4 4 。菱形；另一种是内角为 7 2 。和1 0 8 。的菱形。把这两种菱形按一定的配合原则镶配在一起，就构成了图 2 给出的二维潘劳斯0 e 1 1 r o s e ) 格子。在三维 情形中，我们用一种与晶体中的单胞( 四面 体八面体、立方体等) 不同的二十面体做单 胞，这种二十面体有二十个面，每个面都是 等边三角形。因为这种二十面体具有五次旋 转对称性，所以它不能做晶体中的单胞。可 是把二十面体用p e n m s e 的非周期铺砌方法 排列起来，我们就得到了有准周期性并具有 晶体中所不容许的五次对称性的三维体系， 也就是准晶体。 1 2 关于准晶的研究与问题 一 目2 五次姆称性的p e a i o $ e 拼图 准晶的发现突破了原来把固体划分成结晶体与非晶玻璃体的传统观念，发现 了固体中的一种新的对称性一准周期对称性，在理论上具有重大意义。它也是凝 聚态物理的一个重要突破，已经引起了物理学家和材料科学家的重视。近十几年 来科学家们从不同的方面对准晶材料开展了广泛的研究。同时，这一进展也给物 理学家，特别是固体物理学家、力学家和材料学家提出了新课题，其结构的准周 期对称性很有理论价值。 准晶的发现已经六七年了，但目前只对其结构的一些基本特征如准晶中新颖 的对称性、准周期性等等，有了一些初步的了解。可以预言，这些新颖的结构特 征将会产生一些特殊的物理性能。理论研究方面，也仍有许多很重要的问题需要 深入研究。目前人们对晶体的电子学、热力学、力学性能的认识都是建立在晶体 的平移周期性这个基础上的。对准晶这类缺少平移周期性的有序相，这些性能将 如何呢? 这些还都是谜，有待我们去探索、发现。在应用数学方面，准晶体促进 了离散几何、群表示论和f o u r i e r 分析等分支的工作 我国科学工作者在准晶的发现中也作出了突出的贡献，研究成果在国际上也 一直处于领先地位，王宁等在c r - n i s i 合金中首次报道了八次对称二维准晶的发 现，张泽等独立地在t i v 斟i 合金中发现了新的二十面体三维准晶，冯国光等在 骤冷a i f e 合金中发现了十次对称准晶相，陈焕等在合金v - n i s i 中发现十二次 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 对称准晶。除了二维准晶和三维准晶之外，冯端，何伦雄等，杨文革等也分别制 各或发现了一些一维准晶。 准晶研究也成为我国近十年来在材料科学和凝聚态物理方面最有成就的领 域之一，并且在国际上居于先进行列之内。迄今为止，已经发现和制备出了稳定 的高品质大单晶准晶。准晶作为轻质量、高强度和适宜在中温状态下工作的材料， 正在成为功能材料和结构材料，具有应用前景。 由于准晶弹性和缺陷以及其它同力学性能有关的领域的研究，也向力学提出 了挑战，引起了力学工作者的兴趣。准晶体的力学性质的实验研究还仅仅是开始。 要得到能作力学测量的大块优质准晶材料是很困难的。在力学性质方面已开展的 研究有：关于准晶体的稳定性的研究；关于弹性性质的研究；关于准晶体 塑性性质的研究等等。这些研究结果，除了发现准晶体很脆这一特点外，没有得 到什么可以肯定的结果。这种脆性可用准晶体中位错运动相当慢i 几乎不能引起 塑性形变来解释。 1 3 准晶的应用 准晶材料的研制及其性能的稳定，使它有可能成为一种新的功能材料与结构 材料，因而准晶具有重要的应用前景。由于准晶材料的独特性能，人们的目光不 仅局限于实验研究而转向应用开发，1 9 9 6 年8 月在美国专门召开了以准晶材料 和应用为中心的研讨会，吸引了许多国家的企业代表参加。 准晶的导热率低，并且在高温时具有超塑性，可以缓解由于热膨胀系数不同 造成的热应力。另外，作为一种金属间化合物，它与高温合金的相容性也比较好。 正是由于准晶材料所具有的这些独特优点，许多科学家认为准晶涂层是将来飞机 发动机叶片涂层的理想候选材料。国外已有人在发动机叶片上成功地制备了准晶 涂层，然而具体工艺却是保密的。 准晶材料具有极低的自摩擦系数，远远低于普通钢材，在材料表面如果采用 准晶涂层将大大提高其耐磨性，这对于要求耐磨性好的零件具有很高的应用价 值。 除此之外，最早被利用的准晶性能是不粘性，准晶材料由于表面能很低，与 油污的结合力小，这样便于清洗，法国有人首先研制成功了具有准晶涂层的不粘 锅，以取代目前耐磨性不理想的聚四氟乙烯涂层。高硬度、耐磨损性也有助于不 粘性的提高和使用寿命的延长。 准晶的光学性能独特，对光具有吸收性，它也具有高的红外传导率，有研究 表明仅l o n m 厚的灿一c u f e 准晶涂层在短波时对光的吸收率可达9 2 以上。 4 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 由此可见，准晶作为一种光学功能材料也很有前景。 琪密正在开发的应用领域有储氢、作为催化剂材料等等。 在准晶材料的应用中必须注意的一个重要问题是它的脆性很大，难以作为结 构材料直接使用，这就极大地限n t 它的应用范围。若要为准晶开辟广阔的应用 前景，必须要克服其脆性大的弱点，可采取制备复合材料或制成表面涂层两个途 径来达到这一目的国外采用的方法大致有气相沉积、溅射等等。气相沉积的方法 是将母材在真空中加热到一定温度使其气化，原子在基体上冷凝形成涂层。这种 工艺的难点在于各种元素的蒸汽压不同，因而难于准确控制成分。溅射的原理是 利用高能离子撞击靶材，通过能量交换使原子脱离出来并在基体上形成涂层。相 对来讲容易控制成分，但涂层的形成速率较低。 准晶从发现至今不过十几年的时间，由于其特殊的结构和性能，已引起全世 界科研工作者的极大兴趣，并认识到了这种新材料的应用潜办。一但是由于准晶材 料的历史很短，还存在许多了解得不够深入的问题，例如在理论上对准晶的形成 机制，变形机制和氧化机理仍然不清楚，为真正能够实际应用，需要做大量的工 作去进一步探索准晶材料的制备工艺，结构与性能的关系以及应用条件等等。 在未来准晶材料的应用中，隔热涂层将是一个重要方向。热障涂层广泛用于 工业各个领域，一般与其它材料复合以获得良好的综合性能，这一点对热循环和 高隔热尤其重要。隔热常常是为了保护材料而将温度场限制在表面区域内，以降 低构件内部的温度，在实际应用中通常是在材料表面沉积低导热的陶瓷氧化物来 达到该目的，但它的密度较大，力学性能也不好由于准晶材料的导热率很低， 密度小，力学性能突出，目前被认为是一种理想的陶瓷替代材料。准晶的这种性 能对于涂覆金属合金特别具吸引力。因为准晶和陶瓷相比，在与基体的机械和化 学相容性方面更有优势，而且得益于前面所提到的高温超塑性，准晶可以承受由 于涂层和基体的热膨胀系数不同而引起的热应力，可以避免由于热应力过大而引 起涂层的剥落失效，提高使用寿命。 1 4 本文的主要研究工作及意义 准周期现象的出现使得晶格结构存在局部重新排列的物理事实，这表明准晶 体在承受外载荷的作用下，其宏观力学特性是受材料内部结构的改变而变的。这 样的物理事实导致准晶体存在声子场的位移和应力、以及相位子场位移和应力。 声子场位移给出材料的宏观变形，而相位子场的位移只反映晶格局部重新排列的 状态，这是准晶体的几何、物理特性。由于准晶体的应变能密度是标量，而且存 在使晶格局部重排的相位子场的位移和应力，从而在应变能密度形式不变的点群 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 操作中可获得多种反映材料特性的材料系数。对于具有这种新的物理特性的准晶 体，进行各种力学性能分析是必要的。 同时，随着工程技术的发展，机械振动问题己成为各个工程领域内经常提出 的重要问题。工程机械如：车辆、船舶、飞机、航天器、建筑、桥梁等都经常处 在各种激励的作用下，而不可避免的产生响应，亦即发生各样的振动。现代工程 技术对振动问题的解决提出更高、更严格的要求，因此，振动问题在工程实际中 有广泛的应用。作为一种材料，同其它材料一样，准晶杆也有振动所带来的变形。 本文主要研究一维六方准晶杆的振动特性和波动问题。 对于这一研究工作，将先从一维六方应力位移关系出发，通过能量变分法导 出控制方程，然后利用边界条件求解控制方程，得到声子场和相位子场的一维自 由纵向振动方程。接下来，在准晶杆的一端加上分别作用于声子场和相位子场的 周期力，通过虚功原理和最小势能原理得到其强迫振动方程，然后运用杜哈梅积 分求解得到声子场和相位子场的位移响应。同时取一个特例，并辅以图表将它们 的影响关系明确的显示出来。最后，对一维准晶杆的弹性波动问题进行了初步分 析，由波动方程给出了波的传播速度，再由给定的初始条件求出一维波动方程的 一般解。 杆是比较简单的结构，对准晶杆振动和波动问题的初步探讨，希望是能够认 识结构更为复杂、以及各种承载情况下准晶材料同类问题的前提和必备条件。这 是本文的理论意义所在。当然，作者也只是在该方面做了比较有限的工作，希望 基此引起更多人对该问题的注意和兴趣。 6 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 第二章准晶的线弹性理论介绍 准晶作为一种材料，同其它固体材料一样，也会发生变形。在本章，主要引 用范天佑所著的准晶数学弹性理论及应用一书中的理论，将准晶体视为线弹 性固体，将晶体的线弹性理论推广到准晶体，建立适合准晶的线弹性理论，导出 各类弹性方程的普遍表达式，为后续章节做好理论准备。 准晶弹性性质是有趣的性质之一。在准晶的弹性理论中，一个重大进展就是 丁棣华等，杨文革等提出的准晶的广义弹性理论，以下简称准晶弹性理论。通过 引入一个位于垂直空间中的应力张量，象经典弹性理论一样，在准晶弹性理论中 也建立了准晶应力一应变关系( 即广义虎克定律) ，几何关系及平衡方程。在这些 方程中，一套是位于平行空间，另一套是位于垂直空间。在这两个空间中的物理 量的联系可以由声子场与相位子场的耦合关系来确定。利用这些关系，原则上可 以求解准晶弹性理论中的任何弹性问题，包括应力边值问题，位移边值问题及混 合边值问题。然而，由于准晶弹性理论中的相位子场的出现，使得准晶弹性理论 中的基本控制微分方程比经典弹性理论中的相应方程多一倍以上，从而求解这些 控制微分方程的边值问题比经典弹性理论中相应方程的边值问题要困难得多。 2 1 声子场和相位子场的概念 准晶发现以后，b a l ( 及s o c o l a r 等人首先研究了准晶的弹性，按照连续介质 的l a n d a u 元激发理论，他们得出准晶系统存在着声子和相位子两类元激发。d 维准晶的质量密度波p 可以表示为一个f o u r i e r 级数： p ( r ) = p ge x p ( i g r ) = i 户g l e x p ( i m 。+ i g - r ) ( 2 1 ) g e l lg e l a 其中i p 。i 和中。分别为于对偶点阵( 倒格子) k 相联系的质量密度波的振幅和 - 相位。存在n 个基矢量g n 使得对于每个g 厶都可以写成埘。q ，这里聊。为 整数，n = k d ，其中k 代表d 维准晶中无公度矢量组的个数。一般地，k = 2 。准晶 的弹性行为完全可通过质量密度波的n 个相位中m 。来表示。而这些相位可由下 式表示： m 。= 础, + 甜w ( 2 2 ) 这里矢量础和声子场位移u 发生在物理空间( 或称平行空间) e u 中，而矢量g 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 和相位子场位移w 发生在补空间( 或称垂直空间) e 中。位移场u 发生在物理空 间中，它描述原子偏离平衡位置的小振动而激发的晶格波，这种波的量子称为声 子。因而u 场相应于普通晶体的声子场，其低能长波元激发是传播型的，u 的梯 度表示晶胞体积和形状的改变。若把准晶体接连续介质近似处理，位移场u 同经 典弹性力学中的位移场相一致。 准晶虽然存在长程平移序，但它是准周期的，因而这种平移序是无公度的， 它导致普通晶体中所没有的附加空间( 即e 。) 中的相，用位移场w 表示，称为相 位子场。与相位子模型相应的元激发是扩散型的，它的梯度表示晶格的局部重排， 而在晶体中这种重排是不可以区分的。 2 2 准晶的应变张量 前面已提到，为了描写准晶结构的新的对称性，引进了高维空间概念。它是 一种数学空间，并不是真实的物理空间。高维空间中的周期结构与真实物理空间 中的结构存在着一定的联系，这种联系可以用某些投影方法得到。其中一种方法 称为晶格切割一投影法，以三维准晶为例，三维准晶问题通过相应的六维周期晶 格有选择性的投影而得到。六维空间e 6 可以分成两个相互垂直的三维子空间 晶和日： e 6 = e j o e i ( 2 3 ) 正象前面所说的，e 矗是准晶所在的实空间，常称为物理空间或平行空间，e i 是 描述无公度结构而引入的一个补空间，经常称它为数学空间或垂直空间。以 0 。，e ：，e ， 和p 。，气，e 。) 分别代表物理空间e ；和垂直空间皿的正交归一基矢 量，其取向可根据不同的准晶有不同的惯用取法，在层；和e , 3 中各建立一个笛卡 尔坐标系。假设r 6 是六维空间中的一个超立方体，由切割一投影方法，镶嵌在r 6 中的一些条带上所有晶格格点投影到晶，生成一个准晶品格，此准晶品格可以 看作一个连续介质。同一条带上所有的点在e j 上的投影落在一定范围内，也视 为一个连续介质。 假设甜是中的六维位移矢量，把它投影到碥和日上，有： 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 孑= ”o w ，“= 每。，“：，“3 ，w = w i ，w 2 ，w 3 ( 2 4 ) 其中u iw s 表示高维空间中的位移矢量万在物理空间和补空间中的两个投影u 和w 相应的分量，而且，它们都是物理空间中的位置矢量，= r ( x 。，工：，x ，) 的函 数。 。 令v = q a ，这里或2 ，是与位置矢量，= ，( 工- ，工：，工，) 相应的微分算子， 则有 v 盯= v u o v w( 2 5 ) 其中v “与v w 是两个3 3 的三阶矩阵。 对于准周期结构的准晶，j a n s s e n 认为其对称操作可以分成两类不同的形式。 一种形式为e 矗和e 具有不可约( i r r 蜘u c i b l e ) 表示，杨文革等提出的立方准周期结 构属于这一情形。在这种情形下，位移的梯度v 石= v u o v w 可以分解为对称与 反对称两部分： v u = ( v u ) 5 + ( v “) 。 ( 2 6 ) v w = ( v w ) 。+ ( v w ) 。 ( 2 7 ) 其中上标s 表示对称部分，a 表示反对称部分。 而 ( v ：( o j u i + c g ，u ，( v = p 一，旬 ( 2 8 ) ( v w ) s ：( o j w , 一吲，( v w ) 4 = p ，w j - 0 i 垅 ( 2 9 ) 对称部分代表晶胞体积和形状的变化，反对称部分代表不改变弹性应变能的刚体 转动。 对于第二类操作，相位子位移场w 必须遵循一个与声子位移场u 、位置矢量 r 和微分算子v 所不同的不可约表示进行变换。因此，尽管声子场位移的梯度可 以分解为对称和反对称两部分，而且，反对称部分不影响弹性能，但相位子场位 移的梯度中的反对称分量却影响准晶的弹性能。所以，在这种情况下，声子应变 场白与相位子应变场分别定义为 勺= ( a ，嘶+ a f ”川2 ( 2 1 0 ) = a jw ( 2 1 1 ) 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 显然，白为对称张量，为非对称张量，它们满足下面的相容性方程： 一8 辨e 。a a 。s h = o ，一8 社e h 。a ，a 。w h = 0 ( 2 1 2 ) 式中的即熟知的l e v i c i v i t a 记号。 2 3 弹性能密度与弹性常数 从宏观角度考虑，准晶由于变形而具有弹性应变能，它是声子应变场嘞和 相位子应变场的函数，其密度f 由三部分组成：由声子场激发的f 。，由相位 子场激发的f ”以及由声子场一相位子场耦合所激发的f ，即 f ：f n + f w + ，一 ( 2 1 3 ) 将弹性能密度f 在知= 0 ，w # - = 0 附近展开成t a y l o r 级数 ，1 1f 矧0 2 f 。赳器卜 + 1 ：p fo ，2 帆f 卜+ 斟器卜 弦 + 2 l a s f a j 。勺h + i l 丽j 。峋 喵n = 吉白+ 圭h 十2 1r 州勺h + 三尺知 我们定义下列三类弹性常数： 2 l d 勺o z d f 钆1 j 。 ( 2 1 5 ) 它于声子应变场相关，与经典弹性理论中的弹性常数一致 = c 埘= = ( 2 1 6 ) 它是一个四阶张量，常用一个9 x 9 的矩阵【c 】表记它。另一类是与相位子应变场 相关的弹件常数 k 嘲= 它也是一个四阶张量 k u u = k 枷 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 我们也用一个9 x 9 的矩阵 k 】表记它。 第三类弹性常数是反映声子应变场- q 相位子应变场之间的耦合作用 驴ia 2 f i 。，- 最 。 眨 显然，它们具有下面的性质： = ，= 月缸，= r 如 ( 2 2 0 ) 它们是四阶不对称张量，但二者具有互为转置关系。若用9 x 9 矩阵表示， 。 则有 【r 】= 陋r ( 2 2 1 ) 上角标t 表示转置。在这里，必须注意一个问题：中的下标t 工毛中 的下标工l 以及r 。中的下标上它们标记的是物理空间中的坐标分量。而 钿 中的下标丘j 中的七标记数学空间中的坐标分量。它们在准晶的对称操作中 有不同变换特征。 这三类弹性常数可以用一个1 8 1 8 的矩阵表示，它的块状简洁形式是 曷跚= 呙跚 c z z z ， l 刚k 1 j 一【r 1 刚 ” 如果我们按下列次序定义一个列矩阵或行矩阵： 陋矽】= ( 毛l ，岛2 ，占m 占2 3 ，岛l ，占1 2 占3 2 占1 3 岛i ， w l i ，w 2 2 ，w 3 3 ，w 2 3 ，w 3 1 ，w 1 2 ，w 3 2 ，w 1 3 ，w 2 1 ) ( 2 2 3 ) 那么，弹性能密度f 的表达式可用矩阵形式重写如下： f = 丢陋形硝跚习 z a ， 2 4 应力张量与运动( 平衡) 方程 与上述两个弹性应变场相对应，准晶体中应存在两个应力场。与白对应是 声子应力场，以及相应的面力密度矢量l 它们的意义与传统的晶体弹性理论 一样。与对应的是相位子应力场h 口，以及面力密度矢量h 。吼是二阶张量的 上海海运学院硕士学位论文一维准晶杆的振动和波动分析 分t i t ：它描述了作用在e u 空间中法线沿j 方向的面上的应力在q 空间中沿i 方 向的分量。设n 表示准晶表面外法线方向单位矢量，则面力矢量与应力矢量的关 系是 l = o o n ，h f = h o ” ( 2 2 5 ) 设矿是物理空间e u 中的任一体元，s 是其闭合表面。作用在准晶体上的体 力除惯常的体力密度厂之外，还假设一个广义体力密度g 。它的方向由e 空间决 定。将牛顿运动定理在形式上推广到准晶情况，牛顿的动量定理就是 丢f p 。计d y 2 f ( f 。g ) d v + f 仃。 ) 栅 ( 2 2 6 ) 上述方程可分为两个方程组 面dj ，删d y 2f f a y + t d s ( 2 2 7 ) 丢f 删y 2 f 矿+ p 舔 ( 2 2 8 ) 以上方程中的与伽代表速度。 应用g a u s s 定理并结合( 2 2 5 ) 式，就可以导出运动方程组。 a p 七l l = 蕊t q 2 9 ) 8 h 口+ g i = 融l q 3 0 ) 以及静平衡方程组 a f + f i = 0 ( 2 3 1 ) a i h + g l = o q 3 2 ) 其次考虑牛顿角动量定理，有 丢l r 鲋。忉d y = f ，( f 。g ) d v + l r ( t 。h ) d s ( 2 3 3 ) 由于r 与，谛，g 彬是分属于两个正交子空间e u 和目的矢量，所以，r 与伽，吕 h 的矢量积无意义。于是，角动量定理表达式( 2 3 3 ) 简化为晶体弹性理论的通常 形式 丢f ，倒y = f ，+ f r t d s ( 2 3 4 ) 应用g a u s s 定理不难导出应力互等定律 = o j i ( 2 3 5 ) 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 但对于，由于不存在与式( 2 3 4 ) 的类似表达式，所以，一般有 h 口h # 但在立方准晶的情况下，上式变为等式。 2 5 准晶广义h o o k e 定律 ( 2 3 6 ) 与经典弹性理论完全类似的讨论，可以得到应力、应变与弹性能密度之间的 关系如下： ， = 嚣，牛筹 ( 2 。，) 把弹性能密度的表达式( 2 1 4 ) 代入上面两式，立即得到广义h o o k c 定律。 如下： 2 惦“+ h( 2 3 8 ) 【月f = r 埘+ k 州 如果定义一个由，日f 组成的列矩阵，脚标的排列次序与式( 2 2 3 ) 中的白 一样，则广义h o o k c 定律的矩阵形式为 鼢 器嗽 c z s 。， 2 6 一维六方准晶体弹性理论 迄今为止，观察到的准晶有一维、二维与三维三大类，在每一类中按对称性 的不同，又可以分成若干准晶系。其中，一维准晶有三斜、单斜、正交、四方、 三方和六方系，共六个系。其中一维六方准晶系最简单【5 】【6 】。 一维准晶是指一个方向上( 例如z 方向) 原子排列为准周期的，而在与之相垂 直的平面( 例如捌平面) 原予排列为周期的。即使是一维准晶，其结构也是三维的， 即生成在一个三维物体里。严格来讲，一维准晶可以看作由四维空间中的一个超 立方周期点阵向三维物理空间投影而生成。因此，一维准晶其位移场有四个分量， 即 “j “， z 乞 它们都是x ，y ，z 的函数，所以是三维弹性问题。 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 与传统晶体相比，准晶体弹性行为的一个显著不同是：除熟知的位移场u ( 亦称 声子场) 外，还存在另一个位移场w 称为相位子位移场。这两类流体动力学变量 有着完全不同的性质。变量u 描述通常原子偏离平衡位置的小振动而引起格波， 这种格波的量子便是声子，其低能长波元激发是传播型的。变量w 在一定程度上 描述准周期结构拚块的重排( 在晶体中这种重排是不可区分的) 从而形成另一类 低能长波元激发。这种元激发是扩散型的，也将导致局域能量扰动。在这一准晶 类，声子场位移分量为“，“，“：，相位子场位移分量为k 。相应的应变分量为 。：亟。：塑：丝 气2 蔷q2 苗屯2 蔷 勺= 三( 等+ 誓胁。7 l - i a x + 争，勺= 圭( 善+ 誓) ( 2 t 。， ：譬，= 誓，屹= 誓 ( 2 4 1 ) 2 言2 苗鸺3 言 懈 其余的k = 0 。 如果把应变分量( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 按下列方式排列成一个九维矢量，即 6 1 l ，2 屯，2 6 3 l ，2 6 1 2 ，3 ，w 3 l ，w 3 2 】 ( 2 4 2 ) 或 【s 。，s 。，2 ，2 ，2 6 f ，屹，k 】 ( 3 4 2 ) 自然，非零的应力分量也按此顺序排列，t i p ，盯，盯。，2 0 f ，2 吒，2 ，也，比，如】 ( 2 4 3 ) 那么，一维六方准晶系的弹性常数矩阵c k r 】为 其中 【c k r 】= c 1 i = c i l i l = c 2 2 2 2 ， c i 2 = c l l 2 2 ，c 3 3 = c a 3 ”，( = c 2 3 2 3 = c 3 1 3 1 4 ( 2 4 4 ) o o o 墨o o o o 如 o 0 o o 墨o o 如o r 墨恐o o o墨。0 o o o o o o o o o o o o o o 墨o o o o o o o o 墨 o o o 恐o o o o o r o o o o o 蜀o o 上海海运学院硕士学位论文 一维准晶杆的振动和波动分析 c j 3 = c i t = c 2 2 ”，c 6 6 = ( c 1 i c 1 2 ) 2 = ( c i l l l c l l 2 2 ) 2 这表明声子场独立弹性常数为5 个：而k 。= k 3 。，k ：= k 。，= k 3 。：，即相位子 场的独立弹性常数为2 个；r l = 置。= r 2 ：，r ：= 马，b = r 。，：= 马。，即声 子场一相位子场耦合常数为3 个。 根据一维准晶弹性理论，一维六方准晶应力位移关系可以由由弹性常数矩阵 ( 2 4 4 ) 很容易得到，即我们的基本方程，如下 仃麒= c l i s 0 + c 1 2 占即+ e 1 3 占二+ r 1 w 口 盯删= c i 2 占0 + c l l s 0 + c 1 3 占二+ r 1 w = 盯嚣= c 3 b 盯+ c 1 3 占州- i - c 3 3 0 e 嚣+ r 2 w 口 仃月= 2 c “q - + r 3 w 酽= 仃矽 a 。=