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概率论与数理统计第三章作业解答 大龙在这里呢 2017 年 10 月 16 日 摘要 概率论与数理统计电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第三章作业题解答。 目录 1题型分布1 2习题解答1 1题型分布 第三章多维随机变量 二维随机变量及其分布：习题 1-12 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 二维均匀分布（几何概率） 二维正态分布 随机变量的独立性：习题 13-15 条件分布：习题 16-19 条件分布律 条件概率密度 随机变量的函数及其分布：习题 20-29 离散型随机变量的函数及其分布律 连续型随机变量的函数及其概率密度 几种特殊函数的分布（极值分布、和的分布、商的分布） ：习题 30-34 2习题解答 1、二维随机变量（X，Y）的联合分布函数是： F(X,Y ) = A(B + arctan x 2 )(C + arctan y 3 ),(x,y) R2 1 2习题解答2 试求：(1) 系数 A,B,C; (2) 边缘分布函数. 解：(1) lim x F(x,y) = A(B 2 )(C + arctan y 3 ) = 0 B = 2 lim y F(x,y) = A(B + arctan x 2 )(C 2 ) = 0 C = 2 lim x+ y+ F(x,y) = A(B + 2 )(C + 2 ) = 1 A = 1 2 (2)X 的边缘分布函数: Fx(x) =lim y+ F(x,y) = 1 ( 2 + arctan x 2 ) Y 的边缘分布函数: Fy(y) =lim x+ F(x,y) = 1 ( 2 + arctan y 3 ) 2、将两个元件并联组成一个电子部件，两个元件的寿命分别为 X 与 Y(单位：小时)，已知（X， Y）的联合分布函数为 F(X,Y ) = 1 e0.01x e0.01y+ e0.01(x+y),x 0,y 0; 0,其他 （1）关于 X、Y 的边缘分布函数； （2）此电子部件正常工作 120 小时以上的概率. 解：(1)X 的边缘分布函数: Fx(x) =lim y+ F(x,y) = 1 e0.01x,x 0; 0,其他 Y 的边缘分布函数: Fy(y) =lim x+ F(x,y) = 1 e0.01y,y 0; 0,其他 （2） PX 120 PY 120 = 1 PX 120 PY 120 = 1 Fx(120)Fy(120) = 1 (1 e1.2)2= 2e1.2 e2.4= 0.5117 3、对一个目标独立地射击两次，每次命中的概率为 1/2，若 X 表示第一次射击时的命中次数，Y 表示为第二次射击时的命中次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及联合分布函数。 解：X 和 Y 的联合分布律 X Y 01 01/41/4 11/41/4 2习题解答3 联合分布函数: F(X,Y ) = 1,x 1,y 1; 1 4,0 x 1,0 y 1; 1 2,0 x Y = 0.25 6、二维连续型随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 f(X,Y ) = cx2y,x2 y 1; 0,其他 2习题解答4 确定常数 C, 并计算概率 PX Y ； 解： 1 = + + f(X,Y )dxdy = 1 1 cx2dx 1 x2 ydy = 1 1 cx2y 2 2 1 x2dx = 1 1 cx21 x 4 2 dx = C 2 1 1 (x2 x6)dx = C 2 x 3 3 x7 7 1 1= 4C 21 = C = 21 4 PX Y = 1 0 21x2 4 dx x x2 ydy = 0.15 7、设二元函数为 f(X,Y ) = sinxcosy,0 x ,C y 2 ; 0,其他 问 C 取何值时，f(X,Y) 是二维随机变量的概率密度？ 解： 1 = + + f(X,Y )dxdy = 0 sinxdx 2 C cosydy = 2(1 sinC) = C = 6 8、随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 f(X,Y ) = C(x2+ y),0 y 1 x2; 0,其他 试求： （1）常数 C ;（2）P0 x 1/2 ; （3）PX = Y 2; 解： （1） 1 = + + f(X,Y )dxdy = 1 1 dx 1x2 0 C(x2+ y)dy = 1 1 Cx2y + y2 2 1x 2 0 dx = C 1 1 1 x 4 2 dx = C 2 x x5 5 1 1= 4C 5 = C = 5 4 （2） P0 x 1/2 = 1 2 0 dx 1x2 0 5 4(x 2 + y)dy = 79 256 2习题解答5 （3） PX = Y 2 = (x,y)|y=x2 f(x,y)d = 0 9、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 f(X,Y ) = 12e(3x+4y),0 x,0 y; 0,其他 试求： （1）P0 X 1,0 Y 2 ; （2）(X,Y) 的联合分布函数 F(x,y); 解： （1） P0 X 1,0 0 时 F(x,y) = x y f(u,v)dudv = u 3e3udu y 4e4vdv = (1 e3x)(1 e4y) 联合分布函数 F(x,y) = (1 e3x)(1 e4y),0 x,0 y; 0,其他 10、设甲船在 24 小时内随机到达码头，并停留 2 小时；乙船也在 24 小时内独立地随机到达，并停 留 1 小时，试求：（1）甲船先到达的概率 p1;（2）两船相遇的概率 P2. 解： （1） p1= PX Y = 0.5 （2）阴影部分的面积除以总面积 p2= PX Y X + 2 PY X Y + 1 = PX 1 Y X + 2 = 242 0.5 222 0.5 212 242 = 0.120 11、两个人约定在下午 1 时到 2 时之间的任何时刻到达某车站乘公共汽车，并且分别独立到达车 站. 这段时间内有 4 班公共汽车，它们的开车时间分别为 1：15，1：30，1：45，2：00，如果他们约 2习题解答6 定： （1）见车就上； （2）最多等一辆车; 求在两种情形他们同乘一辆车的概率分别是多少？ 解： （1）p1= 4 16 = 1 4 （2）p2= 10 16 = 5 8 12、设二维随机变量 (X,Y ) N(0,1;0,1;0),，计算概率 PX2+ Y 2 0 解： (x,y) = 1 2 e x2+y2 2 , PX2+ Y 2 r = 2 0 d r 0 1 2 e 2 2d = 1 e r 2 13、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 f(X,Y ) = cxy2,0 x 1,0 y 1; 0,其他 确定常数 C，并讨论 X 与 Y 是否相互独立. 解： 1 = + + f(X,Y )dxdy = 1 0 cxdx 1 0 y2dy = C 6 = C = 6 fX(x) = + f(X,Y )dy = 1 0 6xy2dy = 2x,0 x 1 fX(x) = + f(X,Y )dy = 0,其他 fY(y) = + f(X,Y )dx = 1 0 6xy2dx = 3y2,0 y 1 fY(y) = + f(X,Y )dx = 0,其他 有：fX(x) fY(y) = f(X,Y ), 则 X 与 Y 相互独立. 14、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度如下，问 X 与 Y 是否相互独立？ （1） f(X,Y ) = xex 1 (1 + y)2 ,0 0; 0,x 0 fY(y) = + f(X,Y )dy = + 0 xex 1 (1 + y)2 dx,y 0; 0,y 0 = 1 (1 + y)2 ,y 0; 0,y 0 有：fX(x) fY(y) = f(X,Y ), 则 X 与 Y 相互独立. （2） fX(x) = + f(X,Y )dy = 1 x 8xydy,0 x 1; 0,其他 = 4x(1 x)2,0 x 1; 0,其他 fY(y) = + f(X,Y )dy = y 0 8xydx,0 y 1 0,其他 = 4y3,0 y 1; 0,其他 有：fX(x) fY(y) = f(X,Y ), 则 X 与 Y 不相互独立. 15、设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律如表: 问 a 和 b 取什么值时，X 与 Y 相互独立？ X Y 123 11/61/91/6 21/3ab 解：如果 X 与 Y 相互独立，有 PX = 1,Y = 2 = PX = 1 PY = 2 = 1 9 = 1 3 (1 9 + a) = a = 2 9 Py= 1 = b = 1 9 16、某射手进行射击，击中目标两次就停止射击，而且每一次的命中率为 p（0p0) 而且随机变量 X 关于 Y 的条件概率密度为 FX|Y(x|y) = yexy,x 0; 0,x 0 (y 0) 求 X 的概率密度。 解： f(x,y) = FX|Y(x|y) fY(y) = yeyxy,x 0,y 0; 0,其他 fX(x) = + f(X,Y )dy = + 0 yeyxydy,x 0 0,x 0 = (+x)2 ,x 0 0,x 0 19、设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度分别为 fX(x) = 1e1x,x 0; 0,x 0 (1 0);fY(y) = 2e2y,y 0; 0,y 0 (2 0) 2习题解答9 令随机变量 Z = 1,X Y ; 0,X Y 试求： （1）条件概率密度 fX|Y(x|y); （2）随机变量 Z 的分布律和分布函数。 解： （1）当 y0 时， fX|Y(x|y) = fX(x) = 1e1x,x 0; 0,x 0 （2） f(x,y) = fX(x) fY(y) = 12e1x2y,x 0,y 0; 0,其他 PZ = 1 = (x,y)|xy f(x,y)d = + 0 1e1xdx + 0 2e2ydy = 1 1+ 2 PZ = 0 = 1 PZ = 1 = 2 1+ 2 Z01 p 1 1+2 2 1+2 20、已知离散型随机变量 X 的分布律为 X0 2 PX = xi 1 4 1 2 1 4 试求 Y = 2 3X + 2 和 Z = cosX 的分布律. 解： Y = 2 3X + 2 2 3 + 2 2 3 + 2 P 1 4 1 2 1 4 Z10-1 P 1 4 1 2 1 4 21、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X N(n1,p),Y N(n2,p)，证明：Z=X+Y 服从参数为 n1+ n2,p 的二项分布。 解： PX = k = Ck n1p k(1 p)n1k,PY = k = Ck n2p k(1 p)n2k 2习题解答10 PX + Y = m = m k=0 p(k)p(m k) = m k=0 Ck n1p k(1 p)n1kCmk n2 pmk(1 p)n2m+k= Cm n1+n2p m(1 p)n1+n2m 故 Z B(n1+ n2,p) . 22、设 X 与 Y 是相互独立同分布的随机变量，其分布律为 PX = n = PY = n = 1 2n(n = 1,2,.，求 Z=X+Y 的分布律。 解： PX + Y = m = m k=0 p(k)p(m k) = m1 k=1 1 2k 1 2mk = m 1 2m ,(m = 2,3,.) 23、科学家观察某个放射物的情况，发现在（0，7.5） （单位：秒）内放射出的 -质点个数 X P(3.87), 共做了 2608 次测试，试求：整个过程中放射出的 -质点个数 Y 的分布律. 解： Y P( 2608 1 3.87) 24、设二维连续型随机变量 (X,Y ) N(0,10;0,10;0)，计算概率 PX Y . 解： PX Y = (x,y)|xy f(x,y)d = 1 2 25、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度如下， f(x,y) = 1 2 exp1 2(x 2 + y2),(x,y) R2 计算概率 P2 X + Y 22 解： fX(x) = 1 2e x2 2,X N(0,1);fY(y) = 1 2e y2 2,Y N(0,1) 则Z = X + Y N(0,2), P2 0; 0,y 0 Y 不是连续型随机变量。 2习题解答11 27、设随机变量 X N(,2)，写出： （1）Y = ex;（2）Y=|X| 的概率密度. 解： （1）函数 Y = g(x) = ex在整个定义域内处处可导，单调增加。 其反函数为 x = h(y) = lnx, 有 X= h(x) = 1 y,y 0 当 y 0 时, fY(y) = fXh(y)|h(x)| = fXlny1 y = 1 2 e (ln y)2 22 1 y 当 y 0 时, fY(y) = 0 , fY(y) = 1 2 e (ln y)2 22 1 y ,y 0; 0,y 0 （2）当 y 0 时, FY(y) = PY y = P|X| y = Px y x = y y fX(x)dx, fY(y) = F Y(y) = fX(y) fX(y)(1) = 1 2 e (y)2 22 + 1 2 e (y+)2 22 当 y 0 时, fY(y) = 0 , fY(y) = 1 2 e (y)2 22 + 1 2 e (y+)2 22,y 0; 0,y 0 28、设随机变量 X 的概率密度 f(x) = 3x2,0 x 1; 0,其他 写出 Y = 1 X2，的概率密度. 解：当 0x1 时, 函数 Y = g(x) = 1 x2处处可导，单调增加。 其反函数为 x = h(y) = 1 y, 有 |X| = |h(x)| = 1 21y,0 y 1 当 0 y 0; 0,y 0 29、设随机变量 X 概率密度 f(x) = 1 2x,0 x 2; 0,其他 写出 Y = X(2 X)，的概率密度. 解：当 0 1 时, FY(y) = 1 , 当 y 0 时, fY(y) = 0 FY(y) = 0,y 0 1 1 y,0 1 fY(y) = F Y(y) = 1 21 y ,0 y 1 0,其他 30、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度 f(x,y) = 2e(x