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摘要 摘要 题目；m a r k o v 跳变系统的滑模控制 学科、专业：检测技术与自动化装置 硕士研究生：唐中一 导师：刘飞教授 m a r k o v 跳变系统代表类重要的随机系统，许多工业和科学领域，如制造系统、生 化系统、电力系统甚至经济系统，网络通信系统都可以抽象成m a r k o v 跳, 变系统模型。该 系统特点是运行过程中常常遭受环境的突然变化、人为干预、大系统内部各子系统间联 结方式的改变、工作范围的变化以及系统部件的损坏等随机突变影响。因此研究跳变系 统的分析与综合问题可以为这些工程系统控制问题的解决提供理论基础。 滑模控制是一种十分有效的鲁棒控制策略。七十年代以来，滑模变结构系统以其独 特的优点和特性引起了西方学者的广泛重视，许多学者对其进行了深入的研究，使得滑 模控制理论逐渐发展成为一个相对独立分支。本文根据滑模控制理论的发展现状，以及 实际应用对于滑模控制理论提出的新要求，以跳变系统为研究对象，对其滑动模态的稳 定性、耗散性以及基于观测器的故障诊断进行了深入的研究和探讨，并给出了相应的研 究结果。 本文的主要研究工作概括如下： ( 1 ) 针对广义跳变系统的h 。控制问题，提出基于模态跳变的无记忆状态反馈控制器 的设计方法。首先利用反证法与线性变换技术保证系统的正则性和因果性，再 利用构造的l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式，证明并给出了系统容许性的充分 条件，最后，提出了次优h 。控制设计方法。仿真示例表明所设计的控制器对于 干扰有很强的抑制能力。 ( 2 ) 考虑不确定跳变系统的滑模控制问题，其中控制的不确定性是不匹配的且范数 有界。利用l y a p u n o v 方法和线性矩阵不等式技术，给出了系统滑动模态渐近稳 定的充分条件。利用该线性矩阵不等式的解可以得到所设计的滑模控制律和积 分滑模面。从理论上能够证明滑模控制律能保证状态轨迹驱动到指定的切换面 上，并给出了仿真验证方法的有效性。 ( 3 ) 针对既含有连续时问演化，又含有马尔可大事件驱动的一类非线性不确定混杂 动态跳变系统，研究相异滑模面上的耗散控制问题。对于跳变系统所具有的匹 配的不确定性，可根据变结构控制理论，设计比例积分多滑模面及相应滑模控 制器。与此同时利用耗散控制理论并结合线性矩阵不等式，得到存在非线性和 非匹配不确定性滑模面的无记忆状态耗散控制器。如此，系统滑模耗散控制器 便可给出。最后仿真事例验证了定理的正确性。 ( 4 ) 针对一类具有m a r k o v 跳变参数的非线性不确定系统，设计一种新的鲁棒滑模观 测器。通过奇异值分解技术对系统进行降阶处理，并提出优化滑模策略，使得 摘要 对系统范数有解不确定性以及外界干扰具有鲁棒性，滑模观测器中的参数利用 线性矩阵不等式技术获得。利用设计的滑模观测器实现故障的检测与估计。 最后是全文的总结与展望。 关键词：跳变系统；滑模控制；耗散性；故障诊断；广义系统；容许性；i - t o o 控制； 积分滑模面 i i a b s t r a c t a b s t r a c t m a r k o vj u m pl i n e a rs y s t e m sc o m p r i s ea ni m p o r t a n tc l a s so fs t o c h a s t i ct i m e - v a r i a n t l i n e a rs y s t e m st h a th a v eb e e ni ng r e a te v i d e n c eo v e rt h el a s ty e a r s l a r g en u m b e ro fr e a l s y s t e m ss u c ha sm a n u f a c t o r yp r o c e s s e s ，b i o l o g ya n dc h e m i s t r ys y s t e m s ，p o w e rs y s t e m s ， n e t w o r ks y s t e m sa sw e l la se c o n o m i cs y s t e m sc a nb ep r o p e r l yd e s c r i b e db ym a r k o vj u m p l i n e a r s y s t e mm o d e l ，w h i c hs u b j e c t t os u d d e ne n v i r o n m e n tc h a n g e s ，c h a n g e si nt h e i n t e r c o n n e c t i o n so fs u b s y s t e m s ，m o d if i c a t i o no ft h eo p e r a t i n gp o i n to fal i n e a r i z e dm o d e lo fa n o n l i n e a rs y s t e m ，r a n d o mf a i l u r e sa n dr e p a i r so ft h ec o m p o n e n t sa n ds oo n s ot h es t u d yo f m a r k o vj u m pl i n e a rs y s t e mc a np r o v i d eat h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nt os o l v et h ec o n t r o lp r o b l e m o ft h e s es y s t e m s s l i d i n gm o d ec o n t r o li sa ne f f e c t i v er o b u s tc o n t r o ls t r a t e g y a f t e rt h e19 7 0 s ，t h es l i d i n g m o d ec o n t r o ls y s t e mr e c e i v e de x t e n s i v ea t t e n t i o no ft h ew e s t e r nr e s e a r c h e r sf o ri t sd i s t i n c t m e r i t sa n df e a t u r e sa n di th a sb e e nd e e p l ys t u d i e df r o mt h ed i f f e r e n ta s p e c t sw i t hm a n y m a t h e m a t i cm e t h o d s n o w , t h es l i d i n gm o d ec o n t r o la l r e a d yb e c o m ear e l a t i v ei n d e p e n d e n c e r e s e a r c hb r a n c h b a s e do nt h es t u d ys t a t u so fs l i d i n gm o d ec o n t r o la n dt h en e wr e q u i r e m e n t s f r o mt h ep r a c t i c ef o rt h et h e o r yo fs l i d i n gm o d ec o n t r o l ，s o m ep r o b l e m sa r es t u d i e da n d d i s c u s s e di nt h i sp a p e r , a l s ot h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sa r eg i v e n t h em a i nc o n t e n t sa r ea s f o i l o w s ： ( 1 ) i no r d e rt os o l v et h eh 。c o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fs i n g u l a rs y s t e mw i t hm a r k o v p a r a m e t e r s ，ad e s i g nm e t h o db a s e do nt h em e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ro f m o d e - j u m p i n gi sp r o p o s e d t h ec a u s a la n dr e g u l a rw a sg u a r a n t e e di nt e r m so fl i n e a r t r a n s f o r m a t i o na n db l o c km a t r i x b yu s i n gt h ec o n s t r u c t e dl y a p u n o vf u n c t i o na n d l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tt h es y s t e m sw e r ea d m i s s i b l ew a s g i v e na n dp r o v e d ，a n das u b o p t i m a ld e s i g na p p r o a c hi sp r e s e n t e d t h ec o n t r o l l e r w a sd e s i g n e da n dt h ep r e s c r i b e dh 。p e r f o r m a n c ec o n d i t i o nw a ss a t i s f i e d s i m u l a t i o n r e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ep r o p o s e dm e t h o di sv a l i da n dt h es y s t e mh a ss t r o n g r e s t r a i n ta b i l i t ya g a i n s td i s t u r b a n c e ( 2 ) t h ep r o b l e mo fs l i d i n gm o d ec o n t r o lf o rac l a s so fj u m p i n gs y s t e mi s c o n s i d e r e d t h e r ea r eu n c e r t a i n t i e si nb o t hs t a t em a t r i c e sa n d i n p u t m a t r i x m o r e o v e r , t h eu n c e r t a i n t i e s i sm i s m a t c h e dn o r mb o u n d e d b yu s i n gl y a p u n o v t h e o r y , as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e si sd e r i v e ds u c ha s t h ea s y m p o t i c a ls t a b i l i t yo f t h ef u l lo r d e rs l i d i n gm o d ed y n a m i c s i sg u a r a n t e e d w h e n t h ei n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sa r ef e a s i b l e ，t h ed e s i g no fb o t hs l i d i n gm o d e c o n t r o il a w a n dt h e i n t e g r a ls l i d i n g m o d es u r f a c ec a nb e e a s i l yo b t a i n v i ac o n v e x o p t i m i z a t i o n s t a t et r a j e c t o r i e s a r ea t t r a c t e do n t ot h es p e c i f i e ds l i d i n gs u r f a c e a s i m u l a t i o ni sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o d ( 3 ) t h ed i f f e r e n ts l i d i n gm o d es u r f a c ed i s s i p a t i v ec o n t r o lp r o b l e m sa r ed i s c u s s e df o ra c l a s so fm a r k o vj u m pn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s t h es y s t e m si n v o l v e b o t ht i m e - e v o l v i n ga n de v e n t d r i v e nm e c h a n i s m s i nt e r m so fs l i d i n gm o d et h e o r y , d i f f e r e n t s l i d i n g m o d es u r f a c ea n dc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e df o r t h em a t c h e d 1 1 1 a b s t r a c t u n c e r t a i n t i e s d i s s i p a t i v ec o n t r o lt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya r ea p p l i e dt o s l i d i n gm o d es u r f a c ew i t hn o n l i n e a ra n du n m a t c h e du n c e r t a i n t i e s t h e r e a f t e r , t h e m e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r eg i v e n f i n a l l y , as l i d i n gm o d ed i s s i p a t i v e c o n t r o ll e r sa r eg a i n e d an u m e r i c a le x a m p l ed e m o n s t r a t e st h ee f f e c t o ft h ep r o p o s e d d e s i g na p p r o a c h ( 4 ) a ns l i d i n gm o d eo b s e r v e r si sp r e s e n t e di sp r e s e n t e df o rac l a s so fm a r k o vj u m p n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s b ya p p l i n gt h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nt o d e c o m p o s et h ed y n a m i c a ls y t e m a no p t i m i z i n gs l i d i n gm o d es t r a t e g yi sg i v e nw h i c h g u a r a n t e er o b u s t n e s st ou n c e r t a i n t i e so fs y s t e m sa n dd i s t u r b a n c e ，ap a r t i c u l a rd e s i g n o fs li d i n gm o d eo b s e r v e ri sp r e s e n t e df o rw h i c ht h ep a r a m e t e r sc a nb eo b t a i n e du s i n g i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e st e c h n i q u e s b a s e do nt h es l i d i n gm o d eo b s e r v e r s ，f a u l t d e t e c t i o na n de s t i m a t i o ni s s u e sf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t yi s c o n s i d e r e d t h ec o n c l u s i o na n dp e r s p e c t i v ea r eg i v e ni nt h ee n do ft h et h e s i s k e y w o r d s ：j u m ps y s t e m s ；s l i d i n gm o d ec o n t r o l ；d i s s i p a t i v e ；f a u l td e t e c t i o n ；s i n g u l a r s y s t e m ；a d m i s s i b l e 。比c o n t r o l ；i n t e g r a ls l i d i n gm o d es u r f a c e i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是茶人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含拳人为获得江南 大学或其它教育规构的学位或证书焉使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 一、 羹 名：蓬哇二二j 期：趔丛垒旦幽 l 、 ， 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者究全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阏和借阏，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签 名! 匡! 聋二 ：导师签名： 日 期： 第章绪论 第一章绪论 1 1 课题背景 在长期的运行过程中，生化系统、电力系统、柔性制造系统、通讯网络、机器人系 统以及经济系统等往往受到外界随机干扰的影响，比如元件失效、故障以及外部环境的 突变等。从结构特点和运行机制上讲，这些系统可以抽象出连续时间演化和离散事件驱 动两类动态机制，而这两种动态恰好对应了跳变系统模型中的状态和模态。 m a r k o v 随机跳变系统作为一类特殊的随机系统，是复杂系统建模与控制领域中的一 个新的热点。近年来，跳变系统的鲁棒控制理论取得了不少重要的研究成果，已经可以 设计在控制对象模型不确定情况下，满足一定特定界限的鲁棒控制器，有效地保证了闭 环系统鲁棒稳定。针对控制对象模型的不确定程度，在某些特定界限下达到控制系统稳 定的边界已经可以求得，控制系统在这个领域内可以有效保证闭环系统鲁棒稳定。目前， 较为完备的鲁棒控制器设计方法有以下两类：1 以参数空间为基础的鲁棒控制系统分析 和设计方案，一改过去在参数空间中实现点的“紧配合”的方法，在牺牲一定性能指标 的前提下，充分考虑参数的摄动范围，实现参数域的松配合，较好的解决了参数不确定 性系统的控制系统综合问题。2 在解决结构不确定问题上，基于算子理论和也理论的鲁 棒控制设计方案，在设计过程中对控制对象结构的不确定性，通过求解灵敏度函数h 。范 数的极小化问题，设计出最坏情况下稳定的鲁棒控制器。 然而，鲁棒控制理论并没有完全彻底地解决稳定鲁棒性与性能鲁棒性之间的矛盾。 虽然鲁棒控制系统可以具有较强的鲁棒稳定性，甚至可以得到较好的动态品质，但是稳 定鲁棒性常常限制了闭环系统的带宽，因而降低了跟踪性能和抗干扰性，这对于一些快 速高精度控制系统是不允许的。 从原理上看，不确定性对象是由一簇系统描述的控制对象，对它的控制则是对一簇 系统的控制。无论是经典控制方案、多变量频域控制方案，还是鲁棒控制方案，毕竟都 局限于固定结构的控制方法，也就是以固定结构的控制器去控制一簇系统。这种情况下， 要使闭环系统能正常工作，以不变应万变，远非易事，往往会显得被动和难以适应。随 着数学理论和计算机技术的飞速发展，对控制系统内在物理过程的描述更加精确，控制 算法的工程实现能力亦大为提高，因此，为了增强控制系统对不确定性因素的稳定鲁棒 性，并赋予高的性能指标，突破固定控制结构的框架，有可能且有必要来设计变化结构 的非线性反馈控制方案。二十世纪五十年代由前苏联学者提出的变结构控制方案，以其 独特的优点，为不确定性系统提供了一种很有前途的控制系统综合方法。“变结构”一 例意味着控制器的结构可能会发生变化。从广义上看，日前变结构系统主要有两类：一 类是具有滑动模态的变结构系统；另类是不具有滑动模态的变结构系统。一般所说的 变结构系统均指前者，这是由于它对系统的不确定性因素具有较强的鲁棒性和抗干扰 性，且易设计满意的动态品质，同时控制简单，易于实现。本文所研究的变结构控制系 统均指具有滑动模态的变结构控制系统。 江南大学硕士学位论文 滑模控制系统能够通过控制器本身结构的变化，使得系统性能保持一直高于一般固 定结构控制所能达到的性能，突破了经典线性控制系统的品质限制，较好地解决了动态 与静态性能之间的矛盾。 1 2m a r k o v 跳变系统的概述 m a r k o v 蟛b 变系统是一类同时包含相互作用的离散事件和连续变量的特殊混杂系统， 由k r a s o v s k i i 和l i d s k i i 在1 9 6 1 年提出【l 】，因能描述大量实际系统而受到许多学者的关注。 在研究系统的稳定性和镇定方面，k u s h n e r 针对m a r k o v 线性跳变系统首先引入了几 乎一致稳定( a l m o s ts u r es t a b i l i t y ) 2 1 。m a r i t o n 则利用l y a o u n o v 指数给出了几乎一 致稳定的充分条件【3 】，并采用k r o n e c k e r 积方法得到了均方稳定( m e a ns q u a r es t a b i l i t y ) 的 充分必要条件【4 j 。l9 9 2 年，f e n g 证明了随机稳定( s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ) ，均方稳定和指数 均方稳定( e x p o n e n t i a lm e a ns q u a r es t a b i l i t y ) 是等价的，且他们都是几乎致稳定的充分 条件，并且利用l y a p u n o v 函数方法得到了指数均方稳定的充分必要条件【5 】。本文的随机 稳定性都基于f e n g ( 1 9 9 2 ) 的结论。2 0 0 6 年，x i o n g 分析了系统的状态和模态同时存在时 滞的离散m a r k o v 跳变系统的镇定问题1 7 】。 在系统性能分析和最优控制器设计方面，w o n h a m 用动态规划方法解决了有限和无 限时域跳变系统线性二次控制问题，并给出了稳态解存在性和唯一性的充分条件【8 j 。 m a r i t o n 研究了连续时间的m a r k o v 跳变系统最优控制问题，考虑系统状态方程中的加性 噪声和乘性噪声的情况，并给出了有限和无限时域控制器的r i c c a t i 方程设计方澍引。针 对连续时问情形，s o u z a 给出了r i c c a t i 微分方程描述的时变情形的有限时域h 。控制和定 常情形的无限时域h 。控制器设计方法1 10 1 ，对于不确定离散情形的h 。控制问题，s h i 采用 了r i c c a t i 不等式方法【1 1 1 ，这类方法具有直观性强、易于分析系统性能的特点，但在耦合 r i c c a t i 方程求解方法时会遭遇很大的困难。近年来，线性矩阵不等式已在这方面显示 出强大的优越性。针对h 2 控制，c o s t a 首先证明了线性矩阵不等式方法与c a r e 方法的等 价性【1 2 i 。白此以后，线性矩阵不等式方法得到了广泛的应用。d ef a r i a s 研究了连续时间 h 2 、h 。动态输出反馈控制问题【l3 】；刘飞提出了不确定跳变系统的鲁棒正实控制器设计 方澍1 4 】；l i u 和c h e n 研究7 t s 模糊跳变系统的约束控制问题1 1 5 1 。 在滤波器的设计方面，w a n g 于2 0 0 2 年研究了非线性跳变系统的滤波问题，设计了 非线性全阶滤波器【l6 1 ，在2 0 0 4 年以一组r i c c a t i 形式的不等式给出了跳变离散线性系统 的鲁棒滤波器的设计方法【1 ”。s h i 在2 0 0 6 年针对具有依赖于模态时滞的连续跳变系统， 研究了鲁棒滤波问题【l8 1 。刘飞对于不确定跳变系统，研究三：一工。性能指标下的鲁棒滤 波问题i i 圳。 l - 3 滑模控制理论的基本原理 滑模控制系统的基本原理在于，当系统状态穿越状态空间的滑动超平面时，反馈控 制的结构就发生变化，从而使系统性能达到某个期望指标。 2 第罩绪论 1 3 1 滑模控制基本概念 考虑下面相变量的单输入门阶线性时不变系统 j i 2 x 2 童22x 3 ； ( 1 3 1 ) 孟。= 一叩，- b u 其中：c l ，b 为已知定常参数。 滑模控制具有以下不连续形式： “( f ) ：甜+ ( x ) ， s ( x ) o l u - ( 工) ， j ( x ) 0 表示f ( x ) 是正定的，即对于任意非零向量甜r ”有不等式材7 f ( x ) u 0 成立， 或者f ( x ) 的最小特征值大于零。若下式成立 f ( 工) = f o + z ，e 0 ( 1 4 2 ) 则称为非严格线性矩阵不等式。 令x 。和x ：是使得f ( x ) 0 和f ( x ：) 0 的两个向量，则 ，( 触l + ( 1 一兄) x 2 ) = z r ( x 1 ) + ( 1 2 ) f ( x 2 ) 0 ( 1 4 3 ) 式中，五( 0 ，1 ) ，故集合 xf ( x ) 0 是一个凸集，即线性矩阵不等式( 1 4 2 ) 为关于x 的 一个凸约束。这是线性矩阵不等式的一个很重要的特性正是线性矩阵不等式的这一性 质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。 。 多个线性矩阵不等式可用一个线性矩阵不等式来表示，即 互( 力 o ，f 2 ( x ) o ，o ) 0 等价于 f ( x ) = d i a g e ( x ) ，e ( x ) ，二( x ) ) 0 ( 1 4 4 ) 1 4 2 线性矩阵不等式的应用 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，常常要用到矩 阵的s c h u r 补性质。考虑一个对称矩阵p r ( 胂帅( ”，将尸进行分块： 尸= 匮如e , 2 m ， 其中鼻。是门刀维的，则：一只。丑i 1 只：称为只在尸中的s c h u r 补。以下引理给出s c h u r 补性质。 引理1 4 1 ( s c h u 阱引理) 对给定的对称矩阵p = 匮2 ， 其中鼻：= 磁。则以下三个结论等价： i ) p 0 ； i i ) 鼻j 0 ，2 一鼻t 2 - 1 1 只2 0 ； i i i ) 只2 0 ，鼻。一鼻2 1 只： 0 。 控制理论中经常遇到的r i c c a t i 不等式，f ji 于含有二次项而不是线性矩阵不等式。利 用矩阵的s c h u r 补，就能很容易的将其变成为线性矩阵升i 等式。 7 江南大学硕士学位论文 线性矩阵不等式技术可以用来处理具有l t i 不确定的系统鲁棒稳定性、最优l q g 控 制、也控制、包含微分的二次型稳定性、矩阵转换问题等。线性矩阵不等式公式化最 强大的功能就在于它用一种容易解决的形式将各种设计约束或目标结合起来的能力。 1 4 3 线性矩阵不等式的求解 m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱提供了可行性问题、特征值问题以及广义特征值问 题这三类基本线性矩阵不等式问题的求解器，假定其中的f 、g 和日是对称的矩阵值 仿射函数。 ( 1 ) f e a s p 对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否存在x ，使得f ( x ) 0 成立的问题称 为一个线性矩阵不等式的可行性问题。如果存在这样的x ，则该线性矩阵不等式问题是 可行的，否则这个线性矩阵不等式就是不可行的。解决这类问题相应的求解器就为f e a s p 。 ( 2 ) m i n c x 特征值问题求解器所要处理问题的标准形式如下： m i nc t x x s t f o ) o 且有j o 时。( ：么专o ，并且有窆= 一成立。 结合本节所要研究的问题，引入如下定义。 定义2 2 1 针对系统( 2 2 1 ) 设计状态反馈控制律甜= k , x ，满足： ( a ) 系统( 2 2 1 ) 随机稳定： ( b ) 从输入w ( t ) 到控制输出w ( t ) 的h 。增益小于给定值，根据h 。的性能指标的定义，即保 证在零初始条件下( x ( o ) = 0 ) 增益表示为： i o 箜二童竺坐! 坠銮至堑堡堂坌堑 叩器 亿2 2 ， 式中，是给定的正实数， = j c o w7 ( t ) w ( t ) d t ；l i z i l ；= z t ( t ) z ( t ) d t 则控制器被称为h 。控制器。 2 2 2 可容许性研究 广义系统研究一般涉及容许性问题，考虑系统( 2 2 1 ) ，给出系统正则、因果和容许 的定义： 定义2 2 2 系统是正则的，如果存在一个复数s ，使得d e t ( s e , - a 。，) 0 。 定义2 2 3 系统是因果的，如果系统是正则的且满足 d e g ( d e t ( s e , 一a l f ) ) = r a n k ( e , ) ( 2 2 3 ) 定义2 2 4 系统是容许的，如果系统是正则，因果并且随机稳定。 为了给出系统容许性的充分条件，提出如下引理： 引理2 2 1 对任一正则矩阵对( 互，a ，) ，总存在非奇异矩阵s ，和孵，使得 贸，巨s ，= 0 ，贸，4 3 ，= ，其中m 满足式舯一。且，= 。 引理2 2 2 对任一正则矩阵对( e ，a ，) ，如果n ，= 0 ，则系统是因果的。 引理2 2 3 如果存在矩阵t 0 ，y 0 ，如果存在n7 t - i - t n = 一n7 y n ，则有 n | t n = 0 。n iy n = 0 。 定理2 2 1 如果存在矩阵，只= 只7 0 ， 因果的。 e ：p i = p ? e i ， 一二只+ 只7 彳二+ 万驴彰e o 使得式( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 成立，则系统是正则， 证明：利用反证法，假设系统不是正则的，由定义2 2 2 可知， d e t ( s e ，一4 ，) 的值始终为零，则存在非零矢量z 满足下式： e , z = a l ，z 对式( 2 2 5 ) 的左右分别乘以z r ，z ，可得 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 无论复数s 取何值 ( 2 2 6 ) ， 2 2 7 e 7 p z + z 7 髟弓z 0 ，f ，m ，j f ，根据式( 2 2 7 ) 容易推出z t e j p z 0 或z r e 歹乞z 0 ，而 这与式( 2 2 4 ) 相矛盾，即假设不成立，因此系统是正则的。 从引理2 2 1 可知，存在非奇异矩阵贸，和3 使得系统( 2 2 1 ) 可以等价为 江南大学硕士学位论文 宣主= 互，量+ 参“ ( 2 2 8 ) 荆k 褂 毒= 吼j e s ，= 台m 0 二。，= 吼，彳，3 ，= 勺z ， 珏姚= b 2 1 i 系统可以变换为： 至j l ( f ) = a il i 量1 ( f ) + b 2 i ，“( f ) n ，主2 ( f ) = k , 2 ( f ) + b 2 2 ，”( f ) 另 ；e t e , x = 叠7 五a ，t 孵i7 p s ，曼= j7 曰乒叠 州舯3 ，= 瞪纠 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2