（机械设计及理论专业论文）基于2r机器臂运动复合控制的实验研究.pdf

摘要 摘要 在机器人研究领域内，柔性机器人系统的复杂性更多地表现在：被控对象 模型的不确定性；系统信息的模糊性；复杂的信息模式；高度非线性；输入信 息( 传感器) 的多样化；计算复杂性和庞大的数据处理以及严格性能指标等。 在这种情况下，目前任何一种单一的现代控制方法或智能控制方法无论从控制 的精度、快速性来看，还是从实用性和可操作性来看，都不能令人满意。 随着科学技术的发展，在机器人控制仿真方面的研究也取得较大的进展。 这些仿真软件都是没有经过实验的检验，目前都停留在仿真检验的阶段。 目前，有很多人进行复合控制器研究，但很多由于各种原因，研究结果无 法通过试验进行验证，目前还停留在通过仿真来进行验证的阶段。本文正是基 于这一背景，利用工控机、p m a c 、伺服电机等设备，以2 r 机器臂为实验本体， 对仿真软件和结论进行实验验证。 模糊控制器由于其不需要建立数学模型、具有较强的鲁棒性、适用于解决 非线性、时变及时滞系统等，目前广泛应用于工业控制当中。但是由于模糊控 制的控制原理，使其产生难以克服的死区和盲区，在稳态精度上很难取得很好 的控制效果。而p i d 控制有着很好消除稳态误差的作用，因此有人提出将模糊 控制和p i d 控制相结合的方案。把模糊控制和p i d 控制各自的优势结合起来， 可使系统的控制性能得到提高，以满足不同控制系统对控制精度、响应速度、 系统稳定性与适应能力的要求。现在比较经典的是常规的模糊p i d 控制器和基 于隶属度函数的f u z z y _ _ p d 复合控制器。但是，对于后者的验证，目前还停留 在仿真验证的阶段。本课题就是对这种控制器利用实验室设备进行实验验证。 关键词机器人；模糊控制；仿真；f u z z y p i d 复合控制；p m a c 北京工业大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h er o b o tr e s e a r c ha r e a ，t h ec o m p l e x i t yo ff l e x i b i l i t yr o b o td i s p l a c ei nt h e u n d e t e r m i n e do ft h eo b j e c tm o d e l ，t h ef u z z i n e s so ft h es y s t e mi n f o r m a t i o n ，t h e c o m p l e xi n f o r m a t i o np a t t e r n ，t h eh i g h l yn o n - l i n e a r i t y , t h ed i v e r s i f i c a t i o no fi n p u t i n f o r m a t i o n ( s e n s o r ) ，t h ec o m p l e x i t yo fc o m p u t a t i o n ，h u g ed a t ap r o c e s s i n g ，s t r i c t p e r f o r m a n c ei n d e xa n ds oo n i nt h i sc a s e ，a n ym o d e r nc o n t r o lm e t h o do ri n t e l l i g e n c e c o n t r o lm e t h o dc a nn o tb es a t i s f y i n gr e g a r d l e s so ff r o mt h ec o n t r o lp r e c i s i o n ，t h e r a p i d i t y , o ru s a b i l i t ya n df e a s i b i l i t y a l o n gw i t ht h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g yd e v e l o p m e n t ，a l s om a k e st h eb i gp r o g r e s s i n 啦er o b o tc o n t r o ls i m u l a t i o na s p e c tr e s e a r c h t h e s es i m u l a t i o ns o f t w a r ea 1 1h a sn o t p a s s e dt h r o u g ht h ee x p e r i m e n t a le x a m i n a t i o n ，a tp r e s e n ta l lp a u s e si nt h es i m u l a t i o n e x a m i n a t i o ns t a g e n o w ，l o t so fp e o p l ea r es t u d y i n gt h ec o m p o u n dc o n t r o l l e r ，b e c a u s eo fs o m e r e a s o n s ，t h er e s u l to fr e s e a r c hc a l ln o tb ep r o v eb ye x p e r i m e n t u s u a l l yt 1 1 e ya r e p r o v e db ys i m u l a t i o n b a s e do nt h i sb a c k g r o u n d b yu s i n go f c o m p u t e r 、p m a c 、s i 血 m o t o r ，w ee s t a b l i s h2 r 础o ts y s t e mt oc o n f i r mt h es i m u l a t i o nr e s u l to rs i m u l a t i o n s o f t w a r eb yl o t so fe x p e r i m e n t s b e c a u s eo ff u z z yc o n t r o l l e rh a v e1 0 t so fm e r i t ，s u c ha s ：i td on o tn e e d m a t h e m a t i c a lm o d e ，b es t r o n g e rr o b u s t n e s s ，b es u i t a b l et on o n - l i n e a r i t ys y s t e m s oi t i sa p p l i e dw i d e l yi ni n d u s t r yc o n t r 0 1 b u t ，b e c a u s eo ff u z z yc o n t r o lp r i n c i p l e ，t h e f u z z yc o n t r o l l e rh a v eb l i n ds d o t i ti sd i 壤c u l tt oo b t a i nb e t t e rc o n t r o lr e s u l ti ns t a b l e s t a t ep r e c i s i o n s os o m ep e o p l eh a v ep u tf o r w a r dan e w p l a nw h i c hi sc o m b i n ef u z z y c o n t r o lw i t hp i dc o n t r o lt oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fc o n t r o is y s t e r ns u c ha ss p e e d o fr e s p o n s e , t h es y s t e ms t a b i l i t ya n dd a p t i v e n e s s n o wt h ec l a s s i c a lc o n t r o l l e ra r et h e c l a s s i c a lf u z z y p i dc o n t r o l l e ra n df u r ys w i t c h e df u z z y p i dc o n t r o l l e r b u t t h e s ec o n t r o l l e ra r ec o n f i r m e db ys i m u l a t i o n t h i s p a d e ri s t oc o n f i r mt h e s e c o n t r o l l e r s ，s p e c i a l l yt h el a t e r t h r o u g he x p e r i m e n t s k e y w o r d sr o b o t ；f u z z yl o g i cc o n t r o l ；s i m u l a t i o n ；f u z z y 一p i dc o n t r o l ；p m a c 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以杯注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 ， 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名缒 关于论文使用授权的说明 日期丑 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公币j 论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：吾铮导师签名迨啦 h 期：! ! ：! ：坐 第1 章绪论 1 1 课题研究背景及意义 随着科学技术的发展，在机器人控制仿真方面的研究也取得较大的进展。华 东大学的梁师单川对并联机器人的坐标进行了讨论，并用m a t l a b 实现了运动 仿真。北京工业大学的陈新荣【2 】在a d a m s 和m a t l a b 这两个软件的基础上进 行二次开发，利用a d a m s 建立机器人刚性模型，通过m a t l a b 施加控制，实 现了控制仿真的自动化，并且做出了直观的界面，操作简单。北京工业大学的何 茂根【3 】在a n s y s 、a d a m s 和m a t l a b 基础之上开发了柔性机器人控制系统仿真系统。 该系统具有建模的自动化，程序自动实现建模，不需要用户自己编写编写程序； 友好直观的界面；应用范围广等优点，并且利用该系统做了一个两柔性杆机器人 末端走一个圆的实例来进一步说明该仿真系统的有效性。这些仿真软件都是没有 经过实验的检验，目前都停留在仿真检验的阶段。 随着科学技术的发展和社会的进步，机器人的应用越来越普及，已逐渐渗透 到工业生产和制造，r 常生活及教育娱乐等各个领域。机械臂是机器人最主要的 执行机构，具有时变、强藕合、非线性等特点【4 】。在过程控制中，由于工业对象 本身固有的惯性、时间滞后特性以及其动力学特性的内部不确定性和外部环境扰 动的不确定性，使很多过程控制问题复杂化，且随着工业和现代科学技术的发展， 生产工艺变得日益复杂，人们对工业过程总体性能，如控制精度、响应速度、系 统稳定性及适应能力的要求也不断提高。这表明，人们从系统对象所能获得的知 识信息量正相对减少，而对控制性能的要求却日益高度化。正如z a d e h 教授指出 的：“当一个系统复杂性增大时，人们能使它精确化的能力将降低，当达到一定 的阀值时，复杂性和精确性将互相排斥”( 即“不相容原理”) 。在这种情况下， 要想精确地描述复杂对象与系统的任何物理现象和运动状态是十分困难的，因而 传统的建立在对象精确模型上的控制方法往往难以满足闭环优化控制的要求。如 何以有效的方式提高过程控制的质量，有着重要的现实意义【”。 p i d 控制是现在应用最广泛的一种控制形式，由于其结构简单、稳定性好、 可靠性高，在工业控制过程中仍占主导地位。但是，p i d 控制器对于非线性控制 系统，却难以取得理想的控制效果，存在抗干扰能力差、动态响应差，存在明显 的滞后等问题。模糊控制由于其不受被控对象数学模型的限制，具有较强的鲁棒 性，适用于解决传统控制难以解决的非线性、时变及时滞系统。但由于其本身固 有的盲区，模糊控制难以达到较高的精度。如何把p i d 控制和模糊控制的优点结 合起来，在工业控制当中还是具有很重要的现实意义。 本课题正是基于此，设计了2 r 机械臂本体以及控制系统，对仿真软件及仿 北京t 业，：学t 学硕 学位论文 真结论的有效性进行实验验证。 1 2 国内外相关研究现状及分析 1 2 1 机器人控制技术研究现状 目前，自动控制技术采用的方法主要有：以古典控制理论为主要基础的p i d 控制方法；以现代控制理论为主要基础的自适应控制和预测控制等方法；以神经 网络控制、模糊控制等职能控制方法【6 ”。在这里我们主要介绍p i d 控制和模糊 控制。 1 ，2 1 1 模糊控制技术研究现状模糊控制技术模糊控制是基于模糊推理和模 仿人的思维方法，对难以建立数学模型的对象实施的一种控制，其成功应用的根 源在于模糊逻辑本身提供了由专家构造语言信息并将其转化为控制策略的一种 系统的推理方法捧】，它是处理许多复杂而无法建立精确数学模型的系统控制问题 的有效方法，其主要特点有 9 a o ：控制系统设计依据经验和操作数据，而不需要 精确的数学模型；具有较强的鲁棒性，适用于解决传统控制难以解决的非线性、 时变及时滞系统；应用语言变量而不是数学变量，易于构造形成专家系统：推理 过程采用“不精确推理”，推理过程模仿人的思维过程，能够处理复杂甚至“病 态”系统。该方法的应用有：罗飞，余达太，孙一康提出了模糊混合( h y b r i d ) 控制方法，并把它用于三自由度机器人的回柱二维插入过程中。实验结果表明， 该方法能使振动幅度减少9 5 以上，并消除了阻塞现象，更好地完成插入任务 j ；余巍，王月娟，蒋平介绍了一种新型自学习控制方法在机器人中的应用，它 采用了变学习因子的方案，用模糊的思想选取学习因子，该算法已在直接驱动机 器人上进行了实验，并解决了一般学习算法在高速运动情况下由于加、减速而带 来的系统振荡问题；该算法还具有学习收敛快，鲁棒性好的优点【1 2 】。模糊控制从 诞生到现在经历了几十年时间，已在一些领域取得了很好的研究成果【1 3 , 1 4 】，展 示了其处理精确数学模型，非线性，时变和时滞系统的强大功能。但是模糊控制 系统还有许多理论和设计问题亟待解决，这些问题主要有：要揭示模糊控制器的 实质和工作机理，解决稳定性和鲁棒性理论分析的词题，从理论分析和数学推导 的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁捧性优于传统控制策略；模糊控制器的优化 设计问题。 1 2 1 2p i d 控制技术研究现状迄今为止，工业过程中最常用的反馈控制就是 p i d 控制。由于p i d 控制器以其结构简单，容易被理解和实现，应用中不需要精 确的系统模型的预先知识，对模型误差具有鲁棒性等优点，到目前，仍被广泛应 用于冶金、化工、电力、轻工业、机械等工业过程控制中【1 5 】。 经过几十年来的应用，在p i d 控制器的设计、整定和工程实施方面已经积累 第1 甲埔论 了大量的经验，一螳研究者也在致力于p i d 控制器设计方法方面的理论研究，取 得了一系列的研究成果。另外，在许多控制算法的仿真研究中，p i d 控制已成为 控制性能比较的标准。尽管如此，p i d 控制器的设计和应用仍然面l 临着很大的挑 战，一方面，工业现场有许多p i d 控制器由于性能不佳而被胃了二“手动”状态： 另一方面，对于p i d 控制器各种设计方法的适用性缺乏系统的分析研究，因而很 难在特定对象的p i d 控制器设计选择合适的设计方法，也缺少基于综合的控制性 能要求设计p i d 控制器的方法。 近年来，随着计算机控制技术的发展，尤其是微机处理技术的发展和数字智 能控制器的实际应用，以及各种先进算法的不断涌现，为控制系统设计的开辟了 新的途径。用计算机实现的数字p i d 控制器更显示出了算法实现的灵活性和变化 的多样性、设计方法的简单方便等优点。随着生产的发展，对控制的要求也越来 越高，随之发展出许多以计算机为基础的新型控制算法结合的产品，如自适应 p i d 控制、模糊p i d 控制、神经网络p i d 控制、预测p i d 控制、智能p i d 控制等 1 7 - 2 1 。 1 2 1 3 模糊p i d 控制研究现状随着科学技术的发展，控制对象同益复杂，而 对控制的性能的要求却越来越高。目前，已经成熟的传统控制理论( 包括经典控 制理论和现代控制理论) 和技术在实际应用中受到了某种程度的严峻挑战，尤其 是在学习控制研究和机器人控制研究方面，矛盾同渐突出，迫切需要为自动控制 学科注入新的活力。 p i d 控制器出于其结构简单、工作稳定、适应性好、精度高等特点，使其成 为工业控制中应用最广泛的一种控制器。但是对于一些非线性系统，却难以取得 理想的控制效果，存在抗干扰能力差、动态响应差，存在明显的滞后等问题。 随着技术的发展，和模糊控制器成为最广泛最有前景的一种控制系统，模糊 控制器是一种专家控制系统，它的优点是不需要知道被控对象的数学模型而能够 利用专家已有的知识和经验，而且，当系统为非线性系统时，模糊控制器还可以 收到很好的控制效果。但是，模糊控制器也存在其控制品质粗糙和精度不高等弊 病。 因此，在许多情况下，将模糊控制和p i d 控制两者结合起来，扬长避短，使 其既有模糊控制灵活、适应性强、快速性好的特点，又具有p i d 控制精度高的特 点。现在，就有许多模糊和p i d 结合的控制器，包括基于模糊推理的p i d 参数自 整定 2 2 - 2 4 】、模糊和p i d 的复合控制器【2 5 】、以及实现p i d 功能的模糊p i d 控制器 2 6 2 7 】等。许多仿真和实际应用都显示出这些模糊p i d 控制器具有较好的性能。 文献 2 8 1 ，设计了一种基于粗糙集的模糊控制器和基于思维进化算法的p i d 控制 器的模糊p i d 复合控制系统。提出了一种新的基于属性重要度的约简算法，并将 这种算法用于模糊规则的获取。文献 2 9 】研究了模糊p i d 线形融合控制方法，将 模糊控制快速响应的特点和p i d 控制控制精度高的特点结合起来，引入加权因 北京t 业人学t 学坝1 。学位论上 子，采用加权法将p i d 和模糊控制各自的输出进行线形融合，再将融合的结果输 出到被控对象上。但这种方法是依赖于人为确定的加权因子来进行融合的，并且 实验精度不够。采用文献 3 0 1 提出的基于f u z z y 推理的自整定p i d 控制器参数方 法设计的控制器在跟踪设定值和抑制扰动方面，控制效果都有很大的改善。文献 3 1 提出了一种混合模式的控制方法，将模糊控制器和积分控制器的输出量相 加，构成混合控制器。 1 2 2 机器人实验研究现状 文献【3 2 对未确知环境下刚一柔机械臂进行了主动柔顺控制。在这个实验过 程中，对机械臂的运动控制分为三个阶段：首先是刚一柔机械臂的快速定位， 然后是慢速趋近目标物体，最后是柔性机械臂的主动柔顺控制。文献 3 3 利用柔 性机械臂主动控制实验装置以及相应得动力学参数测试系统，采用光电编码器、 加速度计和应变片分别检测柔性臂的大范围运动、末端振动以及区动力矩，对柔 性机械臂结构一控制耦合特性进行了研究。文献 3 4 】进行了柔性机械臂振动主动 控制研究，天津大学机电控制研究室的柔性臂试验装置采用了主从式计算机进行 控制，上位机采用i b m 3 8 6 s x 2 0 个人计算机，下位机采用m c s 一5 1 系列的8 0 3 l 单片机系统，上下位机之间采用主从式并行通讯。文献 3 5 设计了可用于简单柔 性机械臂手动控制和逆动力学研究的实验装置。该装置由直流伺服电机、谐波减 速器、柔性臂结构和支架组成，测速电机、光电编码器和应变片作为其检测原件。 为了保证铰关节的轨迹跟踪精度，采用了由位置反馈环、速度反馈环和电流反馈 环组成的伺服系统。并且利用该系统证实了柔性机械臂点位控制逆动力学方法的 有效性。文献 3 6 】分析了柔性机械臂动力学建模和振动控制的最新进展，建立了 柔性机械臂震动控制实验系统，分别用p i d 控制策略和线形二次型最优控制 ( l q r ) 策略对柔性机械臂的振动控制进行了实验研究。 1 3 课题研究内容 本课题所研究的内容是基于建立针对2 r 机器人的模糊p i d 复合控制器，并 利用实验室设备进行大量的实验研究，以达到满意的控制效果。 主要工作如下： 1搭建机器人实验平台，主要工作是控制系统硬件系统的搭建。包括组建 基于p m a c l 型卡的机器人控制系统：选择松下的m s m a 系列小惯量型交 流伺服驱动器和伺服电机作为2 r 机器臂的关节驱动装置；建立p m a c 与 上位机、伺服驱动系统的通讯。 2 为了得到机器臂末端坐标与机器臂各关节的旋转角度，利用几何法求得 第1 辛绪论 机器臂末端坐标与机器臂各关节的旋转角度的关系。 3建立针对于2 r 机器人的模糊p i d 复合控制器。建立了歼放式的控制系 统，上位机负责控制算法的编程、轨迹规划，p i a c 负责数据采集，以及 和上位机、伺服系统进行数据交换，控制伺服驱动来实现机器人末端实 现特定轨迹。 4利用实验室设备进行2 r 机械臂术端圆的跟踪实验，分析实验数据，与 通过仿真软件得出的仿真结果进行比较，验证仿真软件的有效性。 5分别利用模糊控制器、p i d 控制器和基于隶属度函数的f u z z y p i d 复合 控制器进行单自由度电机下弦曲线跟踪实验以及2 r 机械臂末端的直线 跟踪实验，分析对比实验数据，验证隶属度函数的f u z z y p i d 复合控 制器的优缺点。 北京t 业人学t 学碗卜l 学位论文 第2 章2 r 机器臂末端轨迹规划 在本论文中，为了使机械臂末端点实现预定轨迹，必须进行以下几个步骤： 1 将预定轨迹离散化机器人实现一个轨迹的过程就是实现轨迹离散的过 程，离散过程相当于在工业控制当中的在直角坐标空间内，使用某种算法将欲实 现轨迹离散为直角坐标序列。 2 转化为电机关节角度将上一步得到的直角坐标序列利用运动学反解公式 转化为电机关节角度。 2 1 直角坐标空间运动路径离散算法 如果我们需要2 r 机器臂末端走一条直线或者一个圆弧，就需要适用路径规 划算法。路径规划算法可以分为直角坐标空间中的路径规划和关节坐标空间中的 路径规划。由于机器人末端的运动最终是由关节变量控制的，如果能在关节坐标 空间中进行轨迹规划，既能省时又可避免雅可比矩阵的奇异引起的速度失控。但 是一般的关节坐标空间和直角坐标空间的变量之间不是线形的关系，当关节变量 呈现线形变化时，直角坐标空间中机器人末端的运动轨迹并不形成直线。所以对 于那些路径没有要求的作业，才能在关节坐标空间中进行直接规划。而对于那些 对路经有要求的作业，比如连续弧焊作业，就比学在直角坐标空间中进行规划， 然后将规划得到的直角坐标空间中的轨迹序列运用机器人运动学反解算法变换 到关节坐标空间中，再进行关节运动轴的控制。图2 1 是机器人在直角坐标空间 中进行路经规划控制的框图。 轨迹上 几个示 教点的 位置和 姿态 轨迹中间点 n 个运动轴伺服 系统 直角坐标 j 运动学反解卜 路经规划 图2 - 1 在直角坐标中进行轨迹规划控制的框图 f i g u r e 2 1t h eb l o c kd i a g r a mo f p a t hp l a ni nr e c t a n g u l a rc o o r d i n a t e s 在这罩，我们只讨论在直角坐标空间中进行规及规划，相对于关节空间轨迹 规划，直角坐标空间轨迹规划必须反复求解逆动力学方程来计算关节角，也就是 第2 审2 r 机器臂末端轨迹规划 说对于关节空间轨迹规划，轨迹函数生成的值就是关节值，而直角坐标空| 日j 轨迹 规划函数生成的值是机器人末端：f 的位姿，它们需要通过求解逆动力学方程j 能 化为关节量。直角坐标空间内的轨迹规划可简化为如f 的计算循环： l 将时间增加一个增量t = t + t ： 2 利用某种算法将轨迹曲线离散为直角坐标序列： 3 利用机器人逆动力学方程计算出对应于手位姿的关节量； 4 将关节信息送给控制器； 5 返回到循环的开始。 在数控机床中，机器人的连续轨迹运动中，通常需要将各种形式的期望轨迹 曲线分解成为由许多段直线、圆弧或其他形式的曲线组成的逼近曲线，然后用运 动控制器底层中所具有的插补功能，实现所设计出的由各段直线、圆弧或其他形 式曲线逼近的曲线。一般的运动控制器具备的是直线和圆弧插补功能，直线圆 弧插补的优点在于设计相对简单，可用于对任意曲线的插补，特别是对速度不太 快，对轨迹连续性要求不高的场合。 直线插补、圆弧插补是一般运动控制器具有的基本功能和实现高精度控制的 基本手段。直线插补、圆弧插补的核心在于：在选择合适逼近方式的基础上选择 合适的误差控制模型，以简化误差估计的计算，并在有效估计误差的基础上求解 出满足精度要求的插补圆弧次数。 直线插补原理简单，控制误差比较容易，通常采用曲率圆弧柬近似估计误差 以计算符合精度要求的插补直线段参数变量。不过，由直线插补生成的逼近曲线 不是一阶连续的，在期望精度高的场合生成的插补点数过多，容易造成数据存储 和传输上的负担，影响运动效率。圆弧插补在一定程度上可以弥补直线插补的不 足，但是，相对于直线插补，圆弧插补控制误差的计算较复杂，难以解析的求出 目标曲线与逼近圆弧之间的距离，往往需要借助数值计算的方法才能求解出满足 精度要求的插补圆弧参数1 3 ”。 本文中，是在直角坐标空间内实现二自由度机械臂末端轨迹的，首先是利用 某种离散化算法对目标轨迹进行离散化，常用的方法是直线离散化算法和圆弧离 散化算法。其他的复杂曲线可以有一些直线段和圆弧段来逼近。 2 1 1 直线离散化算法 己知：起始点坐标为( x o ，y o ) 目标点直角坐标为( x l ，y 2 ) ，轨迹更新周期 为t ，轨迹期望的运动时间为t 。 我们适用等速度规划，直线离散化序列的长度为：n = t t ，每一次采样弧 长的进给量为s ：= 可，对于直线规划，等弧长进给等效f 等x ，y 的进给，每一次采样x ，y 方向的变化量： 血：苎二兰= ! ，v ：丝二墨= ! 力 n 直线位置离散化序列为： & 确“缸( k - 0 l ，2 ，3 n ) ( 2 1 ) 【y t = y o + k a y 、一 7 2 1 2 圆弧离散化算法 需要在x y 平面内绘制一条从( x a ，y a ) 到( x b ，y b ) 、以( 勒，y o ) 为圆 心、，为半径、圆心角为目的圆弧。 设起点( x a ，y a ) 对应的圆心角为o o ，如果离散序列长度为h ， 圆心角的增量为a o = o n ，则圆弧离散化序列为： 儿x k = ：x 蜘o + + r r c 。o i n s 。( 岛8 0 + + 庀k a 臼o ，) 2 22 r 机器臂运动学分析 2 2 1 坐标系变换 每一次采样 ( 2 2 ) 2 2 1 1 坐标平移设二坐标系f 研与 月 具有相同的方位，但是 目的坐标原点与 栅的不重合，用位置矢量。岛d 描述它相对于( 御的位置，如图2 - 2 所示。把。，幻 称为 研相对于 a 的平移矢量。如果点p 在坐标系f 厨中的位置为8 尸，则它相对 于坐标系 a 的位置。尸可由矢量相加得出： 图2 - 2 坐标系平移 f i g u r e 2 - 2f e f e r e n c ef r a m et r a n s l a t e 第2 章2 r 机器臂末端轨迹规划 p ：b p + a