（通信与信息系统专业论文）基于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别.pdf

基于小波和分数阶微分的 数字调制信号分析与识别 逶蓿与镶意系绕专盈 礤究生蔼建勤指导教掇熊淑华 无线电倍号调制识别的基本任务就是对所截获的不明偿号的通帮调制种类 迸雩予分辑、判决窥烟类。为诧，需黉事先辩其特征避行选定，并确定它们与相 应的调制种类相联系的取值范围，然后再对实际信母进行特征测量，并根据测 量结采对售弩静谲稍进行分类翔决。所戳，如秘选定并提取信号静特征便藏为 调制识别的基本环节。 数字涌翻信号分三释基零类型；多透籍滴度毽投m a s k 、多逶掰籀移键控 m p s k 和多进制频移键控m f s k 。调制类型的识别可分为类间识别和类内识别。 霹予类窝捩裂，传统方法多采矮疆寝霹频率翡交毒 二溪分a s k 、f s k ，瘸过零分 析区分f s k 和p s k 。对于类内识别，多采用振幅差舜遁分m a s k ，利用频谱分 拆莲磐m f s k ，逶邀捡查玛露转换辩裁戆褪键来嚣分m p s k 。 从信号处理角度来说，小波变换相当于一组等品质因数的滤波器，它有利于 爨交特经熬撬取，适合霉来识嚣数字镄甓学。徽殄淤数爱溪了函数或蔷譬豹 光滑特征，完全确定了微分滤波器的时一频局域化特性，因此可以考虑用分数 除擞奔亲亥l 灏函数或信号豹惫异性，鼹数字潺秘德琴送孬分据稳跨筑提取。零 文设计了一个基于小波变换的数字调制信号识别器，首先对数字调制信号进行 ，l 、波瞧分簇，测曩m f s k 豹小波系数频段特镶秘艇a s k 戆夸渡系数襁凄交纯特 性对m a s k 、m p s k 和m f s k 进行类闻识别，然后进步利用m f s k 小波系数 的频段数、m a s k 小波系数蠛度个数以及m p s k 奎波系数抟避零屡次令数实现 类内识别。仿真结果寝明该算法具有较好的抗噪声性能，在低信噪比下，能够 达到较态识潮率。戴外，本文还讨论了如何设计分数阶微分滤波器，磐分爨了 辛格函数的分数阶微分特性，最后对数字调制信号进行分数阶微分特征分折， 褥到一些有参考价值的结论。 关键词：调制识别小波变换分数阶微分特缎提取小波包 a n a l y s i sa n di d e n t i f i c a t i o no fd i g i t a lm o d u l a t i o n s i g n a l sb a s e do nw a v e l e ta n df r a c t i o n a ld e r i v a t i v e m a j o r ：c o m m u n i c a t i o na n di n f o r m a t i o ns y s t e m s t u d e n t ：g a oj i a n q i n s u p e r v i s o r ：x i o n gs h u h u a m l cb a s i ct a s k so fr a d i os i g n a l sm o d u l a t i o ni d e n t i f i c a t i o na l ea n a l y s i s d e c i s i o n a n dc l a s s i f i c a t i o no fm o d u l a t i o nt y p ef o ri n t e r c e p t e du n k n o w ns i g n a l s s o 。t h es i g n a l f e a t u r e ss h o u l db es p e c i f i e di na d v a n c ea n dt h e i rv a l u er a n g e sr e l a t e dt om o d u l a t i o n t y p e sa r ed c t e r m i n e d t h e n , t h ef e a t u r e so ft h es i g n a l sa r em e a s u r e d , a n dt h e m e a s u r e m e n tr e s u l t sa r eu s e dt o i d e n t i f yt h em o d u l a t i o nt y p e s t h u s t h eb a s i c i m p o r t a n ts t e po fm o d u l a t i o ni d e n t i f i c a t i o ni sh o wt os p e e i f ya n de x t r a c ts i g n a l f e a t u r e s t h e r ea r et h r e eb a s i ct y p e so fd i g i t a l l ym o d u l a t e ds i g n a l ：m a s k m p s ka n d m f s k m o d u l a t i o ni d e n t i f i c a t i o ni n c l u d e si n t e r - c l a s sc l a s s i f i c a t i o na n di n t r a - c l a s s c l a s s i f i c a t i o n a b o u ti n t e r - c l a s se l a s s i f i e a t i o n t h ev a r i a n c e so fa m p l i t u d ea n d f r e q u e n c ya r eu s e dt od i s t i n g u i s ha s k , f s ka n dz e r o - c r o s s i n ga n a l y s i si su s e dt o t e l lf s kf r o mp s k w i t hr e s p e c tt oi n t r a - c l a s sc l a s s i f i c a t i o n , t h ev a r i a n c eo f a m p l i t u d ec a l lb eu s e dt oi d e n t i f ym a s ks p e c t r u ma n a l y s i si sa p p l i e dt oi d e m i f j ， m f s ka n dm p s ki d e n t i f i c a t i o ni sr e a l i z e db yc h e c k i n gt h ep h a s ev a r i a t i o nw h e n t h es y m b o lc h a n g e s w 打e l e tt r a n s f o r mc a l lb er e v i e w e da sab a n ko fc o n s t a n t of i l t e r sa c c o r d i n gt o s i g n a lp r o c e s s i n gt h e o r y , t h u si ti ss u i t a b l ef o rt r a n s i e n td e t e c t i o na n dd i g i t a ls i g n a l m o d u l a t i o ni d e n t i f i c a t i o n t h ef r a c t i o n a lo r d e rr e f l e c t st h es m o o t h n e s so f s i g n a l s a n d i ta l s oc o m p l e t e l ys p e c i f i e st h et i m e f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o nf e a t u r e t h e r e f o r e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v ei sg o o d 砒d e s c r i b i n gs i n g u l a r i t i e so fs i g n a l s a n dc a nb ea p p l i e d t oa n a l y s i sa n df e a t u r ee x t r a c t i o no fd i g i t a l l ym o d u l a t e ds i g n a l i nt h i sp a p e r , ak i n d o fd i g i t a ls i g n a lm o d u l a t i o ni d e n t i f i e ri sd e s i g n e db a s e do nw a v e l e t f i r s t ，w a v e l e t p a c k e td e c o m p o s i t i o ni so p e r a t e do nt h ed i g i t a ls i g n a l s ，t h e na c c o r d i n gt of r e q u e n c y f r a g m e n t a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fm f s kw a v e l e te o e f f i c i e n t sa n da m p l i t u d ev a r i a n c e f e a t u r eo fm a s kw a v e l e tc o e f f i c i e n t s i n t e r - c l a s sc l a s s i f i c a t i o na m o n gm a s i l m p s ka n dm f s ki si m p l e m e m e d n e x t , b ya n a l y z i n gt h en u m b e ro ff r e q u e n c y f r a g m e n t a t i o n so fm f s kw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n dt h a to fa m p l i t u d ev a l r i a n c e so f m a s kw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n dt h a to fz e r o c r o s s i n gl a y e r so fm p s kw a v e l e t t o e 佑c i e n t s ，i n t r a - c l a s sc l a s s i f i c a t i o na m o n gm a s km p s i lm f s ki sa l s or e a l i z e d s i m u l a t i o nr e s u l t ss u g g e s tt h a tt h ei d e n t i f i e rh a ss u c hag o o da n t i - n o i s ep e r f o r m a n c e t h a ti tc a ng e ta h i g hi d e n t i f i c a t i o np r o b a b i l i t ye v e nw h e ns i g n a l - t o - n o i s er a t i oi sl o w i na d d i t i o n , i nt h i sp a p e r , w ea l s od i s c u s sh o wt od e s i g naf r a c t i o n a ld e r i v a t i v ef i l t e r , a n da n a l y z et h ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v ec h a r a c t e r i s t i c so fs i n cf u n c t i o na n dd i g i t a l m o d u l a t i o ns i g n a l s s o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：m o d u l a t i o ni d e n t i f i c a t i o n w a v e l e tl r a n s f o r m f x a c t i o n a ld e r i v a t i v ef e a t u r ee x t r a c t i o nw a v e l e tp a c k e t 四川大学硕十毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 1 绪论 1 1 数字信号调制类型识别概述 1 1 1 调制类型识别的历史 通信信号调制类型的分类识别是模式识别领域中的典型应用，模式识别诞生 于2 0 世纪2 0 年代，随着4 0 年代电子计算机的出现，5 0 年代人工智能的兴起， 模式识别在6 0 年代初迅速发展成为一门学科。它所研究的理论和方法在很多科 学和技术领域得到了广泛的重视，推动了人工智能系统的发展，扩大了计算机 应用的可能性。几十年来，模式识别的研究取得了大量的成果，为通信信号的 识别提供了战略性的指导，但是，由于模式识别涉及到很多复杂特殊的问题， 现有的理论和方法对于通信信号的识别不一定有效，所以用一般模式识别的方 法来处理通信信号的识别问题是不恰当的。 模式识别就是研究机器如何观察周围环境，如何学习从背景中区分感兴趣的 模式，并对模式类别做出完整、合理的判断。通信信号调制识别作为模式识别 的一个特例，它与其他模式识别问题有许多相同的地方，比如识别过程都是按 照特征提取和分类决策这样一个步骤，但是通信信号作为一个研究问题之所以 存在，有它的必要性和特殊性。随着电子技术日新月异的发展，通信信号的体 制和调制样式更加复杂多样，信号环境越来越密集，给通信信号的识别研究提 出了更高的要求，所以人们做了大量的工作来研究。 1 9 8 4 年l i e d t k e 采用决策理论和统计模式识别的方法来对数字调制信号进 行分类，这种识别系统不仅硬件实现非常复杂，而且只有在信噪比( s n r ) 大于 等于1 8 d b 时，才能够有效地识别某些调制类型。1 9 8 7 年，l ，【a m m o n e 等人采用统 计模式识别的方法对数字调制信号分类，并估计载波和比特率，当s n r 大于等 于3 5 d b 时，分类器具有很高的识别率。1 9 9 0 年，p o l y d o r o s 等人采用决策论对 b p s k 和o p s k 信号进行分类，然而他们的分类器缺乏稳健性。1 9 9 0 年，h u s e “ 等人按照决策论的方法来识别等幅信号( m p s k 、m f s k ) ，当s n r 大于等于1 5 d b l 四川大学硕士毕业论文基于小被和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 时，分类器有较好的识别率。1 9 9 1 年，d o m i n g u e z ”等人采用决策论的方法分类 识别模拟调制信号和数字调制信号，在s n r 大于等于4 0 d b 时，分类器几乎能够 全部识别，但是，当信噪比等于l o d b 时，除了q p s k 的识别率为7 外，其余数 字调制信号的识别率都为0 。1 9 9 2 年，a s s a l e h 等人也是采用决策论的方法对 五类调制类型( c w 、b p s k 、q p s k 、b f s k 、q f s k ) 进行分类，在s n r 大于等于1 5 d b 时，识别率大于等于9 9 。1 9 9 5 年1 9 9 8 年的三年中，n a n d i 和a z z o u z h ”等 人在s i g n a lp r o c e s s i n g 、i e e et r a n so nc o m m u n i c a t i o n 期刊上发表论文，利 用他们提取的七个关键特征，分别采用决策理论、神经网络和神经网络级联的 方法对模拟和数字调制信号进行分类识别，所有分类器能够进行有效识别的s n r 都在l o d b 以上。 从上面通信信号识别发展的历程来看，决策理论和统计模式识别是最常用的 识别方法。判别一种识别方法的优劣，不仅要看识别率，还要看识别效率、分 类器的稳健性和推广能力等因素。 1 1 2 调制类型识别的应用 无线电信号的调制识别广泛应用于民用与军事领域。其民用主要是为频谱管 理进行信号身份确认、干扰确认等。在军事领域，其用途主要有3 个方面：一、 在通信情报中，为选择信源解调和恢复方式并完整接收所截获信号提供正确的 信号解调方式；二、在电子侦察与信号情报中，判断信号身份属性，进而为评 估其威胁程度提供参数：三、在电子进攻中，为选择电子干扰式样提供参数； 此外，无线电信号的调制识别在计算机网络自动路由分配中也有重要应用价值。 总的来说，无线电信号的调制识别应包括无线电通信信号、雷达信号和导航信 号的识别。而在这三类无线电信号中，通信信号应用最为广泛，所以其调制识 别和特征提取也研究得最多。因此在本文中主要是针对通信信号调制识别和特 征提取方面的探索。然而，研究通信信号的调制识别和特征提取，不仅能为无 线电通信信号分析提供技术手段，也能为无线电雷达、导航信号的调制识别与 分类提供一般理论和方法参考。 2 朋川i 大学硕士毕业论文 基于小渡和分数阶微分的数字调制信号分析与识剐 1 1 3 调制类型识别的基本原理 无线电信号调制识别分为人工识别和自动识别两类。人工识别是最古老、最 成熟的一类方法，它仍然是无线电信号调制识别所不能放弃的一种方法，尤其 是对通带模拟调制信号，如调幅( a m ) 、单边带( s s b ) 和调频( f 1 ) 等。一个 有经验的侦听员对调制种类进行人工识别的正确率，仍然是自动识别所难以达 到的。然而，随着数字通带调制信号在整个无线电工程中逐渐占据统治地位， 使无线电调制识别所面对的信号也逐渐以数字调制为主。对数字调制信号的调 制识别而言，人工识别就不再具有优势。因此，目前主要是研究以数字调制信 号为识别对象的自动调制识别技术。 具体针对数字通信信号而言，信号调制识别又可分为类间分类 ( i n t e r - c l a s s ) 和类内分类( i n t r a c l a s s ) ”。类间分类指a s k 、f s k 、p s k 等信 号间的分类识别，而类内分类特指以上每一类信号中的进一步分类识别，例如 b p s k 与q p s k 之间的分类识别。 通信信号调制类型的识别问题是一种典型的模式识别应用。它的作用和目的 就是在接收到某一信号时，将其正确地归入到某种调制类型中，如果给每个调 制类型命名，并且用特定的符号来表达这个名字，那么信号识别可以看成是从 具有时间和空间分布的信号到符号空间的映射，一般过程如图1 1 所示。 图1 1 通信信号调制识别的一般过程 下面简单介绍一下这几部分的应用： ( a ) 信号获取 四川大学硕士毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 来自天线的信号j f 到达接收机，输出一个中频信号。 ( b ) 中频变换 中频变换就是通过频谱搬移，把载频变为一个适合后续处理的频率，特殊情 况下，中频信号直接变为基带信号。这一过程可通过模拟或数字方式来实现， 如果a d 的位置放在信号获取单元的后面，那么中频变换是通过数字混频和数 字滤波来实现的；如果a d 变换要求在中频变换之后，那么接收机输出的中频 信号直接通过模拟混频和滤波完成中频变换。总之，最后的输出都是计算机可 以运算的二进制数字信号j 扫矿。 ( c ) 特征提取和选择 为了实现有效的分类识别，必须对原始数据进行变换，得到最能反映分类差 别的特征。显然，这些特征的提取和选择是非常重要的，因为它影响到分类器 的设计及其性能，理想情况下，经过特征提取和选择得到的特征矢量对不同调 制类型有明显的差别，然而在实际问题中却常常不容易找到那些最重要的特征， 或受条件限制不能对它们进行测量，这就使特征提取和选择的任务复杂化，从 而成为信号调制识别系统中最困难的任务之一。 ( d ) 分类器设计和分类决策 分类问题是根据识别对象特征的观察值将其分到某个类别中去。首先，在样 本训练集的基础上确定合适的判决规则和分类器结构，然后学习训练得到分类 器参数，最后，进行分类决策，把待识别信号的特征空间映射到决策空间。 i 2 本文的主要工作和章节安排 本文主要利用小波变换和分数阶微分这两种工具对典型的数字调制通信信 号( m p s k 、m a s k 、m f s k ) 进行分析和识别研究。首先设计了一种基于小波变换 的数字调制信号自动识别器，然后用数字分数微分器对数字调制信号进行特征 提取和分析，并对其可行性进行了研究。本文的主要工作内容安排如下： 本文第二章主要阐述小波变换( 包括连续小波变换和多分辨率分析以及小波 包) 的相关理论。第一节主要介绍小波变换的来由；第二节介绍了小波分析的 基本理论，共包括三部分：( 1 ) 连续小波变换的定义；( 2 ) 多分辨率分析与m a l l a t 4 四j i i 大学硕士毕业论文基于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 算法；( 3 ) 小波包基本理论。 在本文第三章首先介绍了一种新的小波包分解算法：卷积型小波包算法。该 算法与经典的小波包分解算法略有不同，但是正好满足本章分析问题的需要。接 着又分析了在进行小波包分解时信号的频带划分特点，并介绍了一种寻找小波 包节点与频带序号之间对应关系的方法。然后对m p s k 信号连续小波变换的过零 特征进行了分析，最后综合上述几个问题的研究结果，设计了基于小波的数字 调制信号自动识别器，并对其抗噪声性能进行了分析。 第四章主要阐述了分数阶微分的定义、性质和分数阶微分滤波器的设计方 法，然后使用窗函数法设计的数字分数微分滤波器对辛格信号和数字调制信号 进行分析，得出了一些有参考价值的结论。 第五章对本文做最后的总结。 四川大学硕士毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 2 小波变换 2 1 小波的由来 要谈论小波的由来不得不提到傅立叶变换m 。傅立叶变换在时不变信号处理 中一直占据着统治地位，主要是因为傅立叶基所用的正弦波e 栅是所有线性时不 变算子的特征向量。若我们用三来表示一个线性时不变算子，则该算子完全由 其特征值2 细) 来刻画： v r ，l e 枷= 矗( 彩) p 柳 ( 2 一1 ) 若厂是系统的输入，要计算输出上，首先将，分解成正弦波p l i n t 。o e r 之和： 巾) = 去e 衲d 功 ( 2 2 ) 若是能量有限信号，则根据傅立叶积分理论可以证明每个正弦波p 栅的振幅 夕( 国) 是，的傅立叶变换： “ 、：r - 纫t d t ( 2 - 3 ) f ( c of ( t ) e d t ) = i j m 若将三作用于式( 2 - - 2 ) 中的，并利用式( 2 - - 1 ) 可得： ：上r “e l f ( t )f ( c o ) h ( c o ) e “d c o t 一z 一4 ) = 圭i “” z 石 算子l 将，的正弦波分量e 栅放大或缩小五渤1 倍，这一过程可以看作是，的频 率滤波。假如我们只是研究线性时不变算子，那么傅立叶变换足以处理大多数 问题。然而对于瞬变信号而言，傅立叶变换便不会那么有效： ( 1 )由于e 枷填满空间的本性，它在物理空间中是双向无限延伸的正弦 6 四f f 大学硕士毕业论文 基于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 波，因此傅立叶变换是先天非局域的，它对信号，中的任何局部信息的处理都 是相同的。 ( 2 ) 在( 2 - - 3 ) 式中，从信号中提取频谱信息，渤、就要取无限的时间 量，使用过去和将来的信号信息，这使得用傅立叶变换不能反映出随时间变化 的频率。 总的来说，傅立叶变换揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系，反映了 信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。用傅立叶变换的方法提取信 号频谱时，需要利用信号的全部时域信息。信号的局部发生的变化会影响到信 号的整个频谱。例如，对一个低频信号，如果给它在某一时刻“增加一个冲激， 那么它的频谱就立刻变成宽带频谱。根据这个宽带频谱只能辨别出信号中存在 的冲激，但却无法确定这个冲激发生的时间位置。这表明，傅立叶分析有很强 的频谱定位或频率局域化能力。但是，傅立叶分析没有时间定位或时间局域化 的能力。 小波变换是在傅立叶变换的基础上发展起来的” ”1 ，它优于傅立叶分析的 地方是它在空域和时域都是局部化的，其局部化格式随频率自动变换，在高频 处取窄的时( 空) 间窗，在低频处取宽的时( 空) 间窗，适合处理非平稳信号。 在小波理论的发展过程中，发现它与工程技术上一些已发展起来的问题密切相 关。它们都可以用小波变换作为理论基础，看成是从不同角度应用小波得到的 特例。例如g a b o r 在1 9 4 6 年提出的g a b o r 变换，b u r r 在1 9 8 2 年提出的金字塔 式图像压缩编码概念，通信及语言处理中的子带编码( s u b b a n dc o d i n g ) ，数 字信号处理中的多采样滤波器组( m u l t i r a t es a m p l i n gf i l t e rb a n k ) ，计算机 视觉中的多分辨率分析等。这些工程应用领域大大丰富了小波变换的实用意义， 也促进了小波分析理论的进一步发展。小波变换理论已经由一维发展到多维。 2 2 小波分析的基本理论 2 2 1 连续小波变换的定义 设工o ) 是平方可积函数，记为x ( f ) e ( r ) ，l | f ，( f ) 是被称为基本小波或母 7 四川大学硕士毕业论文摹于小渡和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 波的函数，则 暇( 即) = 去卜( 矽( 等肛 ( 2 - 5 ) 称为x ( 0 的小波变换。式中a o 是尺度因子，f 反映位移，其值可正可负，符 号 代表内积，它的含义是( 上标$ 代表取共轭) = i x ( t ) y ( o a t ( 2 6 ) 弘么( f ) = 妒( ! 二三) 是基本小波的位移与尺度伸缩。式( 2 5 ) 中不但f 是连 a a 续变量，而且a 和r 也是连续变量，因此称为连续的小波变换( e o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，c w t ) 。 对于式( 2 - 5 ) ，有以下几点应加补充说明： ( 1 ) 基本小波( f ) 可能是复数信号，特别是解析信号。例如 上 一 一 缈( f ) = p 7o e 咄= e7 c o s o f + j e 7 s i n c o o t ( 称为l o r l e t 小波) 便是一例， 它是高斯包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特变换( h i l b e r t t r a n s f o r m ) 。 尺度因子口的作用是将基本小波缈( f ) 做伸缩，口愈大y ( 二) 愈宽。在不同 尺度下小波的持续时间随日的加大而增宽，幅度则与：成反比减小， 但波的形状保持不变。 1 ( f ) 前加因子的目的是使不同口值下( f ) 的能量保持相等。即， 设s = 0 y ( f ) j 2 以是基本小波的能量，则( f ) 的能量是 占。= 惦刊2 出= 跏水= 占 c z 卅 式( 2 - - 1 ) 的内积往往被不严格地解释为卷积。这是因为 内积： = b ( f ) o f ) ) ) “ 四川大学硕士毕业论文基于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 卷积： = 卜( 妒( t - f ) 如 两式相比，区别仅在于妒o f ) 改成( f t ) = 缈卜( t - t ) 】o 即( f ) 首尾对调。 如果( ，) 是关于f = o 对称的函数，则计算结果无区别；如果非对称，在计算方 法上也没用本质区别。 2 2 2 多分辨率分析 多分辨率分析的概念可以形象得比喻为把照相机镜头前后推移来观察景物： 当尺度口较大时视野宽而分析频率低，可以作概貌的观察。当尺度口较小时视野 窄而分析频率高，可以作细节的观察。这种由粗及精对事物的逐级分析称为多 分辨率分析，它是小波变换联系工程应用的重要方面。 下面我们将从函数空间的剖分来引入多分辨率分析的概念。把平方可积的函 数x ( f ) r ( 矗) 看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑 函数矿( f ) 对x ( f ) 作平滑的结果，只是逐级逼近时平滑函数矿( f ) 也作逐级伸缩。 这也就是说用不同分辨率来逐级逼近待分析函数石o ) 。这就是“多分辨率”得 名的由来。更具体地说，其中包括以下概念： ( 1 ) 函数空间的逐级剖分 把空间作逐级二分解产生一组逐级包含的子空间： ，= ko ，k = 砭o ，巧= 巧+ 。o - ，是从o 。到- 的整数，_ ，值愈小空间愈大。而且剖分是完整的，也就是 说： 当，一时巧_ r ( r ) ，包含整个平方可积的实变函数空间。在逐级包含的 条件下，上式等效于： u以=(r)(2-8) i 。 当，枷时一 ，即空间最终剖分到空集为止。在逐级包含的条件下， 上式等效于： 9 四川大学硕t 毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 n巧=(2-9) j e z 上述剖分方式显然保证了空间巧与空间正交，且各之间也正交： 巧上髟，上，j k 进一步要求剖分还具有以下两项特性： a 位移不变性：函数的时移不改变其所属空间。即：如果x ( f ) 巧，则 x ( t 一后) ( 2 - - 1 0 ) b - - r 度伸缩性，如果x ( f ) ，则 x ) 巧+ l ，x ( 2 t ) ev j l ( 2 1 1 ) ( 2 ) 在上述基础上对各子空间内的结构作进一步分析 a 子空间：设中有低通的平滑函数妒( f ) ；它的整数移位集合 是中的正交归一基。称矿( f ) 为尺度函数( s c a l i n g f u n c t i o n ) 。正交归一性可记作： = 8 ( k - j ) ( 2 1 2 ) 或 = 万( 后一) ( 2 1 3 ) 式中丸t ( f ) 是办( f ) = 若万( 2 7 f 一后) 在户口时的蜕化形式，也就是o 一i ) 又根据正交归一性，可得： i 痧( f ) 沈= 1 ( 2 1 4 ) 因此中的任意函数必可表示为 的线性组合。也就是说，设 蜀x ( f ) 代表z ( f ) 在上的投影，则必有： l o 四川大学硕士毕业论文 基于小渡和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 昂x ( f ) = 掣1 ( f ) k ( 2 1 5 ) 其中掣是线性组合各权重，其值可如下来求：把上式两边对丸o ) 作内积， 由于式( 2 - - 9 ) 的正交归一性便得： 掣= = ( 2 1 6 ) 上式第二步之所以成立是因为对x ( t ) 必与t o ) 正交。昂工o ) 称为工o ) 在 中的平滑逼近，也就是z o ) 在分辨率j = o y 的概貌。o 称为x ( t ) 在分辨率脚 下的离散逼近。 b 子空间k ：如果矽o ) ，则根据二尺度伸缩性，矽g ) k 。如果 二 是中的正交归一基，则 必是巧中的正交 归一基。也就是： = 万( 七一j ) ( 2 1 7 ) 因此k 中的任意函数，例如日x ( f ) ，必可表示为 的线性组合： 墨x ( f ) = 妒丸( f ) 上 ( 2 一1 8 ) 且权重 = = ( 2 1 9 ) 层工o ) 是x o ) 在巧中的平滑逼近，也就是x ( f ) 在分辨率户，下的概貌。是 x ( f ) 在分辨率j 可下的离散逼近。 c 子空间w l ：如果在子空间w o 中能找到一个带通函数( f ) ，其整数位移的 集合 构成中的正交归一基，则同样根据二尺度伸缩性， 四川大学硕士毕业论文 基于小波和分数阶鳢分的数字调制信号分析与识别 ( 三) ，且 必构成中的一组正交归一基： = 6 ( k 一，) 又由于矿( f ) 是带通函数，所以 肜( f ) 衍= o ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 因此以中的任意函数必可表示为 的线性组合。也就是说，设 q x ( f ) 代表x o ) 在彤中的投影，则必有： 皿坤) = 碰”。( ，) ( 2 2 2 ) 且权重 碰1 = = ( 2 2 3 ) 因为= k o ，所以有； p o x ( t ) = 只x ( f ) + d l x ( t ) ( 2 2 4 ) 或 d i x ( t ) = 昂x ( f ) 一p l x ( t ) ( 2 2 5 ) 也就是说d l x ( t ) 是，k 两级相邻平滑逼近之差，反映这两级逼近间的细 节差异。因此称d l x o ) 为分辨率爿下的细节函数。1 是爿下的离散细节。 值得注意的是由式( 2 2 0 ) 可见碰1 实际上就是离散栅格卢，时的小波变换 聊：( ，= l ，k ) 沙( f ) 就是具有带通特性的小波函数。这样便把多分辨率分析和小 波变换联系起来了。 ( 3 ) 上述讨论可以很自然地推广到i 与巧，之间，即： 必是巧中的正交归一基。 朋川大学硕士l # 业论文摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 必是中的正交归一基。 也就是： = = d ( k k ) ( 2 2 6 ) 并且 弓一。x ( f ) = 掣。1 办嘶( f ) 拶q = ( 2 - - 2 7 ) e x o ) = # 九( f ) ，= ( 2 - - 2 8 ) d j x ( t ) = 碰力( f ) 7 x ( f ) ，( f ) ( 2 2 9 ) 又 ，j o ) = e x o ) + d j 工o ) ( 2 3 0 ) c x o ) 是x ( f ) 在巧中的投影，也就是x ( f ) 在分辨率j 下的平滑逼近，拶 是其离散逼近d j x ( t ) 是x ( t )哆中的投影，反映弓一l x ( f ) 和e x ( f ) 两平滑 逼近间的细节差异。而其离散值硪7 就是小波变换w t , ( ，j i ) 。 以上就是从函数空间剖分讨论多分辨率分析的基本框架。 在前面多分辨率分析中我们引出了对信号z o ) 作分析时的离散平滑逼近 掣和离散细节信号7 后者就是二迸离散栅格上的小波变换e u 后) 。这 些离散系数间的关系还可以用多采样率滤波器的形式表现出来，从而便于采用 数字信号处理技术进行分析。 阴川大学硕士毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 由毫1 取得毫孙，碰2 的步骤与由硭取得，硪1 的步骤完全相同，如图 2 1 所示。 妒 图2 1m a i l a t 算法的二分树结构 图2 1 中，各7 代表分辨率4 = 2 卜f 的离散概貌信号，也就是该分辨率下 x c x ( t ) 的平滑逼近。各碰7 代表分辨率口= 2 7 下的离散细节信号，也就是该分 辨率下小波变换所得系数暇( ，k ) 。只要瓦( 七) ，爿( _ j ) 已知，就可以按图2 1 结构由o 逐级求掣和穰7 = w t , ( 2 j , 后) ，= l ，2 。由于此算法是法国学者 i d a i l a t 首先提出来的，故称为m a l l a t 算法。 2 2 3 小波包基本理论 小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 的概念是由m v w i c k e r h a u s e r ，r r c o i f m a n 等 人在小波变换的基础上进一步提出来的“1 2 并且从数学上作了比较严密的推 导。从工程技术上看，小波包可以看成是函数空间逐级正交剖分的扩展，以下 加以简单说明。 图2 2 是m a l l a t 多分辨率分析中函数空间的剖分和相应二分树滤波器组的 示意。首先可以想到这种二剖分不仅对各空间进行，也可以类似地对各形空 间进行。这样便得到图2 3 所示的空间剖分和对应的二分树滤波器组示意图。 图( a ) 各框内括弧中的符号代表划分出该空间的剖分次序，其次序是先右后左。 1 4 四川大学硕士毕业论文 基于小拔和分数阶缴分的数字调制信号分析与识别 l 代表低通滤波，h 代表高通滤波。例如h i l l 表示第一级作低通，第二、三级作 高通。职，空间便是经这一剖分次序取得的。当然，这里所谓高、低通都是相对 于上一级空间的频带而言的。 各空间都有自己的整数位移正交归一基，分别用吲2 q ( f ) ，n = 0 2 7 - - 1 表示。 上标( 2 j ) 代表尺度，是尺度级别，下标厅是该级别下的空间信号。例如， 对第，= 3 级，2 3 = 8 ，因此共有8 组正交归一基坩o ) ，叫8 1 ( r ) ， ( f ) 。而对 = 2 而言，则只有心舢( 窃，w 4 ( f ) 四组。不同尺度级别的基本小波宽度不同， 逐级扩展一倍。 巧i 广_ l ik 磁1 上 lj t 巧1 1 ( a ) 空间剖分 ( b ) 滤波器组 图( 2 2 ) m a ii a t 多分辨率分析的空间剖分 网川大学硕士毕业论文 皂旰小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 w 乎g ) w 产g ) 1 嵋却( ow 字g ) w p g ) ，箩g ) ，字g ) 西”岱) ( a ) 空间剖分 ( b ) 滤波器组 图2 3 短时傅立叶分析的空间剖分 在图2 3 的二分树上取一组子空间集合，如果其直和恰能将空间覆盖，相 互间又不重叠，则这组空间集合的正交归一基便组成一个小波包。显然这样的 1 6 ! 业坐苎型些兰苎 苎王尘鎏塑坌墼坠壁坌堕墼兰塑型堕! 坌堑皇堡型 予空间集合，其方式不是唯一的。例如在图2 3 的情况中： ( 1 ) 可以取第三级的八个子空间，。一来覆盖。此时小波 包便由基本小波【坩( f ) 一w ；”( ，) 】组成。这正相当于按短时傅立叶变换做空间削 分。 ( 2 ) 也可以取巧。，。，。，彤来覆盖。此时情况就是m a l l a t 多分辨率 分析做空间剖分。此时小波包由 坩( r ) ，w f 8 ( f ) 嵋4 o ) ，埘：，( f ) 】组成。 四川大学硕士毕业论文 基于叶、渡和分数阶微分的教字调制信号分析与识别 3 基于小波的数字调制信号自动识别算法与实现 3 1 卷积型小波包变换 小波包的分解一般使用以下经典的快速迭代算法： 矿p 1 = 去z h ( p 一2 k ) x ； ( 3 一1 ) 、，二p e z 矿1 p 1 = 去g ( p 一2 k ) x ； ( 3 2 ) v 二p e z 这种分解算法的特点是：在迭代过程中进行隔二抽一的采样，因而下一层 各频带序列的样本点数会减少一半，当分解层数较大时，各序列的数据长度就 会变得很短，这在需要对数据进行压缩的领域很有用，然而在某些领域由于需 要对小波包的分解结果作进一步分析，但是数据长度太短使得分析变得很困难。 例如对1 0 2 4 点数据进行四层小波包分解，则第四层各频带序列的样本点数减少 到6 4 点，对这么短的数据很难傲进一步分析。解决这一问题的办法是只能对感 兴趣的频道分解结果再进行重构，使其数据长度跟原始信号长度一致之后再进 行分析。通过重构来使各分解序列恢复原信号长度是一件很麻烦的事情，能不 能得到种算法，使信号通过小波包分解以后，各频道序列的长度不变呢? 卷 积型小波包变换算法彻底解决了这一问题，利用这一算法来进行小波包分解， 不管分解多少层，无需再对分解结果进行重构，每层各频道序列的长度就能始 终保持和原信号长度一致“”。 式( 3 一1 ) 和式( 3 2 ) 实际上是通过如下小波包变换形式得到的： = 2 工z ( f ) 以( 2 一j t p ) d t 0 _ ，s ，o 栉 2 5 ( 3 3 ) 式中_ ，为分解尺度，珂为频道号，s 为最大分解尺度。正是小波包的这种内积型 定义导致了快速算法中的隔二抽一采样，从而使各分解序列长度递减。众所周 知，小波变换有两种定义形式，即内积型和卷积型，但是对小波包变换来说， 只有如式( 3 3 ) 所示的内积型定义。因此，我们首先将小波变换的卷积型定 义推广到小波包，作如下定义： 1 8 四川大学硕士毕业论文 摹于小波和分数阶微分的数字调制信号分析与识别 设信号工0 ) l 2 ( r ) ，若( 2 以( 2 - i t - 后) ，i z 是小波包子空间叼上的 规范正交基，定义信号x o ) 的卷积型小波包变换形式为 _ 2 7 枷) 以( 等) 衍 ( 3 卅 下面来推导这种定义形式的快速分解算法，在小波包的定义式中： 如( f ) = 压办( j i ) 从( 2 f 一后) k c z 鲍，+ ，( t ) = q r 砭g ( k ) a ( 2 t j i ) t e = ( 3 5 ) ( 3 6 ) 在上两个公式中，令t = 2 一，x ，然后两端取傅立叶变换，可得到： 五：。( u c o ) =