（机械设计及理论专业论文）基于mls的数值流形无网格化方法研究.pdf

摘要 本文对数值流形方法( n m m ) 和无网格法( e f m ) 特别是目前运用相对成熟的无 网格迦辽金法( e f g ) 理论进行深入研究，总结了各自的优点与不足之处，发现两者相 辅相成，互补性非常强。如果能将两种方法的优点相结合，或说将两种方法的核心 思想或数值技术相融合，则不仅可以解决前处理与裂纹开裂扩展方面的难题，同 时也可以将连续与非连续变形问题的数值分析统一起来。 在对数值流形方法和无网格迦辽金法( e f g ) 理论研究的基础上，本文将数值流形 方法的有限覆盖理论和无网格法的无网格插值技术有机结合起来，并针对其各自的优缺 点，提出了一种基于移动最小二乘法( m l s ) 的数值流形无网格化方法。这种方法摒弃 了单元和网格，采用有限圆覆盖技术和s h v p a r d 函数即0 阶移动最小二乘形函数直接在 求解域内的离散点上构造近似函数，选择三次样条曲线作为权函数，并引入罚函数处理 本质边界条，最后利用背景网格对由变分原理导出的总体方程进行高斯积分，可以看作 是数值流形方法实现的另一种特殊形式。该方法继承了这两种新颖的数值方法的主要优 点，而且同时克服了它们各自的不足之处，大幅度简化了数值流形方法的前处理过程， 并在无网格条件下简单实现了连续与非连续变形问题的统一，是一种更有效的数值方 法。论文最后将这种无网格化的数值流形方法应用于端部受集中载荷的悬臂梁算例中， 验证了该方法的可行性和有效性。同时在算例中将该方法与原数值流形方法和无网格迦 辽金法进行多方面的比较，结果表明：该方法前处理简单、求解精度高、计算时间少， 比无网格迦辽金法具有更高的计算效率，并且更易于编程实现。 关键词：数值流形；无网格法；有限覆盖技术：移动最小二乘法 ：奎三些銮：翟圭：譬鲨兰 a b s t r a c t t h ep a p e rs u m m a r i z e st h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fn u m e r i c a lr n 舭i f o l d m e t l a o d ( n m m ) a n dm e s h l e s sm e t h o d ( e f m ) a f t e rs t u d y i n gt h e i rt h e o l 3 , n m mc 孤u n i f o r m l y d e a lw i t hc a l c u l a t i n gp r o b l e m so fc o n t i n u o u sa n dd i s c o n t i n u o u so b j e c t s b u tn m mh a ss o i i l t ： d i t f i e u l t i e si nt h ep r e p r o e e s sa n dt h es i m u l a t i o no fo p e nc r a c kp r o p a g a t i o nb e c a u s ei ti sb a s e d o i lt h eg r i d e f mh a sa d v 锄t a g e so fs i m p l ep r e p r o e e s s , h i g hc o m p u t a t i o np r e c i s i o na n dl o w c o m p u t a t i o nd i f f i c u l t y , b u ti ta l s oh a ss o n l 眙d i s a d v a n t a g e s ，s u c h 私h i g i ic o m p u t a t i o nc o s t i ti s f o t m dt h a tn m ma n de f ms u p p l e m e n t se a c ho t h e rv e r yw e l l i ft h ea d v a n t a g e so fb o t h m e t h o d sc a nb ec o m b i n e o ri ft h ek e r n e lt h o u g h tm a dn u m e r i c a lt e c h n i q u ec a nb e a m a l g a m a t e d ，t h e p r o b l e m si np r e p r o c e s sa n dt h es i m u l a t i o no fo p e nc r a c kp r o p a g a t i o nw i l l b er e s o l v ew e l l , a l s ot h ee a l e u t a t i n gp r o b l e m so fc o n t i n u o u sa n dd i s c o n t i n u o u so b j e c t sc a l l u n i f o r m l yd e a lw i m b a s e d0 i lt h et h e o l ys t u d yo fn m ma n de f m e s p e c i a l l ye l e m e n tf r e eg a l a r k i nm e t h o d o j f g m ) ，ae l e m 锄t - f r e e dn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o db a s e d o nm l s ( 班n 加旧i si n t r o d u c e d a c c o r d i n gt ol t a o i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e si nl l a i sp a p e r t h ep r o p o s e dm e t h o d 啪a v o i d t h ee l e m e n tm e s h i n g 锄ds i m o i i 分t h ec o n s m m i o no fa p p r o x i m a t ef u n e t i o mi nt h ed i s e r e t o n o d e si n s i d eo b j e c tf i e l db yu s i n gt h ef i n i t ec i r c l ec o v e rt h e o r ya n ds h e p a r df u n c t i o n t h e s p l i n ec u r v ei se h o o s e dt ob et h ew e i g h tf u n c t i o n , a n de s s e n t i a lb o u n d a d , c o n d i t i o n si s i m p l e m e n t e dw i t hp t m i s h m e n tf u n c t i o nm e t h o d t h e ng a u s sq u a d r a t u r ei sc a r r i e do u t w i t ht h e i r a e k g r o u n ag l i c ti tc a na l s ob er e g a r d e da sas p e c i a lf o r mo fn m m t h ep r o p o s e dm e t h o d k e e p st 1 1 ea d v a n t a g e so f n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n dm e s h l e s sm e t h o d a n dg e t so f f t h e i r d i s a d v a n t a g e s i tl a r g e l ys i m p l i f i e st h ep r e p r o c e s sa n dc 8 nu n i f o r m l yd e a lw i t ht h ec a l c u l a t i n g p r o b l e m so fc o n t i n u o u sa n dd i s c o n t i n u o u so b j e c t sw i t h o u tm e s h e s i t i sam o r ou s e f u l i n u m e r i c a lm e l h o d a tl a s t , e f n m mi sa p p l i e dt oc a l c u l a t ed i s p l a c e m e n to ft h ee a a t i l e v e r w h i c hb e a r st h ec o n c e n t r a t e dl o a d i n g0 1 1 i t se n d , a n dc o m p a r e dw i t hn m ma n d 胤r e s u l t s d e m o n s t r a t e st h a te f n m mh a sa d v a n t a g e so fs i m p l ep r e p r o e e s s ，h i g ha c c u r a c y , l o w c o m p u t a t i o nc o s t , a n de a s yp r o g r a m m i n g k e yw o r d s ；n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ；m e s h l e s sm e t h o d ；t h ef i n i t ec i r c l ec o v e rt e c h n i q u e ； u a b s 一限a c t m 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人 在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不 包含本人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的， 论文成果归广东工业大学所有 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 论文作者签字： j 枷易 指导教师签字： 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 在科学技术领域里，对于许多力学和物理问题，已经得到了它们应遵循的基 本方程和相应的定解条件，但是只有少数方程性质比较简单，且几何形状相当规 则的问题才能用解析方法求出精确解。因此人们多年来寻求和发展了另一种求解 途径和方法一数值解法数值方法的种类十分繁多，其中又以有限元法( f e m ) ”1 的 应用最为广泛有分析限元法的理论成熟，原理简单，适合于处理各种复杂几何 形状、边界条件和材料性质的物体的力学问题，具有灵活、通用的优点，并且有 强大的商业化软件支持，是一种系统化的数值计算方法，在工程问题的数值模拟 中占据着主导地位 但是事物总有其两面性，随着科学技术的发展和现代工程问题复杂性的增 加，有限元法也逐渐暴露出了许多难以处理和急需解决的问题。单元离散或网格 划分本来是有限元法赖以存在的基础，但一直以来，它也极大地限制了有限元法 的发展。在有限元法里，面对形状复杂而又不断修改的区域，即使是目前功能最 为完善的网格生成器，划分单元和准备单元数据都仍是一件十分费时和繁琐的工 作，例如常用的结构化网格生成器，它的做法是首先将计算域划分为若干形状简 单的子域，子域进一步划分为单元，其划分过程仍需要使用者的人工干预。对于 三维问题而言，这种负担就更为明显了而且对裂纹扩展、大变形等问题在计算 过程中还必须不断更新有限元网格，这也极大地增加了程序控制的复杂性，降低 了数值结果的精度，给分析求解带来了诸多不便。另外，有限元法处理问题的自 由度数目庞大，使得它在深入到诸如三维、组合、复合、波动、无限域、非线性 等领域时，内存与计算工作量十分浩大惊人，造成原则上有限元能够解决，而实 际上在工程应用中又难以实现的状态。 基于上述困难，人们不断探索新的理论方法来弥补有限元法的不足。例如边 界单元法以边界位移和应力同时作为未知量，只要求在边界上剖分单元，能够降 低问题的维数，具有输入数据少，计算精度高等优点，特别适合于分析无限域和 处理奇异性问题。由石钟慈等提出的样条有限元法采用解析与数值相结合的办 法，且具有连续性强、逼近精度高、待定未知量少和效率高等优点，被成功地用 广东r 业大学r + 学硕十学位论文 于板、壳和箱形梁等薄壁结构的求解，同时也已经推广到材料非线性、几何非线 性及分层介质的分析中。类似的方法还有无限单元法、分区耦合法等。上述这些 方法虽然具有十分明显的优越性，但是它们只适合于某些具有解析解的特殊问题 的分析，难于编制通用的处理程序，远不如有限元法解题范围的广泛，而且还要 求分析人员具有较深厚的数学基础，限制了其在工程数值分析中的应用。 在2 0 世纪9 0 年代新发展起来的基于有限覆盖系统的数值流形方法1 7 , - i 1 和可 以部分或完全消除网格的无网格方法【4 蚓为数值分析提供了新的途径，它们从不 同的角度出发，很好地克服了有限元法的一些不足，而且均保留了有限元法灵活、 通用的优点，是具有广泛应用前景的最新数值方法 1 2 几种数值分析方法的研究现状及最瓤进展 1 2 1 数值流形方法研究现状及最新进展 数值流形方法嘲，亦称为流形方法，是一种高度统一的数值方法，它用连续 的和非连续的有限覆盖系统把连续和非连续的变形问题分析融为一体，统一解决 了有限元、非连续变形分析( d d a ) 和解析法的计算问题，目前在岩土，结构等 工程分析中已经得到了广泛的应用国内外的不少学者在此方面展开了积极的工 作并取得不少成果。 数值流形方法嘲自1 9 9 1 年石根华在美国明尼苏达召开的关于应用数学与计 算的第九届陆军大会会议上发表“材料分析的数值流形方法”以来，1 9 9 2 年石先 生又发表了“断裂与节理岩体的数值流形方法”，并在1 9 9 2 年美国第3 2 届岩石 力学学术讨论会上发表“用数值流形方法模拟岩石节理和块体”的论文，进一步 阐述了数值流形方法的概念，基本原理。1 9 9 5 年，石根华又在美国加利福尼亚召 开了“材料分析中的流形方法学术讨论会1 9 9 6 年和1 9 9 7 年在美国召开的第 一届和第二届“不连续变形分析和不连续介质模拟国际讨论会”进一步介绍了数 值流形方法，美国、日本、韩国、中国台湾等地的研究者发表了数值流形方法应 用方面的文章，中国大陆的代表参加了这些会议从此，数值流形方法在中国 开始研究和应用1 9 9 6 年清华大学周维垣首先发表了“数值流形方法及其在工 程中的应用”，将数值流形方法介绍于岩石力学与工程界1 9 9 7 年，王芝银等考 2 第一章绪论 虑岩石大变形，建立了岩石大变形分析的数值流形方法的一般计算格式，完成了 非线性( 二次) 位移函数条件下的数值流形方法程序与此同时，武汉岩土所王水 转、葛修润系统研究了数值流形方法的基本原理及其在模拟裂纹扩展中的实现过 程，提出了四个物理理盖构成一个流形单元的方法，并用于裂纹扩展的模拟，得 到了较为满意的结果；z h a n g 等在原数值流形方法程序的基础上进行了修改，进 行了裂纹扩展和温度裂纹问题的模拟。他们通过分析指出，对于零阶覆盖函数的 数值流形方法，在裂尖处计算的应力精度较差，不能精确地跟踪裂纹的扩展，因 此建议应用数值流形方法进行裂纹扩展问题的模拟时，应首先提高数值流形方法 的计算精度：c h i o u , t s a y 和c h u a n g 在原d d a 的基础上开发出数值流形方法程 序，讨论了计算应力强度因子的方法，并用于单一裂纹扩展问题摸拟；s h y u 和 s a l a m i 研究了基于四节点等参有限元的数值流形方法；k e 等提出基于人工节理 的数值流形方法，但对该法一直存在争议；c h e n 等学者探讨了数值流形方法数学 网格自动生成的问题gs h e n g ，c h e r t 和c h u a n g 讨论了数值流形方法的插值理论； t a k e s h i 、s a s a k i 等发展了用于节理岩体模型的弹塑性数值流形方法；1 9 9 8 年王芝 银等 4 1 对数值流形方法中的约束条件、边界释放荷载和积分方法进行了改进，建 立了适用于一般岩体力学问题的固定点矩阵、分布荷载矩阵及单纯形积分的更简 便形式；同时，考虑到岩土工程问题一般是反复加载的增量变形过程，建立了考 虑岩体损伤分析的数值流形方法的增量分析公式，并对某边坡的潜在滑移面的滑 动过程进行了模拟；武汉水利电力学院的朱以文等1 9 9 9 年完成了岩石大变形分 析的增量数值流形方法，模拟了具有节理、裂隙的岩石大变形问题清华大学张 国新对裂隙扩展、多裂隙结构体的破坏及跟踪、移动中悬梁的自重弯曲破坏以及 将数值流形方法与局部子域b e m 法相结合进行裂隙扩展的模拟等方面做了大量 研究；2 0 0 0 年，栾茂田等应用数值流形方法思想，通过引入广义节点的概念，对 传统有限元法进行改进，提出了广义节点有限元法。 2 0 0 0 年后数值流形方法的研究与应用方面出现了更多的成果。如张湘伟，骆 少明、蔡永昌d “j 等专家对数值流形方法进行了深入的研究，建立了线性与非线 性数值流形方法的变分原理，在数值流形方法实际应用技术方面做了大量的工 作，并应用于金属塑性成型过程数值模拟和混凝土桥洞受力领域；近期的研究报 道主要有对物理覆盖系统的构成、自动剖分、网格重分技术及程序设计等方面； 在对总体位移函数的构成方面也有更具体的迸一步研究：王芝银等利用数值流形 广东t 业人学r 学硕十学位论文 方法中的惯性力概念对传统流变分析的有限元格式进行了改进这些研究成果的 出现完善和发展了数值流形方法的内容。 但是也可以看出，由于数值流形方法是一种新的数值方法，它的发展才刚刚 起步，研究对象还比较狭窄，目前大多数是针对岩土工程的块体或不连续的裂缝 数值模拟，而且基本上都直接采用有限元网格来作为数值流形方法的数学覆盖， 正是由于数值流形方法还是一种基于网格的方法，难免在前处理上比较麻烦，在 模拟裂纹扩展时也很困难还未能充分体现其优越性。数值流形方法还应该有更 大的发展空问和更多的工作要做。 1 2 2 无网格法研究现状及最新进展 数值流形方法采用两套网格进行计算，可以避免分析过程中的网格重构，简 化分析进程，给数值计算提供很好的灵活性和适应性。而几乎与此同时引起工程 界注意、并得到迅速发展的无网格方法则从另一角度解决了一些传统有限元法面 临的问题。无弼格法【捌采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，它只需 要给出点的信息，前处理特别简单，而且对于裂纹扩展或大变形问题可以完全抛 开网格的重构，在数值计算中具有独特的优点 无网格方法嘲产生在2 0 多年以前，但当时发展很慢历史最长的无网格方 法是光滑粒子法( s m o o t h p a r t i c l eh y d r o d y n a m i cm e t h o d 。简记为s p h ) ，它最早被用 于无边界的天体问题( 1 9 7 7 ) d y k a ( 1 9 9 4 ) ，s w e g l e ( 1 9 9 5 ) 等人提出了s p h 方法不 稳定的起因及稳定化方案，在s p h 方法中，引入了节点的星( s t a r ) 的概念，应用 每一个星所包含的节点个数及位置信息通过星中心点处的局部泰勒展式来构造 星的局部近似场函数这一方法被广泛应用于计算物理以及天体物理领域的星球 运动及星球间碰撞的模拟。在讨论无网格方法的发展历史时，人们常常把s p h 作 为无网格技术的最初成功应用。j o n h s o n ( 1 9 9 6 ) 等人提出了一些改善应变计算的方 法；l i u ( 1 9 9 5 ) 等人也提出了对核函数的修正方案。另外一条构造无网格方法的途 径是采用最小移动二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ，简记为m l s ) 进行近似，它 可用一系列离散点构造出在全定义域上光滑的，而不是局部光滑的总体近似函 数。n a y r o l e s ( 1 9 9 2 ) 等人最早将移动最小二乘近似用于伽辽金( g a l e r k i n ) 方法，并 称之为扩散单元法( d i f f u s ee l e m e n t m e t h o d s ，简称d e m ) ，扩散单元方法仅用节点和 4 第一章绪论 边界描述对g a l e r k i n 方程进行离散求解，通过加权最小二乘( w l s ：w e i g h t e d l e a s t - s q u a r e s ) 方法对节点值进行拟合，得到插值函数多项式b e l y t s c h k o 等( 1 9 9 4 ) 在l a n c a s t e r 和n a y r o l e s 等人工作的基础上进一步导出被d e m 忽略掉了的插值函 数的导数形式，并提出了基于移动最小二乘法的无网格伽辽金法( e l e m e n tf r e e g a l e r k i nm e t h o d ，简称e f g m l ，并在随后发表了大量的关于e f g 法边界条件的施 加、形函数的加速计算、不连续问题分析、收敛性准则的建立、点积分计算、体 积自镄研究等方面的文章，积极推动了这一方法的发展。无论是d e m 还是e f g m ， 都不需要有限差分网格或有限单元网格，而且如果权函数及其导数连续，则解及 其导数亦连续。无需网格，高阶连续的近似解是这些方法较之于传统有限单元法 的突出优点。1 9 9 5 年，o d e n 等人提出了单位分解法，并且认识到基于移动最小 二乘的近似方法实际上就是单位分解法的一种特例。l i u 等人也对此类方法作了 大量的研究工作，并对其收敛性给以了证明。 以建立更准确有效的无网格插值函数构造方法为目的，l i u 等( 1 9 9 5 ) 基于 r e p r o d u c i n gk e r n e l 及小波变换理论提出了另外一种无网格方法一r k p m ： ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d or k p m ) 通过应用移动积分窗口的技术建 立了一种新的形函数形式。窗口函数可以在求解域上移动和胀缩，从而以另外一 种形式达到无需单元以及网格细化的目的 为了消除d e m 及e f g m 中的用于数值积分目的积分网格或辅助网格，实现 真正意义上的无网格方法，边界元的创始人a t l u t i 及其合作者z h u ( 1 9 9 8 ) 在l b i e 的基础上，采用微分方程的局部对称弱形式( ( l s w f ：l o c a ls y m m e t r i cw e a k f o r m ) ，运用移动最小二乘法构造局部子域上的试函数，采用属于不同空间的试 函数和权函数，把在全求解域上的g a l e r k i n 方程简化为在各子域上的局部 g a l e r k i n 方程进行求解，从而导出了即不用有限差分或有限单元网格，也不用全 求解域上的积分网格或辅助网格的一种新的无网格方法由于在这种g a l e r l c i n 方法在局部对称弱形式中，采用了属于不同空间的试函数和权函数，因此被命名 为“局部伽辽金无网格( m l p g ：m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i n ) 方法”这一方法 可看作是一种特殊形式的子域法该法与d e m 及e f g m 的主要差别在于采用了局 部对称弱积分形式，使得数值积分在子域上完成，而不再象d e m 或e f g m 那样 在全求解域上布置用于积分目的积分网格或辅助网格在整个求解域上进行数值 积分。但是a t l u t i 虽然未明确说明，该法在子域上的数值积分仍需要一些积分网 格。另外这种方法导出的总体方程为非对称矩阵。 无网格方法的种类 2 0 1 十分繁多，它们均能减少或消除网格划分给数值分析带 来的不便，各有自己的优缺点，且在不同的领域里得到了一些成功的应用。在这 些无网格方法里，又以e f g 方法因具有求解精度高、收敛快、能消除体积自锁和 数值解稳定等优点而应用最为广泛。然而即使是这种已被大量研究的e f g 方法也 仍然存在着许多问题。例如，基于最小移动二乘法的e f g 方法其整体位移函数的 构成十分复杂，形函数的形成需要求矩阵的逆和相乘运算，更为重要的是现阶段 的e f g 方法仍然没有有限元法稳定和快速，其计算花费超过对应的低次有限元法 扣1 0 倍以上，这在那些需要迭代计算的弹塑性、大变形、冲击动力学等本来就十 分耗时的问题里，矛盾就更为突出了。另外一类应用比较广泛的无两格方法是单 位分解法( p u f e m ) 和h pc l o u d s ( h p c ) ，它们采用覆盖函数和基于点的近似来逼近 求解域的位移场函数，覆盖的形状可以是扇形、圆形或矩形的，这种位移函数的 构造方式与数值流形方法位移函数的构造十分相似，也可以说这类无网格方法就 是抛弃了网格的数值流形方法p u f e m 和h p c 采用覆盖函数的概念使得位移函 数的构造更加灵活，方便，但是采用较高阶位移函数时p u f e m 和h p c 旅加位移 边界条件十分困难使得它们难于向高维问题扩展，从而也就限制了其应用的范 围。因此如何结合数值流形方法和无网格法的优点来改进现有方法将是本文的一 个主要研究内容 1 3 论文的研究思路 本论文的研究思路是从数值流形方法和无网格法的研究入手，提取两种方法 的核心内容：有限覆盖思想与无网格插值技术，进一步结合有限圆覆盖技术与移动 最小二乘法，从而形成了基于m l s 的数值流形无网格化方法( e f n m m ) 最后， 用简单实例验证e f n m m 的可行性和有效性，同时，通过与传统数值流形方法和 无网格迦辽金相比较。体现其优越性。 6 第一章绪论 1 4 本文的研究内容 本论文主要分为三大部分。第一部分即第一章绪论部分，对数值流形方法和 无网格法两种数值方法的发展和研究现状作了概述，并简要介绍了本论文的主要 工作和特点；第二部分由第二、三章组成，主要阐述了现有的数值流形方法及无 网格方法的理论研究及应用，并讨论了各自的优点和不足之处；第三部分即第四 章，结合数值流形方法及无网格方法的核心技术，并针对各自的不足，提出了基 于m l s 的数值流形无网格化方法，最后通过算例验证该方法的可行性和有效性， 并通过与传统数值流形方法和无网格迦辽金相比较，体现其优越性本文算例均 在m a t l a b 软件中实现。 本论文的主要研究工作有以下三点 ( 1 ) 对数值流形方法的基本理论进行全面论述。从一般覆盖和有限单元覆盖两个 方面分析了数值流形方法的核心内容有限覆盖技术；系统研究了其近似 场函数的构造方法以及总体控制方程的形成过程；并通过算例体现其特点 ( 2 ) 对无网格法特别是无网格迦辽金法的理论研究。从紧支近似函数的构 造、离散方案的确定、权函数的选取、数值积分方法的确定以及边界 条件的处理等方面对现有无网格法进行系统地阐述与分析；利用实例 重点说明无网格迦辽金法求解实际问题的过程，并讨论其优缺点垮 ( 3 ) 在对数值流形方法和无网格法深入研究的基础上，提出了基于m l s 的数值 流形无网格化方法。运用有限圆覆盖技术和0 阶移动最小二乘法( m l s ) 进 行近似函数的构造，选取三次样条函数作为覆盖权函数，对变分得出的离散 方程进行高斯积分，并引入罚函数处理本质边界问题；最后用算例验证该方 法的可行性和有效性，并与数值流形方法和无网格法在求解精度、计算效率 以及前处理上进行比较，体现其优越性。 广东下业大学t 学硕十学位论文 2 1 引言 第二章数值流形方法的基本理论 由石根华博士创建的数值流形方法( n m m ：n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 1 2 1 是 一种求解连续与非连续问题的数值分析新方法它以拓朴流形与微分流形为基 础，吸收传统有限元( f e m ) 中插值函数构造方法与d d a 中块体运动学两方面的 优点，应用流形的有限覆盖技术，把连续和非连续变形力学问题统一到这种方法 之中。这种方法采用两套独立定义的网格形成流形分析的有限覆盖体系。适合于 模拟断续介质材料的变形和物体的大位移运动，也能进行连续体的数值计算以 往的有限元方法( f e m ) 和非连续变形分析( d d a ) 可以作为数值流形方法的特殊情 况。 数值流形方法与传统的有限元方法相比，具有以下凡个特点嘲： ( 1 ) 数值流形方法是对复杂问题的一种自然和直接的解决方法对于自然界的 一切形状复杂的物体，总可由许多局部化的区域相互重叠、组合而成，这 些局部区域便是覆盖。简单的覆盖可组合出复杂的形状，覆盖的简单运动 可形成整个物体的复杂动作。 ( 2 ) 数值流形方法可适应任何复杂的物理边界对于坝基基岩面、巷道断面或 者一把普通的椅子，其形状都是非常复杂的。对于传统的有限元或有限 差分法，将这些形状复杂的物体划分成有限元网格或有限差分网格总是很 困难的，特别是对于多于一种以上的材料的情形，网格划分有时几乎无法 进行。 ( 3 ) 数值流形方法可直接运用局部解析解，是经典方法与现代方法的结合。经 典的解析法即级数展开法，有时会有很高的收敛速度，尤其对处理无穷区 域问题和奇点问题，常常优于有限元方法，但由于这些级数展形式对其收 敛域往往有一定限制，因此无法在整个求解域上采用。而数值流形方法 可在求解域不同的地方采用不同的方法， 而且由干采用有限覆盖函数方 法，不同区域间的非协调性自然消失。因此数值流形方法皆具现代方法与 经典方法的优点。 第章数值流形方法的基本珲论 “) 数值流形方法可适用于连续与非连续统一分析。对于传统有限元等专为连 续介质分析发展的方法，很难完全拓展到完全非连续材料的分析，而数值 流形方法通过考虑块体运动学，运用开合迭代，使得其可自然地处理连续 与非连续问题单纯形积分保证了开合迭代的收敛性。时间步算法也使得 该方法可处理块体的大变形与大位移问题。 ( 5 ) 数值流形方法是一种更一般化的数值方法。对于任何一种数学网格，都可 形成对应的有限覆盖系统，因此基于网格的方法，如有限差分、有限元， 均可用数值流形方法理论进行解释。 由于数值流形方法所具有的这些特点，使其在处理连续与非连续问题、裂纹 扩展模拟上有了很大的优势，也使其成为计算岩土力学中继d d a 之后的又一大 热点 2 2 数值流形方法的基本原理 。流形”( m a n i f o l d ) - - 词源自近代数学中的拓扑流形及微分流形在数值流形 方法当中，其“流形”的概念是把许多个别的重叠的局部区域连接在一起去覆盖 全部的材料体，因此，总体形状函数可用局部覆盖所定义的函数来计算。 一个工程问题的求解区域在数学上可视为一个流形，它的响应( 如位移) 就是 流形的一个变换。对于某一流形进行复杂变换，通常可以将其分解为一些简单的 几何图形如三角形或多边形，然后用一些易于分析的图形来覆盖这些简单的图 形这样，对一个复杂问题的研究就可转变为对较小的和较简单的覆盖问题的研 究因此不同于传统的数值方法，数值流形方法里采用相互重叠的数学覆盖去覆 盖整个材科区域，材料的边界、节理、裂隙以及不同材料界面形成的物理网格进 一步剖分数学覆盖为物理覆盖，形成数值流形方法求解的有限覆盖系统对物理 覆盖系统上的每一个物理覆盖可以定义各自独立的覆盖位移函数，然后在几个覆 盖的公共区域( 即流形单元) 内将其所有覆盖上的独立覆盖位移函数加权求和就 能形成适应于该域的总体位移函数。这种由若干个覆盖对材科域进行剖分，对微 分方程进行离散的技术称为有限覆盖技术，它是数值流形方法的核心。 9 广东t 业大学t 学硕士学位论文 2 2 1 数值流形方法的一般有限覆盖系统 数值流形方法以拓扑流形和微分流形为基础，它有分开的且独立的两套网 格：数学覆盖和物理网格。数学覆盖可由任何规则的格子构成，是用户选定且独 立于物理网格划分，可以任意增加、删除，甚至移动。数学覆盖用于构造插值函 数，其疏密程度决定插值精度物理网格则包括材料的边界、节理、裂缝、块体 和不同材料区域的交接面，它不能人为选择。物理刚格是能量泛函积分区域，由 问题本身决定。数学覆盖的范围边界与物理网格的范围边界并不一定重合物理 月格对数学网格再割分就形成了覆盖材料全域的数值流形方法求解的物理覆盖 系统 在数值流形方法中，数学覆盖可以是任意形状的，而物理覆盖则完全是由材 料的物理及几何性质所确定。一般地，物理覆盖具有如下的规定： ( 1 ) 覆盖的区域是包含在数学覆盖中的材科，或用数学语言来说是数学覆盖和 材料场的交集： ( 2 ) 如果材料体的边界、块体边界或是裂缝把数学覆盖划分成完全的隔离区域， 每一区就是一个物理覆盖。因此，物理覆盖是数学覆盖的再剖分 图2 1 有一条裂缝的一般覆盖 f i g2 - 1c o m m o l lf i n i t eo o y c l bw i t hap i e c eo f c r a c k 如图l 所示，三角形表示的是材料体的形状，中间的一条粗黑线条表示的是 这个材料体的裂缝。这个材料体由一个圆表示的数学覆盖k 和两个矩形表示的数 学覆盖k 及巧所覆盖。图l 中，数学覆盖吒被材料裂缝分成两个物理覆盖2 ，及2 2 ， 数学覆盖k 则被分成3 及3 ，两个物理覆盖，而数学覆盖k 并没有被裂缝进一步划 第章数位流形方法的基本砰论 分，实质上l 。就是1 。而图1 中的物理覆盖1 1 2 ：毛则表示该小部分是由3 个数学覆 盖所覆盖起来的。 数值流形方法将这两种覆盖重叠在一起，并用物理覆盖把数学覆盖进行重新 的剖分裁剪，把数学覆盖叠入物理覆盖，形成新的连续和非连续的供计算的有限 覆盖系统。在这个系统中，物理覆盖代替单元的节点，覆盖的并集交线代替单元 的边界，覆盖重叠的交集代替单元，这样，原始单元就有可能被块体的边界、裂 缝等划分为几个流形意义上的单元 图2 - 2 流形单元 f i g2 - 2m a n i f o l de l e m e n t 图2 - 2 所示为由数学覆盖l 、2 、3 的第一个物理覆盖l 。、2 l 、3 1 形成的流 形单元1 1 2 1 3 。，( 图中阴影区域) 有限个相互重叠的覆盖便可构成数值流形方法的一个有限覆盖系统。不同的 覆盖形状与不同的覆盖重叠型式便形成了不同的覆盖系统。图2 3 。2 4 分别示 意圆形数学覆盖与任意多边形数学覆盖按照不同的重叠形式形成有限覆盖系统 的过程。 图2 3 和图2 - 4 中每一个阴影区域表示一个流形单元当数学覆盖是圆形时， 流形单元是由若干段弧与线段围绕而成当数学覆盖是多边形时，流形单元也是 多边形。任意的数学覆盖形状与任意的覆盖重叠形式形成的流形单元不仅形状不 规则，而且每一个单元上物理覆盖数也是不相同的。这给积分计算与插值构造带 来一定的困难 广东丁业大学t 学硕十学位论文 图2 3 圆形数学覆盖及覆盖系统形成的流形单元( 内含一条裂缝) f i g2 - 3c i r c u l a rm a t h e m a t i c a lc o v c r sa n dm a n i f o l de l e m e n t s f o r m e d b y a f i n i t ec i r c u l a r o o v a rs y s t e m 图2 - 4 任意多边形数学覆盖及覆盖系统形成的流形单元( 内含一条裂缝) f i g2 - 4p o l y g o n a lm a t h e m a t i c a lc o v e r sa n dm a n i f o l de l e m e n t s f o r m e d b y a p o t y g o n a i c o v e rs y s t e m 2 2 2 由有限元网格形成的有限覆盖系统 现在普遍应用的数值流形方法一般采用传统有限元网格作为数学网格。为了 区别于一般覆盖情形的数值流形方法，将应用有限元网格作为数学网格的数值流 形方法称为有限单元覆盖的数值流形方法( m a n i f o i dm e t h o dw i t hf i n i t ee l e m e n t c o v e r s ) 。采用传统有限元的网格作为数学网格的优点是：( 1 ) 这种数学网格形成 的流形单元是l a g r a n g e 型单元，可进行单纯形解析积分： ( 2 ) 单元上的物理覆 盖( 节点) 个数恒定，便于插值函数的构造； ( 3 ) 在数值求解上，可借用现有 有限元的许多技巧，如总体刚度阵的集成等。总之，有限单元覆盖的数值流形方 法在原理上与现有有限单元方法非常相似，是包含有限元方法的更一般化的数值 方法。 1 2 第- 章数值流形方法的基本理论 数值流形方法能够进行连续材料的有限元法的计算。在将有限元网格转换为 数值流形方法的有限覆盖之后，裂缝可作为新的物理网格输入，这样同一个有限 元网格就可计算同一材料体中的裂缝。有限元网格可用来定义数值流形方法的有 限覆盖如考虑任一节点，含有这一节点的所有单元形成一个数学覆盖 有限单元覆盖的数值流形方法对求解域进行剖分的过程是：首先是用一个能 够涵盖整个研究区域的有限元网格覆盖整个研究区域；然后由待求问题的特定的 物理网格对数学网格进行再划分，从而形成物理覆盖系统，产生了数值流形方法 的单元与节点 图2 5 所示为三角单元有限元网格构成的数学网格，图2 - 6 所示为含有裂缝 的有限单元覆盖，节点6 的数学覆盖圪有三个单元，分别为l ，2 ，6 、2 , 4 ，6 及4 , 5 ，6 。 节点3 的数学覆盖k 就只有一个单元2 ，3 ，4 。 图2 - 6 的数学覆盖如表2 1 所列： 图2 5 数学网格 f i g2 - 5m a t h e m a t i c a lg r i d 图2 - 6 含有裂缝的有限单元覆盖 f i g2 - 6f i n i t ee l e m e n tc o v e rw i t hac r a c k 表2 - l 图2 - 6 的各个节点的数学覆盖 节点单元单元单元 1l 。2 。6 2l 。2 ，6 2 ，4 ，62 ，3 ，4 3 2 ，3 ，4 42 ，3 ，4 2 ，4 ，6 4 ，5 ，6 54 ，5 ，6 61 ，2 ，62 ，4 ，64 ，5 ，6 广东t 业大学t 学硕十学位论文 任一原始的有限元是其节点的数学覆盖的公共面积。如图2 - 6 中所示，节点 4 的数学覆盖是由多边形2 3 4 5 6 所确定的面积；节点6 的数学覆盖是由多边形 1 2 3 4 5 6 所确定的面积：节点5 的数学覆盖是由三角形4 5 6 所确定的面积。数学覆 盖k ，k ，圪的公共部分是原始单元2 4 6 。 图2 - 6 中的1 。，2 l ，2 ，3 ，3 ，就是节点l ，2 ，3 的物理覆盖阢。其 数学覆盖和物理覆盖的关系如表2 - 2 所示。 表2 2 图2 - 6 中的数学覆盖和划分的物理覆盖 数学覆盖物理覆盖 物理覆盖 kl i 巧2 l2 2 巧3 l3 2 巧 4 i4 2 巧5 i5 2 k 6 l 6 2 有限单元覆盖系统中的流形单元是各个物理覆盖的公共区或是交集，材料边 界内的每一点都在。单元”之内，它在三角形有限单元的情况下必是三个物理覆 盖的公共区域。 原始的有限元( 原始单元) 可以用块体边界、裂纹和断裂划分成几个流形单 元。在变形前，节点享有相同的位置。它可理解为在原始的单一的有限元网格上 被不连续缝划分成许多层图2 - 6 中的流形单元列于下表 袭2 - 3 图2 - 6 中的流形单元 t a b l e2 - 3m a n i f o l de l e m e n t si nf i g2 - 6 原始单元 流形单元流形单元 1 ，2 ，6 1 i ，2 i ，6 l 2 ，3 ，4 2 l 3 2 ，4 2 2 z ，3 i ，4 1 2 。4 ，6 2 1 , 4 2 6 l 2 2 , 4 l ，6 2 4 ，5 ，6 4 2 ，5 2 , 6 i 4 l ，5 1 , 6 2 1 4 第- 章数值流形方法的基本理论 用上述的节点和单元的流形定义，可以得到以下几点重要结论，这也可以从 图2 - 6 直接看到： ( 1 ) 单元有不规则的形状； ( 2 ) 每个单元有三个物理覆盖； ( 3 ) 这三个物理覆盖有一个单元是它们的公共区； ( 4 ) 这三个物理覆盖可看作是单元的三个节点； ( 5 ) 沿公共边的相邻单元有相同节点： ( 6 ) 被裂缝或边界所分割的两个单元有不同的节点。 2 3 数值流形方法总体近似函数的构造 数值流形方法通过数学与物理双重网格将整个研究区域剖分成有限个相互 重叠覆盖的集合，然后在各个覆盖上独立定义局部场函数，最后通过权函数将各 个局部场函数联结在一起，构造出整个求解域上的总体场函数 下面以二维问题为例说明总体近似函数的构造过程，设戳 为求解域u 的一 组相互重叠的物理覆盖，令一为对应于物理覆盖q 的权函数，珥“y ) 和m “) ，) 为 对应物理覆盖h 上的覆盖函数，则数值流形方法构造出的总体整体逼近函数