（机械设计及理论专业论文）基于web多分支扭转振动系统动力学性能的研究与开发.pdf

摘要 摘要 在旋转机械系统中，轴系扭转振动是一种普遍存在的动力学物理现象，如不 加以重视，会造成重大经济损失。轴系扭振轻则会引起旋转机械产生噪声，重则 会导致轴的断裂，对旋转机械系统的运行安全和性能产生严重影响。另一方面， 随着旋转机械系统向超高速、轻型、大功率方向发展，其配套式样也越来越多， 其轴系结构正变得越来越复杂，从而使轴系扭振问题日趋严重。然顽，引起旋转 机械系统产生轴系扭振的一个重要原因在于不恰当的设计造成轴系固有频率接近 系统的工作转速。因此如何选择适当的轴系扭振分析模型，如何选用高精度、高 效率的数值计算方法，如何编制使用方便便于维护的程序进行扭转振动的计算便 成为本文的主要研究目的。 本论文讨论了目前国内外在轴系扭转振动计算中所应用的诸多方法，并对这 些方法的使用过程作了简单的论述，比较了各自的优缺点。在此基础上，选取集 中质量法、霍尔茨( h o l z e r ) 法作为论文研究的理论基础。通过对轴系扭振计算的 霍尔茨( h 0 1 z e r ) 法进行详细、全面的研究后，组合出了一套比较符合实际情况同 时具有计算方法相对简单、物理意义明确的轴系扭转振动的通用动力学分析模型 与计算方法。并在此基础上，开发了基于w e b 扭转振动分析软件，使得轴系扭 转振动分析的深厚知识向网络化、产业化推进，大大方便了用户使用这些知识进 行轴系扭转振动计算，从而提高计算效率。在软件的构建方面，本文采用了动态 l i r e b 技术中的i i s + a s p 的架构技术和三层的b 7 s 结构开发模式，这种的构建模式 使分析软件更具有开放性、生命周期更长、更易于应用的扩充和软件的升级维 护。由于软件是基于通用的动力学分析模型而开发的，因而软件具有通用性，它 可以解决单支、多分支、多分支多节点结构类型的无阻尼自由扭转振动、有阻尼 自由扭转振动、无阻尼强迫扭转振动、有阻尼强迫扭转振动等计算问题。在程序 化这些振动问题的计算方法方面，本文利用v i s u a l b a s i c6 o 编制了十二个的 a c t i v e xd l l 组件来实现这些计算方法，由于d l l 组件有计算速度快的特点，因 而能保证程序的计算效率，同时由于这些组件是采用面向对象方法进行设计的， 因而利于程序的维护和功能的扩充，也便于被其它的应用程序调用，大大提高了 设计效率。分析软件经过较多的实例验证，表明它使用的计算方法正确，方法稳 广东工业大学工学碗上学位论文 定可靠，界面友好、使用有效、计算速度快、操作简便易行、通用性好等特点 其计算精度也能满足实际工程的需要。 关键词：轴系；扭转振动；计算模型；w e b ；组件 i l 摘要 a b s t r a c t i nr o t a r ym e c h a n i c a ls y s t e m s ，t h et o r s i o n a lv i b r a t i o no f s h a f t i n gi sau b i q u i t o u s p h y s i c a ip h e n o m e n o no fd y n a m i c s i fn o ta t t a c h i n gi m p o r t a n c et oi t ，i tw i l lg i v eu s e n g e n d e rah i 曲l o s so fe c o n o m y t h et o r s i o n a lv i b r a t i o no ft h es h a f t i n go far o t a r y m e c h a n i c a ls y s t e mi sa b i et o b r i n gt h es y s t e me m i ty a w p e r ，a n di t w i l lb r i n go ni t s s h a f tt or u p t u r ei ft h ev i b r a t i o ni s v e r ys e v e r e ni so b v i o u st h a tt h ev i b r a t i o nb r i n g s s e v e r ee f 托c t os y s t e m ss e c u r i t yi nr u na n di t sp e r f o r m a n c e o nt h eo t h e rh a n d ，w n h t h ed e v e l o p m e n to f r o t a r ym e c h a n i c a ls y s t e m st o w a r ds u p e rh i g hs p e e d ，l i 曲t ，h i g h p o w e r ，t h e i rp a t t e r n s a r ea l s om o r ea n dm o r e ，a n dt h e i rs t r u c t u r eo fs h a f t i n ga r e b e c o m i n gm o r ea n dm o r ec o m p i e x i t y ，w h i c hm a k e s t h ep r o b l e mo ft o r s i o n a lv i b r a t i o n o f s h a f t i n gb e c o m ei n c r e a s i n gs e v e r i t y h o w e v e r ，a ni m p o r t a n tr e a s o n ，w h i c hb r i n g sa r o t a r y m e c h a n i c a l s y s t e m o c c u rt ot o r s i o n a lv i b r a t i o no f s h a f t i n g ， i st h a tt h e u n s e e m l yd e s i g ne n g e n d e r sn a t u r ef e q u e n c yo fs h a f t i n gt oa p p r o a c ht h es y s t e m s r o t a t es p e e do f w o r k s oi ti si m p o r t a n tf b ru st oc h o o s ea c c u r a t ec a i c u l a t i o nm e t h o d s a n dm o d e l s ，a n dm a k e f r i e n d l yp r o g r a mt on n i s ht h et o r s i o n a lv i b r a t i o nc a l c u l a t i o no f s h a f t i n g t h i st h e s i sd i s c u s s e sm a n ym e t h o d s ，w h i c hc a ns o l v et o r s i o n a lv i b r a t i o no f s h a f t i n g t h e s em e t h o d sh a v et h e i ro w na d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s b a s e do nt h e d i s c u s s i o n ，w es e i e c tt h em a s sm e t h o da n dt h eh o 1z e r sm e t h o da st h eb a s eo f t h e o r y j nt h j s t h e s i s b yc o m p r e h e n s i v es t u d yo nh o l z e r sm e t h o d ，t h j sl h e s i sc o n s “u c t sa s u i to fd y n a m i c sa n a l y z i n gm o d e l so f s h a f c i n gt o r s i o n a lv i b r a t i o na n di t sc a l c u l a t i n g m e t h o d s t h e yr e l a t i v e l ya c c o r dw i t ht h ef a c t ，a n dt h e i rc a l c u l a t i n gm e t h o d sa r ea l s o r e l a t i v e l ys i m p l e ，a n d t h e i r s i g n i 6 c a n c eo fp h y s i c s i s s p e c i f i c b a s e do nt h e s e m e t h o d sa n dm o d e l s ，w ed e v e l o p e das u i to fs h a n i n gt o r s i o n a lv i b r a t i o na n a i y t i c a l s o f t w a r eb a s e dw e b ，w h i c hp r o m o t e st h ed e v e l o p m e n tt h a tt h ep r o f o u n da n a l y t i c a l k n o w l e d g eo fs h a f t i n gt o r s i o n a lv i b r a t i o na p p l i e si nn e t w o r k i tc o n v e n i e n c e su s e r s m a k eu s eo fi tt oc a l c u l a t es h a f t i n gt o r s i o n a lv i b r a t i o n 1 ta l s om a k e su s e r se n h a n c e t h ec a l c u l a t i n ge f n c i e n c y i nt h ea s p e c to f c o n s t r u c t i n go fs o f t w a r e ，t h i st h e s i sa d o p t s t i i 广东工业大学工学硕士学位论文 t h es u p p o r t i n gt e c h n o l o g yo fi i sa n da s p ，a n da d o p t st h r e e1 a y e r sf r a m e w o r ko fb s t h i sc o n s t r u c t i n gm o d em a k e st h ea n a l ”i c a ls o f t w a r eh a so p e n i n gc h a r a c t e “s t i ca n d m o r e1 0 n g e re x i s t e n tp e r i o d s ，c o n v e n i e n c e si t sa p p l i e de x t e n s i o na n di t sm a i n t e n a n c e s i n c et h ed e v e i o p m e n to ft h es o n w a r ei st ob a s eo nu b i q u i t o u sd y n a m i c sa n a i y z i n g m o d e l s ，t h es o f t w a r eh a st h eu n i v e r s a lc h a r a c t e r i s t i c i tc a ns 0 1 v et h e s ec a l c u l a t i n g p r o b l e m s t h a t t h e y a r ef r e et o r s i o n a lv i b r a t i o nw i t h o u t d a m p i n g ， f r e et o r s i o n a l v i b r a t i o nw i t hd a m p i n g ，f o r c e dt o r s i o n a lv 伯r a t i o nw i t h o u td a m p i n g ，f o r c e dt o r s i o n a i v i b r a t i o nw i t hd a m p i n gi n t y p eo fs i n g l eb r a n c h ，m u l t i - b r a n c h ，m u l t i - j u n c t i o nm u l t i - b r a n c h i nt h ea s p e c to fa c h i e v i n gt h e s ec a l c u l a t i n gm e t h o d sb yp r o g r a m m i n g ，t h i s t h e s i su t i l i z e s “s u a lb a s i c6 ot op r o g r a mt w e l v ea c t i v e xd l lm o d u l e st oa c h i e v i n g t h e s ec a l c u l a t i n g s i n c ed l lm o d u l e sh a v eac h a r a c t e r i s t i ct h a ti t sc a l c u l a t i n gs p e e d i sh i g h ，i tc a na s s u r et h ec a l c u l a t i n ge f n c i e n c yo ft h i ss o f t w a r e a tt h es a m et i m e ， s i n c e t h e s em o d u l e sa r e d e s i g n e db yo b o e c t o r i e n t e d m e t h o d s ， i t p r o n t t h e m a i n t e n a n c eo fp r o c e d u r ea n dt h ee x t e n s i o no fi t sf u n c t i o n ，a n di t i sa l s ot ob e t r a n s f e r r e d b y o t h e r p r o c e d u r e s t h i s e n o r m o u s l yi m p r o v e s s o f t w a r e s d e s i g n e 氆c i e n c yw eh a du s e da b u n d a n ti n s t a n c et ov a d a t et h ev a l i d i t yo ft h ea n a l y i i c a l s o 行w a r e ，a n dt h e i ft e s tr e s u l t si n d i c a t et h a tt h es o f t w a r ei sr i g h ta n dv i a b l e a n dm o r e ， t h es o f t w a r ei se a s vt ol e a r na n dc o n v e n i e n tt ou s e k e yw o r d s ：s h a f 七i n g ；t o r s i o n a lv i b r a t i o n ；c o m p u t a t i o n a lm o d e l ；w e b ；m o d u l e s 第一章绪论 1 1 背景及意义 第一章绪论 扭转振动的基本理论远在牛顿时代就已经奠定。在十九世纪末，伴随着世界 各国海航事业的迅速发展，船舶工业也开始兴起，当时建造的船舶中发生了多起 断轴事故，人们怀疑扭转振动是引起事故的原因。因而人们开始对蒸汽机及螺旋 桨推进轴系的扭转振动进行研究，从而陆续地创造了扭转振动的测试仪器一一 g e i g e r 惯性式扭振仪( 1 9 1 5 年) ，和扭转振动固有频率、固有振型的计算方法一一 霍尔茨( h 0 1 z e r ) 表算法，这种测试仪器和计算方法直到现在仍然在全世界被广泛 应用”1 。然而，随着工业的发展，到了今天，旋转机械系统已经向着超高速、轻 型、大功率方向发展”1 ，其配套式样也越来越多，旋转机械系统的结构正变得更 为复杂，其轴系扭转振动问题日趋严重，成为旋转机械系统故障的重要原因之 一。从而人们越来越认识到轴系扭振会对旋转机械系统造成严重故障，因而使轴 系的扭振问题吸引了工程界和学术界众多的研究者。 研究发现，列于旋转机械系统，轴系扭振是种普遍存在的动力学物理现 象，如汽轮发电机组主轴系、汽车动力传动轴系等，常存在各种异常扭转振动现 象，然而，振动与噪声是衡量旋转机械系统运行质量优劣的重要指标，如不加以 重视，会造成重大经济损失。虽然引起旋转机械系统产生振动与噪声的原因是多 方面的，但就机械结构本身的问题来讲，不恰当的设计造成的结构系统固有频率 接近机器工作转速是导致扭转振动的重用原因。这种原因造成的扭转振动会对系 统的运行质量产生严重不良影响，甚至是致命危害，严重的扭转振动将导致：轴 的断裂：弹性联轴器连接螺钉的切断；弹性元件碎裂；传动齿轮面点蚀和齿断 裂；局部轴段发热等等”1 “。为避免这些严重事故的发生，人们往往不惜花费更 大的力量与代价对轴系的扭转振动进行研究。然而，我们发现，当我们想知道轴 系扭转振动特性的时候，有时我们能够通过实验测得，但更多的时候，我们无法 通过实测，只能通过一系列的简化和计算来估计，而完成这些工作是相当费力和 困难的。由此可见，研究轴系的扭转振动计算，提高轴系振动频率的计算精度， 是当今轴系设计、校核中迫切需要解决的课题之一。 广东工业大学工学硕士学位论文 由于振动计算的复杂性，除了在设计阶段的初期需要估计轴系的固有频率 外，在详细设计阶段也必须选取合适的计算模型和计算方法”7 ，迸一步校核轴系 的固有频率。然而，随着模型的复杂化以及计算自由度的增加，使得原始数据的 准备大为繁杂，计算时问和工作量明显增加。因此，如何利用现有的理论研究成 果编制出结果准确、使用方便、维护容易的计算机程序来计算轴系扭转振动，从 而指导轴系的设计是非常有必要的。而研究利用当前计算机领域的先进成果，将 其应用于轴系的扭转振动计算，丌发出商品化的轴系扭转振动计算程序具有重要 的现实价值和现实意义。研究发现随着网络的普及，现有的软件也都在向网络化 方向发展，因而研究轴系扭转振动计算在网络环境下的应用将更具有应用价值和 现实意义。因为这样做有三个明显好处：一是利用i n t e r n e t 使得软件可以轻易获 得大量的用户；二是软件的升级更加容易，每个用户使用的都是当前主机上的最 新版本；三足达到基于模型和知识的异地分析功能，将轴系扭转振动分析的深厚 知识向网络化、产业化推进，从面推动知识产业化发展的进程，发挥科研部门的 科研和技术力量。 本课题就是基于上述的背景与分析而提出的。因而本课题的研究具有很好的 应用价值和现实意义，具有很好的应用前景以及良好的社会经济效益。 1 2 轴系扭转振动计算的研究现状与发展 轴系扭转振动的计算，包括固有频率计算和强迫振动计算，固有频率计算也 称为自由振动计算。在这两部分计算中各自都已有几种传统的计算方法，如在固 有频率计算部分中有典型的霍尔茨( h o l z e r ) 法及在它的基础上发展起来的传递矩 阵法。在强迫振动计算部分中有常用的近似法，即动力放大系数法或能量法，以 及分析法，即递推解法，亦即推广的霍尔茨法”1 。 经研究发现，早期对轴系的扭转振动计算的研究主要以传统的理论计算分析 为主，即根据动能和势能保持不变的原则，将系统简化为由无弹性的惯性盘和无 质量的弹性轴组成的当量系统，建立相应的力学模型和数学模型，计算扭转振动 固有特性。该分析方法仅仅对较为简单的模型有较高的精度。到了六十年代至八 十年代，扭转振动研究进入全面发展的时期。一方面由于计算机技术的发展和广 泛应用，为扭转振动的研究奠定了物质基础”2 。6 1 ，另一方面由于旋转机械系统不 第一章绪论 断向高速高功率方向发展，结构向轻量化方向发展，使得旋转机械系统的扭转振 动更为突出，也更容易造成断轴、连接螺栓失效等事故，同时人们要求系统的a j 靠性不断提高，对系统的噪声的限制也日益严格，这些因素为扭转振动的研究和 发展提供了巨大的动力。因而在这一时期，一方面传统的霍尔茨法、能量法和放 大系数法被移植到计算机上，使之可以处理复杂系统的扭振计算；另一方面，传 递矩阵法、系统矩阵法和有限元法也相继被提出和应用，以解决扭转振动系统的 精确计算和非共振区强迫响应计算的问题。 到了近1 0 年，扭转振动计算的原理基本没有什么变化，其主要进展表现在 计算方法的更新和计算机技术的应用等方面。在国外，像m a n b & w 、s u l z e r 等 大公司均已放弃了能量法的使用，转而采用能处理振动全过程的解析法，各大船 级社也相应提高了对扭振计算的要求。在国内，现在尚处于多种方法并存的局 面；一方面，能量法仍得到，。泛使用；另一方面，在理论上探讨了比较成熟的计 算方法，如线性方程组法和传递矩阵法。此外，不少学者还对w i l s o n o 法、手、j 靶法、正逆f o u r i e r 变换法等解析法进行了有益的探索。众所周知，能量法假设 强迫扭振振型与自由振型完全一致，计算误差较大，且只能计算有限的几个共振 点；线性方程组法、传递矩阵法不能处理非线性阻尼的情形，而且对于不同的转 速及不同的谐次，振动系统的线性方程组( 展开后的维数一般在2 0 以上) 和传递 矩阵都得重新计算，因而计算量大，计算时间长；近年来所探索的以数值计算为 基础的解析法等，它们对任意转速及谐次，都得进行积分运算，计算量也是比较 大的，另外还有些问题，如稳定性、积分步长和积分算法的选优等，也有待解 决，而且包括正逆f o u r i e r 变换等方法在内，它们都难于为一般的工程技术人员 所理解和掌握，编程较复杂，离工程实用还有一定距离“。 在轴系计算方法的实现方面，现在除了进行粗略估算外已很少有人用手算求 解轴系的扭转振动，大多数已经通过计算程序来实现。近年来，应启光等学者在 v b 5 0 语言开发环境中，应用实传递矩阵法编制了相应的程序”“。吴长杰等学 者编制了基于m a t l a b 工具箱的应用复传递矩阵计算扭转振动的计算程序”1 。邹 春平等开发了基于c + + 语言的程序，其自由振动计算采用h o l z e r 法”“。随着网 络的发展，目前，基于网络环境下的轴系扭转振动计算问题开始深深的吸引着研 究者。 总的来说，今后的轴系扭转振动研究的重点工作仍在于着重讨论自由扭转振 广东工业大学工学硕士学位论文 动和强迫扭转振动的计算方法，以及如何提高扭转振动计算精度，如何把计算程 序化、网络化等几方面，旨在为轴系设计和校核迅速、准确地提供轴系扭转方面 的数据，以指导轴系的设计。 1 3 论文研究的主要内容 综上所述，轴系的扭转振动计算对轴系的设计、校核、事故分析以及轴系运 行的安全性有实际的指导意义，因而开发一套实用、易用的轴系扭转振动计算软 件有实际意义。本文的目的也在于此，因而，在已有的各种轴系扭转振动计算方 法的基础上，同时吸收国内外有关轴系扭转振动研究的最新成果，组合出一套比 较符合实际情况同时具有计算方法相对简单、物理意义明确的轴系扭转振动的动 力学分析模型与计算方法。并在此基础上，利用计算机技术和网络技术将此计算 方法程序化，网络化。因而本文的主要研究内容可以归纳为一下几个方面： 1 论述轴系扭转振动的动力学分析原理与分析方法，研究目前国内外在轴 系扭转振动计算中所应用的诸多方法，如能量法、传递矩阵法、霍尔茨法等，比 较它们的优缺点。在此基础上，组合出一套比较符合实际情况的轴系扭振计算方 法，并论述该方法的基本原理。 2 ，在此方法的基础上，建立轴系扭振计算模型，研究模型的数值实现方法 及其特点。 3 探讨在网络环境下进行轴系扭转振动计算的新技术、新思路、新方法， 在此基础上，论述基于w e b 应用系统开发的基本原理与方法，依据这些原理与 方法，结合选择的轴系扭振计算方法，构建基于w e b 的轴系扭振计算应用系 统，并研究组件技术在系统中的应用。 4 以实例为本应用系统的计算对象，来分析系统的正确性和实用性。 第二章轴系扭转振动的分析原理与方法 第二章轴系扭转振动的分析原理与方法 2 1 轴系扭转振动分析的基础论理 在轴系扭转振动分析中，轴系扭转振动模型与分析方法是必不可少的理论基 础。轴系扭转振动模型是扭转振动研究的基础，不当的轴系扭振模型存在着计算 方法复杂、计算量较大、固有频率和振型保真度不高等缺点。因此，要对轴系扭 转振动进行理论分析研究，必须先建立相应的简化理论模型”。6 “1 。该模型既要 与实际结构相符合，又要简单便于计算。常用的轴系扭转振动简化理论模型有两 种：连续质量模型和集中质量模型。连续质量模型是一个具有分布参数的连续物 理体，是轴系精确的描述。轴系的连续质量模型用偏微分方程的形式表示，一般 可用数值方法求解，其计算精度很高，但计算过程复杂，计算速度较低。使用连 续质量模型计算时需要进行离散、降阶等处理，所以在系统仿真、设计中应用。 分布质量模型还有一个显著的优点，即可以准确知道同一模型任意位置处的扭振 参数，如转速、该截面处的扭矩和扭角等，能够适时测出扭应力最大的危险截面 位置。集中质量模型应用在定性研究中，其通常将轴系分为若干集中质量，每个 质量块之间用无质量的理想弹簧连接，形成多质量一一弹簧系统。轴系的分块数 由计算要求的精度决定。这种模型由于其形式简单、易于理解，在扭振研究中有 广泛的应用”5 。”1 。轴系模型参数的计算在使用集中质量模型时，需要己知轴系的 质量矩阵、刚度矩阵以及阻尼矩阵。质量矩阵和刚度矩阵的计算比较容易，但阻 尼矩阵没有准确的试验和理论结果，计算中大多使用估算值”。“1 。集中质量模 型、连续质量模型，分别如图2 1 、2 2 所示。 图2 1 集中质量模型 f i g u r e 2 1m o d e l o fm a s s e s 广东工、监大学工学硕士学位论文 _ 1 ：二：二e 三王j 图2 2 连续质量模型 f i g u r e 2 一lm o d e lo f c o n s e c u t i v eq u a l i t y 总结分析起来，这两种模型中，集中质量模型较为简单，便于计算，连续体 模型较为复杂。在实际应用中选择哪种计算模型要根据实际情况具体分析。模型 的选择，其一般原则是模型的计算结果能达到工程要求的精度即可”1 ”1 。基于这 种原则，同时也基于实际轴系简化为集中质量模型的方法和过程已较为成熟可 靠，所以本文最终选择了计算精度不太高，能达到工程要求，但是使用方便的集 中质量模型为轴系扭转振动的分析模型。对于实际系统具体简化为集中质量模型 的过程由于已经十分固定，而且有相当多的文献已经作了详细的论述，本论文就 不阐述。 在确定轴系扭转振动分析模型后，就可以根据该模型对轴系进行动力学性能 的分析研究。轴系扭转振动的动力学特性的研究主要包括轴系统的自由扭转振动 计算和强迫扭转振动计算。一一个较为复杂的实际轴系系统简化成集中质量模型 后，它的扭转振动动力学性能多数需要用多自由度系统的振动理论来分析。一个 具有n 个自由度的系统，它在任一瞬时的运动形态可以通过n 个相互耦合的二阶 常微分方程组成的方程组来描述。对n 自由度的无阻尼系统而言，它具有n 个固 有频率( 有可能出现重值) ，当系统按任意一个固有频率作自由振动时，其振动 形态称为振型，每个固有频率都有与之相应的振型。 对于一个轴系系统的自由扭转振动问题而言，它的解决可以通过两个步骤来 实现。第一，建立扭转振动系统的运动方程；第二，解这些运动方程，获得固有 频率和相应的振型。建立扭转振动系统运动方程的主要方法，通常有三种： ( 1 ) 牛顿第二定律法 ( 2 ) 放大系数法 ( 3 ) 能量法 对于解自由振动运动方程组，首先需要计算频率方程的根，然后在此基础 上，求得固有频率和相应振型。例如，如图2 3 所示，一个带有3 个自由度的自 由扭转振动系统，它的固有频率和振型可以通过以下步骤来求解。 第二章轴系扭转振动的分析原理与方法 ，l i n 。， 蜀i局i 弱 i l 图2 3 三自由度的自由振动系统 f i g u r e 2 3a t h r e e d e g r e eo f f r e e d o mt o r s i o n a ls y s t e m 第一步：建立振动系统的运动方程。根据牛顿第二定律，系统的运动方程可以表 示成以下形式： ，1 日= 一k l 岛一k 2 ( q 一岛) ，2 凌= 一足2 ( 口2 一最) 一岛( 岛一岛) ( 2 1 ) i3 8 3 = 一k 3 旧j 一8 2 ) 或 + 医p = o( 2 2 ) 角位移可以表示成复数形式：日。= 妒，已” ( i = 1 ，2 ，3 ) ( 23 ) 式中： ，。( i _ 1 ，2 ，3 ) 表示第i 个集中质量的当量惯量； k ，表示第i 个轴段的当量刚度： 目表示第i 个集中质量的角位移； 帆表示第i 个集中质量的最大振幅： m 表示系统的固有频率。 把( 2 3 ) 式代入( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式，并整理后，可得下面的方程组： k 1 + k 2 一2 ，l h 一五：目2 = o k 2 研+ ( k 2 + 丘3 一2 ，2 ) 岛一置3 岛+ o ( 2 4 ) 一k 3 岛+ ( 如一2 j 3 ) 岛= o 或 l 捌一m 2 【门扫= o ( 2 5 ) 式中 广东工业人学工学硕士学位论文 l 臣】+ k 2 【k 】= i k 2 一足2l k 2 + k 3一3 l k 3k 3l怍罔 | bi 纠= i 岛| l 吼j 第二步：解这些振动方程，求出系统的固有频率和相应振型。可以知道自由振 动方程( 2 5 ) 有非零解的充分必要条件为： 眩卜2 川= o( 2 6 ) r 即：矗1 = 。 b ， 方程( 2 6 ) 或( 2 7 ) 通常称为特征方程或频率方程，通过解方程( 2 7 ) ，我们就可以获 得固有频率。为了讨论的简化，我们令：，= ，：= ，= ，i = k 2 = 如= 臣，那么频 率方程可以表示成以下形式： m 6 一s 等 m 4 + s ( 等 2 。2 一 等 3 = 。 c ：- s ， 解得方程的根： o 1 9 8 兰 1 5 5 墨 3 2 5 墨 ( 2 9 ) 代( 2 9 ) 到方程( 2 4 ) 或( 2 5 ) ，我们就可以得到相应的振型。 在进行了系统自由扭转振动计算，求轴系自由扭转振动固有频率和各阶振型 后，另一项主要任务就是进行轴系的强迫扭转振动计算”o 。要分析系统的强迫 扭转振动的运动规律，首先必须准确确定激励源，然后按照建立的模型通过相应 的数值计算方法进行计算。强迫振动是轴系在激振力矩作用下出现的扭转振动， 对于强迫振动的计算，其目的在于计算扭振振幅及扭振应力”“。当轴系受一激振 力矩作用时，其强制振动频率完全受激振力矩频率的支配，即与激振力矩的作用 频率相一致。强迫振动计算其实就是要求解常微分方程组。对于一个多自由度的 轴系系统的强迫振动问题，在数学上最后归结为非齐次微分方程的初边值问题， 其求解途径就是解微分方程，集中质量模型对应的是常微分方程，根据常微分方 第二章轴系扭转振动的分析原理与方法 程理论，可以知道，非齐次微分方程的解有齐次解和特解组成，齐次解对应系统 自由振动解，特解对应外加激励解，考虑到系统的阻尼存在，自由振动部分很快 就衰减没有了，稳态下仅仅考虑特解就可以了。 2 2 轴系振动分析的基本方法 轴系扭转振动经过了近一百多年的发展，已经有较大的进展，其计算从仅能 解决共振状态的能量法转变为处理振动全过程的解析法”。2 “，总结起来轴系系统 的扭转振动动力学性能的分析归结为求解常微分方程，当轴系的自由度数较大或 结构复杂时，这种求解的计算工作量非常大。如果采用人工手算或直接求解，那 将是不现实的。因此，人们采用近似数值法来求解，这些计算方法的实现通常要 借助计算机实现。目前，已经被广泛使用的近似数值法有以下几种： 轴系自由扭转振动计算的方法有：r a y l e i 曲能量法、d u n k e r l e y 法、矩阵迭代 法、霍尔茨表法、传递矩阵法、系统矩阵法等”“2 。 轴系强迫扭转振动的计算方法有：能量法、传递矩阵法、模态分析法也称振 型叠加法等。 本文参考了大量的文献，现对轴系的扭转振动近似数值计算方法作一些简要 的概括： 2 2 1 基于矩阵理论的计算方法 这种方法包括矩阵迭代法、雅可比法( j a c o b i ) 、q r 法、子空间迭代法和邓 柯莱法( d u n k e r l e y ) 。基于矩阵理论的方法一般能够解决大多数的扭转振动问 题，这些方法的使用一般需要进行矩阵的变换或矩阵迭代，而且计算过程复杂。 邓柯莱法是一种估算振动系统基频的估算方法。这种计算方法计算出来的基 本频值总是比真实值小。这是因为在邓柯莱法公式里把一些谐波忽略了，进行近 似计算。邓柯莱法主要来源于响应系数法，它考虑的是无阻尼自由振动问题，其 系统的运动方程是利用柔度矩阵来列出的。 在求解系统较低的前几阶固有频率及相应的振型时，使用矩阵迭代法是比较 简单又实用。矩阵迭代法就是通过一矩阵的迭代过程导出系统的固有频率和相应 振型。矩阵迭代法，首先提出各质量的位移，据此写出系统的矩阵方程。接着把 响应系数代入矩阵方程，进行一次矩阵运算。然后把位移向量归一化，在重复一 9 j 乐工业大学l 掌硕士学位论文 次矩阵运算。这些过程反复进行，直至按预先给定的任意精度使前后两次迭代所 得的篇一振型向量相等为止。为了得到高阶的振型和固有频率，应用证交原理 得到新的矩阵方程，这个新的矩阵方程应去除己求得的低阶振型，然后再重复迭 代过程。这样，最终能求得全部或部分固有频率与相应的振型值。 子空间迭代法又称同时迭代法，它是求解大型、稀疏、带状矩阵特征值问题 的有效方法之一，适合于求解部分特征系，现在广泛的用于结构动力学问题的有 限元分析中。子空间迭代法是假设，个起始矢量同时进行迭代以求得矩阵的前 s ( sc ，) 个特征值和特征矢量，它一方面可以看成是李兹法的反复运用，另一方面 可以看成是矩阵迭代发的推广。和李兹法比较，因为自空间迭代法从，个起始矢 量出发要进行多次迭代，所以起始矢量基本上可以任意假设，而李兹法的最后结 果与所假设的起始矢量很有关系，同时误差也难于估计，实际上对于比较复杂的 连续体，要假设较好的起始矢量也是不易做到的。和矩阵迭代法比较子空间迭代 法适宜求解较多的特征系，而且一般情况下计算速度也较快，这是因为矩阵迭代 法每求一特征系都要受到己求得的前几阶特征系误差的影响，这样一来误差就不 断累积，所以他不适合求解较多特征系的情况，另一方面用矩阵迭代法求解计算 工作量也较大，特别是在相邻的两个特征值很接近的情况，解的收敛性很差。 2 2 2 基于能量原理的方法 这种方法包括瑞利法( r a y l e i 曲) ，和李兹法( r i t z ) 。瑞利法一般用于求解 系统的第一阶固有频率，在使用瑞利法计算系统的频率时，必须先假定系统的振 型，如果假定的振型与实际振型形状大致接近，则所求得的解就越接近系统的准 确解。原则上可以用瑞利法求解系统的任意一阶固有频率，但由于假定高频率的 振型是很困难的，计算高频率误差较大故瑞利法主要用于求第一阶固有频率的近 似解。瑞利法所得频率的近似解总是比精确解偏高，其原因是假设了一振型代替 实际振型，这就是迫使系统按照这种假设的形状振动，这就相当于给系统加上了 某种约束，增大了系统的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相 当于对系统施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。瑞利法 和邓柯菜法只用于求系统第一阶固有频率的近似值，如果想求系统前几阶固有频 率及振型的近似解，可以采用李兹法。李兹法是一种缩减系统自由度数的近似解 法。设有一个”自由度的系统，采用李兹法时，可以将系统的自由度数由n 缩减 第二章轴系扭转振动的分析原理与方法 为mb ，cn ) ，一般情况f ，”。远小于系统的自由度数”，这样矩阵的特征值问题 比原来系统的矩阵特征值问题求解起来容易的多。系统的自由度数缩减后，仍可 以利用拉格朗日方程式建立它的运动方程式。采用李兹法计算时，仍需要假定系 统的振型。一般情况下，由于振型只能根据分析或经验来假定，那就使得假定前 埔振型不会恰好是系统的前n l 阶振型。但应当在理论上指出，如果它们是线性独 立，并且每个都能够表示成系统前托阶振型的线性组合，那么用李兹法算出的前 一阶固有频率及相应的振型仍是精确的。 2 2 3 霍尔茨法和传递矩阵法 这两种方法是非常实用的方法。霍尔茨法( h o l z e r ) 是一种试算法，也是一种逐 次渐进法，它先假设一个试算频率，经不断试算与搜索，直到获得固有频率和相 应振型。使用这种方法，在计算中可以同时求得某一振型以及相应的固有频率、 各轴段的弹性力矩。霍尔茨法不仅能计算系统的固有频率和振型，而且可以使用 它进行强迫振动计算。同时这种解法具有计算方法简单，物理意义明确，计算过 程易于编程的特点。因此霍尔茨( h o l z e r ) 法仍然是目前常用的一种实用方法。传递 矩阵法是在霍尔茨( h o l z e r ) 法的基础上发展而来的。传递矩阵法是把系统分割为一 系列具有简单动力学特性的元件( 两端、三端或多端元件) ，振动时系统的状态可 以用各元件端点的状态矢量来表示。各个元件两端之间状态矢量的关系即各元件 的动力特性，用浚元件的传递矩阵表示”。利用各元件的传递矩阵及系统的边界 条件，可求得系统的振动特性。这种计算方法十分适用于像轴系扭转系统这样的 链式系统。由于传递矩阵法已经较为成熟，许多学者进行轴系扭转振动计算时选 择了这种方法进行自由振动和强迫振动计算。同时由于它具有简单、灵活、易于 编程、对计算机内存要求不高、花费机时较短等优点，使其成为了轴系振动分析 的基本方法，并得到了广泛的应用。 2 2 4 几种计算方法的比较 总的来说，以上所有的方法都可以用来分析多分支轴系扭转振动系统的振动 特性。而且，基于矩阵理论或能量原理的方法是一些一般的方法。但在多分支轴 系扭转振动问题中，这些方法的使用受到了实际应用条件的限制。因此，在分析 多分支轴系振动系统时，它们不是常用的分析方法。而霍尔茨法和传递矩阵法是 厂东工业大学t 学硕士学位论文 分析轴系扭转振动系统的两种基本方法。这些方法对于计算轴系扭转振动固有频 率和振型是最为有效和精确的，而且它们都能用于强迫振动计算，适合于用编程 语言编程，因此得到广泛的应用。 霍尔茨法的原理与传递矩阵法的原理是相似的。在霍尔茨法里，轴段被认为 是无质量的具有刚度的弹簧，轴段上的圆盘被认为是集中质量”。在传递矩阵法 中，各个元件两端之间状态矢量的关系都是通过该元件的传递矩阵来表示。因 此，对一个具有丹个集中质量的扭振模型使用霍尔茨法进行计算时，在其计算过 程中可以利用传递矩阵那些已经假定和已知的边界条件，以扩展霍尔茨法的应 用。因此本文将利用霍尔茨法和传递矩阵法这些基本方法来研究多分支轴系扭转 振动问题的求解方法。 2 3 霍尔茨法的基本原理 对于霍尔茨法的基本原理和运用过程，可以通过一个三圆盘的扭振系统的固 有频率的求解过程来说明。其模型的示意图如图2 4 所示。 1 i 3 k - j ，2 岛 l 图2 4 三圆盘的扭振系统 f i g u r e 2 4a t h r e ed i s ko ff r e e d o mt o r s i o n a ls y s t e m 为了使用霍尔茨法，首先要建立适合于霍尔茨法的方程组。根据牛顿第二定 律，可以建立该模型的运动方程，其表示形式如下： 茸= 一k 。慨一岛) ，：岛= 一岸。慨一b ) 一k ：慨一岛)( 2 1 0 ) ，3 岛= 一k 2 慨一岛) 其中厶为第i 个圆盘的转动惯量，噩为第i 个圆盘右面轴段的扭转刚度，假定系 统以某一阶固有频率m 作主振动，则： 岛= 。斯2 ( 叫+ 伊) i = 1 ，2 ，3 第一章轴泵扭转振动的分析原理与方法 将上式代入( 2 1 0 ) 式，就得到适合于霍尔茨法的方程组： 一。2 ，l 岛+ 芷1 旧一口2 ) = o 一删2 ，2 岛+ k i p 2 一曰1 ) + k 2 魄一岛) = o ( 2 1 1 ) 一2 ，3 岛+ k 2 慨一伊1 ) = o 如果将( 2 1 1 ) 的三式相加，就得到 3 ，研m 2 = o( 2 1 2 ) f = l 同理，对于个肝个圆盘的系统，可以写成以下形式： ，研2 = o ( 2 - 1 3 ) f = i 方程( 2 1 2 ) 或( 2 13 ) 表明系统的惯性矩之和等于o 。由于固有频率m 必须满足 式( 2 1 3 ) ，因而，此式是频率方程或特征方程的另一种形式。使用霍尔茨法计算 时，首先要假定一试算频率。，然后令目，= l ，由( 2 1 1 ) 第一式计算口：，再将( 2 1 1 ) 第一式与第二式相加，计算岛，即 晶= l 良：鼠一竺兰! !( 2 1 4 ) 岛= 岛 将昌，岛，岛代入方程( 2 1