（机械电子工程专业论文）空间自由曲线的快速高精度插补算法.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 c a d c a m 技术的应用，极大的促进了世界模具制造业的发展。对于这类具有复 杂型面及轮廓的模具类零件的加工，刀具中心轨迹都是曲线。随着计算机技术的发展， 使c n c 机床能直接加工空间自由曲线的要求越来越迫切。l 尹7 本文针对空间自由曲线的高速高精度加工的需求，在充分研究和分析国内外对陔 问题的研究现状基础上，首先探讨了可以用n u r b s 方法描述的空间自由曲线的加工， 并提出相应的插补算法。该算法基于n u r b s 曲线的反算算法，通过合理的近似计算 对插补运算简化，保证了算法的实时性。同时可保证加工精度的一致性，满足不同加 工精度的要求，而且可以使进给速度能随曲线曲率自适应调整，实现高速高精度加工 的插补控制。 在该算法的基础上，继续研究了约束在空间自由曲面上的自由曲线的五坐标加工 的算法。其基本思想是利用投影法，先在投影面上对自由曲线进行插补，再根据空f 司 自由曲面的n u r b s 表示，对插补点进行参数反求，获得该空间曲面上的自由曲线。 进而根据插补误差，得到加工此自由曲线时满足一定精度要求的刀具接触点轨迹。 关键字：n u r b s 曲线? 空间自由曲线疆歪远 珂旷 貂如j 一二，凶、 勿渗磁 ；澎法加三? 扮7 7 。率， 空间自由曲线的快速高精度插补算法 a b s t r a c t t h e a p p l i c a t i o n o fn u r b sm e t h o d si nt h ec a d c a mf i e l d sa d v a n c e t h e d e v e l o p m e n to f m o u l dm a n u f a c t u r i n gi nt h ew o r l d w h e nt h e s ec o m p l e x s h a p e w o r k p i e c e s a r em a c h i n e d t h et o o i p a t h s a r er a n d o m - s p a c e c u r v e s w i t ht h e d e v e l o p m e n t o f c o m p u t e rt e c h n o l o g y , t h er e q u i r e m e n t s o f m a c h i n i n g r a n d o m - s p a c e c u r v e s 1 nt h em a c h i n e t o o lc n c s y s t e mb e c o m e sm o r e1 m p o r t a n t i no r d e rt om e e tt h er e q u i r e m e n t so fh i g h 。s p e e da n dh i g h - 。a c c u r a c ym a c h i n i n go f r a n d o m - s p a c e c u r v e s ，t w om e t h o d sa r ep r e s e n t e do nt h e b a s i so fi n v e s t i g a t i n g c a r e f u l l y t h ea b o v et e c h n o l o g ya th o m ea n da b r o a d a tf i r s t ，a ni n t e r p o l a t i o n m e t h o db a s e do nn u r b sm o d e li s p r e s e n t e d i nt h i st h e s i s i tb a s e so nt h e r e v e r s e c a l c u l a t i o no fn u r b s i ti ss i m p l i f i e db ya p p r o x i m a t i n g t h er a d i u so f c u r v a t u r e ，w h i c hp r o v i d e st h en u r b sc u r v e si n t e r p o l a t o r s w i t h g o o d r e a l 。t i m e d e r f o r m a n c e a tt h es a m et i m ei tc a ne n s u r et h ec o h e r e n c eo fm a c h i n i n gp r e c i s i o n a n dm e e tv a r i o u sr e q u i r e m e n t so fm a c h i n i n gp r e c i s i o n i ta d a p t sf e e d - r a t ew i t ht h e c u r v e sc u r v a t u r et os a t i s f yt h ed e m a n df o rh i g h s p e e da n dh i g hp r e c i s i o no fm o d e r n c n cm a c h i n et o o l s a n o t h e rm u l t i - - a x i si n t e r p o l a t i o nm e t h o dw i t har a n d o m - s p a c e - c u r v er e s t r i c t e do n f r e e f o r m e ds u r f a c ei sp r o p o s e do nt h eb a s i so ft h ef o r m e ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d i t s b a s i cp r i n c i p l ei st h a tt h ef r e e - f o r m e dc u r v ei si n t e r p o l a t e do nt h ep r o j e c t i o np l a n e t h e na c c o r d i n gt ot h ep a r a m e t e r e q u a t i o no fn u r b ss u r l = a c e ，t h ep a r a m e t e r s o ft h e c u r v ep o i n t so nt h en u r b ss u r f a c ea r ec a l c u l a t e d f i n a l l y , as e r i e so fc u t t e rc o n t a c t p o i n t sf r o mt h ef r e e f o r m e dc u r v er e s t r i c t e do nn u r b s s u r f a c es h o u l db eg e n e r a t e d b y t h es t e po fc a l c u l a t i n gc u t t e rc o n t a c tp o i n t sa c c o r d i n gt ot h es t i p u l a t e dt o o ls t e p e r r 0 【 n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e r a n d o m - s p a c e c u r v e h i g hp r e c i s i o ni n t e r p o l a t i o n j j 南京航空航天大学硕士学位论文 1 1 引言3 第一章绪论 数控技术是关系到国家战略地位和体现国家综合国力水平的重要基础性产业， 其水平高低是衡量一个国家制造业现代化程度的核心标志，实现加工机床及生产过程 数控化，是当今制造业的发展方向。应用数控加工可大大提高生产率、稳定加工质量、 缩短加工周期。而且，数控加工技术的应用，使机械加工的大量前期准备工作与机械 加工过程联为一体，使零件的计算机辅助设计和计算机辅助制造一体化成为现实。同 时，数控加工技术也是发展军事工业的重要战略技术。 随着航空工业、汽车工业和轻工消费品生产的高速增长，复杂形状的零件越来越 多，精度要求也越来越高：此外，激烈的市场竞争要求产品研制生产周期越来越短， 传统的加工设备和制造方法已难以适应复杂形状零件的高效高质量加工要求。因此， 可有效解决复杂、精密零件加工问题的数控加工技术得到广泛的研究和应用。 在生产加工复杂的零件，如飞机的桨毂，汽车流线型覆盖件成型模具型腔以及一 些复杂的复合材料构件等，加工过程中的刀具中心轨迹都是空间自由曲线。运用传统 的加工方法，即将空间自由曲线离散成大量微段直线或圆弧构成的零件程序非常庞 大，不但造成无法真实完整反映c a d c a m 系统产生的复杂曲线曲面造型，而且也 使加工信息量大增，加工精度差，效率大大降低。所以，这类零件的加工成为目前数 控加工技术的主要研究及应用对象，在加工技术方面，除要求数控机床具有较强的运 动控制能力( 如多轴联动) 外，更重要的是如何有效的获得高效优质的数控加工程序， 从而提高生产效率。 1 - 2 数控系统中自由曲线加工技术的发展历程“4 自由型曲线的数控加工技术，同许多高技术一样，也是为了适应飞机和汽车等制 造工业发展的需要而产生和发展起来的。 从四十年代起，制造飞机时，在成批生产工厂中使用的是模型样板工作法。即先 将飞机外形的各个部分用真实尺寸精确画在铝板或尺寸稳定的明胶板上，形成模线。 然后按模线锉修样板，加工各种标准样件、模型，再利用成套的样板和其他标准工艺 设备制造和检验生产用的模具、夹具、装配型架等。这样的工作方法的不利因素就在 于生产准备周期长，手工劳动量大，限制了制造精度的进一步提高。在这种情况下， 国外开始研究用二次曲线解析法来描述机身外形。但在当时的技术条件下，使用的工 具是手摇和台式电动计算机；测量工具是钢扳尺和千分尺，解析计算法只能用来绘制 模线；加工时需使用仿形加工机床，即在图纸设计和大量试验完成后，必须制作昂贵 的靠模和样件在仿形加工机床上进行加工。 空间自由曲线的快速高精度插补算法 到了五十年代中期，由于电子数字计算机和数控加工技术的逐渐推广应用，国外 航空工业界开始用二次曲线和三次样条函数构造全机的外形数学模型，利用计算机迅 速计算飞机任何部位的切面数据；同时采用数控机床加工飞机的复杂零件和工艺装 备，使用数控绘图，使得计算机输出的大量外形数据可以精确的表达模线，样板等。 与此同时，麻省理工学院( m i t ) 设计了一种专门用于机械零件数控加工程序编制的语 占a p t 。其后m i t 组织美国各大飞机公司共同开发了a p t i i 。此后a p t 语言一直处 在发展之中。 1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线血面表示为参 数的矢函数方法。这些方法由f m i l l 系统实现，由它可以生成数控纸带。到了1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 发表了一个具有一般性的曲面描述方法；同时， s c h o e n b e r g 提出的样条函数方法解决了c o o n s 曲面描述的连接问题。但不存在局部形 状调整的自由度，使得样条曲线和曲面的形状难以预测。尽管如此，自由型曲线曲面 的造型技术已前进了一大步。 1 9 7 1 年，法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b e z i e r 提出了由控制多边形定义曲线的 方法。这种方法可方便的修改曲线的形状，而且形状的变化完全在预料之中。它简单 易用，解决了整体形状控制的问题，为c a g d 的进一步发展奠定了坚实的基础。1 9 7 2 年，d eb o o r 给出了关于b 样条的一整套标准算法，并且在1 9 7 4 年，美国通用汽车 公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 将b 样条理论应用于形状描述，克服了b e z i 6 r 方法存在 的缺点，较成功的解决了局部控制问题，同时还在参数连续性基础上解决了连接问题。 至此为止，上述各种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的 描述问题。但应用于圆锥截线及初等解析曲面是不成功的。在自由型曲线曲面理论获 得不断完善发展的过程中，数控编程系统也在不断的进步。1 9 7 2 年，美国洛克西德 加利福尼亚飞机公司首先研究成功采用图像仪辅助设计、绘图和编制数控加工程序的 一体化系统c a d a m 系统，从此揭开了c a d c a m 一体化的序幕。1 9 7 5 年，法国达 索飞机公司引进c a d a m 系统，为已有的二维加工系统c a l i b r b 增加二维设计和绘 图功能，1 9 7 8 年进一步扩充，开发了c a t i a 系统。 此后，在实际工业应用中，工业界对曲线曲面造型时并存的两种模型处理起来很 复杂，迫切需要找到一种能够对所有的曲线蓝面进行统一描述的数学方法。到了8 0 年代后期，非均匀有理b 样条方法被广泛的用于曲线曲面描述。由于非均匀有理b 样条，又称n u r b s ( n o n - u n i f o 咖r a t i o n a lb s p l i n e ) 曲线，在造型方面具有如下的些 优点，如可以贴切地反映控制顶点的分布特点，可以解决型值点分布不均匀的情况， 可以通过升阶等算法，将不同阶次的连续曲线组合在一起，包括直线，二次曲线， b e z i 6 r 曲线，b 样条等，用同一个数学方程来描述，而且n u r b s 方法在曲面造型方 面也具有无可比拟的优点，现已被国际标准化组织( i s o ) 确定为自由型零件、产品几 何表达的唯一形式，并已在c a d c a m 领域得到较为成功的应用。但在c n c 领域， n u r b s 的应用却相对滞后。因此，研究用n u r b s 方法造型的曲线的实时插补算法， 2 南京航空航天大学硕士学位论文 提高c n c 系统曲线加工精度和速度，不但对c n c ，而且对c a d c a m 整体性能的提 高都极为关键。同时，应用统一的数学描述来表达自由型曲线的n u r b s 方法，为实 现数控系统高速高精度加工提供了有利条件。目前，n u r b s 造型技术仍在发展中， 有许多问题有待解决，应用n u r b s 方法造型的产品的数控加工技术也相应成为研究 的关键。 1 3 数控系统中自由曲线加工技术的发展现状n 1 随着c a d c a m c n c 技术的进一步发展，具有复杂轮廓的零件的设计和制造日 益趋于一体化。目前的c n c 机床通常只有直线，圆弧及螺旋线等少数几种插补功能， 复杂型面零件的数控a n t 只能通过c a m 离线编程系统，将c a d 生成的待加工零件 的曲线曲面轮廓离散成大量的微段直线或圆弧来进行编程加工，其不足很明显。如图 ( 1 一1 ) 所示： c a d 曲线曲面建模il机床 工艺规划 几何信息和工艺信息 刀具轨迹生成 轴运动指令生成 零件程序 直线圆弧 辅助指令 位置控制 位置指令 直线圆弧实时插补 译码解释 直线圆 弧指令 图1 1离线编程加工模式 为了实现高速、高精度曲面轮廓精加工，c n c 系统需要具有解释处理微轮廓线 的能力以及实现对微轮廓线的伺服驱动；而且，要保证零件程序的传送、插补、加工 线速度控制等连续处理，c n c 系统还应具备足够高的数据处理速度和能力。3 2 位c p u 以强大的数据处理能力，在目前的c n c 系统中得到了广泛的应用。与此同时，研究 新型的高速高精度的曲线插补算法，提高c n c 的轨迹功能，简化加工信息，使高档 数控系统( 硬件) 充分发挥其功能，相应成为当前国内和国外研究的热点和难点。 日本、美国、德国等国家已对此作了大量的研究。如日本f a n u c1 5m 系统扩 空间自由曲线的快速高精度插补算法 展了三次样条曲线的插补功能，美国的n g c 计划也将样条曲线作为其数控系统中重 要功能之一，德国s i e m e n s8 8 0 m 数控系统中具有专供本国使用的五维样条曲线插 补功能。但是对于三维曲面加工，由于缺少足够的几何信息，复杂曲线功能难 以应用于三维曲面的加工。为此，美国、日本、德国和加拿大等国的一些著名大学都 相继开展了c n c 实时插补加工的研究，即将加工过程中的复杂刀具运动轨迹产生功 能集成到c n c 中，由c n c 直接根据待加工复杂曲面的几何信息于加工参数实时自动 生成连续刀具轨迹以控制机床运动，来解决复杂零件离线编程加工方式中存在的问 题。如图( 1 2 ) 所示。 图1 - 2c n c 实时插补加工模式 指令 目前，应用较为广泛的数控编程系统有a p t 一1 y s s 、c a d a m 、c a t i a 、e u k l i d 、u g i i 、i n t e r g t a p h 、p r o e n g i n e e r i n g 、m a s t e r c a m 等，国内西北工业大学、华中理工 大学等开发的图形编程系统如n p u g n c p 和i n t e c a m 也具有2 5 d 零件加工和雕塑曲面 多轴加工等功能，达到了实用化程度“1 。此外，中科院沈阳计算机所研制的蓝天i 型也是具备复杂曲线曲面造型和加工的高档数控系统。北京航空航天大学在7 0 年代 中期开始研究c a d c a m c n c 技术，曾完成了用数控机床加工飞机钣金件的模胎。 到了9 0 年代初，对自由型曲线曲面造型及加工方法开始了新的研究，其c h 2 0 1 0 数 控系统也已具备强大的几何造型及数控加工功能。西安交通大学五轴五联动数控系统 快速递推插补算法成功的应用于其自行开发的五轴五联动数控系统。南京航空航天大 学对n u r b s 曲线的高速高精度插补提出了自适应算法，为今后n u r b s 曲线插补的 实际应用奠定了坚实的基础。这些拥有自主版权的高档数控系统的研究及应用，表明 我国已经具备开发、生产中、高档数控系统的能力，打破了高技术封锁，为我国高档 数控机床的发展提供了技术支撑，在技术上和战略上都具有重要意义。 1 4 空间自由曲线数控加工技术研究的意义 自由型曲线的刀具轨迹生成算法是高性能数控系统实现自由轨迹控制的基础，曲 4 南京航空航天大学硕士学位论文 线的插补运算是数控系统软件实现运动控制的核心模块。作为数控机床实现高速、高 精度加工的控制核心，数控系统所具有的插补功能的多少，插补算法的好坏，成为评 价c n c 控制系统性能的重要指标，也直接影响着数控机床的加工质量和加工效率。 复杂型面零件的高速、高精度加工控制和无后续光整加工对航空、宇航、模具等 制造具有特别重要的现实意义。现这类零件均采用c a d c a m c n c 一体化系统进行 设计和制造。但在c n c 领域，由于刀具轨迹是一系列的空间自由曲线组成，但针对 这些复杂形状曲线的插补技术还不是很完善。可见，研究空间自由曲线的实时插补算 法，完全摒弃传统的加工复杂零件曲线曲面轮廓的离散方法，改善零件的加工精度， 表面光滑性和生产效率，提高c n c 的轨迹功能，不仅对c n c ，而且对c a d c a m 整 体性能的提高都具有关键性作用。 1 5 本文的内容安摔 自由型曲线的插补技术内容涉及比较广泛，本文着重从自由型曲线数学描述的选 择，系统中采用的复杂型面零件的建模与开发，插补算法实时性分析，算法的精度和 速度分析等四个方面进行探讨。 全文分为六章，各章的内容安排如下： 第一章：综述自由型曲线造型及制造的发展历程，分析当今c a d c a m c n c 的 主要潮流，介绍n u r b s 曲线造型的特点，n u r b s 曲线插补技术的实现带来的重大 意义，阐述本课题的选题依据和论文的主要内容。 第二章：结合目前数控系统插补算法研究的前沿，对自由型曲线的各种描述和算 法做出综合的分析与评价，明确n u r b s 方法中各物理量的几何意义，应用n u r b s 方法对空间自由曲线造型，并提出该曲线的插补算法，分析该算法的特点。 第三章：分析各种空间自由曲面造型方法的特点，重点研究了n u r b s 方法构造 的自由型曲面，并应用该方法生成自由型曲面，而后对限制在自由型曲面上的自由曲 线的插补算法进行分析和探讨。 第四章：研究了约束在自由型曲面上的自由曲线在多轴加工时刀具接触点轨迹的 生成问题。 第五章：介绍空间自由曲线的数控加工过程并给出仿真结果。 第六章：总结全文的研究工作，并对今后空间自由曲线的数控加工算法的发展进 行展望。 空间自由曲线的快速高精度插补算法 第二章对自由型曲线描述的分析 本章从空f f i j 自由曲线的数学描述出发，对现有的若干种曲线描述进行比较；同时 对用n u r b s 方法描述的空间自由曲线给出了插补算法。 2 1 引言1 在c a d c a m c n c 一体化系统中，复杂曲面的加工一直是研究的热点和难点。 曲面加工过程中，刀具接触点轨迹是一条空间自由曲线。当曲面形状较为规则时，可 以按曲面的等参数线走刀，此时这条空间自由曲线就是曲面的等参数线，即当曲面的 其中一个参数为常值时，曲面退化后得到的空间自由曲线。这条空间自由曲线的几何 信息与复杂曲面的造型方法息息相关。空间自由曲面的造型经历了一个不断发展的过 程，从f e r g o s o n 方法，b 6 z i e r 方法，b 样条方法一直到目前应用极为广泛的n u r b s 方法。下面我对各种方法的优点和缺点进行比较。 f e r g o s o n 方法该方法是1 9 6 3 年美国b o e i n g 飞机公司提出的对自由型曲线曲 面造型的方法。它是生成次数最低的空i b 】曲线的一种形式。缺点在于几何意义并不明 显。而且，f e r g o s o n 方法描述的曲线却不能精确表示二次曲线中的双曲线、椭圆弧与 圆弧。给出空间的若干数据点，这些数据点的分布不均匀，使用f e r g o s o n 的方法来 构造曲线时，曲线的形状会波动。鉴于以上缺点，目前在复杂曲线曲面造型是已不大 采用。 b e z i 6 r 方法该种方法的特点在于基函数的引入。它所采用的基函数是 b e r n s t e i n 基表示式。使用这种基来表示曲线，给曲线造型带来很大的方便，可以通过 移动控制顶点来控制曲线的形状。同时也给b e z i 6 r 方法带来许多优良的性质。 第一b e z i 6 r 曲线的首末端点正好分别是控制顶点多边形的首末顶点。 第二b e z i 6 r 曲线在首末端点的k 阶导矢分别与b e z i 6 r 多边形的首末k 条边有 关，即曲线在首末端点分别与首末条边相切。 第三几何不变性与仿射不变性。即b e z i 6 r 曲线的形状仅取决于控制顶点多边 形的顶点，而与坐标系的选取无关。 第四凸包性。即b e z i 6 r 曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。这条性质还可用 于用b e z i 6 r 形式表示的两元素的相交问题。如果它们的凸包不相交，则 这两元素肯定不相交 第五对称性。即将b e z i 6 r 多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方向取 反。 在实际应用中，b e z i 6 r 方法遇到的问题是难于用单一的b e z i e r 曲线段来描述复杂 的形状。如果要使用b e z i 6 r 方法来描述，就必须通过提高b e z i 6 r 曲线的次数来增加 描述复杂形状的灵活性。如果对其进行局部修改，会影响到整体形状的改变，而且次 南京航空航天大学硕士学位论文 数提得过高是不合理的。 b 样条方法和n u r b s 方法b 样条方法的特点在于采用了b 样条基。它保留 了b e z i 6 r 方法的优点，而且b 样条基的特点就是具有局部支承性，即可对构造出的 复杂形状局部修改，同时解决了复杂曲线表示的连接问题。它的缺点在于无法精确表 示除抛物面外的二次曲面。n u r b s 方法与b 样条方法的最大区别就在于权因子的引 入。这种描述方法可以精确表示二次曲线弧以及二次曲面，可以用一个统一的数学表 达式来表达自由型曲线弧以及二次曲面，可以用一个统一的数学表达式来表达自由型 曲线曲面和初等曲线曲面。 2 2 n u r b s 曲线“5 1 2 2 1 n t l r b s 曲线的基本概念 一条k 次n u r b s 曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数 0 2 。d n 。( “) p ( u ) = 型】_ 一 ( 2 - 1 ) q n 咄( “) t = 0 其中d ，i = 0 ，1 ，n 为控制顶点，顺序连成的折线称为控制多边形。 。( “) ，i = 0 , 1 ，n 称为k 次规范b 样条基函数。它是由节点矢量决定的k 次分段多项 式。k 次规范b 样条基函数采用d e b o o r c o x 递推公式，表达式为： 加 嚣钏h f ， ) = 尘! 。卜，( “) + 血l 二生m “。 ) ( 2 - 2 ) u ，+ 女一“l甜f + t 十1 一u f + l 规定：= 。 确定第i 个t 次b 样条n ( “) ，需要用到“，“f + 1 ，“m + 。共| i + 2 个节点。我们称区 间l 。，“。+ 1 为。( “) 的支承区间。其中n 。( “) 的双下标中第二下标表示次数，第 一下标表示序号，等于其支承区间左端节点的下标。 2 2 2 n u l l s 方法的基本性质 局部支承性质 即仅在支承区间l ，“。+ | 上有大于零的值，在此区间以外均为 空间自由曲线的快速高精度插补算法 零。也就是说，k 次b 样条曲线上参数为“b ，“。】的一点p f 圳至多与k + 1 个控制 顶点d ，j = f - k ，i k + 1 ，f 有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i 个控制顶 点d 。至多将影响到定义在区间0 ，“。+ ；) 上那部分曲线的形状。 可微性这意味着b 样条曲线在每一曲线段内部是无限次可微的，而在 线段端点处是k 一，次可微的，k 是b 样条曲线的次数，是该节点的重复度。 几何不变性就是说当控制顶点的相对位置确定后，所要造型的b 样条曲线的 形状也固定了下来，它不会随所取坐标系的改变而改变。 n u r b s 曲线具有和b 样条曲线相似的几何性质。与b 样条曲线不同之处在于权 因子的引入。如果某个控制顶点对应的权因子为0 ，那么那个控制顶点对曲线的形状 不会有影响。 同样的，n u r b s 曲线的局部性质表现为k 次n u r b s 曲线上参数为 “ “，“。 c “。，“ 的一点p 倒至多与k + 1 个控制顶点d 。及相联系的权因子 珊，j = f _ k ，卜k + 1 ，f 有关，与其它顶点及权因子无关。每一曲线段的两端点与k 个 控制顶点相关。 2 3 n u 咫s 曲线的构造7 1 在逆向工程中，常有这样的问题：给出一组有序的数据点只，i = 0 ，1 ，n 及联系的 权因子h ，i = o ，1 ， ，使构造的曲线顺序通过这些数据点，并且曲线在这些点具有给 定的权因子。对于此类问题，需要通过反算得到定义这条n u r b s 曲线的控制顶点， 权因子和节点矢量。在算法设计上，由于用n u r b s 方法表示的开曲线和闭曲线的反 算方法不同，需要分别对待。 2 3 1 参数值的计算 由给出的数据点，首先确定它对应的参数值“。，i = 0 , 1 2 ，n 。方法有很多种。 在实际应用中，需要将数据点的权因子取得较为相近，才能使曲线上的点沿曲线弧长 分布较为合理。对于可达到c2 连续的三次非均匀有理b 样条，可采用两种参数化方 法：积累弦长参数化法和修正弦长参数化法。 在参数空间，为保留b e z i 6 r 曲线在端点的几何性质，取两端的数据点对应的参 数的重复度为4 ，即曲线的次数的高一次。同时将参数区间规范化，首末参数分别为 0 ，i 。 r 南京航空航大大学硕士学位论文 第一种方法：积累弦长参数化法可以反映数据点按弦长的分布情况，适合于工程 实践的应用。具体的计算方法如下： i “o = “1 = = = 0 “，= “。一l + 1 4 p f 一 l ，i = k + l ， + k ( 2 - 3 ) 【“n + k + l = “n + t + 2 = = 甜n + 2 k = 1 它可适用于构造的任意k 次非均匀有理b 样条曲线节点矢量即参数的计算。其中 却h ，f - k + 1 ，n + k 为向前差分矢量，卸h = ( p h p , - k - i ) i s ，s 为顺序相邻两点之 间距离的和。 第二种方法：修正弦长参数化法。与前一种参数化方法相比较，增加了修正系数 ：，i = 1 , 2 ， ，可以更好的反映曲线曲率的变化，这样可以使构造出的曲线的光顺性 更好。具体的计算方法如下： i u o = “l2 = “t2 0 “，= “h + ：一女1 4 p ，一女i ， i = k + 1 ，n 十k( 2 - 4 ) l “。+ 。：“。+ ：= ：“。+ ：。：1 其中f - k = l + i 3c 拦溉+ 怒， 0 “= m i n ( n 一么p h i p h p h m 石2 ) ，卸h 同上。这里给出具体的目h 的计算公式。 如图2 1 所示 _ p t i + i 图2 1由给定的型值点计算节点矢量 由给出的用矢量形式表示的数据点p 。p 。，p h + l ，可确定直线p , - k - t p 。 和直线p 。p 。+ 。的方向向量，随后根据两直线夹角计算公式可求得顺序连接的数据点 形成的直线之间的夹角。设此角为口，口e e o , 三l 。此时只- k = m i n ，三) 。 空间自由曲线的快速高精度插补算法 2 3 2 系数矩阵的计算 在对数据点完成参数化后，需要对计算开曲线和闭曲线的控制顶点时使用的系数 矩阵分别进行求解，在这里使用d e b o o r 。c o x 递推公式计算三次b 样条基。 这里需要明确待求的控制顶点数。由给出的数据点p i , f _ o ，1 ，”，这些数据点分 别对应一个节点“。，i = 3 , 4 ，n + 3 ，而首末节点重复度为t + l = 4 ，故节点矢量为 u = u 。，“，“ ，其对应的控制顶点为d i , i = o ，1 ，”+ 七一1 。当曲线次数为三次时， 即k = 3 ，控制顶点为d ，f _ 0 ，1 ，n + 2 。 对于周期三次n u r b s 曲线，首末数据点p 。= p 。由于数据点是作为n u r b s 曲线的分段连接点，因此由n u r b s 曲线的性质可知，这些数据点仅由其前后相邻的 三个带权控制顶点决定。 设带权控制顶点峨，i = 0 ，1 ， ，其中每一个d ，都是用齐次坐标表示，而带权数据 点亦转化为齐次坐标表示。它们之间有如下的关系： h 2 p j = d n 门( “+ 3 ) i = o ，1 ，2 ，n ( 2 5 ) j - i 这里仅给出的是三次n u r b s 曲线的控制顶点计算公式，对于女次的n u r b s 曲 线可以类推。 下面给出三次b 样条基l 。3 ( “) 的递推计算公式。当“l ，“。 ，江3 , 4 ，n + 3 时， 兀日 i v ，0l “j l ，兴尔划川u ，琏件瓤倚廿仟氽垂甲所伺包眚分母为0 的i 贝全部去 掉了。对上述公式重新整理得 如，= 嚣 嚣( 嚣 睁a ， “件l 一“，一2 j “f + i 一甜，一ll “，+ 】一“，i 、 7 h z “炉撬i 黯 + 嚣 嚣u “l + 一“，一21 “，+ i 一“i 一2l “川“l l “f + 2 一“hl “一“f - li “川一，川 + 嚣21 嚣1 , 2 ( 嚣iu 陋， “，+ 一“卜l，+ 一“，l “。+ 一，i 、7 h 2 嚣陪i ( 嚣 + 舞 嚣uu 高 “j + 2 一“，一li “f + 一“川l “川一“jl “l + 2 一“hlf 2 一ii “川一“ji 南京航空航天大学硕士学位论文 + 糟u3 2 妊( 嚣 j + 一，i “，+ 2 一“fl “，+ l 一“l i ( 2 8 ) 将上述计算三次b 样条基的公式代入公式( 2 5 ) 中，可以得到下面的求解带权控 制顶点的矩阵表达式： l ，3 ( “3 )n 2 3 ( u 3 )n o 3 ( “3 n 1 3 ( “4 )n 23 ( “4 )n 3 3 ( “4 ) 帆_ 2 3 ( “) n h ，3 ( u ) n ( “。+ n h3 ( b l ) n ( “。+ p o p l ： p n 一? p f 2 9 ) 其中p 。，p 。，p 。为给定的带权数据点，在四维空间对p i , i = o ，1 ，n l 的齐次坐 标进行求解，得到带权控制顶点d 。，i = 0 ，l ，月的齐次坐标。将其在= 1 的平面上映 射，即得三维空间的控制顶点的坐标。 由于是周期闭曲线，且首末数据点与首末控制顶点相同，即 d 口= d 。，d = d j ，d = d 2 ，同时p 口= p 。 对于三次n u r b s 开曲线以及不要求在几= 以处c 2 连续的闭曲线，由公式( 2 - 5 ) 仅能确定+ 1 个方程，而待求的控制顶点数为月+ 3 个。通常情况下，可以有多种边 界条件来做为附加方程。 我们较为常用的是切矢边界条件。当取首末端节点重复度为4 时，在四维空间中 三次n u r b s 曲线首末控制顶点就是首末数据点，即d 。= p o , d 。+ ：= p 。且曲线在首 末端点处分别有切矢 气 声口= d ( u 3 ) = 二( d j d 。) 1 。( 2 一l o ) 丸2 d ( u 一户示q 一划一 其中。= “。”，i = o ，l ，n 十6 是由节点矢量决定的。 设给定首末端点切矢儿= k 。，j ，。，j 。l p 。= k 。，儿，2 ，是在三维空间中给出。由 于控制顶点的计算在四维空间中，故这旱需给出四维空间下的切矢表示，包括切矢的 权值。现设在四维空间下的切矢表达式为： j ? 一 n d d以d 。、lilli“=_“叫 空间自由曲线的快速高精度插补算法 2 = 地 x o , 矗e o , z 乙o , 西峨o 。由于声= b 矧，b 户= ( 印嘲乩故首先需要 艮据数据 点的权因子求出首末数据点处权因子的阶导数西。，西。 在完成数据点的参数化后，构造数据点权因子c o ，i = 0 , 1 ，n 关于参数“的一维 三次插值样条( “) ，也是分段表示的。为了求出西。，西。，可以采用德布尔算法中求导 矢的计算公式。此处k = 3 。 西( “) = ：坩一。( “)“k 。，虬+ 。】 j k + l ( 2 1 1 ) 当f - 0 时，得到起始权因子。经过一级递推，计算出第一级中间权因子 m ：，j = i 一女- 4 - l ，f ，将其作为二次n u r b s 曲线，再应用求曲线上点的d e b o o r 算法， 求出其上参数为，“的一点就是西0 ，西。 将公式( 2 7 ) 进行简化，可得到如下的线性方程组 1 a 2b 20 2 a 月 其中5 ，：p 。+ 会2 声。，j 。+ ，；p 。一垒半土p 。 jj 。： 坠2 2 ：延出二坠! 。 ，- 4 - ，“+ a f + 2u ，+ 3 一“f b = 垒生z ! 垒! 垒生12 上垒型! 垒! 1 2 垒! ! i2 ，+ ，“+ a 。+ 2a ，+ i + a ，+ 2 + “ ：生。i 二! 出! ：鱼出二! ! ! + 垫地二! 。12 ：生世! = ! 生! “+ 3 一u ，u ，+ 4 一“l + i ，：坠! z：虹二监z ，+ l 十h2 + f “u + 4 一“。+ l s j j 2 ： 摹 s h + ( 2 - 1 3 ) 糟 以心以“ =oojjooojjiiji儿 q 乩 南京航空航天大学硕士学位论文 = ( h + ，+ 2 ) p = 协，+ 3 一“) p h 出节点矢量可求出系数矩阵，代入公式( 2 1 3 ) ，解之，即可求出全部未知控制顶 点。 这罩需要说明的是首末数据点的切矢取值问题。一般此值是由自己给定，如果由 数据点p ，f 0 ，1 ，n 及p 。，声。给出的曲线造型不是很满意，那么通过调整数据点的权 因子可以修改曲线的形状。数据点的权因子较难给出，它与控制顶点的权因子有着相 类似的含义。如果，f = o ，l ，m 越大，控制顶点d 。越靠近数据点p ；反之，控制顶点 d ，越远离数据点p ，。这些都需要在交互式界面上进行调整来达到满意的效果。 2 4n u 邓s 曲线的插补算法 2 4 1 n u 髓s 曲线几何数据的处理 由上面的一系列计算，我们得到了一条通过给定数据点的曲线，且曲线在这些点 具有给定的权因子。这条曲线的形状是由反算出的带权控制顶点所决定。 由n u r b s 曲线的分段表达的性质，在进行n u r b s 插补计算时，也是分段来实 现插补的。现给出第渭n u r b s 曲线的矩阵表示形式： 只( t ) = 0 3 ，d j 0 9 l + l d f + j 0 9 ，+ 2 d j + ? + ，d “j 曲 j + l 国，+ 2 。+ 3 ( 2 - 1 4 ) 其中，( f _ o ，1 ，2 一，月) 称为权因子，分别与控制顶点d ，( i = o ，1 2 ， ) 相联系。 首末权因子，0 9 。 o ，其余，o 对于节点列“k ，“，“+ 】( 这里k 取值为 3 ) ，n u r b s 凿线将两端点的重复度取为k + l ，即 l d o = “1 = “2 = = “t ，“h + l = “ + 2 = = “舯“i 。 对于“ “。，“。 ，令r = 型羔，则有f o ，i 。 空间自由曲线的快速高精度插补算法 其中( 1 ) 式中的矩阵m 表示形式为 各元素计算式如下 ( “一“h ) ( “一“h ) ( u 一“。) 2 m = 一 ” ( “一“h ) 0 l + 2 一“f _ 1 ) m ! i2 - 3 m t ：监二型盟! 业 “ ( “一“j 1 ) ( “i + 2 一uj 1 ) m 3 i 2 3 m 1 m 3 3 。m 2 3 m f = m l il2 m 2 lm 2 2 m 3 1m 3 2 m 4 tm 4 2 m 1 3坍1 4 m 2 3m 2 4 m 3 3聊3 4 m 4 3m 4 4 小一百等溅毛 所1 4 20 m 2 253 ( m l 一m 2 3 ) m 2 4 = 0 m 3 2 = 一3 ( m i l + r n ”) 肌3 4 = 0 ( 2 15 ) m 4 1 一一 z l m 4 22 m 1 1 一m 4 3 一m 4 4 一怿+ m 4 4 + 。再畿卜2 热 矩阵m ，i = 1 ，r + 2 中各元素只与节点矢量有关，可预先求出。在这里需要建立 一个结构，将控制此段n u r b s 曲线的控制顶点d = f ，i + 1 ，i + 2 ，i + 3 ) 、相应的权因 子f ( ，= f ，i + i ，i + 2 ，i + 3 ) 以及矩阵m f ( ，= f ) 存入此结构中( f 1 , 2 ，n + 2 ) 。同时将此 结构的这个实例做为链表的一个节点存储。节点矢量存放在向量中1 8 i 。 2 4 2 插补算法的实现 对于轮廓控制系统( 即控制刀具运动轨迹) 来说，最重要的功能是插补。插补的 任务就是c n c 根据进给速度的要求及运动规律，在轮廓起点和终点之问计算出若干 个中间点的坐标值，从而得到个运动轴运动分量，控制系统( 如机床) 实现期望的加 工运动。具有这种功能的系统，如数控机床，可以用来加工各种外形复杂的零件。 南京航空航天犬学硕七学位论文 插补算法是整个c n c 系统控制的核心。这是因为整个系统的控制速度受到中问 点计算所需时间的影响，而且插补中间点坐标值的计算精度又影响到c n c 系统的控 制精度。 现有的插补原理可分为两大类： 1 脉冲增量插补 脉冲增量插补又称为行程标量插补，就是用软件模拟c n c 系统常用的逐点 比较法，数字积分法以及这两种算法的改进型算法。插补的结果是产生单个的行程增 量，以一个个脉冲的方式输出给步进电机或新型伺服电机。由于它以c n c 的分辨率 为步长单位逐步跟踪轨迹，导致精度提高后速度难以提高。目前仅用于中等精度 ( 0 0 l m m ) 和中等速度( 8 1 0 m m i n ) ，以步进电机或新型伺服电机为驱动元件的c n c 系统。当要控制两个或两个以上的坐标时，速度还会进步降低。也可以通过损失精 度的办法来提高速度。 2 数据采样插补 数据采样插补也称为时间分割插补，适用于闭环和半闭环以直流或交流电 机为执行机构的位置采样控制系统。插补程序的调用周期可以和系统的位置采样周期 相同，也可以是采样