（机械制造及其自动化专业论文）弹性盘刚性轴转子系统动力学分析.pdf

摘要 本文建立了一个弹性支承下的弹性盘一刚性轴转子系统模型，并主要考虑盘在 外载荷( 沿轴向，与盘的重力同大小) 作用下其弹性变形和弹性支承等对系统响 应的影响，同时也作了一些假设：盘不偏心；不计柔性转子系统的内阻和外阻； 不计转子系统的重力和初始静挠度的影响，在此基础上，利用多柔体系统动力学 的分析方法，将有限元法和拉格朗日方程相结合，将弹性盘分成三个板单元，建 立了该转子系统中板单元和刚性轴的动力学控制方程，推导出动力学控制方程系 数矩阵的解析表达式，接着将板单元组集后再与刚性轴组集推导出整个转子系统 的动力学控制方程及其系数矩阵的解析表达式。采用b a u m g a r t e 约束违约稳定法和 纽马克1 3 法差分格式对该转子系统动力学控制方程进行动力学仿真，给出了系统 的动力响应曲线并进行分析，仿真结果验证了本文模型的建立和动力学控制方程 推导的正确性，为柔性转子系统( 特别是具有柔性的盘) 的控制提供了必要的理 论基础，具有重要的理论意义。 关键词：弹性盘有限元法拉格朗日方程动力学控制方程动力学仿真 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，am o d e lo far o t a t i n gs y s t e mo fe l a s t i cp l a t e r i g i ds h a f tw i t he l a s t i c s u p p o r t e di se s t a b l i s h e d ，t h ee f f e c t so fe l a s t i cd e f o r m a t i o no fd i s ku n d e re x t e r i o rl o a d i n g ( a l o n gt h ea x i s ，w i t ht h es a m eg r a v i t ya sd i s k ) a n de l a s t i cs u p p o r t e do nt h er e s p o n s eo f t h es y s t e ma rem a i n l yc o n s i d e r e d ，a tt h es a m et i m e ，s o m ea s s u m p t i o n sa r em a d e ：d i s ki s n o te c c e n t r i c ；e x c l u d i n gi n t e r n a lr e s i s t a n c ea n de x t e r n a lr e s i s t a n c eo ff l e x i b l er o t o r s y s t e m ；e x c l u d i n gt h eg r a v i t ya n dt h ei n i t i a ls t a t i cd e f l e c t i o no fr o t o rs y s t e m ，o nt h i s b a s i s ，d y n a m i ca n a l y s i sm e t h o do ff l e x i b l em u l t i - b o d ys y s t e mi su s e d ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o da n dl a g r a n g ee q u a t i o n sa r ec o m b i n e d ，e l a s t i cp l a t ei sd i v i d e di n t ot h r e ep l a t e u n i t s ，t h ed y n a m i ce q u a t i o n so fp l a t eu n i ta n dr i g i ds h a f to ft h i ss y s t e ma r es e tu p ，t h e a n a l y s i sf o r m u l ao fc o e f f i c i e n tm a t r i xa b o u tt h ed y n a m i c a lc o n t r o le q u a t i o n si sd e r i v e d ， t h u sb yc o m b i n i n gt h er i g i ds h a f ta n dt h ep l a t ee l e m e n t ，t h ed y n a m i c a lc o n t r o le q u a t i o n o ft h ew h o l er o t o rs y s t e ma n di t sa n a l y s i sf o r m u l ao fc o e f f i c i e n tm a t r i xa r ed e v e l o p e d t ou s eb a u m g a r t ec o n s t r a i n tv i o l a t i o ns t a b i l i z a t i o nm e t h o da n dd i f f e r e n c es c h e m eo f n e w m a r kdt os i m u l a t et h ed y n a m i c a lc o n t r o le q u a t i o n so ft h er o t o rs y s t e m ，d y n a m i c r e s p o n s ec u r v e so ft h es y s t e m sa r eg i v e na n da n a l y z e d ，s i m u l a t i o nr e s u l t sv a l i d a t et h e m o d e la n dt h ec o r r e c t n e s so fd e r i v e dd y n a m i ce q u a t i o n s ，w h i c hn o to n l yp r o v i d et h e n e c e s s a r yt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no nt h ec o n t r o lo ft h ef l e x i b l er o t o rs y s t e m ( e s p e c i a l l y t h ed i s ki sf l e x i b l e ) ，b u ta l s oh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e k e y w o r d s ：e l a s t i cd i s k f i n i t ee l e m e n tm e t h o d l a g r a n g ee q u a t i o n d y n a m i c a lc o n t r o le q u a t i o nd y n a m i c a ls i m u l a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：堑啤 日期墨! 鱼! 墨! 墨 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名：盗羔重甄 导师签名：窆l 蛸盈 日期星! 丝：墨堕 r 期垒丝：! ! 丝 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究柔性转子系统动力学的目的和意义 旋转机械是工程中常见的机械装置，被广泛地应用于包括燃气轮机，航空发 动机，工业压缩机及各种电动机等机械装置中，它在电力、航空、机械、化工、纺 织等国民经济领域中有着广泛的应用，并且起着非常重要的作用。像燃气轮机， 航空发动机，工业压缩机及各种电动机都是典型的旋转机械，都是以转子作为工 作主体。旋转机械在运转时，转子系统常常发生振动，振动的害处是产生噪音、 加快磨损、降低使用寿命和机器的工作效率，严重的振动会使元件断裂，造成事 故。必须指出，复杂转子系统和多自由转子系统，是近代转子动力学的主要研究 对象，其原因如下【l j ： 1 近代高速旋转机械的一个重要特征是高转速，它们处于超临界，甚至超过二， 三个临界转速的高柔性状态下运转，低转速时视为“刚体”的旋转部件，这时都 应视为弹性部件参与耦合振动，从而构成复杂的柔性旋转系统，航空发动机的柔 性盘一叶片轴耦合系统即为一例，每个旋转部件质点的预离心力在变形位移上做功 引起的附加刚度，力学上称为几何刚度阵，它的计算至今尚未完全解决。 2 近代高速旋转机械工程师们都已经逐步接受下列观点：采用柔性支承和柔性 基础，是使超临界运行安全可靠的有效设计途径。一味加固基础的观念已经陈旧 而且还会导致适得其反的结果。柔性支承和柔性基座随着柔轴一起振动，乃是使 超临界转子减少振幅，降低支承反力，安全运行的有力保证，降低支承刚度和实 施轻基础设计，是近代高速旋转设计思想上的一个飞跃。但在作动力分析时，就 必须把转子系统和不旋转的支承基础系统作为一个耦合整体处理，从而增加分析 难度。近代大型汽轮发电机组的转子油膜支承基础系统和航空发动机的转子支 承机匣系统极为复杂转子结构系统的典型实例。 3 当然，同时也出现了转子自身结构复杂的旋转机械，如航空发动机的双转子， 三转子系统，化工机械中的进动式旋转机械( 进动式离心机，进动式搅拌机，粉 碎机) ，纺织机械中的高速纱锭等。这些旋转机械的旋转系统已经不再是单一的旋 转形象，而是有多个旋转轴，彼此可以有不同的旋转角速度大小，甚至有不同的 旋转方向，对这类复杂转子系统，连通常的临界转速概念都需要修改。 可见，旋转机械高转速轻结构的趋势，使复杂转子系统成了近代转子动力学 的基本研究对象。首要问题时如何建立它们的简化力学模型，以便做理论分析和 2 弹性盘- 冈0 性轴转子系统动力学分析 在计算机上实行。 1 2 国内外研究进展、现状和发展趋势 转子动力学【l - 6 】是一门既有理论深度，又有很强的实践性的应用基础学科，它 的形成与发展伴随着大工业的发展和科技进步，已走过了一个多世纪的路程。 第一篇有记载的有关转子动力学的文章是1 8 6 9 年r a n k i n e 发表的题为“论旋 转轴的离心力 一文，这篇文章得出的“转轴只能在一阶临界转速下稳定运转” 的结论使转子的转速直限制在一阶临界转速以下。最简单的模型是由一根两端 刚支的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的，这一今天仍在使用的被称j e f f c o t t 转 子的模型最早是由f o p p l 在1 8 9 5 年提出的，之所以被称做“j e f f c o t t 转子是由于 j e f f c o t t 教授在1 9 1 9 年首先解释了这一模型的转子动力学特性。它指出在超临界运 行时，转子会产生自动定心的现象，因而可以稳定地工作。这一结论使得旋转机 械的功率和使用范围大大提高了，许多工作转速超过临界的涡轮机、压缩机和泵 等对工业革命起了很大的作用。但是随之而来的一系列事故使人们发现转子在超 过临界运行达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不稳定现象 首先被n e w k i r k 发现是油膜轴承造成的，从而确定了稳定性在转子动力学分析中 的重要地位。 5 0 年代以来，电力、航空、机械、化工工业的迅猛发展极大地推动了转子动 力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到上百力千瓦，飞机也丌始进 入喷气发动机时代。旋转机械的转子越来越柔、功率越来越大、转速越来越高， 甚至达到了三、四阶临界转速以上，这为转子动力学的研究提出了一系列的研究 课题，也有力地促进了转子动力学的发展。 1 2 1 转子系统的分析与计算方法 对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法，而对复杂转子 系统则多用传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法在5 0 年代中期被应用于转子系统 的分析和临界转速的计算，并且直到现在仍然是转子动力学的主要分析手段之一。 这一方法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度的增大而增加，因而编程简单、 内存用量少、运算速度快，特别是适用于像转子这样的链式系统，但是在考虑支 承系统等转子周围结构时分析较困难，而且可能出现数值不稳定现象。有限元法 分析转子动力学问题始于1 9 7 0 年，它的表达式简单、规范，特别适用于转子和周 围结构组成的复杂结构的分析，虽然在系统复杂时会导致自由度特别大，耗费计 算机时，但随着计算机技术的快速发展，这已经不是大的问题了。此外，有限元 第一章绪论 法的计算结果精度较高，因此得到了越来越广泛的应用。 随着计算方法的改进和发展以及计算机速度的快速提高，先后出现了如 r i c c a t i 传递矩阵法、传递矩阵一阻抗耦合法、传递矩阵一分析振型综合法及传递 矩阵一直接积分法等专门针对转子系统而建立的分析方法，也开发了许多基于有 限元的商业软件，如a n s y s 等分析工具。以往的转子动力学建模和分析主要是 针对地面旋转机械的，并假设基础的刚性足够大且是固定不动的，但对航空发动 机等机动运动的转子系统和对一些支承刚度较小的转子系统这种假设显然是不太 合理的，如对机动飞行中的航空发动机转子系统的建模和分析还应计入空间运动 的影响。此类问题虽然研究的难度大，但由于对国民经济发展具有较大的促进作 用，应成为今后研究的重点。 1 2 2 转子系统的稳定性分析 高转速、大功率、柔性转子是近年来高速旋转机械的发展趋势，它在提高转 子性能的同时也引起了更严重的失稳现象。转子动力学的一个重要的研究内容就 是转子系统的稳定性分析。以前对转子系统稳定性的分析都是通过线性化处理再 借助特征值或r o u t h - - h u r w i t z 准则来判定稳定性，这种方法实际是研究解的稳定 性。由于转子系统中存在着大量的非线性因素，因而存在多解的情况。通过线性 化处理来判断稳定性存在很大的局限性。为此，近年来又发展了一些基于非线性 仿真方法的稳定理论，如能量法和谱分析方法等。目前在非线性转子系统稳定性 的分析中采用最多的方法仍是数值积分方法。 由于影响转子系统稳定性的因素很多，且经常可能是多个因素共同作用，加 上目前对造成转子失稳的力学模型还很不完善，与实测结果误差较大，因而非线 性稳定性分析的难度很大。目前转子系统稳定性分析尚待解决的主要问题有：造 成转子失稳因素的准确建模问题；非线性转子系统的全局稳定性分析问题；多种 因素共同作用下的稳定性问题和新的非线性系统的稳定性分析方法等。 1 2 3 转子系统的非线性振动、分叉与混沌 实际的转子动力学问题绝大多数是非线性的。早期由于数学理论和计算条件 的限制，往往将非线性问题线性化以得到近似的结果，但这样做往往会导致大的 误差。随着非线性动力学理论的发展和计算机速度和容量的迅速提高，对转子系 统非线性特性的研究已引起了人们的高度重视，并成为目前转子动力学研究最活 跃的领域之一。非线性分叉与混沌理论的发展为转子系统非线性响应的研究打开 了一扇大门。e h r i c h 对转子系统中存在的分叉与混沌现象进行了深入地研究，发现 4 弹性盘刚性轴转子系统动力学分析 复杂转子系统的分又与混沌特性与单自由度非线性系统的特性有着许多相似之 处。随后国内外的学者们在研究中又发现了大量的分叉与混沌现象。这些转子系 统主要是通过倍周期分叉，h o p f 分叉等道路进入或退出混沌，这些现象基本没有 超出对简单单自由度非线性d u f f i n g 方程的分析结果。这说明在受到周期激励的复 杂非线性系统中存在一些共性的东西可以通过简单的系统加以描述。 对非线性转子动力学的进一步研究的关键在于发展高维系统的非线性动力学 理论；建立更符合实际的转子非线性模型；加强非线性转子动力学的试验研究； 应用非线性转子动力学的分析结果解决实际问题；提出对系统非线性振动实施控 制的方法。 1 2 4 转子系统振动与稳定性的主动控制技术 对转子振动和稳定性的控制的难度随着转子转速和功率的提高而不断地增 大，现代工业的自动化向转子系统提出了主动控制的要求。对转子系统振动主动 控制的研究包括：控制的目标函数，控制器的设计和施加控制力的方法等，但最 关键的还是实现对转子系统振动和稳定性的主动控制。一个成功的主动控制作动 器应具有：紧凑的结构，大的作动力，大的调节距离，宽的频率范围。目前最常 见的几种转子系统的振动主动控制手段有：磁轴承，压电作动器，记忆合金作动 器，液压作动器，主动可倾瓦轴承以及电磁流变阻尼器等。 磁轴承特别适用于对转子的直接控制，其工作原理是磁悬浮技术，即利用可 控电磁铁制造旋转磁场并实现稳定的磁悬浮。首次将电磁力用于转子振动控制是 在1 9 7 4 年，随后磁轴承的研究和应用得到了迅速地发展。压电作动器的控制力 是通过压电材料产生的压电力，这种作动器适用于小振动或高精度机构。记忆合 金作动器是通过记忆合金的形状改变达到调节刚度的，而液压作动器是通过压力 控制改变控制力的。电磁流变阻尼器是近几年出现的一种新型主动控制阻尼器， 在转子系统的振动控制中取得了很好的效果。 上述转子振动主动控制方法各有优缺点，如磁轴承的不足在于轴承参振质量 大，承载力小，需附加保护轴承等：记忆合金和液压作动器的不足是反馈速度慢 等。到目前为止，还只有磁轴承得到了较广泛的商业应用。 1 2 5 新的交叉学科研究方向 旋转机械转子动力学从其诞生起就是- t - j 涉及多个学科领域的综合学科。早 期的转子动力学研究包括了数学、理论力学、结构力学、稳定性理论、流体动力 润滑理论等学科，后来又涉及到气动力学、控制理论、弹性力学、计算力学、有 第章绪论 限元方法、试验技术、信号采集与处理技术、非线性动力学、新材料与智能材料 等学科。在今后的研究中有以下几个交叉研究领域应引起重视。 一微重力环境下的转子动力学。空i 日j 技术是2 1 世纪我国重点发展的高新技 术，旋转机械在空问技术发展中也有着普遍的应用。但在微重力环境下， 转子动力学现有的许多理论和研究成果都受到了挑战，需要作很大的修 正。为此需要结合微重力环境开展转予动力学的有关研究工作。 - 超微机械中的转子动力学问题。微机械的问世和发展对转子动力学提出了 新的挑战，如上海交大研制的2 r a m 微电机就为转子动力学的分析和实验 带来了许多新问题。一是理论建模和分析方法的适用性问题；二是新的驱 动方式和轴承润滑问题；三是动态特性测试问题。激光测试可能是目前唯 一可行的方法。因此加强对超微机械转子动力学的理论和实验研究是一个 迫切的课题。 _ 生物中的转子动力学问题。在旋转式人工心脏、人体微型“清道夫”的研 制和分子马达的研究中可能会遇到转子动力学的问题。 在早期的转子动力学研究中，由于理论研究和计算方法的局限性，主要是研 究j e f f c o t t 转子系统，而在计算机技术发展的今天，近代旋转机械，如大型水轮机、 航空发动机，遵循高转速的复杂问题，可以用数值计算的方法得到结果，或通过 计算机仿真，揭示某些难以用理论分析或实验观察获得的新现象。近几年来，随 着国家经济的快速发展，以及大型项目的建设，国家开始重视转子动力学的研究， 并投入了大量的经费，从而使我国转子动力学的研究进入了一个新的繁荣期。我 们相信我国的转子动力学研究的成果必将对国民经济的建设做出大的贡献。 1 3 旋转柔性圆盘动力学研究背景和意义 根据工作状态和力学特性，转子可以分为两类：刚性转子和柔性转子。直观 地讲，刚性转子的刚度较大，在整个转速范围内，转子没有变形或变形量很小， 可以忽略。柔性转子转子的刚度较小，在一定转速和动载荷作用下，转子有变形 或必须考虑变形的影响。实际上，转子不可能绝对刚性，只不过当转速较低时。 转子上不平衡引起的载荷较小，其变形可以忽略。一般工程上把工作转速低于7 0 临界转速的转子定义为性转子，其他都为柔性转子。通常情况下以转子临界转速 为分界线。把工作转速高于。临界转速的转子称为柔性转子，把工作转速低于临 界转速的转子称为刚性转子。 早期的旋转机器结构比较简单，可以把转子看作由圆盘装在无重的弹性转轴 上，而转轴的两端则由完全刚性即不变形的轴承及轴承座支持。这种模型称为刚 性支承的转子。根据这种模型进行分析计算所得的概念和结论在转子动力学中是 6 弹性盘刚性轴转子系统动力学分析 基本的。它们应用于简单的旋转机器足够准确。随着现代工业的发展，为了满足 工业生产的需要，旋转机械逐渐向着大型化的方向发展。以汽轮机和航空发动机 等为代表的大型旋转机械出现在工业生产中，其主要特点是类似多盘系统，而支 承也逐渐出现滑动轴承等较为复杂的支承形式。但是，由于多盘系统的复杂性， 各种影响因素相互祸合，无疑加深了对转子系统研究的难度。现行对多圆盘转子 系统的研究多为极端简化了的多个单圆盘转子模型相互连接在一起，主要研究对 象依然以单圆盘转子系统为主。单圆盘转子系统由转子和支承两部分组成。转子 可以看成由一根各向同性的轴和一个圆盘组成；支承是由轴承、轴承座及基础组成 的一个支承系统，一般情况下可简化为一个各向异性的弹簧，所以系统在水平和 竖直两个方向具有不同的运动特性。单圆盘对称转子系统模型是研究各种大型旋 转机械的最基本模型，汽轮机组等大型旋转机械均可以简化成若干个该模型，从 而大大简化研究问题的复杂性。因此，从单圆盘对称转子系统入手，分析单圆盘 对称转子系统运行中出现的各种问题，对研究大型旋转机械有着非常重要的指导 意义。 旋转圆盘是旋转机械中应用广泛的一种基本机械元件，如透平转子，圆锯， 盘式制动器，飞轮，精密陀螺和计算机存储设备等。在这些系统中，有些圆盘较 薄，盘本身容易发生振动，其工作性能经常受到旋转柔性圆盘振动和稳定性的影 响或限制，圆盘类结构严重的横向振动将使机器工作时的精度降低、动态性能下 降，导致系统的疲劳故障，严重时甚至使圆盘元件损坏。另外，随着计算机存储 设备和高速透平的飞速发展，柔性圆盘的转速越来越高，旋转柔性圆盘的振动和 稳定性变得越来越重要。无论是旋转柔性圆盘的设计，试验分析，还是保证旋转 柔性圆盘系统的可靠工作，对旋转柔性圆盘的动力特性的研究都是必不可少的。 国内外在旋转柔性圆盘振动特性方面的研究已有不少研究成果，但是还存在不少 问题。 因此，开展旋转柔性圆盘动力学的研究具有重要的工程价值和理论意义。 1 4 旋转柔性圆盘的常用模型及其动力学研究的内容 圆盘一般被定义为一个薄的，扁平圆形盘。柔性圆盘是在外载荷作用下在垂 直于盘面方向上或者在圆盘面内会发生变形的圆盘。由于柔性圆盘较薄，因此旋 转柔性圆盘振动分析是建立在薄盘理论基础之上的。旋转柔性圆盘振动的基础是 需要建立一个合适的数学模型。多年来，多种不同盘理论和模型已经应用于分析 圆盘的动力特性。对于薄盘，k i r c h h o f f 和v o nk a r m a n 盘模型是最为基础的盘模型 他们采用了基本相同的假设，k i r c h h o f f 盘模型采用线性应力一应变关系，而v o n k a r m a n 盘模型去掉了横向小位移的假设，保留了应力一应变关系中的非线性横向 第一章绪论 位移项，这就成为一个非线性盘模型。 旋转圆盘的动力特性一般包括模态特性、响应特性及稳定性等，在模念特性 中主要研究旋转圆盘的固有频率、固有模态和临界速度。文献【7 】研究了内缘固定 外缘自由的转动圆盘，在外边界受集中荷载作用下的振动和稳定问题，利用多尺 度法确定了不稳定区域的边界；文献【8 06 j 分析了弹性盘转子系统的多模态频率，研 究结果表明，在盘的固有频率附近，盘的弹性对系统振动行为影响显著；文献 1 7 】 进行了以均匀角速度转动的弹性盘的非线性分析；文献【1 8 , 1 9 】讨论了弹性盘转子系 统在轴向参数激励作用下的动力稳定问题。文献【2 0 】对弹性支承下的柔性盘一轴转子 系统进行了振动分析，研究了转子的转动速度、盘的柔性和边界条件等对有着固 有频率的转子系统的影响；文献【2 l 】讨论了关于多个弹性盘安装在弹性支承下的刚 性轴上的振动问题；文献暖j 对球性支承下的柔性盘一轴转子系统进行了自由振动的 分析，并且柔轴用有限单元法和子结构综合法进行分析；文献【2 3 】分析得到一个通 过薄刚性夹钳连接的轴对称的盘一轴转子系统的固有频率和临界转速，他们得出结 论认为，盘的柔性改变了固有频率但是对临界转速的影响却很小。 1 5 旋转柔性圆盘动力学响应特性研究现状【2 4 】 响应特性主要研究圆盘在外载荷作用下的强迫响应及稳定性等，旋转柔性圆 盘在外界动力载荷作用下的强迫响应一直以来是工程上很感兴趣的问题。外激励 力可以是空f 日j 固定的载荷，也可以是空间运动的载荷。在旋转线性圆盘的强迫振 动方面已有不少研究成果。c o l e 和b e n s o n 提出了一种应用特征函数法来确定空间 固定载荷作用下旋转线性圆盘强迫响应的方法。h u a n g 和h s u 研究了旋转柔性线 性圆盘在环形运动线载荷作用下的强迫振动。b e n s o n 和b o g y 应用膜理论得到了旋 转柔性圆盘在固定横向载荷作用下的稳态位移响应。他们发现膜算子是奇异的， 从而得出圆盘弯曲刚度虽然很小，但是必须考虑其影响的结论。p r e s c o t t 把旋转柔 性圆盘扩展到不同的夹持形状和截面，对其强迫振动进行了研究。b u l k l e y 和s a v a g e 利用膜理论研究了轴对称旋转膜的横向强迫振动问题，讨论了不同的夹持条件对 旋转膜横向振动的影响。在盘的弯曲刚度很小的情况下，b e n s o n 应用混合膜和盘 理论，讨论了横向载荷作用下旋转柔性圆盘的稳态变形。1 w a n 和s t a h l 研究了弹性 圆盘在运动的弹簧质量阻尼器载荷系统作用下的响应，后来，又把注意力集中到 载荷可以在旋转柔性圆盘的径向方向移动的问题上。为了避开由于旋转产生的平 面离心力的耦合作用，w e i s e n s e l 和s c h l a c k 采用f o u r i e r - b e s s e l 级数描述了静止圆 盘的横向位移，利用常规模态分析方法，求解了径向运动载荷作用下圆盘的振动 响应问题，研究了静止圆盘在周向和径向运动载荷作用下的响应，然而该方法的 运算量很大。y u 和m o t e 研究了横向载荷对外沿均匀开槽非对称圆盘振动的影响。 弹性盘- 冈0 性轴转子系统动力学分析 实验和数值结果表明非对称使得模态分离。在轴对称圆盘系统中，每一个非对称 模态对应于一个重频率。在非轴对称圆盘系统中，重频率分离成两个截然不同的 频率。他们对受旋转弹簧载荷作用的非对称圆盘的参数失稳也作了研究，这些失 稳会使系统在临界速度之下产生共振。y a n g 和h u t t o n 采用特征函数的幂级数扩展 分析了约束弹性圆盘的强迫振动。y a s u d a 和u n o 研究了圆形膜在主共振激励条件 下，轴对称圆形膜的非线性动力响应。 在过去的几十年中，国内外对旋转柔性圆盘的响应特性研究已有了很大的进 展，但还存在不少问题：圆盘的强迫振动主要针对点、线和面载荷等横向载荷， 而对径向线载荷响应的研究相对较少；对圆盘强迫响应的研究基本上都是采用线 性盘模型，采用非线性模型的较少采用近似方法和有限差分方法较多，鲜见采用 有限元方法；试验研究较少，为了验证理论结果和更好的了解旋转圆盘的动力特 性，需要开展大量的试验研究工作等等。因为柔性转子系统模型比较复杂，所以 以往的研究都对实际的转子作了许多的假设，并且是单独分析某种因素对系统的 影响，而没有考虑各种因素的综合影响。历史上比较典型的转子模型是j e f f c o t t 转 子模型，现今许多的理论结果都是在该模型的基础上得到的。j e f f c o t t 转子模型是 在跨中装有一个刚性薄圆盘的等直轴，为了消除重力的影响，转子垂直地安装在 两个轴承内。分析中把轴看作具有一定弯曲刚度和无限大扭转刚度，并且不计及 轴的质量；把轴承简化成铰，并且认为它的基座是刚性的。由于做出了上述种种 假设，所得到的分析结果显然不可能充分反映实际转子的复杂的动力学性质。同 时，以往在推导系统的运动方程时，是基于向量力学的理论，用动量定理描述系 统的移动，用动量矩定理描述系统的转动。 本文则针对这些问题，运用多柔体系统动力学的理论知识，建立了一个更接 近实际问题的模型，将拉格朗日方程与有限元法相结合推导转子系统的动力学控 制方程中各项系数，从而得出系统中各个广义坐标的瞬态响应值，为相关研究提 供了更基础、更详尽的分析。 因此，本文主要内容为： 1 简化它的物理模型。 2 找出建立起力学模型的方法多柔体动力学方法。 3 推导并建立它的多柔体动力学模型，给出它的动力学控制方程。 4 完成上述模型的动力学仿真。 5 分析仿真结果( 从分析方法、建立的公式、得到的数据等分析) 。 从而得出我的工作的贡献在于t 采用合理的方法，建立合理的模型，给出合理的 方程，得到合理的响应。 第一章绪论 9 1 6 本文的主要工作和内容组织结构 1 6 1 本文的主要工作 本文针对弹性盘一刚性轴柔性转子系统的动力学问题进行了响应特性分析，建 立了柔性转子系统模型、进行了动力学控制方程的推导和动力响应计算和分析等 方面的研究工作，给出了柔性转子系统在弹性支承、弹性盘柔性等影响下的比较 精确的动力学控制方程。 ( 1 ) 首先根据柔性转子系统结构和运动的特点，指出了以往模型在建模方面 的不足。在此基础上，建立了一个弹性支承下的弹性盘一刚性轴转子系 统模型，并主要考虑盘在外载荷( 沿轴向，与盘的重力同大小) 作用下 其弹性变形和弹性支承等对系统响应的影响，这样更加接近实际情况的 模型。 ( 2 ) 在标量力学的基础上，利用柔性多体系统动力学的分析方法，将拉格朗 日方程和有限元法相结合，就柔性转子系统中具有一般性集中质量刚性 轴和柔性三角形板单元进行了特性分析，并推导出了动力学控制方程系 数矩阵的解析表达式。 ( 3 ) 将刚性轴和板单元组集推导出了柔性转子系统的动力学控制方程及其系 数矩阵的解析表达式。给出了系统动力学控制方程。 ( 4 ) 用b a u m g a r t e 约束违约稳定法和纽马克1 3 法差分格式对柔性转子系统动 力学控制方程进行动力学仿真，给出了系统动力响应曲线并进行了比 较、分析，验证了本文模型的建立和动力学控制方程推导的正确性，为 柔性转子系统的控制提供了必要的理论基础。 1 6 2 本文的内容组织结构 本文具体内容的组织结构如下： 第一章绪论。主要介绍了本论文研究的目的和意义，国内外研究的进展、 现状和发展趋势以及本文所做的基本工作。 第二章基础理论。作为后续章节推导的基础，本章主要介绍了柔性体上任 一点状态量的描述，有限元法的坐标变换，柔性多体系统动力学控 制方程的一般格式以及基尔霍夫薄板理论和面积坐标等相关知识。 第三章弹性盘冈0 性轴转子系统动力学建模。介绍了以往的模型，并指出其 缺陷，然后提出了本文的转子系统模型，针对本文的模型推导了弹 性盘任一三角形板单元的质量矩阵和刚度矩阵，以及刚性轴的动力 l o 弹性盘冈0 性轴转子系统动力学分析 学控制方程的各系数矩阵。 第四章弹性盘冈0 性轴转子系统动力学控制方程。在上一章的基础上，推导 了弹性盘的质量矩阵，刚度矩阵与速度二次项有关的系数矩阵，从 而推导出了弹性盘的动力学控制方程，将弹性盘与刚性轴通过布尔 矩阵组集推导出整个弹性盘- 冈0 性轴转子系统的动力学控制方程，并 给出整个转子系统的约束方程。 第五章 弹性盘- 冈0 性轴转子系统动力响应的计算和分析。利用b a u m g a r t e 约 束违约稳定法和纽马克b 法差分格式对柔性转子系统动力学控制方 程进行动力学仿真，给出了系统动力响应曲线并进行了比较、分析。 第六章总结与展望。总结全文，指出了需要进一步研究的课题。 第二章基础理论 第二章基础理论 弟一旱荃口面璀1 = 匕 由于本论文将应用多柔体系统动力学的理论【2 5 1 和有限元法【2 6 铆1 结合推导转子 系统的动力学控制方程，并且在对弹性盘进行有限元分析时将用到基尔霍夫薄板 理论，在下一章节中对板单元的形函数进行描述时要用到面积坐标，所以有必要 简要介绍一下有关的基础理论。 2 1 柔性转子系统动力学基础 本节将简要介绍柔性体上任一点的状态描述以及坐标变换，柔性多体系统动 力学控制方程的一般形式等相关知识。 2 1 1 柔性体上任一点的状态描述 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及刚体所组成的系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为，与人们所熟悉的多刚体系统动力学合称为多体系统动 力学。多刚体动力学是以系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件联结点 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的，而柔性多体动力学则在此基础还进一步 考虑部件的变形。粗略地说，多刚体动力学侧重“多体”，多柔体动力学侧重“柔 性”，研究物体变形与其整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的 独特的动力学效应。变形运动与刚体运动的同时出现及其耦合正是柔性多体系统 动力学的核心特征。 在分析刚体运动时，采用运动分解方法，把复杂的刚体运动分解为几种简单 运动。例如，若过刚体的任一点建立一个坐标轴始终与惯性参考系对应坐标轴平 行的移动坐标系，则刚体运动可分解为随动坐标系的移动和相对于动坐标系的转 动。在多刚体系统运动学分析时，通常又在各刚体上建立一个固连于该刚体的参 考系，称为连体坐标系，以此坐标系相对于移动参考系的转动表示刚体的相对运 动。对于柔性体的运动，特别是小变形情况，也可以采用类似的办法，将柔性体 的运动分解为整体( 即刚性) 运动和变形运动两部分，例如，在柔性体的某微元上 建立一个移动参考系，于是柔性体的运动视为随动参考系的牵连运动和相对于该 动参考系的相对运动的合成运动，这也相当于将柔性体运动分解为其未变形情况 下的刚性运动和相对于未变形物体的变形运动的合成。 根据以上的分析，我们只要对所考察的柔性体建立一个动参考系，把柔性体 1 2 弹性盘一刚性轴转子系统动力学分析 空问任意运动分解为随动参考系牵连刚性运动和相对于动参考系的变形运动，则 当柔性体在空间任意运动时，其上任一点的位置、速度和加速度就不难求到。 如图2 1 所示，柔性体上任一点的位置向量为 r e = r + a u = r + a ( u + u ，- ) ( 2 一1 ) ooo ， 式中，r 。，为动坐标系o 川xy z 的原点o 位置向量，a 为动坐标系o x y “z 向整体惯 性坐标系o x y z 的旋转变换矩阵，u 为p 点相对于动坐标系的位置向量，u 为未 变形时的位置向量u 一与变形引起的位移向量u ，的迭加。 相对变形位移向量u ，可以用不同方法离散化，例如，经典的瑞利一里兹 ( r e y l i e g h r i t z ) 法、有限单元法和模态分析及综合法。本文将采用有限单元法进 行离散化。在用有限单元法近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移， 是由有限多个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限多自 由度的离散。于是，柔性体某单元上任一点p 的位移向量u ，可表示为 u f = n q f ( 2 - 2 ) 式中，n 为该单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为单元形函数，q ，为该单元的 节点位移向量。在将所有单元组集后，物体上所有节点的位移向量，就构成了该 物体的弹性广义坐标。 柔性体上任一点p 的速度向量，可以将位置向量式( 2 1 ) 对时间求一阶导数得 到。即： 0 = r + a u + a u 7 r d ，+ a u + a n q ， ( 2 3 ) 将速度向量式( 2 - 3 ) 对时间求导，可得到加速度向量。 图2 1 柔性体上任一点的位置向量 第二章基础理沦 2 1 2 有限元法坐标变换 由上一节知道，对柔性体的离散化一般采用三种方法，而本文将采用有限元 法。因为有限元法可以将具有复杂形状、边界条件和载荷的物体，划整为零，分 割为有限数量、有限大小且具有一定规则形状的单元，使得对每个单元的变形模 式的选取变得非常容易。柔性多体系统动力学控制方程用有限元列式表示时，首 先需要建立单元、物体和整体坐标系间的变换关系，因此，本节将讨论各坐标系 间的变换关系。 x 图2 2 柔性体有限元划分图 图2 2 所示为某i 物体的有限元划分图，o x yz 为i 物体坐标系，o u ”x u ”y u z u 。为 i 物体上第j 个单元的单元坐标系，与结构力学中有限元单元坐标系相同，它不是 浮动的，而是与单元上某点邻域的微元固连的。o x y z 为整体坐标系。 设j 单元上任一点的位移向量i 9 ，可以用该单元的节点位移向量苫9 ，通过在 单元坐标系下单元形函数n “表示 = n ， ( 2 4 ) 式中( ) 表示在单元坐标系下描述的向量。设u 扩为该点在i 物体坐标系o x yz 下 的位移向量，则与舻间的变换关系为 一= 耳 ( 2 - 5 ) 1 4 弹性盘_ 冈0 性轴转子系统动力学分析 式中吖为向量一从单元坐标系到物体坐标系的变换矩阵，在三维情况下为3 3 矩阵。于是式( 2 - 5 ) 表为 u = t j n i j e ” 而单元节点位移向量一变换到物体坐标系下，有 ( 2 - 6 ) 矽= t 2 e 耵 ( 2 - 7 ) 式中e 盯为在物体坐标系下的j 单元节点位移向量，嘭为节点位移向量在单元坐标 系和物体坐标系下的变换矩阵，其维数等于单元节点自由度总数，例如对于空间 梁单元为一个1 2 1 2 的矩阵。于是 1 1 盯= 1 j i 【，n 玎嘭e 扩 ( 2 8 ) 此处吖n 扩嘭是在物体坐标系下，对应单元节点位移向量的形函数。 将j 单元组装到i 物体中去时，单元节点位移向量要按i 柔性体上所有单元节 点重新排序，即有 e 驴- - l ( 2 9 ) 式中l _ y 为布尔( b 0 0 1 e ) 指示矩阵，其元素不是零就是1 ，q ；为i 柔性体的节点位移 向量，于是 式中 u 扩_ - , r o s 盯霹l ，q ? = s 扎i ， ( 2 1o ) s 扩= 耳n 盯口 ( 2 1 1 ) 为在物体坐标系下的有限单元形函数，它对应i 物体节点位移向量q ；。为了统一 起见，把节点位移向量q i - r 称为该节点坐标向量，它也就是描述物体变形的广义坐 标。 2 1 3 自由柔性体的动力学控制方程 拉格朗日方程阎的表达式为 昙0 一番地崩幺n 其中t 为系统的动能，q 。为对应全部主动力的广义力，q 。为系统的广义坐标，n 第二二章基础理论 为广义坐标的个数。 首先，将拉格朗同方程写成矩阵形式为 丢( 争堡a q q1 3 ) 式中 q = 一k q + q ，( 2 1 4 ) 其中q f 为作用于柔性体上，除变形引起的弹性力以外的全部主动力的广义力， - k q 为弹性力对应的广义力。 又柔性体的动能可以表示为 丁= 圭工p ( ) r ( ) d 矿= 圭( 日) 由) ( 2 - 1 5 ) 其中为柔性体上任一点在惯性坐标系下的速度向量，m 为质量矩阵。 将动能表达式代入拉格朗同方程得 m t i + m q i a ( i 1 ( i r m q ) + k q ：q f ( 2 - 1 6 ) d qz 令 q 矿：一m q + 三( 打m q ) c q2 称q 矿为与速度二次项有关的广义力，从相对运动学的角度看， 性力和陀螺力( 包含科氏惯性力) 。于是可得： m q + k q = q f + q 矿 上式就是自由柔性体的动力学控制方程。其一般常用方程为： m i i + k q + c ；a = q p + q ， c ( q ，t ) = 0 ( 2 1 7 ) q 矿相当于离心惯 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 式中c 。是约束的雅可比矩阵，九是待定拉格朗日乘子向量，维数为m 。x l ，m 。为 所有的约束方程数，而系统的质量矩阵m 、刚度矩阵k 以及与速度二次项有关的 力向量q 矿和外主动力向量q p 分别由各子结构的对应矩阵组装起来，这也是本 文的重点内容。因此只要将方程式( 2 1 9 ) 中的系数矩阵m 、q p 、k 求出，即可得 到物体的动力学控制方程。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦合、强非线性 1 6 弹性盘- 冈0 性轴转子系统动力学分析 方程，这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方法进行。本文中柔性转子系 统的动力学控制方程，就是利用上述各式进行求解的。 2 2 基尔霍夫薄板理论【2 7 - 2 8 , 3 1 】 本节将主要介绍一下基尔霍夫薄板理论的相关知识，为下一章节提供理论基 础。 在实际工程中，由两个平行平面和垂直于它们的柱面或棱柱面所围成的构件， 当其高度尺寸远小于平面的任一方向尺寸时，称为板，两个平行面称为板面。柱 面或棱柱面称为板边，两平行面之间距离称为板厚，而平分板厚的平面称板的中 面。当板厚与板面内的最小特征尺寸之比大于1 5 时，称厚板；当板厚与板面内的 最小特征尺寸之比小于1 8 0 时，称为膜板；当板厚与板面的最小特征尺寸之比在 1 8 0 和1 5 之间时，称为薄板。对于厚板，一般须作三维空间问题处理，对于膜板， 由于板平面的抗弯刚度很小，基本上只能承受膜平面内的张力可作为平面应力问 题处理。对于薄板，当全部外载荷作用于中间内而不发生失稳现象时，它也属于 平面问题；当