（检测技术与自动化装置专业论文）基于驻留时间的切换系统分析.pdf

摘要 摘要 本文主要研究混合动态系统中非常重要的一类切换系统，它是由几个连续时间子系 统或离散时间子系统及作用在其中的切换规则构成的。由于切换的存在使得系统的动态 特性变得很复杂，稳定性、鲁棒性、扰动衰减都有可能因为切换规则的选取而发生变化， 因而切换规则的选取是很重要的。 本文以线性切换系统为例，采用驻留时间和平均驻留时间方法与传统的l y a p t m o v 函数相结合，从驻留时间的角度考虑切换规则的选取，不仅研究了一类有脉冲作用的离 散广义切换系统的稳定性，还对具有脉冲作用的线性切换系统的输入输出厶增益问题进 行了讨论，主要完成了以下几项内容： ( 1 ) 通过驻留时间和平均驻留时间方法研究了一类由脉冲作用的离散广义线性切 换系统的稳定性，给出了系统指数稳定的充分条件，再用数值算例和仿真说明了本方法 的有效性。 ( 2 ) 对电力电子系统中的调节器系统这个典型的切换系统，建立系统模型，用驻 留时间方法研究这个系统的稳定性问题，同时考虑实际情况，确定元件参数，并用m a t l a b 给出系统仿真模型进行仿真。 ( 3 ) 研究了线性脉冲切换系统的三：增益分析问题，利用平均驻留时间和l y a p u n o v 函数相结合的方法，讨论了一类连续线性脉冲切换系统的厶增益及加权厶增益，给出 定理并进行证明，在此基础上进一步讨论了一类离散线性脉冲切换系统的厶增益及加权 厶增益，给出定理并进行证明。 关键词驻留时间平均驻留时间l y a p u n o v 函数 稳定性，三：增益 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，o u rr e s e a r c hm a i n l ya i m sa tt h es w i t c h e ds y s t e ma sa ni m p o r t a n tc l a s so f h y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s ，w h i c hi sc o m p o s e do faf a m i l yo fc o n t i n u o u s t i m eo rd i s c r e t e t i m e s u b s y s t e m sa n dar u l eo r c h e s t r a t i n gt h es w i t c h i n ga m o n gt h es u b s y s t e m s d u e t ot h e s w i t c h i n gs i g n a l ，i t sd y n a m i c a lp e r f o r m a n c eb e c o m e sv e r yc o m p l i c a t e d t h es t a b i l i t y , r o b u s t n e s sa n dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nm a yc h a n g ed u et ot h es w i t c h i n gl a w h e n c e ，i ti sv e r y i m p o r t a n t t oc h o o s eap r o p e r t ys w i t c h i n gl a w t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sh o wt oc h o o s eap r o p e rs w i t c h i n gl a wf r o ms w i t c h i n gt i m e f o rt h el i n e a rs w i t c h e ds y s t e m s u s i n gad w e l lt i m eo ra v e r a g ed w e l lt i m ea p p r o a c h i n c o r p o r a t e dw i t hap i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o nt os t u d yt h es t a b i l i t ya n di n p u t - - t o - o u t p u t 三2g a i no ft h es w i t c h e ds y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h er e s e a r c hw o r kp r e s e n t e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h es t a b i l i t yo fd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s i ss t u d i e db yu s i n gd w e l lt i m ea n da v e r a g ed w e l lt i m ea p p r o a c h e s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r ep r e s e n t e d t h ev a l i d i t yo ft h ea l g o r i t h mi si l l u s t r a t e di nan u m e r i c a l e x a m p l e ( 2 ) ac o n v e r t e rw h i c hi s t h et y p i c a ls w i t c h e ds y s t e mi np o w e re l e c t r o n i cs y s t e mi s s t u d i e d ，a n dt h em o d e lf o rt h ec o n v e r t e ri s s e tu p t h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mi ss t u d i e db y u s i n gd w e l lt i m ea p p r o a c h e sa n d a tt h es a m et i m ec o n s i d e r i n gp r a c t i c a lc o n d i t i o nt oc o n f i r m t h ep a r a m e t e r t h es i m u l a t i o nb ym a t l a bi ss h o w n ( 3 ) t h ei s s u eo ft h el 2g a i np r o p e r t yf o rl i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m si sa d d r e s s e d aw e i g h t e d l 2g a i ni s a c h i e v e dv i ap i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o ni n c o r p o r a t e dw i t ha l l a v e r a g ed w e l lt i m ea p p r o a c h t h et h e o r e ma n di t sp r o o f a r ep r e s e n t e d b a s e do nt h i st h e o r y , t h e 三2g a i nf o rd i s c r e t e - t i m el i n e a ri m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e mi sa l s os t u d i e d a n dt h et h e o r e m a n di t sp r o o fa r ep r e s e n t e dt o o k e yw o r d s d w e l lt i m e a v e r a g ed w e l lt i m e l y a p u n o vf u n c t i o n s t a b i l i t y 三2g a i n h 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了致谢。 作者签名：兰! 立呈叠日期：盟年鱼月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 隽3 勺端时棚臼3 切羽鼬今捅) 的学位论文，是我个人在毒师f ( 专伤为) 指导并与导师合作下取得的研究成果，卉 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完 成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行 政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：王璺璺竖日期：盟年上月l 日 作者签名：垒堕墅塑日期： 导师签名：日期： l 支 上上 年 年 盟群 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 切换系统的研究背景和意义 混合动态系统h d s ( h y b r i dd y n a m i cs y s t e m s ) 或称作混杂动态系统，它是由既含有离 散事件动态系统d e d s ( d i s c r e t ee v e n td y n a m i cs y s t e m s ) 又含有连续变量动态系统 c v d s ( c o n t i n u o u sv a r i a b l ed y n a m i cs y s t e m s ) 以及两者的相互作用组成的系统。研究混 合动态系统的文献最早出现在1 9 6 6 年w i t s e n h a u s e n 根据当时已有的由触发器、计数器 以及数字、模拟开关等数字电路单元和模拟电路单元( 如信号调节电路等) 的混合电路现 象，提出混杂系统的概念，并对其结构、最优控制等做了探讨眩1 。1 9 7 9 年瑞典人c e l l i e r 第一个引入混合动态系统结构的概念，把系统分成离散部分、连续部分和接口部分这三 个部分嘲。1 9 8 9 年g o l l u 针对计算机磁盘驱动器模型引入了混合动态系统的概念，把连 续部分和接口部分结合起来进行研究m 1 。 混合动态系统具有很强的工程背景，它的本质是现代数字控制技术应用到连续制造 和连续处理系统的产物巧1 。在生活中可以看到的空调器就是一种典型的、简单的混合动 态系统。它可以根据室内的太冷、太热、正常给出相应的异步离散驱动，然后采取开或 关的动作，但是房间的温度是随时间变化的连续变量，它虽然受空调器离散动作行为的 调节作用所控制，但在本质上却是连续变化的睁刀。 现有的混合动态系统的研究分析结果主要是针对切换系统的。切换系统( s w i t c h e d s y s t e m s ) 是混合动态系统中非常重要的一类，也是研究最为广泛的一类。系统模型在多 个不同的相互独立的模型之间进行切换，因此这类系统被形象的称作切换系统，如果子 系统都是线性的就称作线性切换系统。 切换系统是由一系列连续微分方程子系统或离散微分方程子系统以及作用在其中 的切换规则或称为切换策略构成的。切换规则的存在就构成了连续切换系统或离散切换 系统。在切换过程中，由切换规则确定每一时刻切换系统将切换到哪一个子系统，并且 在每一个时刻只能有一个子系统起作用，也即是，在每一时刻整个系统只符合其中的一 条控制规律瞎3 ，图1 - 1 给出切换系统的一个简单示意图。 河北大学工学硕士学位论文 图1 - 1 切换系统的简单示意图 无论是在日常生活中和还是在工业生产过程中，切换系统都是普遍存在的，近十几 年来，由于切换系统广泛的应用背景而得到众多专家学者的关注，以下给出切换系统的 两个实例，来帮助我们很好的体会切换系统中切换规则的重要作用。 例1 计算机磁盘驱动器系统凹 在计算机磁盘驱动器中，磁头定位驱动机构是个典型的切换系统，它沿着计算机磁 盘盘面的径向位置运动来寻找目标磁道的位置，并且进行精密、快速的定位，从而实现 计算机的高密度存储，高速率存取的过程，这也是计算机实现高速率化的技术保证和基 础。从以上的分析也可以看到磁头的定位切换是一个可以实现的快速切换系统，从而实 现计算机在不同的目标磁道中进行切换。这里提到的目标磁道就是切换系统中的子系 统，通过对不同的目标磁道进行定位来存取用户所需要的信息。切换规则的实施是通过 图中的磁头定位伺服系统和磁头切换电路这些硬件设备来实现的。 为了达到磁头的快速精确定位，采用了闭环控制方式，除了有电机驱动机构以外， 还有位置检测机构和速度控制机构把磁头当前所在位置及运动速度反馈给接口电路再 反馈给控制器，根据磁头当前位置和目标位置的差值来改变切换磁头运动速度和方向， 实现精确定位到目标磁道。图卜2 描述了磁盘驱动器的结构。 2 第1 章绪论 曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼晕曼曼皇曼孽皇曼鼍皇皇鼍寰皇鼍曼寰m ：- - ：蔓曼曼曼皇曼皇曼! ! 蔓曼曼曼曼曼皇蔓蔓曼蔓皇曼皇 图1 2 磁盘驱动器结构 例2 同相比例放大器1 0 1 同相比例放大器电路是一种典型的具有饱和特性的元件，在它的输入输出关系的表 达式描述中体现了“切换”的思想。在电路中引入了电压串联负反馈使得具有高输入电 阻、低输出电阻的优点，可以起到阻抗匹配的作用。由于反馈电阻为零，可以将输出电 压全部反馈到反相输入端，就构成了电压跟随器，它的输入输出关系可以用砜o ) = 配o ) 来表示，可是由于供电电源限制在1 2 v 之间所以使得放大器的输出也限定在一定的范 围内。它的输入输出特性曲线可以由图卜3 右侧的图来描述。图中k 为斜率，输出饱和 电压u o 一般要比电源电压绝对值低一些，这里 - 1 2 v i 阪叹u 02 il v 。j l 4 + u u 口 。 ，r + 矿 一砜 图1 3 电流放大器及其输入输出曲线 河北大学工学硕士学位论文 毫i 一一 一 i , 一一 i i 曼曼曼鼍曼曼曼曼蔓曼曼曼曼 具有这种饱和特性的元件还很多，几乎各类放大器和电磁元件中都会出现饱和现 象。但是不容易用一个统一的数学方程式来描述它的饱和特性，而自动控制理论中针对 非线性系统的相平面处理方法为我们处理这类问题提供了一个很好的思路。针对不同的 区域采用不同的表达式的方法把图1 3 中的特性曲线用多个分段函数来分段描述( 这里 假设图1 3 中的斜率k = 1 ) ，得到如下的表达式 | _ 1 2 v ，u m ) 1 2 v 在三个不同的区域中它的表达式是不相同的。这三个表达式可以认为是这个切换系 统的子系统，在适合它的范围内，由这个子系统起作用。这样，整个系统的模型随着区 域不同而在不同的子模型之间进行切换。切换系统的名称也由此形象的产生了。 类似这样的切换系统的实际应用的例子还很多，例如切换系统的例子有：步进电机 1 ，熔炉的开关特性问题n 2 m 1 ，飞行器的混杂模型以及控制问题h 4 小1 ，电源变换问题 1 6 - 1 7 ，开关电容吐羽，交通管制系统，化学工程，电力系统建模，同步开关线性系统，具 有大范围不确定性因素的复杂系统等等。 在很多情况下，切换系统在建模、控制策略研究等领域有不可比拟的优点，因此可 以作为一种很方便的手段替代原有的一些方法去研究日益复杂的对象。除此之外，它在 智能控制和最优控制等方面的应用前景也已经初见端倪。 1 2 切换系统的国内外研究现状 混合动态系统的研究还处在进一步的开拓阶段，由于其应用和适用的广泛性都成为 控制工程、数学、计算机科学等多个学科研究的热点。但是由于它的种类繁多、范围广 泛，也需要跨学科合作，因此吸引了来自很多领域的广泛关注。国际学术界也对混合动 态系统的研究日益重视，创立了诸多混合动态系统杂志如i n t e m a t i o nj o u r n a lo fh y b r i d d y n a m i c a ls y s t e m s 以及s p r i n g e r 出版的h y b r i ds y s t e m s 等这方面的专著，除此之外， 各大型国际学术会议及重要学术期刊上也开辟了混合动态系统专题或专刊如权威期刊 i e e et r a n so na u t o m a t i cc o n t r o l 、c o n f e r e n c eo nd e c i s i o na n dc o n t r o l 等刀。 目前混合动态系统的设计与分析主要集中在系统的稳定性、优化设计、鲁棒性三类 问题的单独研究及综合研究上，其中对于稳定性问题的研究最多。 4 第1 苹绪论 切换系统在控制领域的主要研究内容包括能控性、能观性、稳定性、鲁棒性及优化 设计等。近十年以来，人们对切换系统的研究主要集中在稳定性的研究上，对切换系统 厶增益分析研究涉及也较少。 我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论n 9 1 中说：“对于控制系统的第一个要求 是稳定性，从物理意义上说，就是要求控制系统能稳妥的保持预定的工作状态，在各种 不利因素的影响下不至于摇摆不定，不听指挥。”对切换系统的要求也是如此，但是由 于切换系统中切换信号的存在，使得切换系统与一般的系统相比又有它的特殊性。切换 信号使得切换系统的稳定性具有这样的性质：可能存在这样的情形，切换系统的每一个 子系统都不稳定，通过构造一种特殊的切换规则，可以保证整个系统是稳定的；相反的， 如果每个子系统是稳定的，但是切换规则选择不适当，也可能造成整个系统是不稳定的。 在切换系统稳定性的研究中，共同l y a p u n o v 函数( c o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n s ) 、 单l y a p u n o v 函数( s i n g l el y a p u n o vf u n c t i o n s ) 、多l y a p u n o v 函数( m u l t i p l el y a p u n o v f u n c t i o n s ) 、分段l y a p u n o v 函数( p i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o n s ) 、类l y a p u n o v 函数 ( l y a p u n o v l i k ef u n c t i o n s ) 、李代数( l i ea l g e b r a s ) 、线性矩阵不等式( l m i s ) 、驻留时间 ( d w e l lt i m e s ) 、凸组合( c o n v e xc o m b i n a t i o n s ) 、完备。i 生( c o m p l e t e n e s s ) 等都是常用到的 方法。 l i b e r z o n 和m o r s e 在文献1 中，对切换系统的稳定性作了全面的总结，并将切换系 统的稳定性问题归结为如下的三个基本问题： 问题a ：对给定的切换系统，寻求其在任意切换下均稳定的条件； 问题b ：寻求切换序列的约束，切换系统在满足约束的切换序列下达到稳定； 问题c ：构造一个使切换系统稳定的切换信号。 问题a 已经得到彻底解决，即：系统在任意切换下都稳定的充要条件是各子系统都 存在一个共同的l y a p u n o v 函数。已有不少寻求共同l y a p u n o v 函数的存在条件以及构造 共同l y a p u n o v 函数的方法参见文献眨1 之劲。 问题b 在切换系统的稳定性分析中，有一种方法称为驻留时间方法，即根据控制 子系统的运行时间形成切换序列，使得切换系统稳定。 问题c ，是设计切换问题，即设计什么样的切换信号和如何设计切换信号使得切换 系统稳定。对于这类问题，一般使用单l y a p u n o v 函数方法和多l y a p u n o v 函数方法。 s 河北大学工学硕士学位论文 对于问题b ，m o r s e 研究了一类仅含有稳定子系统的连续时间切换系统的指数稳定 性，提出了驻留时间的概念1 即切换信号停留( d w e l l ) 在任意一个子系统上的时间，证明 了当驻留时间充分大时，整个切换系统是指数稳定的。 h e s p a n h a 和m o r s e 进一步发展了驻留时间的概念，提出了平均驻留时间以3 ( a v e r a g e d w e l l t i m e ) 的概念。即连续切换之间的平均时间间隔不小于f 。，证明了当平均驻留时间 充分大时，给定的切换系统仍然是指数稳定的。 z h a i 在文献1 中将平均驻留时间方案与多l y a p u n o v 函数方法相结合，分别就所有 子系统都是稳定的和不都是稳定的两种情形，对线性切换系统加扰动衰减问题进行了研 究；在文献嘶1 中利用平均驻留时间方法，对既含有稳定子系统又含有不稳定子系统的切 换系统给出了切换律，证明了当平均驻留时间和稳定子系统的激励时间与不稳定子系统 的激励时间之比充分大时切换系统是指数稳定的；文献眨7 1 研究了一类离散时间切换系 统，应用同样的方法得到了类似的结果；文献啪1 通过驻留时间和平均驻留时间方法研究 了有脉冲作用的切换线性广义系统的稳定性，并给出系统指数稳定的充分条件。 厶增益设计方法和系统理论是经典控制方法和状态空间相结合的产物，无论对线性 还是非线性控制的研究有着深远的意义。动态系统的厶增益代表了这个系统最大的输入 输出能量增益，它可以提供一种非常有用的关于鲁棒性和扰动衰减特性的性能指标。 厶增益分析很少在切换系统中提起，作为一个开放的问题所有线性子系统的三：增 益在文献鲫中提到，另外z h a i 在文献眩5 1 中把加权厶增益引入到连续线性切换系统中， 当所有子系统都是h u r w i t z 稳定并且达到扰动衰减水平小于正标量时，当驻留时间选 择足够大，这个系统在平均驻留时间方案下可以达到加权扰动衰减水平y 。，当不是所有 子系统都满足h u r w i t z 稳定时，不稳定子系统的总共激活时间相对于稳定子系统的活动 时间小时，在平均驻留时间方案下，合理的加权扰动衰减水平也可以达到。文献3 同样 把加权三：增益引入离散线性切换系统中，用平均驻留时间方法和多l y a p u n o v 函数方法 相结合来研究切换系统的厶增益。 6 第l 苹绪论 1 3 本文的主要研究内容 基于以上的分析可以看出，切换系统的研究领域相当广泛，对其研究方法也很多。 本文主要对切换系统的稳定性和三，增益方面的相关问题，采用驻留时间、平均驻留时间 结合传统的l y a p u n o v 函数的方法进行探讨。论文的主要研究内容和章节安排如下： 第1 章绪论简要介绍了混合动态系统、切换系统的研究背景、意义，国内外的研 究发展现状，并概述本文的研究内容。 第2 章介绍了切换系统稳定性和三：增益分析时用到的传统的l y a p u n o v 函数方法、 分段l y a p u n o v 函数方法、稳定性的定义和：增益的由来和定义。 第3 章用驻留时间和平均驻留时间方法研究了一类由脉冲作用的离散广义线性切 换系统的稳定性，给出系统指数稳定的充分条件，并用数值算例和仿真方法说明了其有 效性。并进一步对调节器这种典型的切换系统采用驻留时间方法进行系统建模和仿真。 第4 章用驻留时间和平均驻留时间与传统的l y a p u n o v 函数方法分别讨论了连续和 离散线性脉冲切换系统的厶增益。 第5 章总结和展望在总结本论文工作的基础上，提出下一步工作的设想。 7 河北大学工学硕士学位论文 第2 章预备知识 为得到本文的结果，需要首先介绍一些预备知识，包括系统稳定性的物理基础，李 雅普诺夫方法、l y a p u n o v 稳定性定理，共同l y a p u n o v 函数方法和分段l y a p u n _ p v 函数方 法以及系统的输入输出映射，输入输出增益的一些基本概念。 2 1 李雅普诺夫方法及系统稳定性 2 1 1 系统稳定的物理基础 稳定性的概念有着悠久的历史，早在1 7 世纪托里斯利( t o r r i c e l l i ) 就认为，如果物体 仅受重力作用，当重心位置最低时物体的平衡是稳定的，反之是不稳定的。稳定的概念 也早被l a p l a c e 、l a g r a n g e 等数学家采用过，但是都没有给出一个精确的定义，也没有 得到一个严格的证明说法，因此稳定性的理论就在很长的时间内没有形成。 直至1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 的博士论文运动稳定性的 一般问题才给出了运动稳定性的严格精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性 理论的基础。l y a p u n o v 把系统的稳定性判定问题分成两种方法：也即是现今所称的 l y a p u n o v 第一方法和l y a p u n o v 第二方法。 这也成为当今研究系统稳定性的理论基础， l y a p u n o v 函数适应性广泛，不仅可以处理线性系统还可以解决非线性系统的稳定性，随 着切换系统的研究深入在鲁棒性、镇定等问题中也体现了它的优越性。 l y a p u n o v 第一方法也称为间接法，它是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性 质来判定系统的稳定性。它的具体过程是这样的：把系统的运动方程在一个很小的邻域 内进行泰勒展开，导出它所对应的低次近似线性化方程，如果线性化方程的特征值都分 布在复平面的左半平面，那么这个系统在这个很小的邻域内就是稳定的，如果特征值有 的分布在右半平面，那么这个系统在这个很小的邻域内就是不稳定的；如果特征值存在 于虚轴上，稳定性问题还需要通过高次项分析才能判盱3 们。 l y a p u n o v 第二方法也称为l y a p u n o v 直接法，它的特点是不采用求解系统方程，而 是通过一个表示系统广义能量的l y a p u n o v 函数来直接判断系统的稳定性，这就提供了 一种判断所有系统稳定性的一般方法。由于其广泛的适应性，当l y a p u n o v 第二方法在 1 9 6 0 年前后被引入到系统控制理论后，很快显示出其在理论上和应用上的重要性，也成 8 第2 章预备知识 为现代控制理论中研究系统稳定性的主要工具3 u 。同时，随着研究的深入，l y a p u n o v 第二方法在研究领域和方法上也得到进一步的拓展。 l y a p u n o v 第二方法就是建立了这样一个直观的物理事实基础，如果随着系统的运 动，贮存的能量随着时间的增长而衰减，直至平衡状态x 。，即l ，i m 。x = x 。那么这个系统就 是渐进稳定的。但是对于一个确定的系统而言，并不能直观的看到能量的衰减过程，因 此l y a p u n o v 引入了“广义能量 函数，即李雅普诺夫函数矿g ，) 是状态x 和时间f 的函 数，对于一个动态系统，仅考虑其l y a p u n o v 函数对任意平衡点时的导数矿g ，f ) 0 ，或 是矿g ，f ) 0 ， 都对应存在另一个依赖于s 和气的实数万g ，气) 0 ，使得从满足不等式 恢屯忙6 g ，气) ( 2 2 ) 的任意一个初始状态出发的受扰运动o ，r o ) 都满足不等式 忪o ，气- - x 。忙s ，v t t o ( 2 - 3 ) 0 洞北大学工学硕士学位论文 则称自治系统的孤立平衡状态) c 。= o 在时刻f 。为l y a p u n o v 意义下的稳定。 l y a p u n o v 意义下的稳定性具有这样直观的几何解释b 们：( 2 3 ) 不等式可以看成状态 空间中以屯为球心，以s 为半径的超球体，球域为s ( s ) ，( 2 2 ) 不等式可以看成以x e 为 球心，以6 ( s ，气) 为半径的一个超球体的状态空间，球域为s p ) ，球域s ) 就同时依赖 于s 和f 。这样得到的l y a p u n o v 意义下稳定的几何含义为，从域s p ) 内任意一点出发 的运动轨迹驴( r ，而，气) 对所有时刻f k ，o o ) 都不超出s g ) 的边界。 由以上的定义也可以看出，l y a p u n o v 意义下的稳定只台i ，r - , 确定系统受到扰动后相对于 平衡状态是有界的，但是不能保证系统受到扰动后相对于平衡状态的渐近性。 如果由初始状态s p ) 出发的受扰运动( ，。) 相对于平衡状态x 。= o 对所有 f t o ) 均为有界；另外受扰运动相对于平衡状态x 。= o 还满足渐近性，即 ；i m 咖( f ，x 。，f o ) = 0 ，v x 。s p ) ( 2 4 ) 成立，则称系统的孤立平衡状态x 。= o 在时刻，。为l y a p u n o v 意义下的渐近稳定。 2 1 3l y a p u n o v 稳定性定理b 定理2 1 对连续时间时变自治系统 戈= 厂g ，r ) ， f 。，o o ) ( 2 5 ) 其中，x 为刀维状态，并且对所有f k ，0 0 ) ，( o ，f ) = o 成立，即状态空间原点x = o 为 系统孤立平衡状态。 若在某区域吼= 缸，x ) ：t t o ， 0 ( 2 7 ) 则称切换系统文= ( ，) f ) ，仃o ) o m ) 是渐近稳定的。进而，如果卢( ，) 具有形式 卢( ，) = c r e - z sc ，旯 0 ，即有如下的不等式成立 】c x ( o ) i e 功v t 0 ( 2 8 ) 则称切换系统是指数稳定的。如果以上两个不等式对任意切换信号都是成立的，则给定 系统分别是一致渐近稳定的以及一致指数稳定的。 注： 1 对于线性切换系统不用说明系统是关于哪个点稳定的，因为线性切换系统只有原 点这一个平衡点。 2 对于线性切换系统如果系统是以某一个初始值x 。( 渐近) 稳定等价于系统的全局 ( 渐近) 稳定。因此，对于线性切换系统稳定性问题的讨论，都是有着“全局”的概念而 没有“局部 的意思。 3 这一节中只是以连续切换系统为例说明，同样可以把这种理论拓广到离散线性系 统中得到离散切换系统的理论。 2 1 5 在切换系统中的公共l y a p u n o v 函数和分段l y a p u n o v 函数 应用l y a p u n o v 第二方法讨论切换系统的稳定性，使用较多的是公共l y a p u n o v 函数 ( c o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o n ) 和分段l y a p u n o v 函数即多l y a p u n o v 函数( m u l t i p l el y a p u n o v f u n c t i o n ) 。 传统的l y a p u n o v 函数在切换系统中得到进一步推广就是公共l y a p u n o v 函数方法。 由于切换规则的存在就要求原来传统的l y a p u n o v 函数在每一个子系统中都有相同的形 式，这就成为各个子系统所共有的一个共同的l y a p u n o v 函数。对于线性切换系统，公 共l y a p u n o v 函数的存在性与在一定的假设条件下任意切换规则系统的稳定性是等价的 1 2 0 。由公共l y a p u n o v 函数的定义也可以看到，公共l y a p u n o v 函数的存在性是个比较保 守的条件，它研究系统的全局变化规律和整体的演变过程。 对线性切换系统，s h o r t e n ，r n 从系统矩阵结构特征入手，对寻找l y a p u n o v 函数 1 1 洞北大学工学硕士学位论文 做出了很大贡献。文献b 3 1 表明对于线性切换系统的系统矩阵4 ，如果存在个非奇异 矩阵丁，使得矩阵拟，丁q 具有上三角结构，那么这个线性切换系统就存在一个公共 l y a p u n o v 函数。文献b 4 3 7 1 进一步探讨了系统矩阵4 与公共l y a p u n o v 函数的存在之间 的关系。n a r e n ( i r a 等在文献b 剐中给出了矩阵两两可交换的切换系统中的公共l y a p u n o v 函数的构造方法。 但是诸多文献的研究表明公共l y a p u n o v 函数在求取上是很困难的，而且对于切换 系统当不存在公共l y a p u n o v 函数时，通过选取一定的切换规则也可以保证系统的稳定 性，这就使得人们开始寻找其他相对简单的方法来考虑切换系统的稳定性。就有了分段 l y a p u n o v 函数的产生。 分段l y a p u n o v 函数法是切换系统中研究和应用比较多的，它的基本思想是对每一 个子系统定义一个l y a p u n o v 函数，在这些l y a p u n o v 函数满足一定条件的时候切换系统 是稳定的，针对条件的不同也相应出现了各种不同的稳定性定理，而且分段l y a p u n o v 函数的寻求上比公共l y a p u n o v 函数容易的多，这也是分段l y a p u n o v 函数得到广泛应用 的有利条件啪3 。 b r a n i c k y 在文献3 9 。4 0 1 中提出对了一种分段l y a p u n o v 函数的构造思想，针对每一个 子系统设计一个l y a p u n o v 函数，还要求切换点上后一个子系统的分段l y a p u n o v 函数相 对于前一个子系统的l y a p u n o v 函数是非增的。 y e ，m i c h e l 和h o u 在文献h 1 4 3 3 拓展了b r a n i c k y 的稳定性条件，对每一个子系统定义 一个l y a p u n o v 函数，使得当系统切换到同一个向量域时，l y a p u n o v 函数是递减的。 h e s p a n h a 在文献阱3 中将平均驻留时间方案与分段l y a p u n o v 函数方法相结合，讨论 了输入输出有界的线性切换系统的稳定性问题。 z h a i 在文献洲中利用分段l y a p u n o v 函数与平均驻留时间相结合的方法，探讨既含 有稳定子系统又含有不稳定子系统时的线性切换系统的稳定性问题。 2 2 厶增益的相关知识1 尽管线性代数这一数学方法已经研究的相当成熟，但将其引入到控制理论的研究中 却是始于上世纪六十年代，这就是基于状态空间的设计方法的出现，它标志着控制领域 的研究从频域到时域的转变。 1 2 第2 章预备知识 微分几何方法仅限于固定模型和参数，对参数摄动不具有鲁棒性，当系统存在外部 扰动或参数的不确定性时，得不到很好的控制效果，这就促进了鲁棒控制理论的研究， 导致了鲁棒矾控制这一新兴学科的出现，其核心问题是求解一类偏微分不等式 h a m i l t o n j a c o b i 不等式，但是到目前在数学上还没有一个通用的方法。人们开始尝试开 辟新的途径来绕过该不等式的求解。 控制系统中的l ：增益方法是对近来状态空间理论的发展与经典成就的综合，不论是 现在或是将来，它都有着广泛的应用前景。这一小节中具体探讨三：增益的由来，在以下 信号空间中：q = 1 , 2 ， 定义2 3 对于g 1 ，2 ，) ，函数厂：r + - + r 伍+ = 【o ，) ) 属于集合三。 o ，) = 三。， 如果它们在r + 上的分段常值函数序列满足逐点有限，并且满足 j c o l ”衍 ( 2 - 9 ) 集合厶【o ，) = l 包括所有有界可测函数：r + 专r ，即 s u p f ( t 】 ( 2 1 0 ) 三。属于巴拿赫空间( 完备的线性赋范空间) ，其范数定义为 g = ( 肌) 9 坩州，2 ( 2 - 1 1 ) 1 1 0 q 。= s u pf ( t ) | ( 2 1 2 ) f t l v ，w ， 定义h 5 12 4 给定厂：r + 寸r ，对于任意r r + ，函数厶：r + 专r 定义为 力o ) = 孑o l? 主； r ( 2 3 ) 并称厂在【0 ，r 】处的截断函数。任意给定留= l ，2 ，对于一切可测函数厂：r + 专r ，当 力l q 对于所有满足0 t 0 0 的丁成立时，则厂属于三妒。三弘是三g 的扩展空间。一般 的，三。cl 弘，和三，是线性空间但不是赋范空间。 洞北大字工学坝士学位论又 为了处理多输入多输出系统，在此考虑任意一个有限维的准线性赋范空间v ，其 范数为i | i i 矿，则三。缈) 为满足下式的可测函数厂：r + 一y 的集合 r | i 厂o 】侈衍 _ o ( 2 - 2 2 ) 则称系统具有有限。增益。 2 3 小结 本章具体介绍了切换系统稳定性和三：增益方面的知识，首先介绍了系统稳定性方面 的基本概念及定理，然后主要介绍了本文研究切换系统稳定性所用到的方法对其中的公 共l y a p u n o v 函数法，和最常用到的多l y a p u n o v 函数法，做了具体介绍。 接着，本章概述了有关三，空间的概念，输入输出映射的概念，。稳定性与三。增益， 以及闭环稳定性：对后续章节中对系统稳定性和厶增益分析奠定了基础。 河北大学工学硕士学位论文 蔓曼曼! 曼曼! 皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼皇曼! ! 鼍! 曼皇皇曼曼曼! 曼曼1 1 | 曼! 曼! ! 曼皇曼皇曼舅曼曼曼! 曼曼曼! ! 皇孽! 皇曼曼曼曼曼曼曼! ! 曼! ! 曼曼曼曼 第3 章基于驻留时间的切换系统稳定性分析 3 1 引言 作为混合系统中最典型的切换系统，在切换时刻带入脉冲跳跃( 人为的或自发的) 即 为脉冲切换系统。 广义系统是较正常系统更具有广泛形式的系统，可以对工程领域和社会经济领域存 在的系统迸行比较精确的描述，它大量出现在许多实际的系统模型中，是更为一般的控 制系统。然而关于广义线性切换系统问题的讨论却很少，文哺6 3 应用共同l y a p u n o v 函数 方法，针对一类广义线性切换系统给出其在任意切换信号下均稳定的充分条件。文献3 在连续域中对由脉冲作用的广义线性切换系统进行了分析，得到其指数稳定的充分条 件。对于离散广义系统稳定性问题的分析，文献1 利用l y a p u n o v 方法，研究了离散广义 系统稳定性分析与控制问题，得到了离散广义系统正则、具有因果关系且渐近稳定的等 价条件。文献1 用驻留时间的方法考虑了一类不带脉冲作用的离散时间系统的指数稳 定。 本章首先在以上研究的基础上，通过驻留时间和平均驻留时间方法研究了一类由脉 冲作用的离散广义线性切换系统的稳定性，给出了系统指数稳定的充分条件，讨论了当 平均驻留时间足够大且重设律是允许的，那么系统是全局指数稳定的，再利用广义系统 受限的等价性质具体给出重设律的设计方法。最后用数值算例和仿真说明了本方法的有 效性。接着，对电力电子系统中的调节器系统这个典型的切换系统，建立系统模型，考 虑实际给定参数的取值，用驻留时间方法考虑这个系统的稳定性问题，并用m a t l a b 给 出系统仿真模型进行仿真。 3 。2 预备知识 考虑如下具有脉冲作用的离散广义线性切换系统 心) 翼夕戆似) 黧t 拇屯( 3 - 1 ) 1 ) c q 。) = d b g f l 仃 ，) k g 。) 尼= 尼， 7 其中，仃 ) ：n + 专l = 缸，2 上的分段常值函数，也是切换信号，在某一时刻后，当 o ( k ) - - i ，i 1 a , 时，系统( 3 1 ) 对应的切换到第f 个子系统，x ) 尺”为状态变量，k 为 1 6 第3 章基于驻留时间的切换系统稳定性分析 _ - - -z z l - 一- 一 鼍曼曼曼! 曼曼曼皇! 曼曼皇曼曼蔓曼曼曼鼍曼曼舅曼曼曼! 皇! 皂曼曼毫曼曼寰皇窒曼皇曼曼曼曼毫曼曼皇曼皇曼曼曼曼皇曼曼 时间变量，e ) r “月，么， ) r “”为定常矩阵，且m 础伍) = ， 刀，男， ) 为适当维数 的矩阵，甜。 ) r 嘶为允许的控制输入。d ( ，)