（检测技术与自动化装置专业论文）广义线性Markov跳变系统故障检测.pdf

中文摘要 近年来，在制造业及其它领域的控制系统中，安全性和可靠性显得越来越重 要，这也推动了基于模型的故障检测与故障分离技术的发展。与此同时，广义系 统和线性m a r k o v 跳变系统凭借它们强大的建模能力，吸引了众多专家学者的研 究兴趣。本学位论文重点研究连续时间广义线性m a r k o v 跳变系统的故障建模和 故障检测问题。主要的研究结果如下： 首先，本文建立了广义线性m a r k o v 跳变系统的故障模型，并指出了时域状 态空间描述相对于频域传递函数描述的优势。 其次，在引入了正则性、无脉冲性、随机稳定性等基本定义之后，本文提出 并证明了广义线性m a r k o v 跳变系统的广义有界实引理及其推论。并将故障检测 系统对鲁棒性和敏感性的性能要求量化为两个工2 导出增益约束。在上述基础之 上，推导出一个使满足要求的故障检测滤波器存在的充分条件，进而得出了求解 滤波器参数的迭代线性矩阵不等式算法。此外，还给出了故障检测系统的残差评 估方法， 再次，进一步考虑广义线性m a r k o v 跳变系统故障检测的鲁棒性问题。本文 讨论了现代控制系统中普遍存在的不确定现象和时滞现象，并给出了本文中时变 型参数不确定性和时变型状态时滞所满足的假设条件。而后，证明了用于系统鲁 棒性分析和敏感性分析的两个预备定理，并依次给出了满足要求的鲁棒故障检测 滤波器存在的充分条件、求解滤波器参数的迭代线性矩阵不等式算法以及自适应 的残差评估策略。 最后，对应的仿真实例表明了上述方法的适用性和有效性。 关键词：故障检测线性m a r k o v 跳变系统广义系统线性矩阵不等式时滞系 统不确定系统 a b s t r a c t r e c e n t l y , i n c r e a s i n ge m p h a s i so ns a f l ya n dr e l i a b i l i t yh a sb e e nw i t n e s s e di n m a n u f a c t u r i n ga n dc o n t r o ls y s t e m s ，w h i c hh a sa l s og i v e nad e c i s i v ei m p u l s ef o r t h e p r o c e s so fm o d e l b a s e df a u l t d e t e c t i o na n di s o l a t i o n ( f d dt e c h n o l o g y i nt h e m e a n t i m e ，s i n g u l a rs y s t e m sa n dm a r k o v i a nj u m pl i n e a rs y s t e m s ( m j l s s ) h a v ea l s o b e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e do w i n gt ot h e i rg r e a tc a p a b i l i t yo fs y s t e mm o d e l i n g t h e a t t e n t i o ni n t h i sd i s s e r t a t i o ni sf o c u s e do nf a u l tm o d e l i n ga n df a u l td e t e c t i o nf o r c o n t i n u o u sd e s c r i p t o rm j l s s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h i st h e s i sa l ea sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，t h ef a u l t ym o d e lo fd e s c r i p t o rm j l s si se s t a b l i s h e d ，a n dt h e nt h e a d v a n t a g e so fs t a t e s p a c ed e s c r i p t i o ni nt i m ed o m a i no v e rt h et r a n s f e rf u n c t i o n d e s c r i p t i o ni nf r e q u e n c yd o m a i na r ep o i n t e do u t s e c o n d l y , t h eg e n e r a l i z e db o u n d e dr e a ll e m m aa n di t sd e d u c t i o nf o rd e s c r i p t o r m j l s sa r ep r e s e n t e da n dp r o v e d ，a f t e ri n t r o d u c i n gt h ed e f i n i t i o n so fr e g u l a r i t y , i m p u l s ee l i m i n a t i o na n ds t o c h a s t i c a ls t a b i l i t y t h ep e r f o r m a n c er e q u i r e m e n t sf o r r o b u s t n e s sa n ds e n s i t i v i t yo ff a u l td e t e c t i o ns y s t e ma r ef o r m u l a t e di n t ot w o l 2 - i n d u c e dg a i nc o n s t r a i n t s 。t h e n ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e d e s i r e df a u l td e t e c t i o nf i l t e ri so b t a i n e d m o r e o v e r , a ni t e r a t i v el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m r ) a l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ed e s i e df i l t e rp a r a m e t e r si ss h o w n i n a d d i t i o n ，t h er e s i d u a le v a l u a t i o nm e t h o d i sg i v e n t h i r d l y , t h er o b u s tf a u l td e t e c t i o ni s s u ef o rd e s c r i p t o rm j l s s i si n v e s t i g a t e d t h e c o m m o ne x i s t e n c eo fu n c e r t a i n t i e sa n dt i m ed e l a y si nm o d e r nc o n t r o ls y s t e m si s d i s c u s s e d , a n dt h ea s s u m p t i o n sf o rt i m e - v a r i n gp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s a n d t i m e - v a r i n gs t a t ed e l a y si n t h i st h e s i s a r ep r e s e n t e d a f t e r w a r d s ，t w op r e l i m i n a r y t h e o r e m sa i m i n ga tr o b u s t n e s sa n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i sa r ep r o v e d ，a n das u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ed e s i r e dr o b u s tf a u l td e t e c t i o nf i l t e r , a ni t e r a t i v el m i a l g o r i t h m a sw e l la st h ea d a p t i v er e s i d u a le v a l u a t i o ns t r a t e g ya l eg i v e n ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni l l u s t r a t e st h ea p p l i c a b i l i t ya n d e f f e c t i v e n e s so ft b ep r o p o s e dt e c h n i q u e s k e yw o r d sjf a u l td e t e c t i o n ，m a r k o v i a nj u m pl i n e a rs y s t e m s ，d e s c r i p t o r s y s t e m s ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , t i m e d e l a ys y s t e m s ，u n c e r t a i ns y s t e m s 符号说明 = c ， 叁 口 s 1 r r ” r “” n d ( ) f i m a x ) ，m i n ) s u p ( f ( t ) ) ，i n f ( f ( t ) ) ( f ) ( q ，e ，p ) p r ( ) 孝( x ) v ( ) 厶 删： 符号说明 蕴含 等价于 属于 定义为 定义、注、假设、引理、定理或证明表述完毕 使得 实数集、刀维实向量集合 m 玎维实矩阵集合 线性m a r k o v 跳变系统所有模式的集合 高阶无穷小 对应标量的绝对值 求最大值、求最小值 函数f ( t ) 的上确界、下确界 函数) 的一阶导数 定义于样本空间q 上的完备概率空间，其中巨表 示事件域，p 为概率测度 发生对应事件的概率值 随机变量x 的数学期望 对应m a r k o v 过程的弱无穷小生成算子 在区间【0 ，佃) 上平方可积的矢量函数的集合 当x 为实向量时表示欧几里德范数，当“f ) 厶 时代表岛一范数，即肛i i ：- cliox ( r ) 哐疵 i 对随机向量x ( f ) ， 9 x i i ：，f 垒 孝 。i i x o ) 哐西 ) i 符号说明 瞄m 五l ：坞j i n l 彳。 彳r 么一1 彳一7 么 0 ( a 0 ，l i m 血珈o ( a t ) a t = 0 且0 ( j i ) 表示从时刻t 到t + f 系统由模 式i 跳变至模式的切换率。此外，对任意的f n ，有垒一：u 刮乃成立。模 式切换率矩阵n 叁( 毛) r 服为已知的实矩阵。对应每一个模式o r , n ，系统矩 阵彳( q ) ，b ( q ) ，c ( q ) ，d ( q ) 均为适当维数的定常实阵。 模型( 1 1 ) 可对系统中发生的许多随机突变现象进行有效建模。特别地， 通过把部分故障的发生与否处理为m a r k o v 过程，建立起上述的m j l s s 模型，然 后针对故障情况构造不同的控制策略，将使整个系统的安全性、可靠性得到大幅 度提高。这就是一种基于m j l s s 的主动容错控制策略【4 】，而如何有效观测或估计 系统中的m a r k o v 模式过程正是其研究重点之一。然而，在当前诸多关于m j l s s 的文献和专著当中，均假设系统模式过程在控制器设计或滤波器设计中是完全可 观测的【3 8 】【3 明或者假设切换率矩阵的不确定性满足一定条件【3 7 1 1 4 0 1 。本论文为研 究方便，采用了系统模式过程完全可观测的基本假设。 1 3 广义系统 1 3 1 广义系统理论的背景和发展概况 广义系统是一类比正常系统更广泛的动力系统形式。广义系统又称奇异系 统，微分代数系统或隐式系统等，可用于描述一类状态变量具有代数约束的系统， 广泛出现在电力系统、神经网络、机器人、化工过程、生态系统以及社会经济系 统等领域。人们熟知的l e o n t i e f 动态投入产出模型【4 l 】、h o p f i e l d 神经网络模型 4 2 1 、 多个机器人主体协调作业的动力学模型以及具有非线性负载的电力系统模型都 是广义系统【4 3 1 。因此，对广义系统理论的研究具有深远的实际意义。 1 9 7 4 年，英国学者r o s e n b r o c k 对线性广义系统的解耦零点以及系统受限等 价性做了研究1 4 4 ，首次提出了广义系统的概念。随后，美国学者l u e n b e r g e r 对 线性广义系统解的存在性和唯一性等问题展开了研究f 4 5 1 。从此，拉开了广义系统 理论研究的序幕。在广义系统理论发展阶段的初期，研究进展较慢。进入2 0 世 纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义系 统理论也进入了一个新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的十年中， 第一章绪论 广义系统理论蓬勃发展，这一阶段的代表性成果有：y i p 【蛔等提出了广义系统的 可解性、可控性、可观测性等概念；c o b b 47 j 进一步提出了广义系统的对偶原理： d a i 4 8 】进行了离散广义系统的观测器的设计；b e n d e r 等人1 4 9 】研究了广义系统线性 二次最优控制问题。综合上述各基本问题的一系列研究成果，d a i 于1 9 8 9 年出 版了广义系统理论的第一本专著【5 们，系统地介绍了广义系统的基础理论，从而标 志着广义系统的基础理论已经形成，广义系统理论研究进入一个新的发展阶段。 从2 0 世纪9 0 年代初至今，广义系统的研究已经从基础向纵深发展，从线性 广义系统到非线性广义系统【5 l 】，从连续广义系统到离散广义系统【5 2 】，从确定性 广义系统到不确定性广义系统【5 3 1 ，从无时滞广义系统到时滞广义系统【5 4 j ，以及 广义系统的分散控制t 5 5 1 、h ，和日。控制【5 6 1 、广义系统故障诊耐5 7 】嘲等各个专题， 都取得了丰硕的成果。然而，在广义m j l s s 方面的研究结果还很有刚5 9 】【删【6 1 1 1 6 2 1 ， 且据本文作者所知，尚没有其他研究者发表有关广义m j l s s 故障诊断的报告或 论文。 1 3 2 广义系统模型和研究方法 连续时间、线性时不变( 珊，l i n e a rt i m ei n v a r i a n t ) 广义系统理论是广义系 统理论中的一个最基本的研究分支，通常表示如下： 臌0 ) = 出( ) + 砌0 ) ，、 y ( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) 、 其中，z ( f ) r ，j ，( ，) r ，甜( f ) r 分别为系统状态、量测输出和控制输入； 彳，召，g d 均为适当维数的定常矩阵。e r 一，且满足r a n k ( e ) = ，n 。特别 地，当r a n k ( e ) = 栉，时，该系统等价于一个正常系统。 广义系统比正常系统在结构上要复杂而富于新颖性，在理论研究上要困难而 更具挑战性【4 3 】。到目前为止，广义系统理论的研究思路大多是参照已有的正常系 统理论向广义系统进行推广和移植，其研究方法主要有几何方法、频域方法和状 态空间法。其中，状态空间方法，又称时域方法，主要采用矩阵运算和矩阵变换 直接对时域状态空间系统进行研究，刻画问题的方式简洁直观，所得结果清晰明 了，且可设计相应的软件给予支持，因而，该方法应用最广，已经深入到了广义 系统的分析与综合的方方面面。里卡蒂( r i c c a t i ) 方法和当前流行的l m i 方法，由 于具有能揭示系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优点而成为时域状态空 间的两个基本方法。 由差分方程描述的离散时间系统尽管区别于连续时间系统，但二者有着众多 相似的概念和平行的性质。本文主要的研究对象是连续时间系统，对于离散时间 的情形并未涉及。 第一章绪论 1 4 本论文的内容安排 本论文围绕连续时间广义m j l s s 的故障建模和故障检测问题，共划分为五 章： 第一章和第二章为基础知识。第一章回顾了控制系统故障诊断、m j l s s 与广 义系统的历史、研究背景与研究成果，第二章介绍了控制系统运行和故障建模的 基础问题，并给出了广义m j l s s 的故障模型，为后续工作奠定了基础。 第三章和第四章为本文的主要研究结果。第三章首先引入了广义m 儿s s 的 两个基本定义和后文中频繁涉及的三条引理，而后在广义有界实引理 ( g e n e r a l i z e db o u n d e dr e a ll e m m a ) 及其推论的基础之上，针对广义m j l s s 给 出了基于观测器的故障检测滤波器设计方法以及残差评估算法。第四章对不确定 广义时滞m j l s s 导出了基于观测器的鲁棒故障检测滤波器设计方法和自适应残 差评估算法。第三章和第四章分别对研究结果进行了仿真，以验证结果的有效性。 第五章对全文进行了总结。指出了当前研究存在的问题以及进一步的研究方 向。 本文的主要创新之处： 1 在已有的故障建模方法基础之上，建立了广义m j l s s 状态空间形式的故 障模型； 2 将正常m j l s s 的广义有界实引理【6 3 1 和l t i 广义系统的有界实引理【5 6 1 推广 至广义m 儿s s 的情形； 3 。将正常m j l s s 的故障检测滤波器设计方法和残差评估策略【3 5 】，拓展至广 义m 几s s 的故障检测中； 4 对同时具有时变型范数有界参数不确定性和时变型状态时滞特性的广义 m j l s s ，提出了鲁棒故障检测滤波器设计方法，并将正常l t i 系统的自 适应残差评估方法f 5 】推广至不确定广义时滞m j l s s 的情形。 第二章故障建模 第二章故障建模 2 1 控制系统运行行为的描述 控制系统意味着通过它可以按照所希望的方式保持和改变机器、机构或其它 设备内感兴趣的物理量。带有故障的控制系统通过适当地抽象后可用图2 1 所示 的系统框图表示。 图2 1 最一般的控制系统 广义对象p 包括被控对象、执行机构、敏感元件( 即传感器) 、模拟数字和 数字模拟转换等部件；控制器k 可以是电子电路、可编程控制器、计算机或其 它一些类似的装置。信号w 、z 、y ，“和厂一般情况下是时间的矢量函数。w 的 分量包括所有的外部输入：参考输入、部分外界扰动和敏感噪声等：z 的分量是 所希望控制的跟踪误差；矢量y 包括所有敏感元件的输出；向量甜包括所有加到 广义对象上的被控输入；厂的分量是各感兴趣的故障信号。在无故障( 即厂= 0 ) 的条件下，上述的框图结构被广泛地运用于鲁棒上乙控制理论研究中【“】【6 5 】。 控制系统的目的通常是通过控制作用, 使某些输出( 如y 或z ) 达到所要求 的形式，最简单的目标如调节问题、伺服或随动问题。根据具体的情况，可能还 会由成本、安全和环境等因素带来一些附加限制，如要求控制作用甜“尽量地小 。 这里的“小 需要由信号的范数做严格的数学刻画：说“, 小”是指甜的范数小， 并由特定的情况决定何种范数更合适。 特别地，故障检测滤波器利用上述控制系统中的已知信号( 如甜和y ) ，构 造一个辅助系统残差生成系统，生成判断系统是否发生故障的残差信号，参 见图1 2 。残差生成系统构造的好坏，需要由各种信号范数或范数导出的增益作 第二章故障建模 为评判标准。此外，将系统中存在的扰动区分为小的扰动输入和特大扰动故障， 同样需要用范数的大小来判断。 总之，由控制系统或故障检测系统的性能要求引出了范数；而性能指标通常 可由我们感兴趣的重要信号的范数或某种增益的确界表示，这样我们就可以对控 制系统运行行为给出如下的定义。 定义2 1 【3 】若在控制系统运行时，其重要信号的范数和由范数导出的增益在 给定范围内，则称此系统的运动行为是可接受的，否则称此系统的运行行为是不 可接受的。 口 一个不希望的事件，如故障、错误或干扰，能使系统运行行为从“可接受一 转变到“不可接受”。不可接受的运行行为，实际上就是控制系统的性能超出了 所要求的期望范围。引起系统性能变化的原因是多种多样的，可以区分为可逆与 不可逆两种形式。可逆的变化主要是指由周围环境、工作条件等引起系统元部件 参数的暂时变化或漂移。不可逆的变化主要包括元部件的逐渐失效和突然失效两 种形式：逐渐失效是指元部件在工作中由于老化磨损、疲劳等原因引起的性能逐 渐退化；突然失效是指元部件在工作过程中的某一时刻突然发生的失效，如大型 过程控制系统中若干子系统互联的偶然断开、传感器电机异相起动电容的击穿 等。 用兄( f ) 表示不可接受行为率，其定义为控制系统在f 时刻前行为是可接受的， 而在时刻t 的行为是不可接受的概率。不可接受行为率z ( f ) 随时间变化的规律如 图2 2 所示。 图2 2 典型的不可接受行为率曲线 上述三种类型的不可接受行为率在整个过程中形成一条浴盆式曲线e 6 。 第二章故障建模 2 2 传感器故障和执行器故障的数学表示 在绪论中已经指出，传感器和执行器故障是现代控制系统中最主要的故障。 常见的传感器或执行器故障行为有卡死、增益变化和恒偏差三种f 3 1 ，下面分别列 出其数学表达式。 2 2 1 传感器故障 设系统中有嚣，个传感器，对应个量测输出。令只是第i 个传感器的实际输 出，夏为第i 个传感器正常时应该输出的信号。 1 传感器卡死：第i 个传感器卡死故障表示为 咒( f ) = q ( 2 一1 ) 式中a t 为常数，i = 1 , 2 ，。 2 传感器恒增益变化：第i 个传感器恒增益变化故障表示为 咒( f ) = a , y i ( t ) 式中为增益变化的比例系数。当呸= 0 时，相当于第f 个传感器卡死； 时，相当于第i 个传感器正常工作。 3 传感器恒偏差失效：第i 个传感器恒偏差故障表示为 咒( f ) = 只( f ) + 觚 式中觚为常数。 2 2 2 执行器故障 ( 2 2 ) 当= 1 ( 2 - 3 ) 设系统中有绣。个执行器，对应吃个控制输出。令是第i 个执行器的实际输 出，蟊为第i 个执行器正常时应该输出的信号。 1 执行器卡死：第i 个执行器卡死故障表示为 坼(f)=岛(2-4) 式中岛为常数，i = l ，2 ，。在实际控制系统中，执行器的输出有一个限制范 围，即吩曲巧( f ) 一，若超出这个范围，则执行器的输出值不再变化，因此 有曲岛吩一。如果岛= 曲或岛= 吩一，就是所谓的执行器开路失效。 2 执行器恒增益变化：第i 个执行器恒增益变化故障表示为 ，u i ( t ) = f l i 砺( t )( 2 5 ) 式中屈为增益变化的比例系数。 3 执行器恒偏差失效：第f 个执行器恒偏差故障表示为 第二章故障建模 式中为常数。 2 3 正常l i l 系统故障建模 心( f ) = 甄( f ) + ( 2 6 ) 正常l t i 控制系统，有状态空间和传递函数两种描述方式。其中状态空间形 式的描述为： 主( 7 ) = 出( 7 ) + 曰z ，( 7 ) + 民以7 ) ( 2 - 7 ) y ( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) + z ) w w ( f ) 式中，x i t ) r ，y ( t ) r 分别为系统状态变量和传感器的输出矢量；u ( t ) r 为控制输入：以f ) r 为未知外界扰动输入，满足以f ) 厶，即岛范数有界的 条件；a ，b ，巩，c ，d ，巩为相应维数的实常矩阵。传递函数形式的描述为： y 0 ) = g ：o ) u 0 ) + g w o ) 形o ) ( 2 8 ) 用s 表示拉普拉斯算子，则】，( s ) ，u ( s ) ，w ( s ) 分别是y ( f ) ，甜( f ) ，w ( t ) 的拉普拉斯变换 式，g ( j ) 和瓯( s ) 分别是从掰0 ) 、w i t ) 到少( f ) 的已知传函矩阵。不失一般性，设 ( 彳，b ，c ，d ) 是瓯( s ) 的最小实现，即有q ( s ) = d + c ( s l 一彳) - 1 b 且( 爿，曰) 可控、 ( c ，么) 可观；( a ，玩，c ，d w ) 是瓯0 ) 的最小实现。 2 3 1 基于传递函数的故障模型 下面的故障模型是对系统传递函数模型( 2 8 ) 的自然推广： y i s ) = q ( s ) u ( s ) + 瓯( j ) 形( s ) + g ，( s 妒( j ) ( 2 9 ) 上述模型中f ( s ) 是对故障信号厂o ) 做拉普拉斯变换的结果。f ( t ) r 代表故障 信号矢量，对应于不同的传感器故障形式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 或执行器故障形 式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) ，厂( f ) 有不同的数学表达式，且( f ) 在系统无故障的情 形下等于零。g ，0 ) 代表从f ( t ) 到y o ) 的已知传函矩阵，并假设其最小实现为 ( 么，b ，c ，d ，) 。对应不同的故障部位和故障类型，分别有： 传感器故障：g ，( s ) = d ，； 执行器故障：g ，( s ) = q ( s ) ； 被控对象故障：g ，i s ) = c ( s l 一么) b ，； 特大环境扰动故障：g ，( s ) = g w i s ) 。 2 3 2 基于状态空间的故障模型 与上述的基于传递函数描述的故障模型( 2 9 ) 相对应，有如下的基于状态 第二章故障建模 空问描述的故障模型： 浆c 似x ( o d + 邶d “u ( d t ) + + 端嚣d f 八f ( 7 t ) ) y ( f ) =见以f ) +) 一7 该模型中各向量和系统矩阵的维数和代表的意义同前文，不再赘叙。对不同的故 障部位和故障类型，容易得到： 传感器故障：b ，= 0 ，d ，0 ； 执行器故障：b ，= b ，d ，= d ； 被控对象故障：b ，0 ，d ，= 0 ； 特大环境扰动故障：b ，= 也，d ，= d w 。 还有另一种基于状态空间描述的故障模型，是以系统矩阵的参数变化为基础 的： 加) = 似+ 彳i ) x ( f ) + + 召。? “( ) + ( 民- i - 或? 以( 2 - 1 1 ) y o ) = ( c + c ) 工o ) + ( d + d 。) z f ( f ) + ( 见+ 成) w ( f ) 7 相应的有： 传感器故障：a = o ，b = o ，或= o ，c o ，d = o ，珑= 0 ； 执行器故障：a = o ，b o ，瓦= o ，c = o ，d o ，战= 0 ； 被控对象故障：a o ，b = o ，瓦= o ，c = o ，d = o ，成= 03 特大环境扰动故障：a = o , b = o ，砖o ，c = o ，d 。= o ，珑0 。 在未对故障信号厂( f ) 做任何假设和限制的前提下，故障模型( 2 11 ) 通过简单 的变换，可以由模型( 2 9 ) 或( 2 1 0 ) 描述。 注2 1 一方面，频域方法的计算通常较时域处理方式要复杂，另一方面，频 域传函模型( 2 9 ) 不能有效地处理时变问题。正是基于故障模型( 2 1 0 ) 的数 值计算优势、有效处理时变及参数摄动的能力和可以直观地拓展至m j l s s 模型 的潜力，本文将沿用时域故障模型( 2 1 0 ) 的描述方式。此外，目前多数关于 m j l s s 的研究结果都是基于状态空间描述的。 口 注2 2 模型( 2 1 0 ) 中的未知扰动信号以f ) 不仅可以包括外界扰动和一些范 数有界的无结构模型不确定性，还可以包括一些“不感兴趣的 故障，如对系统 稳定性和其它性能影响较小的系统故障和以故障分离为目的、需要刻意“屏蔽 的其它故障，那么模型( 2 1 0 ) 中的故障信号厂( f ) 将集中表示当前故障诊断研究 所针对的故障，通俗地称为“感兴趣 的故障。 口 2 4 广义m j l s s 故障建模 在上述正常l t i 系统故障模型( 2 1 0 ) 的基础上，结合正常m j l s s ( 1 1 ) 和广 一1 3 第二章故障建模 义系统( 1 2 ) 的建模方式，不难得到如下的故障模型： j 瞄( f ) = 彳( g ) j 【( f ) + 曰( 哆) ”( f ) + 吼( q ) w ( f ) + b ，( q ) ( f ) ， 、 j ，( f ) = c ( q ) x ( f ) + d ( q 如( f ) + d w ( q ) 以f ) + d ，( q ) 厂( f ) p 7 q ，t o 为系统模式过程，其属性在绪论中已有详细的说明，系统矩阵e r 。 满足r a n k ( e ) = ，几，其它各向量和系统矩阵属性同前所述。模型( 2 1 2 ) 是第 三章故障检测滤波器设计所针对的系统对象，同时也是第四章中不确定广义时滞 m j l s s 的基础模型。 在下文中，当q = f n 时，用m 作为定常矩阵m ( q ) 的简写。 注2 3 当e = i 时，上述模型即为正常m j l s s 故障模型，当e 为其它非奇异 矩阵时，亦可转化为正常系统；当系统模式集合仅包含一种模式，即n = l 时， 上述模型退化为一般的l t i 广义系统故障模型。口 2 5 本章小结 故障建模是开展后续故障诊断研究的前提和基础。本章从分析一般控制系统 的运行行为开始，先分别介绍了传感器和执行器三种不同故障形式卡死、增 益变化、恒偏差的数学表示，进而针对正常l t i 系统，详细地阐述了基于传递函 数和基于状态空间的故障模型。最后，在上述工作的基础之上，给出了下文中将 要处理的系统对象广义m j l s s 故障模型。 第三章广义m j l s s 故障检测 第三章广义m j l s s 故障检测 本章将为上章中所给出的广义m j l s s 系统( 2 1 2 ) 设计故障检测滤波器， 并研究对应的残差评估问题。 3 1 预备知识和广义有界实引理 3 1 1 预备知识 当掰o ) = 0 ，( f ) = o 时，广义m j l s s ( 2 1 2 ) 的无故障自由系统可表示为： e j c ( t ) = a ( c r t ) x ( t ) + 风( q ) w ( f )( 3 1 ) 对系统( 3 1 ) ，本文将采用如下的两个基本定义。 定义3 1 正则性、无脉冲性 6 0 1 系统( 3 - 1 ) 称为正则的，如果特征多项式d e t ( s e 一4 ) ，对每一个模式i n 不恒为零； 系统( 3 1 ) 称为无脉冲的，如果d e g d c t ( s e - a ，) 】= r a n k ( e ) = ，对每一个 模式i n 成立。口 定义3 2 随机稳定性【3 3 】 系统( 3 1 ) 称为随机稳定的，若当以f ) 善0 时， 善i 助x ( t ；x o ，) l 佃 对任意相容且有限的初始条件缸o ) = x o r 以和任意n 成立，其中x ( t ；x o ，) 表示时刻状态的初始值为而，模式的初始值为的状态轨迹x 。 口 注3 1 除上述的随机稳定之外，对m j l s s 还有诸如渐近均方( 二阶矩) 稳 定、指数均方稳定和几乎处处渐近稳定等定义。对于系统y c ( t ) = a ( o t ) x ( t ) ，f e n g 等人d 3 1 已经研究发现，随机稳定、渐近均方稳定和指数均方稳定三者是等价的， 且其中任意一种稳定性都是几乎处处渐近稳定的充分条件。 口 以下的几条引理在下文许多结论的证明过程中将起到至关重要的作用。 弓i 理3 1s c h u r 辛 弓f 理【3 8 】 对任意给定的对称矩阵s = 未乏 ，其中s 。= ，以下的三个条件是等 价的。 第三章广义m j l s s 故障检测 1 ) s 0 ； 2 ) s l l 0 且是2 一筇s 2 0 ； 3 ) s 2 2 0 ，有下两式成立： 1 ) 2 x r y ，q - 1 x + y r q y ； 2 ) m f n + n r f r m r c m ，m + 6 1 n ，n 。 口 引理3 3 t 删存在两正交矩阵u 、矿使得对满足r a n k ( e ) - - r 吃的矩阵 e r 强，有如下的奇异值分解( s v d ，s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ) - li 妒 一 p 2 ， 这里，= d i a g ( 以，以) ，鸬 0 为矩阵e 的第f 个奇异值。将u 、v 进行分块： u = 【，】，u l r 叩7 ，r 叩魄。， v = 【k ，圪】， 巧r “，砭r 魄吣 。 那么，所有满足e r 尸= ，e 0 的矩阵p 可以参数化为： p = u l 朋圩e + s ( 3 3 ) 一e 式中，w 0 r 和s r ( 以1 ) 为参数矩阵；进而当尸非奇异时，w 0 。口 3 1 2 广义m j l s s 的广义有界实引理 f a r i a s 等人6 3 1 和w a n g 等人【5 叼分别给出了正常m j l s s 的广义有界实引理和 l t i 广义系统的有界实引理。相对于单一模式的无跳变系统，m j l s s 不仅要分别 考察系统每一个模式，而且必须通过随机数学方法将模式切换率一并予以考虑； 相对于正常系统，广义系统需要在保证系统稳定性的同时考虑系统的正则性和无 脉冲性。 下面的广义有界实引理和相应的一个推论，是广义m j l s s 故障检测滤波器 设计的基础。 定理3 1 广义有界实引理 对于给定的标量y 0 ，系统 e y e ( t ) = 么( q ) 雄) + 玩缸) 郇) ( 3 川 y ( f ) = c ( c r t ) x ( t ) + 上乙( q ) w ( f ) 、 7 正则、无脉冲、随机稳定且当x ( o ) = 0 时，满足 器两i l y l l 2 , y ，器两邓 第三章广义m j l s s 故障检测 若存在非奇异矩阵碍，弓便得，对所有的i n ， e r 只= 矽e 0 ( 3 5 ) ，：i 霉+ 巧4 + 羔乃矿弓+ 掣ep + 口巩i o ( 3 6 ) lb 乙只+ d e c ： 一7 , 2 ，+ 珑t d 0j 成立。 口 证明：首先证明定理中的条件是系统( 3 4 ) 正则、无脉冲的充分条件。由( 3 6 ) 不难得到下面的不等式成立 彳只+ 华4 + ：。砖e r o ，有 哦 o r ( f ) o ( 3 - 1 3 ) l一丑；五- i - t p q- p 2 ，+ d ；d i 成立。口 证明：令 r ( 咖孝 r ( 少- 夕2 f r 渺 ( 3 - 1 4 ) 并选取l y a p u n o v 函数为 y ( x ，q ) = ，矿- x o , x ， 当q = f n 时有 v v b ，d = f 耸x l x + f x j 4 x + x r 兀口岔x j x + f x ：b 6 f + f t x i xo 一1 5 ) 在式( 3 1 4 ) 的积分项中减去和加上v 矿( x ，f ) 后，得 r c f ，= 孝 r c ，厂r ，甲， ； 破) + 孝 r e v vc x , o d t ) 善邝钟) 在零初始条件x ( o ) = 0 下，类似于定理3 1 的证明，易得 一 o j r ( , ) o l l y l l ：。f p l l f l l ：。 推论得证。 1 2 1 注3 3 尽管( 3 6 ) 和( 3 1 3 ) 分别是关于只和五的l m i ，但是等式约束( 3 5 ) 和( 3 1 2 ) 在各种数值计算方法中通常不能完全地被满足，故而带有等式约束的 l m i 被称为非严格l m i 。下文将结合引理3 3 的参数化方法，将非严格l m i 转 3 2 故障检测滤波器设计 对系统( 2 1 2 ) ，考虑如下基于观测器的故障检测滤波器： 上袋( ，) = 彳( q ) 戈( f ) + b ( q ( f ) + 日( q ) ( y ( f ) 一夕( f ) ) 夕( f ) = c ( q ) 文f ) + d ( q 弦( f ) ( 3 1 6 ) ，( f ) = 尺( 吼) ( y o ) 一夕( f ) ) 第三章广义m j l s s 故障检测 这里，文f ) r 。夕( ，) r 分别为滤波器的状态和输出矢量；“f ) r b 为残差。 观测器增益矩阵日( q ) 和非奇异权重矩阵尺( q ) 为待设计的滤波器参数。 定义e ( t ) = x ( f ) 一量( f ) 为状态估计误差，连接故障检测滤波器( 3 1 6 ) 和原始 系统( 2 1 2 ) 得到如下的合成系统 上沾( f ) = 【彳( 呸) 一日( q ) c ( q ) 】p ( f ) “民( g ) 一日( q ) 上乙( q ) 】w ( ，) + 【召，( q ) 一h ( c x , ) d i ( q ) 】厂( f )( 3 一1 7 ) ，( f ) = r ( q ) c ( q ) p ( f ) + 见( q ) w ( f ) + d r ( q ) ( ，) 】 注3 4 在合成系统( 3 1 7 ) 中，原始系统( 2 1 2 ) 中的控制输入z ，对残差的 影响已经被故障检测滤波器( 3 1 6 ) 完全抵消了，这使得对应的故障检测滤波器 设计过程变得简单。 口 本章的主要目标之一就是要设计一个形如( 3 1 6 ) 的故障检测滤波器使得最 终的合成系统( 3 1 7 ) 正则、无脉冲、随机稳定且残差信号，对未知扰动输入w 不敏感、对故障信号厂敏感，即满足如下两个厶导出增益条件 i s u p 掣筝厂， 当：厂( f ) = o( 3 1 8 ) m 00 2 l s u p 擎屈当：w ( f ) = 0 ( 3 1 9 ) v l ：oi i j l l 2 注3 5 本论文中，将要采取的优化策略是在给定的值下求y 的最小值。显 然，这样只能得到和厂的一组次优解，而不是其全局最优解，但是由于：一方 面，这样的处理方法大幅度地减少了l m i 优化的循环次数，进而大大降低了滤 波器参数计算的复杂度；另一方面，在故障检测滤波器设计当中，若最终优化得 到的y 小于预先给定的值，即表明残差对故障的敏感程度必定高于其对外界扰 动的敏感程度，则该故障检测过程是有效的。总之，本文的优化策略综合考虑了 数值计算代价和故障检测的有效性，是一种合理的处理方法。 口 前面各章节中已陆续涉及到故障检测滤波器设计的部分假设条件，下面对所 需的前提和