（凝聚态物理专业论文）二维三角点阵上ising和potts模型的损伤扩散研究.pdf

中文摘要 本文研究二维三角点阵上伊辛( i s i n g ) 和p o t t s 模型的损伤扩散 问题。 利用g l a u b e r 及k a w a s a k i 混合动力学并采用蒙特卡罗方法和 i s i n g 模型研究建立在二维正三角格子上小世界网络( s m a l lw o r l d n e t w o r k ) 模型的损伤扩散问题。讨论了不同小世界几率p 。条件下相 变临界温度的变化，以及此模型中簇系数随小世界几率变化的规律。 结果表明，当g l a u b e r 动力学占主导地位时，相变温度随小世界几率 的增加而增大，而当k a w a s a k i 动力学占主导地位时，无论小世界几 率为何值，损伤有扩散但是无相变的发生。动力学及小世界作用对损 伤扩散均有影响，小世界几率风越大，损伤越不容易扩散，原因是损 伤扩散被拥有最多条边的节点的数量所决定。另外，对于此模型，簇 系数随着小世界几率的增大而减小，而且其变化关系是线性的。对 这一结果我们给出了解析解释，并进一步指出文献中现有的簇系数 c 2 的定义在某些情况下不能正确反映网络的聚集程度。为能正确反映 网络的聚集程度，我们应该寻找或定义更合适的物理量。 利用g l a u b e r 动力学研究了三角格子上d i l u t e d i s i n g 模型及p o t t s 模型的损伤扩散问题。在d i l u t e d i s i n 9 7 模型中讨论了断键几率与损伤 扩散的关系，结果表明在断键几率高于某一定值时，损伤扩散程度低 于5 0 。当点阵中的点大部分为孤立点的时候，损伤扩散被冻结在 初始状态。同时，随着断键几率的增大，模型的损伤扩散临界温度随 之减小。文中还计算了簇系数随断键几率的变化，结果与前人所定义 的簇系数一致，说明c 2 可以用来表示此d i l u t e d i s i n g 模型的聚集程 度。对于鼋阶p o t t s 模型( 2 q 9 ) ，计算了损伤扩散的临界温度，并与正 方格子p o t t s 模型及三角格子i s i n g 模型上损伤扩散情况进行了比较， 结果说明三价拓扑p o t t s 模型在抑制损伤扩散方面具有一定的优越 性。 关键词：损伤扩散，三角格子，小世界网络，簇系数 t h ed a m a g e s p r e a d i n g f o rt h e i s i n g a n dp o r sm o d e l so n t w o - d i m e n s i o n a lt r i a n g l el a t t i c e si ss t u d i e di nt h i sp a p e r t h ed a m a g es p r e a d i n go nt w o d i m e n s i o n a ls m a l lw o r l dn e t w o r k s ( s w r , 0u n d e rt h em i x e dg l a u h e ra n dk a w a s a k id y n a m i c si ss t u d i e dw i t h i s i n gm o d e la n du s i n gm o n t ec a r l om e t h o d t h ev a r i a t i o n so fc r i t i c a l p h a s et r a n s i t i o nt e m p e r a t u r ew i t hv a r i o u sp o s s i b i l i t i e so fs w n a sw e l la s o fc l u s t e r i n gc o e f f i c i e n tw i t hp o s s i b i l i t yo fs w na r ea l s od i s c u s s e d i ti s s h o w nt h a tt h ep h a s et r a n s i t i o nt e m p e r a t u r ei n c r e a s e sw i t ht h ep o s s i b i l i t y o fs w ni fg l a u b e rd y n a m i c si sd o m i n a t e ，b u ti ft h ek a w a s a k id y n a m i c s i sd o m i n a t i n g ，t h ed a m a g et e n d st ob eh a p p e n e dw i t h o u tp h a s et r a n s i t i o n r e g a r d l e s so ft h ep o s s i b i l i t yo fs w no b t a i n e d t h ed a m a g es p r e a d i n gi s a f f e c t e db yb o t hd y n a m i ca n dt h ef u n c t i o no fs w n t h eb i g g e rt h e p o s s i b i l i t yo fs w nb e c o m e s ，t h em o r ed i f f i c u l tt h ed a m a g es p r e a d s t h e r e a s o l li st h a tt h ed a m a g es p r e a d i n gi sd e t e r m i n e db yt h ec e l l sw i t ht h e b i g g e s te d g en u m b e r t h er e s u l to fs i m u l a t i o ns h o w st h a tt h ec l u s t e r i n g c o e f f i c i e n ti nt h em o d e li si n v e r s e l yp r o p o r t i o nt ot h ep o s s i b i l i t yo fs w n t h ed i l u t e d i s i n gm o d e la n dp o t t sm o d e la r es t u d i e du n d e rg l a u b e r d y n a m i c t h er e l a t i o no ft h ep o s s i b i l i t yo fd i l u t i o na n dt h ed a m a g e s p r e a d i n gi sd i s c u s s e d0 1 1t h ed i l u t e d - l i n gm o d e l i ti ss h o w nt h a tt h e d a m a g es p r e a d i n gi sl o w e rt h a n0 5w h e nt h ep o s s i b i l i t yo fd i l u t i o ni s h i g h e rt h a nac e r t a i nv a l u e i ft h e r ea r et o om a n yi s o l a t e dp o i n t so nt h e l a t t i c e ，t h ed a m a g es p r e a d i n gi sf r o z e no nt h eo r i g i n a ls t a t e ，w i t ht h e p o s s i b i l i t y o fd i l u t i o n i n c r e a s i n g ，t h ep h a s e t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s i na d d i t i o n ，t h ec l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t sa r ec a l c u l a t e da st h e f u n c t i o no ft h ep o s s i b i l i t yo fd i l u t i o na n dt h e ya r ec o n s i s t e n tw i t ht h e f o r m e rr e s e a r c hr e s u l t s f o rt h ep o t t s m o d e l ，t h ep h a s et r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e sa r eo b t a i n e df o r2 口 9 t h er e s u l to fc o m p a r i n gw i t h s q u a r el a t t i c ep o t t sm o d e la n dt h et r i a n g l ei s i n gm o d e ls h o w st h a tt h e t r i v a l e n tp o t t sm o d e lh a sm o r es u p e r i o r i t yt h a no t h e r so nr e s t r a i n i n gt h e d a m a g es p r e a d i n g k e yw o r d s ：d a m a g es p r e a d i n g ，t r i a n g l el a t t i c e , s m a l lw o r l d n e t w o r k , t h ec l u s t e r i n gc o e f f i c i e m 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 一) 本领域研究发展近况 第一章绪论 损伤扩散( d a m a g es p r e a d i n g ) 技术通过测量两个不同初始自旋位形在同一 动力学规则下随时间演化的h a m m i n g 距离，来研究磁系统的静态行为或动力学行 为【“，是一种随机生长的过程【2 】换句话说，损伤扩散技术是一种用来描述一个 小的微扰如何随着时间在整个系统中发展的技术。损伤扩散技术可用来模拟雪花 的形成，铁的腐蚀，病毒的扩散等随机生长过程。同时损伤扩散技术的原理和方 法亦可用于模拟和解决许多社会和经济现象。例如城市中的连锁超市形成一个网 络结构，一个节点的倒闭对整个超市网络如何影响即可用损伤扩散技术来模拟。 资源分配可以导致市场竞争的成功与否，利用图形拓扑以及蒙特卡罗方法，已有 学者比较出资源分配方式的优劣【3 】我们相信，应用损伤扩散技术同样可以模仿 出资源分配的模式，从而确定哪种分配方式更适于市场竞争。西方国家的选举过 程，其本质就是让某一个人的观点广泛传播，得到大家的认可，从而得到大家的 支持，这样一个观点传播的过程同样可以利用损伤扩散技术来模拟 4 ) i s l 。针对不 同的问题，需要不同的动力学，所以经纪人动力学是新兴学科金融物理研究的一 个重要内容。 影响损伤变化的因素有许多，例如时间的长短，格点问的相互作用( 如铁磁1 6 1 ， 反铁磁【”，自旋玻璃i 町等等) ，蒙特卡罗规则( 如h e a t b a t h 动力学凹，g l a u b e r f 勿力 学川，m e t i d p 0 1 i s 动力学1 1 们等等) ，格子的几何形状( 如正方形i ，三角形川， 立方体肄等) ，自旋变量的对称性，外场的影响( 如外加磁场) ，以及其他相关参 数的给定。 目前对于损伤扩散的研究在国外已经被很广泛的开展，而国内对此研究还很 少。现在对于损伤扩散技术的研究主要集中在低维规则点阵，如二维正方格子 1 2 - 1 4 ，三角格子m ，三维立方格子【l l 】上的损伤扩散。这些研究主要考虑了热浴， g l a u b e r 和k a w a s a k i 等动力学，而自旋之问的相互作用也只是计及最近邻相互作 用。在图形的应用规则上，周期性边界条件和开放性边界条件都在人们考虑的范 二箍三角点阵上i s i n s 和p o r t s 援型的损伤扩散研究 围内，同时，图形的拓扑规则也被很广泛的开始利用研究者在不同的条件下， 分别得到不同的损伤扩散临界温度，以此分析各种不同条件对损伤扩散起着怎样 的影响 早在1 9 6 9 年，损伤扩散技术就已经被生物学家应用于研究细胞的自动控制问 题( 嘲，要| 上个世缈、十年代中舰损伤扩散这种方法才开始被物理学家们所关注【1 日 因为i s i n g 模型是最简单的物理模型，所以大多数的研究都是针对于它所做的格 点上的动力学i s i n g 模型经常被用来描述时问进化和与多样粒子系统相互作用相 吻合的状态举啻i 来说就如催化作用，接触过程，增长范围，位相分离和运动过 程等等 h i n r i c h s e n 及其他合作者在研究一维伊辛链上的损伤扩散时发现在热浴作用 下，损伤扩散的相变能发生在伊辛链上，同时他们观察到在低温时损伤愈合。而 在高温作用下损伤将扩散同样得到此相变在较常见的g l a u b e r 动力学， m e t z o p o l i s 动力学的作用下也会发生，即一维伊辛链上的损伤扩散对动力学并不 是十分敏感【用 相对于一维i s 吨模型只能存在链式结构来说，二维模型的式样是众多的。研 究者们在各种觏则、不规则的二维平面模型上应用不同的动力规则做了大量的研 究。例如在考虑几何形状和边界条件的影响上，m l e t i c i ar u b i op u z z o 等人在2 0 0 1 年发表于l h y s i c ai - 的一篇文章中指出对于l x m 大小的二维格子，在考虑周期性 边界条件和开放的边界条件两种情况对，可以得到相反的损伤扩散结果【i s l 在 周期性边界条件下，趋于临界点位置，模型展现出相当均匀的，自旋单一向上的 结构而考虑开放边界条件时，可以看到沿着与m 垂直的方向上，在接近临界温 度时，系统展示出一个类似相交的阶段。系统从一个混乱态到了一个有序的状态 但是在其他方向上，系统仍然是无序的同时发现，周期边界条件下，损伤扩散 到整个模型所需的温度大于居里温度在处于小于居里温度的时候，损伤同定在 一定的小范围内在短时问限制内损伤扩散不依赖于边界条件，在此阶段扩散发 生是基本平均的在考虑开放边界条件时，在接触而位置损伤开始交叉，这种结 果是由于接触面交叉而造成的，同肘这种交叉效果加速了损伤的繁殖，使扩散更 容易进行 。 除边界条件会对损伤扩散带来影响外，研究人员还发现图形的拓扑规贝l j 也对 内蒙古师范大学硕士学位论文 损伤扩散起到一定作用。在研究二维三价结构i s 吨模型上的损伤扩散问题时得 到，在g l a u b e r 动力学下，对于三价结构上的损伤扩散相变，拓扑起着重要的决 定作用【嘲当仅考虑拓扑性质时，相变温度依赖于具有最多边的那个细胞。当 考虑全部细胞时，损伤扩散的相变温度将很低，即损伤极容易传播 对于模型来讲，除l s i n g 模型外，p o t t s 模型上的损伤扩散人们也有研究。e m 矗e s o u s ah 比等人在集团动力学下研究二维g - 阶p o t t s 模型得出结论：损伤在低温和高 温时都不会扩散1 2 0 l ，其相交发生在居里温度附近，当g 4 时，损伤的扩散是连续 的，而在g 5 时，扩散就不连续了 如前所述，损伤扩散技术也已经被用于社会问题的研究，例如对用来描述选 举过程中选民意见受外界干扰而变化的正方格子上s z n a j d 模型的损伤扩散的 研究【4 】在研究者们所定义的不考虑政党作用而只有选民和候选人起作用的模型 下，得出只有1 2 的选民会由于外界干扰而改变自己的意见 虽然对损伤扩散技术的研究在各方面都已经全面展开，但同实际情况相比， 目前所广泛应用的这些模型( 例如二维正方格子、三角格子、三维立方格子等) 显得过于简化，有必要把研究向更复杂系统发展所以，对于一些重要的高维网 络系统模型，如小世界网络( s m a l lw o r l dn e t w o r k ) 伫”，n e w m 锄网络 2 2 1 等，研 究这些高维网络系统上的损伤扩散无疑更具有实际意义。 ( 二) 本文内容摘要 本文主要讨论构建在二维正三角格子上s m a l lw o r l d n e t w o r k l s i n g ( s w n i ) 模 型，d i l u t e d - l s i n g 模型，及p o t t s 模型上的损伤扩散问题，主要计算不同动力学 情况下，各种模型的损伤扩散的临界温度，同时计算小世界网络模型及 d i l u t e d - i s i n g 模型的簇系数，讨论了造成损伤扩散趋势不同的可能原因。 第二章，对拓扑三价模型进行介绍。包括3 一1 2 格子，4 - 8 格子，4 一l o 格予 的拓扑规则。介绍小世界网络的由来以及损伤扩散过程的整体模式，同时说明文 中所应用到的动力学规则：g l a u b e r 动力学及k a w a s a k i 动力学，以及两种动力学 竞争机制 二雏三角点阵上壬s m g 和p 椎禳型的损伤扩散研究 第三章，几种二维正三角格子上i s i n g 模型的损伤扩散的研究其中包括二 维正三角格子$ w n i 模型上损伤扩散的研究，二维正三角格子d i l u t e d - i s i n g 模 型上损伤扩散的研究。相对于简单i m n g 模型仅考虑最近邻自旋问相互作用的影 响，s w n i 模型由于其复杂程度增加，相同动力学条件下的损伤扩散临界温度随 着小世界凡率的增加而增加，说明小世界几率与临界温度变化的关系同时计算 出该模型的簇系数与小世界几率之间所成比例系数为负的正比例关系，并发现由 传统定义方法计算而来的簇系数不能够正确反映网络的聚集程度。在稀释的三角 格子d i l u t e d - i s i n g 模型上，仅利用g l a u b e r 动力学来对其进行损伤扩散的研究。 得到损伤扩散的以断线几率为函数的临界温度相图，同时做出以断线几率为函数 的簇系数曲线，以此说明相变发生的原因。 第四章，介绍了二维正三角格子p o t t s 模型上损伤扩散问题的研究。在对 g l a u b e r 动力学下三角格子p o t t s 模型上的损伤扩散问题的研究中，得到了口阶 p o t t s 模型上的损伤扩散临界温度，其中2 q f ，那么这个自旋进行翻转， 否则不然。 2 k a w a s a k i 动力学规则 k a w a s a k i 动力学即两个自旋之间交换的过程，它被用于模拟系统中能量的流 动过程。( j ) 代表了从所有最近邻的自旋中随机选择的两个最近邻的自旋f 坷 之间的交换几率。对于k a w a s a k i 动力过程来说，有多种方法来计算交换几率 c o , a s ) ，例如热浴( h e a tb a t h ) 几率规则： 内蘩古师范大学硕士学位论文 删：罾；，( 2 - 2 ) e l d + e d 还有最常用的k a w a s a k i 动力学公式( 2 - 3 ) ： 嘞。j = 【0 l f o , f o ，r 屹a e f 。0 ( 2 3 ) 公式( 2 - 3 ) 也可以称之为r = 0 时k a w a s a k i 动力规则，也就是公式( 2 - 2 ) 在 零温时的极限。 3 g l a u b c r 与k a w a s a l d 动力学的竞争 当系统内部有两种动力学在竞争时，( ，j ) 由下式给出 m ( ，曲= ，够g ( j ，j ) + ( 1 一p ) 缈f 0 ，s ) ( 2 4 ) p 表示g l a u b e r 动力学占主导地位时的几率，m o ( s ，j ) 为发生g 1 a u b e r 动力学过 程时的翻转几率： d 纠2 善气。毛。气屯。q ( 2 - s ) 吼f ，d 为发生k a w a s a k i 动力学过程时的交换几率： 纹o ：力= 互气。气。气 乞。屯。嘞( s ) ， ( 四) 损伤扩散技术的演化模式 损伤扩散技术应用于自旋系统的计算机模拟过程可简单归纳如下： 首先，对于已经确定模型的格子，以随机的方式确定模型上任意格点位置的 自旋情况，由此得到点阵模型a 。 第二，将动力学应用到模型a 上，随着时间演化，使其达到平衡 第三，复制达到平衡态的模型a ，定义为模型b 。同时将b 模型中的某一点 或某一部分的自旋进行翻转，使其与a 中相应位置的自旋不同，此不同即为损 伤，f 且固定这个损伤点 o 二维三角点阵上i s m g 和1 ) o ( m s 模型的损伤扩散研究 第四。将模型a 。b 同时在相同动力学作用下随时间进行演化，最终比较两 个模型的差异在此期间，b 模型中的损伤固定，这些格点自旋不随时间进行翻 转同时，模型a 。b 所应用的随机数都是相同的，以此保证最后的损伤扩散不 是由选取不同的随机数而造成的，损伤的扩散仅仅是由于最初的破坏以及动力学 关于时间的演化时刻进行着观察，利用公式( 2 - 7 ) 对其进行归纳。得到与时 间有关的损伤扩散临界温度五 d ( f ) = 寺套( 1 j ，( m ，) z ) 以t 来表示损伤扩散的温度，以n 表示沿同一方向上的自旋总数，点阵大小为 n x a t 内蘩古师范大学硕士学位论文 图2 吨( b ) 由蜂窝结构巾六边形的巾心格点自旋构成j e 三角形格子 三丝三鱼皇! 圭! ! 堕塑! 苎堡至箜塑塑芏墼堕壅 图2 _ 3 通过加入三角形而由六边形产生3 一1 2 格子 ( a ) c o )( c ) 霉i 霉 ( d )( e ) 图2 4 ( a ) 拓扑六边形；( b ) 4 6 - 7 格子；( c ) 4 8 格子：( d ) 4 - 1 0 格子：( e ) 随机产生的 格子 1 2 内蒙古师绝大学硕士学位论文 第三章二维正三角格子i s i n g 模型上损伤扩散问题的研究 伊辛模型( 1 s i n g m o d e l ) 是铁磁体的一种最简单的理论模型。设有 7 个自旋， 处于晶格格点的位置上，每个自旋只能取向上或向下两个态，并且只考虑最近邻 自旋的相互作用，这样的自旋系统称为伊辛模型嗍伊辛模型是i s 吣在1 9 2 5 年 提出来的，它在统计物理与凝聚态物理中有着广泛应用嗍p 7 】近年来，l s i n g 模 型被广泛应用在复杂网络的研究上，同时在对于相变的研究中也显示出了它的重 要性1 3 删在本文中，在正三角形上应用i s i n g 模型，在每个项点放置一个自旋， 自旋可以向上或向下( 最= 1 ) 很显然，在仅考虑近邻自旋的相互作用时，每 一个点就会有六个最近邻的自旋对其进行影响如果将有两点间的相互作用用一 条连线来表示，那么，每个点将具有6 条连线。定义每一条连线成为一个度，那 么每个点的度就为6 ( 一) 三角格子小世界网络( s m a l lw o r l dn e t w o r k ) i s i n g 模型上损伤 扩散问题的研究 1 模型 复杂网络被认为是用来研究人类社会及自然界中各种复杂体系的结构功能 的最为有效的工具针对复杂网络的研究，国内国外都在如火如茶的展开如拓 扑结构的复杂网络模型上对于社会交流以及科技与生物网络的研究 4 0 1 4 1 l s c a l e - f r o en e t w o r k s 疾病的传播旧，s m a l lw o r l dn e t w o r k 模型上文字的研究m ， 信息的传递以及相变问题的研究“7 ja x e l r o d 模型上社会交流的相变问题1 4 s 1 在 复杂网络的诸多统计特征巾最重要的是小世界效应和无标度特性。 如前所述，大量的真实网络，几乎都是小世界网络，所以，对二维小世界网 络系统中损伤扩散的研究更具有接近现实的意义 本文中小世界网络的构造规则如下：在三角格子l s i n g 模型的基础上，以小世 界几率西令点阵中一部分的格点受到一个额外的非近邻的格点的影响，即占据整 二维三角点阵上l s h t s 和p o t s 模型的损伤扩敢研究 个格点胁的点将具有7 条连线，称其度为7 ，其余的仍为6 ，并且只有这两种度 的情况这就是在规则网络中加入一些随机因素而构成的小世界网络模型( 如图 3 - 1 ) 仅利用g l a i i b e 励力学研究二维正方格子上s w n i 模型的损伤扩散已经有人做 过t 4 4 1 ，碍到扩散临界温度随小世界几率西的增加面增加。同时指出在小世界几 率p a o 为格点i 和非近邻格点_ ，之间的铁磁作用常数，考虑到距离的远近对相互作用的 影响，定义石= 厶对公式( 3 1 ) 的解释为：著自旋点j 只存在最近郐的相 互作用时，则计算中只考虑第一部分；若，还存在非近邻的影响，则f 点的哈密 顿量由公式( 3 - 1 ) 计算得出。南为格点自旋。计算时，一次只随机的选取一个 自旋，并以几率p 随机判断其满足g i a u b e r 动力学还是满足k a w a s a k i 动力学， 当所产生的随机数小于p ，则g l a u b e r 动力学起主要作用，否则k a w a s a k i 动力学 起作用。然后确定该点是否存在小世界效应，即该点的度是否为7 ，继而进行计 算。确定最终是否翻转然后再重新选取另外格点自旋。所有格点全部被翻转或 交换一次，称为一个蒙特卡罗步( m c s ) 计算时对5 0 0 ，0 0 0 个m c s 进行平均。 图3 2 为p = 1 o ( 即只有g l a u b e r i 0 j 力学作用) 时的损伤扩散情况，可以看出， l 内蒙古师苑大学确士学位论文 损伤扩散达到平衡时，模型中已经有5 0 的格点受到感染，即d = 0 5 取损伤 扩散到d ，2 时所需的温度为临界温度乃，在无小世界情况时( b 盼，= o ) ，损伤扩散 的临界温度乃在3 ，6 3 7 之间( 此时损伤d = 0 2 5 ) ，这与文献n 9 中所得到的 结论一致。随着小世界几率的增大损伤扩散的临界温度也在不断的升高，以o ) t d ( 0 , 1 ) z 和3 5 ) z _ ( o 5 ) b c 见 当点，度为7 时，过点，的三连接的数量为2 l ，过，的三角形数量有六种情况： a 三角形的数量为6 这是格点j 的非近邻点不在其次近邻及次次近邻中 如图3 - 8 ，即格点j 的非近邻点不在7 1 8 的点中，且格点f 的最近邻的点互不 成为非近邻。 b ，三角形的数量为7 ，此时又分为两种情况： ( 1 ) 格点j 的非近邻点是其次次近邻中的一点如图3 - 8 ，格点j 的非近 邻属于7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 7 点中的一个，且格点j 的最近邻的点互不成为非 近邻 、 ( 2 ) 格点j 的非近邻点不在其次近邻及次次近邻中，但是格点j 的最近邻 的点中有一对点互为非近邻 c ，三角形的数量为8 ，此时分为三种情况： ( 1 ) 格点珀q 非近邻点是其次近邻中的一点，如图争8 ，格点f 的非近邻属 于8 。l o ，1 2 ，“，1 6 ，1 8 点中的一个，且格点j 的最近邻的点互不成为非近邻 ( 2 ) 格点j 的非近邻点是其次次近邻中的一点，同时格点，的最近邻的点 中有对点互为非近邻 ( 3 ) 格点j 的菲近邻点不在其次近邻及次次近邻中，同时格点l 的最近邻 的点中有= 对点互为非近邻 d ，三角形的数量为9 ，此时分为三种情况： ( 1 ) 格点，的非近邻点是其次近邻中的一点，同时格点j 的最近邻的点中 有一对点互为非近邻 ( 2 ) 格点j 的非近郐点是其次次近邻中的一点，同时格点j 的最近邻的点中 有二对点互为非近邻。 ( 3 ) 格点，的非近邻点不在其次近邻及次次近邻中，同时，的最近邻的点 中有三对点互为非远邻。 e 三角形的数量为l o ，此时分为两种情况： ( 1 ) 格点j 的非近邻点是其次近邻中的一点，同时格点f 的最近邻的点中 有二对点互为非近邻。 ( 2 ) 格点j 的菲近邻点是其次次近邻中的一点，同时格点j 的最近邻的点 二维三角点阵上i s l n g 和p o t t s 模型的损伤扩散研究 中有三对点互为非近邻 f ，三角形的数量为l l ，仅存一种情况，即格点f 的非近邻点是其次近邻中 的一点，同时格点f 的最近邻的点中有三对点互为非近邻 分别以相应的口以岛正岛表示具有这六种情况的格点的数量，则口+ b4 - c + d + 口+ 厂- 阿其中按统计概率有4 b c d p 二 ， 则根据。定义有 g 。寺善岛 。i 6 a + 7 b + 8 c + 9 d + 墅! 堡：墼! ! 生：! 丝! ! 坚1 “i 1 2 1 ( 。( 为微小量) 。 6 ( n - n ) + b + 2 c + 3 d ，+ 6 n + b + 2 c + 3 d + 4 e + s f 一、。 一三+ ( 旦一三) 旦+ b + 2 c + 3 d + b + 2 c + 3 d + 4 e + s f 1 52 11 5n 1 5 n 2 i n - ；一砉只+ 当p s = o 时，口= b = c = d = p = f = 0 上憎= c = d = 0 ，c ：= 兰锄= 1 o 时c 2 = j 2 4 + o ( 6 9 2 0 2 8 5 7 + o ( 0 ) 模拟计算得到o = 0 2 8 8 误差为 0 0 0 2 3 所以，二维三角格子小世界网络模型中簇系c 2 2 詈一云见+ “毋可见 。与小世界几率“成正比的关系，但比例系数为负，即。随着函的增大而减小 按照普遍的理解。网络中连线越多，凸越大，则应该聚集程度越高但是在 本文所定义的这种小世界模型中，o 随着函的增大而减小，可见目前文献中现有 的簇系数g 的定义已经不能正确反映网络的聚集程度。这说明。的定义有问题， 在某些情况下不能反映网络的集聚性。例如当系统没有三角形时c 2 = o ，显然失 去作用文中计算时融增加三角形没有交化，而度增加了，所以。下降。有学 者已经证明，在现实网络中，簇系数不变或随格点度作对数衰减 4 9 1 。我们希望 在以后的工作中，能够定义出适应范围更广的簇系数。 ( 二) 三角格子d i l u t e d i s i n g 模型上的损伤扩散 1 模型 如果将之前所定义l ：i j i s i n g 模型上的一部分键断裂，即将 s i n g 模型“稀释”t 就 i s 内蒙古师箍大学硕士学位论文 褥到了d i l u t e d - i s i n g 模型。这种被“稀释”的i s i n g 模型经常被用于描述不同材料 的磁性它对于理解无序的铁磁体的行为非常重要岱5 ”。 郭子政教授将损伤扩散技术应用予3 - 1 2 格子的d i l u t e d - i s i n g 模型上l 翘 得到结论在g l a i i b e r 动力学作用下。损伤扩散与模型的稀释程度有很大关系。当 断键率大于某一定值时，损伤扩散的最大值将低于5 0 ，并且随着断键率的增 加损伤扩散的最大值也将逐渐降低，当断键率大于2 0 的时候，损伤几乎冻 结，即 o 。而为格点自旋。对与 格点f 有连线的自旋求和。 在此模型中，仅利用了g i a u b e r 动力学印= 1 o ) ，得到图3 - 1 0 所示的结果。 从图中可以看到，当x 0 6 时，即点阵中有超过6 0 的键没有断裂时，损伤能 够达到5 0 的程度，即d = o 5 。而当存在的键仅为x = 0 4 的时候，损伤d o 7 5 时，可以看出，相变图像中有兰9 = ”时的临界温度殆小于p = 0 2 时的临界温度7 “这与酋人们对于动力学对损伤 扩散的影响的研究结栗不符另外对于文中定义的模型，簇系数随着小世弄凡率 的增大而减小而且其变化关系是线性的对这结果给出了解析解释，并进 一步指出文献i | l 现有的簇系数g 的定义在某些情况下不麓正确反映网络的聚集 程度为能正确反映网络的聚集程度。应该寻找或定义更合适的物理量 对于d i l u t e d - i s i n g 模型仅仅利用g l a u b c r 动力学来进行研究讨论了粤i 键 冉鼙r 占弗维失学确士学位论文 几率与损伤扩散的关系，得到在断键几率高于莱一定值时，损伤扩散程度低予 5 0 ，当点阵中的点大部分为孤立点的时饭，损伤扩散被冻结在初始秋杏同时， 随着断键几率的增大，模型盼叛伤扩缴临界湿度睫之减参。认为孤童患的数量导 致了如此的损伤的扩散文中还计算了以断键几率为函数的簇系数，与传统定义 的簇系数趋子一致 二维三角点阵上b m g 和p 蛐s 模型的损伤扩散研究 醪相 图3 - 1 三角格子上小世界网络模型，因有统计误差的存在。两图岛均为o 4 0 a n 3 v 0 2 0 1 n 0 3 0 & 54 o4 ，55 o置56 0 r 图3 2 只有6 1 a u b e r 动力学作用时( p = 1 0 ) 的口一，图像，其中a 代表小世界几率。珀9 单位为， 内蒙古师范大学硕士学位论文 。j n 3 。 n o o 245 r 图3 3g l a u b e r 动力学作用占2 0 。a ( p = 0 2 ) ，k a w a s a k i 动力学作用占8 0 的栅像， 其中皿代表小世界几率，珀自单位， = ：；i o 0 5 6 “3 v o 。 o 1 札o 2345 r 圈3 - 4g l b e r 动力学与k h a s a l 【i 动力学l ；1 时( p = 0 5 ) 的俨倜像，其中硝表小世 界几率，哟单位为，。 二维三角点阵上k 呜和p 弛模型的损伤扩教研究 6 ” v ” n 1 1 j2 5a o3 j r 图3 - 5g l a u b e r 动力学作用占( p = o - 8 ) 。l 【a w a s s k i 动力学作用占加的嗍像，其 中艨小世界几率，7 的单位为，j 譬 0 4 ， i - p 豳3 _ 6 不同小世界几事条件下的严j b i 像其中尉表小世界几搴，伪单位为_ ，墨7 内蘩吉师施夫 ； 焉士擘位论文 0 2 ,o j j ， 如 图3 呵g l a 曲e r 动力学下s 喇i 模型上的簇系数，崩小世界几搴 霸3 - s 播点j 的近留，次近备，次次j 匠邻点的分布修况 蛰皇鸳ip芑自9。8霉黑石 二维三角点阵上l 。i 雌和p 柏模型的损伤扩教研究 图3 - 9x = o 7 的d i l u t e 模型，有统计误差的存在 o，2350 r 图3 一i 0g l a u b e r 动力学作用下，d i l u t e 模型上的损伤扩散，其中j 代表自旋问存在连线 的几率，的单位为，1 点阵大小为3 0 x 3 0 图3 - l l6 1 a u b e r 动力学作用下，d i l u t e 模型上以格点自旋问所存在的连线比率j 为函数 的簇系数，点阵大小为3 0 x 3 0 ，t，善tj工-8 内蒙古师范丈学硕士学位论文 第四章三角格子p o t t s 模型上的损伤扩散 ( 一) 模型 相对于i s i n g 模型的只具有向上或向下两种自旋状态来说，p o r t s 模型就要比 它丰富的多，它可以有更多形式的存在p o r t s 模型在近些年同样很受到重视， 究其原因，这种模型因为组成内容丰富。使得其与格点统计学上许多重要问题相 关联。在临界问题的研究中，p o t l s 模型比i s i n g 模型在临界点具有更多的表现形 式，同时对于不同方法的应用，p o 毽s 模型也可以称为重要的”试验基地”。 从历史的角度来说p o r t s 模型源f l i s i n g 模型并扩展到两阶以上四阶模型由 a s k l n 和t c l l e r 首次研究【5 3 1 。但普适q 阶是由d o m b 提出，并在3 0 年后由他的学生 p o r t s 进步研列卅，最终得出由他命名的p o t t s 模型。这个模型在两年后又由 k i h a r a 独立傲了研究嗍。现在，g 阶p o r t s 模型的研究已经相当广泛和深入比较 重要的研究成果包括二维目阶铁磁p o t t s 模型在口之5 时所表现的一级铁磁一顺磁 相变，和在口s4 时所展现的清晰的二级相变嗍仅利用g l a u b c r 动力学时， b i b i a n o 等人对二维正四方型格子q 阶p o t t s 模型进行了损伤扩散问题的研究。利 用损伤扩散的临界温度与居里温度之间的比较，得到发生相变改变的临界阶数。 在所限定的系统中，模拟得到的相变秩序改变的临界阶数为吼= 7 ，即当驴吼时， 发生一级相变，当q 吼时，发生二级相交。这与在热力学极限下确切的q c - - - - 4 形成对比。本部分考虑图形拓扑规则，仅利用g l a u b c r 动力学，研究二维三角格 子g 阶p o t t s 模型上的损伤扩散，并与前人所得结论进行对比。 对于i s i n g 模型来说，其自旋不是平行就是反平行。这就将其结构限制在了 平面内。而p o t t s 模型，定义了口阶，就相当于其自旋可以有多个方向。向立体 空间延伸如图4 - 1 所示仍用j 。来表示自旋。则对于口阶p o t t s 模型，其自旋 j 。= o ，l ，2 。，0 - 1 在仅考虑最近邻相互作用条件下，就可以进行损伤扩 散的计算了 二维三角点阵上i s l n g 和p o u s 模型的损伤扩散研究 ( 二) 理论计算及结果分析 计算建立在自旋仅存在近邻作用的基础上，利用蒙特卡罗规则，采用随机翻 转方式，在大小为厶取值为3 0 的周期性边界条件下的二维三角格子p o t t s 模型上实行蒙特卡罗计算。模拟不同的初始状态来保证最终所得到的数据的正确 性计算时对5 0 0 ，0 0 0 个m c s 进行平均。利用公式( 4 1 ) 计算p o t t s 模型的哈 密顿量【5 8 】。 h = 一厶j ( 吼，仃) ( 4 一1 ) f ， 其中( i j 表示对所有最近邻格点间相互作用的求和其中厶为格点f 和近邻 格点j 之间的铁磁作用常数，y , 0 。联q 仃，) 为k r o n e c k e r 函数，其中q = 0 ，l ， 2 ， ，( 矿1 ) 在考虑周期性边界条件且仅有g l a u b c r 动力学作用下，分别计算了口_ 3 到q = 8 条件下的损伤扩散情况得到图4 - 2 的结论。从图中可得，在任何q 的情况下， 损伤都会扩散，与i s i n g 模型的不同在于，l s 吣模型上的损伤扩散其扩散程度上限 均为d = o 5 ，但是p o t t s 模型中，在g - 3 时，其损伤扩散到d 町6 6 7 时达到平衡， 随