（机械制造及其自动化专业论文）极坐标数控机床的研究设计.pdf

_ ， - ， r e s e a r c ha n dd e s i g no fn cp o l a rm a c h i n e b y l ig a n g b e ( h e n a ni n s t i t u t eo f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r i n g l n m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g i nt h e g r a d u a t es c h 0 0 1 o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rw a n gh o n g m a y ，2 0 1 1 - ， ， y z t r 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者虢鸯心吼加、1 年否月_ 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 日期却7 悻 日期：易年 日日 1l厂、 月月 o分 k 、l 硕十学伊论文 目录 摘要i v a b s t r a c t v 插图索引v i i 附表索引i x 第l 章绪论1 1 1 课题的研究意义1 1 2 国内外现状2 1 3 直线插补和阿基米德螺线插补的对比分析3 1 3 1 阿基米德螺线逼近曲线算法的思想4 1 3 2 直线段逼近和阿基米德螺线分段逼近1 卜圆曲线的误著分析4 1 3 3 阿基米德螺线逼近非圆二次曲线算法小结9 1 4 论文主要研究内容1 0 1 5 本章小结1 0 第2 章极坐标数控机床总体设计1 l 2 1 机床方案设计l l 2 2 机床的主要部件l l 2 3 机床动力参数的选择与计算1 4 2 3 1 铣削用量的选择1 4 2 3 2 铣削力的计算1 5 2 4 机床的功能部件尺寸参数1 6 2 5 机床的控制系统1 8 2 6 本章小结1 8 第3 章机床主要结构设计1 9 3 1 整机结构及内部关系l9 3 2 平旋盘轴部什的设计2 0 3 2 1 对平旋盘轴部件性能要求2 0 3 2 2 平旋盘轴的设计2 2 3 2 3 平旋盘轴轴承选型2 3 3 2 4 平旋盘轴头部圆支架的设计2 4 3 3u 轴进给机构的设计2 4 3 3 1 差动轮系的运动合成原理2 4 3 3 2 著动轮系的构件变型设计2 5 一 。 极一缝标数控机床的研究设汁 3 3 3 差动轮系的作用2 7 3 4 平旋盘及其部件的设计2 7 3 4 1 对平旋盘及其部件的性能要求2 7 3 4 2 平旋盘底座的设计2 8 3 4 3 弧形伞齿轮的选择2 9 3 4 4 平旋盘整体结构图3 0 3 5 供电供水系统设计3 1 3 6 本章小结3 2 第4 章伺服进给系统的设计3 3 4 1 进给伺服系统的组成3 3 4 1 1 给伺服系统的特点3 3 4 1 2 伺服进给系统的组成3 3 4 1 3 数控机床的位置调节系统3 3 4 2 机械进给系统3 4 4 2 1 进给系统的设计方案3 4 4 2 2 进给伺服系统的设计要求3 4 4 2 3u 轴进给滚珠丝杠的选择与计算3 5 4 3 伺服电机的选用3 8 4 3 1u 轴伺服电机的选择一3 9 4 3 2c 轴伺服电机的选 j 4 0 4 4 机床极坐标运动的传动图及运动合成算法4 4 4 4 1 极坐标运动传动图4 4 4 4 2 运动合成算法4 4 4 5 本章小结4 5 第5 章极坐标数控机床的有限元分析4 6 5 1 有限元分析技术4 6 5 1 1 有限元技术4 6 5 1 2a n s y s 分析软件4 6 5 1 3a n s y s 功能模块简介4 7 5 2 极坐标数控机床结构的有限元分析方法4 9 5 3 平旋盘轴的动静态特性有限元分析5 0 5 3 1 构建儿何模型5 0 5 3 2 建立平旋盘轴的三维模型5 l 5 3 3 平旋盘轴有限元模型的建立5 2 5 3 4 静力分析5 4 。 硕十学何论文 i i 5 3 5 平旋盘轴模态分析5 4 5 4 平旋盘底座的动静态特性有限元分析5 7 5 4 1 构建平旋盘底座的三维实体模型5 7 5 4 2 构建平旋盘底座的有限元模型5 7 5 4 3 平旋盘底座的静力学分析5 8 5 4 4 平旋盘底座的模态分析5 9 5 4 4 平旋盘底座的谐响应分析一6 4 5 5 本章小结6 5 结论6 6 参考文献6 8 致谢7l 附录a 攻读学位期间所发表的学术论文目录7 2 附录b 攻读学位期间所申请的专利一览表7 3 i i i 极一标数控机床的研究设计 摘要 目前，数控机床都是以直角坐标方式工作，此技术的基础是通过丝杠螺母机构 把伺服电机产生的旋转运动转化成滑板机构的直线运动。当机床加工圆周表面、 倾斜表面时，需要借助计算机进行不断的差补运算。通过x 、y 方向的伺服电机 各自在不同时间段接受指令，驱动机床的执行机构在微观上以走台阶面的形式完 成对圆弧、斜线及各种曲线加工。用该方法加工的圆弧、非圆二次曲线的表面只 是近似值，而非理论值。在高频率启停、移动的情况下，如果机床的体积较小， 其x 、y 方向执行机构的移动惯量尚且不大，若机床机床体积较大，那么其执行 机构的移动惯量便成为不可忽视的问题。 针对直角坐标机床加工二次曲线存在的问题，本课题研究了一种按极坐标轨 迹运行的极坐标数控机床。所谓极坐标式数控机床是指在极坐标下数控机床本身 具有1 个能够实现极角改变的旋转轴和1 个能够实现极径改变的径向移动轴，两 轴在位置控制模式下可以实现角位移与径向位移的联动。我们把这种机床称为 “极坐标式数控机床”。该系列机床不但具有传统数控机床的优点，而且更加适 合在极坐标参数下加工大型回转类零件沿环形分布要素，以及复杂曲线、曲面。 本文主要从以下几个方面研究设计了该新型极坐标数控机床： ( 1 ) 按照机床的一般设计规律，设计了机床的总体方案，提出了核心部件的 设计方案。同时计算了机床所需要的最大切削功率，确定了机床的主要尺寸参数、 技术参数和机床的控制系统方案； ( 2 ) 围绕机床的设计目标和传动要求，设计出了主箱体结构及其内部的零部 件，平旋盘结构及其内部的零部件； ( 3 ) 对于既作回转运动又作径向直线运动的主轴，提出了其供电、供水系统 的技术措施，并设计出了其详细结构图； ( 4 ) 遵循数控机床传动系统的要求，设计出了机床的回转进给和径向进给传 动链，并且研究了两者之间的运动合成算法； ( 5 ) 运用a n s y s 有限元分析软件，分析了机床主要结构件平旋盘轴和平旋盘 的静态和动态特性。 关键词：极坐标；数控机床；研究设计；有限元分析 i v i 硕十学位论文 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，n cm a c h i n et o o la l lw o r k sb yt h ew a yo fr e c t a n g u l a rc o o r d i n a t e s t h e f o u n d a t i o no ft h i st e c h n o l o g yi st h a tt h r o u g h i n gs c r e wn u ti n s t i t u t i o n st u r nm o t o r r o t a t i o nm o v e m e n t p r o d u c e db y s e r v om o t o ri n t o s t r a i g h t l i n e m o v e m e n to f s k a t e b o a r d i n gi n s t i t u t i o n s n cm a c h i n et o o ln e e d sc o n t i n u o u s l ys e n tf i l l i n go p e r a t i o n b yu s i n gc o m p u t e r ，w h e nm a c h i n i n gt h es u r f a c eo fc i r c l ea n dt i l t a r c s ，s l a s ha n d v a r i o u sc u r v ea r ep r o c e s s e di nt h ef o r mo fp l a t f o r mt e r r a c em i c r o s c o p i c a l l yw i t ht h e m a c h i n ee x e c u t i n ga g e n c i e sd r i v e da l o n eb yt h es e r v om o t o ri nt h ed i r e c t i o no fxa n d y ，w h i c ha c c e p tt h e i ro r d e r sa td i f f e r e n tt i m e s u n d e rt h i sm e t h o d ，t h es u r f a c e p r o c e s s e do fa r ca n dn o n c i r c u l a rq u a d r a t i cc u r v e sa r ej u s ta p p r o x i m a t e ，r a t h e rt h a nt h e t h e o r e t i c a lv a l u e i nc a s eo fh i g hf r e q u e n c ys t a r t - s t o pa n dm o b i l e ，i ft h ev o l u m eo f m a c h i n et o o li ss m a l l e r ，t h em o v i n gi n e r t i ao fa c t u a t o r si nt h ed i r e c t i o no fxa n dyi s n o tg r e a t o nt h ec o n t r a r y ，t h em o b i l ei n e r t i ab e c a m eu n a v o i d a b l ei s s u e a c c o r d i n gt ot h ep r o b l e m se x i s t e di nt h ep r o c e s s i n go fq u a d r a t i cc u r v e s ，w e r e s e a r c h e do n et y p eo fp o l a rn cm a c h i n et o o l ，w h i c hc o u l do p e r a t eo nt h eb a s i so ft h e p o l a rt r a j e c t o r y t h es o - c a l l e dp o l a rn cm a c h i n et o o l si sp o i n t e dt h a tt h en cm a c h i n e t o o l si t s e l fh a so n e r o t a t i n ga x i sw h i c hc a nr e a l i z et h ec h a n g eo fp o l a ra n g l ea n do n e r a d i a lm o b i l ea x i sw h i c hc a nr e a l i z et h ec h a n g eo fe x t r e m e l yd i a m e t e ru n d e rp o l a r c o o r d i n a t e s b o t ho ft h ea x e sc o u l da c h i e v el i n k a g eo ft h ed i s p l a c e m e n to fr a d i a la n d a n g l ei nt h em o d eo fp o s i t i o nc o n t r 0 1 t h i st y p eo fm a c h i n et o o la r ec a l l e d “p o l a rn c m a c h i n et o o l t h i ss e r i e so fm a c h i n et o o l sn o to n l yh a v et h ea d v a n t a g e so f t r a d i t i o n a ln cm a c h i n e ，b u ta l s oa r em o r es u i t a b l ef o rp r o c e s s i n gt h ee l e m e n t s d i s t r i b u t e da l o n gt h ec i r c u l a ro fl a r g er o t a r yp a r t s ，a sw e l la sc o m p l e xc u r v ea n d s u r f a c e i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l ys t u d ya n dd e s i g nt h en e wk i n d so fp o l a rn cm a c h i n e t o o l sf r o mt h es e v e r a la s p e c t sf o l l o w e d ( 1 ) a c c o r d i n gt ot h et r a d i t i o n a ld e s i g nr u l e s ，w ed e s i g nt h eo v e r a l lp r o j e c to ft h e m a c h i n et o o la n dp u t sf o r w a r dt h ed e s i g ns c h e m eo fc o r ep a r t s a l s oc a l c u l a t e dt h e b i g g e s tc u t t i n gp o w e r n e e d e db yt h em a c h i n et o o l s ，c o n f i r m e dt h ep a r a m e t e r so fm a i n s i z ea n dt e c h n i c a lo ft h em a c h i n et o o l sa n dt h es c h e m eo fc o n t r o ls y s t e m ( 2 ) a r o u n dt h ed e s i g n e dg o a la n dt r a n s m i t t e dr e q u i r e m e n t so ft h em a c h i n et o o l s ， w ed e s i g n e do u tt h es t r u c t u r ea n di n t e r n a lc o m p o n e n t so fm a i nb o d ya n df l a tr o t a r y d i s h v 极一骖标数控机床的研究设计 ( 3 ) a b o u tt h es p i n d l et h a tc o u l da c h i e v er o t a r ym o t i o na n ds t r a i g h t - l i n em o v e m e n t a l o n gr a d i a l ，w es u b m i tt h et e c h n i c a lm e a s u r e so fs y s t e mo fs u p p l i e dp o w e r a n dw a t e r a n dd e s i g nt h ed e t a i l d ec h a r t s ( 4 ) f o l l o w i n gt h er e q u i r e m e n t so fd r i v e ns y s t e mo fn c m a c h i n e ，w ed i s g no u tt h e f e e d e dt r a n s m i s s i o nc h a i no fr o t a r ya n dr a d i a l ，a l s os t u d i e dt h em o v e m e n ts y n t h e t i c a l g o r i t h mb e t w e e nt h e m ( 5 ) u s i n gf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r eo fa n s y s ，w ea n a l y z e dt h es t a t i ca n d d y n a m i cc h a r a c t e ro fs h a f ta n d b a s eo ff l a tr o t a r yd i s h k e yw o r d s ：p o l a r ；c n cm a c h i n et o o l ；r e s e a r c h a n dd e s i g n ；f i n i t ee l e m e n t a na l y s i s v i i 硕f j 学何论文 插图索引 图1 1 乍削中心极坐标运动3 图1 2 阿基米德螺线段逼近椭圆5 图1 3 不作坐标变换的逼近示意图6 图1 4 阿基米德螺线逼近双曲线7 图1 5 阿基米德螺线逼近抛物线8 图2 1 机床总体布置图1 1 图2 2 供电、供水系统动态接口1 2 图2 3z 轴进给装置1 3 图2 4 星火床身毛坯13 图2 5 铣削运运及铣削用量1 4 图3 1 整机结构图1 9 图3 2 平旋盘轴刚度分析图一2 l 图3 3 平旋衙轴三维图2 3 图3 4 平旋盘轴头部圆支架剖视图2 4 图3 6 差动轮系结构图一2 6 图3 7u 轴进给运动传动图2 7 图3 8 平旋盘底座三维图2 9 图3 9 齿轮齿条传动2 9 图3 1 0 平旋盘部什整体结构图3 0 图3 1 l 动态供水供电接口图3 l 图4 1 数控机床位置调节系统3 4 图4 2 进给传动组成方案3 4 图4 3u 向进给丝杠的受力情况简图3 6 图4 4c 向进给传动链一4 0 图4 5 转动惯量计算示意图4 l 图4 6 极坐标运动合成图4 4 图5 1a n s y s 有限元分析流程图5 0 图5 2 平旋盘轴部件结构简图51 图5 3 平旋盘轴三维图5 2 图5 4 平旋盘轴支撑弹簧一阻尼模型5 2 图5 5s o l i d 9 2 单元示意图5 3 图5 6c o m b i n l 4 几何形状5 3 - 、 极啦标数控机床的研究设计 图5 7 平旋盘轴有限元模型5 3 图5 8 平旋盘轴结构总变形t r a n s l a t i o nu s u m 等值线图5 4 图5 9 平旋盘轴第6 阶振型5 5 图5 1 0 平旋盘轴第8 阶振型5 5 图5 1 1 平旋盘轴第9 阶振型5 6 图5 1 2 平旋盘轴第l o 阶振型5 6 图5 1 3 平旋盘底座的三维实体模型5 7 图5 1 4 平旋盘底座的有限元模型5 8 图5 1 5 平旋盘底座结构总变形t r a n s l a t i o nu s u m 等值线图5 9 图5 1 6 平旋盘底座第1 阶振型6 0 图5 1 7 平旋盘底座第2 阶振型6 0 图5 1 8 平旋盘底座第3 阶振型6 0 图5 1 9 平旋盘底座第4 阶振型6 l 图5 2 0 平旋盘底座第5 阶振型6 1 图5 2 1 平旋盘底座第6 阶振型6 l 图5 2 2 平旋盘底座第7 阶振型6 2 图5 2 3 平旋盘底座第8 阶振型6 2 图5 2 4 平旋盘底座第9 阶振型6 2 图5 2 5 平旋盘底座第1 0 阶振型6 3 图5 2 6 底座谐响应分析结果6 5 v i i i 硕卜学何论文 曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼笪曼! 曼曼曼皇曼曼! 曼曼曼皇曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼鼍 i 一一一一i i ；i 岂曼曼曼曼曼曼葛 附表索引 表2 1 硬质合金铣刀铣削力计算公式1 6 表2 2 机床技术参数表l7 表2 3 机床尺寸参数表1 8 表4 1 动载荷系数厶3 7 表4 2 硬度影响系数厶、厶3 7 表4 3 各种控制类型电机的比较3 8 表4 4s i e m e n s 伺服电机型号及参数3 9 表5 1 平旋盘轴前十阶围有频率及振型，5 5 表5 2 平旋盘底庳前十阶同有频率及振型5 9 l x 一 硕卜学何论文 1 , 1 课题的研究意义 第1 章绪论 数控机床的技术基础是伺服电机依据所接受的脉冲电位产生具有精确角位移 量的旋转运动，通过丝杠螺母机构将这个旋转运动转化成直线运动，带动导轨滑 板机构作直线运动，从而使得安装在其上的执行机构完成相应的直线运动。伺服 电机依据所接受的脉冲电位的数量、频率来自于计算机发出的指令。将两组由伺 服电机、丝杠螺母机构、导轨滑板组成的机构成j 下交安装后，在计算机的控制下， 机床的执行机构就可以在直角坐标系方式下实现精确移动。当机床加工圆周表面、 倾斜表面时，需要借助计算机进行不断的差补运算。通过x 、y 方向的伺服电机 各自在不同时间段接受指令，驱动机床的执行机构在微观上以走台阶面的形式完 成对圆弧、斜线及各种曲线加工。这种技术已经成熟，也比较简洁，因此目前所 有的数控机床都是以直角坐标方式工作。 由于机床在x 、y 方向可以由计算机控制做微小位移，从而使得数控机床在 插补运算的基础上可以加工各种曲线、曲面。但是，这样的加工方法存在两个方 面的问题： 1 所加工的圆弧表面从理论上讲是近似值，而非理论值。 2 对于加工某些曲线如：阿基米德螺线、渐开线、摆线等更适合于用极坐标 参数描述的曲线来讲，机床用x 、y 方向位移做插补，其运算量非常大，x 、y 方 向的伺服电机每接受一次指令，滑板执行机构便移动一次。从技术上讲每次移动 都包括启动、加速、匀速直线运动、减速、停止几个阶段。由于期望所加工的圆 弧尽可能的符合理论值，因此x 、y 方向的伺服电机每次工作的时间都非常短。 如果机床的体积比较小，x 、y 方向的高频率启停、移动其惯量尚且不太大，但大 型机床移动部件的惯量比较大，高频率启停、移动便成为不可忽视的问题。特别 是当移动部件的体积、惯量比较大时，短时间内频繁的启动停止对机械、电气装 置的要求便非常高。如果机床能以极坐标的方式进行加工，则插补运算的量将非 常小，机床移动部件会减少大量的短时间内频繁启动、停止。 对于像风力发电设备大型回转类零件、大型螺旋面类零件等，这些体积大、 加工难度大的工件，目前国内外加工企业均采用大型加工中心来制造。这种大型 设备投资大、运行费用高、由于设备体积大，运行惯量就很大，其生产效并不高【l 。j 。 应当注意到，风力发电的大型零部件，如轮毂、塔架等，都是中空的环形零 件。大型加工中心都是按照直角坐标工作，工作台的移动距离必须大于被加工面 的最大尺寸，因此加工中心本身的尺寸就要更大，相对于需要加工的环形表面来 极一标数托机床的研究设汁 讲机床的冗余体积太大，极不经济【3 1 。 对于一些大型壳体类零件，如风力发电机轮毂、大型电机壳体、大型风机壳体 等，其上的主要加工部位为环形和沿圆周分布的要素。如果尽可能的按环形加工 面的特征设计机床，采用以极坐标方式工作的数控机床，那么相对于大型加工中 心来讲，就会减少机床的冗余移动量，因此会提高加工效率、提高数控系统的运 行效率，机床的体积也会相应的减小，机床的制造成本也会大大降低。 针对以上复杂零件的加工，本项目研究了极坐标系列数控机床。由于采用了 “极坐标数控”这一新的设计思想，使得该系列机床不但具有传统数控机床的优 点，而且更加适合按极坐标参数加工大型回转类零件沿环形分布要素，以及复杂 曲线、曲面。 在“极坐标数控”设计方案下，旋转运动轴( c 轴) 的角位移为0 角，径向 运动轴( u 轴) 的直线位移为p ，由此建立极坐标运动系两轴联动，突破了以往 加工空间曲线曲面的直线进给联动模式。在极坐标数控机床上加工某些适合采用 极坐标参数描述的曲线如：阿基米德螺线、渐开线，螺旋线等，其控制方法简单， 加工精度相对比较高；当被加工零件的圆心与回转轴同心时，理论上就比直角坐 标机床有更高的加工精度；加工二次曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等形式的零 件时，具有工件定位方便，加工精度优于直角坐标数控机床等特点。 1 2 国内外现状 1 南京工大数控科技有限公司，研发的回转工作台式极坐标数控多功能高速 铣齿机床，已申请专利。该机床的结构和原理如下：整机包括床身、立柱、x y 方向的数控水平进给拖板、z 方向的数控垂直进给拖板、数控回转工作台、高速铣 削主轴箱、主轴变频电机，数控回转工作台固定在数控水平进给拖板上，铣削主 轴箱安装在垂直进给拖板上，回转工作台中心构成极坐标数控铣削机床加工工件 的极点，回转工作台转角构成极坐标数控铣削机床加工工件的极角，水平进给拖 板移动坐标构成极坐标数控铣削机床加工工件的极径，实现极坐标曲面插补数控 加工。该机床实质上是在三坐标数控铣床的基础上增加了一个数控回转工作台， 从而实现极坐标方式的数控加工。 2 某车削加工中心 如图1 1 所示，该车削中心除能车削回转体工件外，还能够加工图中所示的工 件。加工回转体工件时，工件的旋转是主运动，刀具的横向或纵向移动是进给运 动。而在加工工件的端面轮廓槽或刻字时，主轴轴及工件转换成分度旋转运动， 装在动力刀架台上的刀具的旋转运动是主运动，刀具可以进行横向或纵向的进给 运动。当使用极坐标功能时，是通过主轴的旋转运动和刀具的进给运动来完成加 工轮廓槽或刻字等工作【4 j 。 2 硕十伊论文 工件 运动方 件零点 ：ca 向 一二- 。 一c 图1 1 车削中心极坐标运动 分析以上情况可知，目前有资料介绍的极坐标数控机床，都是采用使工件回 转作为极坐标的分度，刀具轴线仍旧采用直角坐标的方式工作，而刀具轴线本身 并不具备极坐标运动功能，该方法可以实现极坐标方式的加工，但是对于大型零 件来讲，使其频繁旋转、停止，对机械和电气部件都有很高的要求。 目前对极坐标数控机床的研究大多是研发软件，而对于刀具轴线以极坐标方 式移动的数控机床所进行的研究还为之较少。 未搜索到国外相关资料报道。 1 3 直线插补和阿基米德螺线插补的对比分析 本节内容主要讨论，直线插补和阿基米德螺线插补的精度比较。从而得知在 加工复杂曲线时，哪种算法能带来更高的加工精度。 极坐标数控机床与直角坐标数控机床的结构差异导致运动坐标系和进给方式 的差异。所谓极坐标式数控机床是指在极坐标下数控机床本身具有1 个能够实现极 角改变的旋转轴和1 个能够实现极径改变的径向移动轴，两轴在位置控制模式下可 以实现角位移与径向位移的联动。该机床的z 轴运动依然是实现直线运动。直角坐 标机床是采用笛卡儿坐标系下三坐标x 、y 、z 的直线进给运动方式，三个伺服轴 联动作用下，位移是各轴最小位移量的矢量和，即空间一微小直线段。极坐标机 床的运动坐标系由一直线径向进给运动坐标轴( u 轴) 和一圆周进给运动坐标轴( c 轴) 组成，两伺服轴联动下位移是平面一段微小非圆圆弧，可以证明是一段微小 阿基米德螺线【5 。6 j 。 极举标数控机床的硼究殴计 1 3 1 阿基米德螺线逼近曲线算法的思想 1 求出二次曲线的极坐标方程，即用极坐标表达二次曲线的方程。 2 过二次曲线上任意微小弧段上的两点，作阿基米德螺线方程。 3 在极坐标方程下，求出任意角度时阿基米德螺线方程和椭圆方程的极径之 差，最大差值即为阿基米德螺线逼近误差。( 由于在一个区间内有无数个点，故 很难求出差值最大的) 4 过二次曲线上的任意微小弧段上的两点，作直线方程；此时直线方程与曲 线有两个交点，通过万变化，可使直线上下移动，当移动后的直线与二次曲线只 有唯一的交点时，那么此直线与二次曲线方程有唯一根蔬，这个值便是过曲线两 端点的直线与该曲线的最大距离。 5 用同样的方法求出，过曲线两短点的阿基米德螺线与直线最大距离反， 1 4 - 2 i 即为阿基米德螺线相对于二次曲线的误差嗔 7 - 9 】。 1 3 2 直线段逼近和阿基米德螺线分段逼近非圆曲线的误差分析 用阿基米德螺线分段和直线段分别对椭圆、双曲线、抛物线的刀位轨迹进行 逼近，给出误差估计。 1 3 2 1 椭圆的阿基米德螺线逼近算法 ( 1 ) 椭圆标准方程： 毒a + 等b = t ，i + 音= l( 1 一1 ) 以x = p c o s o ，y = p s i n 0 代入式( 1 - 1 ) 转换成极坐标方程，将插补区间p o p 。 弧分为1 1 段，节点为p l 、p z p n 1 ，设各节点坐标为p ( ，：，谚) ，此间，极轴0 以常数a 0 等间距递增，整理得椭圆的数值拟合迭代公式： q = 臼+ f ( i = 0 ，1 ，2 ，甩- 1 ) ( 1 2 ) 在任一分段p i p i + l 上，过p j ，p 点作一条阿基米德螺线，则其方程为： r - 趴2 糖徊坦) + ( 1 - 3 ) 该曲线就是用来逼近椭圆的曲线，它可以由r 轴与秒轴的线性插值来实现。 ( 2 ) 误差分析： 首先讨论弧度误差，如图1 2 所示，在等间距法中，误差最大，我们只需分 析p o p i 段，设昂( 吃，o ) ，彳( 吒，q ) 设最大弧长误差为氏。，则阿基米德螺线逼近椭圆的 弧长最大误差为： 4 硕十伊论文 r m 。= 一s i ( 臼) ( 1 4 ) r 。= 一丽r + l - r ( 护一够) + ( 1 _ 5 ) 图1 2 阿基米德螺线段逼近椭圆 再讨论直线度误差，逼近误差通常按法向间距计算，故将点e o ( r o ，o o ) 、眉( _ r i ，q ) 转换至直角坐标点p o f x o ，虬) 、p ：( 五，y ) ，则p o p ：直线方程为： x x 0 一x l x o 。一 y y oh y o 设：a = y 1 y o ，b = x o - x l ，c = y l x o - y o x i ，则有： a x + b y ：c + 6 瓣 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 为与直线p ；e ：线平行且相距为万的等误差直线。当所求直线p o p ：线上方时取 “+ ”号，反之取“一号。联立椭圆方程式( 1 一1 ) 与式( 1 7 ) ： 肛菩= 8 ， 【出+ 砂：c 6 历+ b 2 当方程组满足唯一解条件时，解得万为实际的直线逼近椭圆的误差万，。 过p o ，p i 对式( 1 3 ) 进行坐标变换，与( 1 - 7 ) 式联立： j 厢2 播( a r c t a n h ( 1 - 9 ) i 厶+ 砂：c 万厨 当方程组满足唯一解条件时，解得万，即为为阿基米德螺线与和椭圆曲线相 5 极一辂标数控机床的研究设计 切直线的误差疋。i 龟一巧l 为实际的阿基米德螺线逼近椭圆的直线度误差哦1 o 。1 1 。 设有椭圆：可x 2 + 彳2 = l 设取等间距乡= 百7 944 坐标转换得极坐标方程：旦笋旦+ 尘荨旦= l 解得：同等条件下，阿基米德 螺线算法的直线度逼近误差= 0 0 9 ，直线逼近误差4 = 0 3 1 4 。 1 3 2 2 双曲线的阿基米德螺线逼近算法 ( 1 ) 双曲线标准方程： 善一_ 了x z ：1 ( 1 1 0 ) 6 2 口2 一 如1 3 图所示，如果直接对双曲线进行数值逼近，由于阿基米德螺线的凹凸向 与双曲线相反，导致阿基米德螺线段的逼近误荠远大于盲线段逼近误蒡。 y ji r 少 j 虹沁 么歹南， 厶 名 功 0x 一 图1 3 不作坐标变换的逼近示意图 故而，先对标准双曲线作坐标平移变换： 粤譬一：1 ( 1 - i f ) d 。a 即：将双曲线向下平移至x 坐标轴。然后再对双曲线进行阿基米德螺线逼近， 以减小逼近误差。如图1 4 所示。 6 硕十伊论文 曼曼曼罡鼍曼曼皇曼皇曼i i i i 一一一i i ii