（应用数学专业论文）贝叶斯方法在blackscholes期权定价模型中的应用.pdf

武汉理工人学硕士学位论文 摘要 贝叶斯统计方法的优势在于能够自然的将来自不同方面的信息缜密而又合 理的汇集在一起。在现实的金融市场中，期权价格既依赖波动率又依赖资产价 格，而在经典统计框架下的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中，漂移和波动率参数 都被视为常量，即使是在后来的改进模型中，也仅仅是考虑了波动率或资产价 格这两个随机因素其中之一，所以在本文中首先运用贝叶斯方法对模型及其参 数的统计性质进行了研究，将波动率和资产价格这两个影响期权价格的随机因 素合并在一起，推得了欧式看涨期权的先验和后验密度，同时也分别给出了其 关于资产价格和波动率的条件密度函数。数值评价发现，将资产价格和波动率 作为密度函数的条件都可以降低所预测期权价格的不稳定性，但是资产价格的 作用要比波动率更为明显；和经典统计模型相比，在贝叶斯统计框架下，资产 价格和波动率都被视为随机变量，有其对应的概率分布，这些影响期权价格的 因素联同样本信息，通过贝叶斯定理能够在后验密度中得到完整的反映，损失 和效用函数也在其中得到了统一。使用后验密度进行估计和预测，可以在尽量 减少损失的同时使预期效用得到最大化，从而获得比经典统计模型更好的估计 效果。 由于运用贝叶斯方法推得的后验密度对期权价格具有良好的估计性质，所 以在其推导过程中我们引入了新的参数，波动率相关系数，进一步构建了贝叶 斯框架下b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的预测密度函数。因为历史波动率和隐含 波动率都会传递未来的波动率信息，而在已有的期权价格预测模型中，都是将 两者单独进行考虑，分别用于对波动率和期权价格的预测，并且波动率的随机 性这个核心问题一直都没能得到圆满的解决。在后验密度中引入波动率相关系 数却是对原有方法的一个突破，比较好的解决了上述问题。它能够在兼顾各方 面信息的同时，根据研究对象的不同，通过改变相关系数的取值，来决定选择 信息的侧重点，从而提高预测的准确性；而贝叶斯方法的运用又为将历史信息 和预测信息联合进行考虑提供了理论支持，将两者结合在一起对后验密度进行改 造，并最终推得了既包含历史数据又体现隐含波动率信息的预测密度函数。 关键词：贝叶斯统计，b l a c k s c h o l e s 期权定价，后验密度，隐含波动率，预测 武汉理t 大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a y e s i a ns t a t i s t i c a lm e t h o d sh a v et h ea d v a n t a g eo fb e i n ga b l et on a t u r a l l yo r i e n t t o w a r d sp o o l i n gi nr i g o r o u sw a yi n f o r m a t i o nc o m i n gf r o ms e p a r a t es o u r c e s i nt h e f i n a n c i a lm a r k e t s ，t h eo p t i o np r i c ed e p e n d so nt h ev o l a t i l i t ya n da s s e tp r i c e s w h i l ei n t h ec l a s s i c a lb l a c k s c h o l e sf r a m e w o r kt h ed r i f ta n dd i f f u s i o np a r a m e t e r sa r e r e g a r d e d a sc o n s t a n t s e v e ni nt h el a t e ri m p r o v e dm o d e l ，o n l yo n eo ft h er a n d o mf a c t o r s ， v o l a t i l i t yo ra s s e tp r i c e s ，t o o ki n t oa c c o u n t s oi nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n v e s t i g a t e dt h e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h eb l a c k s c h o l e so p t i o np r i c eu n d e rab a y e s i a na p p r o a c h w ei n c o r p o r a t er a n d o m n e s sb o t hi nt h ep r i c ep r o c e s sa n di nv o l a t i l i t yt od e r i v et h e p r i o ra n dp o s t e r i o rd e n s i t i e so fae u r o p e a nc a l lo p t i o n e x p r e s s i o n sf o rt h ed e n s i t yo f t h eo p t i o np r i c ec o n d i t i o n a lo nt h es a m p l ee s t i m a t eo fv o l a t i l i t ya n do nt h ea s s e tp r i c e r e s p e c t i v e l ya r ea l s od e r i v e d 。n u m e r i c a le v a l u a t i o nf o u n dm a tb o t hc o n d i t i o n i n go n t h ea s s e tp r i c ea n dc o n d i t i o n i n go nt h ev o l a t i l i t yc o u l dr e d u c et h ev a r i a b i l i t yo ft h e o p t i o np r i c e h o w e v e r , t h er o l eo fa s s e tp r i c ei sm o r ei m p o r t a n tt h a nt h ev o l a t i l i t y c o m p a r e dt ot h ec l a s s i cs t a t i s t i c a lm o d e l s ，b a y e s i a ns t a t i s t i c st r e a ta s s e tp r i c ea n d v o l a t i l i t ya sr a n d o mv a r i a b l e sa n da s s i g nt ot h e mp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s t h e s e f a c t o r st h a ta f f e c t i n go p t i o np r i c e sa n ds a m p l ei n f o r m a t i o nt h r o u g hb a y e sr u l ec a nb e f u l lr e f l e c t e di nt h ep o s t e r i o rd e n s i t y t h el o s sa n du t i l i t yf u n c t i o nw e r ea l s ot ob e u n i f i e di nt h ep o s t e r i o rd e n s i t y p o s t e r i o rd e n s i t yf o rt h eu s eo fe s t i m a t ea n d f o r e c a s t i n gc a nb es t r a i g h t f o r w a r d l yc o m b i n e dw i t h al o s sf u n c t i o nt op r o d u c e o p t i m a le s t i m a t e so fo p t i o n sp r i c e s t h u si tc a no b t a i nab e t t e re s t i m a t e de f f e c tt h a n t h ec l a s s i cs t a t i s t i c a lm o d e l s b e c a u s et h ep o s t e r i o rd e n s i t yc a no b t a i no p t i m a le s t i m a t e dp r o p e r t i e so fo p t i o n s p r i c e s ，w ei n t r o d u c e dan e wp a r a m e t e r i ni t sd e r i v a t i o np r o c e s s ，t h ew e i g h ta t t a c h e dt o t h ei m p l i e dv o l a t i l i t ye s t i m a t e ；i nt h ef u r t h e r , w eb u i l tt h eb l a c k s c h o l e so p t i o np r i c e f o r m u l af o rt h ef o r e c a s td e n s i t yf u n c t i o nu n d e rt h eb a y e s i a nf r a m e w o r k i th a sb e e n s u g g e s t e dt h a tb o t hh i s t o r i c a la n di m p l i e dv o l a t i l i t i e sc o n v e yi n f o r m a t i o na b o u tf u t u r e v o l a t i l i t y h o w e v e r , t y p i c a l l yi nt h el i t e r a t u r ei m p l i e da n d r e t u mv o l a t i l i t ys e r i e sa r e f e ds e p a r a t e l yi n t om o d e l st op r o v i d er i v a lf o r e c a s t so fv o l a t i l i t yo ro p t i o n sp r i c e s a l t h o u g ht h e r eh a sb e e n al o to fw o r kd o n ei nm o d i f y i n gt h es p e c i f i c a t i o n o f v o l a t il i t vt om a k ei tas t o c h a s t i cp r o c e s st h e r eh a sn o ty e t b e e nam o d e lo fs t o c h a s t i c v o l a t i l i t vt h a te n j o y st h ep o p u l a r i t yo fb l a c k s c h o l e s i nt h ep o s t e r i o rd e n s i t y ，w e i n t r o d u c e dv o l a t i l i t yc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t i ti s ab r e a k t h r o u g hf o rt h eo r i g m a l m e t h o da n dc a nb e t t e rs o l v et h ea b o v em e n t i o n e d p r o b l e m a c c o r d i n g t ot h ed i f f e r e n t s “l d v w ec a nt a k ei n t oa c c o u n ta l la s p e c t so fi n f o r m a t i o na n dd e c i d et oc h o o s et h e i n f o n n a t i o nf o c u s ，t oi m p r o v et h ea c c u r a c yo f t h ef o r e c a s t i n gb yc h a n g i n gt h ev a l u e o ft h ev o l a t i l i t yc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t t h e u s eo fb a y e s i a nm e t h o d sp r 0 v 1 d e d m e o r e t i c a ls u p p o l r tt oc o n s i d e rjo i n ti n f o r m a t i o n ，h i s t o r i c a la n df o r e c a s t w em e r g e d t h eb a c k w a r dl o o k i n gi n f o r m a t i o nw i t ht h ef o r w a r dl o o k i n gi n f o r m a t i o n o nt h e p o s t e r i o rd e n s i t ym o d i f i c a t i o n f i n a l l y , w e9 0 tt h ef o r e c a s td e n s i t yf u n c t i o nw l l l c h i n c l u d i n gh i s t o r i c a ld a t aa n di m p l i e dv o l a t i l i t yi n f o r m a t i o n k e yw o r d s ：b a y e ss t a t i s t i c s ，b l a c k s c h 。l e so p t i o n p r i c e ，p o s t e r i o rd e n s i t y ， i m p l i e dv o l a t i l i t y ， f o r e c a s t i l i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 括为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 签名：蠡么日期：翌! 墅：至! 尹 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲妞臀名：埠瞧一2 ，、7 武汉理1 二人学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 研究的背景及意义 贝叶斯统计理论源于英国学者t h o m a sb a y e s 于1 7 6 3 年在英国皇家学会哲学 学报上发表的论文论机会学说中一个问题的求解，文中提出了一种归纳推理 的理论，后来被一些统计学家发展成为一种系统的统计推断方法，简称为贝叶 斯方法1 1 1 。2 0 世纪5 0 年代后，随着统计理论及方法的应用范围扩大，计算机技 术的快速发展和普及，贝叶斯理论也受到了欢迎，并得到了迅速发展。目前在 欧美等西方国家，贝叶斯统计已经成为了与经典统计学派并驾齐驱的当今两大 统计学派之一，并在经济预测、期权及其衍生产品定价等领域有着广泛的应用。 如果把1 9 0 0 年算作是近代数理统计开始的第一年，则到c r a m e r 的专著统 计数学方法出版后5 0 多年中，可以说基本上是经典统计学派一统天下【2 】。经 典统计在计量经济学中，使用最广泛的是最d - - 乘、广义矩估计和极大似然方 法，但这些方法在多年的发展和应用中逐渐暴露出一些问题和缺陷。经典统计 在其推断过程中过于着眼于当前数据，忽视历史的经验、人们已有的认识和知 识，以及人们的主观能动性；统计推断的精度主要取决于样本的大小，这对于 小样本往往是很困难甚至无能为力的。例如，在导弹等尖端武器的可靠性评定 中，在相同条件下全弹试验难以超过1 0 个，有时只有两三个实验就必须作出决 策。另外，频率学派对一些问题的提法不妥，包括估计问题中的置信区间和假 设检验，同时判断统计方法好坏的标准也欠妥。 然而，贝叶斯方法恰好不存在上述问题，因为在贝叶斯理论体系中，参数 是随机变量，它本身就是统计分布。就思想和原理而言，贝叶斯方法和经典统计 方法有着根本的不同，它有自己鲜明的特点：第一，未知参数被视为随机变量， 有自己的分布，这是贝叶斯学派的最基本观点。贝叶斯学派认为任何一个未知 变量都具有不确定性，其他未知量能看作随机变量，未知参数视为随机变量也合 理，用一个概率分布描述它很恰当。两大学派这点最根本的不同导致了二者方法 的不同；第二，贝叶斯方法除了利用样本信息以外，还利用先验信息。贝叶斯学派 很重视先验信息的收集、挖掘和加工，使其数量化，形成先验分布，参加到统计推断 中来，以提高统计推断的质量。忽视先验信息的利用，有时是一种浪费，甚至会得出 武汉理t 大学硕士学位论文 不合理的结论；第三，贝叶斯方法主要是基于由样本信息和先验信息导出的未知 参数的后验分布进行各种统计推断。后验概率分饰融合了样本信息和先验信息， 比经典的抽样理论有着更明显的合理性和灵活性 3 1 。由于比经典方法更合理， 更具优势，近3 0 年来，贝叶斯统计方法的研究日益深入，发展极为迅速，越来 越广泛地应用到社会经济等各个领域。在宏观经济的预测中贝叶斯统计理论取 得了巨大的成功，从模型的稳定性和预测精度两个方面来看，贝叶斯预测模型 优于非贝叶斯模型；在金融计量学中，贝叶斯方法同样也得到了广泛应用，运 用贝叶斯理论建立的经济预测模型或是用它对已有期权定价模型进行改进都取 得了较好的效果，因此贝叶斯方法获得越来越多专家学者的认同。 2 0 世纪7 0 年代开始的全球金融市场汇率及利率的频繁波动，有力的推动了 金融创新和金融期权及理论的产生和发展。随之而来的经济全球化和金融全球 化不仅给市场参与者带来了获取潜在收益的机会，同时也带来了较高的风险管 理要求。而利用相关的金融工具可以有效的回避与防范市场风险和信用风险。 众所周知，期权定价理论和方法是金融计量学中重要的工具，在很多领域都有 应用。随着全球金融一体化步伐的加快，我国面临加入世界贸易组织后全面开 放金融市场的承诺，同国际金融界的联系将越来越密切，如何防范金融风险， 如何促进我国金融市场的发展完善变得同益迫切。与此同时国内越来越多的企 业和金融机构将更多的涉足于国际融资、投资业务。从长远角度看，我国必将 稳步推进利率市场化和资本项目下的人民币自由兑换，而由此产生的利率及汇 率变动风险对几乎所有企业及个人投资者都将产生深远的影响，同时要求市场 提供适当的风险管理工具，如远期、期权、期货以及互换类工具，所以可以预 见金融期权及其理论必将在中国获得相应的发展空间。而目前我国金融市场中 的期权定价工具几乎还是空白，除了权证产品具备一些简单的期权特征以外， 标准化的期权产品尚待开发，因此对期权定价理论和方法的研究已是实践的迫 切需要。 1 9 7 3 年，b l a c k s c h o l e s ( 后面简记为b s ) 开创性论文“期权定价与公司债 务 的发表标志着期权定价理论的诞生【4 】。在其后的三十多年里，期权定价理 论及其应用研究得到蓬勃发展，取得丰硕成果，这些理论研究都是以西方成熟 的期权市场为前提，我国期权定价理论和应用研究远远落后于西方发达国家， 随着我国改革开放的进一步深化，以及健全社会主义市场经济和顺应全球经济 一体化的要求，如何借鉴西方期权定价理论，加强我国期权定价理论及其应用 2 武汉理：r 大学硕士学位论文 研究是十分重要和有意义的。 1 2 文献回顾及研究现状 1 2 1 国外文献及研究现状 贝叶斯统计理论源于英国学者t h o m a s b a y e s 于1 7 6 3 年在英国皇家学会哲学 学报上发表的论文论机会学说中一个问题的求解，但在随后的1 0 0 多年里， 贝叶斯理论在科学文献中没有令人信服的东西，可以说此间的贝叶斯方法是悄 无声息、无人问津的。 直到2 0 世纪5 0 年代后，伴随着统计理论和方法应用范围的扩大，贝叶斯理 论也受到了欢迎，并得到了迅速发展。1 9 5 0 年w a l d 在其著作( ( s t a t i s t i c a ld e c s i o n f u n c t i o n 中证明了在广泛的条件下，贝叶斯决策构成本质完全类f 5 1 ；1 9 5 7 年到 1 9 6 1 年j e f f r e y s 在无信息先验分布上取得的一系列重要突破，最终形成了j e f f r e y s 准则，其专著( ( t h e o r yo f p r o b a b i l i t y ) ) 的出版标志着贝叶斯学派的形成睁7 】；2 0 世纪7 0 年代，r u b i n 在其发表的一系列文章中证明了在某些一般公认的前提下， 任何一种最优准则下的解必然是某个先验分布下的贝叶斯解【8 l ；l i n d l e y 将一些 经典统计学派的成果给出了贝叶斯的推导和解释 9 - 1 0 1 ；以及后来g o o d 对主观概 率的研究 1 i 】：s a v a g e 对效应函数、主观概率及它们之间相互关系的研究【12 1 ，使 得贝叶斯统计的研究达到了一个新的高度。2 0 世纪末，贝叶斯理论得到了进一 步的发展，t i b s h i r a n i ( 1 9 8 9 ) 对j e f f r e y s 的结论进行了改进，提出了概率匹配先验 分布1 1 3 ；g e o r g ef 1 9 9 3 ) 研究了指数族的共轭似然先验分布 1 4 l ；a r n o l d ( 1 9 9 6 ) 研究 了指数分布族的共轭分布族【”1 ；s u n 和b e r g e r ( 1 9 9 8 ) 提出参照先验分布【1 6 1 。 近年来，m a r k o v 链蒙特卡罗方法( m c m c ) 的研究为贝叶斯推断理论和方法的 应用开辟了广阔的前景，使得贝叶斯推断理论和方法的研究得到了再度复兴， 以往被认为不可能实施计算的一些统计方法变得比较容易。目前，m c m c 已经 成为一种处理复杂统计问题的特别流行的工具。 与此同时，贝叶斯理论的发展又给金融计量学应用方法的研究开辟了一个 新的天地。近3 0 年来，随着计算机的快速发展和普及，国外贝叶斯统计方法的 研究日益深入，发展极为迅速，越来越广泛地应用到社会经济等领域。经典计 量经济学中，使用最广泛的是最小二乘、广义矩估计和极大似然方法。但这些 武汉理t 人学硕+ 学位论文 经典方法在多年的发展和应用中逐渐暴露出一些问题和缺陷，研究者逐渐发现贝 叶斯方法在不少方面比经典方法更合理，更具优势。将现代贝叶斯理论应用于计 量经济学的杰出代表，首推著名的计量经济学家，美国芝加哥大学教授a m o l d z e l l n e r ，他19 71 年的名著a ni n t r o d u c t i o nt ob a y e s i a ni n f e r e n c ei ne c o n o m e t r i c s 的出版，在贝叶斯计量经济学的发展史上具有里程碑的意义。该书不仅为计量 经济学中许多重要的估计问题提供了贝叶斯解，而且更重要的是为经济学的研 究提出了重要的科学哲学思想和新的假设检验方法 1 7 1 。1 9 8 6 年美国学者 l i t t e r m i n 提出明尼苏达先验分布，解决了贝叶斯时间序列向量自回归( 简称 b 状) 模型应用中的关键问题l l8 1 。自此以后，b v a r 模型在西方国家的经济预 测中发挥了很大的作用，其中影响比较大的模型主要有：h o l d e n ( 1 9 9 0 ) 预测英国 经济的b v a r 、j o u t z ( 1 9 9 4 ) 的用于电力消费与价格预测的综合b v a r 模型、 k e n n y ( 1 9 9 8 ) 用于预测爱尔兰通货膨胀的b v a r 模型、1 2 0 1 k a s u y a ( 2 0 0 0 ) 的用 于预测同本经济b v a r 预测模型f 2 i 】；p e t e rc o n g d o n ( 2 0 0 2 ) 在( ( a p p l i e db a y e s i a n m o d e l i n g 中提供了很多的贝叶斯模型，并描述了模型评估方法和贝叶斯先验分 布的灵活性；g a r yk o o p ( 2 0 0 3 ) 在他的专著( ( b a y e s i a ne c o n o m e t r i c s ) ) 中给出了 很多问题的贝叶斯解，他在书的最后一章还对当今贝叶斯研究者所关注的一些 热点问题进行了总结和评价f 2 2 j ；t 0 n yl a n c a s t e r ( 2 0 0 4 ) 的专著a ni n t r o d u c t i o nt o m o d e mb a y e s i a ne c o n o m e t r i c s ) ) 主要讲述了预测和模型的构建，线性回归模型， 贝叶斯计算，随机数据，面板数据等【2 3 1 。j o h ng e w e k e ( 2 0 0 5 ) 的专著( ( c o n t e m p o r a r y b a y e s i a ne c o n o m e t r i c sa n ds t a t i s t i c s ) ) 主要介绍了贝叶斯推断、后验模拟、滞后变 量、时间序列模型等等f 2 4 】。a r n o l dz e l l n e r ( 2 0 0 6 ) 教授在( ( b a y e s i a ne c o n o m e t r i c s ： p a s t ，p r e s e n ta n df u t u r e ) ) 中，重点介绍了贝叶斯经济学的发展史，并对它的未来 做出了展望【2 副。 贝叶斯统计理论应用到期权定价模型中，是上个世纪八十年代逐渐发展起 来的，随后引起了数量经济学界的高度重视并得到广泛的应用。很多运用贝叶 斯统计方法建立或修改后的定价模型，都获得了比经典统计方法更好的实际效 果。h a r v e y , w h a l e y ( 1 9 9 2 ) 和n o h ，e n g l e ，k a n e ( 1 9 9 4 ) 在保持资产价格不变的情况下， 用隐含波动率和历史波动率预测了期权价格【2 6 】；k a r o l y i ( 1 9 9 3 ) 对某一时期的股 票按不同标准进行模式分类而获得回归波动率构成先验信息，并将其与样本信 息合并来推导波动率的后验密度。由于用贝叶斯波动率估计代替传统的隐含波 动率或历史波动率的计算方法，从而提高了期权价格的预测精度【2 7 1 。k a r o l y i 的 4 武汉理工大学硕士学位论文 贝叶斯定价模型不仅有较好的预测效果，而且还为我们提供了一种通过贝叶斯 方法去研究b s 定价模型统计性质的新思路：n c u b e s a t c h e l l ( 1 9 9 7 ) 在经典统计框 架下对b s 模型的统计性质做了更深层次的研究，利用期权价格关于资产价格 和波动率的单调性，通过对数正态分布推得期权价格的置信区间，在假设期权 价格的随机性源于资产价格，而波动率已知的情况下，获得了预测公式( 2 引。虽 然n c u b e s a t c h e l l 将资产价格的随机性考虑到了b s 模型中，但仍然不是十分理 想，因为其波动率为已知而非通过估计得到的假设，是与事实不符的。 1 2 2 国内文献及研究现状 与国外相比，贝叶斯统计理论在我国的应用与发展尚属于起步阶段，这方 面最早的专著是张尧庭、陈汉峰的贝叶斯统计推断，然后是1 9 9 9 年茆诗松 出版的教材贝叶斯统计，2 0 0 0 年吴喜之撰写的现代贝叶斯统计学；但这 些著作主要论述了贝叶斯统计的原理和基础知识，对现代贝叶斯统计理论以及 m c m c 方法都涉及较少【2 9 1 。目前国内在这方面的论文数量并不多。 我国计量经济领域对贝叶斯方法的研究也比较晚，现在的进展也很迟缓，究 其原因，主要有以下两点：一是贝叶斯方法对数学的要求较高，后验分布的推导，先 验分布的选取都有一定难度：二是这种方法的实现和应用涉及到后验分布的模拟， 这种计算比较复杂，到目前为止，世界范围内还没有哪个软件包可以像很多软件 包中的最小二乘或极大似然方法那样用于各种模型，即使w i n b u g s 和b a c c 软 件包也只能用于简单的少数模型，这就需要针对不同的模型编写相应的程序进行 计算，但是这种编程对我国经济学家来说是很困难的事情，这种计算上的困难极 大地阻碍了贝叶斯方法在计量经济学中的应用1 3 0 1 。 近年来我国学者逐步认识到该理论的重要性，并对此开展了一系列的研究， 也取得了一些进展：刘乐平( 2 0 0 6 ) 在贝叶斯计量经济学：从先验到结论中从 现代贝叶斯分析与现代贝叶斯推断的角度，探讨了贝叶斯计量经济学建模的基 本原理，并通过实例介绍了贝叶斯计量经济学常用计算软件w i n b u g s 的主要操 作步骤；刘乐平，张美英，李姣娇在基于w i n b u g s 软件的贝叶斯计量经济学 介绍了w i n b u g s 软件的使用方法1 3 1 】；朱慧明，韩玉启( 2 0 0 6 ) 在贝叶斯多元 统计推断理论中系统地研究了多元统计模型的贝叶斯推断理论及其在经济管 理中的应用；朱慧明，郝立亚( 2 0 0 7 ) 的非寿险精算中的贝叶斯信用模型分 析，利用贝叶斯统计方法，构造了一类新的贝叶斯信用分析模型，引入基于吉布 武汉理t 大学硕十学位论文 斯抽样的马尔科夫链蒙特卡洛方法进行数值计算，建立了一个索赔后验分层正态 模型进行实证分析，证明模型的有效性m 1 。 1 3 研究的主要内容及框架 自从b l a c k s c h o l e s 模型诞生以来，期权定价与应用问题一直是金融理论研 究的一个热点。多年来，在经典统计框架下对b s 模型进行改造性研究的文章 有很多，同时也暴露出一些问题和缺陷，尤其是在更符合现实金融市场的无条 件情况下，模型中资产价格和波动率的随机性问题一直没有得到很好的解决。 由于在某些问题的研究中比经典统计方法更合理，更具优势，近3 0 年来，贝叶 斯统计方法的研究日益深入，并且在金融计量学中得到了越来越广泛地应用。 用贝叶斯方法来研究各种计量经济模型，先验信息、样本信息以及相关的参数 信息可通过贝叶斯定理，在生成的后验分布中得到完整的反应，这比经典的抽 样理论更灵活、更具优越性，可以比较合理的解决经典统计理论在b s 期权定 价模型的研究中遇到的问题。 本文的结构安排如下： 第l 章首先介绍了选题的背景和意义，回顾了国内外相关文献、研究现状 以及仍待解决的问题，并提出了本文的研究思路和文章的结构安排。 第2 章分别介绍了贝叶斯统计和b s 期权定价模型的基本理论，即贝叶斯 方法的一般步骤，先验和后验分布理论，优缺点以及存在的主要问题；期权的 概念及定价的基本原理，b s 期权定价模型，以及贝叶斯应用在计量经济学中的 基本思想和方法。 第3 章是本文的主要部分，在这一章里我们通过先验与后验密度的推导， 得到了贝叶斯框架下的b s 期权定价模型，在此基础上通过引入新的参数，进 一步推得了b s 期权定价公式的贝叶斯预测密度。 第4 章对所得模型进行了数值评价，以欧式看涨期权f t s e l 0 0 指数为研究 对象，运用我们的模型来解释其市场价格情况，并与经典统计框架下的相关模 型进行了比较研究。 第5 章是本文的最后一章，对论文工作进行了总结并指出了仍待解决的问 题以及今后的研究方向。 6 武汉理t 大学硕士学位论文 第2 章贝叶斯方法与b s 期权定价模型相关理论 2 1 贝叶斯统计 2 1 1 贝叶斯统计理论的基本观点 贝叶斯统计理论源于英国学者t h o m a sb a y e s 于1 7 6 3 年在英国皂家学会哲学 学报上发表的论文论机会学说中一个问题的求解，文中提出了从二项分布的 观察值出发对其参数进行概率推断，后来一些统计学家将其发展成为一种系统 的统计推断方法，简称为贝叶斯方法。 在统计推断的基本理论和方法方面，叶斯学派与频率学派之间存在着重大 差异。首先，频率统计学派在进行统计推断时，依据两类信息：一是模型信息， 即统计总体服从何种概率分布，这是制定统计方法的基础；另一个是数据信息， 即观察或试验的结果。贝叶斯学派则除了以上两种信息外，还利用另外一种信 息，即有关总体分布中未知参数的分布信息。其次，频率学派坚持概率的频率 解释，并在这个基础上去理解一切统计推断的结论；与此相反，贝叶斯学派赞 成主观概率，概率是认识主体对事件出现可能性大小的相信程度，它不依赖事 件能否重复。第三，两个学派的具体统计推断理念之间存在着根本差异。统计 学奠基人f i s h e r 在其1 9 2 1 年发表的论文“理论统计的数学基础”中，把统计学 的任务概括为三个问题：选定模型、确定统计量和决定统计量的分布 3 3 1 。根据 费歇尔的观点，信息量包含在样本中，但样本为数众多，因此须用少数几个统 计量把信息集中起来，而抽样分布则决定了统计量的全部性质；目前，频率统 计学派基本上是按照这种思路来处理统计推断问题的。 与此不同，贝叶斯统计推断的一般模式：先验信息。样本信息后验信息 ( 参见图2 一1 ) 。此处符号“o ”表示为贝叶斯定理的作用。 图2 1 贝叶斯推断的基本模式 7 武汉理jr = 大学硕士学位论文 贝叶斯学派认为：先验分布反映了试验前对总体参数分布的认识，在获得 样本信息后，对这个认识有了改变，其结果就反映在后验分布中，即后验分布 综合了先验分布和样本的信息。由此可以看出，频率学派统计推断是“从无到 有 的过程。在试验前，关于位置参数的情况是一无所知，而试验后则有些了 解，但了解多少? 并无普遍的表述方法，在实践中有赖于所使用的统计量的针 对性；贝叶斯统计推断则不然，它是一个“从有到有 的过程，且结果清楚自 然，符合人们的思维习惯。根据所获得的信息修正以前的看法，不一定从零开 始。从本质上说，贝叶斯推断方法概括了一般人的学习过程。但是最主要的差 别，也是贝叶斯理论的一个重要特征，在于只能基于后验分布，也就是说，在 获得后验分布后，如果把样本、原来的统计模型都丢掉，一点也不会影响将来 的推断，凡是符合这个准则的推断就是贝叶斯推断。据此，矩估计、显著性统 计检验和置信区间估计都不属于贝叶斯推断，但最大似然估计则可视为均匀先 验分布之下的贝叶斯推断，因此，作为频率学派中一个很重要的极大似然估计， 其实，它只不过是在一种很特殊先验分布下的贝叶斯估计而已。 由于频率学派与贝叶斯学派在基本观点上存在根本性的差异，因此，它们之 间的争论和对对方的批判是不可避免的。贝叶斯学派认为，频率学派对一些统 计问题的提法不妥，包括估计问题中的置信区间和假设检验问题，同时频率统 计学派判断方法好坏的标准不妥；而频率学派对贝叶斯学派的批评，主要是针 对先验分布。根据频率学派的观点，参数在每一确定问题中都是取一个确定的 值，它是一个未知常数，并不具有随机性，因而也就没有任何统计分布。贝叶 斯学派赞成主观概率，但不等于说主张可以用主观随意的方式去选取先验分布。 事实上，对怎样确定先验分布这个问题，贝叶斯学派作了不少探讨，提出了一 些有意义的见解。从理论的高度来看，我们必须注意这样一个基本点：统计推 断是在不掌握完全信息条件下的推断，也就是说，所掌握的信息还不足以决定 问题的唯一解，这就提供了建立多种理论体系和方法的可能。事实上，两个学 派都有其成功和不足的地方，都有广阔的发展前景，在实用上是相辅相成的。 2 1 2 先验分布与后验分布理论 先验分布是贝叶斯推断理论的基础和出发点，也是贝叶斯学派研究的重点 问题之一，它大体上可以分为无信息先验分布( 又称扩散先验分布) 和共轭先 8 武汉理工人学硕十学位论文 验分布两大类。当然，大多数所谓无信息先验分布实际上很可能包含一些或很 多信息，例如，最常用的无信息先验分布为局部均匀分布，也就是在参数臼的值 域o 上的均匀分布，然而均匀分布在参数变换时一般不满足不变性，即变换后 的分布不是均匀分布。又如对标准差盯的均匀分布就不会变成仃2 的一个均匀分 布。无信息先验分布一般应满足以下几条性质：不变性、相合的边缘化、相合 的抽样性质、普遍性和容许性。无信息先验分布构造的主要途径包括：二阶概 率匹配准则、最大熵原则、相对似然函数法、积累函数法、m o n t e c a r l o 方法、 b o o t s t r a p 法、随机加权法和h a r r 不变测度法等。 共轭先验分布是贝叶斯理论中的另一类重要的先验分布，对正态分布 n f ，仃21 而言，有以下结论：( 1 ) 已知盯未知时，盯的共轭分布族为逆伽玛 分布；( 2 ) ，盯均未知时，参数的共轭分布族为正态逆伽玛分布；( 3 ) 均值 向量已知，精度阵( 定义为协方差阵的逆) 未知时，精度阵的共轭分布族为逆 维希特分布；( 4 ) 均值向量，精度阵均未知时，参数的共轭分布族为正态一逆维 希分布。根据贝叶斯定理，参数后验分布与似然函数、先验分布的乘积成正比， 因此似然函数的性质关系到和非正常先验分布一起是否能形成正常的后验分 布，也关系到是否可以有效地应用g i b b s 法进行统计推断。g e o r g e ( 1 9 9 3 ) 研究了 指数族的共轭似然先验分布，a r n o l d ( 1 9 9 6 ) 研究了指数分布族的共轭分布族。目 前，还没有统一的先验分布构造方法。 后验分布是贝叶斯统计推断的关键所在，对于一般参数先验分布而言，其 后验分布都相当复杂，很难纳入目前已知的统计分布类别之中。尽管贝叶斯推 断模式简单，并且概率形式优美。然而，在贝叶斯分析中，一般只知道后验分 布密度函数的核，而难以获得具体的密度函数，也很难找到积累分布函数的数 值分位点，计算边缘后验分布密度函数的困难是阻碍贝叶斯方法广泛应用的最 大障碍，这有赖于编制有效的计算程序。2 0 世纪9 0 年代以前，一些学者提出了 数值和解析近似的方法来解决参数后验分布密度和后验分布各阶矩的计算问 题，如l i n d l e y 数值逼近法、n a y l o r - s m i t h 逼近法、t i e r n e y k a d a n e 逼近法【3 4 。5 1 。 然而，这些方法的实现，需要依靠复杂数值和解析近似技术及相应的软件支撑。 近年来，m c m c 方法的研究对推广贝叶斯推断理论和方法的应用开辟了广阔的 前景。目前，m c m c 已经成为一种处理复杂贝叶斯统计问题的特别流行的工具， 在贝叶斯分析中应用最为广泛的m c m c 方法主要有两种：g i b b s 抽样方法和 m e t r o p l i s h a s t i n g s 方法。g i b b s 是由g e m a n 于1 9 8 4 年提出来的，后经g e l f a n d 9 武汉理工大学硕士学位论文 和s m i t h ( 1 9 9 0 ) 7 i 入贝叶斯模型研究中，通过模拟进行积分运算，这给贝叶斯方 法的实际应用产生了极其深刻的影响【3 7 1 。g i b b s 抽样的成功在于它利用满条件 分布将多个相关参数的复杂问题降低为每次只需处理一个参数的较为简单问 题。另一种是m e t r o p l i s h a s t i n g s 方法，它是由m e t r o p l i s ( 1 9 5 3 ) 提出了一种转 移核的方法，h a s t i n g s ( 1 9 7 0 ) 随后对其加以推广而形成，是比g i b b s 抽样更一 般的m c m c 方法，在贝叶斯分析中也很有应用价值【3 8 1 。 2 1 3 贝叶斯方法的优点及主要问题 贝叶斯方法就是运用贝叶斯原理把原来的初始信念和融入似然函数的数据 信息综合在一起，产生后验概率，从而改变、调整初始信念。这是一种有着巨大价 值的学习模型，即从经验中学习。在估计方面，贝叶斯的准则是极小化期望损失， 当风险存在时，它是可采纳的最小平均风险；小样本情况下，点估计和区间估计贝 叶斯方法比经典方法有更好的表现；就预测问题而言，贝叶斯方法简单、操作性强， 不论什么模型，都可导出预测密度，可以对预测值给出概率的陈述；对模型中的冗 余参数问题，则直接从后验分布中将其积分掉，从而得到感兴趣参数的边际后验 分布；对广泛的问题和模型，无论大样本还是小样本，都能很好地加以处理。与频 率方法比较，贝叶斯方法的优点具体表现在以下几方面：第一，贝叶斯方法充 分利用了样本信息和参数的先验信息，在进行参数估计时，通常贝叶斯估计量 具有更小的方差或平方误差，能得到更精确的预测结果；第二，贝叶斯h p d 置 信区间比不考虑参数先验信息的频率置信区间短；第三，能对假设检验或估计 问题所做出的判断结果进行量化评价，而不是频率统计理论中的接受、拒绝的 简单判断。 随着参数后验分布计算问题的逐步解决，目前贝叶斯方法