（机械设计及理论专业论文）平面六杆机构的综合与应用研究.pdf

摘要 i 6 5 14 7 3 平面六杆机构的综合与应用研究 机械设计及理论专业 研究生：成善宝指导老师：姚进 在汽车驱动装置中，转向机构是极其重要的。设计汽车的转向机构非常重 要的一方面就是汽车转弯时的两个前轮要满足转向条件。最常用的汽车转向机 构是平面四杆机构，其结构相对简单，而且已经有大量深入的研究。但是由于 六杆机构构件多、优化参数多、转向精度高，所以用平面六杆机构来代替四杆 机构作为汽车的转向机构可以更好的实现转向条件。本课题对平面转向六杆机 构进行了如下的研究：根据转向条件方程，与转向机构的两个闭环方程，采用 消元法消去一个未知变量，得出了转向六杆机构关于输入角的目标函数方程： 利用边界条件，得出一个包含三个变量、三个方程的方程组：并采用计算机图 解法，在一定值的范围内求解出该方程组的全部实数解。 介绍了一个基于f o u r i e r 描述的目标函数，其能够纯粹得只比较两条平 面、闭环曲线的形状差别，而不受其位置，尺寸，或者方向差别的影响。编制 了利用该f o u r i e r 描述曲线形状差别的方法的软件对任意曲线来比较其形状差 别，并利用该软件来对一个平面六杆机构进行轨迹再现优化综合。 提出了求解三元多项式方程组的计算机图解法。针对所得三元高次多项式 方程组，采用数学计算软件m a t l a b 编制程序。以一定的步长增量，在一定范 围内取两个变量的值，该两个变量在其范围内对应一个点值；循环选取其变量 值，并将其代入已知的三个方程中，即可得到另一变量的对应值：将点值和对 应的另一个变量的值对应坐标绘制出来，即得到三个方程的二维图形。将三条 曲线交点坐标转化为对应的三个变量的值，即为原方程组的解。以这些交点为 初始值，利用无约束优化，可以得到在定值范围内的原方程组的全部精确实 数解。 关键词：六杆机构：转向机构；f o u r i e r 描述；轨迹综合；计算机图解法 四川i 大学硕士学位论文 s y n t h e s i s a n d a p p l i c a t i o ns t u d y o fp l a n esi x b a r l i n k a g e m a j o r ：m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：c h e n g s h a n b a oa d vis o r ：y a oj i n s t e e r i n gm e c h a n i s mi sv e r yi m p o r t a n ti nt h ed r i v i n gf a c i l i t i e so f v e h i c l e s o n e i m p o r t a n ta s p e c to fd e s i g n i n gs t e e r i n gm e c h a n i s m o fv e h i c l e si st h a tt h ef r o n tw h e e l s o f s t e e r i n g m e c h a n i s mm u s ts a r i s f yt h e s t e e r i n g c o n d i t i o n t h em o s tc o i n n l o n s t e e r i n g m e c h a n i s mf o rv e h i c l e si s p l a n e f o u r - b a r l i n k a g e ，w h i c h h a sas i m p l e s t r u c t u r ea n dh a sb e e ns t u d i e di nd e t a i l s h o w e v e r , s i x - b a r l i n k a g e h a st h e a d v a n t a g e so f m o r em e m b e r s ，m o r ev a r i a b l e sa n dh i g h e rs t e e r i n gp r e c i s i o na n dp l a n e s i x b a r l i n k a g e c a nb eu s e dt o r e p l a c ef o u r - b a r o n ea s s t e e r i n g m e c h a n i s mf o r v e h i c l e st os a r i s f yt h es t e e r i n gc o n d i t i o nb e t t e r s o ，s o m er e s e a r c ho np l a n es t e e r i n g s i x - b a rl i n k a g eh a sb e e nd o n ei nt h i s p r o j e c ta sf o l l o w s ：b a s e do nt h e c o n d i t i o n e q u a t i o n o fc o r r e c t s t e e r i n g a n dt h e e q u a t i o n s o ft w oc l o s e d l o o p o fs t e e r i n g m e c h a n i s m ，a s e to ft h r e e e q u a t i o n si nt h r e ev a r i a b l e sc a n b eo b t a i n e da f t e rav a r i a b l e i se x p u r g a t e dw i t ht h ee l i m i n a t i o nm e t h o d t h e nw i t ht h ec o m p u t e rg r a p h i cm e t h o d ， t h er e a ls o l u t i o no ft h i se q u a t i o ng r o u pc a nb eg e n e r a t e d t h eo b j e c t i v ef u n c t i o nb a s e do nf o u r i e rd e s c r i p t o r si sp r e s e n t e dt h a tc o m p a r e s p u r e l yt h es h a p eo f t w op l a n e ，c l o s e dc u r v e sw i t h o u tb e i n ga f f e c t e db yt h el o c a t i o n ， s i z e ，o ro r i e n t a t i o nd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ec u r v e s t h e n ，t h es o f t w a r ef o rp a t h g e n e r a t i o no fs i x - b a rl i n k a g e i s d e v e l o p e dt oc o m p a r ep u r e l y t h e s h a p eo ft w o r a n d o m c a r v e s ，a n dap l a n es i x b a rm e c h a n i s m i so p t i m a l l ys y n t h e s i z e db a s e do nt h a t s o f t w a r e 一t t t h ec o m p u t e rg r a p h i cm e t h o di sp u tf o r w a r dt os o l v eas e to f t h r e ep o l y n o m i a l e q u a t i o n so fh i g ho r d e ri nt h r e ev a r i a b l e s w i t ht h em a t h e m a t i cc o m p u t a t i o ns o f t w a r e m a t l a b ，t h ep r o g r a mi sd e s i g n e di nw h i c ht h ev a l u eo ft w ov a r i a b l e si nc e r t a i nr a n g e i st a k e nw i t hc e r t a i n p a c eo fi n c r e m e n t ，a n dt h et w ov a r i a b l e s i nt h e r a n g ei s c o r r e s p o n d i n gt oo n ep o i n tv a l u e ；t h ev a l u eo ft h et w ov a i l a b l e sa r et a k e ni nc i r c l e a n di n t r o d u c e di n t ot h ek n o w nt h r e ee q u a t i o n s ，t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gv a l u eo ft h e t h i r dv a r i a b l ec a nb ec a l c u l a t e d ；p r o t r a c tt h ep o i n tv a l u ea n di t sc o r r e s p o n d i n gv a l u e o ft h et h i r dv a r i a b l e ，a n dt h et w o d i m e n s i o n a lg r a p h i co ft h et h r e ee q u a t i o n sc a nb e g e n e r a t e d 。t r a n s l a t et h ec o o r d i n a t e so ft h ei n t e r s e c t i o n so f t h et h r e ec u r v e si n t ot h e v a l u eo f c o r r e s p o n d i n gv a r i a b l e s ，w h i c hi s t h es o l u t i o no ft h et h r e ee q u a t i o n s b y t a k i n gt h e s ei n t e r s e c t i o n sa s i n i t i a lv a l u e ，a l le x a c tr e a ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n g r o u pw i t h i na c e r t a i nr a n g eo fv a l u ea r eg e n e r a t e dw i t l lt h eu n r e s t r a i n to p t i m i z a t i o n m e t b o d k e y w o r d s ：s i x b a rl i n k a g e ； s t e e r i n gm e c h a n i s m ； f o u r i e r d e s c r i p t o r s ； p a t hg e n e r a t i o n ；c o m p u t e rg r a p h i cm e t h o d - l i i 1 绪论 1 1 课题背景 1 绪论 1 1 1 平面连杆机构的研究现状 平面连杆机构运动综合的任务，通常可以分为三大类型：位置综合、函数 综合和轨迹综合。位置综合：亦称刚体导引综合，这种综合要求连杆机构能导 引某刚体按规定次序精确地经过若干给定的位置；函数综合：这种综合要求连 杆机构的输出杆和输入杆的位移满足给定的函数关系：轨迹综合：这种综合要 求连杆机构的连杆上某点沿给定的轨迹运动。除某些个别的特殊情况外，连杆 机构的运动综合均属近似综合，即综合所得机构再现的实际运动与要求的运动 之间总有误差存在。这种误差称为“结构误差”。“近似综合”把“从全局考虑 这种结构误差的大小”作为着眼点，其基本内容是函数综合和轨迹综合，基本 方法有函数逼近法和优化方法。 本课题研究了平面六杆转向机构的运动综合，其转向条件和机构尺寸优化 与类型选择一直是道路车辆设计中非常关键的问题，这种设计的复杂性小到一 个平面四杆机构，大到一个非常复杂的空间机构 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 】。平面四杆 机构在转向机构中应用的比较早【l4 1 ，而且非常广泛。为了更高的转向精度，转 向平面六杆机构也被机构学者们所深入研耕。 平面连杆机构的轨迹综合，这是一个非常有现实意义的课题，并有大量的 文献对此进行了论述 1 5 , 1 6 , 1 7 】。轨迹综合通常有解析法、图谱比较法、以及目标 函数优化法等。用通常的解析法进行轨迹综合，由于连杆曲线的特性，对于平 面四连杆机构而言，其精确点的选择不能超过9 个。要使综合所得的连杆菌线 与预期轨迹在一定精度范围内吻合，并满足机构设计的一些其它要求，就显得 十分困难；机构设计中，曾利用连杆曲线图谱，借助缩放仪等手段，进行图形 比较，寻求最优答案。由于难以满足精度要求和过程相当繁复，使得这种方 法，通常只是作为机构轨迹综合的一种辅助手段：随着现代科学技术的发展， 也出现了许多根据连杆曲线的几何特征，编制电子图谱进行轨迹综合的方法。 四川人学硕士学位论文 然而，由于连杆曲线的多样性，目前这些方法，要利用电子图谱较精确地实现 轨迹综合，所需存贮的连杆曲线的电子图谱的数据库很大，给轨迹综合带来了 很大的困难【i8 j ；目标函数优化法，即候选机构的连杆曲线和规定路径的差别将 以该机构尺寸为变量的数学函数来表达出来，通过改变该机构的尺寸，最小化 陔目标函数【吼”j 。最常用的目标函数是结构误差目标函数，但是其在实际计算 中不是很有效，因为它要求同时优化连杆曲线的形状、尺寸、方向和位置，这 一点不能正确的反应设计问题的本质。本文介绍了一个基于f o u r i e r 掐述的有 效的目标函数【2 ，其能够只比较两条曲线的形状差别。 1 1 2 综合模型的建立 对于机构分析与综合而言，其建立综合模型的主要方法和特点有如下几种 口2 j ；解析法：计算较为繁复，需要借助计算机进行运算处理。其结果为数据文 件形式，不够直观形象，查错修改困难。图解法：简捷易懂，直观明了，检查 容易。缺点是用手工绘图精度难以保证，受到解析法的强大冲击。图谱法：在 连杆机构轨迹设计时，将不同构件尺寸的连杆曲线绘成图谱，设计时只要查得 与要求相同或相近的曲线图谱，就可得到各杆的相对尺寸。其缺点是查找费时 且不能由计算机直接完成。但繁复的计算在机构学中却是难以避免的，随着计 算机数值技术、符号处理和图形技术的发展，涌现出了很多工具软件，其中数 学运算工具m a t l a b 值得一提，它是一种集数学计算、图形处理和程序语言设计 于一体的著名数学分析软件。它在一定程度上实现了解析法与图解法的统 睦3 _ 2 4 2 引。借助于m a t l a b 等数学分析软件利用解析法进行机构综合已是现代机 构学的主流。在平面转向四杆机构的运动综合中，绝大多数学者即采用解析法 建立综合模型，但是具体的实现方法有所不同：1 级数展开法：w o l f e 6 j 曾经 应用平面转向四杆机构的输入输出方程和转向条件来建立误差方程，接着展开 方程的级数，然后再选择适当的系数来使该误差接近为零。d u d i f 4 和 a l e x a n d r u 7 】首次展开了平面转向四杆机构的转向条件方程，取其前三项，然后 绪论 将其带入机构的闭环方程中；接着他们就尽可能接近的选取该机构的适当尺寸 来验证该转向条件。这两种途径都基于级数展开，但是这种方法会使转向机构 产生一个小误差，而且该机构的运动范围有限：2 精确综合法：d i j k s m a n 2 曾 用过精确综合的方法来获取平面转向四杆机构，但是该方法却无法减少该平面 转向四杆机构整个运动范围的转向误差；3 最小化目标函数法：姚进教授以满 足转向条件为基础的四杆机构的环路误差平方和极小化为目标，较好的实现了 平面转向四杆机构的优化综合 2 7 】。s p r a m a n i k 2 8 1 将精确综合的方法应用到平面 转向六杆机构中：他综合了一个车辆转向六杆机构以使其可以通过五个精确 点，这五个精确点是通过该系统的三个未知参数和两个选定参数而给出的，根 据转向平面六杆机构坐标方程和杆长方程，在应用转向条件的基础上，得出了 三个方程三个未知数的方程组；j o r g ea n g e l e s i s 】采用了优化目标函数的方法来 综合平面转向六杆机构：即根据六杆机构中两个四杆机构的环路方程，应用转 向机构的转向条件，并采用消元的方法建立了一个包含三个方程三个未知数的 方程组，并以此为目标函数进行优化；本课题结合了j o r g ea n g e l e s 和姚进教授 的方法，即根据六杆机构中两个四杆机构的环路方程，以该六杆机构的关于 “结构误差”的平方和极小化为目标，建立了含三个变量、三个方程的综合方 程组。 i 1 3 综合方程组的求解 函数综合的约束方程通常为一组非线性方程，其常用的求解方法有数值 法，消元法，优化法等。1 数值法：最常用的解非线性方程组的数值方法是 n e w t o n - - r a p h s o n 法。2 消元法：常用的消元法有结式消元法、数学机械化方 法和b u c h b e r g e r 算法等。结式消元法是用于求解多项式方程组所有解的方法， 通过一定的结式消元步骤设法获得一元输入输出方程后，回代求解其余未知变 量，从而得到原方程组的所有解。其不足之处在于消元时技巧性较强和高阶结 式的展开较困难，从而影响了它在机构问题中的应用。数学机械化方法也是一 种用于求解多项式方程组全部解的方法。它是由我国吴文俊教授创立的。该法 通过对变量的排序、多项式分组、约化、构成基列、求余等运算，可将一个非 四门i 大学硕士学位论文 线性多项式方程组化简为一个等价的三角化方程组，从而得到原方程组的封闭 解。它除了具有结式消元法的优点外，还有一个突出的特点，就是它的消元结 果既不增根、也不失根。其主要不足是消元过程中多项式的个数会迅速膨胀， 有时会导致消元运算中途夭折。由于机构综合中的非线性方程组大多较复杂， 从而影响了该法在机器人和机构学领域中的应用和发展。林光春( 1 9 9 8 ) 2 93 将 数学机械化方法用于平面四杆机构的函数综合，求得了综合方程的全部解。 b u c h b e r g e r 算法首先由b b u c h b e r g e r 于1 9 6 5 年在他的博士论文中提出了有关 g r o e b n e r b a s e s ( 又称标准基) 理论及方法，后经k a l k b r e n e r , n t a k a y a m a , j m o s e s 等和他本人的进一步完善，使该法成为用于求解非线性多项式方程组全部解的 有效方法，其基本思想是在原非线性多项式系统所构成的多项式环内，通过多 项式进行约简，生成一个与原系统等价的且便于直接求解的三角化的标准基， 从而避免了数值迭代解法的种种问题。b u c h b e r g e r 算法的主要不足在于变量排 序困难，有些排序甚至求不出标准基。另外，在约简过程中多项式的个数会迅 速增加，有时也会导致求不出标准基。李立等【3 0 】将b u c h b e r g e r 算法用于平面四 杆机构综合问题，但要将该法推广到其它更复杂问题的求解，仍需进一步的研 究。3 优化法：优化法的特点是编程容易，已有许多成熟的软件，缺点是要有 好的初始值才能保证收敛。在平面转向四杆机构的运动综合中，f a h e y 和 h u s t o n d 】使用数值方法来最小化整个转向条件范围的平方差，但是用f a h e y 和 h u s t o n 的数值方法很难找到方程组所有的解：而姚进教授和j o r g ea n g e l e s 采 用的结式消元方法则较好的解决了这个问题【2 7 1 。在转向平面六杆机构的运动综 合中，综合模型的建立可以得到一个含三个变量、三个方程的方程组。如果采 用消元法求解的话，当多元方程组消元到只剩两三个变量的时候，方程组的次 数很高，通常通过继续消元求解起来很困难，尤其是多项式的项数很多的情况 更为棘手。s p r m n a n i k 采用n e w t o n - - r a p h s o n 法来求解该方程组，但是高次方 程组的解通常有一大半为虚根，而且在实根中也有许多超出工程问题合理范围 的无用的解。j o r g ea n g e l e s 采用了优化法进行求解，但是该方法需要一个较 1 绪论 好的优化初值。采用计算机图解法进行求解该方程组，可以清晰的看到了所有 实数范围内的近似解，并将其作为优化初值，调用m a t l a b 中的优化命令，就 可以得到方程组的精确解。因此优化法和计算机图解法的结合将会是非常有效 的解非线性方程组实数解的一个方法，这也是本课题采用的方法。 1 2 本论文的主要内容 对于平面转向四杆机构的运动综合，可以用一个基于消元过程的计算运动 方法来综合转向四杆机构。先最小化转向四杆机构设计误差的平方和，然后使 用了符号消元法来解优化问题的边界条件，以得到一个未知量的多项式方程， 其所得到的即为问题的所有解。而对于转向六杆机构的运动综合，首先根据转 向条件，我们得到一个将连杆参数和输入角和输出角关联起来的目标方程。接 着我们通过优化边界条件获得三个未知量的三个方程的方程组。通过计算机图 解法，我们将得到该方程组的近似解，将该解作为优化初始解，进行优化，我 们就得到了方程组的精确解，也就是该转向机构的相关参数解。 此外，本文介绍了一个基于f o u r i e r 描述的有效的目标函数，其能够纯粹 得只比较两条平面、闭环蓝线的形状差别，而不受其位置，尺寸，或者方向差 别的影响，接着还配以实例计算来表明该方法的有效性。本文还将f o u r i e r 描 述的方法应用到一个平面六杆机构轨迹再现的优化综台中。 在机构分析与综合中，综合模型的多元方程组当消元到只剩有限个变量的 时候，方程组的次数往往很高，通过继续消元求解起来十分困难，这种情况在 其项数很多的情况下更为显著，且其解多为虚根或不在实际应用范围内，为 此，本文提出了一种计算机图解法，应用于解此类三元多次方程组，也可应用于 一般情况下方程组的求解。将计算机图解法求出的解作为初始值，利用无约束 优化，可以得到在一定值范围内的原方程组的全部精确实数解。 四川大学硕土学位论文 2 平面转向六杆机构的运动综合 、i 、孑一7 。t 一， 。：蔼兰亍繁i j q i | i 。j l j i ，蠢 ” | = 。j 。 口一1 。 一一i r e c , , , h e e ls 二一 图2 1a c k e m a a n n 转向机构 着旋转关节0 ，和0 4 来转动前轮。设计该机构就是为了这两个前轮不至于转动 相同的角度。这样做就是为了车辆转弯的时候，避免不必要的轮胎磨损p “1 。 正确的转向条件就是要求四个轮子的中心线与后轮的轴线相交与一点：0 点。 通常称点0 为车辆的旋转中心点【3 3 】。根据这个简单的几何图形，a c k e r m a n n 类 型的转向机构被广泛的应用在不同类型的道路车辆上。首先，根据转向条件， 我们得到一个将连杆参数和输入角和输出角关联起来的单一方程。接着我们通 2 平面转向六杆机构的运动综合 过优化边界条件获得一个包含三个未知量、三个方程的方程组。通过计算机图 解法，我们将得到该方程组的近似解，将该解作为优化初始解，进行优化，我 们就得到了方程组的精确解，也就是该转向机构的相关参数解。 2 2 转向条件 图2 2 描绘了一个车辆向右拐时车轮的形状。在该图中，【p l 和( p 2 是内角和 外锁角。此外，b 是车辆的车轮底盘距离，而a 一- 0 3 0 4 则是旋转点0 3 和0 4 间 的距离。正确的转向条件要求前轮中心线的交点o 要位于后轮的轴线上。根据 图2 2 ，我们可以得到如下的公式： t a 呻1 = b ( x + a 2 ) ；t a n q z = b ( x a 2 ) ； ( 2 - 1 ) 在这里x 代表从o 点到车辆的中心线l 的距离。从式2 - 1 中的两个等式中 消去x ，然后我们就可以得到如下的转向条件： f l ( 中l ，中2 ) 兰s i n ( ( p 2 一母1 ) 一p s i n 币l s i n ( p 2 = 0 ( 2 - 2 j 、 r r -啬 u l l i + 十- 一、 图2 2 车轮的结构示意图 其中p - - = a b 。因此，理想的转向机构应该精确的满足上述的转向条件。然 而，对于一个特定的机构应用问题，如果要精确的完全满足该条件，那么该机 构的运动范围将受到限制。因此，我们扩宽了我们的设计范围，而是让该转向 机构只是近似的满足该转向条件。这样的话，转向机构的尺寸优化就等同于去 四川大学硕士学位论文 攀i 蕊茗- 一 图2 3 ：六杆转向机构 应于向右转，那么反之即为向左转，例如，( p l p 。，( p 2 ( p o m “。 2 3 综合建模 乎面六杆机构作为转向机构如图2 3 。它实际上是一个倒置的瓦特链，由 对称的四杆机构i 和四杆机构i i 【3 4 ，驺1 所组成。杆长用曲， 4 ，其中8 1 2 a 2 而角 度砂并和矗， 4 则由旋转点0 3 和0 4 的组成连轴逆时针方向测量而得的。此 外，三杆构件a b d 中，角度b a d 由来代表。该连杆的运动综合就是确定该 机构的尺寸，使得曲柄0 3 c 和0 。e 通过一组对应的确定位置，这通常被称为 2 平面转向六杆机构的运动综台 精确点。总的来说，一个机构实现函数再现精确点的个数是由连杆参数的个数 决定1 3 。此外，已经知道w a t t 连杆机构实现函数再现精确点的个数最多为九 个。如果多于九个点，那么该机构只能近似的经过那些点了。很显然，该近似 应该满足角度偏差最小，就是曲柄o s c 和0 4 e 与对应的角平l 和中2 ( 公式2 2 中) 之间的角度偏差最小。 现在我们考虑该转向机构的两个连杆部分i 和i i 。对于连杆i ，根据闭环 方程，我们可以很容易的得到如下的方程： k l + k 2 c o s 盯l k 3 c o s 1 = c o s ( y 】一盯1 ) ( 2 3 ) 这晕k i ，对于i = l ，2 ，3 ，k i 定义为： 下 k ，；血冬二垒盔k 2 三a l a 2 ；k 3 一= a l a 4 2 a 2 a 4 同样的道理，从连杆i i 中我们可以得到相似的表达式， k l + k s c o s y 2 - - k 2 c o s g 2 - - - - c o s ( 仃2 一2 ) 此外，根据图2 3 ，我们得到： t y l = 兀2 一叩1 ；盯2 = 7 汜一t p 2 ；妒2 = + 在； ( 2 - 4 ) 也就是如下所示： ( 2 5 ) 将公式2 - 6 带入到式2 3 和式2 4 中，我们可以得到两个等式 a 1 + a 2 c o s g t l + a 3 s i n v l 2 0 b 1 + b 2 c o s 妒】+ b 3 s i n 】= 0 ( 2 6 ) 其形式如 ( 2 7 a ) ( 2 - 7 b ) a 1 = k t + k 2 s i n q o ：a 2 1 - - k 3 - - s i n q o t ；a 3 e - - t o n a l ；b 1 - - = k l k 2 s i n ( p 2 ； b 2 三k 3 c o s c t - s i n ( q ) z + a ) ；b 3 - - = 一k 3 s i n c c c o s ( 牛2 + 叻； 接着，我们作如下的代替到公式( 2 7 a ) 和( 2 7 b ) ： l f 72 i 叩，2 菇8 m 2 赢。 而q = t a n ( g t 。2 ) ，接着两个方程两边同时乘以( 1 + r ? ) ，这样就可以得到如 下的方程： ( a 1 - - a 2 ) r + 2 a 3f l + ( a 1 + a 2 ) = o ( 2 - 8 a ) ( b 1 - - b 2 ) f + 2 8 3 f 】+ ( b i + b 2 ) = 0 ( 2 - 8 b ) 现在我们开始从式2 8 a 和2 8 b 中消去r 3 7 1 ，这样可以得到一个单一方 程，其将连杆的参数与内外锁角关联起来。 一一 型型查兰墨兰些笙茎 f 2 ( q ) 1 ，叩2 ，x ) id e t ( m ) = 0 在这里x5 k l ，k 2 ，k 3 ，c 【 ，而 m 5 1 一爿2 b 1 一b 2 0 0 2 4 优化过程 2 4 3 2 8 3 彳1 一爿2 b 1 一日2 爿l + 爿2 b 1 + b 2 2 以3 2 占3 0 l 0 l 4 1 + a 2 l b 1 + b 2 l ( 2 9 ) 首先，我们使用公式2 2 中的s i n q 1 和c o s q o l 来代替( p 2 。如果我们将公式 2 - 2 重新写出如下的形式： f l ( 伞l ，( p 2 ) ；is i n 0 2c o s q o l - - r l s i n g l = 0( 2 1o ) 其中t 1 5 c o s ( p 2 + p s i n q 0 2 0 ，那么从公式2 1 0 我们可以很容易的得到如下的 表达式： i |， 4 图2 4 ： 02 03 o40 50 607 六杆机构的输入函数 s i n 2 焘s i n ：7 7 2 +2 伊2c o s 叭5 焘s i n、玎+p 2 ( 2 1 1 ) 如果我们现在将公式2 1 1 带入公式2 - 9 中，那么将得到一个与( dj 无关 一1 0 瞄 帖 叫 o 2 平面转向六杆机构的运动综合 的，且将连杆的尺寸和内锁角关联起来的等式，例如，f ( 币2 ，x ) = o ，该等式就 是转向机构关于输入角的目标函数方程，具体形式见“实例计算”一节。对式 f ( ( p 2 ，x ) = 0 两边平方，然后对参数k l ，k 2 ，k 3 - ，求导，可以得到一个包括三 卜三元方程的方程组。接着利用计算机图解法对该三个三元方程求解，得到其 初始的解，然后利用优化的方法再求出其精确解。 2 5 实例计算 在本节中，我们将演示一个实例计算过程来验证上述的优化计算。我们将 内锁角限制为p i 。- - 4 6 0 ，对应的( p 。m 矿3 0 5 9 0 ，而系数p = 0 5 ，选定a = 0 。在 本例中，我们使用的m a t l a b 来进行计算该优化问题。 ( p l 和吼对应的关系如图2 a 所示。 首先求出p h i 2 ，和p h i l ， p h i 2 = ：l i n s p a c e ( 0 ，a 04 p i 18 0 ，4 0 ) ； p h i l = a t a n ( s i n ( p h i 2 ) ( c o s ( p h i 2 ) - _ 0 5 4 s i n ( p h i 2 ) ) ) ； 然后根据上一节的推导，可得： a 1 = k l + k 2 + s i n ( p ) h i 2 ) ( ( ( c o s h i 2 ) + o 5 + s i n ( p h i 2 ) ) 2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) ； a 2 = - k 3 一s i n ( p h i 2 ) ( ( ( c o s ( p h i 2 ) + o 5 + s i n ( p h i 2 ) ) 2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) ； a 3 = ( c o s ( p h i 2 ) + 0 5 + s i n ( p h i 2 ) ) ( ( ( c o s ( p h i 2 ) + o 5 4 s i n ( r h i z d 2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) ； b l = k 1 + k 2 + s i n ( r ) h i 2 ) ； b 2 = = = k 3 4 c o s ( a l p h h a ) - s i n o h i 2 + a l p h a ) ； b 3 = - k 3 4 s i n ( a l p h a ) - c g s ( p h i 2 + a l p h a ) ； m - - , s y m ( 1 【a 1 - a 2 2 + a 3a i + a 2 0 ；b 1 b 2 2 4 8 3b i + b 20 ；0a 1 - a 22 4 a 3 a i + a 2 ；0b 1 - b 2 2 + b 3b i + b 2 。) ； f l = d e t ( m ) ； f 2 = n “2 ： 最后可得目标函数方程f = f 2 = ( ( 8 + k l + 8 4 k 2 + s i n ( p h i 2 ) ( ( c o s ( p h i 2 ) + 1 2 + s i n ( p h i 2 ) ) 、2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) + ( 一 k 3 + s i n ( a l p h a ) - c o s ( p h i 2 + a l p h a ) ) + f - c o s i ；( p h i 2 ) - 匹川大学硕_ 上学位论文 1 2 + s i n ( p n 2 ) ) ( ( c o s ( p h i 2 ) + i 2 + s i 力 h i 2 ) ) 2 + s i m ，p 1 1 i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) 。k l4 k 2 8 s i n ( p h i 2 ) + ( 8 + k l + 8 + k 2 + s i n ( p h i 2 ) ( ( c o s ( p m 2 ) + l 2 + s i n ( p h i 2 ) ) “2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) + ( - k 3 一 s i n ( p ：l h i 2 ) ( ( c o s ( p l , h j 2 ) + 1 2 4 s i n ( p h i 2 ) ) 2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) “( 1 2 ) ) + k l + k 2 4 s i n ( p h i 2 ) 。( k 3 + c o s ( a l p h a ) - s i n c p h j 2 + a b h a ) ) 一f 一8 + k 3 8 + s i n a l p h a ) ) “2 + 4 8 ( 一k 3 + s i n ( a l p h a ) - c o s ( p h i 2 + a l p h a ) ) | “2 + ( 一k 3 - s i n ( p h i 2 ) ( ( c o s ( p h i 2 ) + 1 2 4 s i n ( p h i 2 ) ) 7 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) 7 ( 1 2 ) y 、2 - 4 。( - k 3 _ s i n ( p h i 2 ) ( ( c o s ( p h i 2 ) + l 2 + s i n ( p h i 2 ) ) 7 2 + s i n ( p h i 2 ) 、2 ) 7 ( 1 2 3 “2 + k 1 4 2 + k 2 “2 + s i n ( p h i 2 1 i “2 4 + ( - c o s ( p h i 2 ) - 1 2 8 s i n ( p h i 2 ) ) 7 2 ( ( c o s ( p h i 2 ) + l 2 。s i n ( p h i 2 ) ) , 2 + s i n ( ：p h i 2 ) “2 ) + k l 2 。k 2 “2 + s n ( p l , t 1 1 2 ) “2 + 4 4 ( - c o s ( p h i 2 ) - 1 2 4 s i n ( p h i 2 ) ) 7 2 ( ( c o s i ( p h i 2 ) + i 2 8 s i n l l i 2 ) ) ， 2 + s i n ( p h i 2 ) “2 ) 4 ( k 3 4 c o s ( a l p h a ) s i n ( p h i 2 + a l p h a ) ) “2 ) “2 ； 2 平面转向六杆机构的运动综合 图2 5 ：三个方程的相趸圈 在带入初始值，p h i 2 ，p h i l 和c t = o 后，可得f 2 ( k l ，k 2 ，k 3 ) = 0 。现分别对k l ， k 2 ，k 3 求导得到三个方程： f 1 。：盟：0 ： e 忱一 f ：堕：0 ： 讹2 f 1 ：堕：0 ： 讹3 现利用计算机图解法来求解含三个未知数的三个方程( 具体方法介绍清见 第四章“计算机图解法解方程组”) 。 现设定x 坐标的范围( 0 ，2 ) ，y 坐标的范围( o ，2 ) ，细分数为1 0 1 0 。 将e 述三个方程带入程序中，可得三条图形重叠图，如图2 5 所示a 其 中，圆圈是方程f 】形成的点轨迹，五星是方程f 2 形成的点轨迹，8 是方程f 3 形 成的轨迹。放大图2 5 中的两个黑圈部分，可得图形中交点对应的点值和纵坐 标z 值，如图2 6 ，2 7 所示。 四川大学硕士学位论文 从图2 6 、图2 7 中可以看出在点( 2 4 ，0 3 ) 和点( 3 6 ，o 4 1 ) 处三条图形 基本上相交。 图2 6 ：在点2 4 处三条函数轨迹基本相交 因为点阵是1 0 1 0 的，所以图中绘出的点基本上是每十个点一个循环。 现将点2 4 附近领域再次进行计算机图解运算，这次取a = 2 9 。b = 6 9 ，c = 4 9 ， d = 8 9 ，m = 6 ，n = 6 。则绘出的曲线如图2 8 所示。 从图2 8 中可以看出三个方程的z 坐标在点3 6 处误差在0 0 0 5 之内。现将 点r 3 6 ，o 3 7 ) 带入程序中求出其对应的( x ，y ) 的坐标，因而求得其三维坐标 ( 4 9 ，6 9 ，0 3 7 ) 。 现将两组坐标带入方程进行优化： x = 4 9 ，2 3 ，0 3 7 】； x 2 f m i n u ( f u n ，x ) f = f u n ( x ) 优化结果如下： x = 0 9 3 2 8 3 3 4 3 7 0 2 7 3 20 7 4 0 1 9 0 6 8 9 1 9 1 4 2 o 5 2 6 1 2 2 1 5 1 7 8 4 2 2 目标函数f = 6 1 0 6 2 8 3 2 1 3 3 0 0 3 3 1 e - 0 0 4 2 平面转向六杆机构的运动综合 x = 2 3 ，1 0 9 ，0 4 1 】 x = f m i n u ( t i m ，x ) f = f u n ( x ) 图2 7 ：在点3 6 处三条函数轨迹 1 5 型型奎兰竺圭兰竺兰兰 优化结果如下： x = 0 9 3 3 4 2 6 6 3 4 9 2 4 2 20 7 4 0 8 4 8 9 7 2 8 6 3 9 60 5 2 6 5 4 5 8 8 4 1 8 1 6 4 目标函数f = 6 1 0 5 0 7 4 2 3 9 5 1 7 2 9 8 e 0 0 4 这两组优化结果非常近似，现选取第二组作为最终值，来求出本实例 中求出的机构的输出值( p 1 。将k l ，k 2 ，k 3 带入目标函数f 中，在根据输入角 “( p 2 = l i n s p a c e ( o ，4 0 4 p i 1 8 0 ，4 0 ) ”，我们可以得到输出角( p l ： 0 0 1 1 4 2 5 5 8 0 9 6 8 8 3 ，0 。0 2 5 4 4 7 6 1 0 2 4 6 4 9 ，0 0 3 9 5 0 2 8 9 6 5 9 7 1 6 , 0 0 5 3 5 9 1 7 6 2 4 3 2 6 6 ，0 0 6 7 7 1 4 8 0 0 4 3 3 7 5 ，0 0 8 1 8 7 2 9 5 4 4 0 6 7 5 ，0 0 9 6 0 6 7 6 2 7 1 3 7 2 7 ，0 1 1 0 3 0 0 8 2 6 1 0 9 3 8 ，0 1 2 4 5 7 5 3 6 3 2 6 9 8 5 ，0 1 3 8 8 9 5 1 3 3 4 6 5 9 0 ，0 1 5 3 2 6 5 5 0 9 9 9 8 6 1 ，0 1 6 7